最优化方法方向导数与梯度例题
结构优化设计的基本原理
一个二次规划问题： 目标函数和约束条件按不同形式展开可得出不同的近似
序列规划问题； 原目标函数和约束条件的规划问题可以近似按台劳展开
的序列子问题通过逐次逼近来完成。
2-3 方向导数和梯度
I. 方向导数 Directional Derivatives
•讨论: H(X*) 正定, f(X*) 为强相对极小值; H(X*) 半正定, f(X*) 为弱相对极小值; H(X*) 负定, f(X*) 为强相对极大值; H(X*) 半负定, f(X*) 为弱相对极大值; H(X*) 不定, X* 为鞍点( Saddle Point ); H(X*) 0, 不能确定极值, 需要考查更高阶项.
证明: f(X) 有二阶连续导数, 则由台劳展开, 有 f ( X ) f ( X *) f ( X *)T ( X X *) 1 ( X X *)T H ( X *)(X X *)
2
由极值存在必要条件知, f(X*) = 0 , 则 f( X ) - f( X* ) = ½( X - X* )TH( X* )( X - X* ) + , 0, 若 ½( X - X* )TH( X* )( X - X* ) > 0 , 则 f( X ) - f( X* ) > 0, 得 f( X ) > f( X* ) , 即X* 处函数有相对极小值. 证明完毕!
这里要求各约束梯度向量线性无关！
若 L( X, )有解, 则其解必是唯一的， 且 L(X*, * ) = f ( X* )。
讨论:
1. 拉氏乘子法只能处理等式约束，对不等式约束它 要引进松弛变量，把不等式变为等式。因此，该法对设 计空间可行域范围限制很严，即若将一般规划问题用拉 氏乘子法求解，将使可行域缩小，只能求局部最优解， 且m < n；
第2章 优化方法的数学基础(已排)
2 x1 − 4 2 ∇f ( x ) = = 4 2 x2 x(1)
(1)
8
2.2 多元函数的泰勒展开
1 T f ( x ) = f ( x0 ) + ∇f ( x0 ) ∆x + ∆x G ( x0 )∆x + ⋯ 2
T
二元函数： 二元函数：
∆x1 ∆x ≡ ∆x2
x2 －∇f (xk) ∇g1(xk) ∇g2(xk) 点xk处的切平面 xk 可行域 g1(x)=0 O (a) f (x)=C g2(x)=0 x1 O x2 ∇g2(xk) ∇g1(xk) f (x)=C
－∇f (xk) g2(x)=0
xk 可行域
g1(x)=0 (b)
点 xk 处的切平 面 x1
18
同时具有等式和不等式约束的优化问题 :
min f ( x )
st. g j ( x) ≤ 0 . hk ( x) = 0
K-T条件： 条件： 条件
( j =1,2,⋯, m) (k = 1,2,⋯, l )
∂g j l ∂f ∂hk ∂x + ∑ µ j ∂x + ∑λk ∂x = 0 (i = 1,2,⋯, n) k =1 i i i j∈J g j ( x) = 0 ( j ∈ J ) µ j ≥ 0 ( j ∈ J )
10
例题 1-5 用泰勒展开将函数 在点 x
(1 )
3 f ( x ) = x13 − x2 + 3 x12 + 3 x22 − 9 x1
简化成线性函数与二次函数。 = [1 , 1 ] T 简化成线性函数与二次函数。
解：函数在点 f ( x (1) ) = −3 矩阵： 矩阵：
第2章 优化方法的数学基础
X ∈ D 对满足 ,
F ( X ) ( X X * ) ≥ 0
*
T
注意: 注意:
不论是无约束或有约束的优化问题,在实际应用中, 不论是无约束或有约束的优化问题,在实际应用中,要证明一个 优化问题是否为凸规划,一般比较困难, 优化问题是否为凸规划,一般比较困难,有时甚至比求解优化问题本 身还要麻烦.尤其对一些工程问题,由于其数学模型的性态都比较复 身还要麻烦.尤其对一些工程问题, 杂,更难实现.因此,在优化设计的求解中,就不必花精力进行求证, 更难实现.因此,在优化设计的求解中,就不必花精力进行求证, 而通常是从几个初始点出发,找出几个局部最优解, 而通常是从几个初始点出发,找出几个局部最优解,从中选择目标函 数值最好的解. 数值最好的解.
