数字电路_2数制和编码
数字电路与逻辑设计教程-第1章
1.2 数制和码制
【例1-4】求十进制数(26)10所对应的二进制数。
因此(26)10=(11010)2。
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1.2 数制和码制
【例1-5】求十进制数(357 ) 10所对应的八进制数。 解
因此(357 )10=(545)8。
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1.2 数制和码制
上一节介绍了数字信号的两种取值，实际生活中的数字表示 大多采用进位计数制。
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1.2 数制和码制
1.2.1 进位计数制与常用计数制
用数字量表示物理量大小时，仅用一位数码往往不够用，经 常需要用进位计数的方法组成多位数码表示。把多位数码中 每一位的构成方法以及从低位到高位的进位规则称为计数制 。在生产实践中除了人们最熟悉的十进制以外，还大量使用 各种不同的进位计数制，如八进制、十六进制等。在数字设 备中，机器只认识二进制代码，由于二进制代码书写长，所 以在数字设备中又常采用八进制代码或十六进制代码。
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1.2 数制和码制
任何进制数的值都可以表示为该进制数中各位数字符号值与 相应权乘积的累加和形式，该形式称为按权展开的多项式之 和。一个J进制数(N为按权展开的多项式的普遍形式可表示为 :
式中，K为任意进制数中第i位的系数，可以为0~ (J-1)数码中 的任何一个;i是数字符号所处位置的序号;m和n为整数，m为 小数部分位数(取负整数)，n为整数部分位数(取正整数);.J为 进位基数，Ji为第i位的权值。例如，十进制数(123.75 )10表示 为:
第1章 微型计算机系统概述
1.1 数字电路概述 1.2 数制和码制 1.3 逻辑代数基础 本章小结
1.1 数字电路概述
第二章 计算机中的数制和码制
第2章 计算机中的数制和编码
2.1 无符号数的表示及运算 2.2 带符号数的表示及运算 2.3 信息的编码
第2章 计算机中的数制和编码
计算机的基本功能是进行数据和信息的处理。数据、信息在计算机中都是以二进 制编码来表示。
本章就是要学习数据在计算机中是如何表 示的？信息在计算机中是如何表示（编码） 示的？信息在计算机中是如何表示（编码） 的？
第2章 计算机中的数制和编码 原码的表示范围 原码表示数的范围为-127∼+127 +127； 8位二进制原码 原码 16位二进制原码 原码表示数的范围为-32767∼+32767 +32767； 原码
第2章 计算机中的数制和编码 原码表示法简单直观，且与真值的转换很方便，但不便于 在计算机中进行加减运算。因此，计算机中通常使用补码进行 因此，
第2章 计算机中的数制和编码 2.1.2 各种数制的相互转换 1．任意进制数转换为十进制数 二进制、十六进制以至任意进制数转换为十进制数的方法 很简单，只要各位按权展开（即该位的数值乘于该位的权）求 和即可。
第2章 计算机中的数制和编码 2. 十进制数转换成二进制数 1)．整数部分的转换 1)．整数部分的转换
第2章 计算机中的数制和编码 3. 十六进制数的表示法 十六进制计数法的特点是： ① 逢十六进一； ② 使用16个数字符号(0,1,2,3……,9,A,B,C,D,E,F)的不同组合 来表示一个十六进制数，其中A∼F 依次表示10∼15； ③ 以后缀H或h表示十六进制数（Hexadecimal）。 例2.3 0E5AD.BFH =
第2章 计算机中的数制和编码
例2.4 将13.75转换为二进制数。 分别将整数和小数部分进行转换： 整数部分：13=1101B 小数部分：0.75=0.11B 因此，13.75=1101.11B
数字电路_2数制和编码
? 区位码——GB 2312的所有字符分布在一个94行×94列的二维平面内，行号称为区号，列号称 为位号。区号和位号的组合就可以作为汉字字符的编码，称为汉字的区位码。
加法
减法
十六进制
? 由于二进制数在使用时位数太长，不容易记忆，所以又推出了十六进制数。 ? 十六进制数有两个基本特点：
? 它由十六个字符 0～9以及A，B，C，D，E，F组成（它们分别表示十进制数 10～15）；
? 十六进制数运算规律是逢十六进一，即基 R=16=2 4，通常在表示时用尾部标志 H或下标 16以示区别。 例如：十六进制数 4AC8可写成（ 4AC8 ）16，或写成 4AC8H 。
