第 9 讲 完全平方数(学习指导)
初中数学培优提高-完全平方数
完全平方数的性质能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。
例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
一、平方数有以下性质：【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；（2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；100，10000，1000000是完全平方数，10，1000，100000等则不是完全平方数。
（3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。
但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。
如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。
【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2【性质6】奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
【性质7】平方数的形式一定是下列两种之一：3k,3k+1。
【注意：具备以上条件的不一定是完全平方数（如13，21，24，28等）】【性质8】不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
七年级数学下册知识讲义-9 完全平方公式-苏科版
精讲精练【考点精讲】1. 完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；（a－b）2＝a2－2ab＋b2，即两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的和（或差）。
另外，这两个公式可以合记为：（a±b）2＝a2±2ab＋b2。
2. 完全平方公式的结构特征：完全平方公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项式，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
可概括为“首平方，尾平方，乘积2倍放中央，中央符号回头望”。
3. 应用完全平方公式进行整式乘法运算的步骤：（1）确定首尾，分别平方；（2）确定中央项的系数和符号，得出结论。
【典例精析】例题1 计算：（1）（3＋2x）2；（2）（－2a＋3b）2；（3）（－2m－5n）2。
思路导航：应用完全平方公式计算，关键要分清公式中的a、b分别代表什么，然后直接套用公式计算即可。
答案：（1）（3＋2x）2＝32＋2·3·2x＋（2x）2＝9＋12x＋4x2；（2）解法一：（－2a＋3b）2＝（－2a）2＋2·（－2a）·3b＋（3b）2＝4a2－12ab＋9b2；解法二：（－2a＋3b）2＝（3b－2a）2＝（3b）2－2·3b·2a＋（2a）2＝9b2－12ab＋4a2；（3）解法一：（－2m－5n）2＝（－2m）2－2·（－2m）·5n＋（5n）2＝4m2＋20mn＋25n2；解法二：（－2m－5n）2＝[－（2m＋5n）]2＝（2m＋5n）2＝（2m）2＋2·2m·5n＋（5n）2＝4m2＋20mn＋25n2。
点评：完全平方公式有“和”、“差”两种形式，它们在某些条件下可以互相转化，如第（2）题解法一是用“和”的公式，而解法二利用的是“差”的公式；第（3）题的解法一是利用“差”的公式，解法二通过互为相反数的平方相等转化为利用“和”的公式。
第_9_讲__完全平方数(学习指导)
第9讲完全平方数第一部分基本知识点——这是重中之重一个自然数平方后所得到的数叫完全平方数，也叫平方数。
0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……都是完全平方数，同学们要数记前20个完全平方数。
观察这些完全平方数，可以得到完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数字只能是0，1，4，5，6，9。
推论：个位数是2，3，7，8的整数一定不是完全平方数；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。
性质3：完全平方数除以3余0或1；完全平方数除以4余0或1；。
性质4：如果一个完全平方数的个位数字是6，则是位数字是奇数。
