2021年新高考数学模拟试题及答案
2021年新高考全国一卷数学模拟试卷及答案解析
2021年新高考全国一卷数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）如果复数m2+i
1+mi
是纯虚数，那么实数m等于（）
A．﹣1B．0C．0或1D．0或﹣1
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣12＜0}，则∁R A＝（）
A．{x|x≤﹣2或x≥6}B．{x|﹣2≤x≤6}
C．{x|﹣6＜x≤2}D．{x|x≤﹣6或x≥2}
3．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为（）
A．60万元B．160万元C．200万元D．240万元
4．（5分）设α∈R，则“a＜﹣1”是“a2﹣5a﹣6＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）函数y＝（x3﹣x）•3|x|的图象大致是（）
A．B．
C．D．
6．（5分）武汉疫情爆发后，某医院抽调3名医生，5名护士支援武汉的三家医院，规定每家医院医生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有（）
A．900种B．1200种C．1460种D．1820种
7．（5分）2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，
第1 页共19 页。
数学模拟试题二含解析
A. 线段 上存在点E、F使得 B. 平面ABCD
C. 的面积与 的面积相等D. 三棱锥A-BEF的体积为定值
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据异面直线的定义可判断A；根据线面平行的判定定理可判断B；根据三角形的面积公式可判断C；利用直线平行平面，直线上的点到面的距离相等以及椎体的体积公式可判断D。
【详解】若甲走的红门盘道徒步线路，则乙,丙描述中的甲的去向均错误，又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路",“乙走红门盘道徒步线路”正确，与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路"正确，故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误，“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
A。 B。 C。 D.
【答案】D
【解析】
分析：根据直线的垂直,即可求出tanα=3,再根据二倍角公式即可求出．
详解：因为l1⊥l2,所以sinα﹣3cosα=0，
所以tanα=3，
所以sin2α=2sinαcosα=
故选D．
点睛：本题考查了两直线的垂直，以及二倍角公式,本题利用了sin2θ+cos2θ=1巧妙的完成弦切互化．常用的还有三姐妹的应用，一般 ， ,这三者我们成为三姐妹，结合 ，可以知一求三.
15. 函数 的部分图象如图所示，则 __;将函数 的图象沿x轴向右平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 ____.
【答案】 （1）. （2）。
【解析】
【分析】
根据图象求得周期，利用周期计算公式求得 ；根据 ,即可求得 ;再求得平移后的函数解析式,根据奇偶性，列出等式,则 可得.
2021年高考数学真题模拟试题专项汇编之立体几何(文)(Word版,含解析)
（8）立体几何（文）——2021年高考数学真题模拟试题专项汇编1.【2021年新高考Ⅰ卷，3】已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( ) A.2B.22C.4D.422.【2021年新高考Ⅱ卷，4】卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度指卫星到地球表面的最短距离）.把地球看成一个球心为O ，半径为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α.该卫星信号覆盖的地球表面面积22π(1cos )S r α=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比为( ) A.26%B.34%C.42%D.50%3.【2021年北京卷，4】某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为( )33+ B.1213+3 4.【2021年浙江卷，4】某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：3cm )是( )A.32B.3C.322D.325.【2021年新高考Ⅱ卷，5】正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为( ) A.5623B.562C.282D.28236.【2021年浙江卷，6】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，,M N 分别是1A D ，1D B 的中点，则( )A.直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB.直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC.直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD.直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B7.【2021年北京卷，8】定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度.其中小雨（10<mm ），中雨（10mm —25mm ），大雨（25mm —50mm ），暴雨（50mm —100mm ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级( )A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨8.【2021年全国乙卷(文)，10】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为( ) A.π2B.π3C.π4D.π69.【2021年全国甲卷(文)，14】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为__________.10.【2021年上海卷，9】已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，点C 为下底底面圆周上的一个动点，点C 绕着下底底面旋转一周，则ABC △面积的取值范围为____________.11.【2021年全国乙卷(文)，16】以图①为正视图，在图②③④③中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）.12.【2021年全国乙卷(文)，18】如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.13.【2021年安徽怀宁模拟，18】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面11,2,ABC AA AC AC AB BC ====，且AB BC ⊥，O 为AC 的中点.（1）求证：平面11A B O ⊥平面1BCA ；（2）若点E 在1BC 上，且//OE 平面1A AB ，求三棱锥1E A BC -的体积.14.【2021年广西桂林模拟(文)，18】如图所示，在三棱锥A BCD -中，侧棱AB ⊥平面BCD ，F 为线段BD 中点，Q 为线段AB 中点，2π3BCD ∠=，3AB =，2BC CD ==.证明：（1）CF ⊥平面ABD ； （2）求点D 到平面QCF 的距离.15.【2021年全国甲卷(文)，19】已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形.2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ⊥，（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点，证明：BF DE ⊥.答案以及解析1.答案：B解析：本题考查圆锥的侧面展开图.设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .由题意可得2ππr l =，所以222l r ==. 2.答案：C解析：由题意可知，6400cos 0.1536000640036000r r α==≈++，所以从同步卫星上可望见的地球的表面积222π(1cos )2π(10.15)S r r α=-≈-，此面积与地球表面积之比约为222π(10.15)100%42%4πr r -⨯≈.3.答案：A解析：画正方体，删点，剩下的4个点就是三棱锥的顶点，如图：1333311(11)2S +=⨯⨯⨯+=表. 4.答案：A解析：本题考查几何体的三视图.该几何体是高为1的四棱柱，其底面为三个全等的直角边为1的等腰直角三角形拼成的梯形，面积为32，故其体积是32. 5.答案：D解析：本题考查棱台的体积.将正四棱台1111A B C D ABCD -补成四棱锥P ABCD -，作PO ⊥底面ABCD 于点O ，交平面1111A B C D 于点1O ，则棱台1111A B C D ABCD -的体积1111P ABCD P A B C D V V V --=-.由题意，11112142PA PO A B PA PO AB ====，易知，4PA =，22AO =22224(22)22PO PA AO --=，所以12PO =，则1322(44)223P ABCD V -=⨯⨯⨯，1111142(22)23P A B C D V -=⨯⨯，所以棱台1111A B C D ABCD -的体积111132242282P ABCD P A B C D V V V --=-==.6.答案：A解析：本题考查空间的线线关系与线面关系.易知1A D ⊥平面1ABD ，故11A D D B ⊥，排除B ，C 项；连接1AD ，可知//MN AB ，所以//MN 平面ABCD ，A 项正确；因为AB 不垂直于平面11BDD B ，//MN AB ，所以直线MN 不垂直于平面11BDD B ，D 项错误.7.答案：B解析：由相似的性质可得，小圆锥的底面半径2002502r ==，故231π5015050π3V =⨯⨯⨯=⋅小圆锥，积水厚度3250π12.5π100V h S ⋅===⋅大小圆锥圆，属于中雨，故选B. 8.答案：D解析：本题考查立体几何中的线面关系及解三角形的应用.如图，记正方体的棱长为a ，则1111112AD C B A C B D a ====，所以1122B P PC a ==，221162BP B P B B a =+=.在1BC P 中，由余弦定理得22211113cos 22PB C B PC PBC PB C B +-∠==⋅，所以1π6PBC ∠=.又因为11//AD BC ，所以1PBC ∠即为直线PB 与1AD 所成的角，所以直线PB 与1AD 所成的角为π6.9.