传递函数和方框图运算
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2.第二章方框图及简化(new)
多个输入同时作用于线性系统时，分别考虑 每个输入的影响
• 如考虑扰动的反馈控制系统：
• 只考虑给定输入时：
• 只考虑干扰输入时：
• 如考虑扰动的反馈控制系统：
• 只考虑给定输入时：
• 只考虑干扰输入时：
• 系统总的输出量
扰动的影响将被抑制!!!
若 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) >> 1 且 G1 ( s) H ( s ) >> 1 ，则：
X o ( s) ≈ 1 X i ( s) H ( s)
• 上式表明，采用反馈控制的系统，适当选 上式表明，采用反馈控制的系统， 择元部件的结构参数， 择元部件的结构参数，可以增强系统抑制 干扰的能力。 干扰的能力。
• 结论 • 闭环系统具有抑制干扰的能力； • 闭环系统输入、输出的取法不同时，其传 递函数不同，但传递函数的分母不变，而 开环系统则不然。
反馈连接及其等效原则前向通道传递函数反馈回路传递函开环传递函数闭环传递函数前向通道反馈通道开环传递函数都只只是闭环系统部分环节或环节组合的传递函数而闭环传递函数才是系统的传递函数
第二章 系统的数学模型
2.3 系统的传递函数方框图及其简化
• 将组成系统的各个环节用传递函数方框表示，并将相应的变 量按信息流向连接起来，就构成系统的传递函数方框图
• 例2-10
• 一定要注意梅逊公式的两个条件； • 若系统不满足两个条件，可先将其方框图 化成满足使用条件的形式，然后再利用梅 逊公式。
多个输入同时作用于线性系统时，分别考虑 每个输入的影响
• 如考虑扰动的反馈控制系统：
• 只考虑给定输入时：ຫໍສະໝຸດ • 只考虑干扰输入时：• 如考虑扰动的反馈控制系统：
2.2 传递函数
3、典型环节的形式
G (s) K
( s 1) (T s 1)
j 1 j i 1 n i
m
上式中 τi──分子各因子的时间常数 ； Tj──分母各因子的时间常数 ；
K ──时间常数形式传递函数的增益；通常称为传递系数。
五、传递函数的求取
1、解析法
建立微分方程，根据微分方程按定义求取
介绍一种方法：复阻抗法
i
U R
du iC dt
i
1 udt L
U (s) I (s) R
U (s) I (s) Z (s)
I ( s) CsU ( s) U ( s )
1 Cs
1 Cs
I (s)
U (s) Ls
R
Ls
1 , Ls 分别成为电阻、电容和电感的复阻抗 把 R, Cs
传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之 一。利用传递函数，在系统的分析和综合中可解决如 下问题：
不必求解微分方程就可以研究初始条件为零的系统在输 入信号作用下的动态过程。 可以研究系统参数变化或结构变化对系统动态过程的影 响，因而使分析系统的问题大为简化。 可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求， 使综合问题易于实现。
11/17/2013 8:53:46 PM
3
一、定义
零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换 与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，
记为G(s)，即：
L[ y (t )] Y ( s ) G( s) L[r (t )] R( s )
意义：
R( s )
G (s )
Y ( s)
Y (s) R(s)G(s)
1 1 Y ( s) G s) R s) （ （ Ts 1 s
传递函数和系统框图
传递函数和系统框图是相互关联的，通过系统框图可以推导出传递函数，而通过传递函数也可以构建相 应的系统框图。在实际应用中，根据需要选择适合的表示方法来描述和分析系统。
对未来研究的展望
随着控制理论和计算机技术的发展， 传递函数和系统框图的应用范围不断 扩大。未来研究可以进一步探讨如何 利用现代技术优化传递函数和系统框 图的表示和分析方法，提高系统的性 能和稳定性。
