梯度与导数
高数2 第九章 方向导数与梯度
第九章第七节方向导数与梯度一、方向导数二、梯度三、物理意义l),,(zyxP一、方向导数定义:若函数),,(zyxfρρf∆→0lim则称lf∂∂lf∂∂ρ为函数在点P 处沿方向l的方向导数.ρρ),,(),,(limzyxfzzyyxxf-∆+∆+∆+=→在点),,(zyxP处沿方向l (方向角为γβα,,) 存在下列极限:P'=记作xzyρ∆y∆xρ∆zρz lz ρPΔlim 0→=∂∂P ´P z = f (x,y )x 0y ρρ)()(lim00000→-∆+∆+=y ,x f y y ,x x f Q ρP f P f ρ)()(lim 0-'=→M是曲面在点P 处沿方向l 的变化率，即半切线Plz∂∂MN 方向导数.方向导数几何意义的斜率N,),,(),,(处可微在点若函数z y x P z y x f ),,(z y x P l 定理:则函数在该点沿任意方向l 的方向导数存在,ρρf l f ∆=∂∂→0lim γβαcos cos cos zf y f x f l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂证明: 由函数),,(z y x f )(ρo z zf y y f x x f f +∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆() ρ=且有)(ρo +在点P 可微,得ρP '故γβαcos cos cos zf y f x f ∂∂+∂∂+∂∂=对于二元函数,),(y x f 为α, β) 的方向导数为方处沿方向在点(),(l y x Pρρ),(),(lim 0y x f y y x x f l f -∆+∆+=∂∂→βαcos ),(cos ),(y x f y x f y x +=Plxy o xfl f ∂∂=∂∂特别:•当l 与x 轴同向()有时,2,0πβα==•当l 与x 轴反向()有时,2,πβπα==x f l f ∂∂-=∂∂l向角例1. 求函数在点P (1, 1, 1) 沿向量3)的方向导数.⎝⎛=∂∂∴Plu 1422⋅z y x ⎪⎭⎫⋅+1432y x 解: 向量l 的方向余弦为例2. 求函数在点P (2, 3)沿曲线朝x 增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为2)2,1(=x x 它在点P 的切向量为,171cos =∴α1760=xoy2P⎩⎨⎧-==1 2x y x x )4,1(=174cos =β1-例3. 设是曲面n 在点P (1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解:方向余弦为,142cos =α,143cos =β141cos =γ而P x u ∂∂=∂∂∴Pnu 同理得)1,3,2(2=方向的方向导数.P z y x )2,6,4(146=711=()1143826141⨯-⨯+⨯P y x z x 22866+=在点P 处沿求函数=n n二、梯度方向导数公式γβαcos cos cos zfy f x f l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模: f 的最大变化率之值方向导数取最大值：⎪⎭⎫∂∂∂∂∂∂ ⎝⎛=z f y f x f G ,,)cos ,cos ,(cos 0γβα=l ,0方向一致时与当G l :G ()G lf=∂∂max1. 定义,f ad r g 即同样可定义二元函数),(yx P 称为函数f (P ) 在点P 处的梯度⎪⎭⎫∂∂∂∂∂∂ ⎝⎛=z f y f x f ,,记作(gradient),在点处的梯度G 说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2. 梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,面上的投在曲线xoy Cz y x f z ⎩⎨⎧==),(C y x f L =),(:*影称为函数f 的等值线.,,不同时为零设y x f f 则L *上点P 处的法向量为P y x f f ),(Pfgrad =o yx 1c f =2c f =3c f =)(321c c c <<设P 同样, 对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时, 其上点P 处的法向量为.grad P f ,),(y x f z =对函数指向函数增大的方向.3. 梯度的基本运算公式()(2)=gradC gradCuu(grad)=grad(4)+uvvuu gradv例 4.