答案：39π解析：本题考查圆锥的体积与侧面积.由题可得圆锥的体积21π12π30π3V r h h ===，可得52h =，故圆锥的母线22132l r h +，所以圆锥的侧面积π39πS rl ==. 10.答案：5]解析：本题主要考查空间几何体.上顶面圆心记为O ，下底面圆心记为O '，连接OC ，过点C 作CM AB ⊥，垂足为点M ，则12ABCSAB CM =⨯⨯，根据题意，AB 为定值2，所以ABCS 的大小随着CM 长短的变化而变化.当点M 与点O 重合时，22125CM OC ==+=，取得最大值，此时12552ABCS =⨯⨯=.当点M 与点B 重合时，CM 取最小值2，此时12222ABCS=⨯⨯=.综上所述，ABCS 的取值范围为[2,5].11.答案：②⑤或③④解析：本题考查几何体的三视图.由高度可知，侧视图只能为②或③.当侧视图为②时，则该三棱锥的直观图如图1，平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC ==，5BA BC =2AC =，此时俯视图为⑤；当侧视图为③时，则该三棱锥的直观图如图2，PA ⊥平面ABC ，1PA =，5AC AB ==2BC =，此时俯视图为④.12.答案：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ， 所以PD AM ⊥.又因为PB AM ⊥，PD PB P ⋂=，PB ，PD ⊂平面PBD ， 所以AM ⊥平面PBD .因为AM ⊂平面PAM ，所以平面PAM ⊥平面PBD .（2）由PD ⊥底面ABCD ，所以PD 即为四棱锥P ABCD -的高，DPB 是直角三角形. 由题可知底面ABCD 是矩形，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.设2AD BC a ==，取CD 的中点为E ，CP 的中点为F ，连接MF ，AF ， EF ，AE ，可得//MF PB ，//EF DP ，那么AM M F ⊥，AM F 为直角三角形，且12EF =，2144AE a =+，21AM a =+，222142AF EF AE a =++因为DPB 是直角三角形，所以根据勾股定理得224BP a =+，则2242a MF +=.由AM F 是直角三角形，可得222AM MF AF +=，解得22a =， 所以底面ABCD 的面积22S a ==，则四棱锥P ABCD -的体积11221333V S h =⋅⋅=⨯⨯-.13.答案：（1）1111,//,AB BC AB A B BC A B ⊥∴⊥，在1A AC 中，112AA AC AC ===，O 是AC 的中点，1AO AC ∴⊥，又平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，1A O ∴⊥平面ABC .BC ⊂平面1,ABC AO BC ∴⊥. 111,A B AO ⊂平面111111,A B O A B AO A =，BC ∴⊥平面11A B O ， 又BC ⊂平面1BCA ，∴平面1BCA ⊥平面11A B O .（2）如图，连接1B C ，设1B C 与1BC 交于点E ，连接1,OE AB ， 易得1//OE AB ，1AB ⊂平面11,ABB A OE ⊄平面11ABB A ，//OE ∴平面11ABB A ，∴满足条件的E 为1BC 的中点.11111 1122E A BCC A BC B A CC V V V ---==三棱锥三棱锥三棱锥21133212346=⨯⨯⨯⨯=， 故三棱锥1E A BC -的体积为36.14.答案：（1）AB ⊥平面BCD ，CF ，BD ⊂平面BCD ，AB CF ∴⊥，AB BD ⊥.2BC CD ==，F 为BD 中点，CF BD ∴⊥.又CF AB ⊥，AB BD B =，AB ，BD ⊂平面ABD ，CF ∴⊥平面ABD .（2）在三棱锥Q DCF -中，设D 到平面QFC 距离为d . Q DCF D QCF V V --=，1133DCFQCFQB Sd S ∴⋅⋅=⋅⋅，DCFQCFQB S d S ⋅∴=.1112π322sin 2223DCFDCBSS ==⨯⨯⨯⨯=，2π44222cos 233BD =+-⨯⨯⨯.AB BD ⊥，3AB =，Q ，F 分别为AB ，BD 的中点.22912212ADAB BD QF ++∴====.QCF 中，π2cos 13CF ==，235422CQ ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21QF =. 25211244cos 55212QCF +-∴∠==⨯⨯，21sin QCF ∴∠=. 152121122QCFS∴=⨯⨯=. 33372221d ∴==.15.答案：（1）如图，取BC 的中点为M ，连接EM .由已知易得//EM AB ，2AB BC ==，1CF =，112EM AB ==，11//AB A B ， 由11BF A B ⊥得EM BF ⊥，又易得EM CF ⊥，BF CF F ⋂=，所以EM ⊥平面BCF ， 故1111121132323F EBC E FBC V V BC CF EM --==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥.（2）连接1A E ，1B M ，由（1）知11//EM A B ， 所以ED 在平面11EMB A 内.在正方形11CC B B 中，由于F ，M 分别是1CC ，BC 的中点，所以1tan 2CF CBF BC ∠==，111tan 2BM BB M BB ∠==， 且这两个角都是锐角，所以1CBF BB M ∠=∠， 所以111190BHB BMB CBF BMB BB M ∠=∠+∠=∠+∠=︒， 所以1BF B M ⊥，又11BF A B ⊥，1111B M A B B ⋂=，所以BF ⊥平面11EMB A ， 又DE ⊂平面11EMB A ，所以BF DE ⊥.。
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (10)
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题10学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |2x -1≥0},则A ∩B =A.(1,+∞)B.[12,1) C.(12,2) D.[12,2) 2．若复数1-bi 2+i(b ∈R )的实部与虚部相等,则b 的值为A.-6B.-3C.3D.6 3．函数f (x )=2x2+1，x ∈[−1, √2]的值域为A.[2, 8]B.[4, 8]C.[1, 3]D.[2, 3]4．设△ABC,P 0是边AB 上一定点,满足P 0B=14AB,且对于边AB 上任一点P,恒有PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥P 0⃗⃗⃗⃗ ·P 0⃗⃗⃗⃗ ,则A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC5．定义在R 上的奇函数f (x )连续且可导,若f (x )-f'(x )<x -1恒成立(其中f'(x )为f (x )的导函数),则A.f'(0)<1B.f (-1)+f'(-1)<0C.f (1)<f (0)<f (-1)D.f (-1)<f (0)<f (1)6．在2019年亚洲杯前,某商家为了鼓励中国球迷组团到阿联酋支持中国队,制作了3种不同的精美海报,每份“中国队球迷礼包”中随机装入一份海报,集齐3种不同的海报就可获得中国队在亚洲杯上所有比赛的门票.现有4个球迷组成的球迷团(每人各买一份球迷礼包),则他们能获得该门票的概率为A.1027B.49C.59D.17277．已知m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nC.若m ⊥α,n ⊥α,则m ∥nD.若m ∥α,m ∥β,则α∥β8．若执行如图的程序框图,则输出i 的值等于A.2B.3C.4D.59．在等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=36,a 11+a 12+a 13=84,则a 5+a 9=A.30B.35C.40D.4510．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),以原点O 为圆心的圆(圆的半径小于b )的面积为4π,且经过椭圆的焦点,P 为椭圆上任意一点,Q 为圆上任意一点,若P ,Q 两点间的距离的最小值为1,则椭圆的离心率为A.2√1313 B.√1313C.√32 D.12 11．下列区间中,函数f (x )=7sin(x -π6)单调递增的区间是A.(0,π2)B.(π2,π)C.(π,3π2)D.(3π2,2π)12．如图,已知圆柱OO 1的轴截面是边长为2的正方形,A 1,B 1,C 1是圆O 1的三等分点,BB 1∥AA 1∥OO 1,那么异面直线AC 1与OB 所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线f (x )=e x 2-e x (e 是自然对数的底数)在x =1处的切线方程为 . 14．已知数列{a n }与{b n }满足a n =2b n +3(n ∈N ∗),若{b n }的前n 项和为S n =32(3n −1)且λa n >b n +36(n −3)+3λ对一切n ∈N ∗恒成立,则实数λ的取值范围是 . 15．某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近5年的年广告支出m 与年销售额t (单位:百万元) 进行了初步统计,得到下列表格中的数据:经测算,年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程t ＾=6.5m +17.5,则p = .16．已知某双曲线的渐近线方程为3x ±2y =0,且该双曲线经过点(2,-3√2),则该双曲线的实轴长为 .三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,已知向量m =(cos∠B ,2cos 2∠C 2-1),n =(c ,b -2a ),且m ·n =0.(1)求∠C 的大小;(2)若点D 为边AB 上一点,且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7,c =2√3,求△ABC 的面积. 18．(本题12分)如图,棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形.侧棱长为5,平面ABCD ⊥平面A 1ACC 1,AB =3√3,∠BAD =60°,点E 是ΔABD 的重心,且A 1E =4.(1)求证:平面A 1DC 1∥平面AB 1C ; (2)求棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积.19．