系统框图由一系列的方框（代表系统组成部分）和箭头（表 示信号或信息的传递方向）组成。
系统框图的构建方法
确定系统组成部分
根据系统的功能和特性，确定 系统的输入、输出以及中间环
节。
选择合适的图形符号
根据各组成部分的性质和功能 ，选择合适的图形符号来表示 。
确定信号传递关系
根据各组成部分之间的信号传 递关系，用箭头表示信号的传 递方向。
要点一
总结词
多变量控制系统具有多个输入信号和多个输出信号，传递 函数形式非常复杂。
要点二
详细描述
多变量控制系统的例子包括航空航天控制系统、大型工业 过程等。这些系统的输入信号和输出信号众多，传递函数 通常由多个SISO环节组成，并且存在强烈的耦合和交叉影 响。多变量控制系统的分析和设计需要借助先进的控制理 论和方法，如状态空间法、鲁棒控制等。
实例二：复杂控制系统
总结词
复杂控制系统通常包含多个输入信号和多个 输出信号，传递函数形式相对复杂。
详细描述
复杂控制系统的例子包括化工过程控制、电 力系统的频率控制等。这些系统的输入信号
和输出信号较多，传递函数通常由多个 SISO环节组成，并且可能包含非线性、时
变和不确定性等因素。
实例三：多变量控制系统
传递函数与系统框图的转换
对未来研究的展望
随着控制理论和计算机技术的发展， 传递函数和系统框图的应用范围不断 扩大。未来研究可以进一步探讨如何 利用现代技术优化传递函数和系统框 图的表示和分析方法，提高系统的性 能和稳定性。
系统框图由一系列的方框（代表系统组成部分）和箭头（表 示信号或信息的传递方向）组成。
系统框图的构建方法
确定系统组成部分
根据系统的功能和特性，确定 系统的输入、输出以及中间环
节。
选择合适的图形符号
根据各组成部分的性质和功能 ，选择合适的图形符号来表示 。
确定信号传递关系
根据各组成部分之间的信号传 递关系，用箭头表示信号的传 递方向。
要点一
总结词
多变量控制系统具有多个输入信号和多个输出信号，传递 函数形式非常复杂。
要点二
详细描述
多变量控制系统的例子包括航空航天控制系统、大型工业 过程等。这些系统的输入信号和输出信号众多，传递函数 通常由多个SISO环节组成，并且存在强烈的耦合和交叉影 响。多变量控制系统的分析和设计需要借助先进的控制理 论和方法，如状态空间法、鲁棒控制等。
实例二：复杂控制系统
总结词
复杂控制系统通常包含多个输入信号和多个 输出信号，传递函数形式相对复杂。
详细描述
复杂控制系统的例子包括化工过程控制、电 力系统的频率控制等。这些系统的输入信号
和输出信号较多，传递函数通常由多个 SISO环节组成，并且可能包含非线性、时
变和不确定性等因素。
实例三：多变量控制系统
传递函数与系统框图的转换
第二章-系统的传递函数方框图及其简化.
系统闭环传递函数
GB (s)
X o (s) Xi (s)
由图可知
X i (s) E(s) G(s)
B(s)
H (s)
X o (s)
E(s) Xi (s) B(s) Xi (s) Xo(s)H (s) Xo(s) G(s)E(s) G(s)[Xi (s) Xo(s)H (s)]
G(s)Xi (s) G(s)Xo(s)H (s) 由此可得：
GK (s) G(s)H (s) E(s)
无量纲.
系统闭环传递函数
GB (s)
X o (s) Xi (s)
注意:我们所指的前向通道的传递函数、反馈回路的
传递函数和开环传递函数都是针对一个闭环系统而
言的。它们都是闭环系统的一部分。系统闭环传递
函数是闭环系统的传递函数。看一个传递函数是什
么具体类型，要从定义出发，而不能只看其符号。
8.分支点和相加点之间等效规则
X1(s)
X1(s) X2(s)
X 2 (s)
X1(s) X2(s)
X1(s)
X 2 (s)
X1(s) X2(s)
X1(s) X2(s)
X 2 (s)
一般应避免分支点和相加点之间的相互移动
三、方框图简化的一般方法 （法1）
1.确定系统的输入量和输出量.若作用在系统上的输 入量或输出量有多个,则必须分别对每一输入量,逐个 进行方框图的简化,以求得各自的传递函数. 2.若方框图中有交叉连接,则利用分支点或相加点的 移动规则,将交叉消除,简化成无交叉的多回路方框图 的形式.(大回路套小回路) 3.对多回路方框图,按照先里后外的顺序依次对各个 回路进行简化. 4.写出系统的传递函数.
