数学_2009年上海市长宁区高考数学二模试卷(理科)_(含答案)

2009年上海市长宁区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. 已知线性方程组的增广矩阵为[2−111−20]，则其线性方程组为________．2. 函数f(x)=x +2x (x >0)的值域________．3. 设复数z =3i (1−i)2（其中i 为虚数单位），则|z|=________．4. 函数y =sin2x −cos2x 的最小正周期是________．5. (2x −3)5的展开式中x 2项的系数为________（结果用数字表示）．6. 已知sinα=2√55，π2≤α≤π，则tanα=________．7. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23+y 2=1上，且BC 边经过椭圆的一个焦点，顶点A 是椭圆的另一个焦点，则△ABC 的周长是________． 8. 函数f(x)=|x 4−x2x|在x ∈[0, 2]的最小值为________． 9. 极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为________．10. 请类比“等差数列”，“等比数列”的概念，给出“等积数列”的概念：________．11. 函数f(x)=log 2(ax−1x 2−x+2+2)在x ∈[1, 3]上恒有意义，则实数a 的取值范围是________．12. 如图，曲线C:y =2x (0≤x ≤2)两端分别为M 、N ，且NA ⊥x 轴于点A ．把线段OA 分成n 等份，以每一段为边作矩形，使与x 轴平行的边一个端点在曲线C上，另一端点在曲线C 的下方，设这n 个矩形的面积之和为S n ，则limn →∞[(2n −3)(√4n −1)S n ]=________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13. “a >0，b >0”是“ab >0”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不允分也不必要条件14. 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A 316 B 916 C 38 D 93215. 已知f(x)={(3−a)x −4a,x <1lgx,x ≥1是(−∞, +∞)上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）A (1, +∞)B [35，3) C (−∞, 3) D (1, 3)16. 如果执行下面的程序框图，那么输出的s 是（ ）A 2550B −2550C 2548D −2552三、解答题（共5小题，满分74分）17. 设a →=(x,x +1)，b →=(−x,m −2)，函数f(x)=a →⋅b →（其中m 为实常数）．(1)如果函数f(x)为偶函数，试确定函数解析式；(2)试写出一个m 的值，使函数f(x)在x ∈[−2, +∞)上存在反函数，并说明理由． 18. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点， 求：（1）直线A 1D 与平面EFD 1B 1所成角的大小； （2）二面角B −B 1E −F 的大小．19. 某中学青年志愿者服务队（简称“青志队”）共有60名学生，他们参加活动的次数统计如表所示．（1）从“青志队”中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（2）从“青志队”中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布律及数学期望Eξ．20. 设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是i →、j →，坐标平面上点列A n 、B n (n ∈N ∗)分别满足下列两个条件：①OA 1→=j →且A n A n+1→=i →+j →；②OB 1→=3i →且B n B n+1→=(23)n×3i →．（1）求OA 2→及OA 3→的坐标，并证明点A n 在直线y =x +1上；（2）若四边形A n B n B n+1A n+1的面积是a n ，求a n (n ∈N ∗)的表达式；（3）对于（2）中的a n ，是否存在最小的自然数M ，对一切n ∈N ∗都有a n <M 成立？若存在，求M ；若不存在，说明理由．21. 已知F 1(−2, 0)，F 2(2, 0)，点P 满足|PF 1|−|PF 2|=2，记点P 的轨迹为E ，． （1）求轨迹E 的方程；（2）若直线l 过点F 2且法向量为n →=(a,1)，直线与轨迹E 交于P 、Q 两点．①过P 、Q 作y 轴的垂线PA 、QB ，垂足分别为A 、B ，记|PQ|=λ|AB|，试确定λ的取值范围； ②在x 轴上是否存在定点M ，无论直线l 绕点F 2怎样转动，使MP →⋅MQ →=0恒成立？如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由．2009年上海市长宁区高考数学二模试卷（理科）答案1. {2x −y =1x −2y =02. [2√2，+∞)3. 324. π5. −10806. −27. 4√38. 09. √2210. 如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的积为同一常数，则称该数列为等积数列． 11. (2−2√6，+∞) 12. 12 13. A 14. A 15. B 16. C17. 