高代重因式
高等代数知识点总结
次多项式之和
，
fn≠对0称，多且其项中式f基i是本0或定i次理齐次每多个项对式称，多0≤项i式≤，n，都f可i称唯为f
的一地i次表齐示次成分初量等. 对称多项式的多项式
高等代数知识点总结
10
高等代数知识点总结
11
运算及其关系
转置
加 法
(A+B)T=AT+BT
数 乘
(kA)T= k AT
取逆
(kA)1= k1A1
d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
• 互素
f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
• 因式分解唯一定理
次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之 积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一.
• 标准分解定理
每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解
倍法变换
统称线性
|...+...| = |......| + |......|
AA*=A*A=|A|E 当A可逆时，
A*＝|A|A1
定义 性质
若P,Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ)
=r(PAQ)
高等代数知识点总结
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转置
取逆
伴随
加法 (A+B)T=AT+BT
数乘 (kA)T= k AT (kA)1= k1A1 (kA)*= kn1A*
乘法 (AB)T= BT AT (AB) 1= B1 A1 (AB)*= B*A*
则f(x)是有理数域上的既约多项式. • 有理根：有理根的分母整除首项系数，分子整除常 数项
高等代数知识点总结
9
《高等代数(上)》课程标准
《高等代数（上）》课程标准1.课程说明《高等代数（上）》课程标准课程编码〔 37008 〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022.11.20 〕审核〔〕审核日期〔〕批准〔〕批准日期〔〕（1）课程性质：本门课程是数学教育专业的专业基础课程之一，是本专业的核心课程，也是必修课程。
本课程是初等代数的延续与提高, 它的知识，技能，思想方法，对中小学数学教学有直接的指导作用，特别是数学能力的培养和提升发挥着不可替代的作用，可以增强学生的数学思维品质和提高学生的数学素养，为未来的数学教师生涯和今后的再学习奠定良好的专业理论基础。
（2）课程任务：本课程主要针对中小学数学教育教师及相关等岗位开设，主要任务是培养学生在中小学数学教育教师岗位的数学课程教学能力，要求学生掌握中小学数学教师在代数方面的专业理论基础知识、基本技能及思想方法和解决相关问题的能力。
（3）课程衔接：在课程设置上，前导课程有中学数学，后续课程有《高等代数（下）》、《解析几何》、《概率统计基础》、《数论》等。
2.学习目标通过本课程的学习，使学生掌握《高等代数（上）》的基础知识、基本理论、基本方法。
提高学生的逻辑推理能力，提高学生的数学思维能力，提高学生的再学习的能力。
培养学生实事求是、诚实守信、爱岗敬业、团结协作的职业精神，培养学生善于沟通、勇于合作的良好品质，为发展职业能力奠定良好的基础。
使学生成为具备从事中小学数学教育职业的高素质劳动者和教学高级技术人才。
（1）知识目标掌握一元多项式理论、线性方程组、行列式与矩阵及二次型的基本知识、基本理论。
熟练掌握行列式、矩阵的运算。
熟练掌握运用初等变换求解线性方程组、求可逆矩阵的逆矩阵等基本方法。
（2）素质目标培养良好的思想品德、心理素质。
培养良好的职业道德，包括爱岗敬业、诚实守信、遵守相关的法律法规等。
培养学生踏实、认真、求实的做事态度，使学生形成勇于承担责任、实事求是的工作作风。
培养良好的团队协作、协调人际关系的能力。
高等代数§1.6 重 因 式
f ( x) 故 f ( x ) 与 ( f ( x ), f ( x )) 有完全相同的不可约因式， f ( x) 且 的因式皆为单因式. ( f ( x ), f ( x ))
例2
解:
f ( x ) x 5 15 x 3 10 x 2 60 x 72 在 求 f '( x ) 5 x 45 x 20 x 60
f ( n1) ( x ) 0.
基本公式:
( f ( x ) g( x ))' f '( x ) g '( x ) (cf ( x ))' cf '( x ) ( f ( x ) g( x ))' f '( x ) g( x ) f ( x ) g '( x )
称多项式 n1 n 2 f '( x ) nan x ( n 1)an1 x a1 为 f ( x )的一阶微商(导数).
归纳地,可定义 f ( x )的高阶微商.
( k 1)
f ''( x ) ( f '( x ))',, f
(k )
( x) ( f
( x ))',,
若 k 1, 则称 p( x )为 f ( x )的单因式.
若 k 1, 则称 p( x )为 f ( x )的重因式. （若 k =0， p( x ) 不是 f ( x ) 的因式.)
例1
2 2 2 设 f ( x ) ( x 2) , p( x ) x 2.
问: p( x ) 是否为 f ( x ) 的重因式? 在 [ x ]中,p( x )是 f ( x )的2重因式. 在 [ x ]中,p( x ) 不是 f ( x )的重因式.
高等代数北大第四版1-1
§1 数域 §2 一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式
§7 多项式函数 §8 复、实系数多项式
的因式分解 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 * §11 对称多项式 *
云
南 财
一、数域
经
大 学
二、数域性质定理
§1.1 数域
Hale Waihona Puke 数的范围云 按照所研究的问题，常常要明确规定所考虑的
云
b
南
或 a 0,b 0 a b 2 0. 矛盾）
财
经 大
c d 2 (c d 2)(a b 2)
学 a b 2 (a b 2)(a b 2)
ac a2
2bd 2b2
ad bc a2 2b2
2 Q.
Q( 2)为数域．
Gauss数域
类似可证 Q(i) a bi a,b Q, i 1 是数域.
m 0 m P.
n
n
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
Q P.
§1.1 数域
附:
云 南
数环 设P为非空数集，若
财
经
a,b P, a b P, a b P
大
学 则称P为一个数环．
例如，整数集Z 就作成一个数环．
§1.1 数域
财 外，在作代数问题时，不但要考虑一些数，而且
经 往往要对这些数作加减乘除四种运算。因此所考
大 虑的数集还必须满足条件：其中任两个数的和差
学 积商仍在这个集合内。
关于数的加、减、乘、除等运算的性质称为 数的代数性质。
§1.1 数域
一、数域
云 定义 设P是由一些复数组成的集合，其中包括
高等代数第章多项式重因式与重根
p k 1 x k p x g x p x g x
px gx,px p x,
px pxgx, 从而 p x k p x g x p x g x ,
于是 p x 是 f x 的k-1重因式。
推论1： 若不可约多项式 p x 是 f x 的k重因式
2、 cf x cfx;
3、 fx g x fxg x fxg x;
4、 fmxm fm1xfx.
定理1.6.1： 若不可约多项式 p x 是 f x
的k重因式（k>1），则 p x 是 f x 的k-1重因
式，特别多项式 f x 的单因式不是 f x 的因
式。
证： fxpkxgx,
一、多项式函数
1. 定义：设 fx a 0 a 1 x L a n x n F x ,对
c F , 数 fc a 0 a 1 c L a n c n F称为当
x c 时 f x 的值，若 f c 0, 则称c为 f x 在
F中的根或零点。
2. 定义（多项式函数）：设 f xFx, 对
的最大公因式 d x , f x 的重因式的重数恰好是 d x
中重因式的重数加1。此法不能求 f x 的单因式。 2、分离重因式，即求 f x 的所有不可约的单
因式：
fxa nffx x ,fxp 1xp 2xLp sx
例1.6.1 在 Q x 中分解多项式
fx x 4 2 x 3 1 1 x 2 1 2 x 3 6
fxx22x32
例1.6.2：求多项式 f x3pxq有重因式的条件。
p0 3x 9q
2p
3x2 p
3x2 9q x 2p
高等代数 第4章多项式 4.6 重因式与重根
k 1 k p p x f x , x 而 k N , 如果
f x。
p x 就称 f x 的单因式， 当k=1时， 当k>1时，p x 称为 f x 的重因式。
r an cbn1.
例1.7.1：求用 x 2 去除 f x x5 x3 2x2 8x 5 的商式和余式。 解：由综合除法
1 0
2 2
1
2
10
8
16
5
48
2
1
4 5
8
24
53
4 3 2 q x x 2 x 5 x 8x 24 因此
一阶导数 f x 的导数称为 f x 的二阶导数， 记为
f x
2018/10/5 高等代数
f x 的导数称为 f x 的三阶导数，记为 f
x
…………
f x 的k阶导数记为f
1、
(k )
x
多项式的求导法则：
f x g x f x g x ;
c f c F
映射f确定了数域F上的一个函数 f x , f x 被称 为F上的多项式函数。
2018/10/5 高等代数
当F=R时，f x 就是数学分析中所讨论的多项
式函数。
若 u x f x g x , v x f x g x , 则 u c f c g c , v c f c g c . 二、余式定理和综合除法 用一次多项式x-c去 定理1.7.1（余式定理）： 除多项式 f x , 所得的余式是 f c 。 则 r f c 。
高等代数课程标准
《高等代数》课程标准一、课程概述高等代数是高等师范院校数学教育专业的一门重要基础课程，本课程的主要内容是多项式理论和线性代数理论.此外,还介绍群丶环丶域的基本概念。
通过本课程的教学,应使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法,并能处理中学数学的有关教材内容。
同时,培养学生的科学思维丶逻辑推理和运算的能力,以及学生的辩证唯物论观点。
在教学中应注意理论联系实际,联系中学教学。
二、课程目标1、知道《高等代数》这门学科的性质、地位、研究对象及内容、研究方法、知识架构、学科进展及未来发展方向。
2、理解该学科的主要概念、基本原理。
如多项式、行列式、矩阵、向量空间、二次型等。
3、掌握该课程的基本方法和计算与证明技巧。
4、学会应用该学科的原理和基本方法解决实际问题，为学习其它课程打下必要的基础，高观点解决中学数学实际问题。
三、课程内容和教学要求本课程主要内容:基本概念、多项式、行列式、线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型以及群、环和域简介。
教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。
本标准中打“*”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。
第一章基本概念第二章多项式第三章行列式第四章线性方程组第五章矩阵第六章向量空间第七章线性变换第八章欧氏空间第九章二次型第十章群丶环和城简介*四、课程实施(一) 课时安排与教学建议高等代数是数学专业的基础必修课,系主干课程。
一般情况下,每周安排5课时,共165课时.具体课时安排如下:(二) 教学组织形式与教学方法要求教学组织形式：采用以教学班为单位进行授课的教学形式。
教学方法要求：以课堂讲授结合多媒体和讨论为主，辅以课外作业、单元测验、答疑等,有条件的话，可以进行专业调查和课程设计，或组织课外兴趣小组，培养学生对该课程知识综合运用能力和发现问题、分析问题、解决问题的能力。
五、教材编写与选用《高等代数》，张禾瑞、郝鈵新。
高等代数第一章答案(多项式)
若()()()x m x l x h +=，且()()x m x p |，()()x l x p |/，则()()x h x p |/。
证法1： 由()()x m x p |/有 ()()()x p x m x m 1=。
由()()x l x p |/有()()()()()0,1≠+=x r x r x p x l x l 。
于是 ()()()()()()()()x r x p x l x m x m x l x h ++=+=11。
因()0≠x r ，故()()x h x p |/。
证明2：用反证法。
若()()x h x p |，即()()()()x m x l x p +|， 又()()x m x p |，故()()()()()x m x m x l x p -+|，即()()x l x p |，矛盾。
问：若()()()()x g x h x f x h |,|//， 则()()()()x g x f x h +|成立吗？试举例说明。
答：不一定。
例如 ()()()1,1,+=-==x x g x x f x x h ，则()()()()x g x h x f x h |,|//，但()()()()x g x f x h +|。
例如 ()()()2,1,+=-==x x g x x f x x h ， 则()()()()x g x h x f x h |,|//，且()()()()x g x f x h +/|。
例 求m l ,， 使()2523+++=x lx x x f 能被()12++=mx x x g 整除。
解法1：因()()3=∂x f ，()()2=∂x g ，故商()x q 满足()()1=∂x q ，且设()p x x q +=，则由 ()()()x g x q x f =，可得()()p x pm x p m x x lx x +++++=+++1252323，l m p pm p =+=+=,51,2，从而 4,2,2===l m p 。
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§1.6 重因式
推论1 推论 若不可约多项 p( x )是 f ( x )的 k 重因式 ( k ≥ 1) ,
p( x )是 f ( x ), f ′( x ), ⋅ ⋅ ⋅, f ( k −1) ( x ) 的因式，但不是 则 的因式， f (k ) ( x) 的因式. 的因式
说明： 说明： 重因式都是不可约多项式，所以和系数域有关. 重因式都是不可约多项式，所以和系数域有关
§1.6 重因式
二、重因式的判别和求法
1. 若 f ( x ) 的标准分解式为： 的标准分解式为：
f ( x ) = cp r1 1 ( x ) p r2 1 ( x ) ⋅ ⋅ ⋅ p rs s ( x )
提供网站：
§1.6 重因式
作业
P45 16（1） （ ） 17 21 26
提供网站：
§1.6 重因式
∴ f ′( x ) = p k −1 ( x ) ( kg ( x ) p′( x ) + p( x ) g′( x ) )
⇒ p k −1 ( x ) | f ′ ( x ) .
§1.6 重因式
令 h( x ) = kg ( x ) p′( x ) + p( x ) g′( x ) ,
Q p( x ) | g( x )且 p( x ) | p′( x ) ,
∴ p( x ) | kg ( x ) p′( x ) , ⇒ p( x ) | h( x )
⇒ p k ( x ) | f ′( x )
∴ p( x ) 是 f ′( x ) 的 k − 1重因式
注意 定理6的逆命题不成立， 定理6的逆命题不成立，即
p( x ) 为 f ′( x ) 的 k − 1 重因式，但 p( x )未必是 f ( x ) 重因式，
一、k 重因式 二、重因式的判别和求法 三、重因式因素
提供网站：
一、k 重因式
定义 设 p( x )为数域 的不可约多项式，f ( x ) ∈ P[x ] , 为数域P的不可约多项式 的不可约多项式，
§1.6 重因式
2. 定理 定理6
若不可约多项式 p( x ) 是 f ( x ) 的 k 重因式 ( k ≥ 1 ), 重因式. 则它是 f ( x )的微商 f ′( x ) 的 k − 1重因式
证: 假设 f ( x ) 可分解为
f ( x ) = pk ( x ) g( x ) ,
其中 p( x ) | g ( x ) .
推论2 推论 不可约多项式 p( x )是 f ( x )的重因式
⇔ p( x ) 是 f ( x ) 与 f ′( x ) 的公因式 的公因式.
§1.6 重因式
注 不可约多项式 p( x )为 f ( x ) 的 k ( k ≥ 2) 重因式
⇔ p( x ) 是 f ( x ) 与 f ′( x ) 的公因式，且 的公因式， p( x ) 为 f ′( x ) 的 k − 1 重因式. 重因式.
则 pi ( x ) 为 f ( x ) 的 ri重因式 . i = 1,2, ⋅ ⋅ ⋅ s
ri = 1 时， pi ( x ) 为单因式 ; ri > 1 时, pi ( x ) 为重因式 .
提供网站：
p k ( x ) | f ( x ) ，但 p k + 1 ( x ) | f ( x ) , 若
重因式. 则称 p( x ) 为 f ( x )的 k 重因式 重因式. 若 k >1, 则称 p( x ) 为 f ( x ) 的重因式 单因式. 若 k ＝1, 则称 p( x ) 为 f ( x ) 的单因式 （若 k =0， p( x ) 不是 f ( x ) 的因式) =0， 的因式)
⇔ p( x )为 ( f ( x ), f ′( x )) 的 k − 1 重因式. 重因式.
f ( x ) ∈ P[x ] ，若 ( f ( x ), f ′( x )) = p1r1 ( x ) ⋅ ⋅ ⋅ ps rs ( x ) ,
为不可约多项式， 其中 pi ( x ) 为不可约多项式， 则 pi ( x ) 为 f ( x ) 重因式. 的 ri + 1 重因式.
§1.6 重因式
推论3 推论 多项式 f ( x )没有重因式 ⇔ ( f ( x ), f ′( x )) = 1 . 说明 根据推论2、 可用辗转相除法 可用辗转相除法， 根据推论 、3可用辗转相除法，求出 ( f ( x ), f ′( x )) 是否有重因式． 来判别 f ( x )是否有重因式．若有重因式 ，还可由 ( f ( x ), f ′( x )) 的结果写出来 的结果写出来. 有无重因式. 例1. 判别多项式 f ( x ) 有无重因式
f ( x ) = x − 10 x − 20 x − 15 x − 4
5 3 2
§1.6 重因式
三、重因式分离
f ( x) f ( x ) 与 ( f ( x ), f ′( x ))有完全相同的不可约因式， 有完全相同的不可约因式， f ( x) 的因式皆为单因式. 且 ′( x )) 的因式皆为单因式 ( f ( x ), f