系统方框图及系统传递函数
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第2章(4)传递函数方块图及其化简
G(s) 1 G(s)H (s)
G(s) 1 Gk (s)
B(s)
H(s)
前向通道传递函数、
反馈通道传递函数、
开环传递函数、
正反馈、负反馈；
2.方框图的变换与化简:(1)串、并联的化简； (2)分支点跨过环节的移动规则； (3)相加点的拆并及跨过环节的移动规则； (4)反馈与并联交错的化简
Xo(s)
G1(S)
G2(S)
Xi(s) G1(S) G2(S)
Xo(s)
G(s)
X X
o(s) i(s)
X o(s) X (s)
X (s) Xi(s)
G2
(
s)G1(
s
)
n
G(s) Gi (s) i 1
负载效应问题
i1 R1 i2 R2
G1(s)
1 R1C1s
1
G2 (s)
Xo(s)
C
略
H1
jik 04
16
X (s) 0 求 Xo(s) 。令
Xi2(s)
i1
Xi 1(s)
H3
+
-
-
G1 B +
G2
,
Xi
2(
Xi1(s)处的相加点取消，
H1 变成(-H1)。原图改画成：
s)
Xi 2(s) +
G3
Xo(s)
+
+
-A +
+
-
G3 Xo(s) A +
H2
C
H2
G2
+
-
B G1
复习：
1.微分方程的拉氏算子解法; 2.系统的响应就是微分方程的解 总响应x(t) =零输入响应xZ(t)+零状态响应xs(t)
2.第二章方框图及简化(new)
多个输入同时作用于线性系统时，分别考虑 每个输入的影响
• 如考虑扰动的反馈控制系统：
• 只考虑给定输入时：
• 只考虑干扰输入时：
• 如考虑扰动的反馈控制系统：
• 只考虑给定输入时：
• 只考虑干扰输入时：
• 系统总的输出量
扰动的影响将被抑制!!!
若 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) >> 1 且 G1 ( s) H ( s ) >> 1 ，则：
X o ( s) ≈ 1 X i ( s) H ( s)
• 上式表明，采用反馈控制的系统，适当选 上式表明，采用反馈控制的系统， 择元部件的结构参数， 择元部件的结构参数，可以增强系统抑制 干扰的能力。 干扰的能力。
• 结论 • 闭环系统具有抑制干扰的能力； • 闭环系统输入、输出的取法不同时，其传 递函数不同，但传递函数的分母不变，而 开环系统则不然。
反馈连接及其等效原则前向通道传递函数反馈回路传递函开环传递函数闭环传递函数前向通道反馈通道开环传递函数都只只是闭环系统部分环节或环节组合的传递函数而闭环传递函数才是系统的传递函数
第二章 系统的数学模型
2.3 系统的传递函数方框图及其简化
• 将组成系统的各个环节用传递函数方框表示，并将相应的变 量按信息流向连接起来，就构成系统的传递函数方框图
• 例2-10
• 一定要注意梅逊公式的两个条件； • 若系统不满足两个条件，可先将其方框图 化成满足使用条件的形式，然后再利用梅 逊公式。
多个输入同时作用于线性系统时，分别考虑 每个输入的影响
• 如考虑扰动的反馈控制系统：
• 只考虑给定输入时：ຫໍສະໝຸດ • 只考虑干扰输入时：• 如考虑扰动的反馈控制系统：
传递函数和系统框图
传递函数和系统框图是相互关联的，通过系统框图可以推导出传递函数，而通过传递函数也可以构建相 应的系统框图。在实际应用中，根据需要选择适合的表示方法来描述和分析系统。
对未来研究的展望
随着控制理论和计算机技术的发展， 传递函数和系统框图的应用范围不断 扩大。未来研究可以进一步探讨如何 利用现代技术优化传递函数和系统框 图的表示和分析方法，提高系统的性 能和稳定性。
系统框图由一系列的方框（代表系统组成部分）和箭头（表 示信号或信息的传递方向）组成。
系统框图的构建方法
确定系统组成部分
根据系统的功能和特性，确定 系统的输入、输出以及中间环
节。
选择合适的图形符号
根据各组成部分的性质和功能 ，选择合适的图形符号来表示 。
