湘教版高中数学必修一 数 学 试 题
高一数学试题-湘教版高中数学(必修1)单元测试-第一章集合与函数 最新
数学：第一章《集合与函数》单元测试（湘教版必修1）一、选择题（本大题共10个小题；每小题3分，共30分）在每小题给出的四个结论中，只有一项是符合题目要求的，把正确结论的代号填入本大题后的答题表内. 1．已知全集U R =，集合{|212}M x x =-≤-≤和{|21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 （ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个2．函数0)y x =≤的反函数是（ ）A ．2(0)y x x =≥B ．2(0)y x x =-≥C ．2(0)y x x =≤D ．2(0)y x x =-≤ 3．|x | < 2是|x | < 1的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．已知函数()224,0,4,0.x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩ 若()()22f a f a ->,则实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,2-C ．()2,1-D ．()(),21,-∞-+∞5．函数)(x f 在区间（－2，3）上是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 （ ）A ．（3，8）B ．（－7，－2）C ．（－2，3）D ．（0，5）6．函数)(x f y =的定义域为[1，4]，则函数)(x f y =的定义域是 （ ）A ．[1，2]B ．[－2，2]C ．]1,2][]2,1[--D ．[1，16]7．已知复合命题“p 且q ”为假命题，则可以肯定的是（ ）A ．p 为假命题B ．q 为假命题C ．p 、q 中至少有一个为假命D ．p 、q 均为假命题 8．已知y n xm x y x y x a a a log ,11log ,)1(log ,0,0,122则且=-=+>>=+等于（ ）A ．)(21n m + B ．)(21n m - C ．m + nD ．m －n9．若不等式6|2|<+ax 的解集为（－1，2），则实数a 等于 （ ）A ．8B ．2C ．－4D ．－810．已知B A Z x x N x B x N x A 则,},1|{},5|{∈>∈=≤∈=等于 （ ）A ．{1,2,3,4,5}B ．{2,3,4}C ．{2,3,4,5,}D ．}51|{≤<∈x R x二、填空题（本大题共5个小题；每小题4分，共20分）把答案填在题中横线上.11．命题“若m > 0，则关于x 的方程x 2+ x －m = 0有实数根”的否命题是 . 12．函数29124)(x x x f -+-=的定义域为 .13．若函数=-⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)))9200(((,)0(0)0()0(1)(2f f f x x x x x f 则π . 14．已知函数)1(,12)(2++=x f x x f 则函数的值域为 .15．对于任意定义在R 上的函数)(x f ，若实数x 0满足00)(x x f =，则称x 0是函数f (x )的一个不动点.若二次函数1)(2+-=ax x x f 没有不动点，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共5小题，共50分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16．（本小题满分8分） 试用定义判断函数),1(12)(+∞-=在区间x xx f 上的单调性． 17．（本小题满分10分） 比较2122255++xx 与的大小.18．（本小题满分10分）已知边长为1的正方形ABCD （如图），P 是对角线BD 上的点，连结AP 延长AP 交BC 或其延长线于Q ，设DP = x ，y 为△ADP 和△BPQ 的面积之和.写出y 关于x 的函数关系式.19．（本大题满分10分）已知二次函数x x f f bx ax x f ==+=)(,0)2()(2且方程满足有等根.（1）求f (x )的解析式；（2）求f (x )的值域；（3）是否存在实数m 、n(m<n)，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n]和[4m ，4n].若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.20．（本大题满分12分）已知集合{})2(,,,,321≥=k a a a a A k 其中),,2,1(k i Z a i =∈，由A 中的元素构成两个相应的集合(){}A b a A b A a b a S ∈+∈∈=,,,，(){}A b a A b A a b a T ∈-∈∈=,,,，其中()b a ,是有序实数对，集合T S 和的元素个数分别为n m ,.若对于任意的A a A a ∉-∈，总有，则称集合A 具有性质P .（Ⅰ）检验集合{}3,2,1,0与{}3,2,1-是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合写出 相应的集合T S 和； （Ⅱ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：()21-≤k k n ；（Ⅲ）判断n m 和的大小关系，并证明你的结论.参考答案一、选择题1．B 2．B 3．B 4．C 5．B 6．D 7．C 8．B 9．C 10．C 1．B ；由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ，则{}3,1=⋂N M ，有2个．2．B ；【解1】因为0x ≤，所以0y ，由y =2x y =-，所以0)y x =≤的反函数为2(0)y x x =-≥．故选B ．【解2】（排除法）因为0x ≤，所以排除A,C ；又因为0y =≥，所以排除D ．故选B ．4．C ；【解法1】函数()24f x x x =+在0x ≥时是增函数,函数()24f x x x =-在0x <时是增函数,并且当0x =时, 2244x x x x +=-,所以, ()224,0,4,0.x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩在R 上是增函数．于是由()()22f a f a ->得22,a a ->即220a a +-<，解得21a -<<．故选Ｃ．【解法2】画出函数()224,0,4,0.x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩的图象,可以看出,已知函数是R 上的增函数．于是由()()22f a f a ->得22,a a ->即220a a +-<，解得21a -<<．故选Ｃ． 【解法3】用特殊值排除．当0a =时,()()()()222448,00f a f f a f -==+===, 不等式()()22f a f a ->成立,从而排除A,D ；当1a =-时, ()()()()221145,1415f a f f a f -==+==-=--=-, 不等式()()22f a f a ->成立,从而排除B ．故选C ．二、填空题11．若m ≤0，则关于x 的方程x 2+ x －m = 0没有实数根；12．}32{； 13．12+π； 14．[)+∞,3； 15．13<<-a三、解答题16．解：设211x x <<…………2分则)1)(1()(2)()(211221---=-x x x x x f x f…………4分01010,1211221>->->-∴<<x x x x x x…………5分0)1)(1()(22112>---∴x x x x…………6分)()(,0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即 …………7分 故函数f (x )在区间（1，+∞）上递减. …………8分17．解：∵5＞1时或即当11,1,212222-<>>+>+∴x x x x x ， …………2分 2122255++>xx…………4分 当11,1,212222-===+=+x x x x x 或即时…………5分 2122255++=xx…………6分 当11,1,212222<<-<+<+x x x x 即时，…………7分 2122255++<x x…………9分212212222255,11;55,11++++=-==>-<>∴xxx xx x x x 时或当时或当；当.55,1121222++<<<-x x x 时…………10分 18．解：（1）x BP x DP -=∴=2,…………2分又△APD ∽△BPQ (]2,0,2∈-=∴x xxQB …………5分BP BQ PD AD y 22212221⋅+⋅=…………8分则：(]2,0,1)1(22∈-+=x xx y …………10分19．解：（1）0)2(,)(2=+=f bx ax x f.21,1,00)1(0)1(,)(02,02422-===--=∆∴=-+==+=+∴a b b x b ax x x f b a b a 即有等根即又即x x x f +-=∴221)( …………3分（2）2121)1(2121)(22≤+--=+-=x x x x f∴函数⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,)(的值域为x f…………6分（3）设有实数m 、n(m<n)使f (x )定义域为[m ，n]，值域为[4m ，4n] 当81214,21)(,1max ≤≤==n n x f x 即时 …………7分⎩⎨⎧==∴n n f mm f n m x f 4)(4)(,],[)(则上是增函数在 …………8分⎩⎨⎧=-==-=∴0606n n m m 或或，由于0,6,=-=∴<n m n m 取…………10分20．（Ⅰ）解：集合{}3,2,1,0不具有性质P ，{}3,2,1-具有性质P ，其相应的集合T S 和是()(){}()(){}3,2,1,2,1.3,3,1-=--=T S ； …………3分（Ⅱ）证明：首先由A 中的元素构成的有序实数对共有2k 个，因为()T a a A i i ∈∈,,0),,2,1(k i =,又因为当A a A a ∉-∈时，，所以当()()T a a T a a i j j i ∉∈,,时，),,2,1(k i =．于是集合T 中的元素的个数最多为()()121212-=-=k k k k n ，即()21-≤k k n ．…………6分（Ⅲ）解：n m =，证明如下：①对于()S b a ∈,，根据定义()T b b a A b a A b A a ∈+∈+∈∈,,，从而，则 如果()()d c b a ,,与是S 中的不同元素，那么d b c a ==与中至少有一个不成立，于是d c b a +=+与d b =中至少有一个不成立，故()b b a ,+与()d d c ,+也是T 中的不同元素.可见S 中的元素个数不多于T 中的元素个数，即n m ≤； …………9分②对于()T b a ∈,，根据定义()S b b a A b a A b A a ∈-∈-∈∈,,，从而，则 如果()()d c b a ,,与是T 中的不同元素，那么d b c a ==与中至少有一个不成立，于是d c b a -=-与d b =中至少有一个不成立，故()b b a ,-与()d d c ,-也是S 中的不同元素.可见T 中的元素个数不多于S 中的元素个数，即m n ≤． …………11分由①、②可知n m =． …………12分。
2021-2022学年湘教版(2019)高中数学选择性必修第一册全册练习作业(解析版)(1)
1 4
， a8
1 4
27
32 ．故选
C．
4．已知等比数列
an
中，各项都是正数，且
a1
，
1 2
a3
，
2a2
成等差数列，则
a9 a10 a7 a8
A． 3 2 2
B．1 2
C．1 2
D． 3 2 2
【答案】A
【解析】
a1,
1 2
a3 ,
2a2
成等差数列， a3
a1
2a2
，
q2
2q
10，解得来自q12
又 an 0 ，q 0 ，q 1
2 ， a9 a10 q2 3 2 a7 a8
2 ．故选 A．
5．已知正项等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，a1 1，且 a3 ，a2 ，a4 成等差数列，则 S2021
与 a2021 的关系是
A. S2021 4a2021 1
所以an 的通项公式为 an 2a1n a1 ， (n N ) 所以 an an1 2a1n a1 2a1 n 1 a1 =2a1 ，所以an 是等差数列． 12．已知数列 an的前 n 项和为 Sn ， a1 1， an 0 ， anan1 Sn 1，其中 为常数，
（I）证明： an2 an ；
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
11．记 Sn 为数列 an 的前 n 项和，已知 an 0 ， a2 3a1 ，且数列 Sn 是等差数列，
证明： an 是等差数列．
【解析】因为数列 Sn 是等差数列，设公差为 d S2 S1 a2 a1 a1 a1 ，
．
【答案】3
【解析】（解法一）由 S 2
高一数学试题-湘教版高中数学(必修1)单元测试-第一章集合与函数(一) 最新
数学：第一章《集合与函数》练习题（湘教版必修1） 一：填空题1．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是 。
2.下列五个写法：①}3,2,1{}0{∈；②}0{⊆φ；③{0，1，2}}0,2,1{⊆；④φ∈0；⑤φφ=⋂0，其中错误．．写法的个数为 。
3. 已知M ＝｛x|y=x 2-1｝, N={y|y=x 2-1},N M ⋂等于 。
4. 方程x 2-px +6=0的解集为M ,方程x 2+6x -q =0的解集为N ,且M ∩N ={2},那么p +q 等于 。
5.若函数y=x 2+(2a －1)x+1在区间（－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是 。
6. 若)21(),0(1)]([,21)(22g x x x x f g x x f 则≠-=-=的值为 。
7.已知函数21|1|)(x ax x f ---=是奇函数。
则实数a 的值为 。
8. 已知函数f (x )=12++mx mx 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是9. 已知函数f (n )= ⎩⎨⎧<+≥-)10)](5([)10(3n n f f n n ，其中n ∈N ，则f (8)等于 。
10. 已知函数()533f x ax bx cx =-+-，()37f -=，则()3f 的值为 。
11.函数y =的定义域为 。
12.设偶函数f （x ）的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时f （x ）是增函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小关系是 。
13.已知y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2x -x x f 2=, 则()x f 在0<x 时的解析式是 _______________ 。
14. 某工厂8年来某产品产量y 与时间t 年的函数关系如下图，则：①前3年总产量增长速度增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变.以上说法中正确的是 。
【湘教版】高中数学必修一、必修二学业水平测试试题(6)(教师)