证:)(r f '==∂∂y r f )()( grad r f ∴)(1)(k z j y i x r r f++'=r rr f 1)('=rz r f z r f )()('=∂∂0)(r r f '=j y r f ∂∂+)(k z r f∂∂+)(222zy x x++P x o zy,)(r y r f 'i xr f ∂∂=)(试证r x r f )('=处矢径r 的模,r三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数)(P f 梯度场)(grad P f ( 势)如: 温度场, 电位场等如: 力场,速度场等(向量场)注意:任意一个向量场不一定是梯度场.内容小结1. 方向导数•三元函数在点沿方向l (方向角),,γβα为的方向导数为γβαcos cos cos zf y f x f l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂•二元函数在点),βα的方向导数为βαcos cos yf x f l f ∂∂+∂∂=∂∂沿方向l (方向角为2. 梯度•三元函数在点处的梯度为⎪⎭⎫∂∂∂∂∂∂ ⎝⎛=z f y f x f f ,,grad •二元函数在点处的梯度为)),(,),((grad y x f y x f f y x =3. 关系方向导数存在偏导数存在• •可微grad l f lf⋅=∂∂梯度在方向l 上的投影.思考与练习1. 设函数(1) 求函数在点M( 1, 1, 1 ) 处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向的夹角 .曲线1. (1)在点[])1,1,1(cos cos cos γβα⋅+⋅+⋅=∂∂z y x Mf f f l f解答提示:函数沿l 的方向导数lM (1,1,1) 处切线的方向向量)0,1,2(grad )2(=MfM M f l fgrad ∂∂=1306arccos=∴θl cos =θl备用题 1. 函数在点处的梯度解:则注意x , y , z 具有轮换对称性)2,2,1(92-=)2,2,1(92-(92考研)指向B ( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是.在点A ( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数)ln(22z y x u ++=提示:则}cos ,cos ,{cos γβα=)1ln(+x )11ln(2++y (96考研)机动目录上页下页返回结束2121=将二元函数z= f(x , y)在点(x , y)的以下七个命题填入框图：（1）有定义（2）有极限（3）连续（4）偏导存在（5）方向导数存在（6）偏导连续（7）可微（6）（7）（3）（4）（5）（1）（2）⇒⇒问题：箭头是否可逆？不可逆的试举出反例。
高等数学第九章第七节 方向导数与梯度
| PP | (x)( x, y), 考虑 z ,
当 P沿着 l 趋于P时，
lim f ( x x, y y) f ( x, y) 是否存在？
0
1、定义
函数的增量 f (x x, y y) f (x, y) 与
2、设 f ( x, y, z) x 2 2 y 2 3z 2 xy 3 x 2 y 6z ,
则gradf (0,0,0) __________________.
3、已 知 场 u( x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
,则u沿
场的梯度
方向的方向导数是__________________.
4、称向量场 a 为有势场,是指向量a 与某个函数
u( x, y, z)的梯度有关系__________________.
练习题答案
一、1、1 2 3；
2、3 i 2 j 6 k ；
3、
(
2 a
x
2
)
2
(
2 b
y
2
)
2
(
2z c2
)
2
gradu ；
4、a gradu.
四、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x, y) 在这点增长 最快的方向.
练习题
一、填空题:
1、函数z x 2 y 2 在点(1,2) 处沿从点(1,2) 到点
(2,2 3)的方向的方向导数为_____________.
(1,1)
(1,1)
cos sin 2 sin( ), 4
9.7 方向导数与梯度(新)
， 不 存 在.
同理，
( 0 ,0 )
不 存 在 ， 故 两 个 偏 导 数 均 不 存 在.
沿 任 意 方 向 l { x , y}的 方 向 导 数 z l
( 0 ,0 )
lim
f ( x , y ) f (0 , 0 )
(1) 0， 即 ， 向 量 e l 与 梯 度 g r a d f ( x 0 , y 0 ) 方 向 相 同 时 ， z f ( x, y ) 在 此 方 向 的 方 向 导 数 达 到 最 大 值 ， 且 最 大 值 为 | grad f ( x0 , y0 ) | .
