基于MRT-LBM的方腔流动局部加密算法
LBM算法原理简介
LBM算法原理
• 求解瞬态问题时，计算时间少，精度高 传统方法求解的控制方程对流项是非线性的，每一 个时间步都需要迭代收敛。传统软件计算瞬态问题 时，给定最大迭代次数，计算并未收敛，最终影响 求解精度，而且计算效率低。 LBM算法求解的Lattice-Boltzmann方程对流项是 线性的，不存在这方面的问题。 采用Powerflow计算瞬态问题，精度高，耗费时间 大为减少。
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1 T 2
为运动粘性, T 为温度
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LBM算法原理
• 粒子分布函数 f 满足Lattice Boltzmann方程： 1 fi x ei t , t t fi x, t fi x, t f i eq x, t
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LBM离散方法－2维问题
• D2Q9模型
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LBM离散方法－2维问题
• 平衡分布函数 fi eq
f
eq 0
（根据文献[3]）
4 3 2 1 2 u 9 2c
fi fi
eq
1 3 9 3 2 2 1 2 ei 4 ei 2 u u u 9 c 2c 2c 1 3 9 3 2 2 1 2 ei 4 ei 2 u u u 36 c 2c 2c
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LBM算法原理
• LBM方法将连续介质看作大量位于网格节 点上的离散流体质点粒子. 粒子按碰撞和迁 移规则在网格上运动,通过对各网格流体质 点及运动特征的统计，获得流体宏观运动 规律。 • 粒子分布函数f(r,e,t)drde表示在t时刻，在 空间r处，粒子的速度在e到e+de的粒子数 密度。
lbm 方腔自然对流程序
lbm 方腔自然对流程序自然对流是指在没有外力驱动的情况下，由于温度差异引起的流体运动。
在生活中，我们常常会遇到一些与自然对流有关的现象，比如水壶中的水会因热胀冷缩而产生热气上升的现象，热空气会从窗户朝外流出等等。
而在工程领域，我们需要对自然对流进行深入研究，以便更好地理解和应用这一现象。
为了更准确地模拟和预测自然对流的行为，科学家们开发了许多数学模型和计算方法。
其中，LB（Lattice Boltzmann）方法是一种非常常用的数值计算方法，特别适用于模拟复杂的流体运动。
LB方法将流体看作是由大量微小粒子组成的，通过在空间中构建一个网格来模拟流体的运动。
在这个网格中，每个微小粒子都有一定的速度和密度，并通过碰撞和散射的过程来描述流体的运动。
在研究自然对流的过程中，LB方法可以很好地模拟流体在容器内的温度分布、速度场以及压力场等。
通过调节初始条件和边界条件，我们可以模拟不同温度差异下的自然对流现象。
这对于很多工程问题来说具有非常重要的意义。
比如在建筑物的设计中，我们需要考虑到自然对流的影响，以便优化空调系统的设计，提高能源利用效率。
此外，在电子设备散热和核能工程等领域，自然对流也是一个重要的研究课题。
在实际应用中，LB方法的计算结果与实验结果和其他数值方法的结果进行对比，可以发现其准确性和可靠性。
同时，LB方法还具有较少的计算资源占用和较快的计算速度的优点。
这使得它在工程领域的应用非常广泛。
总之，LB方法是研究自然对流的重要工具之一。
通过模拟自然对流现象，我们可以更好地理解和预测流体的行为，并在工程实践中应用这些知识。
未来，随着计算技术的发展，LB方法还将进一步改进和应用于更多领域，从而促进工程科学的发展。
格子波兹曼方法
格子波兹曼方法
格子波兹曼方法（Lattice Boltzmann Method, LBM）是一种广泛应用于计算流
体力学领域的数值方法。
它基于分子动力学模型，通过离散化空间网格和时间步长来模拟复杂的流体流动问题。
格子波兹曼方法通过将流体宏观物理量离散化到网格上的节点，使用分布函数
描述流体粒子的运动。
流体粒子在相邻节点之间以一种特定的方式进行碰撞和传播，模拟流体的宏观行为。
格子波兹曼方法相对于传统的Navier-Stokes方程求解方法具有多个优势。
首先，它因其并行化的能力而广泛应用于高性能计算中。
其次，LBM的离散化框架使得
它在处理具有复杂边界条件和多相流问题时更加灵活。
此外，LBM对于非连续和
非均匀流体介质的模拟效果也相对较好。
格子波兹曼方法在各个领域都有广泛的应用。
在流体力学领域，LBM被用于
模拟自由表面流动、湍流现象和多孔介质中的流动行为。
在微观领域，LBM也被
用于模拟微观流体力学现象，例如微管流动和纳米颗粒悬浮体的输运行为。
除了流体力学领域，格子波兹曼方法还被应用于其他科学领域。
例如，它被用
于模拟热传导、传质过程、相变以及复杂物质的输运现象。
此外，LBM还被用于
模拟生物流体力学、地下水流动、大气动力学和地震波传播等问题。
综上所述，格子波兹曼方法是一个高效且灵活的数值方法，用于模拟复杂的流
体流动问题。
它在计算流体力学领域以及其他科学领域都有广泛的应用前景。
这种方法的进一步发展和应用将有助于我们更好地理解和预测流体行为，并解决相关领域的实际问题。
流密码详解ppt课件
自同步流密码(SSSC)
密钥流生成器是一种有记忆变换器 密钥流与明文符号有关：
i 时刻的密文不仅取决于i 时刻的明文，而且与i 时刻 之前的l个明文符号有关 具有有限的差错传播 具有自同步能力 把明文每个字符扩散在密文多个字符中,强化了抗统 计分析的能力
问：SSSC是如何自同步的？请email回应。
i F ( i1, k ), zi f ( i, k ), ci E (zi,m i). i:密 钥 流 生 成 器 的 内 部 状 态 0 :密 钥 流 生 成 器 的 初 始 状 态 k : 种 子 (初 始 )密 钥 F :状 态 转 移 函 数 f :密 钥 流 生 成 函 数
k
密钥流生成器
11
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
2.1 流密码一般模型
二元加法序列密码
明文序列: m= m1 m2 m3 …; 密钥序列: z= z1 z2 z3 …; 密文序列: c= c1 c2 c3 …; 加密变换: ci=zimi (i=1,2,3,…); 解密变换: mi=zici (i=1,2,3,…).