【湘教版】高中数学（必修一、必修二）学业水平测试试题（6）一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入答题卡中．．．．．．．．．．．．．．．） 1．设b 是a 的相反向量，则下列说法一定错误的是( ) A ．a 与b 的长度相等 B ．a ∥b C ．a 与b 一定不相等 D ．a 与b 互为相反向量 答案：C2．记符号{}B x A x x B A ∉∈=-且,，若⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=2221xxA ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<=1log 31x x B ，则=-B A （ ） A ⎥⎦⎤⎝⎛-31,1 B ⎪⎭⎫⎝⎛-31,1 C ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21D ⎥⎦⎤⎝⎛31,0答案：A3．若f (x ) cos 2xπ 是周期为2的奇函数,则f (x )可以是（ ）A ．sin 2x π B ．cos 2xπ C ．sinπx D ．cosπx答案：A4．函数()431-+=x x x f 的零点所在的区间是（ ）A ()3,2B ()2,1C ()1,0D ()4,3 答案：A5．方程sinx = lgx 的实根有（ ）A ．1个B ．3个C ．2个D ． 无穷多个 答案：B6．已知函数y =f (x ),将f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得到图象沿x 轴向左平移4π个单位,这样得到的曲线与y =3sin x 的图象相同,那y =f (x )的解析式为（ ）A ．f(x)=3sin(42π-x ) B ．f(x)=3sin(2x+4π) C ．f(x)=3sin(42π+x ) D ．f(x)=3sin(2x －4π)答案：D7．已知函数112++=mx mx y 的定义域是R ，则实数m 的取值范围是（ ）A (][)+∞∞-,40,B []4,0C (]4,0D [)4,0 答案：D8．y= log 21sin(2x +4π)的单调递减区间是（ ）A ．[kπ－4π,kπ](k ∈Z) B ．(kπ－8π ,kπ+8π)(k ∈Z)C ．[kπ－83π ,kπ+8π] (k ∈Z) D ． (kπ－8π, kπ+83π)(k ∈Z)答案：B9．已知函数)(x f y =为R 上的偶函数，若对于0≥x 时，都有)()2(x f x f -=+，且当[)2,0∈x 时，),1(log )(2+=x x f 则)12()11(f f +-等于（ ）A 6log 2B 23log 2C 1D 1-答案：D10．函数f （x ）（x ∈R ）的图象如图所示，则函数)(log)(x f x g a=（0＜a ＜1）的单调减区间是( )A.［0，21］ B.（-∞，0）∪［21，+∞）C.［a ，1］D.［，］ 答案：C二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填入答题卡中．．．．．．．．．．．．） 11．设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且c b c a //,⊥+=答案：因为c b c a //,⊥，所以有042=-x 且042=+y ，解得2=x ，2-=y ，即)2,1(),1,2(-==b a ，所以)1,3(-=+b a10=+，12．计算45tan 2sin216log )001.0(3log 12312++--+-π= .答案：213．函数|)3cos()23cos(|x x y --=ππ最小正周期是 ． 答案：π14．设,11)(xxx f -+=又记：,,2,1)),(()(),()(11 ===+k x f f x f x f x f k k 则=)2012(2012f答案：201215．以下结论正确的有 （写出所有正确结论的序号）①函数xy 1=在()()+∞∞-,00, 上是减函数；②对于函数()12+-=x x f ，当21x x ≠时，都有()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+222121x x f x f x f ；③已知幂函数的图象过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛532,2，则当1>x 时，该函数的图象始终在直线x y =的下方； ④奇函数的图像必过坐标原点；⑤函数)(x f 对任意实数y x ,，都有,1)()()(-+=+y f x f y x f 且当,1)(0<<x f x 时，则)(x f 在R 上为增函数。
高中数学第1章数列 等差数列的前n项和的性质同步练习湘教版选择性必修第一册
第2课时等差数列的前n项和的性质A级必备知识基础练1.(2022江苏镇江高二期中)已知等差数列{a n}的前11项和S11=88，则a2+a10=()A.16B.17C.18D.192.(2022天津滨海新区高二期末)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=10，公差d=-，则S n取得最大值时n的值为()A.3B.4C.5D.63.等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=12，S10=48，则S15=()A.84B.108C.144D.1564.(2022河南创新发展联盟高二联考)记等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n与T n，若，则=()A. B. C. D.5.(多选题)(2022江苏南京金陵中学高二期末)已知等差数列{a n}是递增数列，其前n项和为S n，且满足a7=3a5，则下列结论正确的是()A.d>0B.a1<0C.当n=5时，S n最小D.当S n>0时，n的最小值为86.(多选题)已知S n是等差数列{a n}的前n项和，下列选项可能是{S n}的图象的是()7.在等差数列{a n}中，a1>0，a10a11<0，若此数列的前10项和S10=36，前18项和S18=12，则数列{|a n|}的前18项和T18= .8.若等差数列{a n}的首项为a1=2 022，试写出一个使该数列的前n项和有最大值的数列的通项公式，该通项公式为.9.设{a n}为等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S7=7，S15=75，T n为数列的前n项和，求T n.B级关键能力提升练10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=S10，S6=S k，则k的值是()A.6B.7C.8D.911.(2022河南南阳高二期中)已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和.若a1=2 024，且=3，则S2 021=()A.1×2 0212B.2×2 0212C.3×2 0212D.4×2 021212.(2022河南洛阳高二期中)已知等差数列{a n}是递减数列，且满足|a1|=|a9|，则数列{a n}的前n 项和最大时，n=()A.4或5B.5或6C.7D.813.(多选题)(2022江苏常州高二期末)设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，已知a3=12，S12>0，S13<0，则下列结论正确的有()A.a6+a7<0B.a7<0C.d可以取负整数D.对任意n∈N+，有S n≤S614.(多选题)(2022山东济宁高二期末)已知等差数列{a n}是递减数列，且前n项和为S n，若S7=S11，则()A.a10>0B.当n=9时，S n最大C.S17>0D.S19>015.设数列{a n}的前n项和为S n，如果a1=-5，a n+1=a n+2，n∈N+，那么S1，S2，S3，S4中最小的为.16.在等差数列{a n}中，奇数项之和为44，偶数项之和为33，若此数列的项数为奇数，则这个数列的中间项是第项;若此数列的项数为偶数，且公差为-，则此数列的项数为.17.(2022江苏南京外国语学校高二期末)设S n是等差数列{a n}的前n项和，a3=7，.从①S6=51，②a n=a n-1-3，③S5=a3a5中任选一个，补充在问题中并作答.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n的最值.C级学科素养创新练18.(多选题)已知数列{a n}的前n项和为S n=33n-n2，则下列说法正确的是()A.a n=34-2nB.S16为S n的最小值C.|a1|+|a2|+…+|a16|=272D.|a1|+|a2|+…+|a30|=450参考答案第2课时等差数列的前n项和的性质1.A由等差数列{a n}的性质可得a1+a11=a2+a10.由于前11项和S11=88=，因此a1+a11=16，则a2+a10=16.故选A.2.A∵a1=10，d=-，∴S n=10n+×-=-n2+n.∵函数y=-x2+x的图象的对称轴为直线x=，且图象开口向下，∴当n=3时，S n取得最大值.故选A.3.B由等差数列前n项和的性质可知S5，S10-S5，S15-S10成等差数列.由等差中项性质可知2(S10-S5)=S5+(S15-S10)，解得S15=108，故选B.4.C由{a n}，{b n}均为等差数列，得.故选C.5.ABD设等差数列{a n}的公差为d，因为{a n}是递增数列，所以d>0.因为a7=3a5，所以a5+2d=3a5，所以d=a5，所以a1=a5-4d=-3d<0，故A，B正确;又因为a4=a5-d=d-d=0，所以S3=S4，且为S n的最小值，故C错误;又因为S8==4(a4+a5)=4a5=4d>0，S7==7a4=0，故D正确.故选ABD.6.ABC因为S n是等差数列{a n}的前n项和，所以S n=an2+bn(a，b为常数，n∈N+)，则其对应函数y=ax2+bx，当x∈N+时的函数值，函数的图象是过原点的一条曲线.当a=0时，该曲线是过原点的直线，如选项C;当a≠0时，该曲线是过原点的抛物线，如选项A，B;选项D中的曲线不过原点，不符合题意.故选ABC.7.60由a1>0，a10a11<0，知d<0，且a10>0，a11<0，所以T18=a1+a2+…+a10-a11-a12-…-a18=2S10-S18=60.8.a n=2 023-n(答案不唯一)9.解设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则S n=na1+n(n-1)d.因为S7=7，S15=75，所以解得所以S n=，所以n-，所以数列是等差数列，其首项为-2，公差为.所以T n=-2n+n2-n.10.B由题意可得{a n}的公差d≠0.∵等差数列的前n项和S n=n2+a1-n可看作二次函数y=x2+a1-x当x∈N+时的函数值，且S3=S10，∴二次函数的图象的对称轴为直线x=.又S6=S k，∴，解得k=7.11.D因为数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a1=2024，=3，所以数列是以=2024为首项，3为公差的等差数列，所以+2020×3=2024+2020×3=4×2021，所以S2021=4×20212.故选D.12.A∵等差数列{a n}是递减数列，且满足|a1|=|a9|，∴a1+8d=-a1，∴a1=-4d>0.∴a n=a1+(n-1)d=(n-5)d.令a n≥0，得n≥5.∴数列{a n}的前n项和最大时，n=4或n=5.故选A.13.BD因为S12=12a1+·d>0，S13=13a1+·d<0，所以2a1+11d>0，a1+6d<0，即a6+a7>0，a7<0，所以a6>0，所以d<0，所以对任意n∈N+，有S n≤S6.由a3=12得a1=12-2d，联立2a1+11d>0，a1+6d<0，解得-<d<-3，故d不能取负整数.故选BD.14.BC由S7=S11，得S11-S7=a8+a9+a10+a11=2(a9+a10)=0，则a9+a10=10.又因为{a n}是递减数列，所以a9>0，a10<0，故A错误，B正确;S17==17a9>0，故C正确;S19==19a10<0，故D错误.故选BC.15.S3∵数列{a n}的前n项和为S n，a1=-5，a n+1=a n+2，n∈N+，∴数列{a n}是首项为-5，公差为2的等差数列.∴a1=-5，a2=-3，a3=-1，a4=1.∴S1=-5，S2=-8，S3=-9，S4=-8.∴S1，S2，S3，S4中最小的为S3.16.444若此数列的项数为奇数，设项数为2n-1，则奇数项之和S1=a1+a3+…+a2n-1==na n，偶数项之和S2=a2+a4+a6+…+a2n-2==(n-1)a n，所以，解得n=4，所以第4项是此数列的中间项.若此数列的项数为偶数，设项数为2n，则S1-S2=nd，所以-11=-n，所以n=22，故此数列的项数为44.17.解若选①:(1)设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得解得所以a n=3n-2.(2)由(1)可知，a n=3n-2，所以数列{a n}是递增数列，故S n的最小值为S1=1，无最大值.若选②:(1)设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得d=a n-a n-1=-3，因为a3=a1+(3-1)×(-3)=7，解得a1=13，所以a n=-3n+16.(2)由(1)可得a n=-3n+16，令解得≤n≤，又n∈N+，所以n=5，故S n的最大值为S5==35，无最小值.若选③:(1)设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得S5==5a3=a3a5，解得a5=5，所以d==-1，所以a n=a3+(n-3)d=-n+10.(2)由(1)可知a n=-n+10，令a n=0，解得n=10，故S n的最大值为S9=S10==45，无最小值.18.AC数列{a n}的前n项和为S n=33n-n2.当n=1时，a1=32，当n≥2时，a n=S n-S n-1=33n-n2-33(n-1)+(n-1)2=-2n+34，当n=1时，a1=32也适合上式，则a n=34-2n，故A正确;S n=33n-n2=-n-2+，则当n=16或17时，S n取得最大值，故B错误;由a n=-2n+34≥0，解得n≤17，则|a1|+|a2|+…+|a16|=a1+a2+a3+…+a16==272，故C正确;|a1|+|a2|+…+|a30|=a1+…+a16-(a17+a18+…+a30)=272-=454，故D错误.故选AC.11。
(湘教版)高中数学必修一(全册)课时同步练习汇总
