全国高中物理竞赛 质心问题
物理竞赛1(力学)
z'
z
mi ( rc ri) (vc v i )
i
v i vc v i
ri rc ri
i
i
rc
O
O' C x'
ri ri
mi
y'
y
x
rc ( mvc ) rc mi v i ( mi ri) vc mi ri v i
一、质心 N个粒子系统，定义质量中心
z
rc
m i ri
i 1 N
N
mi
i 1
N
m i ri
i 1
N
r c
O x
mi ri y
m
xc
mi xi
i 1
m
yc
m y
i 1 i
N
i
m
zc
m z
i 1
N
i i
m
对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元
v0 2Gm 2 l0
（G为引力常数）
v0 f
m1
f
F
m1 A
S’ l0
B
m2
F
v0
S
解： （1）以 m 为 S’系 2
v0 f
m1 A
S’ l0
B
m1
f
F
m2
F
v0
S
机械能守恒
m1 m 2 m1 m 2 1 2 m1 v 0 G G 2 l0 l max
1 1 2 2 (m1 m2 )v0 m2v0 2 2
高中二物理竞赛质心,质心运动定理课件
质点系的动量
v p
=
v m1v1v+
v m2v 2
+ v
L
+
v mnv n
v
= =
m1 d dt
dr1 + dt v (m1r1
m2
dr2 dvt
+ m2r2
+L+ +L+
mnvddrtn mnrn )
y
m1
m2
mi
质点系的总质量
O
x
m = m1 + m2 + L + mn
z
3
设想质点系的全部质量和动量都集中在一个点C
m'vC = mivi = pi
nv
再对时间
t
i =1
i =1
求一阶导数，得
v m'aC
=
d( pi )
i =1
dt
14
根据质点系动量定理
nv
n
v dpi
i=1 dt
=
nv Fi e x
i =1
（因质点系内 Fiin = 0 ）
v F ex
i =1v = m' dvC
dt
v = m'aC
n
mi xi
xC
=
i =1
m'
n
mi yi
yC
=
i =1
m'
n
mizi
zC
=
i =1
m'
➢对质量连续分布的物体：
xC
=
1 m'
xdm，yC
=
1 m'
质心教育原创物理竞赛模拟题第八套答案及评分标准
综上： （1）上升最大位移
S H h h' A
（2 分）
（2）经历时间
T t1 t2 0.29s
（2 分）
题三、 （20 分）由于潮汐和地球自转的影响，地球上的海水被拉成椭球状，且长轴方向与地 月连线方向略有偏差，这样地球对月亮的引力的合力会在月亮绕地球运动方向有微小的分 量，从而把月球加速，推动月亮远离地球，同时海水对地球的摩擦使得地球自转变慢，直到 月球公转周期和地球自转周期相同。 （事实恐龙看到的月亮比我们看到的大多了…）已知月 球 质 量 为 mM 7.35 10 kg ， 地 球 质 量 为 mE 5.9 10 kg ， 地 球 到 月 球 距 离 为
（4 分）
左室吸气前，为等温过程， P
（2 分） （1 分）
v 运动时受阻力 f k v ，负电荷以速度 v 运动时受阻力 f k v 。把等离子体填充进入
一个边长为 l 的绝热绝缘的立方体内，并在上下面各放置一块金属板块。将上下极板之间接 （以下不是考题：将上下极板之间接入 U 0 cos t 的交流 入 U 0 的直流电源之后，求电流 I 。 电之后，求电流 I (t ) ）
3 3
用手拉住保持活塞静止然后释放。 假设水一旦满出容器就立刻流走， 不再对下方的活塞和水 有作用力。 （1） 求释放活塞上升最大位移 （2） 求从释放到活塞运动到最高点所需时间。
【解答】 以地面为原点，向上为 x 坐标，描述活塞运动在水未完全溢出前，活塞及水有牛顿第二定律 注意：水也在加速！
m0 s H x a k l0 x m0 g s H x g
GM 3 GM 2 a 2E 或 3 E a
巧妙运用质心参考系和参考圆快速求解物理竞赛题
２ 口 一 ａ ）＝ 一３ （ ｍ（ ２ １ ｋ ２一 １一 ｚ） （ ） ０ ４
这是一 个以 Ａ为参考 系描 写Ｂ物体运动 的动力 学方程 ， 且是
简谐 的， 所以直接 写出解答 ，
～ ＝ Ａ ｅｓ ｏ
（ ， √ ｔ