Ua (s) 0
2.3系统的方框图及其简化
例：求系统传递函数。
Xi(s) + E(+s)
分
+
支
B(s)
点
前
移 Xi(s) + E(+s)
+
B(s)
G1 +
H2
G2
G3
H1
H2G3
G1 +
G2
G3
H1
Xo(s) Xo(s)
Xi(s) + E(+s)
+
B(s)
G1 +
H2G3 G2
H1
Xo(s) G3
Xi(s) + E(+s) G1
+
B(s)
纲也要相同。 相加点可以有多个输入，
但输出是唯一的。
C
A + A-B+C +
B
(3) 分支点
分支点表示同一信号向不同方向的传递。只传递信号， 不传递能量。
在分支点引出的信号不仅量纲相同，而且数值也相 等。
X(s) X(s) X(s)
2、系统方框图的建立步骤
(1) 建立系统（或元件）的
；
(2) 对这些原始微分方程进行
函数无量纲，而且H(s)的量纲是G(s)的量纲的倒数。
小小总结：
前述三种基本连接形式：串联、并联、反馈
G(s)
①两个环 Xi(s)
节相串联
G1(Gs) 1 ( sX)1G(s)2 (Gs)2(s)
Xo(s)
②两个环节 G(s)
相并联
G1(s) Xo1(s)
Xi(s)
G1(s)
G2
+
(s) +_
G2 (s) Xo2(s)
《计算机控制系统教学课件》5.传递函数及方框图
T2s 116（来自）振荡环节振荡环节的传递函数为：
G(s)
s2
wn2 2wns
wn2
式中wn———无阻尼自然振荡频率，wn=1/T； z ——阻尼比，0＜z＜1。
下图所示为单位阶跃函数作用下的响应曲线。
RLC串联电路、弹簧质量 阻尼器串联系统都是二阶 系统。只要满足0＜z＜1， 则它们都是振荡环节。
G(s) C(s) G1(s) R(s) 1 G1(s) G2 (s)
G1(s) G2(s)
G1(s) G2(s)
C (s) C (s)
26
4、分支点移位：
（1）前移
R (s) C (s)
G1(s)
（2）后移
C (s)
R (s)
C (s) G1(s)
C (s) G1(s)
R (s)
G1(s)
C (s) R (s)
6
a0c(n) a1c(n1) anc b0r(m) b1r(m1) bmr
在零初始条件下:
c(0) c(0) c(n1) (0) 0
n个
r(0) r(0) r(m1) (0) 0
m个
拉氏变换:
单输入单输出 线性定常系统
r(t) 输入量 c(t) 输出量
[a0sn a1sn1 an1s an ]C(s) [b0sm b1sm1 bm1s bm]R(s)
17
（六）延滞环节
延滞环节是线性环节， 称为延滞时间（又称死时）。
具有延滞环节的系统叫做延滞系统。
如下图所示，当输入为阶跃信号，输出要隔一定时间 后才出现阶跃信号，在0＜1＜ 内，输出为零。
延滞环节的传递函数为: G(s) es 系统具有延滞环节对系统的稳定性不利，延滞越大，影响越大。
《控制工程》传递函数
1．系统由单变量非线性函数所描述
df 1 d2 f Dx + Dx 2 f ( x) f ( x0 ) + dx x 2! dx 2 0 x0 1 d3 f + 3! dx 3 D x 3 + LL f ( x0 ) +
y= f (x) y(t):输出 x(t):输入 df Dx dx x 0 df Dx dx x 0
1、机械平移系统（即m、c、k系统）
第二章 传递函数
原则：根据牛二定律列写相应的动力学方程
y(t)
质量m
m
Fm m(t ) y
y2
弹簧k
y1
k
压弹簧：Fk=k(y1-y2) 拉弹簧： Fk=k(y2-y1)
压：说明y1要大于y2，这才有压的效果 其中y1与y2之差为弹簧的净形变量
阻尼c
y1 c y2
( ( an X 0n) (t ) + an1 X 0n 1) (t ) + … + a0 X 0 (t )
X0(t)——系统输出
bm X i( m) (t ) + bm1 X i( m1) + … + b0 X i (t )
Xi(t)——系统输入
3．根据系统微分方程对系统进行分类 1）线性系统：方程只包含变量X0(t)、Xi(t)的各阶导数 a．线性定常系统：an…a0 ；bm…b0为常数 b．线性时变系统：an…a0 ；bm…b0为时间的函数
第二章 传递函数
一、定义
定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入 输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统的微分方程为：
