机械控制工程传递函数与方框图
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机械控制工程-传递函数与方框图
d xK dt
X ( s) G(s) Ks ( s)
测速发电机
d u (t ) K dt
• 一阶惯性环节
dxo T xo Kxi , dt
X o ( s) K G( s) X i ( s) Ts 1
特点：输出不能立即跟随输入的变化
F
dx F B Kx dt X (s) 1 G ( s) = F ( s ) Bs+K 1/K = B s 1 K
2 N 1
阻 尼
惯 性
转 矩
J1 c1 m ( J m 2 )m (cm 2 )m N N m J m cm
惯性负载
1 c Js Js c
阻尼负载
• 转矩和转速之间关系
m
1 Js c
m
电机传递函数
1 ur (t ) Ri (t ) i (t ) dt C U c ( s) 1 G ( s) U r ( s ) RCs 1
R-C串联电路与直流电压接 通，电容上电压建立过程
C(t)
1.0 0.95 0.632 0.5
0
T
3T
t
• 振荡环节
d xo dxo T 2 xo Kxi 2 dt dt
R
L
ui(t)
i(t)
C
uc(t)
uR (t ) Ri(t )
di(t ) uL (t ) L dt
1 uC (t ) i (t )dt C
di(t ) 1 ui (t ) Ri(t ) L i(t )dt dt C 1 u0 (t ) i (t )dt C
xo K xi dt
《机械控制工程基础》-2物理系统的数学模型及传递函数解析
称为叠加性或叠加原理。
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（2）非线性系统 如果系统的数学模型是非线性的，这种 系统称为非线性系统。 工程上常见的非线性特性如下： 饱和非线性 死区非线性 间隙非线性 摩擦非线性……
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（3）举例 下列微分方程描述的系统为线性系统：
零初始条件： 输入及其各阶导数在t =0-时刻均为0； 输出及其各阶导数在t =0-时刻均为0。 形式上记为：
Y (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s ) X (s) a0 s n a1s n1 an1s an
控制工程基础
2.2.2 传递函数的求法
（1）解析法（根据定义求取） 设线性定常系统输入为x(t) ，输出为y(t) ，描 述系统的微分方程的一般形式为 :
dny d n1 y d n2 y dy an n an1 n 1 an 2 n2 a1 a0 y dt dt dt dt
Xi ( s) Ts Xo ( s)
传递函数： G( s)
式中T为微分时间常数。
特点： （1）一般不能单独存在 （2）反映输入的变化趋势 （3）增强系统的阻尼 （4）强化噪声
4.积分环节
1 微分方程： xo (t ) T xi (t )dt
传递函数：
X ( s) 1 G( s) o X i (s) Ts
2 2
下列微分方程描述的系统为非线性系统：
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（4）系统运动微分方程的建立
电气系统
电阻、电感和电容器是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫 定律来建立电气系统的数学模型。 基尔霍夫电流定律：
机械控制工程基础2.3系统的传递函数方框图及其简化
分支点引出的信号不仅量纲相同，而且数值也相等。
X(s) X(s) X(s)
2011年9月
第 5 页/53
机电汽车工程学院
Block diagram establishing
2、系统方框图的建立
建立系统方框图的步骤如下：
(1) 建立系统（或元件）的原始微分方程； (2) 对这些原始微分方程进行Laplace变换，并根据各变换 式中的因果关系，绘出相应的方框图； (3) 按照信号在系统中传递、变换的过程，依次将各传递函 数方框图连接起来(同一变量的信号通路连接在一起），系 统输入量置于左端。输出量置于右端，便得到系统的传递 函数方框图。
X(s)
+
Kq
_
Q(s)
P(s) A Y(s)
1/Kc
ms2 cs
(c)
As
2011年9月
第 12 页/53
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例2：如图2.1.2所示电枢控制式直流时机，由第2.1节例2的
推导可知其运动微分方程可列写如下：
练习题： Ldia dt
ia R ed
ua
ed kd
输入：Ua(s), ML(s)
Q(s)
(c)
P(s)
1/Kc
P(s) A Y(s) ms2 cs
(a)
Q(s) As Y(s)
输入：X(s) 输出：Y(2s0) 11年9月 中间变量：P(s) Q(s)
(b)
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最后，将上述各传递函数方框图按信号的传递关系连接起 来，便得到下图所示的系统的传递函数的方框图。
Ur(s) +
I(s)
Uc(s)
1/R
X(s) X(s) X(s)
2011年9月
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Block diagram establishing
