(完整版)13级统计专业《随机过程》期末试卷B
随机过程期末复习试题
期末复习试题一、填空题1. 假设()0.4,P A =()0.7P A B =， 若A 与B 互不相容，则()________P B =； 若A 与B 相互独立，则()________P B =.2.设0<P (A )<1,0<P (B )<11=+)|()|(B A P B A P ,则A 与B 满足什么关系__________.3．设A 与B 为两个事件，()0.9P A =，()0.3P AB =，则()P AB =___________.4. 设()0.5P A =，()0.3P B =()0.2P B A =，则()P B A ⋃=___________. 5．设随机变量X 的分布率为{}7aP X k ==，（ 1, 2, ,7k =）则常数a =_______.6．设随机变量X 的密度函数为, 01,()0, ax x f x <<⎧=⎨⎩其它.则常数a =_________7. 设X 和Y 是两个随机变量，且3(0,0)7P X Y ≥≥=，4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=， 则{max(,)0}P X Y ≥= ______________8. 设随机变量()Xπλ,且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=___________.9．设随机变量(,)XB n p 的二项分布，且()4,()3,E X D X ==则n =___，p =___10. 设X 服从2(,)N μσ，随σ增大，概率{}P X μσ-<的值________________. 11. 设X 服从(1,4)N ，则2()E X 为 ________________.12．设随机变量X 和Y 独立，且都服从(,1)N μ，若{1}0.5P X Y +≤=，则μ为____13．设随机变量X 和Y 独立，且X 服从(1,2)N ，Y 服从(0,1)N ，则23Z X Y =-+服从_________14. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则由切比雪夫不等式，有{||6}P X Y +≥≤_______________.15. 某人不断地掷骰子．设n X 表示前n 次抛掷中出现的最大点数，那么随机序列{},1n X n ≥的状态空间是____________________.16．设计数过程{(),0}N t t ≥是强度为λ的泊松过程，令00t =，则均值函数为_____，方差函数为_____.17．设{(),0}W t t ≥是以2σ为参数的维纳过程，则0, ()t W t ∀>___________________.18．已知1{,}n X n T ∈为马尔可夫链，12{,,}I a a =为状态空间，对于120,r t t t m ≤<<<<（1,,i t m m n T +∈），都有1122{,,,,}r r m n t i t i i i m i p X a X a X a X a X a +======______二、简单计算题1. 已知1()()(),4P A P B P C ===1()0, ()(),8P AC P AB P BC ===求,,A B C 至少有一个发生的概率2．设X 的密度函数为, 0 1,()0, .ax x f x <<⎧=⎨⎩其他试求：（1）常数a ；（2）1{0}2P X ≤≤．3．设X 的密度函数为121, 0,()20, .x e x f x -⎧>⎪=⎨⎪⎩其他求以a 为未知数的一元二次方程2240a Xa ++=有实根的概率。
随机过程考试真题
1、设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。
（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
2、设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量； 且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。
令R t W t X +=)()(，求随机过程{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。
3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。
求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。
4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3.007.08.02.0007.03.0P（1）求两步转移概率矩阵)2(P及当初始分布为0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P时，经两步转移后处于状态2的概率。
（2）求马尔可夫链的平稳分布。
