第2章(4)传递函数方块图及其化简
合集下载
第2章(4)-控制系统的状态空间表达式
2-5 系统状态方程的线性变换2-5-1 系统状态空间表达式的非唯一性系统动态方程建立，无论是从实际物理系统出发，还是从系统方块图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因而求得的系统的状态方程也有很大的人为因素，很大的随意性，因此会得出不同的系统状态方程。
实际物理系统虽然结构不可能变化，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程；系统方块图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生，因而也肯定产生不同的动态方程。
所以说系统动态方程是非唯一的。
虽然同一实际物理系统，或者同一方块图，或同一传递函数所产生的动态方程各种各样，其独立的状态变量的个数是相同的，而且各种不同动态方程间也是有一定联系的，这种联系就是变量间的线性变换关系。
设给定的系统为：作线性变换：Tz x = 即x T z 1-=T --为非奇异矩阵（变换矩阵）则：Bu T ATz T z11--+= ， ()()01100x T x T z --== 因为T 为任意非奇异矩阵，所以状态空间表达式为非唯一的。
2-5-2系统特征值的不变性及系统的不变量 1． 系统特征值 特征方程：0=-A I λ系统特征值即为特征方程的根。
2． 系统的不变量与特征值的不变性 系统经非奇异变换后，其特征值是不变的。
证明：系统经非奇异变换后，得 其特征方程为：()AI A I T T T A I TTA I T AT T T T AT T T T AT T I -=-=-=-=-=-=---------λλλλλλλ11111111所以，特征值是不变的。
因为 00111=++++=---a a a A I n n n λλλλ所以，1210,,,--n n a a a a 是不变的，为系统的不变量。
传递函数方块图及其等效变换
Xr(s) ±
W1(s)
W2(s)
仪表维修工
方块图
由图可得： 由图可得：
Xr(s) ±
E(s)
Ｂ(s)
X c ( s) = W1 ( s) E ( s ) E (s) = X r ( s) ± B( s) B( s ) = W2 ( s) X c( s)
W1(s)
W2(s)
Xc(s)
∴ X c ( s ) = W1 ( s )[ X r ( s ) ± 2 ( s ) X c ( s ) ］ W W1 ( s ) X c (s) = X r ( s) 1 +W 1( s )W2 ( s )
Xi(s) A
W(s) X1(s)
B
X0(s)
1/W(s)
X2(s)
仪表维修工
方块图
②从输出端移动到输入端
当分支点在A点 当分支点在 点 处时， 处时，各分支的输 出分别为： 出分别为：
Xi(s)
W(s)
A
X0(s) X1(s)
X 0 ( s ) = X i ( s )W ( s ) X 1( s ) = X 0 ( s ) = X i ( s )W ( s )
仪表维修工
方块图
图中： 图中：指向方块单元的箭头表示 输入量的象函数X 离开方块单元 输入量的象函数 i(s),离开方块单元 的箭头表示输出量的象函数X 的箭头表示输出量的象函数 0(s),写 写 在方块单元中的是传递函数G(s)。 在方块单元中的是传递函数 。
注意：元件方块图具有单向性， 注意：元件方块图具有单向性，即输出对 输入没有反作用。 输入没有反作用。
仪表维修工
方块图
为了达到等效的目的， 为了达到等效的目的，则输出应 分别为： 分别为：
2.3 传递函数的方块图表示及运算
2.3.2 闭环控制系统的方块图
(4)误差传递函数 假设N(s)=0 误差信号E(s)与输入信号Xi(s)之比 。
X 0 (s) E(s)G(s) 代入上式，消去G(s)即得：
E ( s) 1 1 X i ( s) 1 H ( s)G( s) 1 开环传递函数
2.3.2 闭环控制系统的方块图
G2 ( s) G( s) X 0 ( s) X i ( s) N ( s) 1 G( s) H ( s) 1 G( s) H ( s)