＿＇ ０
＝ Ａｃｓ ＋ ） ｏ（ ，
速 度 随 时 间关 系为
求 解 了本 题 ．
烧 断 细 线 后 ， 于 系统 所 受 外 力 就 是 重 力 ， 以 质 心 运 由 所
动 是 简单 的 自由落 体 运 动 ．
解法三是 其中最简单的 ， 由于用到 了普通物理 中的 动 但 力学方程结论 ， 高 中生 而言还是 比较复 杂和 困难 的． 法 对 解
中学 物 理
Ｖ １ ９ Ｎｏ０ ｏ． ２ ．５
２１ 年 ３ ０１ 月
巧 妙 运 用 质 心 参 考 系 和 参 考 圆
快 速 求 解 物 理 竞 赛 题
武银 根
（ 江苏省 扬州 中学
第２ ２届全 国中学生物理竞赛 复赛试题 中第七题如下 ：
如 图 １ 示 ， 一 个劲 度 系数 为 ｋ 所 在 的轻 质 弹簧 两端 分 别 拴 着 一 个 质 量 为
结合初条件
ｌ ０＝ ａｏ￣ —ｚ ｅｓ ，
Ａ
７ ． ３＝一 ｏ ｓ （￣ ＋ ） Ａ ｉｏ ， ｎ ｔ
加 速 度 随 时间 关 系为
√
得 到
口 ＝ ０ ．
ａ ＝一 （ Ａｍｓｏ ＋ ） ￡ ’ （ｔ ， ￣
・
３ ・ ９
２１年 ３ ０１ 月
具体 解 法如 下 ：
ｍ 的 小球 Ａ 和 质 量 为 ２ 的 小 球 Ｂ． ｍ Ａ
高中物理竞赛_话题1：重心与质心的确定
话题1：重心与质心的确定一、平行力的合成与分解物体所受的几个力的作用线彼此平行，且不作用于一点，即为平行力（系）。
在平行力的合成或分解的过程中，必须同时考虑到力的平动效果和转动效果，后者要求合力和分力相对任何一个转轴的力矩都相同。
两个同向平行力的合力其方向与两个分力方向相同，其大小等于分力大小之和。
其作用线在两个分力作用点的连线上。
合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。
例如：两个同向平行力A F 和B F ，其合力的大小A B F F F =+，合力作用点O 满足A B AO F BO F ⋅=⋅的关系。
两个反向平行力的合力其方向与较大的分力方向相同，其大小等于分力大小之差。
其作用线在两个分力作用点的连线的延长线上，且在较大的分力的外侧。
合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。
例如：两个反向平行力A F 和B F 的合成其合力的大小B A F F F =-(假如B A F F >，则F 和B F 同向)其合力的作用点满足A B AO F BO F ⋅=⋅的关系。
一个力分解成两个平行力，是平行力合成的逆过程。
二、重心和质心重心是重力的作用点。
质心是物体(或由多个物体组成的系统)质量分布的中心。
物体的重心和质心是两个不同的概念，当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义，但质心却依然存在。
对于地球上体积不太大的物体，由于重力与质量成正比，重心与质心的位置是重合的。
但当物体的高度和地球半径比较不能忽略时，两者就不重合了，如高山的重心比质心要低一些。
在重力加速度g 为常矢量的区域，物体的重心是惟一的（我们讨论的都是这种情形），BF AF FO BA BF AF F OBA重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。
求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。
相距L ，质量分别为12,m m 的两个质点构成的质点组，其重心在两质点的连线上，且与12,m m 相距分别为1L ,2L ：1122m L m L = 12L L L +=2112m LL m m =+1212m LL m m =+均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心，求一般物体的重心，常用的方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，再用求同向平行力合力的方法找出其重心。
第39届物理竞赛月考试卷