12
( 2 ) ， 即 ， 向 量 el 与 梯 度 g r a d f ( x 0 , y 0 ) 方 向 相 反 时 ， z f ( x, y) 在 此 方 向 的 方 向 导 数 达 到 最 小 值 ， 且 最 小 值 为 | g ra d f ( x0 , y0 ) | .
2 2 2
,
( x) ( y ) ( z ) ，
设 方 向 l 的 方 向 角 为 , , ， x co s ， y co s ， z co s .
同 理 ： 当 f ( x, y, z ) 在 此 点 可 微 时 ， 则 在 该 点 沿 任 意 方 向 l的 方 向 导 数 都 存 在 ， 且 f l f x co s f y co s f z co s .
3 4
或
7 4
.
15
梯度的概念可以推广到三元函数
三 元 函 数 u f ( x, y, z ) 在 空 间 区 域 G 内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则 对 于 每 一 点 P ( x , y , z ) G， 都 可 定 义 一 个 向 量 (梯 度 )
导数偏导数方向导数梯度及其关系
导数：,导数的意义为函数的变化率。
由定义可知，导数是对应一元函数的。
偏导数：()()()0000000,,,limx x f x x y f x y f x y x∆→+∆-=∆()()()0000000,,,limy y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆.偏导数是对应于多元函数的。
其意义是：偏导数反应的是函数沿坐标轴方向的变化率。
方向导数：设l 为xOy 平面上以()000,P x y 为始发点的一条射线，()cos ,cos l αβ=e 是与l 同方向的单位向量。
则该射线的参数方程为：00cos cos x x t y y t αβ=+=+,那么，函数(,)f x y ,在()000,P x y 沿l 方向的方向导数为：()()()0000000,cos ,y cos ,lim t x y f x t t f x y f ltαβ+→++-∂=∂。
从方向导数的定义可知，方向导数()00,x y fl∂∂就是函数(,)f x y 在点()000,P x y 沿方向l 的变化率。
方向导数也是对应于多元函数的。
方向导数是一个标量值。
方向导数与偏导数的关系：如果函数(,)f x y 在点()000,P x y 可微分，那么函数在改点沿任意方向l 的方向导数存在，且有()()()000000,,cos ,cos x y x y ff x y f x y lαβ∂=+∂,其中()cos ,cos l e αβ=为方向l 的方向余弦。
（若方向()1,0l =e 也就是x 轴方向，则()0000,(,)x x y f f x y l∂=∂，若方向()0,1l =e 也就是y 轴方向，则()0000,(,)y x y ff x y l∂=∂）.梯度：设函数(,)f x y 在平面区域D 内有一阶连续偏导数，则对于每一个点()000,P x y D ∈都可以定出一个向量()()0000,,x y f x y f x y +i j ，这向量称为函数(,)f x y 在点()000,P x y 的梯度，即()()()000000 ,,,x y f x y f x y f x y =+grad i j 。
方向导数和梯度
本节的研究目的
研究标量场的变化率。最大变化率？
本节的研究内容
一、方向导数 二、梯度
一、方向导数
1. 方向导数的定义
l
P
P0
l
u lim u lim u(P) u(P0 )
l l PP0 P0
P P0
l
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
一、方向导数
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
u u cos u cos u cos
l x
y
z
函数 u(P) 从给定点出发有无穷多个变化方向，其 中哪个方向的变化率最大？
最大变化率是多少？
一、方向导数
u u cos u cos u cos
l x
y
z
令：
g
u x
ex
u y
ey
u z
ez
el
ex
cos
ey
cos
ez
cos
u l
g
el
g el cos(g, el ) g cos(g, el )
cos(g, el ) 1
u g 方向导数取得最大值
l
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
1. 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐导数；
3. 梯度的方向为该点方向导数最大的方向；
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
4. 梯度描述标量场中任一点函数值在该点附近增 减性质的量，沿着梯度的方向，函数值增加或 减小得最快；
6-6-1方向导数与梯度
故两个偏导数均不存在.
