单摆的非线性振动问题-答辩
【doc】单摆振动分析
单摆振动分析第2l卷第1期2008年3月湖南理工学院(自然科学版) JournalofHunanInstituteofScienceandTechnolo~,vfNaturalSciencesVbI.2lNO.1MaL2O08单摆振动分析陈文涛,龚善初(揭阳学院机电工程系,广东揭阳522000)摘要:研究单摆的非线性振动,从是否有无阻尼和驱动力方面来分析它们对单摆运动的影响;用第一类完全椭圆积分求出了单摆振动的周期;利用MAPLE9.0作出了单摆周期随参数的变化曲线以及在不同情况下单摆的相图.所得结论为:周期随参数的o0增加而增加;当f取变值由小到大时,非线性振动的相图会出现由单周期解一倍周期解一四周期解…混沌一单周期解….关键词:单摆;非线性振动;阻尼;驱动力;相图;混沌中图分类号:0322文献标识码:.A文章编号:l672.5298(2008)01.0066.05 TheVibrationAnalysisofSimplePendulumCHENWen—tao.G0NGShan—chu(Dept.ofMechanical&Elect,Engineering,JieyangCollege,Jieyang522000,China) Abstract:ThenonlinearvibrationofsimplependulumISstudiedbyanalyzingwhetherornotd ampanddriveforceitsinfluenceofthesimplependulum;theperiodofnonlinearvibrationisgotbyusingthefirstkind ofcompleteellipseintegral,andthecurveoftheperiodwiththeparameterO0changeandphaseplotsaredrawnindifferentcasesbyusingoftheMAPLE9.0.The conclusionisthattheperiodincreaseswiththeincreaseofparameterO0;thephaseplotshavesi ngleperiodsolution,doubleperiodsolution,quadrupleperiodsolution,andchaossolution,...,whenfvariesfromsmalltobig. Keywords:simplependulum;nonlinearvibration;damp;driveforce;phaseplot;chaos无论是在高中物理,还是在大学物理的力学教学中,我们都要研究单摆,单摆是一种理想物理模型f¨.摆长为,的单摆作有限振动时,运动方程为+,+mgsinO=FcosarDf,或+—+万sin0=—F—cos万Df(1)其中0,和分别表示质点的角位移,角速度和角加速度,为阻力常数,万.=√为固有角频率,(1)式右边为周期性的驱动力,其角频率为万.,将(1)式无量纲化可得t9+2,80+sin0=fcos-Ot(2)其中=/2mw.为无量纲的阻力因数,f=F/mw~l=F/mg和=/tO"0为无量纲的驱动参量.下面分三种情形来讨论单摆的振动.1无阻尼和无驱动力单摆的运动摆长为,的单摆作有限无阻尼和无驱动力振动时,(2)式变为+sin0:0.化成方程组得J万(3)收稿日期:2007.10.18作者简介:陈文涛(1961一),男,广东揭阳人,揭阳学院讲师.主要研究方向:物理教育第1期陈文涛等:单摆振动分析67(5)式的奇点为(0,0),0:(inn,0),n:0,1,2,…,在常点有:一—sin—,积分得dO'z刁r去+(1一cos0)=E.(4)(4)式给出了0和之间的函数关系.可见,只需两个参量0和就可完全确定单摆的运动状态,即单摆的相点是约束在二维相空间的.其轨线为0=+42rE一(1一COS)].(5)(一(.特征方程为+1=0,1.2=.