（湘教版）高中数学必修一（全册）课时同步练习汇总1．下列集合中有限集的个数是()．①不超过π的正整数构成的集合；②平方后等于自身的数构成的集合；③高一(2)班中体重在55 kg以上的同学构成的集合；④所有小于2的整数构成的集合．A．1 B．2 C．3 D．42．下列说法正确的个数是()．①集合N中最小的数是1；②－a不属于N＋，则a∈N＋；③所有小的正数构成一个集合；④方程x2－4x＋4＝0的解的集合中有且只有两个元素．A．0 B．1 C．2 D．33．下列选项正确的是()．A．x－5∈N＋B．π∉R C．1∉Q D．5∈Z4．已知集合S中含有三个元素且为△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形5．由a2,2－a,4组成一个集合M，M中含有3个元素，则实数a的取值可以是()．A．1 B．－2 C．6 D．26．若集合M中只有2个元素，它们是1和a2－3，则a的取值范围是__________．7．关于集合有下列说法：①大于6的所有整数构成一个集合；②参加2010年亚运会的著名运动员构成一个集合；③平面上到原点O的距离等于1的点构成一个集合；④若a∈N，则－a∉N；⑤若x＝2，则x∉Q.其中正确说法的序号是__________．8．由方程x2－3x＋2＝0的解和方程x2－4x＋4＝0的解构成的集合中一共有__________个元素．9．若所有形如3a(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6-+是不是集合A中的元素．10．数集M满足条件：若a∈M，则11aa+-∈M(a≠±1，且a≠0)，已知3∈M，试把由此确定的M的元素求出来．参考答案1. 答案：C解析：④为无限集，①②③为有限集． 2. 答案：A解析：集合N 中最小的数应为0，所以①错；12a =时，－a ∉N ＋，且a ∉N ＋，故②错；“小的正数”不确定，不能构成集合，③错；方程x 2－4x ＋4＝0只有一个解x ＝2，它构成的集合中只有一个元素，故④错．3. 答案：D解析：x 的值不确定，故x －5的值不一定是正整数，故A 错；应有π∈R,1∈Q ，故B ，C 均错．4. 答案：D解析：S 中含有三个元素，应互不相等，即三角形的三条边互不相等，故该三角形一定不是等腰三角形．5. 答案：C解析：将各个值代入检验，只有a ＝6使得集合M 中元素满足互异性． 6. 答案：a ≠2且a ≠－2解析：由集合元素的互异性知a 2－3≠1，a 2≠4，所以a ≠2且a ≠－2. 7. 答案：①③⑤解析：“著名运动员”的性质不确定，不能构成集合，故②不正确；当a ＝0时，a ∈N ，且－a ∈N ，故④错误．8. 答案：2解析：方程x 2－3x ＋2＝0的解是1和2，方程x 2－4x ＋4＝0的解是2，它们构成的集合中仅含有2个元素．9. 解：由于6-+3×(－2)×2，且－2∈Z,2∈Z ，所以6-+A中的元素，即6-+A ．1＝3×13＋1，但由于13∉Z ，不是集合A ∉A ． 10. 解：∵a ＝3∈M ，∴1132113a a ++==---∈M .∴121123-=-+∈M.∴11131213-=+∈M.∴1123112+=-∈M.∴M中的元素有：3，－2，13-，12.1．已知集合A＝{x∈N|x≤≤，则有()．A．－1∈A B．0∈ACA D．2∈A2．集合M＝{x|x2－6x＋9＝0}的所有元素之和等于()．A．3 B．6 C．9 D．03．方程组3,1x yx y+=⎧⎨-=-⎩的解集不可表示为()．A．3, (,)1x yx yx y⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=-⎩⎪⎪⎩⎭B．1, (,)2xx yy⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭C．{1,2}D．{(1,2)}4．下列集合中为∅的是()．A．{0} B．{x|x2－1＝0}C．{x|x＜0} D．{x|x2＋1＝0}5．设A＝{a|a使方程ax2＋2x＋1＝0有唯一实数解}，则A用列举法可表示为()．A．A＝{1} B．A＝{0}C．A＝{0,1} D．A＝{0}或{1}6．集合{x|－3≤x≤3，x∈N}，用列举法表示为________．7．若集合A＝{x|2x－5＜x－1}，B＝，＋∞)，用适当的符号填空：①4________A；B；③－2________A；④1________B．8．用描述法表示集合1111,,,234⎧⎫⎨⎬⎩⎭为__________．9．用适当的方法表示下列集合，并且说明它们是有限集还是无限集．(1)方程x2－9＝0的解集；(2)大于0且小于10的奇数构成的集合；(3)不等式x－3＞2的解集；(4)抛物线y＝x2上的点集；(5)方程x2＋x＋1＝0的解集．10．已知集合A＝{x|x2＋2x＋m＝0}．(1)若2∈A，求实数m的值；(2)若集合A中有两个元素，求m的取值范围；(3)若集合A是空集，求m的取值范围．参考答案1.答案：B解析：A＝{x∈N|x≤≤＝{0,1}，因此0∈A．2.答案：A解析：M＝{x|x2－6x＋9＝0}＝{x|(x－3)2＝0}＝{x|x＝3}＝{3}，即M中仅有一个元素3.3.答案：C解析：方程组只有一个解，解的形式是数对，而C选项中的集合中含有两个元素，且元素是实数，不是数对，故不可能是方程组的解集．4.答案：D解析：选项D中的集合表示方程x2＋1＝0的解集，该方程没有实数解，故该集合为∅.5.答案：C解析：当a＝0时，方程2x＋1＝0有唯一解12x=-；当a≠0，且Δ＝22－4a＝0，即a＝1时，方程x2＋2x＋1＝0有唯一解x＝－1.6.答案：{0,1,2,3}解析：集合{x|－3≤x≤3，x∈N}表示不小于－3且不大于3的自然数，因此只有0,1,2,3四个元素．7.答案：①∉②∈③∈④∉8.答案：1,4 x x n nn+⎧⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭N且解析：观察元素1，12，13，14的特征可设1xn=，n∈N＋且n≤4，故用描述法表示为1,4 x x n nn+⎧⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭N且.9.解：(1)用列举法表示为{3，－3}，用描述法表示为{x|x2－9＝0}，集合中有两个元素，是有限集．(2)用列举法表示为{1,3,5,7,9}，用描述法表示为{x|x＝2k－1，k∈N＋，且1≤k≤5}，集合中有五个元素，是有限集．(3)用描述法表示为{x|x＞5}，集合中有无数个元素，是无限集．(4)用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}，抛物线上的点有无数个，因此该集合是无限集．(5)方程x2＋x＋1＝0无实数解，故该方程的解集为∅，是有限集．10.解：(1)由2∈A知，2是A中的元素，即2是方程x2＋2x＋m＝0的一个根，因此22＋2×2＋m＝0，解得m＝－8；(2)集合A中有两个元素，即方程x2＋2x＋m＝0有两个不相等的实数根，因此Δ＝4－4m＞0，解得m＜1；(3)集合A是空集，即方程x2＋2x＋m＝0没有实数根，因此Δ＝4－4m＜0，解得m＞1.1．设集合M＝{x|x＞－2}，则下列选项正确的是()．A．{0}⊆M B．{0}∈MC．∅∈M D．0⊆M2．满足条件{a}M⊆{a，b，c，d}的所有不同集合M的个数为()．A．6 B．7 C．8 D．93．设全集U＝{x|－1≤x≤5}，A＝{x|0＜x＜1}，则∁U A＝()．A．{x|－1≤x≤0}B．{x|1≤x≤5}C．{x|－1≤x≤0或1≤x≤5}D．{x|－1≤x＜0或1＜x≤5}4．已知A＝{x|x2－3x＋a＝0}，B＝{1,2}，且B⊆A，则实数a的值为()．A．1 B．2 C．3 D．05．集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}，若∅M，则实数a的范围是()．A．a≤－1 B．a≤1C．a≥－1 D．a≥16．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＜0且xy＞0}，集合P＝{(x，y)|x＜0且y＜0}，那么集合M与P之间的关系是__________．7．设全集U＝R，A＝{x|x＜0或x≥1}，B＝{x|x≥a}，若U A⊆U B，则a的取值范围是__________．8．若全集I＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4, 4}，且I A＝{7}，则实数a的值等于__________．9．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x－2a＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的值．10．已知A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx＝1}，若B A，求实数m所构成的集合M，并写出M的所有子集．参考答案1.答案：A解析：{0}与M都是集合，它们之间不能用“∈”连接，故B，C均错；0是元素，它和集合M间不能用“⊆”连接，故D错，只有A项正确．2.答案：B解析：满足条件的M有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{a，b，c，d}．3.答案：C解析：借助数轴可得U A＝{x|－1≤x≤0或1≤x≤5}．4.答案：B解析：∵B＝{1,2}，且B⊆A，∴1与2是方程x2－3x＋a＝0的两解．∴a＝2.5.答案：C解析：∵∅M，∴ M不能是空集，即关于x的方程x2＋2x－a＝0有实数根，∴Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1.6.答案：M＝P解析：由x＋y＜0且xy＞0可得x＜0且y＜0，所以集合M与P都表示直角坐标系中第三象限的点的集合，所以M＝P.7.答案：a≥1解析：U A={x|0≤x＜1}，B={x|x＜a}，U∵U A⊆U B，∴画出数轴并表示出U A与U B，由数轴可得a的取值范围为a≥1.8.答案：－2解析：依题意可知21742a aa⎧-+=⎨+=⎩，，解得a＝－2.代入检验知a＝－2符合题意．9.解：依题意A＝{x|x2＋4x＝0}＝{－4,0}，B＝{x|x－2a＝0}＝{2a}，由于B⊆A，则2a∈A．∴2a＝－4或2a＝0.解得a＝－2或a＝0.即实数a的值为－2或0.10.解：由x2－5x＋6＝0，得x＝2或x＝3，∴A＝{2,3}．由B A知B＝{2}，或B＝{3}，或B＝∅，若B＝∅，则m＝0；若B＝{2}，则12 m=，若B＝{3}，则13m=，故M＝1123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，.从而M的所有子集为∅，{0}，12⎧⎫⎨⎬⎩⎭，13⎧⎫⎨⎬⎩⎭，12⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，13⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，1123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，1123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，.1．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C等于()．A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}2．已知集合A＝{x|x－1＞0}，B＝{x|x＜3}，则图中阴影部分表示的集合为()．A．{x|x＞1} B．{x|x≥3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x≤1}3．设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，那么集合A∩(U B)等于()．A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1} D．{x|－1≤x≤3}5．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}，且A⊆R B，则实数a的取值范围是()．A．a＞－2 B．a≥－2C．a＜－2 D．a≤－26．集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∩B＝{1}，则a＝__________.7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若U A＝{1,2}，则实数m＝__________.8．集合A＝{x|x2－px＋15＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，则A＝__________，B＝__________.9．已知集合P＝{x|－2≤x≤5}，Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，若P∩Q＝∅.求实数k的取值范围．10．已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，全集为实数集R.(1)求A∪B；(2)(R A)∩B；(3)如果A∩C≠∅，求a的取值范围．参考答案1.答案：D解析：(A∩B)∪C＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}，故选D．2.答案：C解析：阴影部分表示的集合是A∩B，所以A∩B＝{x|x＞1}∩{x|x＜3}＝{x|1＜x＜3}．3.答案：B解析：易见N M，则“a∈M”“a∈N”，但有“a∈N”⇒“a∈M”．故选B．4.答案：D解析：∵U B＝{x|－1≤x≤4}，∴A∩(U B)＝{x|－2≤x≤3}∩{x|－1≤x≤4}＝{x|－1≤x≤3}．5.答案：A解析：∵B＝{x|x－a≥0}＝{x|x≥a}，∴R B＝{x|x＜a}，又A⊆R B，∴a＞－2，故选A．6.答案：－1解析：∵A∩B＝{1}，∴1∈A．又A＝{0,2，a2}，∴a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合B不满足集合元素的互异性，∴a＝－1.7.答案：－3解析：∵U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故0和3是方程x2＋mx＝0的两根，解得m＝－3.8.答案：{3,5}{2,3}解析：依题意，集合A是方程x2－px＋15＝0的解集，集合B是方程x2－5x＋q＝0的解集．又A∪B＝{2,3,5}，所以只能是3和5是方程x2－px＋15＝0的两根．2和3是方程x2－5x＋q＝0的两根，即A＝{3,5}，B＝{2,3}．9.解：①若Q＝∅，则P∩Q＝∅，此时有k＋1＞2k－1，即k＜2.②若Q≠∅，由P∩Q＝∅，有如下图：∴12115k kk+≤-⎧⎨+>⎩，或12121 2.k kk+≤-⎧⎨-<-⎩，解得k＞4.综上所述，k的取值范围是{k|k＜2或k＞4}．10.解：(1)因为A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，所以A∪B＝{x|2＜x＜10}．(2)因为A＝{x|3≤x＜7}，所以R A＝{x|x＜3或x≥7}．所以(R A)∩B＝{x|x＜3或x≥7}∩{x|2＜x＜10}＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．(3)如图，当a＞3时，A∩C≠∅.1．函数y＝f(x)的图象与y轴的交点有()．A．至少一个B．至多一个C．一个D．不确定2．下列对应法则f中，不是从集合A到集合B的映射的是()．A．A＝{x|1＜x＜4}，B＝[1,3)，f：求算术平方根B．A＝R，B＝R，f：取绝对值C．A＝{正实数}，B＝R，f：求平方D．A＝R，B＝R，f：取倒数3．如果(x，y)在映射f下的象为(x＋y，x－y)，那么(1,2)的原象是()．A．3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，B．3122⎛⎫-⎪⎝⎭，C．3122⎛⎫--⎪⎝⎭，D．3122⎛⎫⎪⎝⎭，4．已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f：y＝－|x|＋2，x∈A，y∈B，对于实数m∈B，在集合A中不存在原象，则m的取值范围是()．A．m＞2 B．m≥2C．m＜2 D．m≤25．设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，对A中的所有元素x，总有x＋f(x)为奇数，那么从A 到B的映射f的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．46．下列关于从集合A到集合B的映射的论述，其中正确的有__________．