B表示。 例如：二进制数 10110011 可以写成（ 10110011 ）2，或写成 10110011B ? 对于十进制数可以不加注基数；
十进制
(D) 0 1 2 3 4
56
7
8
9 10
二进制 (B) 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010
计算机采用二进制数
(101.11)B＝ 1×22 ＋0×21＋1×20＋1×2－1＋1×2－2 ＝(5.75)D
各数位的权是２的幂
十进制数 →二进制数 将整数部分和小数部分分别进行转换。
整数部分 ---除2取余，逆序排列 ; 合并
小数部分 ---乘2取整，顺序排列。
? 十进制数 44.375 转换成二进制等于多少？
(44.375)D＝(？)B
十六进制数 →二进制数
? 十六进制数转换为二进制数时正好与上面所述相反，只要将每位的十六进制数对应的 4 位二进制写出来就行了。
数字电子技术基础 第二版 (侯建军 著) 高等教育出版社 课后答案
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（4） F = ( A + D )( A + D )( B + C ) = A + D + A + D + B + C = A D + AD + B C 题 1.5 逻辑函数有几种表示方法？它们之间如何相互转换？ 答：逻辑函数有五种常用表达方法，分别是与或式，或与式，与非与非式，或非或非式 和与或非式。与或式和或与式是基本表达方法，它们之间的转化利用包含律，分配律等基本 方法完成。与非与非式是由与或式两次取反，利用反演律变换的。或非或非式是由或与式两 次取反，利用反演律变换的。与或非式是由或与式两次取反，然后两次用反演律变换的。 题 1.6 最小项的逻辑相邻的含义是什么？在卡诺图中是怎样体现的？ 答： 最小项的逻辑相邻是指最小项内所含的变量中只有一个变量互为补，反映在卡诺图 中是几何位置相邻。 题 1.7 试总结并说出 （1）由真值表写逻辑函数式的方法； （2）由函数式列真值表的方法； （3）从逻辑图写逻辑函数式的方法； （4）从逻辑函数式画逻辑图的方法； （5）卡诺图的绘制方法； （6）利用卡诺图化简函数式的方法。 答： （1 ） 将真值表中每个输出为 1 的输入变量取值组合写成一个乘积项，若输入变量取 值为 1，乘积项中的因子用原变量表示，反之用反变量表示，然后将这些乘积项做逻辑加。 （2）给函数式中所有输入量依次赋值，观察取这些输入组合的情况下输出的状态，绘 制真值表。 （3）逻辑图的逻辑符号就是表示函数式间的运算关系，将对应的逻辑符号转换成逻辑 运算符，写成逻辑函数式。 （4）将逻辑函数式中的逻辑符号相应转化成各种逻辑门来表示。 （5）根据变量的个数决定卡诺图的方框数，卡诺图中行列变量的取值按循环码规律排 列，以保证几何位置上相邻的方格其对应的最小项为逻辑相邻项。 （6）用卡诺图化简函数时，首先将函数填入相应的卡诺图中，然后按作圈原则将图上 填 1 的方格圈起来，要求圈的数量少，范围大，每个圈用对应的积项表示，最后将所有积项 逻辑相加，就得到了最简的与或表达式。最简或与表达式化简是将所有取 0 的作圈，然后将 所有圈用对应的和项表示，注意若圈对应的变量取值是 0 写成原变量，取 1 写成反变量， 最 后将所有和项逻辑乘。 题 1.8 为什么说逻辑函数的真值表和最小项表达式具有唯一性？ 答：对于任何一个最小项，只有一组变量取值使它的值为 1，同样的，只有一组最小项 的逻辑组合完全满足输出值为 1。真值表是和最小项表达式相对应的。两者对于同一个逻辑 函数都是唯一的。 题 1.9 什么叫约束项？如何用约束项化简逻辑函数？ 答：输入变量的取值受到限制称受到约束，它们对应的最小项称为约束项。采用图解法 对含约束项的逻辑函数进行化简，在对应的格内添上“×” ，根据作圈的需要这些格可以视 为“1”也可以视为“0 ” 。 题 1.10 试说明两个逻辑函数间的与、或、异或运算可以通过卡诺图中对应的最小项作 与、或、异或运算来实现。 答：逻辑函数间的与、或、异或运算相当于逻辑函数各个最小项的运算，也就是卡诺图 中对应项的运算。那么可以通过卡诺图将逻辑函数间的运算转换成若干一位的逻辑运算， 然 后化简得到最简的表达式。
数字电路基础_D01-02数制与二进制编码
1.2数制与二进制编码1.2.1数制数制是构成多位数码中每一位的方法和由低位向高位的进位规则，它也是人们在日常生活和科学研究中采用的计数方法。
如十进制是人们常用的进位计数制，十二进制是日常钟表的计时制。
在计算机和数字通信设备中广泛使用二进制、八进制和十六进制计数制。