确定信号传递关系
根据各组成部分之间的信号传 递关系，用箭头表示信号的传 递方向。
要点一
总结词
多变量控制系统具有多个输入信号和多个输出信号，传递 函数形式非常复杂。
要点二
详细描述
多变量控制系统的例子包括航空航天控制系统、大型工业 过程等。这些系统的输入信号和输出信号众多，传递函数 通常由多个SISO环节组成，并且存在强烈的耦合和交叉影 响。多变量控制系统的分析和设计需要借助先进的控制理 论和方法，如状态空间法、鲁棒控制等。
实例二：复杂控制系统
总结词
复杂控制系统通常包含多个输入信号和多个 输出信号，传递函数形式相对复杂。
详细描述
复杂控制系统的例子包括化工过程控制、电 力系统的频率控制等。这些系统的输入信号
和输出信号较多，传递函数通常由多个 SISO环节组成，并且可能包含非线性、时
变和不确定性等因素。
实例三：多变量控制系统
传递函数与系统框图的转换
对未来研究的展望
随着控制理论和计算机技术的发展， 传递函数和系统框图的应用范围不断 扩大。未来研究可以进一步探讨如何 利用现代技术优化传递函数和系统框 图的表示和分析方法，提高系统的性 能和稳定性。
系统框图由一系列的方框（代表系统组成部分）和箭头（表 示信号或信息的传递方向）组成。
系统框图的构建方法
确定系统组成部分
根据系统的功能和特性，确定 系统的输入、输出以及中间环
节。
选择合适的图形符号
根据各组成部分的性质和功能 ，选择合适的图形符号来表示 。
确定信号传递关系
根据各组成部分之间的信号传 递关系，用箭头表示信号的传 递方向。
要点一
总结词
多变量控制系统具有多个输入信号和多个输出信号，传递 函数形式非常复杂。
要点二
详细描述
多变量控制系统的例子包括航空航天控制系统、大型工业 过程等。这些系统的输入信号和输出信号众多，传递函数 通常由多个SISO环节组成，并且存在强烈的耦合和交叉影 响。多变量控制系统的分析和设计需要借助先进的控制理 论和方法，如状态空间法、鲁棒控制等。
实例二：复杂控制系统
总结词
复杂控制系统通常包含多个输入信号和多个 输出信号，传递函数形式相对复杂。
详细描述
复杂控制系统的例子包括化工过程控制、电 力系统的频率控制等。这些系统的输入信号
和输出信号较多，传递函数通常由多个 SISO环节组成，并且可能包含非线性、时
变和不确定性等因素。
实例三：多变量控制系统
传递函数与系统框图的转换
第二章-系统的传递函数方框图及其简化.
系统闭环传递函数
GB (s)
X o (s) Xi (s)
由图可知
X i (s) E(s) G(s)
B(s)
H (s)
X o (s)
E(s) Xi (s) B(s) Xi (s) Xo(s)H (s) Xo(s) G(s)E(s) G(s)[Xi (s) Xo(s)H (s)]
G(s)Xi (s) G(s)Xo(s)H (s) 由此可得：
GK (s) G(s)H (s) E(s)
无量纲.
系统闭环传递函数
GB (s)
X o (s) Xi (s)
注意:我们所指的前向通道的传递函数、反馈回路的
传递函数和开环传递函数都是针对一个闭环系统而
言的。它们都是闭环系统的一部分。系统闭环传递
函数是闭环系统的传递函数。看一个传递函数是什
么具体类型，要从定义出发，而不能只看其符号。
8.分支点和相加点之间等效规则
X1(s)
X1(s) X2(s)
X 2 (s)
X1(s) X2(s)
X1(s)
X 2 (s)
X1(s) X2(s)
X1(s) X2(s)
X 2 (s)
一般应避免分支点和相加点之间的相互移动
三、方框图简化的一般方法 （法1）
1.确定系统的输入量和输出量.若作用在系统上的输 入量或输出量有多个,则必须分别对每一输入量,逐个 进行方框图的简化,以求得各自的传递函数. 2.若方框图中有交叉连接,则利用分支点或相加点的 移动规则,将交叉消除,简化成无交叉的多回路方框图 的形式.(大回路套小回路) 3.对多回路方框图,按照先里后外的顺序依次对各个 回路进行简化. 4.写出系统的传递函数.