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
2.2 线性反馈移位寄存器序列
伪随机序列 考虑二元序列: a={ai}=a0a1a2a3 ….
周期序列
定义2.1 设a= (a0, a1,…,ai,…)是一个二元序列，若 存在正整数N和非负整数m，使得ai+N=ai对于任意i m成立，则称二元序列a是终归周期序列。如果 m=0，则称序列a是严格周期序列，简称周期序列。
方腔流动
边界条件
流函数边界条件：根据已知条件，在四个壁上流函数均为 0，上边界平板速度 1，根据不可 滑移条件确定流函数偏导数条件。
涡量边界条件，采用（1）：
（1）可以用 Taylor 展开建立一般形式的 Thom 公式。假设某壁面切向速度 v ，沿其内法
向 n 有一节点，距离壁面距离为 h, 此点上的流函数为1 ，如果壁面上的流函数值为 0 ，那么
0
(1
0 2h2
v h)
时间导数采用向前 Euler 法，空间导数项可以用中心差分格式离散
计算步骤 1、计算 n + 1 时刻内点的涡量，需要考虑时间步长和空间步长和粘性项的关系。
2、计算 n + 1 时刻的流函数 n1 ，超松弛迭代法，松弛因子为-1.8。
3、计算 n + 1 时刻边界上的涡量
计算流体力学作业
题目
方腔流指顶部平板以恒定速度驱动规则区域内封闭的不可压流体（例如水）的流动，在方 腔流的流动中可以观察到几乎所有可能发生在不可压流体中的流动现象，如图 1 所示方腔流计 算模型图。
图 1 方腔流动示意图 流函数-涡量法以流函数和涡量为未知量，可以消去控制方程中的压力项。根据差分法编写 程序计算方腔流动。 控制方程
-0.5
0
0.5
1
1.5
3.995s 方腔速度矢量图
0
0.5
1
x0=0; x1=1; dx=(x1-x0)/(N-1); %空间步长 y0=0; y1=1; dy=(y1-y0)/(M-1); %空间步长
Thom 公式
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
0.2
0.4
lbm波尔兹曼算法
波尔兹曼方法基本原理格子Boltzmann 方法是使用简单的微观模型来模拟流体的宏观行为的一种新的方法。
格子Boltzmann 方法是建立在微观粒子运动论基础上的数值计算方法。
其求解过程一般需要通过编程来实现！一般来说研究流体的行为有两种方法：一种是从宏观的角度出发，假设流体连续分布于整个流场，注入密度、速度、压力等物理量均是时间可空间的足够光滑的函数。
另一种是从微观的角度，从非平衡统计力学的观点出发，假设流体是由大量的微观的例子组成，这些例子遵守力学定律，同时服从统计定律，运用统计的方法来讨论流体的宏观性质。
然而流体是由大量的粒子组成的，当我们从宏观的角度研究流体行为的时候，并没有涉及到单个粒子的行为。
通常我们所感兴趣的事代表某个点的宏观量，例如密度、速度、压力。
根据连续性假设我们可以推导出N-S 方程，并且利用数学上的微积分知识来求解，然而由于N-S 方程是高度非线性化的偏微分方程，仅仅一些具有简单变界或者比较严格物理闲着的现象才能够得到理论分析界，如果从微观的角度了研究单个粒子的真是行为，对于一个包含大量例子的系统来说粒子的运动方程往往是得不到解的。
统计学可以考虑整个系统所有的状态以及处理这个状态的概率来解决这些困难，对于稀薄气体所得到的就是Boltzmann 方程，但是得到的方程还不够，我们还要借助于统计方法得到流体的宏观性质，这就要求解Boltzmann 方程，然而Boltzmann 方程是一非线性微分方程，一般情况下严格求解也是非常困难的。
格子气方法是近年来发展起来的模拟流体力学以及其他系统的比较新的方法，格子气自动机模拟流场，就是将流体及其存在的时间和空间完全离散，给出离散的流体粒子之间相互作用以及迁移的规则。
流体只存在于空间网格上，用一系列布尔变量,.....,2,1)(,(b i t x n i =来描述在时刻t 位于x 处节点的每一个速度方向是否有粒子存在，其中b 表示每一个节点的速度方向的数目，粒子在每一个时间步长的演化包括两部分：()a 迁移，粒子沿它的速度方向向距离最近的节点运动；()b 碰撞，当不同的粒子同时到达某个节点时，按照一定的碰撞规则发生碰撞并改变运动的方向，格子气模型具有两重意义：()a 尽可能建立一个简单的模型是指能够用来模拟一个有大量粒子组成的系统；()b 反映粒子真实碰撞的本质，这样经过长时间我们可以获得流体的宏观特性。
lbm泊肃叶流动算例复现 -回复
lbm泊肃叶流动算例复现-回复LBM泊肃叶流动算例复现引言：LBM（Lattice Boltzmann Method，格子–玻尔兹曼方法）是一种强大的数值模拟方法，广泛应用于流体力学和热传导的模拟研究中。
其中，泊肃叶流动是流体力学中的经典问题，通过复现LBM泊肃叶流动算例，我们可以深入理解LBM的基本原理和应用。
第一步：了解原理在正式开始复现算例之前，我们需要了解一些基本的理论知识。
泊肃叶流动是指一种在圆柱外表面上产生的定常旋转流动，其中由于黏性效应，流体粘附在圆柱表面，并在表面形成一个边界层，不同于背景流体的速度也会随着距离表面的增加趋于背景速度。
第二步：建立计算模型为了复现LBM泊肃叶流动算例，我们需要建立一个合适的计算模型。
在LBM中，我们使用格子上的速度分布函数来模拟流体的运动。
对于泊肃叶流动，我们可以采用D2Q9速度模型，其中格子上有9个速度分布函数。
第三步：求解宏观量在LBM中，我们通过离散求解玻尔兹曼方程来计算速度分布函数的演化。
首先，我们需要计算格子上的宏观量，如密度和速度。
对于泊肃叶流动，由于该流动是定常流动，所以不需要迭代求解，我们可以直接计算宏观量。
第四步：边界条件处理在模拟泊肃叶流动时，我们需要处理边界条件，即圆柱的表面边界和流体的进出口边界。
对于圆柱表面，我们可以使用粘滞壁面条件，即表面的速度等于圆柱速度。
对于进出口边界，我们可以使用强出弱入条件，即进口速度恒定，出口速度根据宏观量计算。
第五步：迭代求解通过以上步骤，我们已经建立了LBM泊肃叶流动的计算模型，并处理了边界条件。
接下来，我们需要进行迭代求解，不断更新速度分布函数，直到收敛为止。
在每一次迭代中，我们需要计算新的宏观量并更新速度分布函数。
第六步：计算结果分析在完成迭代求解后，我们可以得到泊肃叶流动的计算结果。
通过分析结果，我们可以得到流体的速度、压力分布以及圆柱表面的剪切力等信息。
这些结果可以帮助我们进一步理解和研究泊肃叶流动的特性。
格子Boltzmann方法原理及其应用