1.十进制在十进制中，每一位有0、l 、2、3、4、5、6、7、8、9十个数码，超过9的数应―逢十进一‖，即用多位数表示，这种方法称为位置计数法。
例如，十进制数328．25可写成：(328．25)l0＝3×102十2 X101十8×100十2×10-1十5×10-2上式各数位的乘数即102，101，100，10-1，l0-2称为各相应数位的―权‖，与―位权‖相乘的数称为系数。
因此，任意一个十进制数均可按权展开为∑--==110)10()(n m i i i k S (1-2-1)其中，K i 是第i 位的系数，它可以是0—9这十个数码中的任何一个，整数部分为n 位，小数部分为m 位。
式中使用的下脚注10表示括号中的数为十进制数，有时也可用D(decimal)代替。
若用N 取代上式中的10，即可得到任意进制(N 进制)的按权展开式为∑--==110)()(n m i i i N k N (1-2-2) 式中，(N)i 称为第i 位的权值。
2.二进制在数字系统中，广泛地采用二进制计数制。
主要原因是二进制的每一位数只有两种可能取值，即―0‖或―1‖，可以用具有两个不同稳定状态的电子开关来表示，使数据的存储和传送用简单而可靠的方式进行。
二进制数的特点是：(1)每位二进制数只有两个数码0或1；(2)二进制数的计数规则是―逢二进一‖，与十进制数一样，采用位置计数法表示。
二进制各位的―权‖是基数2的幂。
一个任意二进制数(S)2的按权展开式为(S)2＝K n-1 2 n-1十K n-2 2 n-2十··十K 1 2 1十K 0 2 0十K -1 2 -1十…十K -m 2 –m (1-2-3)式中，K i 、n 、m 的定义与十进制相同，只是K i 的取值为0或1，二进制有时用B(Binary)表示。
数字电路-数制与编码
数码的个 数和计数 规律是进 位计数制 的两个决 定因素
一、 十进制数的表示 数码个数10： ⒈ 数码个数 ：
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
计数规律: 计数规律
逢十进 1,借一当10
2.基与基数 2.基与基数
用来表示数的数码的集合称为基 用来表示数的数码的集合称为基（0—9）, ） 称为基数 十进制为10)。 称为基数(十进制为 。 基数 十进制为 集合的大小
lg α j≥i lg β
取满足不等式的最小整数
)16 ，已知精度为±(0.1)410
例: (0.3021)10→(
解： α＝10，β＝16，i＝4
lg10 j≥ 4 = 3.32 取 j=4 lg16
⑵按题意要求
例: (0.3021)10→( 解:
)2 ，要求精度 0.1% ∴取 j=10
1 1 0.1% = ≥ 10 1000 2
X ;0 ≤ X < 2n [ X ]补＝ 2n +1 + X ;-2n ≤ X < 0
例 2：
(321.4)8 = ( )10 =3×82+2×81+1×80 +4×8-1 =(209.5)10 192 16 1 0.5
基数乘除法（ 10 → R ）
分整数部分和小数部分分别转换。 ⒈整数的转换——基数除法 规则：除基取余， 规则：除基取余，商零为止 例1：(25) 10 = ( ) 2
例：已知 X1＝1100 X2＝1010 求 Y1＝ X1－ X2 ； Y2＝ X2－ X1
01100 +10101 100001 + 1 00010 01010 +10011 11101
数电知识点汇总
数电知识点汇总一、数制与编码。
1. 数制。
- 二进制：由0和1组成，逢2进1。
在数字电路中，因为晶体管的导通和截止、电平的高和低等都可以很方便地用0和1表示，所以二进制是数字电路的基础数制。
例如，(1011)₂ = 1×2³+0×2² + 1×2¹+1×2⁰ = 8 + 0+2 + 1=(11)₁₀。
- 十进制：人们日常生活中最常用的数制，由0 - 9组成，逢10进1。
- 十六进制：由0 - 9、A - F组成，逢16进1。
十六进制常用于表示二进制数的简化形式，因为4位二进制数可以用1位十六进制数表示。
例如，(1101 1010)₂=(DA)₁₆。
- 数制转换。
- 二进制转十进制：按位权展开相加。
- 十进制转二进制：整数部分采用除2取余法，小数部分采用乘2取整法。
- 二进制与十六进制转换：4位二进制数对应1位十六进制数。
将二进制数从右向左每4位一组，不足4位的在左边补0，然后将每组二进制数转换为对应的十六进制数；反之，将十六进制数的每一位转换为4位二进制数。
2. 编码。
- BCD码（Binary - Coded Decimal）：用4位二进制数来表示1位十进制数。
常见的有8421 BCD码，例如十进制数9的8421 BCD码为(1001)。