Ua (s) 0
《计算机控制系统教学课件》5.传递函数及方框图
T2s 116（来自）振荡环节振荡环节的传递函数为：
G(s)
s2
wn2 2wns
wn2
式中wn———无阻尼自然振荡频率，wn=1/T； z ——阻尼比，0＜z＜1。
下图所示为单位阶跃函数作用下的响应曲线。
RLC串联电路、弹簧质量 阻尼器串联系统都是二阶 系统。只要满足0＜z＜1， 则它们都是振荡环节。
G(s) C(s) G1(s) R(s) 1 G1(s) G2 (s)
G1(s) G2(s)
G1(s) G2(s)
C (s) C (s)
26
4、分支点移位：
（1）前移
R (s) C (s)
G1(s)
（2）后移
C (s)
R (s)
C (s) G1(s)
C (s) G1(s)
R (s)
G1(s)
C (s) R (s)
6
a0c(n) a1c(n1) anc b0r(m) b1r(m1) bmr
在零初始条件下:
c(0) c(0) c(n1) (0) 0
n个
r(0) r(0) r(m1) (0) 0
m个
拉氏变换:
单输入单输出 线性定常系统
r(t) 输入量 c(t) 输出量
[a0sn a1sn1 an1s an ]C(s) [b0sm b1sm1 bm1s bm]R(s)
17
（六）延滞环节
延滞环节是线性环节， 称为延滞时间（又称死时）。
具有延滞环节的系统叫做延滞系统。
如下图所示，当输入为阶跃信号，输出要隔一定时间 后才出现阶跃信号，在0＜1＜ 内，输出为零。
延滞环节的传递函数为: G(s) es 系统具有延滞环节对系统的稳定性不利，延滞越大，影响越大。
机械控制工程基础2.3系统的传递函数方框图及其简化
分支点引出的信号不仅量纲相同，而且数值也相等。
X(s) X(s) X(s)
2011年9月
第 5 页/53
机电汽车工程学院
Block diagram establishing
2、系统方框图的建立
建立系统方框图的步骤如下：
(1) 建立系统（或元件）的原始微分方程； (2) 对这些原始微分方程进行Laplace变换，并根据各变换 式中的因果关系，绘出相应的方框图； (3) 按照信号在系统中传递、变换的过程，依次将各传递函 数方框图连接起来(同一变量的信号通路连接在一起），系 统输入量置于左端。输出量置于右端，便得到系统的传递 函数方框图。
X(s)
+
Kq
_
Q(s)
P(s) A Y(s)
1/Kc
ms2 cs
(c)
As
2011年9月
第 12 页/53
机电汽车工程学院
例2：如图2.1.2所示电枢控制式直流时机，由第2.1节例2的
推导可知其运动微分方程可列写如下：
练习题： Ldia dt
ia R ed
ua
ed kd
输入：Ua(s), ML(s)
Q(s)
(c)
P(s)
1/Kc
P(s) A Y(s) ms2 cs
(a)
Q(s) As Y(s)
输入：X(s) 输出：Y(2s0) 11年9月 中间变量：P(s) Q(s)
(b)
第 11 页/53
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最后，将上述各传递函数方框图按信号的传递关系连接起 来，便得到下图所示的系统的传递函数的方框图。
Ur(s) +
I(s)
Uc(s)
1/R
X(s) X(s) X(s)
2011年9月
第 5 页/53
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Block diagram establishing
2、系统方框图的建立
建立系统方框图的步骤如下：
(1) 建立系统（或元件）的原始微分方程； (2) 对这些原始微分方程进行Laplace变换，并根据各变换 式中的因果关系，绘出相应的方框图； (3) 按照信号在系统中传递、变换的过程，依次将各传递函 数方框图连接起来(同一变量的信号通路连接在一起），系 统输入量置于左端。输出量置于右端，便得到系统的传递 函数方框图。
X(s)
+
Kq
_
Q(s)
P(s) A Y(s)
1/Kc
ms2 cs
(c)
As
2011年9月
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例2：如图2.1.2所示电枢控制式直流时机，由第2.1节例2的
推导可知其运动微分方程可列写如下：
练习题： Ldia dt
ia R ed
ua
ed kd
输入：Ua(s), ML(s)
Q(s)
(c)
P(s)
1/Kc
P(s) A Y(s) ms2 cs
(a)
Q(s) As Y(s)
输入：X(s) 输出：Y(2s0) 11年9月 中间变量：P(s) Q(s)
(b)
