《自动控制原理》第2章 线性系统的传递函数

+
anc(t)
=
b0
dm dtm
r(t)
+
b1
d m−1 d t m −1
r(t)
++
bm−1
d dt
r(t)
+
bmr(t)
(m n)
设r(t), c(t)及各阶导数在t=0时的值均为零(零初始条件)， 则对方程两端求拉氏变换，可得系统的传递函数
Ch2 控制系统的数学模型
◼ 传递函数的一般形式：
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第二章 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
本章内容
❖ 引言 ❖ 物理系统的微分方程 ❖ 拉氏变换与拉氏反变换 ❖ 线性系统的传递函数 ❖ 方框图及其等效变换 ❖ 信号流图与Mason公式*
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2.3 线性系统的传递函数
一. 传递函数的定义
Ux(s) =
I
(s) − I2(s) sC1
(2)
I 2 (s)
=
Ux
(s) −Uo(s) R2
(3)
U o (s)
=
I 2 (s) sC2
(4)
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I (s) = Ui (s) −U x (s) (1) R1
Ui _
I
1/R1
Ux
Ux(s) =
I
(s) − I2(s) sC1
Uo (s)
Ui (s) （b）
I(s) Uo (s)
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I(s)
（c）
Uo (s)
Ui (s)
I(s)
－ Uo (s) （d）
Uo (s)
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例2：画出两级RC电路网络的系统方框图。
i R1
Ux R2 i2
设中间变量Ux
u1
Ui
C1
↓i1 C2
Uo
I (s) = Ui (s) −U x (s) (1) R1
R(s)
C(s) sys
定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换的比值，用G(s)表示。
G(s) = C(s) s = + j
R(s)
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◼ 线性常微分方程一般形式：
a0
dn dtn
c(t)
+
a1
d n−1 d t n −1
c(t)
++
an−1
d dt
c(t)
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4、积分环节 5、微分环节
G(s) = 1 s
纯微分： G(s)=τs
一阶微分： G(s)=τs+1
二阶微分： G(s)=τ2s2+2ζτs+1
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6、延迟环节
运动方程： U0 (t) = Ui (t)(t − ) 传递函数： G(s) = e−s
实例：管道压力、流量等物理量的控制
当延迟时间τ很小时，
e−s 1
1 + s
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2.4 控制系统的方框图
一. 方框图的组成
1、方框：表示一个系统、元件、环节。
2、信号线：带有箭头的直线，表示信号的流向。 直线旁标示信号的时间函数或象函数（复域函数）。
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典型负反馈控制系统方框图如图：
R(s)
Gc (s)
−
N (s)
C(s)
Gp (s)
B(s)
H (s)
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Gc(s)：控制器传递函数 Gp(s)：被控对象传递函数 H(s) ：反馈通路传递函数 R(s) ：系统输入 C(s) ：系统输出 N(s) ：扰动
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C(S)
3：反馈
R(s)
G(s) = G1(s) 1 G1(s)G2 (s)
R(s)
1、前向通路传递函数 假设N(s)=0，R(s)→C(s) Gc(s) Gp(s)
2、开环传递函数（令N(s)=0 ）打开主反馈 B(s)/E(s)
=Gc(s) Gp(s) H(s)
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3、闭环传递函数（N(s)=0）
前向通路传递函数 (s) = 1+ 开环传递函数
(s) = C(s) = Gc(s)Gp(s) R(s) 1+ Gc(s)Gp(s)H (s)
3、比较点： 对多个信号进行加、减运算。
（默认是加号，负号必须标出）
R1(s)
R1(s) − R2(s)
- （负号必须标出）
R2 (s)
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4、引出点（分支点）：表示信号引出的位置。
P(s)
注意：同一位置引出的信号
大小和性质完全一样。
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二. 相关概念
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6、N(s)为输入，E(s)为输出的误差传递函数 （假设R(s)=0）
EN
(s)
=
E(s) N (s)
=
− Gp(s)H (s) 1+ Gc(s)Gp(s)H (s)
7、当输入R(s)与扰动N(s)同时作用于系统时， 求传递函数的代数和。
三. 方框图的绘制方法
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G(s)
=
Uc(s) Ur(s)
=
LCs2
1 + RCs +1
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解法二：复数阻抗法
Ur(s)
Zc(s)
= Uc(s)
ZR (s) + Zc(s) + Zl (s)
代入
Uc(s) Ur(s)
=
LCs2
1 + RCs
+1
五.典型环节的传递函数
1、比例环节 运动方程 ： y(t)=k x(t) 传递函数： G(s)=k
R(s) (s +1)(s + 2)
e−t , e−2t
z1 = −3, p1 = −1, p2 = −2
r(t) = R1 &)
= 9R1 − R2e−5t + (3R2 −12R1)e−t + (3R1 − 2R2 )e−2t
前两项具有与输入函数相同的运动模态，后两项包含 了由极点形成的自由运动模态。
零点：不形成自由运动的模态，但影响各模态在响应 中所占的比重，因而影响曲线的形状。
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四.典型元件的传递函数
1、电位器： [五版P34 图2-10a]
G(s) = U (s) = k ( s )
2、电阻：
U (s) Z R (s) = I (s) = R
2、电阻： 3、电容： 4、电感：
=
i(t)dt
c
进行拉氏变换得： I (s) = Ui (s) −Uo (s) (1) R
Uo (s)
=
I (s) sC
(2)
I (s) = Ui (s) −Uo (s) (1) R
I (s) Uo (s) = sC (2)
I(s)
（c）
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Ui (s)
I(s)
（b）
Uo (s)
(s + 3)(s +1+ j)(s +1− j)
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◼ 零点和极点对输出的影响
极点：微分方程的特征根，决定了所描述系统自由运 动的模态。
例 G(s) = C(s) = 6(s + 3) 自由运动的模态：
R(s) (s +1)(s + 2)
e−t , e−2t
z1 = −3, p1 = −1, p2 = −2
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4、输出对扰动的闭环传递函数（假设R(s)=0）
C(s)
Gp(s)
N (s) = N (s) = 1+ Gc(s)Gp(s)H (s)
5、R(s)为输入，E(s)为输出的误差传递函数 （假设N(s)=0）
E (s)
=
E(s) R(s)
=
1 1+ Gc(s)Gp(s)H (s)
z2)(s − zm) p2 )(s − pn )
m
(s − zi )
= K
i =1 n
(s − pj)
首1标准型，根轨迹法中常用
K*=b0/a0：传递函数系数， 或根轨迹增益
j =1
zi (i = 1,2m) − − − − → G(s)的零点， 称为零极点形式
pi (i = 1,2n) − − − − → G(s)的极点。
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◼ 传递函数的另一种形式：尾1标准型，频率法中多用
K
G(s) = s
m1 i =1
(
i
s
+
1)
n1 j =1
(T
j
s
+
1)
m2 (
k =1
2 k
s
2
+
2
k k s
+1)
n2 l =1
(Tl
2
s
2
+
2
lTl s
+1)
i ,Tj -----时间常数
称为时间常数形式
I
I1
Ux
1/C1s
Uo
1/R2
1/C2s
_
I2
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四. 方框图的等效变换和化简
1：串联