由于(5)式关于坐标轴对称,故(+_2nn,0)是单摆相轨迹的中心.一在[±(2一1)x,O]处,(3)式的系数矩阵为(一lolo=~(2n_1)x=(圄1无阻尼无驱动力单摆的相圄特征方程为一1=0,1.2=±1,故[±(2n-1)x,0]是单摆相轨迹的鞍点.单摆运动的相图【z】如图1所示. 1.1总能量对无阻尼单摆运动的影响当0<E<2时,由(3)式得=2[E—fl—cosO)].因恒大于零,所以COS01一 E.故单摆运动的最大摆角只能在一万<0=arccos(1一E)<7/"的势阱中作周期运动,单摆不可能达到0:7/"的最高点,则在一√2E与√2E之间变动.可见0和都只能在相空间的有限范围内变化,相轨迹必是围绕相空间坐标原点的闭合曲线,它们通常可以用Jacobi椭圆函数表征【3】.口2若单摆仅作微小摆动,即在运动过程中0为很小的数值,则有cos0≈1一,此时(4)式可写为Z+0=2E.由(5)式知该方程为一个椭圆方程,其相轨迹是围绕原点的椭圆曲线,即我们所熟知的简谐运动相轨迹,此时单摆在平衡位置附近作简谐运动.相平面上有无数个中心0=+2nx,=0,1,2,…和鞍点0=±(2+1)x.=0,1,2,….1鞍点处能量E=÷+(1一cos0)=2,这时摆线已经"倒立",2中心是一种不稳定状态,由能量守恒知,摆球会从一个"倒立"状0=0态到下一个"倒立"状态而不停地运动,即在铅直平面上"划圆",摆到最高处速度变为零,但瞬息又会加速沿圆周摆下去,如此往复运动.当单摆静止于铅直位置时,处于稳定平衡状态,与图1中的E点对应.相空间中0轴上(:0),0=+_2nz,=0,1,2,…圈2相柱面鞍点:±各点都是E点.它们表示的都是单摆位于稳定平衡状态,故这些E相点被称为稳定点.稳定点邻近的相轨迹为椭圆曲线,故E点又称为椭圆点.由于转角的周期,0=±2代表空间中的同一位置.因此可以只取包含在0:7/"和0:一7/"之间的带域,使两条边线互相粘合卷成一个柱面,称为相柱面【¨】,如图2所示.在图2中,中心和鞍点各只有一个,在中心0=0处,对应于单摆在平衡位置附近的摆动;鞍点0=±68j朝南理工学院(自然科学版)第2l卷处,对应于单摆绕悬挂点D朝同一方向的转动.当E=2时,由(4)式得=2(1+COS).显然,0为任何值时此式都能成立,单摆可以达到最高点(=±刀).但在最高点处cos(+刀)=一l,0=0,摆球就不可能继续转动了,而0的变动范围为0'5I.这时质点的相轨迹如图1中粗线,称为分隔线.图1中有两条分隔线,分别描写单摆两种不同方向的转动,它们通常可以用双曲正切或双曲正割函数表征,相交于相空间的点.各点位于相空间0轴上0=±(2+1)x,(=0,1,2,…),各点处.它们表示单摆静止于最高点,呈不稳定平衡状态,故点被称为不稳定点.在点邻近的相轨迹呈双曲线状,故又称双曲点.在机械能E=2情形下,单摆绕悬挂点的运动向最高点趋近,但不会越过最高点.当E>2时,由(4)式得=2[E一(1一COS)】.由于E>2,故无论0为何值此式都能成立.因>0恒成立,表明单摆在势场中绕定点转动,相应的相轨迹如图1中的波浪线所示.在上半平面,ll0>0的相轨迹表示单摆沿逆时针转动;在下半平面,<0的相轨迹表示单摆沿顺时针转动.由图1可见,分隔线(E=2时的相轨迹)将空间划分为两部分,在其内部区域,相轨迹为围绕椭圆点的闭合曲线,单摆在往复摆动;在分隔线外部区域的相轨迹则描写单摆绕定点转动,且无任何瞬时驻定现象【7(运动过程中出现速度为零的现象称为瞬时驻定现象).1.2摆角对无阻尼单摆运动周期的影响由(2试知,摆长为,的单摆作有限振动时,运动方程为+sin=0,(0)=o,(0)=0(6)式是非线性微分方程,它的精确解是第一类完全椭圆积分,利用积分法可求得声南'+to:一2x=2xJt-为摆角.5.时单摆运动的周期,则(7)式变为fig"oYg=南'(8)设与7"0的比为R,由(8)式知肚南'为便于作图,设0.go90.,利用Maple9.0计算机绘图,与ro的比R随摆角.的变化曲线如图3所示.