性质5：完全平方数分解质因数后，每个质因数的次数都是偶数。
性质6：一个正整数如果是完全平方数，那么它有奇数个约数(包括1和它本身)。
一个正整数如果它有奇数个约数(包括1和它本身)，那么它是完全平方数。
约数个数为3的自然数一定是某个质数的平方。
性质7：平方差公式A2－B2＝（A＋B）（A－B），其中A＋B与A－B的奇偶性相同。
第二部分学案[学案1] 完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9，可是个位数字是0、1、4、5、6、9的不一定都是完全平方数，那么我们定义：个位数字是0、1、4、5、6、9且不是完全平方数的自然数为“伪平方数”，那么在两位数中，偶数与伪平方数那个多？分析：⑴两位数从10到99共90个，其中偶数90÷2＝45（个）。
⑵两位数中个位数字是“0、1、4、5、6、9”的有6×9＝54（个），其中完全平方数有16、25、36、49、64、81这6个，伪平方数有54－6＝48个。
⑶两位数中偶数45个，伪平方数48个，伪平方数比偶数多。
[学案2] 将16分解成若干个质数（可以相同）相加的形式，如果这些质数的乘积正好是平方数，那么这个平方数可能是几？分析：⑴要使这些质数的乘积是完全平方数，那么质数必须成对出现，我们把16分成8＋8的两组，每组用相同的方式分解成一些质数相加的形式即可。
初中数学《完全平方公式》教学设计范文（精选7篇）
初中数学《完全平方公式》教学设计初中数学《完全平方公式》教学设计范文（精选7篇）作为一名教师，编写教学设计是必不可少的，借助教学设计可以提高教学效率和教学质量。
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初中数学《完全平方公式》教学设计篇1学习目标：1、经历探索完全平方公式的过程，发展学生观察、交流、归纳、猜测、验证等能力。
2、会推导完全平方公式，了解公式的几何背景，会用公式计算。
3、数形结合的数学思想和方法。
学习重点：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。
学习难点：掌握完全平方公式的结构特征，理解公式中a、b的广泛含义。
学习过程：一、学习准备1、利用多项式乘以多项式计算：（a+b）2 （a—b）22、这两个特殊形式的多项式乘法结果称为完全平方公式。
尝试用自己的语言叙述完全平方公式：3、完全平方公式的几何意义：阅读课本64页，完成填空。
4、完全平方公式的结构特征：（a+b）2=a2+2ab+b2（a—b）2=a2—2ab+b2左边是形式，右边有三项，其中两项是形式，另一项是（）注意：公式中字母的含义广泛，可以是，只要题目符合公式的结构特征，就可以运用这一公式，可用符号表示为：（□±△）=□2±2□△+△25、两个完全平方公式的转化：（a—b）2= 2=（）2+2（）+（）2=（）二、合作探究1、利用乘法公式计算：（3a+2b）2 （2）（—4x2—1）2分析：要分清题目中哪个式子相当于公式中的a ，哪个式子相当于公式中的b2、利用乘法公式计算：992 （2）（）2分析：要利用完全平方公式，需具备完全平方公式的结构，所以992可以转化（）2，（）2可以转化为（）2。
3、利用完全平方公式计算：（a+b+c）2 （2）（a—b）3三、学习对照学习目标，通过预习，你觉得自己有哪些方面的收获？又存在哪些方面的疑惑？四、自我测试1、下列计算是否正确，若不正确，请订正；（1）（—1+3a）2=9a2—6a+1（2）（3x2—）2=9x4—（3）（xy+4）2=x2y2+16（4）（a2b—2）2=a2b2—2a2b+42、利用乘法公式计算：（1）（3x+1）2（2）（a—3b）2（3）（—2x+ ）2（4）（—3m—4n）23、利用乘法公式计算：99924、先化简，再求值；（ m—3n）2—（ m+3n）2+2，其中m=2，n=3五、思维拓展1、如果x2—kx+81是一个完全平方公式，则k的值是（）2、多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是（）3、已知（x+y）2=9，（x—y）2=5 ，求xy的值4、x+y=4 ，x—y=10 ，那么xy=（）5、已知x— =4，则x2+ =（）初中数学《完全平方公式》教学设计篇2一、教材分析：（一）教材的地位与作用本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。
平方数(教案 )