解：由条件得f(x)=−x 2+(x +1)(m −2)=−x 2+(m −2)x +m −2． (1)因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)（或对称轴x =m−22=0），解得m =2，因此函数解析式为f(x)=−x 2． (2)（说明：由m−22≤−2得m ≤−2，学生只要在m ≤−2内取值，能说明此时x 与y 一一对应或者为单调函数，都得满分）如：取m =−3，则f(x)=−x 2−5x −5在x ∈[−2, +∞)上单调，因此存在反函数．18. 解：设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，建立空间直角坐标系，A 1(2, 0, 0)，D(0, 0, 2)，D 1(0, 0, 0)，B 1(2, 2, 0)，F(0, 1, 2)，于是D 1F →=(0,1,2)，D 1B 1→=(2,2,0)，A 1D →=(−2,0,2)．（1）设n 1→=(u,v,w)是平面EFD 1B 1 的一个法向量，∵ n 1→⊥D 1F →，n 1→⊥D 1B 1→，∴ n 1→⋅D 1F →=v +2w =0，n 1→⋅D 1B 1→=2(u +v)=0， 解得u =−v,w =−v2．取v =−2，∴ n 1→=(2,−2,1)．由A 1D →=(−2,0,2)知直线A 1D 的一个方向向量为d →=(−1,0,1)．设直线A 1D 与平面EFD 1B 1所成角为θ，d →与n 1→所成角为ϕ，则cosϕ=d →⋅n 1→|d →||n 1→|=−√26， 因sinθ=|cosϕ|=√26，即直线A 1D 与平面EFD 1B 1所成角为arcsin √26． （2）因为平面BB 1E 垂直于y 轴，所以平面BB 1E 的一个法向量为n 2→=(0,1,0)，设n 1→与n 2→的夹角为ϕ，则cosϕ=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=−23，结合图可判断所求二面角B −B 1E −F 是钝角，大小为π−arccos 23． 19. 解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，从“青志队”中任选两名学生，共有C 602种结果，他们参加活动次数恰好相等包括三种情况，共有C 152+C 252+C 202种结果， ∴ 要求的概率为P 0=C 152+C 252+C 202C 602=119354；（2）从“青志队”中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ， “这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ． 易知P(ξ=1)=P(A)+P(B)=C 602˙+C 602˙=175354；P(ξ=2)=P(C)=C 602˙=60354；∴ ξ的分布列是：ξ的数学期望：Eξ=0×119354+1×175354+2×60354=295354=56． 20. 解：(1)OA 2→=OA 1→+A 1A 2→=j →+(i →+j →)=i →+2j →=(1,2)， OA 2→+A 2A 3→=i →+2j →+(i →+j →)=2i →+3j →=(2,3)OA n →=OA 1→+A 1A 2→+⋯+A n−1A n →=j →+(n −1)(i →+j →)=(n −1)i →+nj →=(n −1, n)所以A n (n −1, n)，它满足直线方程y =x +1，因此点A n 在直线y =x +1上． （2）OB n →=OB 1→+B 1B 2→+⋯+B n−1B n →=3i →+23×3i →+(23)2×3i →+⋯+(23)n−1×3i →=1−(23)n1−23×3i →=(9−9×(23)n ，0)．设直线y =x +1交x 轴于P(−1, 0)， 则a n =S △PA n+1B n+1−S △PA n B n=12[10−9×(23)n+1]×(n +1)−12[10−9×(23)n ]×n =5+(n −2)×(23)n−1（3）a n −a n+1=[5+(n −2)×(23)n−1]−[5+(n −1)(23)n ]=(23)n−1[(n −2)−(n −1)×(23)]=n−43×(23)n−1所以a 1−a 2<0，a 2−a 3<0，a 3−a 4<0，a 4−a 5=0，a 5−a 6>0，a 6−a 7>0，…等即在数列{a n }中，a 4=a 5=5+1627是数列的最大项，所以存在最小的自然数M =6，对一切n ∈N ∗都有a n <M 成立． 21. 解：（1）由|PF 1|−|PF 2|=2<|F 1F 2|知，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支． 轨迹方程为x 2−y 23=1(x ≥1)．（2）直线l 的方程为a(x −2)+y =0，由{y =−a(x −2)x 2−y 23=1得(a 2−3)x 2−4a 2x +4a 2+3=0，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，由条件得{a 2−3≠0△=16a 4−4(a 2−3)(4a 2+3)>0x 1+x 2=4a 2a 2−3>0x 1x 2=4a 2+3a 2−3>0 解得a 2>3即a ∈(−∞,−√3)∪(√3,+∞)．①|PQ|=√1+a 2|x 1−x 2|，|AB|=|y 1−y 2|=|a||x 1−x 2| 由条件n →=(a,1)，故x 1≠x 2，∴ λ=|PQ||AB|=√1+a 2|a|=√1+1a 2，因为a 2>3，因此λ∈(1,23√3)．②设存在点M(m, 0)满足条件，由MP →⋅MQ →=(x 1−m)(x 2−m)+y 1y 2=(a 2+1)x 1x 2−(2a 2+m)(x 1+x 2)+m 2+4a 2 =3−(4m+5)a 2a 2−3+m 2=0，得3(1−m 2)+a 2(m 2−4m −5)=0对任意a 2>3恒成立，所以{1−m 2=0m 2−4m −5=0，解得m =−1，因此存在定点M(−1, 0)满足条件．。