(1)B中任何一个元素在A中必有原象(2)A中不同元素在B中的象也不同(3)A中任何一个元素在B中的象是唯一的；(4)A中任何一个元素在B中可以有不同的象；(5) B中某一元素在A中的原象可能不止一个；(6)集合A与B一定是数集；(7)记号f：A→B与f：B→A的含义是一样的．7．若f：A→B是集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y) |x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中的元素(6,2)，在此映射下的原象是(3,1)，则k＝________，b＝________.8．若集合A＝{a，b，c}，B＝{－2,0,2}，f是A到B的映射，且满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，则这样的映射的个数是__________．9．设A＝B＝{a，b，c，d，e，…，x，y，z}(元素为26个英文字母)，作映射f：A→B 为：并称A中字母拼成的文字为明文，相应B中对应的字母拼成的文字为密文．(1)求“mathematics”的密文是什么？(2)试破译密文“ju jt gvooz”．10．若f：y＝3x＋1是从集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4, 7，a4，a2＋3a}的一个映射，求自然数a，k及集合A，B．参考答案1.答案：B解析：由函数的定义知，若f(x)在x＝0处有定义，则与y轴必有一个交点，若f(x)在x ＝0处无定义，则没有交点．2.答案：D解析：D选项中，A中的元素0不存在倒数，不符合映射的定义，故选D．3.答案：B解析：∵(1,2)为象，∴12x yx y+=⎧⎨-=⎩，，解得32x=，12y=-.4.答案：A解析：由于当x∈R时，y＝－|x|＋2≤2，所以A中元素在B中的象的取值范围是y≤2，所以若B中实数m不存在原象时，必有m＞2，选A．5.答案：A解析：符合要求的映射是：当x＝0时，0＋f(0)＝0＋3＝3是奇数，当x＝1时，x＋f(x)＝1＋f(1)＝1＋2＝3是奇数，其余均不符合要求．6.答案：(3)( 5)7.答案：2 1解析：由3612kb=⎧⎨+=⎩，，解得21.kb=⎧⎨=⎩，8.答案：7解析：符合要求的映射f有以下7个：9.解：(1)“mathematics”对应的密文是“nbuifnbujdt”．(2)“ju jt gvooz”对应的明文是“it is funny”．10.解：∵1对应4,2对应7，∴可以判断A中元素3对应的或者是a4，或者是a2＋3a. 由a4＝10，且a∈N知a4不可能为10.∴a2＋3a＝10，即a1＝－5(舍去)，a2＝2.又集合A中的元素k的象只能是a4，∴3k＋1＝16.∴k＝5.∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．1．已知函数f(x)由下表给出，则f(2)＝().A．1 B．2 C2．y＝f(x)的图象如图，则函数的定义域是()．A．[－5,6) B．[－5,0]∪[2,6]C．[－5,0)∪[2,6) D．[－5,0]∪[2,6)3．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )．A ．y ＝50x (x ＞0)B ．y ＝100x (x ＞0)C ．50y x =(x ＞0) D ．100y x=(x ＞0) 4．已知()2xf x x =+，则f (f (－1))的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D ．25．某人从甲村去乙村，一开始沿公路乘车，后来沿小路步行，下图中横轴表示走的时间，纵轴表示某人与乙村的距离，则较符合该人走法的图象是( )．6．已知111f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则f (x )＝________. 7．已知函数f (x )满足f (x －1)＝x 2，那么f (2)＝__________.8．某班连续进行了5次数学测试，其中智方同学的成绩如表所示，在这个函数中，定义域是__________，值域是__________.9资的方式是：第一个月1 000元，以后每个月比上一个月多100元．设该大学生试用期的第x 个月的工资为y 元，则y 是x 的函数，分别用列表法、图象法和解析法表示该函数关系．10．已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．参考答案1. 答案：C2. 答案：D3. 答案：C 解析：依题意有12(x ＋3x )y ＝100，所以xy ＝50，50y x=，且x ＞0，故y 与x 的函数关系式是50y x=(x ＞0)． 4. 答案：C 解析：∵()2x f x x =+，∴f (－1)＝112--+＝－1. ∴f (f (－1))＝f (－1)＝112--+＝－1. 5. 答案：D解析：(1)开始乘车速度较快，后来步行，速度较慢；(2)开始某人离乙地最远，以后越来越近，最后到达乙地，符合(1)的只有C ，D ，符合(2)的只有B ，D ．6. 答案：1x x + 解析：令1t x =，则1x t =，将1x t=代入111f x x⎛⎫= ⎪+⎝⎭，得()1111tf t t t==++.∴()1x f x x =+.7. 答案：9解析：令x －1＝2，则x ＝3，而32＝9，所以f (2)＝9. 8. 答案：{1, 2,3,4,5} {90,92,93,94,95} 9. 解：(1)该函数关系用列表法表示为：(2)(3)该函数关系用解析法表示为：y＝100x＋900，x∈{1,2,3，…，6}．10.解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝1，∴c＝1.又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋(a＋b)＝2x.∴22aa b=⎧⎨+=⎩，，解得a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.1．函数32yx=是()．A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数也是偶函数2．函数f(x)＝x2＋4x＋6在下列哪个区间上是单调递增函数()．A．[－4,4] B．[－6，－3]C．(－∞，0] D．[－1,5]3．下列说法中，不正确的是()．A．图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B．奇函数的图象一定经过原点C．偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴交点的个数一定是偶数D．图象关于y轴成轴对称的函数一定是偶函数4．下图是根据y＝f(x)绘出来的，则下列判断正确的是()．A．a的图象表示的函数y＝f(x)既是奇函数又是偶函数B．b的图象表示的函数y＝f(x)是偶函数C．c的图象表示的函数y＝f(x)是奇函数D．d的图象表示的函数y＝f(x)既不是奇函数也不是偶函数5．函数的图象如图所示，则该函数在下面哪个区间上单调递减()．A．(－∞，0]B．[0,1)C．[1，＋∞)D．[－1,0]6．若函数f(x)＝k(x＋2)在其定义域上是单调递减函数，则k的取值范围是__________．7．已知f(x)是一个奇函数，且点P(1，－3)在其图象上，则必有f(－1)＝__________.8．已知函数f(x)的图象如下图所示，则其最大值等于__________，最小值等于__________，它的单调增区间是__________．9．通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现在课堂上学生接受一个概念的能力与教师在引入概念之前提出和描述问题的时间有关．刚开始阶段学生接受能力渐增，但随着时间延长，由于学生的注意力开始分散，因此接受能力开始下降．分析结果表明学生接受概念能力g(x)与提出和描述问题所用时间x的图象如下图：问：自提出问题和描述问题开始多长时间时，学生接受概念的能力最强？10．已知一个函数f(x)是偶函数，它在y轴左侧的图象如下图所示：(1)试画出该函数在y轴右侧的图象；(2)根据图象说明函数在y轴右侧的哪些区间是单调递减函数，哪些区间是单调递增函数？参考答案1.答案：A解析：函数32yx=是反比例函数，画出其图象知关于原点中心对称，故它是一个奇函数，选A．2.答案：D解析：f(x)＝(x＋2)2＋2，它是一条抛物线，对称轴是x＝－2，由图象知，它在区间[－1,5]上是单调递增函数，选D．3.答案：B解析：奇函数如果在x＝0时有意义，它一定过原点，但如果x＝0时函数无意义，那它就不过原点，例如1yx=，选B．4.答案：D解析：事实上，a，b，c三个图形根本不是函数的图象，所以谈不上是奇函数还是偶函数，d图是函数图象，但它既不关于原点对称也不关于y轴对称，所以它表示的函数既不是奇函数也不是偶函数，选D．5.答案：B6.答案：k＜07.答案：3解析：∵f(x)是奇函数，其图象必关于原点对称，而点P(1，－3)在其图象上，∴点P′(－1,3)也必在其图象上，从而f(－1)＝3.8.答案：3－1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，和[1,3]9.解：由图象可知，当x＝13时，曲线达到最高点，即学生的接受能力最强．10.解：(1)y轴右侧的图象如下图：(2)函数在[1,3]和[6,8]上是单调增函数，在[3,6]上是单调递减函数．1．若区间(a ，b )是函数y ＝f (x )的单调递增区间，x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1＜x 2，则有( )． A ．f (x 1)＜f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)＞f (x 2) D ．以上都有可能 2．下列说法正确的是( )．A ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1，x 2∈(a ，b )，且当x 1＜x 2时．有f (x 1)＜f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上是递增函数B ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )，且当x 1＜x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上是递增函数C ．若f (x )在区间I 1上是递增函数，在区间I 2上也是递增函数，那么f (x )在I 1∪I 2上也一定为增函数D ．若f (x )在区间I 上是递增函数且f (x 1)＜f (x 2)(x 1，x 2∈I )，那么x 1＜x 2 3．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调递减区间是( )． A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2] D ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 4．函数()11f x x =-在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是( )． A ．15，1 B ．1，15 C ．17，1 D ．1，175．若函数f (x )＝ax 2＋3在[0，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是( )．A．a≥0 B．a＞0C．a≤0 D．a＜06．函数f(x)＝－x2＋4x的单调递增区间是__________．7．函数21xyx+=+在区间[2,4]上的最大值为__________，最小值为__________．8．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的递减函数，且f(x)＜f(2x－3)，则x的取值范围是________．9．证明f(x)＝x2＋6x＋1在(－3，＋∞)上单调递增．10．已知f(x)是定义域为[－2,2]上的单调递增函数，且f(2x－3)＜f(2－x)，求x的取值范围．参考答案1. 答案：A解析：由函数单调性的定义知当x 1＜x 2时，必有f (x 1)＜f (x 2)，选A ． 2. 答案：D解析：A ，B 项都忽略了x 1，x 2的任意性．C 项中f (x )在I 1∪I 2上不一定是递增函数，如函数()1f x x=-在x ∈(－∞，0)上单调递增；在x ∈(0，＋∞)上也单调递增，但在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上不单调递增．对于D 项，由增函数的定义可知其正确．3.答案：D解析：由二次函数y ＝x 2－3x ＋2的对称轴为32x =且开口向上，所以其单调递减区间为32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，，故选D ． 4. 答案：B解析：由于f (x ＋h )－f (x ) ＝1111(1)(1)hx h x x h x --=+--+--，∵h ＞0，x ≥2，∴0(1)(1)hx h x -<+--.故f (x )在[2,6]上单调递减，∴f (x )在[2,6]上的最大值为f (2)＝1，最小值为1(6)5f =. 5. 答案：D解析：f (x ＋h )－f (x )＝[a (x ＋h )2＋3]－(ax 2＋3)＝2ahx ＋ah 2＝ah (2x ＋h )． ∵x ＞0，h ＞0.又f (x ＋h )－f (x )＜0，∴a ＜0. 6. 答案：(－∞，2]解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，所以其对应图象是抛物线，且开口向下，对称轴是x ＝2，故其单调增区间是(－∞，2]．7. 答案：43 65解析：由于f (x ＋h )－f (x )＝2211(++1)(+1)x h x hx h x x h x ++---=+++，由于h ＞0，x ∈[2,4]，∴0(++1)(+1)hx h x -<，故f(x)在[2,4]上单调递减．∴当x＝4，函数21xyx+=+有最小值f(4)，426(4)145f+==+.∴当x＝2，函数21xyx+=+有最大值f(2)，224(2)123f+==+.8.答案：33 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，解析：由题意知23023xxx x>⎧⎪->⎨⎪>-⎩，，，∴32＜x＜3.9.证明：f(x＋h)－f(x)＝(x＋h)2＋6(x＋h)＋1－x2－6x－1＝2hx＋h2＋6h＝h(h＋2x＋6)，∵h＞0，x∈(－3，＋∞)，∴2x＋6＞0，h＋2x＋6＞0.∴h(h＋2x＋6)＞0，即f(x＋h)－f(x)＞0.故f(x)在(－3，＋∞)上单调递增．10.解：∵f(x)是定义在[－2,2]上的函数，∴2232222xx-≤-≤⎧⎨-≤-≤⎩，，解得1522x≤≤.又f(x)在[－2,2]上单调递增，且f(2x－3)＜f(2－x)．故2x－3＜2－x，∴53 x<.综上可知15 23x≤<.即x的取值范围是15 23x≤<.1．下列函数中，定义域为{x|x＞0}的是()．A．f(x)＝x B．f(x)＝1 xC．f(x)＝|x| D．f(x)2．函数12y x =( )． A ．(－∞，2] B ．(－∞，1] C ．(－∞，＋∞) D ．无法确定 3．函数f (x )＝()12xf x x+=+(0≤x ≤2且x ∈N ＋)的值域是( )． A ．123234⎧⎫⎨⎬⎩⎭，， B ．2334⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C ．304x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ D ．