平方数(教案)一、平方数的性质性质1、完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9.性质2、奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数.性质３、如果一个平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数．性质4、平方数被8除的余数只可能是0，1，4性质5、平方数被9除的余数只可能为0，1，4，7；平方数的各位数字之和被9除的余数也只能为0，1，4，7性质6、b a 2为完全平方数的充要条件是b 为完全平方数.性质7、如果质数p 能整除a ,但2p 不能整除a ,则a 不是完全平方数.性质8、若2n <k <2)1(+n ,则k 一定不是完全平方数.这里,n k 均为非负整数。
性质9、一个正整数n 是完全平方数的充分必要条件是n 有奇数个正约数(包括1和n 本身).即平方数的正约数的个数为奇数。
性质10、平方数的个位数字为非零数字，若末几位数字相同，则该数字应为4.最多只有三位相同练习：1、求证:11,111,111,…,111…1(n 个1)这串数中没有完全平方数。
2、若2n 的十位数字是7，求其个位数字。
3、8k+7（k ∈N ）型自然数能否写成平方数的和。
解：8k+7=x 2+y 2+z 2，由性质知，x 2，y 2，z 2被8除余数只能为0，1，4x 2+y 2+z 2被8除只能余0，1，2，3，4，5，6，没有7 即8k+7≠x 2+y 2+z 2的形式4、 一个整数 a 与1512的乘积为完全平方数，求a 的最小值与这个平方数。
解：331512237=⨯⨯ 则23742a =⨯⨯= 1512×42=63504一、 平方数性质的应用例1、 试证：数列49，4489，444889，…，98884441 -n n 为平方数.证明 2749=,2674489=,2667444889=98884441 -n n 1888104441++⨯=-n n n 11118)1999(1114+⨯++⨯⨯= n n n11118111411191114+⨯+⨯+⨯⨯⨯= n n n n 1111121113622+⨯+⨯=n n2)11116(+⨯= n 217666-=n 即 98884441-n n 为平方数所以数列49，4489，444889，…，98884441-n n 每一项都是完全平方数.练习：1、证明：数列9604，996004，…，n n 04..0069...99的每一项均为平方数。
第9讲(学生)第1章 整式的乘除 两数和的平方
第9讲 乘法公式两数和的平方 学习目标：能根据完全平方公式的特点，正确运用完全平方公式进行简单计算学习重点：掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算． 学习难点： 综合运用平方差公式与完全平方公式进行计算．学习流程1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a 2=a ·a ，那么（a+b ）2 应该写成什么样的形式呢？（a+b ）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=__ p 2+2p+1； （m+2）2=_ p 2-2p+1__；（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________； （m-2）2=_______ 完全平方公式：（a+b ）2= a 2+2ab+b 2、 （a-b ）2=a 2-2ab+b 2两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍．回答问题．（1）公式的左边是什么形式？（2）公式的右边是什么形式？（3）公式的右边有多少项？（4）公式的右边的符号有什么特点？ 公式特点：1、积为二次三项式2、积中两项为两数的平方和；3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同。
首平方，尾平方，积的2倍在中央4、公式中的字母a ，b 可以表示数，单项式和多项式。
乘法公式中的完全平方，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同．相乘的结果是两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍，两者也仅差一个“符号”不同，运用完全平方公式计算时，要注意：（1）切勿把此公式与公式()222b a ab = 混淆，而随意写成()222b a b a +=+ ．（2）切勿把“乘积项”ab 2中的2丢掉．（3）计算时，要先观察题目是否符合公式的条件．若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算；若不能变为符合条件的形式，则应运用乘法法则进行计算完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+,记忆口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央， 加减看前方，同号加 异号减。