(6)(7)圄3R随摆角oo的变化曲线由图3可知,在摆角较小Oo5.时,与的比等于1,当摆角较大Oo>5.时,周期比R 随摆角的增大而增大.2有阻尼和无驱动力单摆的运动由(2)式知,单摆的运动方程为0+2130+sin0=0(9)佑¨惶¨∞∞叫第1期陈文涛等:单摆振动分析化成方程组,得珂.【=一2po—sin0其特征方程为+2+1=0.特征值为^.=一±,/p～1.当≥1时,(0,0)是稳定结点;当<1时,(0,0)是稳定焦点.由于+—O(—-2—flm-sinO)='2<.,故(9)式无闭轨,即有阻尼的单摆运动不会出现周期运动,欲得其周期运动,只能由外界补充一些能量来抵消阻尼,如时钟装上发条.图4有阻尼无驱动力单摆的相图利用Maple9.0计算机绘图,有阻尼和无驱动力单摆运动的相图如图4所示.由图4可知,由于阻尼的作用,能量的耗损,图1中的闭合轨线消失,最后都趋向于中心.3有阻尼和有驱动力单摆的运动由(3)式知,单摆的运动方程为t~+2/30+sin0=fcos.62t(10)在任意大振幅下,方程(10)的解变得十分复杂,下面利用计算机模拟,分别讨论单摆运动随初值的变化和其混沌运动.3.1初值不同所产生的0一,曲线为简单计,设=0.10,f=1,=2/3.当t=0时,两振动初始条件相差极小,有j(0)=0'Ol(O).:0?0f111102(0)=一0.01,02(0):0取0t120s,对(10)式在初始值(11)式下利用Maple9.0绘图,线为0,一t,虚线为0,一t).图5有阻尼和驱动力的0一t变化曲线其0一t变化曲线如图5所示(其中实由图5可以看出,当0≤t≤25s时,两条曲线重合,两个解0,(t),0,(t)不能分辨;但当t>25s时,两条曲线不再重合,两个解0(t),0(t)完全不一样,这种混沌运动对初始条件的敏感性称为蝴蝶效应".3.2振幅不同所产生的相图0—0为简单计,设方程(10)中,除驱动参量.厂取变值外,其余参数不变,即=0.25,=2/3.对(10)式在初始值式o(o)=0,o(o)=0下利用Maple9.0作计算模拟绘图,相图一0如图6所示.当f=1.07时,振荡周期f等于外加周期力的周期,f=T=2/万=3,对应单周期解,其相图0—0如图6(a)示.当f=1.082时,f=2T,对应倍周期解,其相图一0如图6(b)示.当周期强迫力的振幅达到某一临界值fc=1.684时,f2T,系统运动出现混沌,其相图一0如图6(c)示..当/增大到f=4.0和f=4.6时,又恢复了较为简单的运动,分别又出现了单周期解和倍周期解,其相图0—0分别如图6(d),6(e)示.由图6(a)～(e)可以看出,周期运动都是一闭合曲线,周期为2"T的周期振荡有n条近似相同走向的轨迹,这些轨迹共有n个交点.70湖南理工学院(自然科学版)第21卷4结论(a)21.1.2(d)(b)642.2-4.6321.1.2.3(c)图6有阻尼和驱动力在厂不同时的相图(e)以上分析表明:(1)在摆角较小Oo5.时,单摆其相轨迹是围绕原点的椭圆曲线,即我们所熟知的简谐运动相轨迹,此时单摆在平衡位置附近作简谐运动;随着摆角的增加,单摆作非线性振动,可用第一类完全椭圆积分表示,周期与摆角有关,周期随摆角的增大而增大.因此,当摆角较大时(Oo>5.),应考摆角对周期的影响.单摆运动存在若干稳定点和鞍点(不稳定点),振动曲线和周期是非线性振动的结果;(2)在有阻尼和有驱动力的情况下,非线性单摆的振动对初始条件非常敏感,称为蝴蝶效应;(3)在有阻尼和有驱动力的情况下,若.厂取变值由小到大,其余参数不变,非线性振动的相图一会出现由单周期解_倍周期解一四周期解…混沌一单周期解….参考文献【1】梁绍荣,刘昌华,盛正华.普通物理学【M】.北京:高等教育}}{版社,1999,233～235【21刘曾荣.混沌研究中的解析方法【M】上海:上海大学出版社,2000,56～59 【3】刘秉正.非线性动力学与混沌基础【M】.长春:东北师范大学出版社,1995,17～52【41龚善初.复摆振动分析【J】.