2、系统方框图的建立
建立系统方框图的步骤如下：
(1) 建立系统（或元件）的原始微分方程； (2) 对这些原始微分方程进行Laplace变换，并根据各变换 式中的因果关系，绘出相应的方框图； (3) 按照信号在系统中传递、变换的过程，依次将各传递函 数方框图连接起来(同一变量的信号通路连接在一起），系 统输入量置于左端。输出量置于右端，便得到系统的传递 函数方框图。
X(s)
+
Kq
_
Q(s)
P(s) A Y(s)
1/Kc
ms2 cs
(c)
As
2011年9月
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例2：如图2.1.2所示电枢控制式直流时机，由第2.1节例2的
推导可知其运动微分方程可列写如下：
练习题： Ldia dt
ia R ed
ua
ed kd
输入：Ua(s), ML(s)
Q(s)
(c)
P(s)
1/Kc
P(s) A Y(s) ms2 cs
(a)
Q(s) As Y(s)
输入：X(s) 输出：Y(2s0) 11年9月 中间变量：P(s) Q(s)
(b)
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最后，将上述各传递函数方框图按信号的传递关系连接起 来，便得到下图所示的系统的传递函数的方框图。
Ur(s) +
I(s)
Uc(s)
1/R
机械控制工程基础第二章物理系统的数学模型及传递函数
数； 因为系统每增加一个独立储能元件，其内部 就多一层能量（信息）的交换。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
控制工程-传递函数
G(s)
=
T 2s2
1
+ 2x Ts
+1
=
w
2 n
s2
+
2xw n s
+
w
2 n
T：振荡环节的时间常数 ξ：阻尼比 ωn：无阻尼固有频率
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方框图：
§2-3 典型环节的传递函数
Xi(s)
w
2 n
s2
+
2xw ns
+
w
2 n
X0(s)
例 ： m—k—c 系统：
my..(t ) + cy. (t ) + ky (t ) = f (t )
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§2-3 传递函数
二、传递函数的性质和特点
1、传递函数和微分方程是一一对应的
微分方程：在时域内描述系统的动态关系（特性） 传递函数：在复频域内描述系统的动态关系（特性）
2、传递函数只取决于系统本身的固有特性，与外界无关。
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§2-3 传递函数
3、若输入给定，则输出完全取决于传递函数 Xi(s) G（s） Xo(s)
4、不同物理系统（机械、电气、液压）可能
用形式相同的传递函数来描述——相似原理 能用相同数学模型描述的系统——相似系统
应用意义：可用模拟机进行系统研究 5、分母阶次常高于分子阶次（n≥m）
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§2-3 传递函数
三、传递函数的零点和极点
传递函数为复变函数，故有零点和极点
G ( s) = K ( s - Z1 )( s - Z2 ) ...( s - Zm ) ( s - P1 )( s - P2 ) ... ( s - Pn )
=
-
控制工程-系统传递函数方块图及其简化
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§2推-导4：系统传递函数方块图及其简化
X 0 ( s ) = G ( s ) E ( s ) = G ( s)[ X i ( s) - X B ( s)] = G ( s )[ X i ( s ) - X 0 ( s ) H ( s )] = X i (s)G (s) - X 0 (s) G (s) H (s)
GK (s) =
X B(s) E (s)
=
X B(s) X 0(s)
X 0(s) = G(s) H (s) E(s)
可理解为： 相加点断开后，以E(s)为输入， XB (s) 为输出的传递函数。
5、闭环传递函数 GB(s) ：
GB (s) =
X 0 (s) X i (s)
=
G (s)
1 + G(s)H (s)
对于单位反馈：H(s)=1
Xi(s)
+ -
G(s) 1
X0(s)
G (s) G B(s) = 1 + G (s)
§ 系统传递函数方块图及其简化
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四、具有干扰信号的系统传递函数
扰动
各种电器设备对电视机的干扰
§2-4 系统传递函数方块图及其简化
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扰动（干扰信号）：
在控制系统中，除控制信号（输入给定值）外，其它对 输出能产生影响的信号。
有的干扰因素是由于环境造成的，如影响自行车行驶速度的 变化的自然风等；
有的干扰因素是人为原因所致，如影响飞机导航信号的手机 信号等。
§2-4 系统传递函数方块图及其简化
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考虑扰动的反馈控制系统的典型方框图如下：