2 2
设: 则有
cos θ1 s≡ 为单位向量. 为单位向量. cos θ 2 F = F ( x0 )T s = F ( x0 ) cos(F , s ) x s 0
梯度方向是函数值变化最快的方向,而梯度的模 梯度方向是函数值变化最快的方向, 就是函数变化率的最大值 .
x2 x0
-f(x0) 最速下降方向 下降方向 变化率为零的方向 上升方向 f(x 0) 最速上升方向
凸规划的一些性质: 凸规划的一些性质: 1)可行域 D = X g j ( X ) ≤ 0
{
j = 1, 2, , m
}
为凸集; 为凸集;
2)凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解; 凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解; 为凸规划问题 最优解的充分必要条件 规划问题的 可微, 3 ) 若 F ( X ) 可微 , 则 X* 为凸规划问题的 最优解的充分必要条件 为: 对任意
0
(完整版)机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计
2.黄金分割法（0.618法）
原理：提高搜索效率：1）每次只插一个值，利用一个前次的插值；2）每次的缩短率λ相同。左右对称。
程序：p52
（四）插值方法
1.抛物线法
原理：任意插3点：
算得： ； ；
要求：
设函数 用经过3点的抛物线 代替，有
解线代数方程
解得：
程序框图p57
网格法 ，缩小区间，继续搜索。
Monte Carlo方法 ， ，随机数。
比较各次得到的 得解
遗传算法(专题)
（二）区间消去法（凸函数）
1.搜索区间的确定：高—低--高（ ）则区间内有极值。
2.区间消去法原理：在区间[a, b]内插两个点a1, b1保留有极值点区间，消去多余区间。
缩短率：
（三）0.618法
可行方向—约束允许的、函数减小的方向。（图）约束边界的切线与函数等高线的切线方向形成的区域。
数学模型
用内点法或混合法，取 ，
直接方法
（一）随机方向法
1.在可行域产生一个初始点 ，因 （约束），则
--（0，1）的随机数。
2.找k个随机方向，每个方向有n个方向余弦，要产生kn个随机数 ， ， ，随机方向的单位向量为
3.取一试验步长 ，计算每个方向的最优点
4.找出可行域中的最好点 得搜索方向 。以 为起点， 为搜索方向得 。最优点必须在可行域内或边界上，为此要逐步增加步长。
得
穷举下去得递推公式
3.算例
p73
4.框图p72
5.特点
作业：1. 2.
（六）变尺度法
1.引言
坐标变换
二次函数
令 为尺度变换矩阵
自然科学使用导数最优化方法
令 () 16 (1 4) 64 (1 2) 0
81
81
2 5 /12
第9页/共116页
得到
x(3)
x(2)
2d (2)
2 27
1 1
第三次迭代
f (x)在点x(3)处的最速下降方向为
d (3)
f
(x(3) )
4 27
2 1
d (3) 4 5 1/10 27
第10页/共116页
从x(3)出发,沿方向d (3)进行一维搜索 :
10
第一次迭代
目标函数f(x)在点x处的梯度
f
(
x)
4x1
2
x2
第6页/共116页
令搜索方向
d (1)
f
(x(1) )
4 2
d 16 4 2 5 1/10
从x(1)出发,沿方向d (1)进行一维搜索,求步长1,即
min() f (x(1) d (1) )
0
x(1)
d (1)
1 1
d (2) 4 5 1/10 9
第8页/共116页
从x(2)出发,沿方向d (2)进行一维搜索 :
min() f (x(2) d (2) )
0
x(2)
d (2)
1/ 9
4
/9
4/9 8/ 9
(1 4) / 9
(4
8)
/9
() 2 (1 4)2 16 (1 2)2
81
81
• 最速下降算法
最速下降算法的迭代公式为
x(k1) x(k ) k d (k ) (1.6)
其中d (k)是从x(k)出发的搜索方向,此处取在点x(k)的最速下降 方向,即 d (k) f (x(k) ).