(本题12分)某省在高考改革试点方案中规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;从2020年开始,高考总成绩由语、数、外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目考生的原始成绩从高到低依次划分为A,B+,B,C+,C,D+,D,E 共8个等级,参照正态分布的原则,确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A 至E 等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],[21,30]八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2 000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六门选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N (60,132). (1)求该校高一年级学生的物理原始成绩在区间(47,86)的人数;(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,X 表示这3人中某门选考科目的等级成绩在区间[61,80]的人数,求X 的分布列和数学期望.附:若随机变量ξ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P (μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.20．(本题12分)已知以F 为焦点的抛物线C :y 2=2px (p >0)过点P (1,-2),直线l 与C 交于A ,B 两点,M 为AB 的中点,O 为坐标原点,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOF⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)当λ=3时,求点M 的坐标; (2)当OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12时,求直线l 的方程.21．(本题12分)已知函数f (x )=(x −1)e x +ax 2,e 为自然对数的底数.(1)若函数f (x )在(1,f(1))处的切线方程为y =−ex +a +e ,求实数a 的值; (2)讨论f (x )的单调性.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
2021高考数学 高考模拟卷含答案
3Z22021 高考模拟卷数学本卷满分150 分，考试时间120 分钟一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2 + i)z =1- 2i ，其中i 为虚数单位，则z =（）A．1 B．-1 C．i D．-i2．设集合A ={x ∈Z x2 -3x - 4 > 0}，B ={x | e x-2 <1}，则以下集合P 中，满足P ⊆ (C A) B 的是（）A．{-1, 0,1, 2}B．{1, 2} C．{1} D．{2}3.已知非零向量a 、b ，若a = b ，a ⊥(a - 2b)，则a 与b 的夹角是（）πA.6π2πB.C．3 35πD．64.为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2 种主食、3 种素菜、2 种大荤、4 种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）A．48 种B．36 种C．24 种D．12 种5.已知函数y = f (x) 的图象如图所示，则此函数可能是（）A. f (x) =sin 6x2-x - 2xB. f (x) =sin 6x2x - 2-xC. f (x) =cos 6x2-x - 2xD. f (x) =cos 6x2x - 2-x6.已知函数f (x) =x2 +a ln x ，a > 0 ，若曲线y =最小的，则a =（）f (x) 在点(1,1) 处的切线是曲线y = f (x) 的所有切线中斜率A．12B．1 C．D．27.若双曲线C ：y2-x2=1与双曲线C ：x2-y2=的渐近线相同，则双曲线C 的离心率为（）1 3 a 6 9 1 122a 5 9 A.10 2B. 15 3C.5 2D.3 38. 对 n ∈ N * ，设 x n 是关于 x 的方程 nx 3 + 2x - n = 0 的实数根，a n = [(n +1)x n ](n = 2, 3,...) ，其中符号[x ] 表示不超过x 的最大整数，则 a 2 + a 3 +a 2020= （ ）2019A ．1011B ．1012C ．2019D ．2020二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．9. 某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为 8000 元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少 1500 元，则下面结论中正确的是（ ）A. 该教师退休前每月储蓄支出 2400 元B. 该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 3 倍C. 该教师退休工资收入为 6000 元月D. 该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少10．已知 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ，则（ ）A ． a + b ≤B ． 1< 2a -b< 22C ．log 2 + log 2 ≥ - 12D ． a 2 - b 2 > -111. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高 精度、高定位、导航、授时服务，2020 年 7 月 31 日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数 f ( x ) = cos x + cos 5x + cos 9x 近似模拟其信号， 则下列结论中正确的是（）A ．函数 f ( x ) 的最小正周期为πB ．函数 f ( x ) 的图象关于点⎛ - π , 0 ⎫对称2 ⎪ ⎝ ⎭b0 0 C. 对任意 x ∈ R ，都有 f '(π - x ) = f '(x ) D. 函数 f '( x ) 的最小值为-312.如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AA 1 = AB = 4 ， BC = 2 ，M 、N 分别为棱C 1D 1 ，CC 1 的中点，则下列说法正确的是（）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面 ADM ⊥ 平面CDD 1C 1C ． B 1M 与 BN 所成角60︒D ． BN / / 平面ADM三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13.已知幂函数 y = f (x )的图象过点⎛ 2,1 ⎫，则曲线 y = f (x )在点(1,1) 处的切线方程为4 ⎪ ⎝ ⎭ r r r r14.平面内，不共线的向量 a , b 满足| a + b |=| 2a - b |，且| a |=| a - 2b | ，则 a , b 的夹角的余弦值为.15.某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这 6 项运动中选出 3 项进行测试，假设他们对这 6 项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有 2 项相同的概率为. 16．已知圆 M :( x - x )2 + ( y - y )2 = 8 ，点T (-2,4) ，从坐标原点O 向圆 M 作两条切线OP ， OQ ，切点分别为 P ， Q ，若切线OP ， OQ 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， k 1k 2 = -1，则 OM 为定值 ，TM 的取值范围为.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题 10 分）在① bc = 4 ，② a cos B = 1 ，③ sin A = 2sin B 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC ，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C = 1，c sin A = 2sin C ， .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（本小题 12 分）2 3 3nn n nn已知数列{a }的各项均为正数，记数列{a }的前 n 项和为 S ，数列{a 2 } 的前 n 项和为T ，且3T = S 2 + 2S , n ∈ N * . nnn（1） 求 a 1 的值； （2） 求数列{a n }的通项公式．19．（本小题 12 分）如图，在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AB =， A 1 A = 2 ， D ， E ， F 分别为线段 AC ，A 1 A ， C 1B 的中点.（1） 证明： EF // 平面 ABC ；（2） 求直线C 1B 与平面 BDE 所成角的正弦值.20．（本小题 12 分）利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取 20 名同学的胸围 x (cm ) 与肺活量 y (ml ) 的样本， 计算平均值 x = 80.5 ， y = 4030 ，并求出线性回归方程为 y ˆ = 32.26x + a . 高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70 75 80 85 82 73 77 7385 72肺活量 3700 4600 4000 4300 4400 3400 3200 38004400 3500 胸围70 83 7891 817491 76 10490肺活量 3600450037004100470037004600400047003700（1） 求 a 的值；（2） 求样本 y 与 x 的相关系数 r ，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99% 把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001 )；（3） 将肺活量不低于 4500ml 视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4 名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.n∑( i =1nx i- x ) ( y i- y ) 2∑2i =1n2∑( x i- x )( y i- y ) (参考公式及数据：b ˆ =i =1，r = ∑( x i- x )i =1∑( x i- x )( y i- y )i =1，≈ 38 ，≈ 2040 .)附：相关性检验的临界值表n - 2检验水平0.050.01 160.4680.59017 0.456 0.575 18 0.4440.561 19 0.433 0.549 200.4230.53721．（本小题 12 分）如图所示，已知椭圆 x a 2y 2+ = 1(a > b > 0) 的离心率为 b 22 ，一条准线为直线 x =（1）求椭圆的标准方程；（2）A 为椭圆的左顶点，P 为平面内一点（不在坐标轴上），过点 P 作不过原点的直线 l 交椭圆于 C ，D 两点（均不与点 A 重合），直线 AC ，AD 与直线 OP 分别交于 E ，F 两点，若OE = OF ，证明：点 P 在一条确定的直线上运nn∑( x i- x ) i =1202∑ 20 (y - y i )2i =12 22+ + - Z 动.22．（本小题 12 分）设函数 f (x ) = a ⋅ 2x - 2- x (a ∈ R )（1） 若函数 y = f (x ) 的图象关于原点对称，函数 g (x ) = f (x ) + 3，求满足 g (x ) = 0 的 x 的值；20 0（2） 若函数 h (x ) = f (x ) + 4x+ 2 - x 在 x ∈[0,1] 的最大值为-2 ，求实数 a 的值.一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2 + i ) z = 1- 2i ，其中i 为虚数单位，则 z = （ ）A ．1B ． -1 【答案】DC ． iD ． -i【详解】解：由(2 + i ) z = 1- 2i ，得 z =1- 2i = (1- 2i)(2 - i) = -5i = - i ，2 i (2 i)(2 i) 5故选：D2．设集合 A = {x ∈ Z x 2 - 3x - 4 > 0}， B = {x | e x -2 < 1}，则以下集合 P 中，满足 P ⊆ (C A)B 的是（ ）A ．{-1, 0,1, 2}B ．{1, 2} C ．{1} D ．{2}【答案】C 【详解】集合 A = {x ∈ Z x 2- 3x - 4 > 0}，解得 A = {x ∈ Z x > 4 或 x < -1}，B = {x | e x -2 < 1}，解得 B = {x | x < 2} ，则ðZ A ={-1, 0,1, 2,3, 4} ，3 3 ( )所以(ðZ A )⋂ B = {-1, 0,1, 2, 3, 4}⋂{x | x < 2} = {-1, 0,1}， 对比四个选项可知，只有 C 符合 P ⊆ (ðZ A ) ⋂ B .3. 已知非零向量 a 、b ，若 a =b ， a ⊥ (a - 2b )，则 a 与b 的夹角是（）π A. 6π2πB.C ．335π D ． 6【答案】A【详解】设 a 与b 的夹角为θ，a =b ， a ⊥ (a - 2b )，2则 a ⋅ a - 2b = a 2 - 2a ⋅ b = a 2 - 2 a ⋅ b cos θ= 3 b - 2 2 b cos θ= 0 ，可得cos θ=，2Q 0 ≤θ≤π，∴θ= π.64. 为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的 2 种主食、3 种素菜、2 种大荤、4 种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ）A ．48 种B ．36 种C ．24 种D ．12 种【答案】B 【详解】解：由题意可知，分三步完成：第一步，从 2 种主食中任选一种有 2 种选法；第二步，从 3 种素菜中任选一种有 3 种选法；第三步，从 6 种荤菜中任选一种有 6 种选法，根据分步计数原理，共有 2⨯ 3⨯ 6 = 36 不同的选取方法， 故选：B5. 已知函数 y =f (x ) 的图象如图所示，则此函数可能是（）3 32x ⨯ a x2a 对于 B ， - ==对于 C ， - ==对于D ， - = =A. f (x ) =sin 6x 2- x - 2x B. f (x ) = sin 6x 2x - 2- x C. f (x ) = cos 6x 2- x - 2x D. f (x ) =cos 6x2x - 2- x【答案】D【详解】由函数图象可得 y =f (x ) 是奇函数，且当 x 从右趋近于 0 时， f (x ) > 0 ，对于 A ，当 x 从右趋近于 0 时， sin 6 x > 0 ， 2- x < 2x ，故 f (x ) < 0 ，不符合题意，故 A 错误；sin (-6x ) sin 6x f ( x ) = f (x ) ，∴ f ( x ) 是偶函数，不符合题意，故 B 错误； 2- x - 2x 2x - 2- xcos (-6 x ) cos 6x f ( x ) = f (x ) ，∴ f ( x ) 是偶函数，不符合题意，故 C 错误； 2x - 2- x 2x - 2- xcos (-6 x ) cos 6x f ( x ) = - f (x ) ，∴ f ( x ) 是奇函数，当 x 从右趋近于 0 时，cos 6x > 0 ，2x > 2- x ， 2- x - 2x 2- x - 2x∴ f ( x ) > 0 ，符合题意，故 D 正确.6. 已知函数 f (x ) = x2+ a ln x ， a > 0 ，若曲线 y = 最小的，则a =（ ）f (x ) 在点(1,1) 处的切线是曲线 y =f (x ) 的所有切线中斜率A ． 12【答案】DB ．1C ．D ．2【详解】因为 f (x ) = x 2 + a ln x ，定义域为(0, +∞) ， 所以 f '(x ) = 2x + a，x由导数的几何意义可知：当 x = 1 时 f '(x ) 取得最小值，因为 a > 0 ， x > 0 ，所以 f '(x ) = 2x + a≥ 2 = 2 ，x 当且仅当 2x = a即 a = 2x 2 时 f '(x ) 取得最小值， x又因为 x = 1 时 f '(x ) 取得最小值，所以 a = 2 ⨯12 = 2 ， 7. 若双曲线C ： y 2 - x 2 = 1与双曲线C ： x 2- y2= 的渐近线相同，则双曲线C 的离心率为（ ）1 3 a 6 91 12 23 + 23 n +1 =15A.102 B.153C.52D.33【答案】B【详解】C y2 x2 3因为双曲线1 ：3-a=1的渐近线方程为y =±x ，a2双曲线C2 ：6-y29=1的渐近线方程为y =±3x ，2又这两双曲线的渐近线相同，所以3=3，解得a = 2 ，a 2所以双曲线C1 的离心率e =.38.对n ∈N * ，设x n 是关于x 的方程nx3 + 2x -n = 0 的实数根，a n = [(n +1)x n ](n = 2, 3,...) ，其中符号[x] 表示不超过x 的最大整数，则a2+a3+a2020 =（）2019A．1011 B．1012 C．2019 D．2020 【答案】A【详解】设函数f (x)=nx3 + 2x -n ，则f '(x)= 3nx2 + 2 ，当n 时正整数时，可得f '(x)> 0 ，则f (x)为增函数，因为当n ≥ 2 时，f (n) =n ⨯ (nn +1)3 + 2 ⨯ (nn +1) -n=n⋅(-n2 +n +1) < 0 ，(n+1)3且f (1)= 2 > 0 ，所以当n ≥ 2 时，方程nx3 + 2x -n = 0 有唯一的实数根x 且x ∈( n,1) ，n n n +1 所以n < (n +1)x n <n +1, a n = [(n +1)x n ] =n ，因此a2+a3+a2020 =1 (2 +3 +4 ++ 2020) =1011.2019 2019二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得0 分．9.某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000 元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500 元，则下面结论中正确的是（）x2aA. 该教师退休前每月储蓄支出 2400 元B. 该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 3 倍C. 该教师退休工资收入为 6000 元月D. 该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少【答案】ACD 【详解】 解：退休前工资收入为 8000 元/ 月，每月储蓄的金额占30% ，则该教师退休前每月储蓄支出8000⨯ 30% = 2400元，故 A 正确；该教师退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少 1500 元，则该教师退休后每月储蓄的金额为 900 元，设该教师退休工资收入为x 元/ 月，则 x 15% = 900 ，即 x = 6000 元/ 月，故 C 正确；该教师退休前的旅行支出为8000 ⨯ 5% = 400 元，退休后的旅行支出为6000⨯15% = 900 元，∴该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 2.25 倍，故 B 错误；该教师退休前的其他支出为8000 ⨯ 20% = 1600 元，退休后的其他支出为6000 ⨯ 25% = 1500 元，∴该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少，故 D 正确． 故选：ACD ．10．已知 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ，则（ ）A ． a + b ≤B ． 1< 2a -b< 22C ．log 2 + log 2 ≥ - 12D ． a 2 - b 2 > -1【答案】ABD 【详解】a 2 +b 2 ≥ 2ab ,∴2(a 2 + b 2 )≥ (a + b )2,∴(a + b )2≤ 2 ，又a > 0,b > 0,∴ a + b ≤ 2, 故A 正确；bab 5 9 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ，∴0 < a < 1, 0 < b < 1,∴ -1 < a - b < 1,∴ 1< 2a -b < 2 ，故B 正确；2 a 2 - b 2 > -b 2 > -1,故D 正确；C 等价于log ≥ - 1 ，即 1 log ab ≥ - 1 , log ab ≥ -1， 2 2 2 2 22等价于 ab ≥ 1 ,但当 a = 3 , b = 4 时，满足条件 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ， ab = 12 < 1,故 C 错误；2 5 5 25 211. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高 精度、高定位、导航、授时服务，2020 年 7 月 31 日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数 f ( x ) = cos x + cos 5x + cos 9x 近似模拟其信号， 则下列结论中正确的是（）A ．函数 f ( x ) 的最小正周期为πB ．函数 f ( x ) 的图象关于点⎛ - π , 0 ⎫对称2 ⎪C. 对任意 x ∈ R ，都有 f '(π - x ) = f '(x ) ⎝ ⎭D. 函数 f '( x ) 的最小值为-3【答案】BCD 【详解】A. 因为 y = cos x , y =cos 5x , y = cos 9x 的周期分别是 2π, 2π, 2π ，其最小公倍数为2π，所以函数函数 f (x ) 的最小 5 9 5 9正周期为2π，故错误；cos (- 5π)cos (- 9π)B. 因为 f (- π) = cos (-π)+ 2 + 2 = 0 ，故正确；2 2 5 9C. f '(x ) = -sin x - sin 5 x -sin 9x = f '(π-x ) ，故正确；D. f '(π)= -sin π- sin 5π- sin 9π = -3 ,故正确； 2 2 2 212.如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AA 1 = AB = 4 ， BC = 2 ，M 、N 分别为棱C 1D 1 ，CC 1 的中点，则下列说法正确的是（）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面 ADM ⊥ 平面CDD 1C 1C ． B 1M 与 BN 所成角60︒D ． BN / / 平面ADM 【答案】BC 【详解】对于 A ，由图显然 AM 、BN 是异面直线，故 A 、M 、N 、B 四点不共面，故 A 错误；对于 B ，由题意 AD ⊥ 平面CDD 1C 1 ， AD ⊂平面 ADM ，故平面 ADM ⊥ 平面CDD 1C 1 ，故 B 正确； 对于 C ，取 CD 的中点 O ，连接 BO 、ON ，可知△BON 为等边三角形，且四边形 BB 1MO 为矩形，BO / / B 1M 所以 B 1M 与 BN 所成角60︒ ，故 C 正确；对于 D ， BN / / 平面 AA 1D 1D ，显然 BN 与平面 ADM 不平行，故 D 错误；三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13.已知幂函数 y = f (x )的图象过点⎛ 2,1 ⎫，则曲线 y = f (x )在点(1,1) 处的切线方程为4 ⎪ ⎝ ⎭【答案】 2x + y - 3 = 0【详解】设 f ( x ) = x α，将⎛ 2,1 ⎫代入， 2α= 1，解得α= -2 ，4 ⎪ 4⎝ ⎭∴ f ( x ) = x -2 ，则 f '( x ) = -2x -3 ，∴ f '(1) = -2 ， 则切线方程为 y -1 = -2(x -1) ，即 2x + y - 3 = 0 . r r r r14.平面内，不共线的向量 a , b 满足| a + b |=| 2a - b |，且| a |=| a - 2b | ，则 a , b 的夹角的余弦值为.【答案】222 2b 2 2 55 k 1x 0 - y 01 + k 21 k2 x 0 - y 01 + k 222 6 6 6 6 43 C C 3 3 0 0 2 0 2 0 0 0 【详解】r r r r r r r r r r r 2解：由| a + b |=| 2a - b | 得| a + b |2 =| 2a - b |2 ⇒ 2a ⋅b = a ，2 由| a |=| a - 2b | ，故| a |2 =| a - 2b |2⇒ a ⋅b = b ，2 2所 以 a = 2b ⇒ a = b ，cos < 2 a ⋅b b 所以 a ,b >= = = = ， 2 a b a b 2 b15.某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这 6 项运动中选出 3 项进行测试，假设他们对这 6 项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有 2 项相同的概率为.1【答案】2【详解】由题意，两人在 6 项运动任选 3 项的选法： C 3C 3= 400种，小明与小华选出 3 项中有 2 项相同的选法： C 2C 1C 1= 180 种， 小明与小华选出 3 项中有 3 项相同的选法： C 3= 20 种，C 2C 1C 1 + C 3 ∴他们选择的结果至少有 2 项相同的概率为 P = 6 4 3 6 6 6= 1， 216.已知圆 M : ( x - x )2+ ( y - y )2= 8，点T (-2, 4) ，从坐标原点O 向圆 M 作两条切线OP ， OQ ，切点分别为 P ， Q ，若切线OP ， OQ 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， k 1k 2 = -1，则 OM 为定值 ，TM 的取值范围为.【答案】4 ⎡2 - 4, 2 + 4⎤⎣ ⎦ 【详解】由题意可知，直线OP : y = k 1 x ， OQ : y = k 2 x ， 因为直线OP ， OQ 与圆 M 相切， 所以= 2 2 ， = 2 ，两边同时平方整理可得 k2 (8 - x 2) + 2k x y + 8 - y 2= 0 ，11 0 0k 2 (8 - x 2 ) + 2k x y + 8 - y 2 = 0 ，5 5 0 00 0 01 20 0nn n nn所以 k ， k 是方程k 2(8 - x 2) + 2kx y + 8 - y2 = 0(k ≠ 0) 的两个不相等的实数根，所以 k 1k 2 8 - y 2= 0 8 - x 2．又 k 1k 2 = -1，8 - y 2所以8 - x 2= -1 ，即 x 2+ y 2= 16 ，则 OM = 4 ；又 TO = = 2 ，根据圆的性质可得，所以 TO - 4 ≤ TM ≤ TO + 4 ，即 2 - 4 ≤ TM ≤ 2 5 + 4 ．四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在① bc = 4 ，② a cos B = 1 ，③ sin A = 2sin B 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC ，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C = 1，c sin A = 2sin C ， .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】若选①，bc ＝4，由于 c sin A ＝2sin C ，利用正弦定理可得 ac ＝2c ，可得 a ＝2，因为 b cos C ＝1，1 可得 cos C ＝ ba 2 +b 2 -c 2＝2abπ，整理可得 2a ＝a 2+b 2﹣c 2，解得 b ＝c ＝2，所以 C ＝ ．3若选②，a cos B ＝1，因为 c sin A ＝2sin C ，由正弦定理可得 ca ＝2c ，解得 a ＝2，1 π 所以 cos B ＝2 ，由 B ∈（0，π），可得 B ＝ 3，又 b cos C ＝1，可得 a cos B ＝b cos C ，由余弦定理可得 a •a 2 + c 2 -b 2 2ac ＝b • a 2 + b 2 - c 2 2abπ ，整理可得b ＝c ，所以 C ＝B ＝ ． 3若选③，sin A ＝2sin B ，由正弦定理可得 a ＝2b ，又 c sin A ＝2sin C ，由正弦定理可得 ca ＝2c ，可得 a ＝2，所以 b ＝1， 又因为 b cos C ＝1，可得 cos C ＝1，又 C ∈（0，π）， 所以这样的 C 不存在，即问题中的三角形不存在．18.已知数列{a }的各项均为正数，记数列{a }的前 n 项和为 S ，数列{a 2 } 的前 n 项和为T ，且3T = S 2 + 2S , n ∈ N *.nnn（1） 求 a 1 的值；x 2+ y 2 0 0 4 + 162 3 3n ＋n+n+n n a （2） 求数列{a n }的通项公式．【详解】（1）由 3T 1＝ S 2＋2S 1，得 3 a 2＝ a 2＋2a 1，即 a 2－a 1＝0.因为 a > 0 ，所以 a = 1 ；11111 1（2）因为 3T n ＝ S 2＋2S n ，① 所以 3T n 1＝ S2＋2S n 1, ② ②－①，得 3 a 2＝ S2－ S 2＋2a n 1，即 3 a 2＝(S n ＋a n 1)2－ S 2 ＋2a n 1.因为a > 0 ， 所以 a n ＋1＝S n ＋1, ③ 所以 a n ＋2＝S n ＋1＋1, ④④－③，得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即 a n ＋2＝2a n ＋1，所以当 n ≥2 时，a n +1a n＝2，又由3T = S 2 + 2S ，得 3(1＋ a 2 )＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即 a 2- 2a = 0 ，2222 22因为 a > 0 ，所以 a = 2 ，所以 a 2＝2，所以对任意的 n ∈N *，都有a n +1= 2 成立， 22 1 n所以数列{a }的通项公式为 a = 2n -1.19.如图，在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AB =， A 1 A = 2， D ， E ， F 分别为线段 AC ， A 1 A ，C 1B 的中点.（1） 证明： EF // 平面 ABC ；（2） 求直线C 1B 与平面 BDE 所成角的正弦值.【详解】（1） 如图，取 BC 的中点G ，连结 AG ， FG .a2 333 3在BCC 1 中，因为 F 为C 1B 的中点，所以 FG //C C ， FG = 1C C .12 1在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， A 1 A //C 1C ， A 1 A = C 1C ，且 E 为 A 1 A 的中点， 所以 FG //EA ， FG = EA . 所以四边形 AEFG 是平行四边形. 所以 EF //AG .因为 EF ⊄ 平面 ABC ， AG ⊂平面 ABC ， 所以 EF // 平面 ABC .（2） 以 D 为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，因为 AB =，所以 BD = 1,所以 D (0, 0, 0) ， B (0,1, 0) ， C ⎛ 3 , 0, 2 ⎫ ， E ⎛ - 3 , 0,1⎫,1 3 ⎪ 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ ⎫ ⎛ ⎫所以 BC 1 = 3 , -1, 2 ⎪ ， DB = (0,1, 0) ， DE = - 3 , 0,1⎪ ， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭设平面 BDE 的一个法向量为n = (a , b , c ) ，3 3 3 3 n∑( i =1nx i- x ) ( y i- y ) 2∑2i =1n2⎧DB ⋅ ⎧b = 0 则⎨ n = 0 ⎪ ，即, ⎩DE ⋅ = 0 ⎨- 3 a + c = 0 n ⎪⎩ 3取 a = 3 ，则c = 1，所以 n = ( 3, 0,1) ，n ⋅ BC 11 + 2所以cos < n , B C 1 >== = 8 ， | n | | BC 1 | 4 ⋅16 3直线C 1B 与平面 BDE 所成角为θ，则θ与< n , BC 1 > 或它的补角互余，所以sin θ= cos < n , BC 1 > =n ⋅ BC 1= . n ⋅ BC 18 20.利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取 20 名同学的胸围 x (cm ) 与肺活量 y (ml ) 的样本，计算平均值 x = 80.5 ， y = 4030 ，并求出线性回归方程为 yˆ = 32.26x + a . 高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70 75 80 85 82 73 77 7385 72肺活量 3700 4600 4000 4300 4400 3400 3200 38004400 3500 胸围70 83 7891 817491 76 10490肺活量 3600450037004100470037004600400047003700（1） 求 a 的值；（2） 求样本 y 与 x 的相关系数 r ，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99% 把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001 )；（3） 将肺活量不低于 4500ml 视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4 名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.∑( x i- x )( y i- y ) (参考公式及数据：b ˆ =i =1，r = ∑( x i- x )i =1∑( x i- x )( y i- y )i =1，≈ 38 ，≈ 2040 .)附：相关性检验的临界值表nn∑( x i - x )i =1202∑ 20 (y - y i )2i =14 44n - 2检验水平0.050.01 160.4680.59017 0.456 0.575 18 0.4440.561 19 0.433 0.549 200.4230.537【详解】（ 1）由于回归直线： yˆ =32.26x +a 过点(80.5，4030)， 所以 a =4030-32.26x 80.5=1433.07.（ 2）假设 H 0：变量 x ，y 不具有线性相关关系， 38所以 r =2040⨯ 32.26≈0.601，由相关性检验临界值表知：r 001=0.561，r =0.601>0.561，所以有 99%的把握认为肺活量的大小与胸围具有线性相关关系.（ 3）从统计表中可知，20 个样本中不低于 4500m /有 5 个，所以全校高一男生大肺活量的概率为 5 = 120 4设从高一年级任取 4 名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为ρ，⎛ 1 ⎫2 ⎛ 3 ⎫227 则 p = C 2=. ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭128 27所以从高一年级任取 4 名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为.12821．如图所示，已知椭圆 x a 2 y 2+ = 1(a > b > 0) 的离心率为 b 22 ，一条准线为直线 x = 2 2222 2 2（1）求椭圆的标准方程；（2）A 为椭圆的左顶点，P 为平面内一点（不在坐标轴上），过点 P 作不过原点的直线 l 交椭圆于 C ，D 两点（均不与点 A 重合），直线 AC ，AD 与直线 OP 分别交于 E ，F 两点，若OE = OF ，证明：点 P 在一条确定的直线上运动. 【详解】（1） 设圆的焦距为 2c .因为椭圆的离心率为 2，一条准线为直线 x = ， 2所以e = c = ， a= ，a 2 c从而 a 2 = 1， c 2= 1 ，从而b 2 = a 2 - c 2= 1.22所以椭圆的标准方程为 x 2 + 2 y 2 = 1 .（2） 因为点 P 不在坐标轴上，所以直线 OP 的斜率存在且不为 0.设直线 CD 的方程为 y = mx + n ，直线 EF 的方程为 y = kx ，设点C (x 1 , mx 1 + n ) ，点 D ( x 2 , mx 2 + n ) ，点 P ( x 0 , y 0 )， 由题设知 A (-1, 0) .因为点 A 、C 不重合，所以直线 AC 的方程为y = mx 1 + n(x +1) . x 1 +1⎧ y = mx 1 + n (x + 1)mx + n 联立⎪ x +1 ，可得点 E 的横坐标 x = 1 . ⎨ 1 ⎪⎩y = kx (k - m )x 1 + k - nE⎩ ⎩ n同理可得点 F 的横坐标 x =mx 2 + n.(k - m )x 2 + k - n因为OE = OF ，所以 x E + x F = 0 ，整理得2m (k - m ) x 1 x 2 + (mk + nk - 2mn ) ( x 1 + x 2 ) + 2n (k - n ) = 0 （*）⎧ y = mx + n 联立⎨x 2 + 2 y 2= 1，可得(2m 2+1) x 2 + 4mnx + 2n 2 -1 = 0 .所以∆ = 4(2m 2 - 2n 2+1)> 0 ， x + x = -4mn ， x x 2n 2-1 = - ，1 2 2m 2 +11 22m 2+1代入（*）式，有 2m (k - m ) (2n 2-1) - (mk + nk - 2mn ) ⋅ 4mn + 2n (2m 2+1)(k - n ) = 0 ，整理得(n - m )(n + m - k ) = 0 .因为直线 CD 不过点 A ，所以 n - m ≠ 0 ，因而 n + m - k = 0 .联立⎧ y = mx + n ，可得(k - m )x = n .⎨y = kx因为直线 CD 不过原点，所以 n ≠ 0 ，因而 k - m ≠ 0 .所以 x 0 =k - m= 1 ，因而点 P 在直线 x = 1 上运动22．设函数 f (x ) = a ⋅ 2x - 2- x (a ∈ R )（1） 若函数 y = f (x ) 的图象关于原点对称，函数 g (x ) = f (x ) + 3，求满足 g (x ) = 0 的 x 的值；20 0（2） 若函数 h (x ) = f (x ) + 4x+ 2 - x 在 x ∈[0,1] 的最大值为-2 ，求实数 a 的值.【详解】（1）∵ f (x ) 的图象关于原点对称，∴ f (-x ) + f (x ) = 0 ，∴ a ⋅ 2- x - 2- x + a ⋅ 2x - 2x = 0 ，即(a - 1) ⋅ (2- x + 2x )= 0 ，所以 a = 1 ；令 g (x ) = 2x - 2- x+ 3= 0 ，2则 2 ⋅ (2x)2+ 3⋅ (2x )- 2 = 0 ，∴ (2x+ 2)⋅(2 ⋅ 2x-1)= 0 ，又 2x > 0 ，∴ x = -1 ，F所以满足g (x0 )= 0 的x0 的值为x0 =-1 .（2）h(x) =a ⋅ 2x - 2-x + 4x + 2-x ，x ∈[0,1]，令2x =t ∈[1, 2] ，h(x) =H (t) =t2+at, t ∈[1, 2] ，对称轴t =-a ，0 2①当1 -a≤3，即a ≥-3 时，2 2Hmax(t) =H (2) = 4 + 2a =-2 ，∴a =-3；②当-a>3，即a <-3 时，2 2Hmax(t) =H (1) = 1+a =-2 ，∴a=-3（舍）；综上：实数a 的值为-3 .高考试题年年在变，但考查的内容和知识点是相对稳定的，解答题的考查内容基本是固定的，取得高分一定有规律可找，基础知识+二级结论+ 技巧模板是实现高分的必经途径，这是众多优秀学生检验了无数遍的真理，抓住核心题型集中归类突破，就能举一反三，不必题海战术.学会对题型的总结反思与解题方法的优化，就会突破瓶颈。
2021年新高考数学全国卷模拟(附参考答案和详解)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（全国卷Ⅰ）数学（适用新高考地区）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数2(2i)-对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合{|3213}A x x =-≤-≤，集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B =（ ）A.(1,2)B.[1,2]C.[1,2)D.(1,2]3.已知向量(,3)k =a ，(1,4)=b ，(2,1)=c ，且(23)-⊥a b c ，则实数k =（ ） A.92-B.0C.3D.1524.使3nx⎛+ ⎝()n +∈N 的展开式中含有常数项的最小的n 为（ ）A.4B.5C.6D.75.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：A.0.35B.0.45C.0.55D.0.656.已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =（ ） A.12-B.1C.2D.127.命题"存在一个无理数，它的平方是有理数"的否定是（ ） A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数8.已知50,log ,lg ,510db b a bc >===，则下列等式一定成立的是（ ）A.d ac =B.a cd =C.c ad =D.d a c =+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）A.甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差10.如果双曲线的离心率51e +=有（ ）A.双曲线221251x =-是黄金双曲线 B.双曲线22151y -=+是黄金双曲线 C.在双曲线22221x y a b-=中，1F 为左焦点，2A 为右顶点，1(0,)B b ，若11290F B A ∠=，则该双曲线是黄金双曲线D.在双曲线22221x y a b-=中，过焦点2F 作实轴的垂线交双曲线于M ，N 两点，O 为坐标原点，若120MON ∠=，则该双曲线是黄金双曲线11.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列4个命题，其中真命题有（ ） A.若m α⊂，n α，则m n B.若m α⊥，n α，则m n ⊥ C.若m α⊥，m β⊥，则αβD.若m α，n α，则m n12.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，有(1)()f x f x +=-，且当[0,1)x ∈时，2()log (1)f x x =+．给出下列命题，其中正确的命题的为（ ）A.(2016)(2017)0f f +-=B.函数()f x 在定义域上是周期为2的周期函数C.直线y x =与函数()f x 的图像有1个交点D.函数()f x 的值域为(1,1)-第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2021届高考高三模拟考试数学试题
2021届高考高三模拟考试数学试题1、已知集合A={x|-2≤x<4}，B={x|-5<x≤3}，则A∩B=（）A、{x|-5<x<4}B、{x|-5<x≤-2}C、{x|-2≤x≤3}D、{x|3≤x<4}答案：C2、“a>1”是“(a-1)(a-2)<0”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件答案：B3、已知变量x，y之间的一组数据如下表：若y关于x的线性回归方程为ŷ=ax+b，则a=（）x。
y3.2.54.35.46.4.5A、0.1B、0.2C、0.35D、0.45答案：D4、已知a，b为不同直线，α,β为不同平面，则下列结论正确的是（）A、XXX⊥α，b⊥a，则b//αB、若a,b∥α，a//β,b//β，则α//βC、若a//α,b⊥β,a//b，则α⊥βD、若α∩β=b,XXXα,a⊥b，则α⊥β答案：C5、高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（）A、15种B、90种C、120种D、180种答案：B6、已知α∈(π,π)，tanα=-3，则sin(α-π/4)等于（）A、-5/24πB、-3/5C、3/5D、5/24π答案：B7、随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益。
假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N（单位：XXX）与时间t（单位：天）满足函数关系N(t)=P(t)P，其中P为t=0时该放射性同位素的含量。
已知t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为-10ln2，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为（）A、20天B、30天C、45天D、60天答案：C8、定义运算⊕：①对∀m∈R，m⊕m=m；②对∀m,n,p∈R，(m⊕n)⊕p=p⊕(mn)+m⊕p+n⊕p。
2021届新高考全国100所名校高考模拟示范卷(一)数学试题(word版,含解析)
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.若,2z i i =-+则z= A.2-iB.1-2iC.-1+2iD.-2+i 2.已知集合2{|30},{2,2}A x x x a B =-+==-,若A∩B={2},则A ∪B=A.{-2,1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,3,2}D.{-2,2}3.62()x x-的展开式的常数项为 A.-120 B.-60 C.120 D.604.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗,并在500名志愿者身上进行了人体注射实验,发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答｡若这些志愿者的某免疫反应蛋白M 的数值X(单位:mg/L)近似服从正态分布2(15,),N σ且X 在区间(10,20)内的人数占总人数的19,25则这些志愿者中免疫反应蛋白M 的数值X 不低于20的人数大约为A.30B.60C.70D.140 5.天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念｡星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,它的光就越暗｡到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念｡天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述｡两颗星的星等与亮度满足12212.5(lg lg )m m E E -=-,其中星等为i m 的星星的亮度为(1,2).i E i =已知"角宿一"的星等是0.97,"水委一"的星等是0.47.“水委一”的亮度是"角宿一"亮度的r 倍,则与r 最接近的是(当|x|较小时,2101 2.3 2.7x x x ≈++)A.1.56B.1.57C.1.58D.1.596.已知圆C:22(3)(3)9x y -++=,直线l:(m+1)x+(2-m)y-3m=0,则当圆心C 到直线l 的距离最大时,直线l 被圆C 所截得的弦长为A.4 .25B .23C .27D7.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,底面ABCD 是梯形,2//,,43AB CD BCD AB π∠==,PD=BC=CD=2,则四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积为A.16πB.18πC.20πD.24π8.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F(1,0),准线为l,过焦点F 的直线交抛物线C 于点A ､B(A 在x 轴上方),且点A 的横坐标为3,D 是y 轴正半轴上一点,O 为坐标原点,∠ODA 的角平分线过AF 的中点,则点D 的坐标为A.(0,2) 53.(0,)2B C.(0,3) .(0,33)D二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡9.已知曲线C:221.x y a b+= A.若C 是双曲线,则ab<0B.若a>0,C 是离心率为2的双曲线,则3b a =- C.若ab>0,则C 是椭圆D.若C 是离心率为12的椭圆,则34b a = 10.已知()cos()(0,0,0)f x A x B A ωϕωϕπ=++>><<,其部分图象如图所示,M ､N 分别为最高点､最低点,则A.A=7B.B=29 .4C πϕ= D.f(11)=32.511.如图,平面α∩平面β=直线l,点A,C ∈α,点B,D ∈β,且A ､B ､C ､D ∉l,点M ､N 分别是线段AB ､CD 的中点｡A.当直线AC 与BD 相交时,交点一定在直线l 上B.当直线AB 与CD 异面时,MN 可能与l 平行C.当A ､B ､C ､D 四点共面且AC//l 时,BD//lD.当M 、N 两点重合时,直线AC 与l 不可能相交12.已知数列{}n a 的通项公式是2,n n a =1a 和2a 之间插入1个数11,x 使1112,,a x a 成等差数列;在2a 和3a 之间插入2个数2122,x x ,使221223,,,a x x a 成等差数列;…;在n a 和1n a +之间插入n 个数12,,,n n n n x x x ,使121,,,,,n nn n n n a x x x a +成等差数列｡这样得到新数列{}:n b 1112212233132334,,,,,,,,,a x a x x a x x x a …,记数列{}n b 的前n 项和为,n S 则836.A a b =B.112132n n n n n n n a x x x a n -++++++=⋅ 38.320C b = 45.6401D S =三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡把答案填在答题卡中的横线上｡13.若向量a =(1,2),b -a =(-2,1),则a ·b =____.14.若函数21()7ln 2f x x x a x =-++在x=2处取极值,则a=____ ,f(x)的极大值为____.15.已知正实数a,b,c 满足22243,a b c +=则2c c a b +的最小值为____. 16.如图,在△ABC 中,,3BAC A π∠=B=3,AC=2,点D 为边BC 上一个动点,将△ABD 沿AD 翻折,使得点B到达B '的位置,且平面AB D '⊥平面ACD.当CD=_____时,B C '到最小值｡四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡17.(本小题满分10分)在3210,9,3a S b ==<-①②③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中｡设n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,满足____2,36nn n a a S b +=+是否存在实数b,使得数列{}n a 成为等差数列?若存在,求出b 和数列{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由｡(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)18.(本小题满分12分)第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查,普查标准时点是2020年11月1日零时,将彻查人口出生变动情况以及房屋情况｡普查对象是普查标准时点在中华人民共和国境内的自然人以及在中华人民共和国境外但未定居的中国公民,不包括在中华人民共和国境内短期停留的境外人员｡普查主要调查人口和住户的基本情况,内容包括:姓名､公民身份证号码､性别､年龄､民族､受教育程度､行业､职业､迁移流动､婚姻生育､死亡､住房情况等｡普查登记方式全程电子化方式普查,由普查员使用手机上门入户登记或由普查对象通过互联网自主填报｡某机构调查了100位居名的普查登记方式,数据统计如下表,部分数据缺失 普查员使用手机上门入户登记 通过互联网自主填报 年龄不超过40岁10 a 年龄超过40岁b 15已知从调查的居民中任取一人,其年龄不超过40岁的概率比其年龄超过40岁的概率大110. (1)求a,b 的值；(2)是否有99%的把握认为年龄与普查登记方式有关?附:22()()()()()n ad bc a b c K d a c b d -=++++其中n=a+b+c+d.P(K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001K 0 3.841 6.635 10.82819.(本小题满分12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知28sin 72cos2.2B C A -+-=(1)求A;(2)若7,a =b+c=5,求BC 边上的高.20.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,∠ACB=90°,1,.AC BC AB AA ==D ､E 分别是1CC 、1BB 的中点.(1)证明:1C E ⊥平面ACB 1；(2)求二面角1C AB D --的余弦值.21.(本小题满分12分)已知12F F 、分别为椭圆C:22184x y +=的左､右焦点,点M 是椭圆C 上异于左､右顶点的一点,过点1F 作12F MF ∠的外角平分线的垂线交2F M 的延长线于P 点.(1)当M 点在椭圆C.上运动时,求P 点的轨迹方程E.(2)设点N(t,0)(t≠0),过点N 作一条斜率存在且不为0的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,点B 关于x 轴的对称点为B '直线AB '交x 轴于点T,O 是坐标原点,求证:|ON|·|OT|为定值.22.(本小题满分12分)已知函数2()ln 1.f x x x =-+(1)求曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若方程f(x)=b 有两个实数根12,,x x 且12,x x <证明:2112.x x b -<-。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2） 求直线 EF 与平面 FCD 所成角的正弦值.
.
21.（12
分）已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的离心率是
2 ，原点到直线 x y 1 的距离等于 2 3 .
2
ab
3
（1）求椭圆 C 的标准方程.
（2）已知点 Q 0,3 ，若椭圆 C
上总存在两个点
A,
B
关于直线
y
x
m
对称，且
非年轻人
合计
经常使用共享单车 100
20
120
不常使用共享单车 60
20
80
合计
160
40
200
于是 a 100,b 20, c 60, d 20 ∴K 2 200 (100 20 60 20)2 2.083 2.072 120 80 160 40
设 DD1 2AB CD 4 ,
a
x1
x2
2
2x1
x2
3 x1
x2
ln
x1x2
5 4a
1
ln(2a)
.
设
h(a)
5 4a
1
ln(2a)
0
a
1 8
，
h(a)
5 4a 4a2
0
，故
h(a)
在
0,
1 8
上单调递增，故
h(a)
h
1 8
11
2 ln
2
，
所以 t 11 2 ln 2 ，所以 t 的取值范围是 (, 11 2 ln 2) .
使用共享单车情况与年龄列联表
年轻人
非年轻人
合计
经常使用单车用户
120
不常使用单车用户
80
合计
160
40
200
（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取 3 人，设其中经常使用共享 单车的“非年轻人”人数为随机变量 X ，求 X 的分布列与期望.
（参考数据：独立性检验界值表
P K 2 k0
龄有关？
1-5BABDA 6.-8：CDB 9.：BC 10.：ABD 11.：BD 12：BC
13.8
14.：-1
15.：900
16.： 0 a 1 ; (, 11 2 ln 2)
8
16.解析：由题可得
f
(x)
2ax2
x
x
1 x
0
，因为函数
f
(x)
ax 2
x
ln
x
有两个不同的极值点
x1, x2
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
3.已知向量
AB
(2,
2),
AC
(t,1)
，若
AB
BC
2
，则
t
(
)
D．第四象限
A.5
B.4
C.3
D. 2
4.已知函数
f
x 对任意
x ,y R
，都有
f
(x
y)
f
(x)
f
(y)
，且
f
(1)
1 2
n
，则 i0
1 f (i)
(
)
A.
1
1 2n
B.
2
1 2n
C. 2n 1
2a
c
4 sin
A
2 sin
2π 3
A
5sin A 3 cos A 2 7 sin( A ) （其中 tan 3 ） 0 A 2π
5
3
∴2a c 的最大值为 2 7
18.（1）对任意的
n
N* ，
Sn1
3Sn
2
，则
Sn1 1 Sn 1
3Sn Sn
3 1
3
且
S1
1
3，
所以，数列Sn 1 是以 3 为首项，以 3 为公比的等比数列；
，
△ 1 8a 0
所以方程
2ax2
x
1
0
有两个不相等的正实数根，于是有
x1
x2
1 2a
0 ,解得 0
a
1 8
.
x1 x2
1 2a
0
若不等式 f x1 f x2 2x1 x2 t 有解，所以 t f x1 f x2 2x1 x2 max
由于曲线
Cn
:
x2
18.（12 分）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1 2, Sn1 3Sn 2, n N* . （1）证明：数列 Sn 1 为等比数列； （2）已知曲线 Cn : x2 19 an y2 1 若 Cn 为椭圆，求 n 的值；
19.（12 分）如图, 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AD BC, AB / /CD,CD 2AB DD1 ,
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
其中， K 2
n(ad bc)2
,n a b c d
(a b)(c d )(a c)(b d )
5.024
6.635
E, F
分别为
A1B,
AD1
的中点，
ABC
=
2π 3
.（1）
证明： EF
/ / 平面 ABCD
2 e2
,
e2 8
(e 2
,
)
三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13.在等差数列 an 中，若 a1 a2 4,a5 a6 6 ，则 a9 a10 _________.
14. sin 40(tan10 3) _________. 15.2020 年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某 市决定派 5 名党员和 3 名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人
1 x
,
x 0 ，g(x) f (x) x a ，若 g x 恰有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是(
)
ln x, x 0
A. a 1
B. a 0
C. 1 a 0
D. a 1
8.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十
天干”；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”地支又与十二生肖“鼠、
0,
0),
C
(0,
4,
0)
，
uuur EF =
3 2
,
3 2
,
0
,
uuur DF =
3 2
,
1 2
,
2
,
uuur FC =
3 2
,
7 2
, 2
设平面
FCD
的法向量为
m
(a,b, c)
,
由 DF m
0
即
3 2
a
1b 2
2c
0
解得
b 0
FC m 0
3 a 7 b 2c 0 22
17.答案：（1）a2 b2 (a c)c 即 b2 a2 c2 ac
b2
a2
c2
2ac
cos B
cos
B
1 B (0, 2
ห้องสมุดไป่ตู้
π)
∴B
π 3
a （2）由 sin A
3 3
c sin C
可得，
a
2 sin
A, c
2sin C
2
∴2a
c
4 sin
A
2 sin
C
∵A+C
2 3
π
C
2 3
π
A
直线 x 1对称 10. 函 数 f (x) 2sin(x )( 0, π) 的 部 分 图 像 如 图 所
示，则
下列结论正确的是( )
A.
f
x
2 sin
1 3
x
π 6
B. 若把函数 f x 的图像向左平移 π 个单位，则所得函数是奇
2
C. 若把 f x 的横坐标缩短为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到
2021 新高考数学模拟试题及答案
1.已知集合 A {x | y x2 2x 3},B {2,0,2,3} ， M A B ，则 M 的子集共有( )
A.3 个
B.4 个
C.7 个
D.8 个
2..已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z 2 3i 1 ，则 z 在复平面内对应的点所在的象限为( )
3QA
QB
28
，求实数
m 的取值范围．
20.（12 分）共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2020 年该市共享单车用户年 龄等级分布如图 1 所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图 2 所示.若将共享单车用户按照年龄 分为“年轻人”（20 岁-39 岁）和“非年轻人”（19 岁及以下或者 40 岁及以上）两类，将一周内使用 的次数为 6 次或 6 次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为 5 次或不足 5 次的称为“不常使用 单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有 5 是“年轻人”.
19
an
y2
1
是椭圆，则
19 19
an an
0 1
，即
2 3n1
2
3n1
19 18
，
∵n N* ，解得 n 1 或 2；
19.答案：（1）连接 A1D, BD ,易知侧面 ADD1A1 为矩形，∵F 为 AD1 的中点,∴F 为 A1D 的中点.