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最后，将上述各传递函数方框图按信号的传递关系连接起 来，便得到下图所示的系统的传递函数的方框图。
Ur(s) +
I(s)
Uc(s)
1/R
机械控制工程基础第二章物理系统的数学模型及传递函数
数； 因为系统每增加一个独立储能元件，其内部 就多一层能量（信息）的交换。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
《控制工程》传递函数
1．系统由单变量非线性函数所描述
df 1 d2 f Dx + Dx 2 f ( x) f ( x0 ) + dx x 2! dx 2 0 x0 1 d3 f + 3! dx 3 D x 3 + LL f ( x0 ) +
y= f (x) y(t):输出 x(t):输入 df Dx dx x 0 df Dx dx x 0
1、机械平移系统（即m、c、k系统）
第二章 传递函数
原则：根据牛二定律列写相应的动力学方程
y(t)
质量m
m
Fm m(t ) y
y2
弹簧k
y1
k
压弹簧：Fk=k(y1-y2) 拉弹簧： Fk=k(y2-y1)
压：说明y1要大于y2，这才有压的效果 其中y1与y2之差为弹簧的净形变量
阻尼c
y1 c y2
( ( an X 0n) (t ) + an1 X 0n 1) (t ) + … + a0 X 0 (t )
X0(t)——系统输出
bm X i( m) (t ) + bm1 X i( m1) + … + b0 X i (t )
Xi(t)——系统输入
3．根据系统微分方程对系统进行分类 1）线性系统：方程只包含变量X0(t)、Xi(t)的各阶导数 a．线性定常系统：an…a0 ；bm…b0为常数 b．线性时变系统：an…a0 ；bm…b0为时间的函数
第二章 传递函数
一、定义
定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入 输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统的微分方程为：
a n x(0n)( t ) + a n 1 x(0n 1)( t ) + L + a0 x0( t )
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综合点后移证明推导（移动后）
R(s)
G(s)
C(s)
？
Q(s)
C ( s) R( s) G( s) Q( s) ?
综合点后移证明推导（移动前 后）
R(s) Q(s)
G(s)
C(s)
R(s)
G(s)
C(s)
？
移动后
Q(s)
C ( s) R( s) G( s) Q( s) ?
1 C
推导
(2 1)
P24
例2-6：
r (t )
i1 (t ) R1
i2 (t ) u1 (t )
R2
R(s)
C1
+ _
1 R
I1 ( s )
C2
c (t )
U1 ( s ) I1 ( s )
+ _ 1 C1s
U1 ( s )
r(t) u 1 (t) i1 (t) R1
1 u 1 (t) [i1 (t) i 2 (t)]dt C1
G(s)
？
Q(s)
C( s) R( s) G( s) Q( s) G( s) ?
综合点前移证明推导（移动前 后）
R(s)
G(s)
Q(s)
C(s) R(s)
G(s) ？
Q(s)
C(s)
移动后
C ( s) R( s) G( s) Q( s) ?
C ( s) R( s) G( s) Q( s)
G(s)
C(s)
R(s)
G(s)
C(s)
G(s)
Q(s)
综合点前移
R(s)
G(s)
Q(s)
C(s)
R(s)
G(s)
C(s)
？
Q(s)
综合点前移证明推导（移动前）
R(s)
G(s)
Q(s)
C(s)
C( s) R( s) G( s) Q( s)
综合点前移证明推导（移动后）
R(s) C(s)
四
结构图的等效变换
思路：
在保证总体动态关系不变的条件下，设法将原 结构逐步地进行归并和简化，最终变换为输入 量对输出量的一个方框。
1.
串联结构的等效变换（１）
• 串联结构图
R(s)
G1(s)
U(s)
G2(s)
C(s)
1.
串联结构的等效变换（２）
• 等效变换证明推导
R(s)
G1(s)
U(s)
G2(s)
例2 （解题思路）
解题思路：消除交叉连接，由内向外 逐步化简。
#例2 （解题方法一之步骤1）
• 将综合点2后移，然后与综合点3交换。
H 2 ( s)
R( s )
1
－
3
G1 ( s )
－ 2
G2 ( s )
－
G3 ( s )
A
G4 ( s )
B
C
C ( s)
H 3 ( s)
H1 ( s)
例2 （解题方法一之步骤2）
2.
