山东临沂2021高三上期末数学试题

2021届山东省临沂市高三上学期期末数学试题 第Ⅰ卷选择题一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2A =-，{}10,B x mx m =-=∈R ，若A B A ⋃=，则所有符合条件的实数m 组成的集合是（ ） A ．1,0,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．{}1,0,2-C ．{}1,2-D ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭2．复数z 满足()35zi i +=，则z =（ ） A ．1322i -+ B ．1322i -- C ．1322i -D ．1322i + 3．若向量(),2a x =，()2,3b =，()2,4c =-，且a c //，则a b -=（ ）A ．3BCD ．4．在数列{}n a 中，32a =，71a =．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a =（ ） A ．43B ．32C ．23D ．345．“112x⎛⎫> ⎪⎝⎭”是“21x -<<”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．函数()ln sin x f x x x=-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行与抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM △的周长为（ ） A ．910+B ．926+C ．712612+ D ．832612+ 8．函数()g x 的图象关于y 轴对称，(],0x ∈-∞时，()0g x '<，()20g =．又()()1g x f x =+，则()()10x f x +>的解集为（ ）A ．()3,+∞B ．{},1x x x ∈≠R C ．()1,+∞D ．{1x x <-或}3x >二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速km/h 分成六段：[)60,65，[)65,70，[)70,75，[)75,80，[)80,85，[]85,90，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是（ ）A ．这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5B ．在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75km/h 的概率为0.65C ．若从样本中车速在[)60,70的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[)65,70的概率为1011D ．若从样本中车速在[)60,70的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[)65,70内的概率为2310．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1CC 上，则下列结论正确的是（ ） A ．直线BM 与平面11ADD A 平行B ．平面1BMD 截正方体所得的截面为三角形C ．异面直线1AD 与11A C 所成的角为π3D ．1MB MD +的最小值为111．已知圆22:4C x y +=，直线():34330l m x y m ++-+=，(m ∈R )．则下列四个命题正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点()3,3-B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1 C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上一个动点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 12．已知函数()3x f x e x =⋅，则以下结论正确的是（ ） A ．()f x 在R 上单调递增B ．()()125log 0.2ln πf e f f -⎛⎫<-< ⎪⎝⎭C ．方程()1f x =-有实数解D ．存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解第Ⅱ卷非选择题三．填空题：本题共4小题． 13．已知22ππ3sin cos 632αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若()0,πα∈，则α=______．14．()5221211x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为______． 15．有六条线段，其长度分别为2，3，4，5，6，7．现任取三条，则这三条线段在可以构成三角形的前提下，能构成锐角三角形的概率是______．16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点P 在对角线1BD 上，当3PB =时，三棱锥P ABC -的外接球的体积为______．四．解答题：本题共6小题，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，若243S =，3139S =，且点(),n n a b 函数33log y x=的图象上．（1）求{}n a ，{}n b 通项公式； （2）记21211n n n c b b -+=，求{}n c 的前n 项和n T ．18．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若______，且ABC △的外接圆的面积为3π，ABC △的面积为934，求ABC △的周长． 在①sin 2sin cos sin 2b A a A C c A -=-；②sinsin 2B Cb a B +=；③2cos 2a Bc b =-；这三个条件中任选一个补充在上面问题中，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）19．如图，四边形ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，22AB BC ==，3CD BC =，E 为AB 的中点，点F 在CD 上，且//EF BC ，以EF 为折痕把四边形EBCF 折起，使二面角B EF D --为直角，点B ，C 折起后的位置分别记为点G ，H ．（1）求证：AD ⊥平面AHF ；（2）在线段HD 上存在一点P ，使平面PAE 与平面AEG 5．延长GH 到点M ，使HM GH =，判断直线PM 是否在平面PAE 中，说明理由．20．