物理与工程,2004,l4(6):20～22【5】刘延柱,陈文良,陈立群.振动力学【M】.北京:高等教育版丰十.1998,15-20 【6】6黄润生.混沌及其应用【M】.武汉:武汉大学H{版礼,2000,55～60【7】王树禾.微分方程模型与混沌fM】.合肥:中国科学技术大学版礼,1999,391～392【8】王梓坤.常用数学公式大全【M】.重庆:重庆出版社,1991.465—467f9】黎捷.MAPLE9.0符号处理及应』~JIM].北京:科学H}版社,2004,156--159【l01刘秉正.非线性动力学与混沌基础tMI.长春:东北师范大学出版社,1994,141～142。
单摆-问题
单摆单摆振动周期 振幅 环境 讨论高中物理课本把悬挂小球的细线的伸缩量和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这种装置叫单摆，如图1所示。
单摆在振动过程中，回复力由重力在速度方向的分力提供。
当摆球运动到任一点P 时重力沿速度方向的分力θsin 2mg G =，在05<θ时，L x ≈θsin ,回复力x LmgF -=，单摆做简谐 振动，振动周期表示为gLT π2=，跟振幅和摆球的 质量无关。
一、周期与振幅的关系关于简谐振动的周期与振幅无关的结论，只是在一定条件下的近似，严格说来，其周期与振幅是有关的。
由牛顿第二定律可知，单摆的运动方程为 θθsin 22mg dtd mL -= ①即0sin 22=+θθL gdt d ，当振幅很小时，摆角θ也很小，θθ≈sin ,方程由非线性振动转化为线性振动，即022=+θθL gdtd ②其解为)cos(0ϕωθθ+=t ，式中θ0为最大摆角（振幅），角频率Lg=ω，ϕ为初相位，符合简谐振动的特点，其周期为gLT πωπ22==，在摆角θ小于50时，周期T 与振幅和摆球的质量无关。
值得指出的是，当摆角较大时，θθ≠sin ，由方程①知单摆做非线性振动，振动周期随振幅变化，周期T ’表示为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅= 2sin 6492sin 41120402'θθπgLT .GG 1图1相对误差 2sin 4102'θη≈-=T T T . 当0θ取不同的值时，相对误差如下表所示：显然，当005<θ时，相对误差小于1‰，单摆由非线性振动转化为线性振动，周期T 与振幅和摆球的质量无关，这就是单摆线性振动的等时性。
荷兰物理学家惠更斯正是利用了单摆的这种等时性发明了带摆的计时器，通过改变摆长可以很方便地调节摆的周期。
二、周期与地理位置的关系 常见的问题有两类：1、把单摆由赤道移向两极时周期发生变化由于越靠近两极，重力加速度越大，周期变小。
非线性振动_绪论
0.5当前研究的主要问题与方向
• (1) 多自由度系统的非线性振动问题；
• (2) 连续体的非线性振动问题； • (3) 多频激励下非线性系统特性； • (4) 强非线性振动求解方法及解的性态； • (5) 分叉、突变、混沌特性和机理；
• (6) 工程非线性振动问题，如非线性振动系统的控制等
参考书目
Fge m R sin
2
z
R
Fgc 2mvr
不在分析平面上 质点相对运动微分方程：
2 2 ma m R sin cos mg sin r
ae
ar
mg
Fe
N
mR 2 m2 R 2 sin cos mg sin g sin 2 sin cos 0 这就是含惯性非线性项的非线性振动系统 R
(5) 非线性阻尼力
• 例0-4 干摩擦振动微分方程
f ( x) ( x ) m x
• 干摩擦阻尼力
) Nsign( x ) (x
1 ) sign( x 1 0 x 0 x
• -摩擦系数，N—正压力，Sign—符号函数
(6) 滞后（回）非线性-物理非线性
0.4 非线性振动的主要研究问题
