抛物线及其性质知识点及题型归纳总结
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结抛物线是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程学和其他领域。
在高中数学课程中，学生需要学习抛物线的基本性质、方程形式以及与实际问题的应用。
本文将对高中抛物线的知识点进行总结，包括抛物线的定义、性质、方程形式和常见问题解析等内容。
一、抛物线的定义抛物线是平面上一类特殊曲线，其定义可以从几何和代数两个角度来解释。
从几何角度看，抛物线是所有与一个定点（焦点）到平面上一条直线（准线）的距离之比等于到该直线距离平方的曲线。
从代数角度看，抛物线可以用二次函数的形式来表示，即f(x) = ax² + bx + c （a≠0）。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于准线对称，焦点也是准线的对称中心。
2. 定义域和值域：抛物线的定义域为全体实数，值域取决于抛物线开口的方向。
3. 零点和判别式：抛物线的零点为方程f(x) = ax² + bx + c = 0的实根，判别式Δ=b²-4ac 可用于判断抛物线的零点情况。
a）当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实根；b）当Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点，方程有一个实根；c）当Δ<0时，抛物线与x轴没有交点，方程没有实根。
4. 单调性：抛物线的开口方向决定了其单调性，开口向上时，抛物线是向上开口并且在焦点处取得最小值；开口向下时，抛物线是向下开口并且在焦点处取得最大值。
5. 导数和凸凹性：抛物线的导数为二次函数f'(x) = 2ax + b，凹凸性取决于a的正负：当a>0时，抛物线朝上凹；当a<0时，抛物线朝下凸。
三、抛物线的方程形式1. 标准形式：对于抛物线f(x) = ax² + bx + c，当a≠0时，可以通过平移坐标轴的方法使其化简为标准形式y = x²，此时焦点为原点(0,0)。
2. 顶点形式：通过平移坐标轴的方法，将抛物线的顶点移动至坐标原点，得到顶点形式y = a(x-h)² + k，其中(h,k)为顶点坐标。
抛物线 标准方程、几何性质、经典大题归纳总结
一、 第一讲: 抛物线标准方程 二、 考点、热点回顾一、定义: 在平面内,及一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.即：的轨迹是抛物线。
则点若M MNMF,1 三、 (定点F 叫做抛物线的焦点, 定直线l 叫做抛物线的准线。
)标准方程:设定点F 到定直线l 的距离为p(p 为已知数且大于0).取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴, x 轴及l 交于K, 以线段KF 的垂直平分线为y 轴, 建立直角坐标系抛物线上的点M(x, y)到l的距离为d, 抛物线是集合p={M||MF|=d}.化简后得: y2=2px(p＞0).由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况, 抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：二、典型例题(2)例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x, 求它的焦点坐标和准线方程；已知抛物线的焦点坐标是F(0, -2), 求它的标准方程．方程是x2=-8y.例2.根据下列所给条件, 写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F(3, 0)；(3)焦点到准线的距离是2.答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x, y2=-4x, x2=4y, x2=-4y．三、课堂练习1.抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________答案：2解析: 解析: 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0), 准线x＝－1.∴焦点到准线的距离为2.2.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: 解: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.3.已知抛物线的顶点在原点, 对称轴是x轴, 抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离等于5, 求抛物线的方程和m的值解法一: 由焦半径关系, 设抛物线方程为y2=-2px(p＞0), 则准线方因为抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离|MF|及到准线的距离得p=4.