最优化方法(试题+答案)
一、 填空题1.若()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212121312112)(x x x x x x x f ，则=∇)(x f ，=∇)(2x f .2.设f 连续可微且0)(≠∇x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。
3.向量T)3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 . 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： .6.以下约束优化问题：)(01)(..)(min 212121≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f的K-K-T 条件为：. 7.以下约束优化问题：1..)(min 212221=++=x x t s x x x f的外点罚函数为（取罚参数为μ） .二、证明题（7分+8分）1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h ni ,1,:1+=→都是线性函数，证明下面的约束问题：},,1{,0)(},1{,0)(..)(min 1112m m E j x h m I i x g t s x x f j i nk k+=∈==∈≥=∑=是凸规划问题。
2.设R R f →2:连续可微，n i R a ∈，R h i ∈，m i ,2,1=，考察如下的约束条件问题：},1{,0}2,1{,0..)(min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i Ti +=∈=-=∈≥-设d 是问题1||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥∇d E i d a Ii d a t s d x f Ti Ti T的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。
三、计算题（每小题12分）1.取初始点T x )1,1()0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题（迭代2步）：22212)(m in x x x f +=2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题：21222121)(min x x x x x f -+=3.用有效集法求解下面的二次规划问题：.0,001..42)(min 2121212221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f4.用可行方向算法（Zoutendijk 算法或Frank Wolfe 算法）求解下面的问题（初值设为)0,0()0(=x,计算到)2(x 即可)：.0,033..221)(min 21211222121≥≥≤+-+-=x x x x t s x x x x x x f参考答案一、填空题 1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++3421242121x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4224 2. 0)(<∇d x f T3. T)0,1,2(-，T)1,0,3(-（答案不唯一）。
最优化方法试卷及答案5套.docx
《最优化方法》1一、填空题:1. _______________________________________________________ 最优化问题的数学模型一般为：_____________________________________________ ,其中___________ 称为目标函数，___________ 称为约束函数，可行域D可以表示为_______________________________ ，若 ________________________________ ，称/为问题的局部最优解，若为问题的全局最优解。
2.设f(x)= 2斤+2“2-兀|+5花，则其梯度为__________ ^x = (l,2)r?6/ = (l,0)r,则f(x)在壬处沿方向d的一阶方向导数为___________ ，几何意义为_____________________________________ ，二阶方向导数为____________________ ,几何意义为_____________________________3.设严格凸二次规划形式为：min /(%) = 2兀］2 + 2x； - 2兀］-x2s.t. 2%! 4- x2 < 1> 0x2 > 0则其对偶规划为_______________________________________________min%（d ） = f （x k +ad k ）的最优步长为务=—叫）F.d kT Gd k2. （10分）证明凸规划min/（x ）,x G D （其中子（兀）为严格凸函数，D 是凸集）的最优解是唯一的3. （13分）考虑不等式约束问题min /（x ）s.t. c i （x ） < 0, Z G / = {1,2,…，加}其中/（x ）,6 （兀）a e /）具有连续的偏导数，设X 是约束问题的可行点，若在元处 d 满足巧（计<0,VC,（元）（可则d 是元处的可行下降方向。
最优化_第2章 优化设计的数学基础
(0) (0) f ( x1(0) , x2 x2 ) f ( x1(0) , x2 ) f ( x) lim x2 X ( 0) x2 0 x2
分别表示沿坐标轴x1和x2方向在X (0)处的f(X)变化率。
§2.1
多元函数的导数与梯度
(0) (0) f x1(0) x1 , x2 x2 f x1(0) , x2 f lim d X ( 0 ) d 0 d (0) (0) (0) f x1 x1 , x2 f x1(0) , x2 x1 lim d 0 x1 d
n元函数极值充分条件:海塞矩阵为正定。
2 f 2 x 1 2 f x2 x1 (0) G( X ) 2 f xn x1
2 f xn x2
§2.4
凸集、凸函数与凸规划
f X f X*
函数f(X)在X*附近的一切X均满足不等式
2.二阶导数（ Hessian矩阵)判断
Hessian矩阵G(X)在R上处处半正定。
(0) 1 (0) 2
X (0)