随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载用户每日健步的步数．某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况，从正常上班的员工中随机抽取了2000人，统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数（单位：千步，假设每天健步的步数均在3千步至21千步之间）．将样本数据分成[)3,5，[)5,7，[)7,9，[)9,11，[)11,13，[)13,15，[)15,17，[)17,19，[]19,21九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布．（1）求图中a 的值；（2）设该企业正常_上班的员工健步步数（单位：千步）近似服从正态分布()2,N μσ其中μ近似为样本的平均数（各区间数据用中点值近似计算），取 3.64σ=，若该企业恰有10万正常上班的员工，试估计这些员工中日健步步数Z 位于区间[]4.88,15.8范围内的人数；（3）现从该企业员工中随机抽取20人，其中有k 名员工的日健步步数在13千步至15千步内的概率为()P X k =，其中0k =，1，2，…，20，当()P X k =最大时，求k 的值． 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，()220.9545P μσξμσ-<≤+≈，()330.9973P μσξμσ-<≤+≈．21．设函数()()1ln f x x a x a x=--∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，记过点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 的直线斜率为k ，问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．22．已知()0,1P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，焦距长为2．PA 、PB 为椭圆的两条动弦，其倾斜角分别为α，β，且π4αβ+=（π04α<<，π04β<<）． （1）求椭圆的标准方程；（2）探究直线AB 是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．2020—2021年高三期末检测试题数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1—4．DCCA5—8．CBBA二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．ABC 10．AC 11．ACD 12．BD 三．填空题：本题共4小题． 13．π6或π2 14．25 15．313 16．9π2四．解答题：本题共6小题，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由题设可得()()1214131319a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩， 解得：13q =或14q =-（舍），11a =，故{}n a 的通项公式为113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为点(),n n a b 在函数33log y x =的图象上，所以33log n nb a =，所以3313log log 313n n n b n -===⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）由题知211114122121n c n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，∴12n n T c c c =++⋅⋅⋅+111111111233523212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 18．解：若选①由1sin 2sin cos sin 22b A a A Cc A -=及正弦定理可得： 21sin sin 2sin cos sin 2sin 2B A A C A C-=，()0,πA ∈，sin 0A ≠，sin 0B ≠，所以2sin cos sin cos cos sin sin B A A C A C B =+=， 所以1cos 2A =，π3A =．因为ABC △的外接圆的面积为3π，由正弦定理可得，323233a A ===． 又ABC △93419sin 324bc A =139324bc =，所以9bc =．由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，则()()22229327b c bc b c bc b c =+-=+-=+-， 所以()236b c +=，即6b c +=． 所以ABC △的周长9a b c ++=． 若选②，由正弦定理得sin sin sin sin 2B CB B A +=， 因为sin 0A ≠，所以sinsin 2B CA +=， 由πABC ++=，可得sin cos 22B C A+=，故cos 2sin cos 222A A A =，因为cos 02A ≠，故1sin 22A =， 因此π3A =．其余步骤同①若选③，由正弦定理可得，2sin cos 2sin sin A B C B =-，将()()sin sin πsin sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+⎡⎤⎣⎦， 代入上式可得，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin A B A B A B B =+-， 所以2cos sin sin A B B =．因为sin 0B >，所以2cos 1A =，即1cos 2A =．由于0πA <<，所以π3A =．其余步骤同①19．（1）证明：∵//AB CD ，90ABC ∠=︒，//EF BC ，AB BC ⊥， ∴EF CF ⊥，即EF HF ⊥，又∵平面EGHF ⊥平面AEFD ，平面EGHF ⋂平面AEFD EF = ∴HF ⊥平面AEFD ∴HF AD ⊥．∵点E 为AB 的中点，22AB BC ==，3CD BC =，//AB CD ，//EF BC ， ∴1AE EF ==，2DF =，∴AF =，AD =∴222AF AD DF +=即AF AD ⊥， 又HF AF F ⋂=， ∴AD ⊥平面AHF ．（2）由（1）知HF ⊥平面AEFD ，EF FD ⊥∴HF FD ⊥，HF EF ⊥， 如图，以F 为原点，FE ，FD ，FH 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系F xyz -．