沿任意方向 l {x, y}(x 0, y 0) 的方向导 数,
z l
(0,0)
lim
0
f (x,y)
f (0,0)
lim (x)2 (y)2 1 0 (x)2 (y)2
故沿任意方向的方向导数均存在且相等.
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是
1 2
. (96考研)
提示:
则
{cos , cos , cos }
ln(x 1)
ln(1 y2 1)
1 2
四、 u r0
M
2u( x0 , y0 , z0 ) ;a b c .
x
2 0
y02
z
2 0
备用题 1. 函数
处的梯度
2 (1, 2, 2) 9
在点
(92考研)
解:
则 注意 x , y , z 具有轮换对称性
2 (1, 2, 2) 9
2. 函数 u ln(x y2 z2 )在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
f f cos f cos
l x
y
例1. 求函数 的方向导数 .
在点 P(1, 1) 沿向量
例2. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数.
yP
o 1 2 x
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u f (x, y, z) ，它在空间一点
求警犬的搜索路线
内容小结
1. 方向导数
• 二元函数
在点
沿方向 l (方向角为
8-7 方向导数与梯度
z
z f ( x, y)
G
F
M0
E
o p
x
0
y
p
z l
l
是用过射线l且垂直于xoy面的半平面
P0
截曲面z f ( x , y )所得曲线在点M 0处的半 切线M 0 N相对于射线l的斜率.
二、方向导数的计算
定理：如果z f ( x , y )在点( x0 , y0 )可微，那 么函数在该点沿任一方 向的方向导数都存在. 且
{ f x , f y , f z } gradf
M
f ( x, y, z ) C
第七节 方向导数与梯度
要点:
f 方向导数的定义: l
p0
lim
沿l
f ( p) f ( p0 ) p0 p
p p0
lim
0
z
f 意义: f . p0 反映函数 在点 p0沿方向l的瞬时变化率 l 方向导数与偏导数的联系与区别.
2 2
的方向导数最大？
解: 梯度向量 grad z { z , z } ( 0 ,1) x y { 2 x , 2 y } ( 0 ,1 )
z
z x2 y2
{0,2}
o
x
(0,1) {0,2}
y
{1,0}
z x 2 y 2在点(0,1)沿着梯度向量{0，}方向 2 （即y轴正向）的方向导数最 大, 最大值为 . 2
o z z 梯度向量 grad z { , } ( 0 ,1) x x y {2 x ,2 y } ( 0,1) {0,2}
2 2
高等数学方向导数与梯度
cos 1 , cos 4
17
17
y
P
O 1 2 x
60 17
例3. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
二、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量
G
f, x
f, y
f z
l (cos , cos , cos )
当 l 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值：
第七节
第八章
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、物理意义
一、方向导数
l
定义: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限:
P
lim f
0
P(x, y, z)
lim
0
f
(x
x,
y
y, z
z)
f
(x,
y,
z)
记作
f l
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
l
定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
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梯度与导数
梯度与导数是微积分中的重要概念。
梯度是向量值函数的导数，它描述了函数在某一点沿着哪个方向变化最快。
梯度的方向是函数变化最快的方向，梯度的模长是该方向上的变化率。
梯度可以用来求函数的最大值和最小值，以及函数在某一点的方向导数。
导数是函数在某一点的变化率，也可以理解为函数在该点切线的斜率。
导数可以用于求函数的极值、最大值和最小值，以及函数的图像的凸性、拐点等性质。
导数也可以用于求函数在某一点的近似值，例如在牛顿法中就用到了这个性质。
梯度和导数是微积分中的基本概念，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。
在机器学习和深度学习中，梯度和导数是优化算法的核心，例如梯度下降法就是一种常用的优化算法，通过迭代调整参数的值来最小化损失函数。
因此，深入理解梯度和导数的概念和性质，对于学习机器学习和深度学习具有重要意义。
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