5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010007.03.0000000100004.06.0003.04.03.0P求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。
6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。
7、考虑一个从底层启动上升的电梯。
以i N 记在i 第层进入电梯的人数。
假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。
在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯，1ijj ip>=∑。
令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。
（1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么（3）j O 与k O 的联合分布是什么8、一质点在1，2，3点上作随机游动。
随机过程2012B'卷及答案
河北科技大学2012——2013 学年第一学期《应用随机过程》试卷（B′）学院理学院班级姓名学号一．概念简答题（每题5分，共40分）1. 写出ARMA（p,q）模型的定义2. 写出卡尔曼滤波的算法公式3. 一书亭用邮寄订阅销售杂志，订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程，每位顾客订阅1年，2年，3年的概率分别为111,,236，彼此如何订阅是相互独立的，每订阅一年，店主即获利5元，设()Y t是[0,)t时段内，店主从订阅中所获得总收入。
试求：（1）[()]E Y t（即[0,)t时段内总收入的平均收入）；（2）[()]D Y t 。
4. 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为2424()109X w S w w w +=++，试求其自相关函数()X R τ。
5. 设某设备的使用期限为10年，在前5年平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年维修一次，试求在使用期限内只维修过一次的概率。
6. 设()X t 为二阶矩过程，212()12(,)t tX R t t e --=，若()()()d Y t X t X t dt=+，试求12(,)Y R t t 。
7. 随机过程2{()(),,(,)}X t A t t T A N ϕμσ=∈ 是否为正态过程，试求其有限维分布的协方差阵。
8. 什么是随机过程，随机序列？ 二．综合题（每题10分，共60分）1. 设{(),0}X n n ≥是具有3个状态1,2,3的齐次马尔可夫链，一步转移概率矩阵为1/41/21/41/21/41/401/43/4P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，初始分布为 123(0){(0)1}1/2,(0)1/3,(0)1/6p P X p p =====（1） 试求{(0)1,(2)3};P X X == （2） 试求{(2)2};P X = （3） 此链是否具有遍历性？ （4） 试求其平稳分布。
2. 设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为P=0.50.40.10.30.40.30.20.30.5⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求其相应的极限分布。
随机过程习题与答案
西 南 交 通 大 学本科生考试试卷B课程名称 随 机 过 程二零零三年二零零四年第一学期 考试日期班级 学号 姓名 成绩一顾客来到服务台要求服务当服务台中的服务员都正在为别的顾客服务时来到的顾客就要排队等待服务顾客的到达是随机的每个顾客所需服务时间也是随机的若令为t 时刻的队长)(t X 即正在被服务的顾客和等待服务的顾客的总数目Y (t )为t 时刻来到的顾客所需等待时间}),({},),({T t t Y T t t X ∈∈是随机过程吗为什么二试写出随机过程),( ) sin()(+∞−∞∈Θ+=t t A t X ω的任意两个样本函数并画出其图形 1若A 是在(上均匀分布的随机变量)1 ,1−−ω在(0, 2π)上服从均匀分布而Θ为常数 2若A 服从上均匀分布)1 ,1(−Θ服从(0, 2π)上均匀分布而ω为常数三一书亭用邮寄订阅销售杂志订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程每位顾客订阅1年2年3年的概率分别为0.20.30.5彼此如何订阅是相互独立的每订阅一年店主即获利5元设Y (t )是[0, t )时段内店主从订阅中所获得总收入试求 1)]([t Y E 即[0, t )时段内总收入的平均收入2)]([t Y D四在电报信号传输中信号是由不同的电流符号给出C C −,且对于任意的t电路中电流X (t )具有概率分布2121)(i p C Ct X −因电流的发送有一个任意的持续时间电流变换符号的时间是随机的设X (t )在[0, t )内变量的次数N (t )为强度λ的泊松过程试讨论{的平稳性}0),(≥t