因此, 所求抛物线方程为y2=-8x.又点M(-3, m)在此抛物线上, 故m2=-8(-3)．解法二: 由题设列两个方程, 可求得p和m. 由学生演板. 由题意在抛物线上且|MF|=5, 故四、课后作业1.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.2.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M, 其横坐标为－9, 它到焦点的距离为10, 求抛物线方程和M点的坐标.解析: 解: 由抛物线的定义, 设焦点F(－, 0). 则准线为x＝.设M到准线的距离为|MN|,则|MN|＝|MF|＝10, 即－(－9)＝10, ∴p＝2. 故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)，代入抛物线方程得y＝±6. 故M(－9,6)或M(－9，－6)．3.已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上, 点A(2, )在抛物线内. 若抛物线上一动点P到A.F两点距离之和的最小值为4, 求抛物线C的方程.解析: 解: 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0), 其准线为x＝－, 过P点作抛物线准线的垂线, 垂足为H(图略), 由定义知, |PH|＝|PF|.∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|, 故当H、P、A三点共线时, |PA|＋|PF|最小. ∴|PA|＋|PF|的最小值为＋2＝4, p＝4, 即抛物线C的方程为y2＝8x.4.动圆M经过点A(3,0)且及直线l: x＝－3相切, 求动圆圆心M的轨迹方程.解：设圆M及直线l相切于点N. ∵|MA|＝|MN|, ∴圆心M到定点A(3,0)和定直线x＝－3的距离相等．根据抛物线的定义, M在以A为焦点, l为准线的抛物线上．∵＝3，∴p＝6. ∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x.第二讲: 抛物线简单几何性质一、考点、热点回顾定义: 在平面内,及一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.补充：1.通径: 通过焦点且垂直对称轴的直线, 及抛物线相交于两点, 连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
抛物线知识点及相关题型
知识点1、掌握的定义：平面内与一定点F 和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不 在定直线1上)。
定点F 叫做抛物线的焦点，定直线1叫做抛物线的准线2、方程、图形、性质j 2 = 2 px y 2 = -2 pxx 2 = 2 py x 2 =—2 py (p > 0)(p > 0)(p > 0) (p > 0)统一方程 焦点坐标(p ,0) 2(-p ,0) 2Q p )(0,-p ) 2准线方程 p x = 一一 2 p x =— 2 p y = - -2p y =—2范围 x > 0x < 0y > 0y < 0 对称性 x 轴x 轴y 轴y 轴顶点 (0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e = 1 e = 1 e = 1 e = 1焦半径3、 通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长为；4、抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心， 没有渐近线；5、 注意强调p 的几何意义：。
方程及性质1、抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是x 轴,抛物线过点(-5 ,2.三),则抛物线的标准方程是 ( )A.y 2=-2xB.y 2=2xC. y 2=-4xD.y 2=-6x2、抛物线y 2= 8 x 的焦点到准线的距离是()(A) 1 (B)2(C)4(D)83、抛物线y 2 = 8x 的焦点坐标是4、抛物线y = 2 x 2的准线方程是;抛物线标准方程图形5、设抛物线y 2 = 2 px (p > 0)的焦点为F，点A (0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为。