a n x(0n)( t ) + a n 1 x(0n 1)( t ) + L + a0 x0( t )
《自动控制原理》第二章传递函数
G2 ( s ) N ( s) 1 + G1 ( s)G 2 ( s) H ( s)
∑ C ( s ) = Φ ( s) R( s) + Φ ( s) N ( s) =
G2 ( s )[G1 ( s) R ( s) + N ( s )] 1 + G1 ( s)G 2 ( s ) H ( s)
20
N ( s)
14
例2.23
R(s)
G4 G1 A G3 H2 H1
C
p1 = G1G2G3
_
-
B
G2
C (s)
∆1 = 1
L1 = −G1 G 2 H 1
p2 = G1G4
∆2 = 1
L2 = − G 2 G 3 H 2 L3 = −G 1 G 2 G3
L4 = − G 4 H 2
注意：回路 注意： 找不全是最 大的问题
5
1 R 1 G1 -1 1 G2 -1 1 G3 -1 K C
1
-1
•前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点 前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向， 前向通路 只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。 只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。 •回路:起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。 回路:起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。 回路 •回路中所有支路的乘积称为回路增益。 回路中所有支路的乘积称为回路增益。 回路中所有支路的乘积称为回路增益 •不接触回路：回路之间没有公共节点时， 不接触回路：回路之间没有公共节点时， 不接触回路 不接触回路。 这种回路叫做 不接触回路。 •在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。 在信号流图中， 在信号流图中 可以有两个或两个以上不接触回路。
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K
c
X
m
F F1 F2 ma
F
m
d2x dt 2
F1
c
dy dt
F2 ky
a
d2y dt 2
m
d2x dt 2
m
d2y dt 2
c
dy dt
ky
x y cy k y
微分方程的一般形式
an
d nct
dt n
an1
d
n1c t
dt n
...
a1
d ct
dt
a0c(t
)
bm
d mrt
G(s)
C(s) R(s)
bmsm bm1sm1 ... b1s ansn an1sn1 ... a1s
b0 a0
(初始值为零)
例 1和例 2的传递函数:
例1
•
RC uo uo ui
RCS 1U0 (s) Ui (s),
G
s
U0 (s)
Ui s
1 RCS
1
例2
x y cy ky
dt m
bm1
d m1r t
dt m1
...
b1
dr dt
t
b0
r
(t
)
1. 传递函数
如果: R(s) L [r(t)] ,
C(s) L [c(t)]
那么:
(ansn an1sn1 ... a1s a0 )C(s) (bmsm bm1sm1 ... b1 b0 )R(s)
定义
原方框图
x G1
G2 y
等效方框图
x
G1G2
y
并联环节的 2 合并
反馈闭环 3
x
G1 +
y
+
G2
x+
y
G
+
H
x G1+G2 y x G/(1+GH) y
4 把求和点移 到一个方框 之前
5 把求和点移 到一个方框 之后
把分支点移 6 到一个方框
之前
把分支点移 7 到一个方框
之后
xG
+
z
+
y
x+ +
y
C2
G1G2 1 G1G2H1
R
G1
-
C
G2
H1
图2.10 设另外一个输入为零的
所以，总输入为: 系统
C G2 D G1G2 R 1 G1G2H1 1 G1G2H1
化简方框图的步骤：
步骤1: 合并所有串联方框 (规则 1) 步骤2: 合并所有并联方框 (规则 2) 步骤3: 求出所有内环传递函数
Js2 cs Ls R KtVi Kt Kvs