格子Boltzmann方法原理及其应用摘要在上世纪八十年代后期提出的格子Boltzamnn方法克服了格子气方法的缺点，其本身也在不断的发展之中.格子Boltzamnn方法在流体运动计算方面展现了非凡的风采，成功地模拟了包括均相不可压缩湍流和多孔介质中的多相流动在内的流体动力学问题.但和成熟的流体动力学计算方法相比，特别在工程实际应用上，该方法还有许多值得研究的地方.本文主要介绍工程实际应用时，具体模型的选择问题.首先从理论上对应用最为广泛的几种基本模型进行了详尽的分析和比较.选择了Poiseuille流动，然后从计算精度、数值稳定性和收敛速度这几个方面进行了细致的比较.从理论和实验两个角度验证了D2G9模型的优越性，为工程实际应用上模型的具体选择提供了一定的参考依据.通过研究二阶精确的格子Boltzamnn模型，提出了非牛顿流体.非牛顿流动性是使用幂法则模型实现的.它可以估算出模型的精确程度，同时不会限制这个模型.二阶精度由剪切变稀和剪切增稠液体的幂法则模型参数范围给出.这些结果与Gabbanelli等人的结果相比，精确度更高，并且得到了更快的计算效率.结果表明了格子Boltzamnn方法适用于非牛顿流体模拟.对于实际流动模拟，本文应用二维9速度模型模拟了四种情况的方柱绕流问题.在第一种情况中，单个方柱位于流场中央，给出了流线图，等涡线图，模拟了卡门涡街现象，并计算了升、阻力系数，Strouhal数等参数；在第二种情况中，计算细长矩板截面柱绕流问题，得到了Strouhal数随着矩形长宽不同的比值下的变化情况；在第三种情况中，两个方柱并列位于流场中央，考察了方柱间距对于流场的影响；在第四种情况中，计算了水平来流为剪切流的方柱绕流问题，比较了速度梯度取不同值下流场的变化情况.所有有关力的求解均采用动量转换法.所得结果，包括流线、等涡线、升/阻力系数曲线等均与已有文献的实验或数值结果基本一致，显示LBM方法及其力的求解方法——动量转换法是有效的，能够精确的模拟各流场.其次，我们还引入一种两相耦合机制对D2G9模型进行了修正，从而使之可以正确处理气固两相流中输运相和颗粒相之间的相互作用.随后，我们模拟了后台阶流动，并和传统CFD方法的模拟结果以及修正其他模型的模拟结果进行了验证，得到了令人满意的结论.从一定程度上验证了两相耦合机制的可行性.通过软件模拟获得了水包油、过渡流型和油包水三种流型的典型模拟图.经分析发现：由软件模拟的流型特点和由探针获得的流型特点具有较好的一致性.在本文最后，我们介绍了以经典算例一方腔流为例，对格子Boltzamnn方法的核心代码进行了优化的方法，主要讲述对时间和空间上的优化，优化的程序使计算效率提高数倍.在并行的框架下，核心演化的代码换为优化后的程序，计算效率有大幅度的提高.关键词：格子方法；格子Boltzamnn 方法；格子气自动机；格子Boltzamnn模型.AbstractIn the latter of 80’s，the Lattice Boltzamnn Method（LBM）was introduced mainlyto cope with major drawbacks of its ancestor，the Lattice Gas Automata（LGA）．Eversince，it has undergone a number of refinements and extensions which have taken it tothe point where it can successfully compute a number of non trivial flows，raging fromhomogeneous incompressible turbulence to multiphase flows in porous geometries．Yet，when compared with conventional computational fluids dynamics methods，such as finiteelement，finite difference，it is apparent that there is still a way to go before LBM canachieve full engineering status．In this paper，we mostly focus on the choice of the basic LB models in theengineering application fields．Firstly，we expatiate the basic LB models in theory．Then，we simulate the Poiseuille flow with those basic LB models．And wecompare the simulation results from the computation precision、the numerical stabilityand the convergence rate．Finally，we draw a conclusion that the D2G9 model is the bestchoice in the engineering application fields．Simulation of Flow past square cylinder with LB Method.For the simulation of actual flow，we use D2Q9 investigate fourcases of flow past square cylinders in this paper.For case 1，one singlesquare cylinder is located at the center of the channel，we describe thestreamline contour，vortices contours，simulate the Karman vortex，then compute the lift coefficient，drag coefficient，Strouhal numbersetc.For the case 2，simulate the flow past a cylinder of rectangularcross-section;compute the change of Strouhal numbers varying withthe side ratio.For case 3:two square cylinders arranged side by side inthe center of the channel，the flow features at different spacing ratiosare studied.For case 4:we compute the linear shear flow over a squarecylinder，compare the evolution of flow with different velocitygradient.The results of thesimulation including the streamlines，vorticity contours，lift and drag coefficients etc.are agreed with thoseof available literatures，and show that LB method and itsmomentum-exchange method can achieve accurate results and obtainthe reasonable flow in detail.we employ a two-way coupling mechanisms to modify theD2G9 model．