6、过点P(2,2)的抛物线的标准方程是.7、对于抛物线y2 = 4x上任意一点Q,A P (a, 0)都满足|PQ|?|a| ,则a的取值范围是A. (—8,0)B. (—8,2]C. [0, 2]D.(0, 2)8、设O为坐标原点，F为抛物线y 2 = 4 x的焦点，A是抛物线上一点，若OA - AF =—4，则点A 的坐标是()A. (2,2.；2),(2,—2V2)B.(1, 2),(1,—2)C.(1, 2)D. (2,2、；2)9、在同一坐标系中，方程a 2 x 2 + b 2 x 2 = 1与ax + by 2 = 0( a > b > 0)的曲大致是()A. B. C. D.10、已知椭圆x2 + 21 = 1(a>b>0),双曲线x2 —H = 1和抛物线y2 = 2px %>0)的离心率分别为a 2 b 2 a 2 b 2e、e、©,则( ) A. ee V e B.ee=e C. e e >e D.e e >e抛物线曲线几何意义11、动点P到点F (2,0)的距离与它到直线x + 2 = 0的距离相等，则P的轨迹方程为.12、已知抛物线y2 = 2px(p > 0)的准线与圆x2 + y2 —6x-7 = 0相切，则p的值为(A) - (B) 1 (C)2 (D)4213、以抛物线y2 = 4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A.x2+y2+2x=0B. x2+y2+x=0C. x2+y2-x=0D. x2+y2-2x=014、点P到点A(1,0) , B(a,2)及到直线x =--的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那^2 ^2么a 的值是( )A . 1B . 3C . 1或3D . — 1或122222215、点M 与点F (4,0)的距离比它到直线x + 5 = 0的距离小1,求点M 的轨迹方程。
抛物线及其性质知识点大全
抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右左上下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准 线方 程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对 称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标 （0,0）离心率 1e =通 径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结高中抛物线知识点总结抛物线是一条二次函数，它的图像呈现出一个弧形，常见于物理、数学和工工科中。
在高中学习中，抛物线是一个重要的数学概念之一，在数学、物理和工程学中都有广泛的应用。
在此本文将为您介绍抛物线的基本概念、性质以及解题方法等知识点。
1. 抛物线的基本概念抛物线的定义是由一个不在同一平面的点P和一条确定的直线l，绕P旋转一周所形成的曲线叫做抛物线。
其中点P叫做焦点，直线l叫做准线。
抛物线的标准方程是 y = ax^2 + bx +c ，其中a,b,c是常数，a 不等于0。
当 a > 0 时，抛物线开口向上，当a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的性质（1）对称性抛物线的图像具有对称性，也就是有轴对称线。
这条对称线称为抛物线的轴线，它通过焦点和准线的垂线交点。
（2）焦点、准线和顶点的关系对于对称轴y = k，横坐标为h的点P(x,y), 有以下关系式成立：（i）焦点坐标为 F(h,k+p)，其中p=1/(4a)（ii）准线的方程为 y = k-p（iii）顶点坐标为 V(h,k)（3）焦距的意义焦距是从焦点到准线的距离，它的值等于 1/(4a)。
焦距的意义在物理学中有广泛应用，例如椭圆轨道和双曲线轨道等。
（4）最值和拐点抛物线最值和拐点是求解抛物线的重要问题：（i）当抛物线开口向上时，最小值就是它的顶点V(h,k)，最大值不存在。
（ii）当抛物线咕咕向下时，最大值就是它的顶点V(h,k)，最小值不存在。
（iii）抛物线拐点存在的条件为 a 不等于 0。
求抛物线的拐点（x,y)，只需要将一阶导数为0的得到解析式，然后代入求y坐标值。
3. 抛物线的应用抛物线在日常生活和工程学中有着广泛的应用，其中的一个典型实例是进行投掷运动的物理解析。
在投射问题中，抛物线成为空气中物体运动的轨迹，其中重力在垂直方向上作用，空气阻力在垂直方向上不作用。
抛物线还有一些其他的应用，包括：（1）建筑物的设计，例如拱形门廊和地理石的建筑设计。
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结一、抛物线的定义和特点1. 定义：抛物线是平面内一点到定点和定直线的距离相等的轨迹。
也可以用二次方程的形式表示：y = ax^2 + bx + c。
2. 特点：抛物线是对称的，有一个对称轴。
抛物线开口的方向由二次项的系数决定，若a > 0，则开口向上；若a < 0，则开口向下。
二、抛物线的标准方程和一般方程1. 标准方程：抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
三、抛物线的顶点坐标和对称轴2. 对称轴：抛物线的对称轴是与x轴平行的直线，其方程为 x = -b/2a。
四、抛物线的焦点和直线的焦准方程1. 焦点：抛物线的焦点坐标为 (h, k + 1/4a)，其中a ≠ 0。
若抛物线开口向上，则焦点在顶点上方；若抛物线开口向下，则焦点在顶点下方。