质心GPhO 标准试通知:2022全国中学生物理竞赛五一集训营已上线,上课时间：5月1日—5月8日复赛刷题班:70%使用2022年新出原创题，30%使用近几年出过的原创题题1摇滚圆桌如图一个半径为R 的质量为M 的均匀圆盘,水平放置,下方用三个固定轴承支撑.每个轴承半径为r ,保持恒定的旋转角速度ω0=v 0/r ,使得三个轴承和圆盘的接触点的速度都指向原点.三个轴承ABC 恰好形成一个正三角形,到达原点的距离都是l <R .圆盘和轴承面之间的摩擦系数都是µ,重力加速度为g .俯视图侧视图已知积分:∫d x x √a 2x 2+1=√1+a 2x 2+ln √1+a 2x 2−1ax+C (1)当圆盘偏离中心的平衡位置一个小距离(x ,y )时,求三个轴承上的支持力N A ,N B ,N C .(2)当圆盘位有一个小位移(x ,y ),且有一个小速度为(˙x,˙y )时,求出水平方向上圆盘受到的合力.(3)初态圆盘偏离了原点很小的距离,并具有很小的运动速度,请给出接下来圆盘能够尽快回到稳态的条件.(4)初态圆盘质心保持在原点,而获得一个竖直方向的角速度Ω0,注意Ω0不是小量,求之后圆盘角速度随时间变化.题2动力履带如图所示的动力传送装置由左边绕固定轴转动的主动轮与右边绕固定轴转动的从动轮组成,两轮皆为半径为R ,质量为M 的质量均匀分布的圆盘.主动轮与从动轮之间通过绷紧的履带传动,履带线密度为λ,总长度为L ,本题中重力可忽略不计.已知轮与履带间的摩擦系数为µ,当两轮角速度打到ω时,为了保证不打滑,从动轮可以获得的最大角速度为β,求此时履带上张力最小处的张力F 0.题3磁镜聚焦如图所示的磁镜由半径为R的N匝线圈组成,流过电流为I.这一磁镜可以令水平速度v z恒定的傍轴运动电子(质量为m,电荷量为q)汇聚到一点.由于焦距f远远大于磁场运动区域,可以将这一磁镜看作一薄透镜.已知积分∫+∞−∞1(1+x2)3d x=3π8(1)通过磁场性质,以线圈轴线为z轴建立柱坐标系,求出轴线附近r处径向磁场B r(z,r).(2)通过电子运动求出焦距f.(3)在做某次观测的时候,理想情况物体在物距u处,使用焦距f可以表达像平面位置.当物体的实际物距偏离u一小段距离,例如u±∆的时候,像平面上将获得一个弥散圆,当这个圆的半径超过δ的时候,即认为成像失去意义,称临界∆c为此成像系统景深.本题中磁镜系统可视为有效半径为R c的理想薄透镜,请利用u,R c,δ表达上述磁镜系统的景深∆c.题4家庭用电功率因数是指交流电路中元件有功功率对视在功率的比值,有功功率是元件实际平均功率,视在功率是元件的有效电压乘以有效电流.现在用一个220V,50Hz的市电电源给一个功率因数为0.6的感性负载供电,负载吸收的实际功率为550W.(1)欲使功率因数提高到1,需要串联多大的电容?(2)串联电容后电源输出的功率是多少?(3)如果导线上有小电阻r=0.1Ω,求出两种情况下导线上的功率之比.题5电热水壶现有总体热容为C的热水壶处于温度为T0的媒质中,若用上题的用电器以P0的功率加热,它所能达到的最高温度为T1.设系统的散热遵从牛顿冷却定律,牛顿冷却定律可以表示为d Q=−a(T−T0)d t其中T0为环境温度.T为系统温度,a为未知常数.(T1+T0)时所需的时间,请注意a为未知常数.试帮质心姐姐计算一下,加热电路切断后,物体温度从T1降为12题6重温牛二已知在相对论中,力可以定义为F=d p,请解决以下两个问题.d t(1)如图所示,一个“哑铃”形状的结构,两端是静止质量为m质点,中间用轻杆连接.“哑铃”绕着中心,在平面内发生旋转.地面系中某时刻两个端点速度大小为v,,旋转周期为T,存在一个外力F如图作用在杆的中心,使杆中心具有加速度a,本题中时间尺度关系为T≪v.求哑铃一周运动中,需要的平均作用外力¯F.a(2)一个光子具有能量E.在x轴上发生一维的来回运动.它被束缚在一个质量忽略不计的盒子当中,光子来回运动周期为T.存在外力使盒子的加速度为a,本题中时间尺度关系为T≪c.求光子一个来回运动中,盒子上a需要的平均作用外力¯F.(提示：考虑光子由盒子壁反射造成的频率变化)题7电容话筒贝尔实验室在1916年发明了电容话筒.迄今为止,因为电容话筒低频处理较好,以及噪声影响小这两个技术上的优势,而被广泛应用.但是它有个缺点,就是贵.在本题当中,模型如下：理想电压源E=9.00V.电阻R=2.00Ω.平板电容器电容为C0=10.0pF.两板之间间距为d0.三个元件串联.电容的一个板很轻,可以根据声波的振动而振动.可以振动的这个板通过装置悬挂,其回复力可以忽略.