With the modified D2G9 model，we can handle with the interactionsbetween carrier phase and dispersed phase in the model．Then，we simulate abackward-facing step model，and the results are compared qualitatively with the result ofthe traditional CFD method and the other modified LB models．Though the comparison，we can see that the two-way coupling mechanisms can handle with the gas-solid twophases flows successfully．Three kinds of flow pattern，which are oil-in-water flow，transitional flow andwater-in-oil flow，have been got by simulation.According to the result of simulation，theoil-water two-phase flow pattern transition boundary model has been got by.By the analysisof simulation，the characteristic of three kinds of flow pattern of vertical oil which has beengot by analysis of the signals is consistent with results by simulation.We take the classical problem-cavity flow as an example and optimize the kerne codes of the LBM. The optimization include two aspects :time and space .The efficiency of the optimized code increased much more .In the parallel frame，the efficiency also increased if the kernel code is taken the optimized code.Key word：1atrice method；1atrice bohzmann method；lattice gas automata;LBM目录第1章概述 11.1研究格子 Boltzamnn方法的意义 11.2 格子 Boltzamnn方法的发展历程 31.2.1孕育阶段 31.2.2 萌芽到成长阶段 31.3 格子 Boltzamnn方法应用概况及优缺点 51.3.1格子Boltzamnn方法应用概况 51.3.2格子Boltzamnn的优缺点 61.4本论文的研究目的 81.5 相关研究的综述与专注情况 8第2章格子Boltzamnn方法介绍 102.1 Boltzamnn方程的产生 102.2细胞自动机（CA） 112.3格子气自动机（LGA） 122.4格子Boltzamnn方法（LBM） 132.5 格子Boltzamnn的基本结构 162.6本章小结 17第3章格子Boltzamnn方法的基本模型比较 183.1 格子 Boltzamnn 方法基本模型概述 183.2 进行常压力梯度驱动的Poiseuille流动模拟比较几种基本模型 23 3.3本章小结 27第4章格子Boltzamnn方法的算法设计 284.1格子Boltzamnn方法的算法实现 284.2格子Boltzamnn方法的高效算法设计 304.2.1优化算法 304.2.2优化实验 324.3 本章小结 34第5章格子Boltzamnn方法的实际应用 355.1二阶精确格子Boltzamnn非牛顿流体的流动模拟 35 5.1.1理论背景 355.1.2方法和计算结果分析 385.1.3 本节小结 405.2 格子Boltzamnn方法的方柱绕流模拟 405.2.1 单个方柱位于流场中央的绕流问题 405.2.2 细长矩形截面住绕流问题 425.2.3 两个并列方柱的绕流问题 445.2.4来流为剪切流的绕流问题 495.3格子Boltzamnn方法模拟气固两相流 515.3.1对气固两相流的模拟模拟对象简介 515.3.2 计算结果分析 545.3.3本节小结 565.4 格子Boltzamnn方法模拟油水两相流软件设计 565.4.1 LBM油水两相流的关键因素选取 575.4.2 软件的设计 605.4.3 本节小结 635.5 简述格子Boltzamnn方法在其他领域中的应用 645.5.1 颗粒悬浮问题的模拟 645.5.2 热导和对流—扩散问题的模拟 645.5.3 偏微分方程的模拟 655.5.4 多相流和多元流的模拟 65结论及展望 67参考文献 68第1章概述1.1研究格子Boltzamnn方法的意义自从二十世纪四十年代出现了第一台电子计算机以来，人们开始进入了电子信息时代.随着高存储、高速度计算机的出现，人们所能解决的问题也越来越广泛，同时所面临的问题也越来越复杂.在对流动现象的研究中，以往人们大部分依靠的是解析方法，但所解决的问题非常有限.而现实生活中所面临的流动问题往往十分复杂，如航空航天器的亚跨超音速飞行、舰船的航行等等，依靠解析的方法来解决这些复杂的流动现象是不可能的.到现今为止，人们对流体运动的研究主要靠实验方法和数值计算方法.实验方法具有直观、结果基本可靠的特点.但也存在较大的缺点：耗费大、周期长，并且结果受实验条件的影响也较大，尤其是如今的航空航天飞行，速度高、飞行条件复杂，用风洞来模拟困难是相当大的.而流体的运动可以由一组偏微分方程描述.在大多数情况下，这些方程（如N-S方程）都是高度非线性的，采用解析的求解方法是不实际也是不可行的.随着大型计算机的出现，使人们可以借助于计算机用数值计算方法来解决复杂的流动问题.因此，在二十世纪六十年代，用数值方法分析求解流动问题的学科——计算流体力学（CFD）逐渐发展起来.