G2 ( s) H ( s) 1 E (s) X i (s) N (s) 1 G( s) H (s) 1 G(s) H (s)
注意：由于N(s)极性的随机性，因而在路传递函数 假设N(s)=0
主反馈信号B(s) 与输出信号X0(s) 之比。 B( s) H ( s ) 当H(s)＝1时，系统叫单位反馈系统。 X 0 (s)
(3)闭环系统的开环传递函数 假设N(s)=0 假设反馈通路断开，反馈信号B(s)与误差信号E(s) 之比。 B( s ) G1 ( s)G2 ( s) H ( s) G ( s) H ( s) E ( s)
反馈公式 G1G5 G1G6 1 G5 H 2 G1G5 G7 1 GHG 1 G5 H 2 G1 H 1G2 1 G1G6 H 1G2 1 1 1 2 G5 1 G5 H 2
R
i
(1) (2)
ui
i
C （a）
uo
（b）
U o ( s)
U i (s) － U o ( s)
I(s)
U o ( s)
I(s) （c）
U o ( s)
（d）
例：画出下列R-C网络的方块图
自动控制原理第二章 控制系统的数学模型4
x
G
y
x
G
y
上图中， 两者都具有关系: 上图中， 两者都具有关系 y(s) = G(s)x(s)。支路对节点x 来说 是输出支路，对输出节点y来说是输入支路 来说是输入支路。 是输出支路，对输出节点 来说是输入支路。
2
信号流图的术语
[几个术语]： 输入节点(源点 ： 输入节点 源点)：只有输出支路 源点 的节点。 的节点。如： R，N。 ， 。 输出节点(阱点 ： 输出节点 阱点)：只有输入支路 阱点 的节点。 的节点。如： C
4
信号流图的等效变换
串联支路合并： 串联支路合并：
a
b
ab
x3
x1
x2
a
x1
x3
并联支路的合并： 并联支路的合并：
x1
b
x2
x1
a+b
x2
b a 1 m bc
回路的消除： 回路的消除：
a
b
±c
x1 x2
x3
x1
x2
x3
5
信号流图的等效变换
混合支路的清除： 混合支路的清除：
x4 ad b
c
x4
ad bd
18
梅逊公式||例5 梅逊公式 例
[例5]：使用 例 ：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数 公式计算下述结构图的传递函数
G4
C ( s) E ( s) , R( s) R( s)
R
-
E G 1
H1
+
G2
+ -
G3
C
H2
[解]：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下： 解 ：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：
第二章-系统的传递函数方框图及其简化.
系统闭环传递函数
GB (s)
X o (s) Xi (s)
由图可知
X i (s) E(s) G(s)
B(s)
H (s)
X o (s)
E(s) Xi (s) B(s) Xi (s) Xo(s)H (s) Xo(s) G(s)E(s) G(s)[Xi (s) Xo(s)H (s)]
G(s)Xi (s) G(s)Xo(s)H (s) 由此可得：
GK (s) G(s)H (s) E(s)
无量纲.
系统闭环传递函数
GB (s)
X o (s) Xi (s)
注意:我们所指的前向通道的传递函数、反馈回路的
传递函数和开环传递函数都是针对一个闭环系统而
言的。它们都是闭环系统的一部分。系统闭环传递
函数是闭环系统的传递函数。看一个传递函数是什
么具体类型，要从定义出发，而不能只看其符号。
8.分支点和相加点之间等效规则
X1(s)
X1(s) X2(s)
X 2 (s)
X1(s) X2(s)
X1(s)
X 2 (s)
X1(s) X2(s)
X1(s) X2(s)
X 2 (s)
一般应避免分支点和相加点之间的相互移动
三、方框图简化的一般方法 （法1）
1.确定系统的输入量和输出量.若作用在系统上的输 入量或输出量有多个,则必须分别对每一输入量,逐个 进行方框图的简化,以求得各自的传递函数. 2.若方框图中有交叉连接,则利用分支点或相加点的 移动规则,将交叉消除,简化成无交叉的多回路方框图 的形式.(大回路套小回路) 3.对多回路方框图,按照先里后外的顺序依次对各个 回路进行简化. 4.写出系统的传递函数.