Xi(s) +
-
G1(s)
N (s)
微分环节微分方程传递函数变化曲线方框图
出量有关的各项放在方程的左边；
各导数项按降幂排列； 将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有
一定物理意义的系数。
例1 设有由电感L，电容C 和电阻R组 成的电路，如图所示. 试求出以输出电 压U2为输出变量和以输入电 压U1为输 入变量的运动方程。
R
L
U1 i
U2 C
解：根据基n 霍夫定律有
对数学模型进行近似而得到的。以后各章所讨 论的系统，均指线性化的系统。
一、数学模型
数学模型是描述系统动态特性的数学表
达式；可有多种形式。在经典理论中， 常用的数学模型是微（差）分方程，结 构图，信号流图等；在现代控制理论中， 采用的是状态空间表达式。结构图，信 号流图，状态图是数学模型的图形表达 形式。
式的次数N大于等于分子多项式的次数
M ，N M 。
传递函数写成
G(S)
k
(S - Z1)(S (S - P1)(S
Z2)......(S P2)......(S
Zm) Pn )
的形式，则 Z1, Z2 , Z3 Zm和
为G(S)的零点和极点。
P1,
P2
,
P3
Pn
不同物理结构的系统可以有相同的传递函数。
性微分方程的方法，称非线性微分方程的线 性化。
小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化的一
个基本假设上是变量偏离其预期工作点的偏差甚小， 这种线性化通常称为小偏差线性化。
§2-3 传递函数 一、定义
初始条件为零时，线性定常系统或元件输出
信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比， 称为该系统或元件的传递函数。
三、传递函数的求法
工程上，通常采用拉普拉斯变换来求解
各导数项按降幂排列； 将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有
一定物理意义的系数。
例1 设有由电感L，电容C 和电阻R组 成的电路，如图所示. 试求出以输出电 压U2为输出变量和以输入电 压U1为输 入变量的运动方程。
R
L
U1 i
U2 C
解：根据基n 霍夫定律有
对数学模型进行近似而得到的。以后各章所讨 论的系统，均指线性化的系统。
一、数学模型
数学模型是描述系统动态特性的数学表
达式；可有多种形式。在经典理论中， 常用的数学模型是微（差）分方程，结 构图，信号流图等；在现代控制理论中， 采用的是状态空间表达式。结构图，信 号流图，状态图是数学模型的图形表达 形式。
式的次数N大于等于分子多项式的次数
M ，N M 。
传递函数写成
G(S)
k
(S - Z1)(S (S - P1)(S
Z2)......(S P2)......(S
Zm) Pn )
的形式，则 Z1, Z2 , Z3 Zm和
为G(S)的零点和极点。
P1,
P2
,
P3
Pn
不同物理结构的系统可以有相同的传递函数。
性微分方程的方法，称非线性微分方程的线 性化。
小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化的一
个基本假设上是变量偏离其预期工作点的偏差甚小， 这种线性化通常称为小偏差线性化。
§2-3 传递函数 一、定义
初始条件为零时，线性定常系统或元件输出
信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比， 称为该系统或元件的传递函数。
三、传递函数的求法
工程上，通常采用拉普拉斯变换来求解
自动控制理论 2-4 传递函数及方块图
1 C2s
1
uo (s)
C2s
1
uo (s)
C2s
18
结构图等效变换例子||例2-11
ui (s) 1
R1
-
R1
C2s
R1C1s 1 R2C2s 1
1 uo (s) C2s
ui (s) 1
R1
R1C2 s (R1C1s 1)( R2C2s 1) R1C2s
1 uo (s) C2s
G(s) uo(s)
1
- R1
R1C2 s
1 u(s)
C1s
1 R2C2s 1
uo (s)
16
ui (s) -
结构图等效变换例子||例2-11
1 R1C1s 1
R1C2 s 1
R2C2s 1
uo (s)
1
G(s) uo (s) (R1C1s 1)(R2C2s 1)
1
ui (s) 1
R1C2s
(R1C1s 1)(R2C2s 1) R1C2s
R
(s)
CR (s) R(s)
1
G1 (s)G 2 (s) G1 (s)G 2 (s)H(s)
N
(s)
C N (s) N(s)
1
G 2 (s) G1 (s)G 2 (s)H(s)
4、R（s） N（s）同时作用
C(s) CR (s) CN (s)(s) R (s)R(s) N (s)N(s)33
(R1C1s 1)(R2C2s 1)
17
解法二：
结构图等效变换例子||例2-11
ui (s)
-
1 I1(s) - 1 u(s)
R1
I (s) C1s
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R-C串联电路与直流电压接 通，电容上电压建立过程
C(t)
1.0 0.95
0.632 0.5
0
T
3T
t
• 振荡环节
T2d2xo dt2
2dxo
dt
xo
Kxi
G(s)X Xo i((ss))T2s2K 2Ts1