五、抛物线的判别式和性质1. 判别式：抛物线的判别式Δ = b^2 - 4ac，若Δ > 0，则抛物线与x轴有两个交点；若Δ = 0，则抛物线与x轴有一个交点；若Δ < 0，则抛物线与x轴没有交点。
2. 性质：抛物线是平面内一点到定点和定直线的距离相等的轨迹，其焦点到顶点的距离等于焦点到对称轴的距离。
六、抛物线的应用1. 物理学：抛物线运动是一种常见的物理现象，如抛体运动、自由落体运动等。
2. 工程学：抛物线在建筑、工程设计中有广泛的应用，如拱形结构、抛物面反射器等。
3. 数学建模：抛物线可以用于数学建模，分析实际问题与数学模型之间的关系。
以上就是我对抛物线知识点的总结，希望对你有所帮助。
抛物线几何性质(抛物线几何性质总结)
小
方程
焦点 准线
y2 2 px ( p 0)
F
(
p 2
,0)
x
p 2
y2 (p
2 pxF (
0)
p 2
,0)
x
p 2
x2 2 py ( p 0)
F
(0,
p 2
)
y
p 2
x2 2 py ( p 0)
F (0,
p 2
)
y
p 2
结
图形
y P(x,y)
o F( p ,0) x
|AB|=|AF|+|BF| =x1+x2＋2. 由方程 x2－6x＋1=0,
ly A1
A
得 x1+x2=6, 于是 |AB|=6+2=8
O
B1
F B
x
弦长计算: 法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般); 法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,
x 6, 6 不合题意,舍去
所以这时水面宽为 2 6.
y
O x
B(2, -2)
B(x,3)
小结: 本节主要学习内容
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的 对应关系以及判断方法
2、抛物线的定义、标准方程和它的焦点、 准线方程
3、求标准方程常用方法： （1）用定义 ； （2）用待定系数法.
（0, 0）
p 2
x0
p 2
y0
p (x1 x2) p y1 y2
p 2
y0
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抛物线及其性质知识点大全推荐文档1. 抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，其定义式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。
2.抛物线的图像：抛物线的图像呈现出对称性，它的开口方向由抛物线的系数a的正负决定。
当a大于0时，抛物线向上开口；当a小于0时，抛物线向下开口。
3.抛物线的顶点：抛物线的顶点为曲线上的最低点（向上开口）或最高点（向下开口）。
顶点的横坐标为x=-b/(2a)，纵坐标为y=f(-b/(2a))，其中f(x)为抛物线的函数。
4. 抛物线的焦点：抛物线的焦点是曲线上与直线y = mx + n相交的点的轨迹，其中m、n为常数。
焦点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = c - (b^2 - 1)/(4a)。
5.抛物线的对称轴：抛物线的对称轴是通过顶点和焦点的垂直平分线。
对称轴的方程为x=-b/(2a)。
6. 抛物线的判别式：抛物线的判别式为Δ = b^2 - 4ac，其中Δ的值决定了抛物线的性质。
若Δ大于0，则抛物线与x轴有两个交点，即开口向上或向下的抛物线。
若Δ等于0，则抛物线与x轴有一个交点，即开口向上或向下的抛物线。
若Δ小于0，则抛物线与x轴没有交点，即开口向上或向下的抛物线。
7.抛物线的焦距：焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到对称轴的距离，即焦距等于对称轴到顶点的距离。
8.抛物线的切线：抛物线上任意一点处的切线与该点的切线斜率相等，切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)，其中f'(x)为抛物线函数的导数。
9.抛物线的性质：抛物线是一条连续曲线，它具有对称性、单调性（a的符号决定）、可导性（除去顶点的地方都可导）、增减性（导数的符号决定）、可微性（除去顶点的地方都可微）、凸凹性（a的符号决定）等性质。
10.抛物线的应用：抛物线在物理学中常用于描述自由落体、抛体运动等；在工程学中常用于设计桥梁、铁轨等；在经济学中常用于描述成本、收益等。
抛物线知识点归纳
抛物线知识点归纳抛物线是一种二次曲线，它的数学定义是指与定直线称为焦点、线段垂直且等于不等于焦点到定直线的距离的所有点的集合。
1.概念与性质：- 抛物线由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定，一般表示为y=ax²+bx+c。
-抛物线关于y轴对称，焦点和准线的图像都在直线y=-d处，直线y=-d称为对称轴。
-抛物线开口方向取决于a的值，当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
-抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，坐标为（-b/2a,c-b²/4a）。
- 抛物线与x轴交于两个点，称为零点或根，可以通过求解ax²+bx+c=0来计算。
-抛物线的焦距是焦点到准线的距离，即2，a，/，a。
-抛物线在焦点处有对称轴的切线。
- 抛物线的导数为二次函数的一次函数，即f’(x)=2ax+b，表示抛物线的切线斜率。
2.抛物线方程的标准形式：-标准形式是指抛物线方程化简为y=a(x-h)²+k的形式。
-其中(h,k)是顶点的坐标。
-标准形式方程中，a的值决定了抛物线的开口方向、大小和形状。
3.抛物线的图像：-根据抛物线方程的标准形式可以绘制抛物线的图像。
-当a>0时，抛物线开口朝上，图像在顶点处最低，并向上开口。
-当a<0时，抛物线开口朝下，图像在顶点处最高，并向下开口。
-根据a的绝对值的大小，可以判断抛物线的瘦胖程度，绝对值越大，抛物线越瘦。
4.抛物线的应用：-抛物线是物理学中众多力学问题的数学模型，如自由落体、抛体运动等。
-在工程学中，抛物线用于设计弧线桥、天桥和溢流堰等建筑物。
-抛物线也被广泛应用于计算机图形学、动画设计和游戏开发等领域。
-抛物线还可以用于解决实际生活中的优化问题，例如计算抛物线最远投掷距离、最短时间等问题。
5.抛物线与其他数学概念的关系：-抛物线与直线的关系：直线可以与抛物线相交于两个点，称为抛物线的零点。
-抛物线与圆的关系：圆是一种特殊的抛物线，焦点和准线重合。
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抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到必然点 F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数 p 几何意义张口方向标准方程焦点位置焦点坐标准线方程范围对称轴极点坐标离心率通径焦半径 A(x1 , y1)焦点弦长AB 焦点弦长AB的补充A(x1, y1 ) B( x2 , y2 )参数 p 表示焦点到准线的距离， p 越大，张口越阔.右左上下y2 2 px( p 0)y22px( p0)x22py( p0)x2 2 py( p 0) X 正X 负Y 正Y 负(p,0)(p,0)(0,p)(0,p) 2222 p p pyp x x y2 222x 0, y R x 0, y R y 0, x R y 0, x R X 轴X 轴Y 轴Y 轴〔0,0〕e12pAFpAF x1pAF y1pAFp x122y1 22 ( x1x2 ) p(x1 x2 ) p( y1y2 ) p( y1y2 ) p以 AB 为直径的圆必与准线l 相切假设 AB 的倾斜角为， 2 p假设 AB 的倾斜角为，那么AB2 pAB2cos2sinx1 x2p2y1 y2p2411AF BF AB2AF BF AF ?BF AF ?BF p3．抛物线y2 2 px( p 0) 的几何性质：(1) 范围：由于 p>0，由方程可知 x≥ 0，因此抛物线在y 轴的右侧，当 x 的值增大时，|y|也增大，说明抛物线向右上方和右下方无量延伸．1(2) 对称性：对称轴要看一次项，符号决定张口方向．(3) 极点〔 0， 0〕，离心率： e 1，焦点 F ( p ,0) ，准线 xp，焦准距 p ．22(4) 焦点弦：抛物线 y 22 px( p 0) 的焦点弦 AB ， A(x 1 , y 1 ) , B( x 2 , y 2 ) , 那么 | AB | x 1 x 2 p ．弦长 |AB|=x 1+x 2+p, 当 x 1=x 2 时，通径最短为 2p 。
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抛物线及其性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.注 若在定义中有l F ∈，则动点的轨迹为l 的垂线，垂足为点F . 二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：)0(2,2,2,22222>-==-==p py x py x px y px y ，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）1. 点),(00y x P 与抛物线)0(22>=p px y 的关系（1）P 在抛物线内（含焦点）0202px y <⇔. （2）P 在抛物线上0202px y =⇔. （3）P 在抛物线外0202px y >⇔.2. 焦半径抛物线上的点),(00y x P 与焦点F 的距离称为焦半径，若)0(22>=p px y ，则焦半径20px PF +=，2max p PF =. 3. )0(>p p 的几何意义p 为焦点F 到准线l 的距离，即焦准距，p 越大，抛物线开口越大.4. 焦点弦若AB 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦，),(11y x A ，),(22y x B ，则有以下结论：（1）4221p x x =.