伴随着电子计算机的飞速发展以及各种新颖算法的不断出现，CFD已经形成了一门独立的学科，并且在航空航天、船舶、大型能源装置（如核电站）、新型交通工具、海洋工程、环境保护等众多工程技术部门和领域都得到了广泛的应用.随着计算技术的发展、巨型计算机的出现、计算方法的不断改进，计算流体力学在解决流动的理论和工程实际问题中愈加显示出它的巨大作用.目前，计算流体力学已经成为现代计算科学的最有力的推动力之一.在计算流体力学中，传统的数值模拟方法可以分为两大类：（1）从宏观角度出发，基于连续介质假设，采用数值计算方法，求解全位势方程或Euler方程或N-S方程；（2）从微观角度出发，采用分子动力学的方法，对流动进行数值模拟.其中，格子Boltzamnn方法就是典型的一种.格子Boltzamnn方法（Lattice Boltzamnn Method，LBM）1.1.2格子Boltzamnn法（lattice Boltzamnn method）起源于格子气自动机（Lattice Gas Automata，LGA）.LGA方法是元胞自动机（Cellular Automata，CA）在流体力学中的具体应用，是空间、时间和速度空间都离散的一个虚拟微观模型，与以连续微分方程为基础的宏观计算流体力学方法有着本质的不同.LGA的微观特性使得它的边界条件非常容易实现，并且计算也很简单.因此，LGA方法非常适于处理边界复杂的问题.更为重要的是，LGA的计算具有局部性和并行性，非常容易在并行机上实现.LGA的出现不但为并行计算提供了许多新思想，而且对并行计算机制造技术产生了重要的影响.但是，LGA方法也有许多不足之处.例如，由于含有随机因素，LGA的计算结果往往包含很大的统计噪声，LGA的宏观方程也不是标准的流体运动宏观方程.格子Boltzamnn方法是为克服LGA方法的一些内在不足而发展起来的一种新方法.LBM不但克服了LGA的缺点，继承了LGA的主要优点，而且还有许多新的优点，如计算量小、计算效率高、编程简单等.LBM的产生与发展，不仅在计算流体力学领域中产生了深远的影响，它所使用的处理方法和观点对其他许多学科也是富有启发性的.格子Boltzamnn法是一种应用非连续介质思想研究宏观物理现象，并可平行运行，求解流体力学问题的新方法.它是由格子气自动机（lattice gas automata，简称LGA）方法发展而来的.该法把流体及其存在的时间、空间完全离散，把流体看成由许多只有质量没有体积的微小粒子组成，所有这些粒子同步地随着离散的时间步长，根据给定碰撞规则在网格点上相互碰撞，并沿网格线在节点之间运动.碰撞规则遵循质量、动量和能量守恒定律.流体运动的宏观特征是由微观流体格子相互碰撞并在整体上表现出来的统计规律.该法是直接从微观模型出发，经过Boole化处理后进行计算，可认为是N-S差分法逼近的一种无限稳定的格式.被广泛应用于复杂几何边界流体流动、多孔介质流、多相流及反应流等.格子气自动机的基本思想是，把计算区域分成许多均匀的正三角形（或正方形）的网格，而那些只有质量无体积的粒子只能在网格点上存在，并沿着网格线在网格间运动.当某一个粒子从某一网格点到邻近的网格点时，有可能和从其他网格点到达该点的粒子相碰撞.根据Pauli不相容原理，在同一时刻同一点上，沿着每一网格线运动方向最多只有一个粒子，流场中的粒子速度不是0（静止）就是1（设格子边长及时间间隔都为1）.以三角形网格为例，每一个网格上在某一时刻，其周围的6个网格上粒子沿着网格线聚集到该点，加上该点可能还有一个静止粒子，这样，可能有7个粒子在该点发生碰撞，然后根据碰撞规则再散射出去，演化为新的运动粒子流向各节点的邻居，形成格子气自动机.1986年MeNamaxa和Zaneltti，提出把格子气自动机中的整数运算变成实数运算，建立了格子Boltzamnn 模型，克服了格子气自动机的数值噪声的缺点.后来陈十一和钱跃宏采用了单一时间松弛方法，满足了各项同性，GalIean不变性，并得到了独立于速度的压力项．使格子Boltzamnn模型保留了格子气自动机的优点，克服了其不足，并在理论分析和数值模拟方面都具有很大灵活性，而且程序编制简单，计算效率较高.从格子Boltzamnn方法诞生至今天已有20年，20年间，其在理论和应用研究等方面都取得了迅速发展，并逐渐成为在相关领域研究的国际热点之一，受到国内外众多学者关注.与之传统模拟方法不同，格子Boltzamnn方法基于分子动理论，具有清晰的物理背景.该方法在宏观上是离散方法，微观上是连续方法，因而被称为介观模拟方法.在许多传统模拟方法难以胜任的领域，入微尺度流动与换热、多孔介质、生物流动、磁流体、晶体生长等，格子Boltzamnn方法都可以进行有效的模拟，因此它被用于多种复杂现象的机理研究，推动了相关学科的发展.可以说，格子Boltzamnn方法不仅仅是一种数值模拟方法，而且是一项重要的科学研究手段.此外，格子Boltzamnn方法还具有天生的并行特性，以及边界条件处理简单、程序易于实施等优点.可以预计，随着计算机技术的进一步发展，以及计算方法的逐渐丰富，格子Boltzamnn方法将会取得更多成果，并为科技发展发挥更重要的作用.1.2 格子Boltzamnn方法的发展历程格子Boltzamnn方法自诞生至今年已取得了长足发展，被誉为现代流体力学的一场变革.1.2.1孕育阶段：对格子Boltzamnn方法发展使得了解，得先从格子自动机说起.格子气自动机使更广泛的元胞自动机在流体学中的应用.元胞自动机是一个时间和空间离散的数学模型.20世纪60年代，Broadwell等人首先提出了离散速度模型，用以研究流体中的激波结构.20世纪70年代，为了研究流体的运输性质，法国的Hardy、Pomeau和Pazzis提出了第一个完全离散模型，该模型命名HPP模型.这是历史上的第一个格子气自动机模型.1986年，法国的Frisch、Pomeau和美国的Hasslacher提出具有足够对称的二维正六变形格子气自动机模型，，命名为FHP模型.由于这些方法在还处在一些缺点：（1）有格子气自动机演化方程推导出来的动量方程不满足Gaililei不变形；（2）流体状态方程不仅仅依赖于密度和温度，还与宏观流速有关；（3）破装蒜子具有指数复杂性，对计算量和存储量也有较大要求.因而，我们将这一段格子气自动机的发展过程称作格子Boltzamnn方法的孕育期.1.2.2 萌芽到成长阶段：自1988年底一篇关于格子Boltzamnn方法的论文出现至今，格子Boltzamnn方法从萌芽逐渐成长壮大，并成为目前一大国际研究热点，受到越来越多学者的关注.1988年，McNamra和Zanetti提出把格子气自动机中的Bool运算变成时数运算，格子点上的粒子数不是用整数0或1来表征，而是用实数f来表示系综平均后的局部粒子分布函数，用Boltzamnn方程代替格子气自动机的演化方程，并将该模型用于流体的数值计算.这是最早的格子Boltzamnn模型，从此开启了格子Boltzamnn方法的历史大门.1989年，Higuera和Jimenez提出了一种简化模型：通过引入平衡分布函数，将碰撞算子线性化.