标准形式
G(s)X Xo i((ss))s22 n2nsn2
当特征方程的根为实根时，二阶 系统认为是由两个惯性环节串联而成
有几种变 换方法？
例题 1
例题 2
前移会怎 样？
4. 系统方块图的绘制
基本步骤 （1） 列出各个环节的微分方程 （2） 求出各个环节的传递函数 （3） 将各个环节方块图连起来
直流电机位置控制系统
指令与比较环节
磁场控制直流电机
磁场回路
va
iR
L
di dt
拉氏变换
Va IRLsI
I 1 Va R sL
第 3 节 传递函数与方块图
1.传递函数 2.典型环节传递函数 3.方块图及其化简 4.系统方块图绘制
1. 传递函数
定义： 在全部初始条件为零的假设下，系
统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变 换之比
G(s) Y (s) X (s)
若系统由下列微分方程描述
(n ) (n 1 )
(m ) (m 1 )
G(s) Xo(s) K Xi(s) s
dx r dt
G(s) X(s) r
(s) s
e
1 C
idt
G (s) E (s) 1/C I(s) s
• 微分环节
xo
TD
dxi dt
G(s)
Xo(s) Xi (s)
TDs
测速发电机
x K d
dt G(s) X(s) Ks
(s)
u(t) K d
电机磁通
K fi
常数
电机转矩
mK1iaK1Kfiai
电机a
1
i
R Ls
i
K τm m
Va
Km
τm
R Ls
m J mm c mm 1
2Jl l clllm/ N
2 N1
阻 惯转 尼 性矩
m(JmN J12)m(cmN c12)m
a 0y a 1y a n y b 0x b 1x b m x
则其传递函数为
G (s)Y X((ss))b0 a s0m sn b1 a s1m s n1 1 ab nm
• 系统的传递函数是一种数学模型 • 传递函数适用于线性定常系统 • 传递函数是系统本身的一种属性 • 若传递函数已知，就可以针对不同输入，
m
K t vt
负载和位置
m 1 l 1 l
N
s
电机位置控制系统方块图
本节重点
○ 各典型环节的传递函数 ◎ 方块图的变换与化简
作业
2-2 、2-6、2-9 （前4题）
dt
• 一阶惯性环节
T
dxo dt
xo
Kxi
,
G(s) Xo(s) K Xi(s) Ts1
特点：输出不能立即跟随输入的变化
F
F B dx Kx dt
G (s) X (s) = 1 F (s) B s+K
= 1 /K B s1 K
ur (t)
Ri(t)
1 C
i(t)dt
G(s) Uc(s) 1 Ur (s) RCs 1
研究系统的响应或输出
Y(s)G(s)X(s)
系统传递函数一般形式
G (s)Y (s)K(s z1)(s z2)(s zm ) X (s) (sp 1 )(sp 2)(sp n)
注意：零点和极点的概念及特征方程
比例环节
一阶微分
二阶微分
G (s)K s
(is 1 ) (d 2 is2 2d i d is 1 ) (T is 1 ) (T n 2 is2 2T n is 1 )
惯性m 负 载Jmc阻尼m 负载
J s Js 1cc
• 转矩和转速之间关系
m
1
m
Js c
电机传递函数
va
Km
m
动 态 忽
(R Ls)(Js c)
,
略 稳
态
If L J
值 不 能
R c 电路v时a 间常数小K 于m 机械时间m 常数
改 变
R (Js c)
系统性能由主导极点来代替
• 测速器
C(s) G(s) R(s) 1G(s)H(s)
注意符号
方块图的变换法则
• 各前向通路中传递函数的乘积保持不变 • 各回路中传递函数乘积保持不变
？
补充规则
引出点和比较点交换
一般不采用
方块图变换经验法则
1. 引出点和引出点之间可以交换位置 2. 相加点和相加点之间可以交换位置 3. 引出点和相加点之间一般不要互换位置
RCdu0 dt
u0ui
G(s)U Uci((ss))LCs21RCs1
G(s)U X((ss))ms21BsK
• 一阶微分
G(s)
Xo(s) Xi(s)
TDs1
• 二阶微分
G(s)Xo(s)2s22s1
Xi(s)
3 方框图模型
方框图是系统中每个元件的功能和 信号流向的图解表示。
输入
传递函数 G(s)
振荡环节一般包含有两 种形式的储能元件，并且能 量能够互相转换，因此输出 带有振荡的形式
R
ui(t)
L
i(t) C
uc(t)
uR(t)Ri(t)
uL
(t
)
L
di(t dt
)
1
uC(t) C i(t)dt
ui(t)Ri(t)Ldd i(tt)C 1i(t)dt
u0
(t)
1 C
i(t)dt
LCdd2tu20
输出
比较点
R
C
-
E
+
E=R-C
引出点 C
C
C
串联运算规则 Xi G1(s)
Xo G2(s)
Xi
G1(s)G2(s) Xo
并联运算规则
G1(s) Xi
G2(s)
G3(s)
Xo +++
Xi
Xo
G1(s)+G2(s)+G3(s)
反馈运算规则
C(s)G(s)E(s)
E ( s ) R ( s ) B ( s ) R ( s ) H ( s ) C ( s )
积分环节
惯性环节
振荡环节
2. 典型环节的传递函数
• 比例环节
x0(t)Kxi(t)
G(s) X0(s) K Xi (s)
特征：输入输出成比例，不失真，无延迟
Q vA
G(s) V 1 QA
L nm
G(s)L(s) N1 m(s) N2
• 积分环节
dxo dt
Kxi,
t
xoK0xidt