则()1,0,0E ，()0,2,0D ，()0,0,1H ，()1,1,0A ，()1,0,1G 设HP HD λ=得()0,2,1P λλ-， ∴()0,1,0EA =，()1,2,1EP λλ=--， 设平面PAE 的法向量为(),,n x y z =，则()0210n EA y n EP x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩ 令1z =，得1x λ=- ∴()1,0,1n λ=-． 易知平面AEG 的一个法向量为()1,0,0FE =．由()215cos ,511n FE λλ-==-+，解得12λ=或32λ=（舍）． ∴P 为HD 中点．由HM GH =，得()1,0,1M -，又10,1,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴11,1,2PM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．又平面PAE 的一个法向量1,0,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴0PM n ⋅=，故点P 在平面PAE 内， ∴直线PM 在平面PAE 内．20．（1）由0.0220.0320.0520.15220.0520.0420.0121a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 解得0.1a =．（2）40.0460.0680.1100.1120.3140.2160.1180.08200.02μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=12.16，()()0.95450.68274.8815.820.81862P Z P Z μσμσ+<≤=-<≤+==，则100000.81868186⨯=（人），所以日健步步数Z 位于区间[]4.88,15.8范围内的人数约为8186人． （3）设从该企业员工中随机抽取20人日健步步数在13千步至15千步内的员工有X 人，则()~20,0.2X B ，其中有k 名员工的概率为()20200.20.8k k k P X k C -==⋅，其中0k =，1，2， (20)记()()()20201121200.20.82110.20.84kk k k k kP X k C kf k P X k C k----=⋅-====-⋅， 当()1f k >时， 4.2k <，则()()1P X k P X k =-<=； 当()1f k <时， 4.2k >，则()()1P X k P X k =->=． 所以当4k =时，()P X k =最大．21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞．()222111a x ax f x x x x -+'=+-=令()21g x x ax =-+，其判别式24a ∆=-．①当2a ≤时，0∆≤，()0f x '≥，故()f x 在()0,+∞上单调递增．②当2a <-时，0∆>，()0g x =的两根都小于0，在()0,+∞上()0f x '>，故()f x 在()0,+∞上单调递增．③当2a >时，0∆>，()0g x =的两根为1x =，2x =当10x x <<时，()0f x '>；当12x x x <<时，()0f x '<；当2x x >时，()0f x '>，故()f x 分别在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减．（2）由（1）知，若()f x 有两个极值点1x ，2x ，则只能是情况③，故2a >． 因为()()()()1212121212ln ln x x f x f x x x a x x x x --=-+--， 所以()()1212121212ln ln 11f x f x x x k a x x x x x x --==+-⋅-- 又由（1）知，121x x =，于是1212ln ln 2x x k a x x -=-⋅-若存在a ，使得2k a =-．则1212ln ln 1x x x x -=-．即1212ln ln x x x x -=-． 即()222212ln 01x x x x --=>（*） 再由（1）知，函数()12ln h t t t t =--在()0,+∞上单调递增，而21x >，所以22212ln x x x -->112ln101--=．这与（*）式矛盾．故不存在a ，使得2k a =-．21．解：（1）由题意知，1b =，1c =，且222a b c =+，所以a = 所以，椭圆标准方程为2212x y +=． （2）①当直线AB 斜率不存在是，设为()0020x x x =-<<，设点A 坐标为()00,x y ，点B 坐标为()00,x y -， 由于001tan A P A P y y y x x x α--==-，001tan B P B P y y y x x x β---==-，2200121x y +=， ∴()00000220000000112tan tan 4tan 1111tan tan 11y y x x x y y x y x x x αβαβαβ---+++===-=-≠----+--⋅， ∴()πtan tan 4αβ+≠． ∴直线AB 斜率不存在时，不符合题意．②当直线AB 斜率存在时，设方程为y kx m =+，点A 坐标为()11,x y ，点B 坐标为()22,x y 联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214220k x kmx m +++-=． ()228210k m ∆=-+>，122421km x x k -+=+，()21222121m x x k -=+． ∵111111tan A P A P y y y kx m x x x x α--+-===-，222211tan B P B P y y y kx m x x x x β--+-===-， ()πtan tan tan tan 141tan tan αβαβαβ+=+==-，∴tan tan 1tan tan αβαβ+=-， ∴1212121211111kx m kx m kx m kx m x x x x +-+-+-+-+=-⋅， ∴()()()()()221212211110k k x x k m x x m +-++-++-=， ∴()()()()()222222142111102121m km k k k m m k k --+-++-+-=++． 显然，直线y kx m =+，不经过点()0,1，即1m ≠，10m -≠． 故有，()()()()222214*********m km k k k m k k +-+-+++-=++， 化简得43m k =-，∴直线AB 为43y kx k =+-，∴()()430k x y +-+=， 显然当43x y =-⎧⎨=-⎩时，上式成立，直线AB 过定点()4,3--．综上，直线AB 过定点()4,3--．。