本题中两个电容板之间的静电吸引力可以忽略.(1)因为声波的影响,两板之间间距随时间变化为d(t)=d0[1+αsin(ωt)].这里ω是角频率,以及α≪1.这样电阻元件的电压U R(t)=U R0sin(ωt+φ).请求出这里的U R0和φ.(2)请给出U R(t)的表达式,有效声音频率范围50Hz∼20kHz(人耳一般听力范围附近).(3)已知声音的波速c,标准大气压p0时空气密度为ρ.如果探测的声音是稳定的单频率声波u(x,t)= u0sin(kx−ωt),这里u0是声波振幅.而声波也可描述为空气的压缩和膨胀p(x,t)=p0+p1sin(kx−ωt+ψ),其中p1远小于p0,请求出这里的p1,结果用c,ρ,ω,u0表示.(4)接下来我们分析声波的能量.假设模型中的浮动的板质量为m=0.500g.面积为S=10.0cm2.我们用I表示单位时间单位面积声波传递的能量,这样角频率为ω,振幅为u0的声音就有I=12ρcω2u2.声音强度的常用单位是[dB]（分贝）,它和国际单位[Wm2]的换算是：I[dB]=10log10(II0).这里I0=1×10−12Wm2可以理解为“听力极限”也就是小于这个功率就听不到了.如果强度I=70dB.频率f=1.00kHz.空气密度ρ=1.20kgm3,音速c=340ms .真空介电常数ϵ0=8.85×10−12Fm.请计算,通过我们的这个电容话筒测量,电阻两端的最大电压U0能达到多少？(5)计算两板之间间距d0.(6)如果收音板是铝材料制成,密度为ρc=5.00×103kgm3.请求出收音板的厚度h.题8继续摇滚在一个半径为R的圆柱形弹性固定空腔中,有一个半径为r质量为m的均匀小弹球,在垂直于圆柱的轴线平面中运动.弹球和空腔壁发生碰撞的时候,沿着圆柱半径方向的法向速度会反向,而摩擦力的作用会改变角速度和切向速度,但是保持能量守恒.（1）初态弹球位于边缘处,角速度ω0=0,速度大小为v0,方向和半径夹角为θ0.求第n次反弹后,小球的速度大小v n和方向θn,以及之后运动中小球距离轴线的最近距离.（2）小球初态和上一问相同,但是圆柱筒壁以恒定的角速度Ω转动,小球反弹的属性和上一问相同,但是筒壁可以对小球做功,这个过程中没有能量耗散.求之后运动中小球距离轴线的最近距离.（3）接上一问,要求在筒壁的旋转参照系中,写出小球轨迹应当满足的方程,你应当能重复出第二问的结果.。
质心教育原创物理竞赛模拟题第二套答案及评分标准
E12
E2 2
2
W dQ 2 7 S 2 10SS s S s W 关于 Ss 的导数为 （2 分） S s 4 ( S 2 3SS s 2S s 2 ) 2
2
Fx
W W S dQ 7 S 10SS s S s x S s 2 4 ( S 2 3SS s 2S s 2 ) 2
数值计算得到 情况一 n=1， 相对地面， 0.98438rad 56.40 ， （1 分） 相对兔子 v (12 gr ) (
2
11 gr cos 2 ) 196.7m / s （1 分） sin
相对于兔子角度 ' arctan
12 arctan( tan ) 56.9 （1 分） 11 11 gr cos / sin
v v0 v t a0 (1 ) （2 分） t t t0
t v a0t (1 ) （2 分） t0 a v 2t a0 (1 ) （2 分） t t0
图像略（4 分）
3t 2t 2 ) （5 分） （2） P FV mav ma0 t (1 t0 t0
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质心教育原创物理竞赛模拟题 第二套 答案及评分标准
满分 160 分 命题人 蔡子星 第一题（20 分） 一个质量为 m 的质点，从静止开始，在一个可变的外力作用下做直线运动，从 0 到 t 时间段内质 t （1）请定性画出质点瞬时速度 v(t ) 与瞬时加速度 a(t ) 的函数 点的平均加速 a(t ) a0 (1 ) 如下图所示， t0 图像； （2）求出外力功率最大的时刻 t1 ，并求此最大功率 P 1。 【解】 ： （1） a
d S Q ，厚度为 ，上下极板各自带电 。不考虑重力，忽略一切边缘效应。 2 2 2
高中物理竞赛_话题1：重心与质心的确定
话题1：重心与质心的确定一、平行力的合成与分解物体所受的几个力的作用线彼此平行，且不作用于一点，即为平行力（系）。