• (1) 确定平衡点及周期解；（系统响应） • (2) 研究平衡点及周期解的稳定性；（局部性态） • (3) 研究方程参数变化时，平衡点及周期解个数的变化及 形态（稳定性）变化，即分岔与混沌运动； • (4) 研究在一定初始条件下系统长期发展的结果。（解的 全局形态）
单摆非线性问题的线化摄动解
摘
要 ：物理 学中的单摆 问题 ， 在摆 角大于 ５ 时候 ， 动力学方程是 非线性的 ， 。 其 这一非线性方程 可用奇异摄 动
法来求得近似解 ， 于奇异摄 动法求解过程 比较复杂 ， 鉴 尝试将 单摆 的动力 学非线性 方程 进行 线化 ， 然后采 用摄 动理 论 中的直接展开 法来求得线化后 的方程的近似 解， 使得 求 解过 程 大大 筒化 。与精确 解比较表 明： 阶近似 解也 具 一 有相 当高的精度 。
比较 同幂 项 同时考虑初 始 条件 （ ）有 ： ４
ｆ ＋ ０ ０ ０＝０ ｛ ０ （）＝１
（ ）＝０ ０
（） ９
（ １ １）
ｒ ＋ ０ 一 ７ｏ Ｏ）＝０ ０ ｌ （ ０ ＋ ｏ ： ／ ＇ ｛ ０ ０ ０（）＝ （０ １）
【 （ ）＝０ ０
３ 直 接 展 开 法 的改 进 】 ６
将 （ ）式 中 的 ｓ （ ３ ｉ ａ ）做泰 勒级 数展 开 ， ：ｉ（ ＝ａ （ ’＋ （ ＋… ｎ 则 ｓｎ ａ ） 一 ａ） ａ）
取一 阶近 似 ， ３ 式 简化 为 ： ｄ ０＋ （） ａ百 ２
ｄｔ
ａ 一
１（ ，：０ ａ）
图 １ 单 摆 模 型 图
Ｆ ｇ ｒ Ｔ ｅｍｏ ｅ ｆｓｎ ｌ ｅ ｄ ｌ ｍ ｉｕ ｅ １ ｈ ｄ ｌｏ ｉｇ ｅ ｐ ｎ ｕ ｕ
２ 正则 摄 动解 中长期 项 的 问题
为了采用正则摄动法求解 ， 我们现将原问题尺度 化。 令
＝
譬
ｄ０ ２
百
。
＋ｓ （ ）：Ｏ ｉ ｎ
关键词 ：非线性 ；单摆 ；奇异摄 动法
中 图分 类 号 ：０ ２ ３２ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ： １７ －１ｘ ２０ ）２０ ５ －３ ６ ２６ ２ （０ ８ ０ － ４０ ０
非线性物理(单摆杜芬方程)讲义
面。所有相轨线都将呈现在柱
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期 周期与摆角无关？
T0 2 / 0 2 l g ? T ?
T0为零摆角极限下的周期 看看实验结果：
T/T0
0 1.0000 5 1.0005 10 1.0019 20 1.0077 30 1.0174 45 1.0369
定性结论：
1. 周期随摆角增加 而增加 2. 随摆角增加波形 趋于矩形
d 2 g sin 0 2 dt l
d 2 2 0 sin 0 2 dt
(1) (2) (3)
非线性方程, 式中角频率：
0 g / l
线性化处理
d 2 2 0 sin 0 2 dt
x x x sin x x 3! 5! 7!
g l
t
看作 t )，可得
(16)
1 2 E 1 cos H 2 mgl
由此解得
常量
2H 1 cos
(17)
3 任意角度无阻尼单摆的相图与势能曲线
单摆完整相图
0 ]附近相轨线为近似椭圆形的闭合道； 1.坐标原点[ 0， 2.平衡点[ 0 ]为单摆倒置点(鞍点),附近相轨线双曲线; 0 ]或相反的连线为分界线. 0 ]到[ 3.从[
相图
引入代换 0t t 得： d 2 0 2 dt 一次积分后：
1 d 1 2 E 2 dt 2
2
(6)
式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 d dt , 看作为两 个变量，则方程是一个圆周方程，圆的半径为 2 E ，振动过 程是一个代表点沿圆周转动。
大学物理非线性振动讲解
f=1.35,相轨迹又呈现比较简单分布, 恢复单倍周期状态,但此 时单摆并非作来回振动,而是作单向的旋转;
f =1.45,单摆运动出现2倍的周期,作单向旋转;
f=1.47,单摆出现4倍的周期,作单向旋转; f=1.50, 又出现貌似无规则的运动,但比 f=1.15,时更为混乱.