34x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭4．函数02(1)21x y x x +=--的定义域是( )． A ．12x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭B ．1,12x x x ⎧⎫≠-≠-⎨⎬⎩⎭且C ．1,12x x x ⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且D ．1,1,12x x x x ⎧⎫≠-=-≠⎨⎬⎩⎭且且5．函数()6123x f x x+=-的值域是( )． A ．{y |y ≠2} B ．12y y ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭C ．23y y ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭D ．{y |y ≠－2} 6．若函数()1xf x x =-的定义域是M ，值域是N ，那么M 与N 之间的关系是__________．7．函数2123y x x=-__________．8．函数y ＝1－3x 的值域是__________．9．如图所示，在一张边长为20 cm 的正方形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x cm 的小正方形，折成一个容积是y cm 3的无盖长方体铁盒．试写出用x 表示y 的函数解析式，并指出它的定义域．10．已知函数f(x)＝ax＋1(1)当a＝1时，求f(x)的定义域；(2)若f(x)的定义域是{x|x≤－6}，求a的值；(3)当a＝2时，求f(x)的值域．参考答案1. 答案：D解析：选项A ，C 中的函数定义域为R ，B 中函数定义域是{x |x ≠0}，只有D 项符合． 2. 答案：A解析：依题意有2－x ≥0，∴x ≤2，故定义域是(－∞，2]，选A ． 3. 答案：B 解析：f (1)＝23，f (2)＝34，故函数值域为2334⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，选B ． 4. 答案：D解析：由210,210,x x x +≠⎧⎨--≠⎩得1,11.2x x x ≠-⎧⎪⎨≠-≠⎪⎩且 即12x ≠-，且x ≠－1，且x ≠1. 5. 答案：D 解析：61616455223323232x x x y x x x x ++-+==-=-=------，函数定义域为23x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭， 当23x ≠时，5032x ≠-，52232x --≠--， 即y ≠－2.故函数值域是{y |y ≠－2}，选D ． 6. 答案：M ＝N解析：要使函数有意义，应有x －1≠0，所以x ≠1， 即函数定义域是{x |x ≠1}． 又1111111x x y x x x -+===+---， 当x ≠1时，101x ≠-，y ≠1. 所以值域是{y |y ≠1}．因此M ＝N . 7. 答案：{x |x ≤1且x ≠0}解析：要使函数有意义，应满足2230,10,x x x ⎧-≠⎨-≥⎩即3021x x x ⎧≠≠⎪⎨⎪≤⎩且，，因此x ≤1且x ≠0，故函数定义域是{x |x ≤1且x ≠0}． 8. 答案：{y |y ≥－5}解析：函数有意义时，必满足4－2x ≥0，即x ≤2， ∴定义域是{x |x ≤2}．又f (x ＋h )－f (x )＝[1－3(x ＋h )－(1－3x)＝3h -+3h -+由于h ＞0，x ≤2，∴30h -<.故f (x )在定义域(－∞，2]上单调递减． 因此f (x )≥f (2)＝－5，即值域是{y |y ≥－5}．9. 解：由题意知，无盖长方体铁盒的高为x cm ，底面是边长为(20－2x )cm 的正方形． 由20－2x ＞0，所以0＜x ＜10，则y ＝x ·(20－2x )2，故y 关于x 的函数解析式是y ＝x (20－2x )2，其定义域是(0,10)．10. 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x ＋1∴2x －6≥0，x ≥3.故函数的定义域是{x |x ≥3}；(2)要使函数有意义，应有2ax －6≥0，即2ax ≥6，ax ≥3. 而函数定义域是{x |x ≤－6}， ∴由ax ≥3解得x 的范围应是x ≤－6.∴036a a<⎧⎪⎨=-⎪⎩，，解得12a =-.(3)当a ＝2时，f (x )＝2x ＋14x －6≥0，32x ≥，∴函数定义域是32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 又f (x ＋h )－f (x )＝2(x ＋h )＋12x －1＝2h 2h0.∴f (x )在定义域32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭上单调递增． 故f (x )≥32f ⎛⎫⎪⎝⎭＝4，即值域为{y |y ≥4}．1．设函数()1;,1,x f x x x ≥=<⎪⎩则f (f (2))的值为( )．A ．1B ．2C ．0D ．－2 2．设函数()21,0;,0,x f x x bx x <⎧=⎨-≥⎩若f (－2)＝f (3)，则实数b 的值等于( )． A ．103-B ．83C ．32-D ．323．f (x )＝|x －1|的图象是( )．4．设函数()221,1;2,1,x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩若f (a )＝－2，则a 的值为( )．A ．B ．C ．和0D ． 1 5．若定义运算ab ＝,;,,b a b a a b ≥⎧⎨<⎩则函数f (x )＝x(2－x )的值域是( )．A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)6．设函数()22,2;2,2,x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩若f (x 0)＝8，则x 0＝__________.7．已知函数()21,2;(3),2,x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩则f (1)－f (3)＝________.8．函数f (x )的图象如图所示，则f (x )＝__________.9．设函数()2,0, 1,0, x xf xx ≥⎧=⎨<⎩令g (x)＝f(x－1)＋f(x－2)，试写出g(x)的表达式．10．为了节约用水，某市出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨，则超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨，则超过部分的水费加收400%.如果某人某季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算该季度他应交的水费(单位：元)．参考答案1. 答案：C解析：∵f (2)1，∴f (f (2))＝f (1)＝0. 2. 答案：B解析：由于f (－2)＝1，f (3)＝9－3b ，于是9－3b ＝1，解得83b =.选B. 3. 答案：B解析：由于f (x )＝|x －1|＝1,1;1, 1.x x x x -≥⎧⎨-+<⎩故其图象应为B.4. 答案：A解析：若a ≤1，则有1－a 2＝－2，解得a =a =)；若a ＞1，则有a 2＋a－2＝－2，解得a ＝0或－1，均舍去．因此a的值只有5. 答案：A解析：由定义知，当x ≥2－x 即x ≥1时，f (x )＝2－x ； 当x ＜2－x 即x ＜1时，f (x )＝x . 于是()2,1;, 1.x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩当x ≥1时， y ＝2－x ≤1；当x ＜1时，y ＝x ＜1. 于是值域为(－∞，1]，选A. 6.答案：或4解析：当x 0≤2时，由x 20＋2＝8得x 0＝舍去)； 当x 0＞2时，由2x 0＝8得x 0＝4，故x 0＝或4. 7. 答案：7解析：f (1)＝f (1＋3)＝f (4)＝42＋1＝17，f (3)＝32＋1＝10，∴f (1)－f (3)＝17－10＝7.8. 答案：11,20;21,01x x x x ⎧+-≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩解析：当－2≤x ＜0时， 设f (x )＝kx ＋b ，则20,1,k b b -+=⎧⎨=⎩解得1,21,k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩于是f (x )＝12x ＋1； 当0≤x ≤1时，设f (x )＝ax ＋c ，则0,1,a c c +=⎧⎨=-⎩解得1,1,a c =⎧⎨=-⎩于是f (x )＝x －1.于是f (x )的解析式是()11,20;21,0 1.x x f x x x ⎧+-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩9. 解：当x ≥2时，x －1≥0，x －2≥0，g (x )＝2(x －1)＋2(x －2)＝4x －6； 当1≤x ＜2时，x －1≥0，x －2＜0，g (x )＝2(x －1)＋1＝2x －1； 当x ＜1时，x －1＜0，x －2＜0，g (x )＝1＋1＝2.于是()46,2;21,12;2, 1.x x g x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪<⎩10. 解：设该季度他应交水费y 元，当0＜x ≤5时，y ＝1.2x ； 当5＜x ≤6时，应把x 分成两部分：5与x －5分别计算， 第一部分收基本水费1.2×5，第二部分由基本水费与加收水费组成，即 1.2(x －5)＋1.2(x －5)×200%＝1.2(x －5)×(1＋200%)，所以y ＝1.2×5＋1.2(x －5)×(1＋200%)＝3.6x －12；当6＜x ≤7时，同理可得，y ＝1.2×5＋1.2×(1＋200%)＋1.2(x －6)×(1＋400%)＝6x －26.4.综上可得 1.2,05;3.612,56;626.4,67.x x y x x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩1．函数f (x )＝(x －3)(x ＋5)的单调递减区间是( )． A ．(－∞，－1] B ．[－1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)2．二次函数y ＝－2(x ＋1)2＋8的最值情况是( )． A ．最小值是8，无最大值 B ．最大值是－2，无最小值 C ．最大值是8，无最小值 D ．最小值是－2，无最大值 3．若抛物线y ＝x 2＋6x ＋c 的顶点恰好在x 轴上，则c 的值为( )． A ．0 B ．3 C ．6 D ．94．函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2在(－∞，6)内是递减函数，则实数a 的取值范围是( )． A ．[3，＋∞) B ．(－∞，3]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x.若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为()．A．30元B．42元C．54元D．越高越好6．已知f(x)＝ax2＋2x－6，且f(1)＝－5，则f(x)的递增区间是__________．7．若函数f(x)＝x2＋mx＋3的最小值是－1，则f(m)的值为__________．8．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋20x和L2＝2x，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为__________．9．已知二次函数y＝－4x2＋8x－3.(1)画出它的图象，并指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；(2)求函数的最大值；(3)写出函数的单调区间．10．某汽车租赁公司拥有汽车100辆，当每辆汽车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆汽车的月租金每增加50元时，未租出的汽车将会增加一辆．租出的汽车每辆每月需要维护费150元，未租出的汽车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆汽车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆汽车？(2)当每辆汽车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？参考答案1. 答案：A解析：f (x )＝(x －3)(x ＋5)＝x 2＋2x －15，12ba-=-，所以f (x )的递减区间是(－∞，－1]，选A ．2. 答案：C3. 答案：D解析：∵y ＝x 2＋6x ＋c ＝(x ＋3)2＋c －9， ∴c －9＝0，c ＝9. 4. 答案：D解析：f (x )＝x 2＋4ax ＋2＝(x ＋2a )2＋2－4a 2， ∵f (x )在(－∞，6)内是递减函数， ∴－2a ≥6，∴a ≤－3. 5. 答案：B解析：设日销售利润为y 元，则y ＝(x －30)(162－3x ),30≤x ≤54，将上式配方后得y ＝－3(x －42)2＋432，当x ＝42时，y 取得最大值．故每件商品的售价定为42元时，每天才能获得最大的销售利润． 6. 答案：(－∞，1]解析：由f (1)＝－5得a ＋2－6＝－5，所以a ＝－1. 这时f (x )＝－x 2＋2x －6. 又212(1)-=⨯-，所以f (x )的递增区间是(－∞，1]． 7. 答案：35解析：由已知得2413141m ⨯⨯-=-⨯， 所以m 2＝16，m ＝±4. 当m ＝4时，f (m )＝f (4)＝35； 当m ＝－4时，f (m )＝f (－4)＝35. 8. 答案：111万元解析：设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆．在甲、乙两地的销售利润分别为L 1＝－x 2＋20x 和L 2＝2(15－x )＝30－2x . 于是销售总利润y ＝L 1＋L 2＝－x 2＋20x ＋30－2x ＝－x 2＋18x ＋30.因此当1892(1)x=-=⨯-时，y取最大值f(9)＝－92＋18×9＋30＝111(万元)．9.解：(1)图象如图所示，该图象开口向下；对称轴为x＝1；顶点坐标为(1,1)．(2)∵f(x)＝－4(x－1)2＋1，∴x＝1时，f(x)max＝1.(3)函数在(－∞，1]上是递增函数，在[1，＋∞)上是递减函数．10.解：(1)当每辆汽车月租金为3 600元时，未租出的汽车辆数为360030001250-=，所以这时租出了88辆汽车．(2)设每辆汽车的月租金定为x元，则公司月收益为f(x)＝300010050x-⎛⎫-⎪⎝⎭(x－150)－300050x-×50，整理得f(x)＝150-x2＋162x－21 000＝150-(x－4 050)2＋307 050(x＞150)．∴当x＝4 050时，f(x)最大，最大值为307 050.即每辆汽车的月租金定为4 050元时，汽车租赁公司的月收益最大，最大月收益是307 050元．1．函数f(x)＝x3＋1的奇偶性为()．A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数2．