x2
§2.2
多元函数的泰勒展开
二元函数泰勒展开矩阵形式:
f x1 , x2 f X
(0)
f ( X
(0) T
1 ) X X TG ( X (0) )X 2
2 f x 2 1 其中: G ( X (0) ) 2 f x2 x1
2 2
2 5 5 5 1 5 1 5 5
f
X
(1)
26 3x 4 x1 x2 x |X ( 0 ) 5 2 5
2 1
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最优化方法方向导数与梯度例题
一、引言
在数学和计算机领域中，最优化方法是一种常用的数学工具，用于解决优化问题。
在这个过程中，方向导数和梯度是非常重要的概念，它们帮助我们找到函数的最大值或最小值。
本文将深入探讨最优化方法中的方向导数和梯度，并通过例题来帮助读者更好地理解这些概念。
二、方向导数与梯度的定义
1. 方向导数
方向导数是一个向量的数量函数，表示函数在某一点沿着某一方向的变化率。
在数学上，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在点P0(x10, x20, ..., xn0)处沿着向量v=(v1, v2, ..., vn)的方向导数定义如下：
∇f(P0)•v = lim(h→0) [f(P0+hv) - f(P0)] / h
其中∇f(P0)表示函数f在点P0处的梯度，v表示方向向量。
2. 梯度
梯度是一个向量，表示函数在某一点的变化率最大的方向。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，函数在点P0(x10, x20, ..., xn0)处的梯度定义如下：
∇f(P0) = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)
其中∂f/∂xi表示对第i个自变量求偏导数。
三、方向导数与梯度的关系
方向导数与梯度之间有着密切的关系。
事实上，当方向向量为梯度的时候，方向导数达到最大值。
这意味着，函数在梯度的方向上的变化率最大。
这也是最优化方法中常用的一种策略，即沿着梯度的方向不断调整自变量，以寻找函数的最大值或最小值。
四、例题分析
为了更好地理解方向导数与梯度的概念，我们将通过一个具体的例题来说明。
例题：求函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 2)处沿着方向向量(3, 4)的方向导数和梯度。
解析：我们求函数在点(1, 2)处的梯度。
计算过程如下：
∇f(1, 2) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2x, 2y)|_(1, 2) = (2, 4)
我们求函数在点(1, 2)处沿着方向向量(3, 4)的方向导数。
计算过程如下：∇f(1, 2) • (3, 4) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) • (3, 4) = 2*3 + 4*4 = 6 + 16 = 22
函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 2)处沿着方向向量(3, 4)的方向导数
为22，梯度为(2, 4)。
五、总结与回顾
通过上面的例题分析，我们可以更清楚地了解方向导数与梯度的概念
和应用。
方向导数表示函数在某一点沿着某一方向的变化率，而梯度
表示函数在某一点的变化率最大的方向。
这两个概念在最优化方法中
起着非常重要的作用，帮助我们寻找函数的最大值或最小值。
我个人认为方向导数与梯度是最优化方法中的核心概念，深入理解和
灵活运用这些概念对于解决实际问题非常有帮助。
希望本文的解析和
例题能够帮助读者更好地理解和应用方向导数与梯度的知识。
总结：本文从方向导数与梯度的定义入手，深入探讨了这两个概念在
最优化方法中的重要性和应用。
通过例题分析，读者更好地理解了方向导数与梯度的计算方法和意义。
希望本文能够帮助读者更好地掌握这些概念，提升对最优化方法的理解和应用能力。
六、参考
- 《数学分析》
- 《最优化方法导论》
以上就是本文的全部内容，希望能够对您有所帮助。
扩写：
七、应用领域
方向导数与梯度在许多领域都有着广泛的应用。
在工程领域中，最优化方法被广泛应用于设计和优化各种系统和结构。
在机械设计中，可以利用梯度和方向导数来优化零部件的形状和结构，以实现更好的性能和效率。
在电力系统规划中，可以利用最优化方法来优化能源的分配和传输系统，以实现最佳的能源利用。
在无线通信领域，也可以通过最优化方法来设计无线网络的布局和信号传输策略，以实现更好的覆盖和传输效果。
在经济学和金融领域中，最优化方法同样具有重要的应用价值。
在投资组合优化中，可以通过梯度和方向导数来调整资产配置，以实现最
大化收益和最小化风险。
在市场营销中，可以利用最优化方法来优化广告投放和促销策略，以实现最大化销售和利润。
在供应链管理中，也可以通过最优化方法来优化供应链设计和管理，以实现最佳的供应链效率和成本控制。
在科学研究领域中，最优化方法也被广泛应用于求解各种复杂的科学问题。
在物理学和天文学中，可以利用梯度和方向导数来求解各种物理系统的最优状态和运动轨迹。
在生物学和医学领域中，可以通过最优化方法来优化药物治疗方案和基因编辑策略，以实现最佳的治疗效果和疾病控制。
八、扩展内容
除了方向导数和梯度，最优化方法还涉及到许多其他重要的概念和方法。
拉格朗日乘子法和牛顿法等都是最优化方法中常用的工具，用于求解各种优化问题。
最优化方法还涉及到各种约束条件和不等式条件的处理方法，以及各种优化问题的数值求解算法。
这些内容都是最优化方法中非常重要的部分，对于解决实际问题都有着重要的作用。
另外，最优化方法还涉及到许多现代数学和计算技术的应用。
机器学习和人工智能领域中的优化算法，就是最优化方法在大数据和复杂系统中的应用。
另外，高性能计算和并行计算技术也对最优化方法的应用提供了更为强大的计算评台和工具。
这些现代技术的发展，为最优
化方法的应用提供了更为广阔的空间和可能性。
九、结语
最优化方法是一种非常重要的数学工具，对于解决各种实际问题都有着重要的作用。
方向导数与梯度作为最优化方法中的重要概念，可以帮助我们寻找函数的最大值或最小值，以及优化各种系统和结构。
通过深入理解和灵活运用这些概念，可以提升我们对最优化方法的理解和应用能力，从而更好地解决实际问题。
希望本文的内容能够对读者有所帮助，激发对最优化方法的兴趣和探索，促进相关领域的发展和应用。
愿大家在学习和工作中都能够运用最优化方法，解决各种复杂的实际问题，创造更加美好的未来。