说明鞍点是不稳定的平衡点，
因为与之相连的四条相轨迹中
两条指向它，两条背离它，而
附近相轨迹呈双曲线状．
Ep
o
d
dt
o
势能曲线、相图、鞍点
假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动．这样一来， 双曲点就成了敏感区．能量稍大，单摆就会越过势垒的 顶峰，跨到它的另一侧；能量稍小，则为势垒所阻，滑 回原来的一侧单摆向回摆动。
g 4 2 64 2
式中θm是最大角位移，即单摆振动的角摆幅。
当m 时，T→∞，T/T’随摆幅θm变化关系如图所示。
可见单摆的周期是一个向无
穷大发展的非线性变化。
T T
单摆线性振动的相图
d2 g sin
2
dt 2 L
1
两边积分得
( d
dt
)2
2
2
C1
即
(d dt)2
§8.3 非线性振动
一、非线性振动系统
由非线性微分方程所描述的振动，称其为非线性振动。
下面以单摆做自由振动为例进行分析
单摆的线性振动
d2
mL dt 2
mg sin
d 2
dt 2
g sin
L
将sinθ按泰勒级数展开可得
机械振动第6章非线性振动
F (t ) f1 n cos(n t ) f 2 n sin(n t )
其中,
1 T /2 f1 n T / 2 F (t ) cos (n t ) d t T 1 T /2 f 2 n T / 2 F (t ) sin (n t ) d t T
n 1
2 T
d d ml 2 l mg sin F cos t dt dt
2
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可预测的随机性。
第5章 非线性振动
5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置） 附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微 分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治 系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程，
第五章 非线性系统的振动
5.1 非线性振动概述
5.2 非线性振动问题的主要特点 5.3 非线性振动问题的研究方法 5.4 分叉与混沌的概念
王卫滨
5.1 非线性振动概述
不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。恢复力与位移不成 正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。 工程技术与自然界中的振动问题及现象，绝大多数属于非线性的，线 性振动系统往往是对非线性系统进行性 恢复力
非线性 激振力
5.2 非线性振动问题的主要特点
• (1) 非线性振动系统的频率与系统响应的振幅和初始条件有关
线性振动系统的振动周期不随振幅大小而变化
(2) 对于非线性振动系统,叠加原理不适用
• 对于线性微分方程
• 对于非线性系统
d n x1 x2 d n x1 d n x2 n n dt dt dt n
单摆振动周期公式应用与拓展
单摆振动周期公式应用与拓展首先，我们来探讨一下单摆振动周期公式的基本原理。
单摆是一个能够满足简谐振动条件的物体，例如一根绳子上挂着的一个质点。
当质点被拉到一侧后，它会开始作周期性的来回摆动。
振动周期就是质点从一个极点到另一个极点所需要的时间。
根据实验结果和物理推导，可以得到单摆振动周期公式为：T=2π√(L/g)其中，T表示振动周期，L表示单摆的长度，g表示重力加速度。
从公式中可以看出，振动周期与单摆的长度和地球重力加速度有关，当长度增加或重力加速度减小时，振动周期增加，即摆动速度减慢。
单摆振动周期公式的应用非常广泛。
一个典型的应用是在建筑物的抗震设计中。
建筑物的抗震设计是非常重要的，可以保证建筑物在地震中的稳定性和安全性。
在抗震设计中，需要考虑建筑物的振动特性，以及地震力的作用。
单摆振动周期公式可以用于计算建筑物的自由振动周期，从而帮助工程师选择合适的结构参数，使得建筑物在地震中具有较好的抗震性能。