（2）221p y y -=.（3）焦点弦长公式1：p x x AB ++=21，p x x x x =≥+21212，当21x x =时，焦点弦取最小值p 2，即所有焦点弦中通径最短，其长度为p 2.焦点弦长公式2：α2sin 2pAB =（α为直线AB 与对称轴的夹角）.（4）AOB ∆的面积公式：αsin 22p S AOB =∆（α为直线AB 与对称轴的夹角）. 5.抛物线的弦若AB 为抛物线22(p 0)y px => 的任意一条弦，1122(x ,y ),B(x ,y )A ，弦的中点为000(x ,y )(y 0)M ≠ ，则（1） 弦长公式：1212(k k 0)AB AB x y y =-=-=≠ （2） 0AB p k y =（3） 直线AB 的方程为000(x x )py y y -=- （4） 线段AB 的垂直平分线方程为000(x x )y y y p-=-- 6．求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4A法） （1）2(A 0),y Ax =≠ 焦点为(,0)4A ，准线为4A x =-(2) 2(A 0),x Ay =≠ 焦点为(0,)4A ，准线为4A y =-如24y x =，即24y x =，焦点为1(0,)16 ，准线方程为116y =-7．参数方程22(p 0)y px => 的参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩（参数t R ∈）8．切线方程和切点弦方程抛物线22(p 0)y px =>的切线方程为0000(x x ),(x ,y )y y p =+为切点切点弦方程为00(x x ),y y p =+点00(x ,y )在抛物线外与中点弦平行的直线为00(x x ),y y p =+此直线与抛物线相离，点00(x ,y )（含焦点）是弦AB 的中点，中点弦AB 的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果。
题型归纳及思路提示题型1；抛物线的定义与方程 思路提示求抛物线的标准方程的步骤为：(1) 先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置： (2) 根据题目条件列出P 的方程 (3) 解方程求出P ，即得标准方程1023例． 已知抛物线22(p 0)y px =>的准线与圆22670x y x +--=相切,求的值为（ ）A ．12B ． 1C ． 2D ．4 解析；抛物线的准线为2p x =-，圆22670x y x +--=的标准方程为22(x 3)16y -+= ，由2p x =-与圆相切，知3()42p--=，解得2p =，故选C评注 准线 是抛物线的重要性质，要熟记准线方程。
变式1 设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（ ）A ．28y x =- B ． 28y x = C ．24y x =- D ．24y x =变式2 设00(x ,y )M 为抛物线2:8C x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ． []0,2C ．()2,+∞D ．[)2,+∞例10.24 若点p 到直线1x =-的距离比它到点()2,0的距离小1 ，则点p 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析 解法一：（直接法）设(x,y)P ，依题意有11x +=，当1x ≥- 时，11x ++= ，整理得28y x =当1x <- 时，24(x 1)y =- ，显然不成立，故点p 的轨迹方程为28(x 0)y x =≥解法二：（定义法）由题意可知，点p 只能在1x =-的右侧，点p 到直线2x =- 的距离等于它到点()2,0的距离，根据抛物线的定义知，点p 的轨迹是抛物线，故选D变式1 设圆C 与圆22(y 3)1x +-= 外切，与直线0y = 相切，则C 的圆心轨迹为（ ） A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆变式2 动点M 到点(2,1)F 的距离和到直线:34100l x y +-= 的距离相等，则动点M 的轨迹为（ ） A ．抛物线 B ．直线 C ．线段 D ．射线10.25例 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4 ，则点P 抛物线焦点的距离是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12 解析 由焦半径公式4262p pPF x =+=+= 知点P 到焦点的距离为6，故选B 变式1 （2012四川理8）已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,y )M ，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =（ ）A ．