- 格雷码（Gray Code）：相邻的两个代码之间只有一位不同。
在数字系统中，当数据按照格雷码的顺序变化时，可以减少电路中的瞬态干扰。
例如，3位格雷码的顺序为000、001、011、010、110、111、101、100。
二、逻辑代数基础。
1. 基本逻辑运算。
- 与运算（AND）：逻辑表达式为Y = A·B（也可写成Y = AB），当A和B都为1时，Y才为1，否则Y为0。
在电路中可以用串联开关来类比与运算。
- 或运算（OR）：逻辑表达式为Y = A + B，当A和B中至少有一个为1时，Y为1，只有A和B都为0时，Y为0。
数制与编码
第1章数制与编码学习目标：本章主要介绍了计算机中关于数的表示方法、几种常用数制的转换、机器数的表示方法和常用编码等内容。
使学生通过对数的基础知识的学习，可以为后续单片机原理的学习打下基础。
知识点：1、二进制、十六进制、十进制表达形式及其相互转换；2、机器数中关于有符号数的原码、反码、补码的表达形式及其相互转换；3、ASCII码、BCD码的表达形式及其相互转换。
1.1 不同进位计数制及其转换1.1.1 进位计数制计算机其实就是一种由数字电路演变而来的能进行逻辑运算的机器，其处理的信息就是数字电路所提到的二进制数，而人们常使用的是十进制数，这样，为了能顺利地在人与计算机之间进行信息交换，一定要进行不同进制数之间的转换操作，因此我们有必要掌握数制及数制转换的原理。
进位计数制：按进位的原则进行计数的一种方法。
进位计数制有以下两个特点：（1）有一个固定的基数r，数的每一位只能取r个不同的数字，即所使用的数码为0，1，2，……，r-1。
（2）逢r进位，它的第i个数位对应于一个固定的值r i，r i称为该位的“权”。
小数点左侧各位的权是基数r的正次幂，依次为0，1，2，…，m次幂，小数点右侧各位的权是基数r的负次幂，依次为-1，-2，…，-n次幂。
1、十进制十进制的基数为10，它所使用的数码为0～9，共l0个数字。
十进制各位的权是以10为底的幂，即每个数所处的位置不同，它的值是不同的，每一位数是其右边相邻那位数的10倍。
例如，数555.55就是下列多项式的缩写：555.55D＝5*102+5*101+5*100+5*10-1+5*10-2上式中的后缀D（Decimal）表示该数为十进制数，通常对十进制数可不加后缀。
2、二进制二进制的基数为2，它所使用的数码为0、1，共2个。
二进制各位的权是以2为底的幂，即…，22，21，20，2-1，2-2，…。
例如，二进制数1011.101相当于十进制数：1011.101B＝1*23+0*22+1*21+1*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3 =11.625二进制数的运算规则类似于十进制，加法为逢二进一，减法为借一为二。
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十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
十六进制
(H)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9ABCDEF
十进制与二进制转换
二进制数 →十进制数
? 由二进制数转换成十进制数的基本做法是，把二进制数首先写成加权系数展开式， 然后按十进制加法规则求和。这种做法称为 按权相加 法。
B表示。 例如：二进制数 10110011 可以写成（ 10110011 ）2，或写成 10110011B ? 对于十进制数可以不加注基数；
十进制
(D) 0 1 2 3 4
56
7
8
9 10
二进制 (B) 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010
计算机采用二进制数
二进制数与八进制数的相互转换
二进制数 →八进制数
常用进制
常用进制
2进制
基本数 字0，1
4进制
基本数 字0～3
7进制
基本数 字0～6
8进制
基本数 字0～7
10进制
基本数 字0～9
16进制 基本数 字0～
F(15)
60进制 用作计
时
十二进制
? 长度单位一英尺等于 12英寸，一先令等于 12便士，就连足球比赛罚点球的英制长度也是 12码。
? 来源——传说是十个手指头加两只脚。这是过去规定的，现在规定一打 12个是一种 12进 制。
×2
1.500 ……… 1=K－2 0.500
×2
1.000 ……… 1=K－3
所以： (44.375) D＝(101100.011) B
高位 低位
十进制数与其他进制数的相互转换