该模型不需要碰撞模型，并忽略各自粒子间的碰撞细节，相比于多粒子碰撞模型，容易构造.同年，Higuera等进一步提出了强化碰撞算子方法，以增加模型的数值稳定性.这两模型统成为矩阵模型.经历了上述两类模型，格子Boltzamnn方法消除了统计噪声，克服了碰撞算子指数复杂性，但是由于依然使用Fermi-Dirac平衡态分布函数，格子气自动机的其他缺点仍然存在.1991年，Chen等提出了单松弛时间法，用同一个时间松弛系数来控制不同例子靠近各自平衡态的快慢，进一步简化了碰撞算子；Qian等人在1992年也提出了类似的方法，称之为格子BGK（LBGK）模型.LBGK模型与矩阵模型类似，但与前面两种模型不同的是，当粒子种类数增加时，碰撞算子本身发生生变化，不会变得复杂.至此，格子Boltzamnn方法完全克服了格子气自动机的一系列缺点，并逐渐成熟，成为国际研究的热点.早期的格子Boltzamnn模型只能用于等温不可压缩流动的模拟.但因为存在可压缩效应，会引起一定的误差.为了消除或强敌有可压缩效应引起的误差，许多学者致力于新的格子Boltzamnn模型的研究，并提出了多种等温不可压模型.而后，一些不可压缩热模型成功实现了对有效范围温度变化的热力学和传热学问题的模型.其中，最成功的要数双分布函数模型.他是在密度分布函数的基础上引入了温度分度函数、或内能分布函数、或总能分布函数，并用密度分布函数演化得到速度场，这类模型具有与等温不可压模型相同的数值稳定性，而且可以从根本上解决压缩功和耗热问题.边界处理方面，经历了20年的发展，格子Boltzamnn方法已逐渐发展出适合不同边界条件、不同模型的边界处理格式.网格划分方面，最初的格子Boltzamnn方法是基于正六边形或正四边形的均匀对称网格.由于均匀网格在计算效率、计算精度等方面的不足，从而促进了非均匀网格、多快以及多重网格、无网格等多技术出现.总的来说，这些网格技术延展了格子Boltzamnn方法的应用范围，使得格子Boltzamnn方法主机去年从理论的神殿走向更可能多的实际应用领域.1.3 格子boltzamnn方法应用概况及优缺点1.3.1格子boltzamnn方法应用概况与传统的宏观数值方法相比，具有介观特性的格子Boltzamnn方法其主要优点是物理图像清晰、便捷容易处理以及并行性能好等.因而自诞生之日起，格子Boltzamnn方法就得到了国内外学术界的广泛关注，并寄希望该方法能再注入为尺度流体、多相流、多孔介质内流动与换热、化学反应流等传统法就延受限的领域取得开拓性进展.事实上，在20年的发展过程中，格子Boltzamnn方法的确也已成一个十分活跃极具发展前景的模拟手段.并迅速在微/纳米尺度流、多孔介质流、多相多质流、非牛顿流体、粒子悬隔i浮流、湍流、化学反应流、燃烧问题、磁流体、晶体生长等许多领域得到应用.下面分别以多孔介质流、多相流和非牛顿流体三个方面为例，做较详细说明.由于格子Boltzamnn方法边界条件易于实施，在模拟具有复杂几何构型的问题具有较大的优势，因而这个方向的发展非常迅速.目前，采用格子Boltzamnn方法对多孔介质流进行模拟主要在空隙尺度和代表单元尺度上进行.在孔隙尺度上，可以直接使用格子Boltzamnn方法描述孔隙内的流体流动，多孔介质则当做固体壁面，流体与介质相互作用使用边界处理格式来描述.在多相流方面，由于真实的流动问题常常是多相的，因而对其开展研究具有重要的现实意义.由于格子Boltzamnn方法的介质特性，它可以方便地描述数流动中不同相之间的相互作用，因而在多相流领域具有较好的应用前景.按照设计方法的不用，现有模拟多相流的格子Boltzamnn模型可分为四大类：着色模型、伪势模型、自由模型和其他模型.格子Boltzamnn方法在非牛顿流体领域的应用刚刚起步，主要研究对象是非牛顿幂律流体.Aharonov等最早提出使用矩阵碰撞该算子来计算幂律流问题，即在每一个时步内，调整碰撞算自来该表局部的动力学黏性系数.Boek用该模型模拟了幂律流体在简化多孔介质中模型的流动，模拟结果与达西定律符合良好.最近，Gabbanelli又对上述模型进行了改进，引入分段幂律方程描述剪切率和表现黏度的关系.以上可看出，到目前为止，格子Boltzamnn方法的研究者主要局限在科学界.尽管如此，随着格子Boltzamnn 方法理论体系逐渐完善，以及计算机技术的进一步发展，格子Boltzamnn方法也会走向更加广泛的工业实际应用中.1.3.2格子Boltzamnn的优缺点流体力学的理论描述通常建立在纳维--斯托克斯方程的基础上，作为流体力学的基石，它已处在了一个多世纪.在通常尺度下，|人们对此方程的物理可靠性即准确性并不抱异议.理论上人们一般通过求纳维--斯托克斯方程及其各种简化形式的途径来处理复杂的流体力学问题，现行的计算流体力学研究也主要是围绕着纳维--斯托克斯方程的计算方法展开的.然而，基于其本质上的非线性以及边界条件处理的困难，除少数简单问题外，解析和数值求解纳维--斯托克斯方程都是极具挑战性的任务.除了求解的困难外，作为一种对流体物理的描述，与描述经典力学运动的牛顿运动方程，或与描述量子力学运动的薛定谔方程等原理方程不同，纳维--斯托克斯方程是从更根本的原理性方程出发，在合理地假定某些物理机制可以忽略后，经过统计平均得到的.本质上纳维--斯托克斯方程当然不可能描述那些被忽略了的物理机制带来的宏观现象，比如流体系统中的相变、非牛顿的本构关系以及在分子运动自由程尺度上的物理现象，在这些领域，纳维--斯托克斯方程明显的显示出了他的局限性.从20世纪80年代末开始，一种对于流体力学的全新的理论表相及有效的计算方法初步形成，这就是现在人们通常所谓的格子Boltzamnn方法.关于格子Boltzamnn方法的早期发展，上文已有较全面的综述，在此仅作简单介绍.从历史角度来讲，格子Boltzamnn方法最初是从所谓的格子气模型演化而来的，而后者是一种抽象简化的分子运动数学模型.格子Boltzamnn方法最初的引入有两个主要原因：一是为了降低模型导致的数值噪音；而是能够克服格子气模型里处在的非物理缺陷.可以证明，格子Boltzamnn系统的宏观表象基本满足纳维--斯托克斯方程.从而，人们可以模拟格子Boltzamnn系统地方法来间接地解纳维--斯托克斯方程.标准格子Boltzamnn方程一般用一下的数学表达式描述：式中——粒子分布函数；——碰撞项.用格子玻尔兹曼模型进行流体的数值模拟有一些明显的优越性．如，它的对流（advection）过程是通过常数值速度实现的．这相应的计算是一项极其简单的操作步骤．当适当的格子网格选定后，该过程通常可以用完全平移的方式实现．用计算数学里的常规有限插值语言来讲，它对应于上风插值．但所不同的是其对应的柯郎数（Courant Number）等于1．相比之下，纳维——斯托克思方程的对流项是一个随时空变化的非线性函数．众所周知，对于它的计算不是一项简单的事，并且，数值稳定性的要求迫使人们在实际问题的计算中只能使用比1小得多的柯朗数．在给定空间分辨度的情况下，小柯朗数意味着小时间步长，从而大大延长了计算时间：同时，小柯朗数也增大了数值扩散误差，迫使人们采用更高精度格式或隐式格式．