另一个应用是在钟表制作中。
钟表的摆钟是一种应用了单摆原理的装置，它的精确度和稳定性与单摆的振动周期有关。
根据单摆振动周期公式，可以通过调节摆钟的长度，使得摆钟的振动周期达到所需的精确值。
这样一来，摆钟就能够以非常准确的频率进行摆动，从而实现钟表的正常计时功能。
此外，单摆振动周期公式还可以应用到其他一些领域。
例如，在物理实验中，可以通过改变单摆的长度和重力加速度，来研究对振动周期的影响。
在工程计算中，可以根据单摆振动周期公式，计算一些动态系统的振动周期，例如桥梁的自由振动周期。
在天文学中，单摆振动周期公式可以用于计算天体的周期运动，例如行星的公转周期。
除了对单摆的普通振动，单摆振动周期公式还可以拓展到一些特殊情况下。
例如，当单摆受到阻尼力或驱动力的作用时，振动周期公式需要进行修正。
在阻尼振动中，振动周期随着阻尼系数的增加而减小。
在驱动振动中，振动周期与外力的频率相同或其整数倍相关。
在非线性振动中，单摆振动周期公式也需要进行修正。
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[3] 赵凯华，罗蔚茵。新概念物理教程—力学[M]. 北京：高
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6.致 谢
本论文是在导师XX教授的精心指导和大力支持下完成的。 首先，感谢胡老师，他从选题指导、论文框架到细节修改， 都给予了细致的指导，提出了很多宝贵的意见与建议；
图3-3 阻尼较大的情形（b 2 k ,0 2 ）
图3-4 无阻尼的情形（ b 0, 0 2 ）
图3-5 无阻尼的情形（ b 0, 0 12 ）
图3-6 无阻尼的情形（b 0, 0 36 ）
4 结语
本文主要叙述了单摆和复摆非线性振动的有关问题， 说明了单摆和复摆在摆角较大时的振动情况，并做了简
（1） 摆角较小时：
与单摆相似，具有周期性 和等时性 谐振动。
（2）摆角较大时：
复摆摆角较大时与单摆摆 角较大时相似。
图2-2 复摆运动的谐振动图
3.非线性单摆的数值解
非线性方程的数值计算结 果
图3-1 阻尼较小的情形（b 2 k ,0 2 ） 图3-2 临界阻尼的情形（b 2 k ,0 2 ）
要阐述。还着重分析了非线性单摆的数值解并用图形进
行分析，比较了有无阻尼情况下的振动趋势。又对非线 性单摆的渐近解进行求解。在求解过程中需要大量的公 式以及数学运算，更好的显示出单摆非线性振动的适用 范围。文中对单摆的周期和频率做了详尽的解答，分析 了摆角较小时和摆角较大时的区别。
5.参考文献
[1] 吕中荣, 刘济科. 摆的振动分析[J]. 暨南大学学报：自然 科学Байду номын сангаас医学版,1999，20(1)：42-45. [2] 陈向华, 赵国忠. 非线性单摆运动的数值解[J]. 内蒙古科 技大学学报, 2007，26(1)：94-96.
其次，还要感谢同学们对我的帮助，在论文制作过程中
有很多同学都给我提出过宝贵意见； 最后，感谢所有授我以业的老师，没有这些年知识的积 淀，我没有这么大的动力和信心完成这篇论文。此表示深深 的谢意，
感恩之余，诚恳地请各位老师对我的论文多加批评指正，
使我及时完善论文的不足之处。由于水平有限，思路不是很 清晰，求解过程也颇多问题，只能对此问题进行简要分析，
可忽略。在摆角较小的情况下，单摆和复摆做简谐
振动；而本文着重分析摆角较大时单摆和复摆的周
期频率问题，并进一步对单摆做非线性振动的研究。
2.单摆、复摆的非线性振动
单摆的 周期性
（1）摆角较小时： 简谐振动具有周期 性和等时性；
（2）摆角较大时： 具有周期性，不具有等时 性。
复摆的 周期性
4.结果与分析
题目：单摆的非线性振动问题
学生： XX 导师： XX 学号： XX
报告内容
1
引言
2 单摆、复摆的非线性振动 3 非线性单摆的数值解 4
5 6 结语 参考文献 致谢
1.引言
在物理学中有一组特别重要的模型 —— 单摆
（数学摆）和复摆（物理摆）。单摆的重心集中在
物体上，其摆长不变；而复摆的大小形状任意且不