? 十进制转换为其他进制时，可将十进制数分为整数和小数两部分进行。 ? 整数部分采用“除基取余，逆序排列”法。（辗转相除） ? 小数部分采用“乘基取整，顺序排列”法。（相乘取整）
整数部分 : 基数连除， 取余数自下而上。
小数部分 : 基数连乘， 取整数自上而下。
2 44
余数
2 22 ……… 0=K0 2 11 ……… 0=K1 2 5 ……… 1=K2 2 2 ……… 1=K3 2 1 ……… 0=K4
0 ……… 1=K5
低位 高位
0.375
×2
整数
0.750 ……… 0=K－1 0.750
数字逻辑电路
数制和编码
计算机如何表示数据？ 各种数据之间的转换方法
本课要点
1
数符与数位
2
数制之间的转换
3
文字的编码
数符
? 就是用于表示数量关系的符号； ? 与所采用的进制有关； ? 阿拉伯数字 ——国际通用的数字 (由印度人发明，由阿拉伯人传向欧洲，由欧洲人
将其现代化 )，就是 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共10个计数符号。 ? 采取位值法，高位在左，低位在右，从左往右书写。 ? 借助一些简单的数学符号（小数点、负号等），这个系统可以明确的表示所有的
? 从小数点右端算起，第一位是“个位”，第二位是“十位”，第三位是“百位”， 第四位是“千位”，第五位是“万位” ……等等。
? 同一个数符在不同的数位上表示的意义是不同的，“ 5”在百位上，它表示 5个百， “ 5”在十位上，它表示 5个十，“ 5”在个位上，它表示 5个一。
? 数位的存在实现了用有限的数符表示无限数量的功能。
对同一个数，有不同进制表示，数符个数越多，所需位数越少。 ? 最常用的是十进制，通常使用 10个阿拉伯数字 0～9进行记数。 ? 计算机用 2进制，原因是方便用物理电路实现运算功能。
nx
指数 基数
2进制基数为 2，只有两个数符（ 0、 1）；十进制基数为 10，有10个数 符（0～9）；16进制基数为 16， 有16个数符（ 0～F）……其余进 制类似推演。
加法
减法
十六进制
? 由于二进制数在使用时位数太长，不容易记忆，所以又推出了十六进制数。 ? 十六进制数有两个基本特点：
? 它由十六个字符 0～9以及A，B，C，D，E，F组成（它们分别表示十进制数 10～15）；
? 十六进制数运算规律是逢十六进一，即基 R=16=2 4，通常在表示时用尾部标志 H或下标 16以示区别。 例如：十六进制数 4AC8可写成（ 4AC8 ）16，或写成 4AC8H 。
(101.11)B＝ 1×22 ＋0×21＋1×20＋1×2－1＋1×2－2 ＝(5.75)D
各数位的权是２的幂
十进制数 →二进制数 将整数部分和小数部分分别进行转换。
整数部分 ---除2取余，逆序排列 ; 合并
小数部分 ---乘2取整，顺序排列。
? 十进制数 44.375 转换成二进制等于多少？
(44.375)D＝(？)B
有理数。 ? 为了表示极大或极小的数字，人们在阿拉伯数字的基础上创造了科学记数法。
系数
m× nx
幂有限的数符为何可以表示源自限数量——数位? 数位是指写数时，把数符并列排成横列，一个数字占有一个位置，各位数符所表 示值的大小不仅与该数符本身的大小有关，还与该数符所在的位置有关，这些位 置，叫做数位。也称为数的位权（所谓的权）。
555 =5×102+5×101+5×100
59
这个5代表 5
这个 5代表 50
这个 5代表500
进制
? 进制也就是进位制，是人们规定的一种进 /借位方法。 ? 对于任何一种进制 ——X进制，就表示运算时是逢 X进一位、借一当 X。 十进制是
逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一。 ? 可使用数字符号的数目称为基数 (或底数 )，基数为 n，即可称 n进位制，简称 n进制。
? 现在还能见到十二进制，比如钟表转一圈 12小时等等。 ? 有时十进制中的 10/11在十二进制中也用 A/B表示。
十进制 十二进制
0123 0123
456 456
7 8 9 10 11 7 8 9 MN
二进制数
? 特点：由两个基本数字 0，1组成，运算规律是逢二进一，借一当二。 ? 为区别于其它进制数，二进制数的书写通常在数的右下方注上基数 2，或加后面加
? 计算机是信息处理的工具，任何信息必须转换成二进制形式数据后才能 由计算机进行处理，存储和传输。
只有两个数符0和1，容易对应元 器件的两个不同稳定状态。
电路中。有电流用1表示，无电 流用0表示。
二进制 特点
运算简单，大大简化了计算中运 算部件的结构。
乘法
除法
类似的还比如电路中电压的高， 低，晶体管的导通和截止等。