Js2 cs Ls R KvKts KtVi
s
s2
s
R L
c J
cR
KvKt JL
Kt JL
Vi
θ 与 Vi之间的传递函数：
Kt JL
Vi
s
s
2
s
R
L
c
J
cR Kv Kt JL
与 Vi 之间的传递函数：
线性控制系统工程
第二章 传递函数和方框图运算
传递函数
1.微分方程 例 1 R.C 电路
R
ui i
C
uo
(ui---输入 uo-----输出)
ui
Ri uo i c duo
dt
RC
duo dt
uo
ui
•
RC uo uo ui
例 2 动力系统 (x----输入, y----输出)
L
y
n1
j 1
S Zi S Pj
m2
k 1
S 2 2 kk S k2
n2
l 1
S 2 2ll S l2
2 伯德形式
G S
K S
m1
1
i1 n1 TjS 1
m2
2 k
S
2
2 k
k
S
1
k 1
n2
Tl2 S
2
2 lTl S
1
j 1
l 1
m
Zi
K
Kg
i 1 n
Pj
d. 求和点或分支点移动
4 把求和点移 到一个方框 之前
5 把求和点移 到一个方框 之后
把分支点移 6 到一个方框
之前
xG
+
z
+
y
x+ +
y
z
G
x
G
y
y
x+
G
z
+
y
1/G
x
G
+
z
+
y
G
x
y 1/G
G
y
把分支点移 7 到一个方框
x
G
y
x
x
G
y
之后
x
1/G
方框图处理规则
规则 过程 序号
1 串联环节的 合并
3t
y(t) C1t C2 C3e 2 Cos
23t 19 4 64
4
3t
e 2 Sin
23
23t 4
方框图运算
A. 将复杂的反馈控制系统简化
a. 串联环节
U(s)
V(s)
W(s)
X(s)
G1 s
G2 s
G3 s
图 2.3 串联环节的方框图
U(s)
X(s)
G1G2G3 s
图.2.4 串联环节的化简
j 1
当
S=-Z1, -Z2, -Z3, ….,使分子为零，称 为零点
S=-P1, -P2, -P3, ….,使分母为零，称 为极点
零点和极点都可以是实数或复数
零点和极点在S-平面的表示
pole zero
虚轴 S-平面 实轴
例:
G
S
=
S
K S+1S+4
S+2S2 +2S+1
例2.1
d2 dt
G
z
x+
G
z
+
y
1/G
x
G
+
z
+
y
G
x
G
y
y
x
y 1/G
G
y
x
G
y
x
G
y
x
x
1/G
e. 多输入情况
+D R
G1
-
C
G2
H1
图2.8 两个输入的线性系统
解:
D
设 R=0
C
G2
-
C G2 D 1 G1G2H1
C1
1
G2 G1G2 H1
D
G1
H1
图2.9 一个输入设为零的系统
设 D=0 R
C G1G2 R 1 G1G2H1
S 2 CS k Y (s) S 2 X (s),
Gs
Y s X s
S2
S2 CS
k
例 2.2
确定电枢控制永磁式直流电机的传 递函数
ui
Ri
L
di dt
e
e
Kv
Kv
d
dt
Kt
i
c
d
dt
J
d 2
dt 2
两边进行拉普拉斯变换，假设初始状 态为零：
LsI RI Vi Kvs Js2 cs Kt I
b. 并联环节
规则 过程 序号
1 串联方框合 并
原方框图
x G1
G2 y
等效方框图
x
G1G2
y
并联方框合 2并
反馈闭环 3
x
G1 +
y
+
G2
x+
y
G
+
H
x G1+G2 y x G/(1+GH) y
c. 一般反馈环节
R
E
Gs
C
R
G
C
➡
1 GH
H s
图2.6 反馈环的化简
图2.5 一般反馈控制系统的方框图
(规则 3) 步骤4: 将所有的求和点左移动，支
点右移(规 则 4-7)
Kt JL
Vi s2 s R L c J cR Kv Kt JL
注意以下几点：
1 传递函数只适用于线性系统 2 一个传递函数只能描述系统一个输入
与一个输出之间的关系
3 传递函数取决于系统结构和参数
传递函数有以下两种形式：
1 伊文思 形式
G S
m1
Kg S
i1
y
2
3
dy dt
8
y
2x
dx dt
解:
S2 3S 8Y S 2 S X S
Y S
S 2
X s S 2 3S 8
Y
S
G
S
X
S
S
2
S
2 3S
8
1 S2
C1 S2
C2 S
C3S C4 S 2 3S 8
部分分式系数:
C1
1 4
,
C2
1 32
,
C3
1 32
,
C4
11 32
,
通过反变换可得输出量: