系统传递函数方框图及其简化
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第2章(4)传递函数方块图及其化简
G(s) 1 G(s)H (s)
G(s) 1 Gk (s)
B(s)
H(s)
前向通道传递函数、
反馈通道传递函数、
开环传递函数、
正反馈、负反馈；
2.方框图的变换与化简:(1)串、并联的化简； (2)分支点跨过环节的移动规则； (3)相加点的拆并及跨过环节的移动规则； (4)反馈与并联交错的化简
Xo(s)
G1(S)
G2(S)
Xi(s) G1(S) G2(S)
Xo(s)
G(s)
X X
o(s) i(s)
X o(s) X (s)
X (s) Xi(s)
G2
(
s)G1(
s
)
n
G(s) Gi (s) i 1
负载效应问题
i1 R1 i2 R2
G1(s)
1 R1C1s
1
G2 (s)
Xo(s)
C
略
H1
jik 04
16
X (s) 0 求 Xo(s) 。令
Xi2(s)
i1
Xi 1(s)
H3
+
-
-
G1 B +
G2
,
Xi
2(
Xi1(s)处的相加点取消，
H1 变成(-H1)。原图改画成：
s)
Xi 2(s) +
G3
Xo(s)
+
+
-A +
+
-
G3 Xo(s) A +
H2
C
H2
G2
+
-
B G1
复习：
1.微分方程的拉氏算子解法; 2.系统的响应就是微分方程的解 总响应x(t) =零输入响应xZ(t)+零状态响应xs(t)
2.第二章方框图及简化(new)
多个输入同时作用于线性系统时，分别考虑 每个输入的影响
• 如考虑扰动的反馈控制系统：
• 只考虑给定输入时：
• 只考虑干扰输入时：
• 如考虑扰动的反馈控制系统：
• 只考虑给定输入时：
• 只考虑干扰输入时：
• 系统总的输出量
扰动的影响将被抑制!!!
若 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) >> 1 且 G1 ( s) H ( s ) >> 1 ，则：
X o ( s) ≈ 1 X i ( s) H ( s)
• 上式表明，采用反馈控制的系统，适当选 上式表明，采用反馈控制的系统， 择元部件的结构参数， 择元部件的结构参数，可以增强系统抑制 干扰的能力。 干扰的能力。
• 结论 • 闭环系统具有抑制干扰的能力； • 闭环系统输入、输出的取法不同时，其传 递函数不同，但传递函数的分母不变，而 开环系统则不然。
反馈连接及其等效原则前向通道传递函数反馈回路传递函开环传递函数闭环传递函数前向通道反馈通道开环传递函数都只只是闭环系统部分环节或环节组合的传递函数而闭环传递函数才是系统的传递函数
第二章 系统的数学模型
2.3 系统的传递函数方框图及其简化
• 将组成系统的各个环节用传递函数方框表示，并将相应的变 量按信息流向连接起来，就构成系统的传递函数方框图
• 例2-10
• 一定要注意梅逊公式的两个条件； • 若系统不满足两个条件，可先将其方框图 化成满足使用条件的形式，然后再利用梅 逊公式。
多个输入同时作用于线性系统时，分别考虑 每个输入的影响
• 如考虑扰动的反馈控制系统：
• 只考虑给定输入时：ຫໍສະໝຸດ • 只考虑干扰输入时：• 如考虑扰动的反馈控制系统：
2.3 传递函数的方块图表示及运算
2.3.2 闭环控制系统的方块图
(4)误差传递函数 假设N(s)=0 误差信号E(s)与输入信号Xi(s)之比 。
X 0 (s) E(s)G(s) 代入上式，消去G(s)即得：
E ( s) 1 1 X i ( s) 1 H ( s)G( s) 1 开环传递函数
2.3.2 闭环控制系统的方块图
G2 ( s) G( s) X 0 ( s) X i ( s) N ( s) 1 G( s) H ( s) 1 G( s) H ( s)
G2 ( s) H ( s) 1 E (s) X i (s) N (s) 1 G( s) H (s) 1 G(s) H (s)
注意：由于N(s)极性的随机性，因而在路传递函数 假设N(s)=0
主反馈信号B(s) 与输出信号X0(s) 之比。 B( s) H ( s ) 当H(s)＝1时，系统叫单位反馈系统。 X 0 (s)
(3)闭环系统的开环传递函数 假设N(s)=0 假设反馈通路断开，反馈信号B(s)与误差信号E(s) 之比。 B( s ) G1 ( s)G2 ( s) H ( s) G ( s) H ( s) E ( s)
反馈公式 G1G5 G1G6 1 G5 H 2 G1G5 G7 1 GHG 1 G5 H 2 G1 H 1G2 1 G1G6 H 1G2 1 1 1 2 G5 1 G5 H 2
R
i
(1) (2)
ui
i
C （a）
uo
（b）
U o ( s)
U i (s) － U o ( s)
I(s)
U o ( s)
I(s) （c）
U o ( s)
（d）
例：画出下列R-C网络的方块图
第二章-系统的传递函数方框图及其简化.
系统闭环传递函数
GB (s)
X o (s) Xi (s)
由图可知
X i (s) E(s) G(s)
B(s)
H (s)
X o (s)
E(s) Xi (s) B(s) Xi (s) Xo(s)H (s) Xo(s) G(s)E(s) G(s)[Xi (s) Xo(s)H (s)]
G(s)Xi (s) G(s)Xo(s)H (s) 由此可得：
GK (s) G(s)H (s) E(s)
无量纲.
系统闭环传递函数
GB (s)
X o (s) Xi (s)
注意:我们所指的前向通道的传递函数、反馈回路的
传递函数和开环传递函数都是针对一个闭环系统而
言的。它们都是闭环系统的一部分。系统闭环传递
函数是闭环系统的传递函数。看一个传递函数是什
么具体类型，要从定义出发，而不能只看其符号。
8.分支点和相加点之间等效规则
X1(s)
X1(s) X2(s)
X 2 (s)
X1(s) X2(s)
X1(s)
X 2 (s)
X1(s) X2(s)
X1(s) X2(s)
X 2 (s)
一般应避免分支点和相加点之间的相互移动
三、方框图简化的一般方法 （法1）
1.确定系统的输入量和输出量.若作用在系统上的输 入量或输出量有多个,则必须分别对每一输入量,逐个 进行方框图的简化,以求得各自的传递函数. 2.若方框图中有交叉连接,则利用分支点或相加点的 移动规则,将交叉消除,简化成无交叉的多回路方框图 的形式.(大回路套小回路) 3.对多回路方框图,按照先里后外的顺序依次对各个 回路进行简化. 4.写出系统的传递函数.
Ua (s) 0
2.3系统的方框图及其简化
例：求系统传递函数。
Xi(s) + E(+s)
分
+
支
B(s)
点
前
移 Xi(s) + E(+s)
+
B(s)
G1 +
H2
G2
G3
H1
H2G3
G1 +
G2
G3
H1
Xo(s) Xo(s)
Xi(s) + E(+s)
+
B(s)
G1 +
H2G3 G2
H1
Xo(s) G3
Xi(s) + E(+s) G1
+
B(s)
纲也要相同。 相加点可以有多个输入，
但输出是唯一的。
C
A + A-B+C +
B
(3) 分支点
分支点表示同一信号向不同方向的传递。只传递信号， 不传递能量。
在分支点引出的信号不仅量纲相同，而且数值也相 等。
X(s) X(s) X(s)
2、系统方框图的建立步骤
(1) 建立系统（或元件）的
；
(2) 对这些原始微分方程进行
函数无量纲，而且H(s)的量纲是G(s)的量纲的倒数。
小小总结：
前述三种基本连接形式：串联、并联、反馈
G(s)
①两个环 Xi(s)
节相串联
G1(Gs) 1 ( sX)1G(s)2 (Gs)2(s)
Xo(s)
②两个环节 G(s)
相并联
G1(s) Xo1(s)
Xi(s)
G1(s)
G2
+
(s) +_
G2 (s) Xo2(s)
《计算机控制系统教学课件》5.传递函数及方框图
T2s 116（来自）振荡环节振荡环节的传递函数为：
G(s)
s2
wn2 2wns
wn2
式中wn———无阻尼自然振荡频率，wn=1/T； z ——阻尼比，0＜z＜1。
下图所示为单位阶跃函数作用下的响应曲线。
RLC串联电路、弹簧质量 阻尼器串联系统都是二阶 系统。只要满足0＜z＜1， 则它们都是振荡环节。
G(s) C(s) G1(s) R(s) 1 G1(s) G2 (s)
G1(s) G2(s)
G1(s) G2(s)
C (s) C (s)
26
4、分支点移位：
（1）前移
R (s) C (s)
G1(s)
（2）后移
C (s)
R (s)
C (s) G1(s)
C (s) G1(s)
R (s)
G1(s)
C (s) R (s)
6
a0c(n) a1c(n1) anc b0r(m) b1r(m1) bmr
在零初始条件下:
c(0) c(0) c(n1) (0) 0
n个
r(0) r(0) r(m1) (0) 0
m个
拉氏变换:
单输入单输出 线性定常系统
r(t) 输入量 c(t) 输出量
[a0sn a1sn1 an1s an ]C(s) [b0sm b1sm1 bm1s bm]R(s)
17
（六）延滞环节
延滞环节是线性环节， 称为延滞时间（又称死时）。
具有延滞环节的系统叫做延滞系统。
如下图所示，当输入为阶跃信号，输出要隔一定时间 后才出现阶跃信号，在0＜1＜ 内，输出为零。
延滞环节的传递函数为: G(s) es 系统具有延滞环节对系统的稳定性不利，延滞越大，影响越大。
机械控制工程基础2.3系统的传递函数方框图及其简化
分支点引出的信号不仅量纲相同，而且数值也相等。
X(s) X(s) X(s)
2011年9月
第 5 页/53
机电汽车工程学院
Block diagram establishing
2、系统方框图的建立
建立系统方框图的步骤如下：
(1) 建立系统（或元件）的原始微分方程； (2) 对这些原始微分方程进行Laplace变换，并根据各变换 式中的因果关系，绘出相应的方框图； (3) 按照信号在系统中传递、变换的过程，依次将各传递函 数方框图连接起来(同一变量的信号通路连接在一起），系 统输入量置于左端。输出量置于右端，便得到系统的传递 函数方框图。
X(s)
+
Kq
_
Q(s)
P(s) A Y(s)
1/Kc
ms2 cs
(c)
As
2011年9月
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例2：如图2.1.2所示电枢控制式直流时机，由第2.1节例2的
推导可知其运动微分方程可列写如下：
练习题： Ldia dt
ia R ed
ua
ed kd
输入：Ua(s), ML(s)
Q(s)
(c)
P(s)
1/Kc
P(s) A Y(s) ms2 cs
(a)
Q(s) As Y(s)
输入：X(s) 输出：Y(2s0) 11年9月 中间变量：P(s) Q(s)
(b)
第 11 页/53
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最后，将上述各传递函数方框图按信号的传递关系连接起 来，便得到下图所示的系统的传递函数的方框图。
Ur(s) +
I(s)
Uc(s)
1/R
X(s) X(s) X(s)
2011年9月
第 5 页/53
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Block diagram establishing
2、系统方框图的建立
建立系统方框图的步骤如下：
(1) 建立系统（或元件）的原始微分方程； (2) 对这些原始微分方程进行Laplace变换，并根据各变换 式中的因果关系，绘出相应的方框图； (3) 按照信号在系统中传递、变换的过程，依次将各传递函 数方框图连接起来(同一变量的信号通路连接在一起），系 统输入量置于左端。输出量置于右端，便得到系统的传递 函数方框图。
X(s)
+
Kq
_
Q(s)
P(s) A Y(s)
1/Kc
ms2 cs
(c)
As
2011年9月
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例2：如图2.1.2所示电枢控制式直流时机，由第2.1节例2的
推导可知其运动微分方程可列写如下：
练习题： Ldia dt
ia R ed
ua
ed kd
输入：Ua(s), ML(s)
Q(s)
(c)
P(s)
1/Kc
P(s) A Y(s) ms2 cs
(a)
Q(s) As Y(s)
输入：X(s) 输出：Y(2s0) 11年9月 中间变量：P(s) Q(s)
(b)
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最后，将上述各传递函数方框图按信号的传递关系连接起 来，便得到下图所示的系统的传递函数的方框图。
Ur(s) +
I(s)
Uc(s)
1/R
233控制系统方框图的化简及传递函数
U 2 ( s)
22
两个相加点互相交换移动
U1 ( s )
A
-
-
1 R1
1 sC1
1 R2C2 s 1
R1C2 s
U 2 ( s)
U1 ( s )
A
-
-
1 R1
1 sC1
1 R2C2 s 1
R1C2 s
U 2 ( s)
23
小回路化简
U1 ( s ) A
-
-
1 R1
1 sC1
1 R2C2 s 1
12
结论
下列闭环传递函数
(s)
F ( s)
(s)
F ( s )
具有相同的特征多项式
13
闭环特征多项式：
1 G1 (s)G2 (s) H (s)
14
G1 (s)G2 (s) (s) 1 G1 (s)G2 (s) H (s)
输出对输入 对 比
G2 (s) F ( s) 1 G1 (s)G2 (s) H (s)
R( s )
+
E ( s )
G1 ( s )
G2 (s)
Y ( s)
35
G3 ( s) G1 ( s)
R( s )
+
E ( s )
G1 ( s )
G2 (s)
Y ( s)
小回路化简
R( s )
G1 ( s) G3 ( s) G1 ( s)
G1 ( s)G2 ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s)
1 G2 ( s)G3 ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s)
E (s)
E ( s) 1 G2 (s)G3 (s) R(s) 1 G1 (s)G2 (s)
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X1
X1 X2 X3
▪分支点
X2
同一信号向不同方向传递
➢系统方框图的建立步骤
▪ 建立系统各元部件的微分方程,明确信号的因果关系（输 入/输出）。
▪ 对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图。
▪ 按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的 方框图连接起来，得到系统的方框图。
.
2
示例
✓ 无源RC网络
G3(s)
A Xo(s)
G3(s) Xo(s)
H3(s)
.
10
2、消去H2(s)G3(s)反馈回路
Xi(s) G1(s)
+
G2(s) 1G2(s)G3(s)H2(s)
H1(s)
G3(s) Xo(s)
H3(s)
3、消去H1(s) 反馈回路
Xi(s)
G 1(s)G 2(s)G 3(s)
Xo(s)
G2(S)
i(X s)G 1(SG 2()S)o(s)
X
G(s) Xo(s) Xo(s) X(s)G 2(s)G 1(s) Xi (s) X(s) Xi (s)
n
G(s) Gi (s) i1
2．并联传函等于各相并传函之和
G(s) Xo(s) X1(s)X2(s)
Xi (s)
Xi (s)
X1(s) Xi (s)
一个重要公式∶闭环系统的传递函数
Xi(s) + E(s)
-
B(s)
G(s) H(s)
Xo(s)
G (s)
G (s)
G B (s)1 G (s)H (s)1 G k(s)
X o ( s ) G ( s ) E ( s )
G ( s )X i [ ( s ) H ( s ) X o ( s )] G ( s ) X i ( s ) G ( s ) H ( s ) X o ( s )
1G 1(s)G 2(s)H 1(s)G 2(s)G 3(s)H 2(s)
H3(s)
.
11
4、消去H3(s) 反馈回路
Xi(s)
G 1 ( s ) G 2 ( s ) G 3 ( s )
Xo(s)
1 G 1 ( s ) G 2 ( s ) H 1 ( s ) G 2 ( s ) G 3 ( s ) H 2 ( s ) G 1 ( s ) G 2 ( s ) G 3 ( s ) H 3 ( s )
X2
G(s)
X3(X1)
X1 G(s) X2
X3(X2) G(s)
X1 G(s) X2
1 X3(X1) G(s)
5.相加点移过环节
后移X1
X3
+ + G(s)
(-)
X2
X1
G(s) X2
G (s)
X3 ++
(-)
注意：分支
前 移 X1
X3
G(s) + +
X2 (-)
X1
+
+ (-)
G(s) X3
1 X2
例：系统传递函数方框图简化
.
12
.
13
例：系统传递函数方框图简化
.
14
.
15
第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式.， 将与第k 条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余 下的.即为 。
.
16
控制系统的传递函数 ➢ 考虑扰动的闭环控制系统
Xi(s) (s)
B(s)
G1(s)
X o (s ) [G ( 1 s )H (s ) ] H (s )X i(s )
G B (s )X X o i( (s ) s ) 1 G G (s (s )) H (s ) 1 G G (s k) (s )
.
7
讨论：
单位反馈：H(s)=1
Xi(s) +-
G(s) Xo(s)
GB(s)1GG (s()s)G(s)
Xi(s) G(s) Xo(s) 1+G(s)H(s)
开环传递函数
Gk
(s)
B(s) E(s)
G(s)H(s)
X i(s) E(s)
X o(s) B (s)
G (s)
H (s)
开环传函GK(s)等于前向通道与反馈回路传函的积。
注意：开环传函无量纲.
.
6
(4)闭环传函GB(s)∶
GB(s)
Xo(s) Xi (s)
Xo1 (s) G1(s)G2(s) Xi(s) 1G1(s)G2(s)H(s)
令Xi(s)=0,由N(s)引起的输出Xo2(s)∶
H(s)
反馈控制系统的典型框图
X o(s 2 )
G 2 (s )
G 2 (s )
N (s ) 1 G 1 (s )H ((s - )G ) 2 (s ) 1 G 1 (s )H (s )G 2 (s )
前移：从G(s)的输出端移到输入G 端(s) ；
点和相加点 之间不能相 互移动。
后移：从G(s)的输入端移到输. 出端。
9
例：求下图所示系统的传递函数。
Xi(s)
B
G1(s)
+
H2(s)
G2(s)
H1(s)
H3(s)
解：1、A点前移；
H2(s)G3(s)
Xi(s) G1(s)
+
G2(s)
H1(s)
若 G 1(s)G 2(s)H (s)1
X o ( s 2 ) G 2 ( s ) G G 2 1 ( ( s s ) ) H ( s ) N ( s ) G 1 ( s 1 ) H ( s ) N ( s ) N ( s )
.
18
8、相似原理
相似系统：能用相同形式的数学模型表示的系统，称 为相似系统。
负反馈：反馈信号减弱输入信号，使误差信号小；正
反馈：反馈信号加强输入信号，使误差信号大。当
H(s)>0，反馈处置负号为负反馈
闭环传函GB(s)的量纲由Xo(s)与Xi(s)的量纲决定,也由前 向通道传函G(s)的量纲决定。
.
8
4.分支点移过环节
分支点
前移 X1 G(s)
X2
X3( X2)
后移 X1
N(s) +
+
G2(s)
H(s)
Xo(s)
Xi(s)到Xo(s)的信号传递通路称为前向通道； Xo(s)到B(s)的信号传递通路称为反馈通道；
.
17
反馈系统的传递函数
N(s)
处理方法：Xi(s)和N(s)各自独立地产生输出。
Xi(s) + -
G1(s)
++
G2(s) Xo(s)
令N(s)=0,由Xi(s)引起的输出Xo1(s)：
1 R
I(s)
Uo(s)
(a) I(s)R 1Ui(s)Uo(s)
Ui(s)
U(s) 1 R
I(s)
I(ห้องสมุดไป่ตู้) 1 Cs
Uo(s)
1
(b)
Uo(s)
I(s) Cs
1
Uo(s)
Cs
无源RC电路网络.系统方框图
4
❖ 传递函数的等效 变化
1.串联传递函数等于各相串传函之积。
Xi(s)
G1(S)
X(s) o(sX )
X2(s) Xi (s)
G1(s)G2(s)
Xi(s)
G1(s) X1(s)
+
+
G2(s) X2(s)
Xo(s)
n
G(s) Gi (s) i1
.
5
反馈传递函数的框图
前向通道传递函数 G(s) Xo(s)
E(s)
Xi(s) E(s) G(s)
-
B(s)
H(s)
Xo(s)
反馈回路传递函数
H(s) B(s) Xo (s)
R
R (t)i u i(t) u o(t)
uo(t)C1i(t)dt
拉氏变换得：
RI(s) Ui(s)Uo(s)
Uo(s)
1 I(s) Cs
ui(t)
C
uo(t)
i(t)
无源RC电路网络
I (s)
1 R
Ui (s)
Uo (s)
Uo
(s)
1 Cs
I
(s)
.
3
从而可得系统各方框单元及其方框图。
Ui(s) Ui-Uo
三 系统传递函数方框图及其简化
❖传递函数方框图
➢方框图：
将一个系统中按 一定关系组成的若干环节以方框表示， 其间用相应的变量及信号流向联系起来，就构成了系 统方框图。
➢方框图的结构要素
▪函数方框 X(so )G (s)X(si)
X i(s) G (s) X o (s)
系统传递函数框图
.
1
▪相加点
X3
相似量：在相似系统的数学模型中，占据相同位置的 物理量。
输入为f(t)，输出为x(t) 输入为u(t)，输出为电容器的电量q
.
19
•• •
mxcxkxf
相似量：
•• • 1 LqRq qu
c
.
20