并联连 接
G1(s) G2(s)
－ ＋
X(s)
Y(s)
两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并 以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形 式的连接称为并联连接。
3. 反馈连接
R(s)
－
G(s) H(s)
C(s)
一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得 到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输 入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。
要点：
结构变换的规律是：由内向外逐步进行。
例题化简步骤（1)
• 合并串联环节：
r
-
Ka K s
-
Cm Ra ( Js 2 fs )
1 i
c
Kbs
r
-
Ka K s
-
Cm Ra ( Js 2 fs )
1 i
c
例题化简步骤 （2)
• 内反馈环节等效变换：
Kbs
r
-
Ka K s i
Cm s( JsRa fRa K bC m )
c
r
-
Ka K s i
Cm s( JsRa fRa K bC m )
c
例题化简步骤（3)
• 合并串联环节：
r
－
Cm K a K s s[ Js Ra f Ra K bC m ] i
c
r
－
Cm K a K s s[ Js Ra f Ra K bC m ] i
c
U1 ( s )
I 2 ( s)
+ _
C (s)
I 2 (s)
1 Ka R2
I 2 (s)
u 1 (t) c(t) i 2 (t) R2
1 C2 s
C (s)
c(t)
1 i 2 (t)dt C2
(b)
将上图汇总得到：
R(s) +
_
1 R1
+
-
1 C1s
+ _
1 R2
1 C2 s
5. 引出点的移动
• 引出点后移
R(s)
G(s)
C(s) R(s)
R(s)
G(s)
？
C(s) R(s)
问题： 要保持原来的信号传递关系不变， ？等于什么。
引出点后移等效变换图
R(s)
G(s)
C(s)
R(s)
R(s)
G(s)
C(s) 1/G(s)
R(s)
引出点前移
R(s)
G(s)
C(s) R(s) C(s)
G(s)
？
C(s)
C(s)
问题： 要保持原来的信号传递关系不变， ？等于什么。
引出点前移等效变换 图
R(s) G(s) C(s) C(s)
R(s)
G(s) G(s)
C(s)
C(s)
引出点之间的移动
B R(s) A
B A
R(s)
引出点之间的移动
B R(s) A
B A
R(s)
相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。
G(s) H(s)
B( s ) C ( s ) H ( s ) E ( s ) R( s ) B( s ) 消去中间变量 E ( s ), B( s )得 G( s) C ( s) R( s ) 1 G( s) H ( s)
3.
反馈结构的等效变 换
E(s)
• 反馈结构的等效变换图
C ( s) R( s) G( s) Q( s) G( s)
移动前
综合点后移证明推导（移动后）
R(s)
G(s)
C(s) Q(s)
？
C ( s) R( s)G( s) Q( s) ? R( s)G( s) Q( s)G( s)
? G ( s)
综合点后移等效关系图
R(s) Q(s)
3.
＋
综合点
省略时也表示＋
综合点亦称加减点，表示几个信号相加、减，叉圈符 号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线 的箭头附近标以负号。
4. 引出点
U ( s)
U ( s)
表示同一信号传输到几个地方。
二、动态结构图的基本连接形 式 1. 串联连接
X(s)
G1(s)
G2(s)
Y(s)
方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输 出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称 为串联连接。
2－ 3
动态结构图
动态结构图是一种数学模型，采用 它将更便于求传递函数，同时能形 象直观地表明输入信号在系统或元 件中的传递过程。
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一、建立动态结构图的一般方法
• 例2-3. 列写如图所示RC网络的微分方程。
R
ur
i
C
uc
解：由基尔霍夫定律得:
ur
1 Ri C
idt
uc idt
五 举例说明（例1）
例1：利用结构图变换法，求位置随动系 统的传递函数Qc(s)/Qr(s) 。
ML
r
-
Ks
Ka -
1 Ra
Cm Kbs
1 Js 2 fs
1 i
c
例题分析
由动态结构图可以看出该系统有两个输入r，ML （干扰）。 我们知道：传递函数只表示一个特定的输出、输入关 系，因此，在求c对r的关系时，根据线性叠加原 理，可取力矩 ML＝0，即认为ML不存在。
C(s)
例2 （解题方法一之步骤4）
• 内反馈环节等效变换
1 R(s) -
3
G2 ( s ) H 2 ( s )
-
G1 ( s )
G2 ( s )
2
G3 ( s )
G4 ( s )
C(s)
H3 (s)
H1 ( s)
例2 （解题方法一之步骤5）
• 内反馈环节等效变换结果
R(s)
1
3
G1 (s)
-
G2 ( s )
-
G3 ( s ) 1 G2 ( s )G3 ( s ) H 2 ( s )
H 3 ( s)
G4 (s)
C(s)
H1 ( s)
例2 （解题方法一之步骤6）
• 串联环节等效变换
R(s)
1
3
G1 ( s )
R(s)
1
3
-
?
G3 ( s ) G4 ( s )