Ua (s) 0
机械控制工程基础第二章物理系统的数学模型及传递函数
数； 因为系统每增加一个独立储能元件，其内部 就多一层能量（信息）的交换。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
《自动控制原理》第二章传递函数
G2 ( s ) N ( s) 1 + G1 ( s)G 2 ( s) H ( s)
∑ C ( s ) = Φ ( s) R( s) + Φ ( s) N ( s) =
G2 ( s )[G1 ( s) R ( s) + N ( s )] 1 + G1 ( s)G 2 ( s ) H ( s)
20
N ( s)
14
例2.23
R(s)
G4 G1 A G3 H2 H1
C
p1 = G1G2G3
_
-
B
G2
C (s)
∆1 = 1
L1 = −G1 G 2 H 1
p2 = G1G4
∆2 = 1
L2 = − G 2 G 3 H 2 L3 = −G 1 G 2 G3
L4 = − G 4 H 2
注意：回路 注意： 找不全是最 大的问题
5
1 R 1 G1 -1 1 G2 -1 1 G3 -1 K C
1
-1
•前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点 前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向， 前向通路 只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。 只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。 •回路:起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。 回路:起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。 回路 •回路中所有支路的乘积称为回路增益。 回路中所有支路的乘积称为回路增益。 回路中所有支路的乘积称为回路增益 •不接触回路：回路之间没有公共节点时， 不接触回路：回路之间没有公共节点时， 不接触回路 不接触回路。 这种回路叫做 不接触回路。 •在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。 在信号流图中， 在信号流图中 可以有两个或两个以上不接触回路。
传递函数及方块图剖析
则G(s) = Uo s = RCS
(RC = T
K 1
Ui s RCS + 1
K = 1)
Gs k
4 积分环节
s
时间域方程
xo t k xi t dt
X o s
k
X i s
s
X o s X i s
k s
例9
i2(t)
i1(t) ui(t)
R
A
B
C
_
K0 +
uo(t)
ui (t) = -C duo (t)
传递函数及 典型环节的传递函数
一、传递函数定义：
在初始条件为零时，线性
定常系统输出象函数 Xo s与输 入象函数 Xi s 之比。
Gs
X o s Xi s
Xi s Gs Xo s
设线性定常系统的微分方程为：
a
0
xon
t
a1
x
n1
o
t
a
n1
x
o
t
a
n
x
o
t
b0
x
m
i
t
b1
x
m
i
1
t
bm 1
x i
t
则G(s) = Uo s =
1
Ui s RCS + 1
(RC = T)
例4
弹簧-阻尼系统
K
xi
t
xo
t
D
dxo
dt
t
KXi s KXo s DsXo s
Gs
Xo s Xi s
K Ds
K
D
1 s 1
K
Gs Ks
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
G(s) 1 G(s)H (s)
G(s) 1 Gk (s)
B(s)
H(s)
前向通道传递函数、
反馈通道传递函数、
开环传递函数、
正反馈、负反馈；
2.方框图的变换与化简:(1)串、并联的化简； (2)分支点跨过环节的移动规则； (3)相加点的拆并及跨过环节的移动规则； (4)反馈与并联交错的化简
Xo(s)
G1(S)
G2(S)
Xi(s) G1(S) G2(S)
Xo(s)
G(s)
X X
o(s) i(s)
X o(s) X (s)
X (s) Xi(s)
G2
(
s)G1(
s
)
n
G(s) Gi (s) i 1
负载效应问题
i1 R1 i2 R2
G1(s)
1 R1C1s
1
G2 (s)
Xo(s)
C
略
H1
jik 04
16
X (s) 0 求 Xo(s) 。令
Xi2(s)
i1
Xi 1(s)
H3
+
-
-
G1 B +
G2
,
Xi
2(
Xi1(s)处的相加点取消，
H1 变成(-H1)。原图改画成：
s)
Xi 2(s) +
G3
Xo(s)
+
+
-A +
+
-
G3 Xo(s) A +
H2
C
H2
G2
+
-
B G1
复习：
1.微分方程的拉氏算子解法; 2.系统的响应就是微分方程的解 总响应x(t) =零输入响应xZ(t)+零状态响应xs(t)
=瞬态响应+稳态响应 3.传函的的定义（零初始条件）
G(s) X o (s) L[xo (t)] X i (s) L[xi (t)]
4.由微分方程求传递函数的方法：
外环相套或串联 B(s)
(1)分支点后移:B→A (2)分支点前移:A→B
Xi (s) E(s) +
+B (s)
G1
G1
+
-
+
H1
H2
G2 B G3