第九讲____完全平方数
第九讲 完全平方数完全平方数是数论中的一个重点知识，也是各大杯赛中常考的一个知识点。
这一讲学员需要掌握的主要是完全平方数的性质及灵活运用。
一、完全平方数的定义把一个自然数平方后所得到的数叫做完全平方数或平方数。
二、常用完全平方数表三、完全平方数性质1、平方数的尾数特征（通过列表的观察可得）性质1：完全平方数的个位只可能是0,1,4,5,6,9。
性质2：如果一个自然数介于两个连续的平方数之间，则这个数一定不是完全平方数。
性质3：若一个平方数的个位是6，则十位是奇数；若一个平方数的个位是0 若一个平方数的个位是52、平方数的余数特征 性质4：完全平方数除以3的余数只能是0、1。
完全平方数除以4的余数只能是0、1。
完全平方数除以8的余数只能是0、1、4。
完全平方数除以16的余数只能是0、1、43、平方数的因数特征性质5 性质6: 完全平方数的因数有奇数个。
4、平方数的差特征性质7：平方差公式： , 其中 和 的奇偶性相同。
四、完全平方数性质的灵活运用1、平方数的基础练习（1）不超过2010的最大的完全平方数是多少？估算 ， ，所以应该在40-50之间， ，所以不超过2010的最大的平方数应该是（2）一个平方数，它的最后三位数字相同但不为0，则该数最小是多少？性质1，个位只能是1,4,5,6,9，所以最小的应该是111,444,555,666,999，但用余数特称有都被淘汰所以最小只能是1111,1444,…，最后验证得到注：在这7个性质中5,6,7是各大杯赛的常考点， 性质1-4主要是用于判断一个数是否为平方数。
2、平方数的例题讲解例1、分析：肯定是发错了。
作业本的总数量如果是个完全平方数的话由性质1可知，平方数的个位只能是0、1、4、5、6、9，所以除以5的余数只能是0、1、4，而题每人5本最后余3本，所以不可能。
拓展练习：（1）1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6的结果是完全平方数吗？提示：不是，该式子的结果个位为1+2+6+4+0+0=3，（性质1）（2）我们知道：，，都是完全平方数，那么121+12321+1234321+ …+12345678987654321是不是完全平方数？提示：不是。
完全平方数
完全平方数什么是完全平方数在数学中，完全平方数是指可以表示成某个整数的平方的数字。
简单来说，完全平方数是一个整数乘以自己得到的结果。
例如，4、9、16和25都是完全平方数，因为它们分别是2、3、4和5的平方。
完全平方数的特点完全平方数具有一些独特的特点：1.所有正整数的平方根都是无限循环的小数。
不完全平方数的平方根是无限不循环的小数。
2.完全平方数的个位数只能是0、1、4、5、6和9。
如果一个数字的个位数不是这些数字中的任何一个，那么它就不是完全平方数。
3.完全平方数可以通过对一个整数的平方根进行取整来判断。
如果一个整数的平方根是一个整数，那么它就是完全平方数。
完全平方数的判断方法确定一个数字是否是完全平方数有多种方法：1. 数字求平方根的整数部分这是最简单的方法之一。
如果一个数字的平方根的整数部分等于原始数字，那么它就是完全平方数。
例如：import mathdef is_perfect_square(num):sqrt = int(math.sqrt(num))return sqrt * sqrt == numprint(is_perfect_square(16)) # 输出 Trueprint(is_perfect_square(27)) # 输出 False2. 利用完全平方数的规律完全平方数的规律是，完全平方数是连续奇数之和，也可以表示为从1开始的连续奇数的和。
例如：def is_perfect_square(num):i =1while num >0:num -= ii +=2return num ==0print(is_perfect_square(16)) # 输出 Trueprint(is_perfect_square(27)) # 输出 False这种方法的思想是，我们从1开始不断地减去连续的奇数，直到结果为0。
如果最终结果为0，那么原始数字就是完全平方数。
3. 二分查找我们可以利用二分查找的思路来判断一个数字是否为完全平方数。
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第9讲完全平方数第一部分基本知识点——这是重中之重一个自然数平方后所得到的数叫完全平方数，也叫平方数。