在平行力的合成或分解的过程中，必须同时考虑到力的平动效果和转动效果，后者要求合力和分力相对任何一个转轴的力矩都相同。
两个同向平行力的合力其方向与两个分力方向相同，其大小等于分力大小之和。
其作用线在两个分力作用点的连线上。
合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。
例如：两个同向平行力A F 和B F ，其合力的大小A B F F F =+，合力作用点O 满足A B AO F BO F ⋅=⋅的关系。
两个反向平行力的合力其方向与较大的分力方向相同，其大小等于分力大小之差。
其作用线在两个分力作用点的连线的延长线上，且在较大的分力的外侧。
合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。
例如：两个反向平行力A F 和B F 的合成其合力的大小B A F F F =-(假如B A F F >，则F 和B F 同向)其合力的作用点满足A B AO F BO F ⋅=⋅的关系。
一个力分解成两个平行力，是平行力合成的逆过程。
二、重心和质心重心是重力的作用点。
质心是物体(或由多个物体组成的系统)质量分布的中心。
物体的重心和质心是两个不同的概念，当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义，但质心却依然存在。
对于地球上体积不太大的物体，由于重力与质量成正比，重心与质心的位置是重合的。
但当物体的高度和地球半径比较不能忽略时，两者就不重合了，如高山的重心比质心要低一些。
在重力加速度g v为常矢量的区域，物体的重心是惟一的（我们讨论的都是这种情形），BF AF FO BA BF AF F OBA重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。
求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。
相距L ，质量分别为12,m m 的两个质点构成的质点组，其重心在两质点的连线上，且与12,m m 相距分别为1L ,2L ：1122m L m L = 12L L L +=2112m LL m m =+1212m LL m m =+均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心，求一般物体的重心，常用的方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，再用求同向平行力合力的方法找出其重心。
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Fi
M
F i M ac
质心运 动定理
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作 用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质 量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上 的一个质点的运动一样。内力不改变质心运动。
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质心运
动定理
F i M ac
r
r
If Fi 0, ac 0
r
vrc
mivi 常 矢 量 m
质心保持匀速直线运动状态或静止状态
系统的总动量保持不变
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Figure . Multiflash photograph showing an overhead view of a wrench moving on a horizontal surface. The white dots are located at the center of mass of the wrench and show that the center of mass moves in a straight line as the wrench rotates.