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(x)在(－∞，0)上()．A．递增B．递减C．先增后减D．先减后增3．函数f(x)＝x2＋2x＋2，x∈(1,4]的值域是()．A．(5,26] B．(4,26]C．(3,26] D．(2,26]4．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是()．A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)C．f(x)·f(－x)≤0D．()1 ()f xf x=--5．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是递增函数，则()．A．f(－1)＜f(－1.5)＜f(2)B．f(－1.5)＜f(－1)＜f(2)C．f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)D．f(2)＜f(－1)＜f(－1.5)6．若函数y＝x(ax＋1)是奇函数，则实数a＝__________. 7．已知函数f(x)＝x3＋ax＋1，f(1)＝3，则f(－1)＝__________.8．已知f(x)是偶函数，其定义域为R，且在[0，＋∞)上是递增函数，则74f⎛⎫- ⎪⎝⎭与f(2)的大小关系为__________．9．已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b为常数)满足f(0)＝f(1)，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的值域．10．求函数f(x)＝x2－2ax－1在闭区间[0,2]上的最大值和最小值．参考答案1.答案：D解析：函数定义域为R，且f(－x)＝－x3＋1，∴f(x)≠f(－x)，且f(x)≠－f(－x)．因此，此函数既不是奇函数也不是偶函数．2.答案：A解析：由f(x)是偶函数知2m＝0，即m＝0.此时f(x)＝－x2＋3，开口向下，对称轴为y轴，所以在(－∞，0)上单调递增．选A．3.答案：A解析：由于f(x)＝(x＋1)2＋1，对称轴为直线x＝－1，因此f(x)在(1,4]上是单调递增的，所以当x∈(1,4]时，f(1)＜f(x)≤f(4)，即5＜f(x)≤26，故选A．4.答案：D解析：()1()f xf x=--当f(－x)＝0时不成立，故选D．5.答案：C解析：f(x)是偶函数，且在(－∞，－1]上是递增函数．而f(2)＝f(－2)，且－2＜－1.5＜－1，所以f(－2)＜f(－1.5)＜f(－1)．即f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)，故选C．6.答案：0解析：由于f(x)＝x(ax＋1)＝ax2＋x，又f(x)是奇函数，必有a＝0.7.答案：－1解析：由f(x)＝x3＋ax＋1得f(x)－1＝x3＋ax.∵f (x)－1为奇函数，∴f(1)－1＝－[f(－1)－1]，即f(－1)＝－f(1)＋2＝－3＋2＝－1.8.答案：74f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(2)解析：∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则7744f f⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而724<，∴74f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(2)．9.解：(1)∵f(x)＝x有两个相等的实数根．∴x2＋(a－1)x＋b＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(a－1)2－4b＝0.①又f(0)＝f(1)，∴a＋b＋1＝b.②由①，②知a＝－1，b＝1，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)∵213()24f x x⎛⎫=-+⎪⎝⎭，x∈[0,4]，∴12x=时，f(x)有最小值34.又f(0)＝1，f(4)＝13，∴f(x)的最大值为13.∴f(x)的值域为3,13 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.10.解：∵f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1，∴f(x)的图象是开口向上，对称轴为x＝a的抛物线，如下图所示．当a＜0时〔如图(1)〕，f(x)的最大值为f(2)＝3－4a，f(x)的最小值为f(0)＝－1；当0≤a ≤1时〔如图 (2)〕，f (x )的最大值为f (2)＝3－4a ，f (x )的最小值为f (a )＝－a 2－1； 当1＜a ＜2时〔如图(3)〕，f (x )的最大值为f (0)＝－1，f (x )的最小值为f (a )＝－a 2－1； 当a ≥2时〔如图(4)〕，f (x )的最大值为f (0)＝－1，f (x )的最小值为f (2)＝3－4a .1．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )． ABCD2．若2＜a ＜3的结果是( )． A ．5－2a B ．2a －5 C ．1 D ．－13．85-⎝⎭化成分数指数幂为( )． A ．13x- B ．415x C ．415x- D ．25x4的值为( )．A． B ．3 C． D5．若11005a=，212b=，则2a ＋b 的值等于( )． A ．10 B ．110C ．1D ．－1 6其中a ∈R ，n ∈N ＋)这四个式子中，没有意义的是__________．7__________． 8．已知5a＝3,5b＝4，则2325a b -的值为__________．9．计算：(1)121203170.02721)79--⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)122332140.1()a b ---⎛⎫⎪⎝⎭.10．已知x＋y＝12，xy＝9，且x＞y，求11221122x yx y-+的值．参考答案1.答案：C解析：当m＜0无意义，故选C．2.答案：C解析：∵2＜a＜3，∴原式＝|2－a|＋|3－a|＝a－2＋3－a＝1.3.答案：B解析：181218118465632563515()()x x x x x⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅===原式.4.答案：A===，故选A．5.答案：D解析：由已知可得102a＝15，10b＝12，于是102a·10b＝110，即102a＋b＝10－1.故2a＋b＝－1.选D．6.解析：(－3)2n＋1＜0，故它没有意义．7.答案：7 8 a11117118248824a a a a a++=⋅⋅==. 8.答案：38解析：23322325555a b aa bb--==.由于5b＝4，∴33332225(5)428b b====.又5a＝3，∴232358a b-=.9.解：(1)11232271251100079--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭原式＝103－49＋53－1＝－45；(2)333122222233224(2)110a ba b-----⋅⋅=⋅⎛⎫⋅⋅⎪⎝⎭原式＝32224 1025⨯=.10.解：111111122222222111111222222()22()()()x y x y x y x y x y xyx y x yx y x y x y--+-+-===--++-，又x＋y＝12，xy＝9，则(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝108.又x＞y，∴x－y=∴129===原式.1．下列函数是指数函数的是()．A．y＝x5B．y＝4x3C．43xy⎛⎫= ⎪⎝⎭D．y＝13x⎛⎫- ⎪⎝⎭＋22．函数f (x)＝132a⎛⎫-⎪⎝⎭·a x是指数函数，则12f⎛⎫⎪⎝⎭的值为()．A．2 B．－2 C．-D．3．函数||12xy-⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是()．4．函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)对于任意的实数x ，y 都有( )． A ．f (xy )＝f (x )f (y ) B ．f (xy )＝f (x )＋f (y ) C ．f (x ＋y )＝f (x )f (y ) D ．f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )5．已知f (x )＝a －x (a ＞0且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是( )． A ．a ＞0 B ． a ＞1 C ．a ＜1 D ．0＜a ＜16．函数y ( )． A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)7．若f (x )是指数函数，且f (2)－f (1)＝6，则f (x )＝__________.8．已知(a 2＋2a ＋5)3x ＞(a 2＋2a ＋5)1－x ，则x 的取值范围是__________．9．函数y =的定义域是__________．10．函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2a，求a 的值．参考答案1. 答案： C2. 答案：D解析：∵函数f (x )是指数函数， ∴12a －3＝1，a ＝8.∴f (x )＝8x ，12182f ⎛⎫== ⎪⎝⎭3. 答案：B4. 答案：C解析：f (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x ·a y ＝f (x )·f (y )，故选C ． 5. 答案：D解析：由于f (x )＝a －x＝1xa ⎛⎫⎪⎝⎭，而f (－2)＞f (－3)，说明f (x )是递增函数，从而11a >，0＜a ＜1，故选D ．6. 答案：C解析：∵4x ＞0，∴16－4x ＜16.∴函数y =[0,4)． 7. 答案：3x解析：设f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，则a 2－a ＝6，解得a ＝3，即f (x )＝3x .8. 答案：14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，解析：对于任意实数a ，a 2＋2a ＋5＝(a ＋1)2＋4≥4＞1，故y ＝(a 2＋2a ＋5)x 是递增函数，因此有3x ＞1－x ，即14x >. 9. 答案：(－∞，0]解析：由21402x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得22－x ≥22，∴2－x ≥2，x ≤0.10. 解：当a ＞1时，y ＝a x 在[1,2]上是递增函数， ∴y max ＝f (2)＝a 2，y min ＝f (1)＝a . ∴f (2)－f (1)＝2a ，即a 2－a ＝2a .。
湘教版高中数学必修第一册本册过关检测(含答案解析)
本册过关检测(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线2x ＋y －1＝0的一个方向向量是()A ．(1，－2)B ．(2，－1)C ．(－1，－2)D ．(－2，－1)2．抛物线x 2＝y 的焦点坐标是()A B.C. D.3．若点P (3，1)到直线l ：3x ＋4y ＋a ＝0(a >0)的距离为3，则a ＝()A ．3B ．2C ．32D ．14．在正数等比数列{a n }中，若a 2＝12，a 4＝18，则该数列的前10项和为()A ．2－128B ．2－129C ．2－1210D ．2－12115．若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值是()A ．－1B ．－2C ．2D ．16．无穷等差数列{a n }的首项a 1>0，公差d <0，{a n }的前n 项和为S n ，则()A ．S n 单调递减 B.S n 单调递增C ．S n 有最大值 D.S n 有最小值7．2022年冬奥会，北京某大学5名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有()A ．90种B ．125种C ．150种D ．243种8．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ，若以双曲线C 的右焦点F 为圆心、半径为2的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为()A ．3 B.2 C.5 D.3二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)96的展开式中，下列说法正确的是()A ．常数项是20B ．第4项的二项式系数最大C ．第3项是15x 2D ．所有项的系数的和为010．已知双曲线W ：x 22＋m －y 2m ＋1＝1，()A ．m ∈(－2，－1)B ．若W 的顶点坐标为(0，±2)，则m ＝－3C ．W 的焦点坐标为(±1，0)D ．若m ＝0，则W 的渐近线方程为x ±2y ＝011．[2021·新高考Ⅱ卷]已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切12．等比数列{a n}中，a1<0，公比0<q<1，则下列结论正确的是()A．数列{a n}中的所有偶数项可以组成一个公比为q2的等比数列B．设数列{a n}的前n项和为S n，对∀n>2，n∈N＋，S n<a n＋a1恒成立C．数列{a n}是递增数列D．数列{lg(－a n)}是首项和公差都小于0的等差数列三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．若数列{a n}的前n项和为S n＝3n2－2n，则数列{a n}的通项公式a n＝________．14．为庆祝中国共产党成立100周年，某学校举行文艺汇演．该校音乐组9名教师中3人只会器乐表演，5人只会声乐表演，1人既会器乐表演又会声乐表演，现从这9人中选出3人参加器乐表演，4人参加声乐表演，每人只能参加一种表演，共有________种不同的选法．(用数字作答)15．一动圆截直线3x－y＝0和3x＋y＝0所得弦长分别为8，4，则该动圆圆心的轨迹方程为________．16．若A，B分别是椭圆E：x2＋y2m＝1，(m>1)短轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，若直线AP与BP的斜率之积为－4m，则m＝________，椭圆的离心率为________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在①对任意n>1满足S n＋1＋S n－1＝2(S n＋1)；②S n＋1－2＝S n＋a n；③S n＝na n＋1－n(n＋1).这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：已知数列{a n}的前n项和为S n，a2＝4，________，若数列{a n}是等差数列，求出数列{a n}的通项公式；若数列{a n}不是等差数列，说明理由．18．(本小题满分12分)已知直线l1：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.(1)求证：无论m为何实数，直线l1恒过一定点M；(2)若直线l2过点M，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小，求直线l2的方程．19．