0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……都是完全平方数，同学们要数记前20个完全平方数。
观察这些完全平方数，可以得到完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数字只能是0，1，4，5，6，9。
推论：个位数是2，3，7，8的整数一定不是完全平方数；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。
性质3：完全平方数除以3余0或1；完全平方数除以4余0或1；。
性质4：如果一个完全平方数的个位数字是6，则是位数字是奇数。
性质5：完全平方数分解质因数后，每个质因数的次数都是偶数。
性质6：一个正整数如果是完全平方数，那么它有奇数个约数(包括1和它本身)。
一个正整数如果它有奇数个约数(包括1和它本身)，那么它是完全平方数。
约数个数为3的自然数一定是某个质数的平方。
性质7：平方差公式A2－B2＝（A＋B）（A－B），其中A＋B与A－B的奇偶性相同。
第二部分学案[学案1] 完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9，可是个位数字是0、1、4、5、6、9的不一定都是完全平方数，那么我们定义：个位数字是0、1、4、5、6、9且不是完全平方数的自然数为“伪平方数”，那么在两位数中，偶数与伪平方数那个多？分析：⑴两位数从10到99共90个，其中偶数90÷2＝45（个）。
⑵两位数中个位数字是“0、1、4、5、6、9”的有6×9＝54（个），其中完全平方数有16、25、36、49、64、81这6个，伪平方数有54－6＝48个。
⑶两位数中偶数45个，伪平方数48个，伪平方数比偶数多。
[学案2] 将16分解成若干个质数（可以相同）相加的形式，如果这些质数的乘积正好是平方数，那么这个平方数可能是几？分析：⑴要使这些质数的乘积是完全平方数，那么质数必须成对出现，我们把16分成8＋8的两组，每组用相同的方式分解成一些质数相加的形式即可。
8＝2＋2＋2＋2＝2＋3＋3＝3＋5⑵ 16＝（2＋2＋2＋2）＋（2＋2＋2＋2）＝（2＋3＋3）＋（2＋3＋3）＝（3＋5）＋（3＋5）（2×2×2×2）×（2×2×2×2）＝162＝256（2×3×3）×（2×3×3）＝182＝324（3×5）×（3×5）＝152＝225答：这个平方数可能是256、324、225．[学案3]一个房间里有100盏灯，用自然数1、2、3、4、……、100编号，每盏灯各有一个开关，开始时，所有的灯都不亮。
有100个人轮流进入房间，第一个人进入房间后，将编号为1的倍数的灯的开关按一下，然后离去。
第二个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一下，然后离去；如此下去，直到第100个人进入房间，将编号为100的倍数的灯的开关按一下，然后离去。
问：第100个人离开房间后，房间里那些灯还亮着？分析：⑴对于任何一盏灯，由于它原来不亮，那么，开关被按奇数次时灯是亮着的，开关被按偶数次时灯是灭着的。
⑵“一盏灯的开关被按的次数，恰等于这盏灯编号的约数个数”。
求哪些灯还亮着，就是求哪些灯编号的约数个数是奇数个。
显然，完全平方数有奇数个约数，所以用完全平方数编号的灯是亮着的。
在1～100这100个数中，完全平方数有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，所以当第100个人离开房间后，房间里还亮着的灯的编号是：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。
[学案4]两个完全平方数的差为51，且这两个完全平方数之间没有其他完全平方数，求这两个数。
分析：⑴设这两个完全平方数分别为A2、B2 ，且A－B＝1。
A2－B2＝51（A＋B）（A－B）＝51⑵得到A＋B ＝51A－B ＝1 解得A＝26；B＝25A2＝262＝676 ；B2＝252＝625第三部分课后训练，巩固知识点1、1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋7×8＋8×9＋9×10＋10×11＋11×12的结果是不是完全平方数？为什么？分析：不是！我们把每一项的个位数字相加：2＋6＋2＋0＋0＋2＋6＋2＋0＋0＋2＝22，相加和的个位数字是2。
完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9，个位是2的自然数不可能是完全平方数。