动量守恒定律
解: 由于在水平方向上系统不受外力。因此，根据质心 运动定理，质点系质心的加速度沿水平方向的分量
为零。
r acx
0
即人在走动的过程中系统质心始终静止
xc 0
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设人走之前，相对湖岸人的位置坐标
为 x 1 ，船的质心坐标为 x 2 。这时人船系
统质心的坐标为
x m1x1m2x2
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动量守恒定律
例 一质量 m1 5的0k人g站在一条质量为 m2，长20度k0g
l 4m 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走到
船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。）
解：
y
选人和船组成
x1
x1
的质点系为研
c b c b
究对象，如图 o x 2 x 2 d
x
所示。
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rC
r C drm r
O
x
面分布 dmdS
z
体分布 dmdV
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三、 质心运动定理
设有一个质点系，由n 个质点组成，它的质
心的位矢是：
rc
miri mi
m 1 r 1 m 2 r 2 m n r n
m 1 m 2 m n
质心的速度为
vc
d rc dt
r
mi
r c m ir i/M mN y c
ri
直角坐标系中
m1 rN
rc
xcmixi /M yc miyi /M
r1
r2 O
mi
m2 x
zc mizi /M z
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对于质量连续分布的
m
y
直角坐标系下
xc xdm/M yc ydm/M zc zdm/M 线分布 dmdl
m n a r n m n d d v r t n F r n f r n 1 f r n 2 L f r n n 1
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对于内力 f 1 2 f 2 1 0 , ,f i n f n i 0 ,
m ia i F i
ac
miai mi
ac m Fii
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动量守恒定律
如果系统所受的外力之和为零（即 Fi 0），则
系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律.
条件 Fi 0
å r
定律 P=
m iv ri= 常 量
直角坐标系下的分i 量形式
Fix 0 时
px mivix
Fiy 0时
py miviy =常量
Fiz 0时
pz miviz
c
mx 1m2
xc
m1x1m2x2 m1m2
0
x1
x2
l
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动量守恒定律
x2 m1m 1m2l0.8(m)
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§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
一、 质点系的内力和外力
N个质点组成的系统-- 研究对象称为质点系。
内力：系统内部各质点间的相互作用力
f'
特点：成对出现；大小相等方向相反
f
结论：质点系的内力之和为零 fi 0
i
质点系 F
外力: 系统外部对质点系内部质点的作用力
约定：系统内任一质点受力之和写成
dri dt
mi
r
mi vi
mi
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质心的加速度为
ac
dvc
dt
mi
d vi dt
mi
mi ai mi
由牛顿第二定律得
m 1 a 1 m 1 d d v t 1 F 1 f 1 2 f 1 3 f 1 n
m 2 a r 2 m 2 d d v r t 2 F r 2 f r 2 1 f r 2 3 L f r 2 n
外力之和
Fi fi
内力之和
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二、 质心
Y 质点系的质量分布中 心，简称质心。
C
O
X
抛手榴弹的过程
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
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对于N个质点组成的质点系：
m 1 , m 2, , m i, m N Mmi r 1 ,r 2 , ,r i, r N