(本小题满分12分)已知圆C 的方程为x 2－2x ＋y 2－3＝0.(1)求过点(3，2)且与圆C 相切的直线方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 相交于A 、B ，求弦长|AB |的值．20．(本小题满分12分)已知抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ，点N (t ，1)在抛物线C 上，且|NF |＝32.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点M (0，1)的直线l 交抛物线C 于不同的两点A ，B ，设O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．21．(本小题满分12分)设数列{a n }是等差数列，数列{b n }是公比大于0的等比数列，已知a 1＝1，b 1＝3，b 2＝3a 3，b 3＝12a 2＋3.(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ，n ≤5n －5，n ≥6，求数列{a n c n }的前n 项和T n .22．(本小题满分12分)如图，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)过点(1，32)，其左、右顶点分别是A，B，下、上顶点分别是C，D，P是椭圆上第一象限内的一点，直线PA，PB的斜率k1，k2满足k1·k2＝－1 4 .(1)求椭圆C的方程；(2)过P点的直线PO交椭圆于另一点Q，求四边形APCQ面积的取值范围．参考答案与解析1．解析：直线2x ＋y －1＝0的斜率k ＝－2，所以直线2x ＋y －1＝0的一个方向向量是(1，－2).答案：A2．解析：因为x 2＝y ，所以x 2＝2·12·y ，所以p ＝12.答案：D3．解析：由题设可得d ＝|13＋a |9＋16＝3，结合a >0可得a ＝2，故选B.答案：B4．解析：设等比数列的公比为q ，∵a 4＝a 2q 2，∴18＝12×q 2，∵q >0，∴q ＝12.∵a 2＝a 1q ，∴a 1＝1，∴S 10＝a 1（1－q 10）1－q 1－12＝2－129.答案：B5．解析：令x ＝0，a 0＝1，令x ＝1，(1＋1)(1－2)7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝－2，令x ＝－1得(1－1)(1＋2)7＝a 0－a 1＋a 2－a 3…＋a 8＝01＋a 2＋…＋a 8＝－3a 1＋a 2－a 3…＋a 8＝－1，两式作差得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝－2，a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1.答案：A6．解析：∵无穷等差数列{a n }的首项a 1>0，公差d <0，∴{a n }是递减数列，且先正值，后负值；∴{a n }的前n 项和为S n 先增加，后减小；∴S n 有最大值．答案：C7．解析：把5名同学分为3组，各组人数可为3，1，1或2，2，1.各组人数为3，1，1时，有C 35·A 33＝60种；各组人数为2，2，1时，有C 25·C 23A 22·A 33＝90种；故不同的安排方法共有60＋90＝150种．答案：C8．解析：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，所以A (a ，b )或A (a ，－b )，因此|AF |＝c ＝2，则可得（2－a ）2＋b 2＝2，整理可得：a 2＋b 2－4a ＝0，因为a 2＋b 2＝c 2＝4，解得a ＝1，所以双曲线的离心率为：e ＝ca＝2.答案：B9．解析：(1x －x )6的二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·(1x)6－r ·(－x )r ＝C r 6·x 2r －6·(－1)r ，对于A ，当2r －6＝0，即r ＝3时，常数项为T 4＝C 36·(－1)3＝－20，故选项A 错误；对于B ，第4项的二项式系数为C 36是最大的，故选项B 正确；对于C ，第3项是T 3＝C 26·x －2·(－1)2＝15x －2，故选项C 错误；对于D ，令x ＝1，则(1x－x )6＝(1－1)6＝0，故所有项的系数的和为0，故选项D 正确．答案：BD10．解析：因为方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m )(1＋m )>0，解得m >－1或m <－2，A 错误；因为W 的顶点坐标为(0，±2)，所以－m －1＝(2)2，解得m ＝－3，B 正确；当m >－1时，c 2＝(2＋m )＋(m ＋1)＝2m ＋3，当m <－2时，c 2＝－(2＋m )－(m ＋1)＝－2m －3，C 错误；当m ＝0时，双曲线W 的标准方程为x 22－y 2＝1，则渐近线方程为x ±2y ＝0，D 正确．答案：BD11．解析：圆心C (0，0)到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2，若点A (a ，b )在圆C 上，则a 2＋b 2＝r 2，所以d ＝r 2a 2＋b 2＝|r |，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点A (a ，b )在圆C 内，则a 2＋b 2<r 2，所以d ＝r 2a 2＋b 2>|r |，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点A (a ，b )在圆C 外，则a 2＋b 2>r 2，所以d ＝r 2a 2＋b 2<|r |，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点A (a ，b )在直线l 上，则a 2＋b 2－r 2＝0即a 2＋b 2＝r 2，所以d ＝r 2a 2＋b 2＝|r |，直线l 与圆C 相切，故D 正确．答案：ABD 12．解析：由a 2（m ＋1）a 2m＝q 2可知A 对；由a 1<0，公比0<q <1，可知a n <0，∴当n >2，n ∈N ＋时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n <a n ＋a 1恒成立，故B 对；由a 1<0，公比0<q <1，可知数列{a n }是递增数列，故C 对；∵－a n 与1无法比较大小，∴数列{lg (－a n )}的首项无法和0比较，故D 错．答案：ABC13．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，S n －1＝3(n －1)2－2(n －1)，∴a n ＝S n －S n －1＝6n －5，a 1＝1也满足上式，∴a n ＝6n －5.答案：6n －514．解析：根据题意，分2种情况讨论：①只会器乐表演的3人全部被选中，参加器乐表演，需要从剩下6人中选出4人参加声乐表演，有C 46＝15种选法，②从只会器乐表演的3人选出2人，和既会器乐表演又会声乐表演的1人共同参加器乐表演，有C 23C 45＝15种选法，则共有15＋15＝30种选法．答案：3015．解析：如图所示：设点M (x ，y )，由条件可得，AB ＝4，EC ＝2，由点到直线的距离公式可得，|MA |2＝（3x －y ）210，|MC |2＝（3x ＋y ）210，由垂径定理可得：|MA |2＋|AB |2＝|MC |2＋|EC |2，∴（3x －y ）210＋16＝（3x ＋y ）210＋4，化简可得，xy ＝10，∴点M 的轨迹方程为xy ＝10.答案：xy ＝1016．解析：设直线AP 、BP 的方程为y ＝k AP (x －1)，y ＝k BP (x ＋1)，点P (x 0，y 0)，k AP ＝y 0x 0－1，k BP ＝y 0x 0＋1，则k AP ·k BP ＝y 20x 20－1＝－4m ①，又点P 在椭圆E ：x 2＋y 2m ＝1上，x 20－1＝－y 20m②，由①②得，m 2＝4，∵m ＞1，∴m ＝2.即离心率e ＝c a ＝12＝22.答案：22217．解析：若选择条件①：因为对任意n >1，n ∈N ＋，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，所以S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，即a n ＋1－a n ＝2，因为无法确定a 1的值，所以a 2－a 1不一定等于2，所以数列{a n }不一定是等差数列．若选择条件②：由S n ＋1－2＝S n ＋a n ，则S n ＋1－S n －a n ＝2，即a n ＋1－a n ＝2，n ∈N ＋，又因为a 2＝4，所以a 1＝2，所以数列{a n }是等差数列，公差为2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .若选择条件③：因为S n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，所以S n －1＝(n －1)a n －(n －1)n (n ≥2，n ∈N ＋)，两式相减得，a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －2n ，(n ≥2)，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，又S 1＝a 2－2，即a 2－a 1＝2，所以a n ＋1－a n ＝2，n ∈N ＋，又a 2＝4，a 2－a 1＝2，所以a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列．所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n .18．解析：(1)证明：将直线l 1的方程化为m (x －2y －3)＋2x ＋y ＋4＝0，－2y －3＝0x ＋y ＋4＝0＝－1＝－2，故直线l 1恒过定点M (－1，－2)；(2)由题意可知，直线l 2的斜率存在且不为零，设直线l 2的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，令x ＝0，可得y ＝k －2，令y ＝0，可得x ＝2k－1，2<01<0，解得k <0，所以，三角形面积为S ＝12(2－k ＝12－k ≥124＋2＝4，当且仅当k ＝－2时，等号成立，此时直线l 2的方程为y ＋2＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋4＝0.19．解析：(1)由x2－2x＋y2－3＝0可得(x－1)2＋y2＝4，所以圆心为C(1，0)，半径r＝2，①当直线斜率不存在时，由过点(3，2)得直线方程为x＝3，与C(1，0)的距离为2，此时与圆相切，符合题意；②当直线斜率存在时，可设斜率为k，直线方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y＋2－3k＝0，圆心C(1，0)到直线的距离|k－0＋2－3k|k2＋1＝r＝2，即|2－2k|＝21＋k2，解得k＝0.所以直线方程为y＝2.综上所述：所求直线方程为y＝2或x＝3.(2)圆心C(1，0)到直线y＝x＋1的距离d＝|1－0＋1|12＋12＝2，又因为半径r＝2，所以|AB|＝2r2－d2＝24－2＝22. 20．解析：(1)∵点N(t，1)在抛物线C：x2＝2py上，且|NF|＝32，∴|NF|＝y N＋p2＝1＋p2＝32，解得p＝1，∴抛物线C的方程为x2＝2y.(2)证明：依题意，设直线l：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，2＝2y，＝kx＋1，消去y可得x2－2kx－2＝0，由韦达定理得x1x2＝－2，∴k1k2＝y1x1·y2x2＝x12·x22＝－12，即k1k2为定值－12.21．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q(q>0)，q＝3（1＋2d）q2＝12（1＋d）＋3，解得d＝1，q＝3，故a n＝1＋(n－1)＝n，b n＝3·3n－1＝3n.(2)数列{c n}满足c n，n≤5n－5，n≥6；当n≤5时，T n＝a1＋a2＋…＋a n＝n（n＋1）2；当n≥5时，T n＝T5＋a6b1＋a7b2＋…＋a n b n－5＝15＋6·31＋7·32＋…＋n·3n－5令M＝6·31＋7·32＋…＋n·3n－5则3M＝6·32＋…＋(n－1)·3n－5＋n·3n－4，两式相减得，－2M＝6·31＋(32＋…＋3n－5)－n·3n－4－2M＝18＋32（1－3n－6）1－3－n·3n－4，整理得M＝－274＋2n－14·3n－4，所以T n ＝334＋2n －14·3n －4，综上，T nn ≤5n －4，n ≥6.22．解析：(1)设P (x 0，y 0)，则k 1k 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a2.又x 20a 2＋y 20b2＝1⇒y 20＝b 2(a 2－x 20)a 2，所以k 1k 2＝－b 2a 2＝－14.①又由椭圆C 得1a 2＋34b2＝1，②由①②得a ＝2，b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)A (－2，0)，C (0，－1)，设直线PQ 的方程为y ＝kx (k >0)，则点A ，C 到直线P ，Q 的距离分别为d 1＝2k k 2＋1，d 2＝1k 2＋1.kx ，y 2＝1得，所以|PQ |＝2|OP |＝41＋k 21＋4k2.四边形APQC 的面积S ＝12|PQ |(d 1＋d 2)＝2（1＋2k ）1＋4k 2＝21＋4k ＋4k 21＋4k 2＝21＋41k＋4k .由1k ＋4k ∈[4，＋∞)得S ∈(2，22].故四边形APCQ 面积的取值范围是(2，22].。
2024_2025学年新教材高中数学课时检测53用样本估计总体的集中趋势含解析湘教版必修第一册