2、1×2＋3×4＋5×6＋7×8＋9×10的结果是不是完全平方数？为什么？分析：不是！我们首先考虑和的个位数字，2＋2＋0＋6＋0＝10，个位数字是0，有可能是完全平方数；另一方面，我们看总和除以4的余数：2＋0＋2＋0＋2＝6，6除以4余2，也就是说总和除以4余2，而完全平方数除以4的余数只能是0或1，余2的必然不是完全平方数。
分析：1×2＋3×4＋5×6＋7×8＋9×10最后的结果是190，190介于132＝169和142＝196之间，而132＝169和142＝196是两个相邻的完全平方数，因此190不是完全平方数。
3、240乘以一个非零自然数α，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么α的最小值是。
b的最小值是。
分析：240＝24×3×5，240×α结果是完全平方数，完全平方数的质因数必须成对出现，所以α最小值是3×5＝15。
240÷b结果是完全平方数，完全平方数的质因数必须成对出现，所以b最小值是3×5＝15。
4、400以内，有奇数个因数（约数）的自然数有哪些？这些自然数中因数（约数）最多的有多少个因数？分析：一个正整数如果是完全平方数，那么它有奇数个约数(包括1和它本身)。
一个正整数如果它有奇数个约数(包括1和它本身)，那么它是完全平方数。
400以内有奇数个因数（约数）的自然数有：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400，共20个，其中约数最多的是形如（α2b）2形式的自然数，有122＝144，182＝324，202＝400，它们各有15个约数。
5、是否存在一个自然数α，使得α＋13，α－13都是完全平方数？分析：假设存在一个自然数α，使得α＋13，α－13都是完全平方数。
并且设α＋13＝A2，α－13＝B2。
A2－B2＝（α＋13）－（α－13）＝26（A＋B）（A－B）＝26＝2×13A＋B与A－B的奇偶性相同，A＋B与A－B要么都是奇数，要么都是偶数，而它们的乘积26是偶数，说明A＋B与A－B都是偶数，而两个偶数的乘积必然是4的倍数，但是26除以4余2，自相矛盾，说明最开始的假设错误。
因此得出结论，不存在这样的自然数α，使得α＋13，α－13都是完全平方数。
第四部分补充题目，开阔视野1、一个整数，它的一半是一个完全平方数，且它的三分之一是一个完全立方数，则这个整数最小是多少？解：设这个整数为6α。
① 6α÷2＝3α是完全平方数，α可以表示为α＝3A2② 6α÷3＝2α是完全立方数，α可以表示为α＝22×B3。
③α＝3A2＝22×B3 B是3的倍数，B至少是3。
α至少是α＝22×B3＝4×33＝108，所求整数最小是6α＝6×108＝648。
648÷2＝324＝182， 648÷3＝216＝63答：所求的整数最小是648。
2、从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？解：⑴完全平方数，分解质因数后质因数必成对出现。
⑵ 72＝2×22×32＝2×62 乘以72后是完全平方数的数必是某个平方数的2倍。
2×312＝1922 1922符合要求，且1922＜20082×322＝2048 2048符合要求，但2048＞2008⑶符合要求的数共有31个：分别是2×12、2×22、2×32、2×42、……、2×312。
3、一个数减去100后是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？解：⑴设这个数为χ，这个数减去63后的差为A2，这个数减去100的差为B2。
根据题意χ－63＝A2χ－100＝B2⑵A2－B2＝（A＋B）（A－B）（χ－63）－（χ－100）＝χ－63－χ＋100＝100－63＝37（A＋B）（A－B）＝37×1⑶ A＋B＝37A－B＝1 解得：A＝19 B＝18χ－100＝B2χ＝100＋B2＝100＋182＝424答：这个数是424。
4、已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。
解：平方数分解质因数后质因数必成对出现。
3528a＝b23528a＝23×32×72 a＝2×422 a＝b2为了使质因数成对出现，a的最小值为25、两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？①设这两个完全平方数分别是A2和B2，则 A2－B2＝77，（A＋B）（A－B）＝77 ＝77×1＝11×7② A＋B＝77 A＋B＝11A－B＝1 A－B＝7A＝39 A＝9B＝38 B＝2③显然，当两个完全平方数分别是92＝81和22＝4时，它们的和最小，最小是92＋22＝85。