其后果是，或者算法变得极为复杂，并行效率大大降低；或者计算只限制在处理定常流的情况下．事实上，定常流是对流动情况的极大限制．许多重要的流体力学问题，如分离流，即使我们只关心它的时间平均的结果，也是不能用定常流假设来近似的．在此我们也要提一下格子玻尔兹曼方程的另一个本质特性：所有非线性效应在格子玻尔兹曼方法里都包含在碰撞项中，并且是以纯粹局部信息的方式体现的．这进一步发挥了并行计算的长处．所有这些理由意味着格子玻尔兹曼方法是对非定常流动实行大规模并行模拟计算的一种比较优越的方法．相比之下，以流体力学方程（纳维一斯托克思方程或Burnett类型方程）宏观描述为基础的传统计算方法对许多这类问题存存基本困难．除边界条件之外，利用各种封闭性假设推导出的超越纳维一斯托克思的宏观方程直至现今仍存在对其数学规范性的疑问和争议，多相流的计算也存存同样问题．众所周知，流体系统中存在多相的物理机制是分子问的长程作用力，这种机制早已超出了流体力学方程所能描述的物理现象范围．以流体力学方程为基础的多相流计算方法必须依赖额外的模型来模拟流体力学方程本身所不包含的物理现象．除了实际数值结果显示的问题之外，这种方法本质上隐含着严重的基本物理缺陷，这种缺陷集中表现在对相交界面的准确描述上面，即在十分尖锐的相界面附近，纳维一斯托克思方程之类近平衡态的近似表象是有相当疑问的．这也反映在相界面和兀滑动（no—slip）固体边界条件的互斥性上面，为了修补这一缺憾，人们不得不引入各种滑动经验模型.反之，以细观（mesoscopic）为表象基础的格子玻尔兹曼方法可容忍更大的非平衡态程度及更广义的严格边界条件．另外，压力的状态方程在细观表象中是由粒子的相互作用自然得出的，而不用直接输入和处理．在相变情况下，物体的宏观特性将产生不连续性，而对应的微观和细观力学机制并无改变．格子玻尔兹曼方法在模拟多相流上有着广泛的使用.然而，这种为大多数人所熟悉的格子玻尔兹曼方法的理论框架存在本质上的缺陷．由于它运用逆向切普曼一安斯柯格展开的途径来适定平衡态分布函数中的关键参数，以达到复建宏观物理体系的目的，这就使其。
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基于MRT-LBM的方腔流动局部加密算法陈颂英;汪超;曲延鹏;王润堃【摘要】使用多参数弛豫模型的格子玻尔兹曼方法及D2Q9模型,对方腔流顶盖下方左右奇异角落处应用局部网格加密模拟方腔流动特性.在粗细网格界面上,建立了分布函数的转换公式,采用3次样条插值计算加密界面上插值点的参量,根据Chapman-Enskog分析,给出了应力计算公式.数值计算结果表明:对雷诺数1000的方腔流动,沿腔中心线的速度分布与经典文献结果对比效果良好,压力、涡量轮廓图的噪声明显降低,应力振荡明显减少,证实了所提局部加密方法的有效性.%Employing the D2Q9 model, grids at the double singular corners were locally refined to investigate the flow peculiarity of the lid driven cavity based on the multi-relaxation time of lattice Boltzmann method (MRT-LBM). The transferring formulae of the distribution functions were established between the coarse and fine grids. Parameters were interpolated with cubic spline implementation on the refined layers, and the stress expressions were given on the basis of the Chapman-Enskog. For the cavity flow with the Reynolds number 1 000,the simulation results showed that the velocity distribution along the cavity mid plane agrees with that of the classical benchmark very well,the noises on the pressure and vortex contours are significantly reduced,and the stress fluctuation obviously decreases. The computational results showed validation of the present method.【期刊名称】《东北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)004【总页数】5页(P538-542)【关键词】格子Boltzmann;多参数弛豫模型;局部网格加密;方腔;D2Q9模型【作者】陈颂英;汪超;曲延鹏;王润堃【作者单位】山东大学高效洁净机械制造教育部重点实验室,山东济南 250061;山东大学高效洁净机械制造教育部重点实验室,山东济南 250061;山东大学高效洁净机械制造教育部重点实验室,山东济南 250061;山东大学高效洁净机械制造教育部重点实验室,山东济南 250061【正文语种】中文【中图分类】O35格子Boltzmann方法(LBM)[1-3]广泛应用于流体动力学计算中,采用Boltzmann 方程代替格子气自动机,并将该模型用于流体的数值计算[4-5],再引入平衡态分布函数,将碰撞算子用一个碰撞矩阵代替[6].在此基础上,单弛豫时间法(SRT)[7]进一步简化了碰撞算子.Qian等[8]提出格子BGK模型,D’humeriers[9]提出了一种广义LBE模型(GLBE),Lallemand等[10]对GLBE模型作了细致的理论分析,表明其在物理原理、参数选取和数值稳定性方面都有很大优势.Luo等[11]提出多弛豫碰撞模型在精度和数值稳定性方面都要优于单弛豫的BGK(Bhatnagar-Gross-Krok)碰撞模型,当对高雷诺数流动进行模拟时,BGK模型会产生数据波动,最终导致计算失稳[12].GLBE的碰撞过程使用多个弛豫时间,因此也称MRT(multi-relaxation-time)模型[13-16].多参数弛豫模型是目前使用最广泛的格子Boltzmann模型,其中Qian等[8]提出的D2Q9模型最具有代表性,目前已证明MRT-LBM模型不仅能提高计算稳定性,还能提高准确性,Peng等[17]提出浸入式边界LBM的多块模型,对方腔流进行分块网格处理来验证正确性,成功计算出方腔流的涡心,结果与Ghia等[18]的DNS计算结果值吻合.