H2
G3
-
+
G2
B
H1
Xo(s)
A
1+
G2 G2G3
H2
G1
G3
Xo(s)
A
Xi (s) E(s) +
+-
+
B (s)
1+
G2 G2G3
H2
G1
B
G3
Xo(s)
开环传函不变；前向通道传函不变; 相邻的相加点和分支点不能直接互换。 作业：复习P34～P42；预习P51～P86习题：2.8(b)
jik 04
20
分支点移动 A G2
1 G2
AG1 AG1+ AG2 G1 + +
AG2
(2)反馈化成单位反馈
A+ -
G1 A G1 1 + G1G2
A1+
G2
-
G1
G1 G2 1+ G1G2
1A G2
G2
G2
规则∶(1)开环传函不变；
A+ -
G1
G2
(2)前向通道传函乘积不变;
G1 G 2 1+ G1G2
1A G2
（4）电磁转矩: M (t) kmia (t) M (s) kmIa (s)
输入： Ia (s) 输出：M (s)
合画∶
直流电动机自身是一闭环系统，反电动势起
负反馈作用，可以帮助改善jik 0电4 动机的稳定性。
5
二．传递函数方框图的等效变换
1.串联传递函数等于各相串传函之积。
Xi(s)
X(s)
jik 04
3
例2： 绘制电枢控制式直流电动机的传递函数
方框图 。
R
i1 (t)
（1）电压平衡方程:
ua (t) e(t) Lia (t) Ria (t)
ia (t) ua (t)
F L
Rf if
Lf
uf
ML
U a (s) - E(s) (Ls R)I a (s)
Mq
输入∶Ua (s)；输出∶ Ia (s)
A
G3
H1
Xi (s) E(s)
G2 G1
G3
+-
1+G2G3 H2 -G1G2 H1
B (s)
G3
G3
Xo(s)
Xi (s)
G2 G1
1+ G2G3H2 -G1G2 H1 + G1G2G3
Xo(s) G3
jik 04
15
例
2∶求
X X
o (s) i1(s)
、Xo (s) X i 2 (s)
Xi 1(s)
n
G(s) Gi (s) i 1
3．闭环传函的框图
Xi(s) + E( s)
Xo(s)
- G(s)
B(s) H(s)
jik 04
7
（1）前向通道传递函数
G(s)：
Xi(s) +
E(s)
-
G(s)
Xo(s)
G(s) Xo(s) E(s)
输入: E(s)
B(s) H(s)
(2)反馈回路传递函数 H (s)： (3)开环传递函数 Gk (s)：
R1C2 )s
1
2．并联传函等于各相并传函之和
G(s) X o (s) X1 (s) X 2(s)
Xi (s)
X i (s)
X i (s)
X 1 (s) X i (s)
X 2 (s) X i (s)
G1 (s) G2 (s)
G1(s) X1(s)
+
Xo(s)
+
G2 (s) X2(s)
Xi(s)
G(s) Xo(s) 1+G(s)H(s)
X o (s)[1 G(s)H (s)] H (s) X i (s)
GB (s)
X o (s) X i (s)
G(s) 1 G(s)H (s)
G(s) 1 Gk (s)
jik 04
9
讨论： （1）单位反馈：H(s)=1
Xi(s) +-
ps
5.传函的零点、极点（系统微分方程的特征根）； 6.输出的时域表示：xo (t) L1[G(s) X i (s)]
jik 04
1
§2.3 传递函数方框图及其化简
一.传递函数方框图的绘制
将组成系统的各个环节用传递函数方框来表示，并将 相应的变量按照信号的流向连接起来，就构成系统的传递 函数方框图。
H
(s)
B(s) X o (s)
Gk
(s)
B(s) E(s)
Xi(s) E(s)
Xo(s)
B(s)
G(s)
H (s)
含义：
Gk
(s)
B(s) E(s)
G(s)H
(s)
开环传函GK(s)等于前向通道与反馈回路传函的积。
注意：开环传函无量纲.
jik 04
8
(4)闭环传函 GB(s)∶
GB (s)
X o (s) X i (s)
一个重要公式∶闭环系统的传递函数
G(s)
G(s)
GB (s) 1 G(s)H (s) 1 Gk (s)
Xi(s) + E( s)
- G(s)
Xo(s)
Xo(s) G(s)E(s)
B(s) H(s)
G(s)[ X i (s) H (s) X o (s)] G(s)Xi(s) G(s)H (s)Xo(s)
N (s)
++
G2( s) Xo ( s)
H( s)
X o1 (s)
G1 (s)G2 (s)
N(s)
X i (s) 1 G1 (s)G2 (s)H (s)
++
G2(s)
-
Xo(s)
令Xi(s)=0:N(s) → Xo2(s)
G1(s)
H(s) +
Xi(s)=0
X o2 (s)
G2 (s)
1．方框图的结构要素
jik 04
2
2．系统方框图的建立
(1)列写原始微分方程；
(2)在零初始条件下，对原始微分方程分别进行拉斯变换；
(3)根据因果关系，确定各个原始微分方程分中的输入量与 输出量，并将拉斯变换的结果表示成传递函数方框图的形 式；
(4)按信号的传递过程，依次将上述各个方框图连接起来， 构成整个系统的传递函数方框图，一般输入在左边，输出 在右边。
jik 04
10
三．方框图变换及化简
1.分支点互换 2.相加点互换及拆并
X
b
a
X X
a X
X bX
X1 a
X3 X1 X2 X3
X3 X1
b
b
X2
3.分支点移过环节
分支点
前移 X1 G(s)
X2
X3 ( X 2 )
a X3
X1 X2 X3 X1
X1 X2 X3
X2