课时跟踪检测(五十三) 用样本估计总体的集中趋势[A 级 基础巩固]1．已知一组数据为－3，5，7，x ，11，且这组数据的众数为5，那么该组数据的中位数是( )A ．7B ．5C ．6D ．11解析：选B 由这组数据的众数为5，可知x ＝5.把这组数据由小到大排列为－3，5，5，7，11，可知中位数为5.2．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：选D 将数据从小到大排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，则平均数a ＝110×(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7，中位数b ＝15，众数c ＝17，明显a ＜b ＜c ，故选D.3．某班级统计一次数学测试后的成果，并制成如下频率分布表，依据该表估计该班级的数学测试平均分为( )A ．80B ．81C ．82D ．83解析：选C 平均分x －＝65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.2＝82，故选C. 4．某中学高一年级从甲、乙两个班级中各选出7名学生参与数学竞赛，他们取得的成果(满分100分)如下：甲 78 79 80 8x 85 96 92 乙 76 81 81 8y 91 96 91其中x ，y 处污损．若甲班学生成果的平均数是85分，乙班学生成果的中位数是83分，则x ＋y 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．16解析：选B 甲班学生成果的平均数为x －甲＝17×(78＋79＋80＋80＋x ＋85＋96＋92)＝85(分)，解得x ＝5，乙班学生成果的中位数是83分，所以y ＝3，所以x ＋y ＝8.5．某房地产公司为了解小区业主对户型结构——平层与复式结构的满足度，实行分层抽样方式对中心公园小区的业主进行问卷调查.20位已购买平层户型的业主满足度平均分为8，30位已购买复式户型的业主满足度平均分为9.若用样本平均数估计该小区业主对户型结构满足度的平均分，则其值为( )A ．8.4B ．8.5C ．8.6D ．8.7解析：选C 估计小区业主对户型结构满足度的平均分为X －＝2020＋30×8＋3020＋30×9＝8.6，故选C.6．已知一组数据4，2a ，3－a ，5，6的平均数为4，则a 的值是________． 解析：由平均数公式可得4＋2a ＋（3－a ）＋5＋65＝4，解得a ＝2.答案：27．某同学将全班某次数学考试成果整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图所示)，据此估计此次考试成果的众数是________．解析：依据频率分布折线图，得折线的最高点对应的值是115，据此估计此次考试成果的众数是115.答案：1158．对共有10人的一个数学小组做一次数学测试，测试题由10道单项选择题构成，每答对1题得5分，答错或不答得0分，批阅后的统计得分状况如表所示：则这次测试的平均成果为________分．解析：由题意得50分的有2人，得45分的有2人，得40分的有4人，得35分的有2人，则平均成果为50×2＋45×2＋40×4＋35×210＝42(分)．答案：429．下表是某校学生日睡眠时间(单位：h)的抽样频率分布表，试估计该校学生的平均日睡眠时间.解：法一：总睡眠时间约为 6.25×5＋6.75×17＋7.25×33＋7.75×37＋8.25×6＋8.75×2＝739(h)．故估计该校学生的平均日睡眠时间约为7.39 h. 法二：求各组中值与对应频率之积的和．6．25×0.05＋6.75×0.17＋7.25×0.33＋7.75×0.37＋8.25×0.06＋8.75×0.02＝7.39(h)．故估计该校学生的平均日睡眠时间约为7.39 h.10．在一次中学生田径运动会上，参与男子跳高的17名运动员的成果如表所示：分别求这些运动员成果的众数、中位数与平均数．解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.表里的17个数据可看成是按从小到大的依次排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是x －＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m)．故17名运动员成果的众数、中位数、平均数依次为1.75 m ，1.70 m ，1.69 m.[B 级 综合运用]11．已知样本x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，样本y 1，y 2，…，y m 的平均数为y (x ≠y )，若样本x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m 的平均数z ＝ax ＋(1－a )y ，其中0<a <12，则n ，m (n ，m ∈N *)的大小关系为( )A ．n ＝mB ．n ≥mC ．n <mD ．n >m解析：选C 由题意得z ＝1n ＋m (nx ＋my )＝n n ＋m x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n n ＋m y ，∴a ＝n n ＋m， ∵0<a <12，∴0<n n ＋m <12，又n ，m ∈N *，∴2n <n ＋m ， ∴n <m .故选C.12．一组数据1，10，5，2，x ，2，且2<x <5，若该数据的众数是中位数的23倍，则该数据的平均数为________．解析：依据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷23＝3，把这组数据从小到大排列为1，2，2，x ，5，10，则2＋x 2＝3，解得x ＝4，所以这组数据的平均数为x －＝16×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4.答案：413．甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某品牌节能灯在正确运用的状况下，运用寿命都不低于8年．后来质量检测部门对他们的产品进行抽样调查，抽样调查的各8个产品运用寿命的统计结果如下(单位：年)：甲厂：6，6，6，8，8，9，9，12； 乙厂：6，7，7，7，9，10，10，12； 丙厂：6，8，8，8，9，9，10，10.(1)把以上三组数据的平均数、众数、中位数填入下表：(2)估计这三个厂家的推销广告分别利用了哪一种统计量；(3)假如你是顾客，应当选哪个厂家的节能灯？为什么？解：(1)甲厂：8，6，8；乙厂：8.5，7，8；丙厂：8.5，8，8.5.(2)甲厂利用了平均数或中位数；乙厂利用了平均数或中位数；丙厂利用了平均数或众数或中位数．(3)选丙厂的节能灯．因为无论从哪种统计量来看，与其他两个厂家相比，丙厂水平都比较高或持平．。
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数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1下列各项中，不可以组成集合的是（） A 所有的正数B 等于2的数 C 接近于0的数D 不等于0的偶数 2下列四个集合中，是空集的是（） A }33|{=+x x B },,|),{(22R y x x y y x ∈-= C }0|{2≤x x D },01|{2R x x x x ∈=+- 3下列表示图形中的阴影部分的是（） A ()()A C B C U I U B ()()A B A C U I U C ()()A B B C U I U D ()A B C U I 4下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ；（3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（） A 个B 1个C 2个D 3个 5若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（） A 锐角三角形B 直角三角形 C 钝角三角形D 等腰三角形 6若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（） A 3个B 5个C 个D 个7下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){}1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集 A 个B 1个C 2个D 3个 8若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（） A 1B 1-C 1或1-D 1或1-或0 9若集合{}{}22(,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x R y R =+==+=∈∈，则有（） A M N M =U B M N N =U C N M =I D M N =∅I10方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是（） A ()5,4B )4,5-C (){}4,5-D (){}4,5-11下列式子中，正确的是（） A R R ∈+B {}Z x x x Z ∈≤⊇-,0|C 空集是任何集合的真子集D {}φφ∈ 12下列表述中错误的是（）A 若AB A B A =⊆I 则,B 若B A B B A ⊆=，则YC )(B A I A )(B A YD ()()()B C A C B A C U U U Y I =二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13用适当的集合符号填空（每小空1分）（1）{}()(){}1|,____2,1,2|______3+=≤x y y x x x（2）{}32|_______52+≤+x x ，（3）{}31|,_______|0x x x R x x x x ⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭14设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或,则______,==b a15.某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人16.若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =I ，则x三、解答题：本大题共6分，共74分。
17.（本大题12分）设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====求18.本大题满分12分设集合{}1,2,3,...,10,A =求集合A 的所有非空子集元素和的和19.（本大题满分12分）集合{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-= 满足,A B φ≠I ，,A C φ=I 求实数a 的值20.本大题满分12分全集{}321,3,32S x x x =++，{}1,21A x =-，如果{},0=A C S 则这样的 实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由21.（本大题满分12分） 设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈,如果A B B =I ，求实数a 的取值范围22.（本大题满分14分）已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}2|,C z z x x A ==∈, 且C B ⊆,求a 的取值范围参考答案 1C 元素的确定性； 2D 选项A 所代表的集合是{}0并非空集，选项B 所代表的集合是{}(0,0)并非空集，选项C 所代表的集合是{}0并非空集，选项D 中的方程210x x -+=无实数根； 3A 阴影部分完全覆盖了C 部分，这样就要求交集运算的两边都含有C 部分； 4A （1）最小的数应该是0，（2）反例：0.5N -∉，但0.5N ∉（3）当0,1,1a b a b ==+=,（4）元素的互异性 5D 元素的互异性a b c ≠≠； 6C {}0,1,3A =，真子集有3217-= 7 A （1）错的原因是元素不确定，（2）前者是数集，而后者是点集，种类不同，（3）361,0.5242=-=，有重复的元素，应该是3个元素，（4）本集合还包括坐标轴 8D 当0m =时，,B φ=满足A B A =U ，即0m =；当0m ≠时，1,B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ 而A B A =U ，∴11111m m=-=-或，或；∴1,10m =-或； 9A {}N =（0，0），N M ⊆；10D 1594x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨-==-⎩⎩得，该方程组有一组解(5,4)-，解集为{}(5,4)-； 11D 选项A 应改为R R +⊆，选项B 应改为""⊆，选项C 可加上“非空”，或去掉“真”，选项D 中的{}φ里面的确有个元素“φ”，而并非空集； 12C 当A B =时，A B A A B ==I U13.每小空1分(1),,(2),(3)∈∈∈⊆（12≤，1,2x y ==满足1y x =+，（2 1.4 2.2 3.6=+=，2 3.7+=，或27=+2(27+=+（3）左边{}1,1=-，右边{}1,0,1=-{}{}()|34|U U A C C A x x x a x b ==≤≤=≤≤4类人：设既爱好体育又爱好音乐的人数为x 人；仅爱好体育的人数为43x -人；仅爱好音乐的人数为34x -人；既不爱好体育又不爱好音乐的人数为4人∴4334455x x x -+-++=，∴x =A B B B A =⊆I 得，则224x x x ==或，且x ≠ 17.（本大题12分）设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====求解：由{}A a =得2x ax b x ++=的两个根12x x a ==，即2(1)0x a x b +-+=的两个根12x x a ==，…………………………………4 ∴12112,3x x a a a +=-==得，1219x x b ==，....................................8 ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=91,31M (12)21.（本大题满分12分） 设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈,如果A B B =I ，求实数a 的取值范围 解：由A B B B A =⊆I 得，而{}4,0A =-，224(1)4(1)88a a a ∆=+--=+……4 当880a ∆=+<，即1a <-时，B φ=，符合B A ⊆；当880a ∆=+=，即1a =-时，{}0B =，符合B A ⊆；当880a ∆=+>，即1a >-时，B 中有两个元素，而B A ⊆{}4,0=-；∴{}4,0B =-得1a = (10)∴11a a =≤-或 (12)19.（本大题满分12分）集合{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-= 满足,A B φ≠I ，,A C φ=I 求实数a 的值 解：{}2,3B =，{}4,2C =-，而A B φ≠I ，则2,3至少有一个元素在A 中， (4)又A C φ=I ，∴2A ∉，3A ∈，即293190a a -+-=，得52a =-或 (8)而5a A B ==时，与A C φ=I 矛盾，∴2a =- (12)18.本大题满分12分设集合{}1,2,3,...,10,A =求集合A 的所有非空子集元素和的和解：含有1的子集有92个；含有2的子集有92个；含有3的子集有92个； (6)含有10的子集有92个，∴9(123...10)228160++++⨯= （有（1+2+3+...+10）×29即可给满分 (12)20.本大题满分12分全集{}321,3,32S x x x =++，{}1,21A x =-，如果{},0=A C S 则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由解：由{}0S C A =得0S ∈，即{}1,3,0S =，{}1,3A =，……………………6 ∴32213320x x x x ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩，∴1-=x (12)22.（本大题满分14分）已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}2|,C z z x x A ==∈,且C B ⊆,求a 的取值范围解：{}|123B x x a =-≤≤+，当20a -≤≤时，{}2|4C x a x =≤≤，而C B ⊆则1234,,20,2a a a +≥≥-≤≤即而这是矛盾的；…………4 当02a <≤时，{}|04C x x =≤≤，而C B ⊆， 则1234,,22a a a +≥≥≤≤1即即2；……………………………………8 当2a >时，{}2|0C x x a=≤≤，而C B ⊆， 则223,3a a a +≥<≤即 2； (12)综上所述∴132a ≤≤ (14)。