本文通过对物理量变化剧烈的左、右上方两角区域的网格进行局部加密处理,将流场进行分区,各区域使用不同密度的网格划分,同时通过区域间边界处的信息传递来实现计算的耦合,可显著提高计算效率.1 MRT加密算法1.1 多参数弛豫模型格子Boltzmann方法MRT-LBM方程为f(x+eiδt,t+δt)=f(x,t)-M-1S[m-meq] .(1)式中：f为节点上的分布函数;m为矩;meq为矩的平衡态;M为正交转换矩阵;S为驰豫系数矩阵.在MRT模型中,剪切黏度和体积黏度分别为(2)式中:/3;弛豫参数Sv与Se分别与剪切黏度和体积黏度有关.MRT模型的主要特征是在矩空间进行碰撞,然后在离散的速度方向进行迁移.1.2 局部加密方法图1为网格加密结构,在方腔左、右上角分别设有2个加密区,这里以左上角为例.粗网格区边界为ABC,加密区域边界为DEF,为了使两区域的信息得以互相传递,在中间分别加一过渡层.加密区过渡层为ABC,即与粗网格区边界重合;粗网格区过渡层为GHI,在粗网格区和加密区中,两节点之间的点(标记为×的叉点)为插值点,插值点上的信息可以通过相邻两点的3次样条插值[19]得到.图1 网格加密结构图Fig.1 Structure sketch of local grid refinement粗网格区c的网格尺寸为δxc,加密区f的网格尺寸为δxf,尺寸比例为n=δxc/δxf=δtc/δtf=2,由粗细网格区域内剪切黏度和体积黏度相同可得加密区和粗网格区的弛豫参数关系为(3)在区域边界上的正应力与剪应力应相等,由Chapman-Enskog分析知(4)根据粗细网格界面节点上对应应力分量连续,在这2个区域中3个非平衡态e,pxx,pxy之间的关系为(5)其他3个非平衡态矩为能量平方ε,x与y方向能量通量，由文献[19-20]得(6)由此可知,粗网格区与加密区之间的矩空间关系为.(7)加密区与粗网格区碰撞后的分布函数推导见文献[20],加密区碰撞后的分布函数为 .(8)式中:.(9)同样,粗网格区碰撞后的分布函数也可以由加密区碰撞后的函数得到:.(10)式中,2 数值计算结果与分析为了验证MRT-LBM模型进行局部加密提高计算精度的有效性,对方腔的左、右上角2个部位的局部网格加密(DCLR),如图2所示,这2个区域存在非常大的速度梯度.图2 二维方腔流局部网格加密(DCLR)布局Fig.2 Sketch of local grid refinement for two dimensional cavity流动雷诺数Re=LUw/v=1 000,其中L是方腔宽度,这里L=Nx=Ny=128.5;Uw是上端盖的驱动速度.v为剪切黏度,体积黏度ξ等于v,粗网格区内的.886 8,.8868;δtc=1;δxc=1;.54,.9,两个局部加密区的宽度Nxx=Nyy=39,dxf=0.5,由此确定的弛豫系数.641,.641,另外2个弛豫系数不变,即.54,.9.2.1 相对速度在初始是静止状态,经过一段充分长的时间后(超过200 000个粗网格时间步长),使得流动达到稳定.图3为所有速度都是方腔流达到稳定状态时的结果,将之与Ghia 等[18]的基准值和Wu等[21]的粗网格MRT-LBM模拟结果进行对比.由图3可知,沿腔内垂直几何中心线和腔内水平几何中心线的瞬时速度与Ghia的基准值非常接近,远超过Wu的模拟结果,可知加密网格处理后的数据更加精确.2.2 压力轮廓图如图4所示,左边是经过两角局部网格加密处理后的无量纲压力轮廓图,右边是Wu 所得出的无量纲压力轮廓图.通过对比,在速度不连续的方腔内左、右上角,粗网格处理后会存在非常多的噪声区域,而对两角进行局部加密后的压力图则有着非常明显的降噪效果.其次,在两角加密区和粗网格区的边界上的压力轮廓线是连续的,这说明了本文加密边界处理的正确性和可行性.2.3 涡量涡量分布如图5所示.加密后的方腔无量纲涡量图清晰地表现左、右上角两个奇异角落的漩涡强度,而粗网格所画出的无量纲涡量图在这两个角上存在较大嘈杂噪声,两角局部网格加密可以改善涡量图整体计算精度.图3 沿方腔中心线的速度Fig.3 Velocity along mid-plane2.4 应力由式(4)可以得到 xx,xy,中心截面上应力如图6所示,应力曲线始终是连续的,说明了应力分布图的正确性,加密后的应力剧烈振荡的曲线明显得以缓和.2.5 计算资源进行局部加密处理后,网格数量从16 641个加密到25 767个,增加了9 126个网格.单次循环的CPU时间由4.225 ms提高到了9.255 ms,牺牲了一定的计算时间.但是在内存占用方面,程序从4 164 kB内存提高到了6 447 kB,仅为1.55倍,却带来了显著的计算精度提升,这说明局部网格加密具有非常高的可行性.图4 方腔压力轮廓图Fig.4 Pressure contour of cavity(a)—DCLR； (b)—MRT-LBM.图5 方腔涡量图Fig.5 Vortex contour of cavity(a)—DCLR； (b)—MRT-LBM. 图6 方腔沿x=13的无量纲应力Fig.6 Normalized stress of cavity along x=13 3 结论1) 通过对顶盖驱动方腔的2个奇异角进行加密网格处理后,得到的相对速度更加精确,数值更接近Ghia的基准值,即局部加密能更好地传递数值,提高全场数据的精确性.2) 从得到的压力轮廓图和涡量轮廓图知:局部网格加密能够显著改善左、右上角的轮廓分布,噪声得到了极大改善,从而得到更清晰更精确的压力与涡量结果.3) 除了速度分布,本文还对方腔内的应力分布进行了验证.对奇异角落局部网格加密能够极大减少应力振荡,得出较为平滑的应力曲线,在以前的研究中没有报道,对今后的LBM研究具有一定的参考价值.参考文献：[1] Chen S,Doolen ttice Boltzmann method for fluid flows [J].Annual Review of Fluid Mechanics,1998,30:329-364.[2] Succi S.The lattice Boltzmann equation for fluid dynamics and beyond[M].Oxford:Clarendon Press,2001.[3] Yu D,Mei R,Luo L S,et al.Viscous flow computations with the method of lattice Boltzmann equation [J].Progress Aerospace Science,2003,39:329-367.[4] Frish U,Hasslaeher B,Porneau ttice-gas automata for the Navier-Stokes equations [J].Physical Review Letters,1986,56(14):1505-1508. 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