B ．C ．4D ．变式2 已知F 是抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF += 则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．34 B ．1 C ．54 D ．74变式 3 设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++= ，则FA FB FC ++=（ ）A ．9B ．6C ．4D ．310.26例 过抛物线22(p 0)y px => 的焦点F 作倾斜角为60的直线与抛物线分别交于,A B 两点（点A在x 轴上方），则AFBF= 解析 如图10-10所示，由题意得准线:2pl x =-，作AC l ⊥ 于点C ，BD l ⊥于点D ，BH AC ⊥于点H ，则,AF AC BF BD == ，AH AC BD AF BF =-=- ，因为在三角形AHB 中，60HAB ∠=，所以cos60AH AF BF AB AF BF -==+ ，即1()2AF BF AF BF +=- ，得3AF BF=变式 1 已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于,A B 两点，设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于变式2 已知点(2,0)A ，抛物线2:x 4C y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ）A ．2:5B ．1:2C ．1:5D ．1:3题型2 与抛物线有关的距离和最值问题 思路提示抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解。
10.27例已知直线1:4360l x y -+= 和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和2l 的距离之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．115 D ．3716分析 画出图形，利用等价转化，将距离之和的最小值转化为点到直线的距离。
解析 作辅助线如图10-11所示，连接PF 抛物线方程为24y x =，2l 为其准线，焦点为(1,0)F ，由抛物线的定义可如12111(F,l )2PH PH PH PF FH d +=+≥≥= ，故选A评注 本题考查抛物线的定义及转化与化归的数学思想变式 1 已知点P 是抛物线22y x = 上的一个动点，则点P 到点(0,2)M 与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A ．172 B ．3 C ．5 D ．92变式2 已知点P 在抛物线24y x =上，那么当点P 到点(2,1)Q -的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．1(,1)4-B ．1(,1)4C ．(1,2)D ．(1,2)-变式 3 动圆满足过定点(1,0)F ，且与定直线1x =-相切，直线:221l y x =++ 与动圆有公共点，则动圆的面积最小值为题型3 抛物线中三角形，四边形的面积问题 思路提示解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比。
例10.28（2012北京理12）在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60，则OAF 的面积为解析 解法一：直线l 的方程为3(x 1)y =- 没，代入24y x =得231030x x -+= 解得121,33x x == 得(3,23)A 11123322OAPA S OF y ==⨯⨯=解法二： 如图10-12所示，由题意得抛物线的准线:1l x =-，过A 作AC l ⊥于C ，FH AC ⊥于H ，连接,CF OA ，则AF AC =，又60CAF ∠=，故三角形ACF 为正三角形，因为2CH p == ，所以23FH =，所以11123322OAFSOF OH ==⨯⨯= 评注 解法一求出了交点A 的坐标，从而求得OAF 的面积；解法二利用了抛物线的定义及三角形的性质，得出OAF 中边OF 的高，计算量较小，方法更简捷变式1 （2012安徽理9）过抛物线24y x = 的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是坐标原点，若3AF =，则AOB 的面积为（ ）A ．22B．2C．232D ．22例10.29 抛物线24y x=的焦点为F ，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK l⊥，垂足为K，则AKF的面积是（）A．4B ．33C．43D．8分析作出图形，利用数形结合思想，在图中找到三角形的底和高从而使问题得以解决。