tX五若每隔一分钟观察噪声电压以X (n )表示第n分钟观察噪声电压所得结果则X (n )为一随机变量}1),({≥n n X 为一随机过程此过程是马氏过程吗为什么六一质点在圆周上作随机游动圆周上共有N 格质点以概率p 顺时针游动一格以概率逆时针移动一格p q −=1试用马氏链描述游动过程并确定状态空间及转移概率矩阵七设一齐次马氏链的概率转移图如下图}0),({≥n n X 且已知其初始分布为31})0({==i XP 3,2,1=i21试求1 二步转移概率矩阵2 3)3(,2)1({==X X P }2)5(,=X参考解答一顾客来到服务台要求服务当服务台中的服务员都正在为别的顾客服务时来到的顾客就要排队等待服务顾客的到达是随机的每个顾客所需服务时间也是随机的若令)(t X 为时刻的队长t 即正在被服务的顾客和等待服务的顾客的总数目Y (t )为t 时刻来到的顾客所需等待时间}),({},),({T t Y T t t X ∈∈是随机过程吗t 为什么解答若令X (t )为t 时刻的队长,则固定t 时, X (t )为一随机变量,其可能取值为0,1,2,…, 其参数空间为表示t 时刻的状态,故状态空间为因此为一随机过程}0|{≥=t t T ,n t X =)(},2,1,0{L =E , }0),({≥t t X若令Y (t )为t 时刻来到的顾客所需等待的时间, 则固定t 时, Y (t ) 为一随机变量,其可能取值为即其参数空间为为t 时刻的状态,故状态空间为因此亦为一随机过程0≥t , }0|{≥=t t T ,s t X =)(}0|{≥=s s E ,}0),({≥t t Y 二试写出.(1) 若A 是(-1, 1)上均匀分布, 为常数解答()sin()()X t A t t R ω=+Θ∈的任意两个样本函数,ωΘ图1取 12A =±得随机过程的两个样本函数图形如图111(sin(x t ω=+Θ2))21()sin()2t x t t ω=−+Θ(2)若 服为常Θ从(0,2),,U A πω数 解答 ()12,ππ=2()sin()cos()2sin()sin()X t A tA t X t A t A t πωωωπωΘ=+==+=−取三一书亭用邮寄订阅销售杂志订阅的顾客数是强度的一个泊松过程图2每为6位顾客订阅1年2年3年的概率分别为0.20.30.5彼此如何订阅是相互独立的每订阅一年店主即获利5元设Y (t [0t )时段内)是, 店主从订阅中所获得总收入试求1)]([t Y E 即[0, )时段内总收入的平均收入t2)]([t YD解答(1) 法一 设N(t)为订阅杂志的顾客数, 为订阅j 年的顾客数()j N t 123()()()()()N t N t N t N t N t ⇒=++且 (6)t π故由已知π123232323()3),()(2),()()()[0,)()10()15()()()10()15()531021550()2()100()225()2531002225500N t t N t t N t t Y t t t N t N t EY t t EN t EN t t t t tDY t t DN t DN t t t t tππ++∴=++=×+×+==++=⋅+⋅+=111服从服从服从均为泊松过程记为内店主的总收入则Y(t )=5N 5EN 5D N法二 设店主从第n 个订阅者处获利X(n)则5 10 15X(n) p k 1/2 1/3 1/6X(n)相互独且 立 EX(n)=50/6, DX(n)=500/6()()()N t Y t X n =∑总获利100221()[(()/())](()/())(())5050(())(())5066(2)()(()())[[(()())/()]]500(())5006n k k EY t E E Y t N t E Y t N t k P N t k kP N t k E N t tDY t E Y t EY t E E Y t EY t N t E N t t =∞=∞==========−=−==∑∑四在电报信号传输中信号是由不同的电流符号给出C C −,且对于任意的t电路中电流X (t )具有概率分布2121)(ip C Ct X − 因电流的发送有一个任意的持续时间电流变换符号的时间是随机的 设X (t )在[0, t )内变量的次数N (t )为强度λ的泊松过程试讨论}0),({≥t t X的平稳性解答1对于任意的tEX (t)=02 +∞<=22)(c t EX3对于 时21t t <})()({})()({)()(),(221222122121c t X t X P c c t X t X P c t X t EX t t R X −=−===})({})({122122奇数偶数=−−=−=t t N P c t t N P c )(0121220)(21221212)!12())(()!2())((t t k k k t t k e k t t c e k t t c −−+∞=++∞=−−∑∑+−−−=λλλλ )(!))((122)(22)(01221212t t R c e c e k t t c X t t t t k k −==−−=−−−−+∞=∑λλλ类似地, 对于时, 有12t t <)(),(21221t t R c t t R X X −=因此,合并两式即得, )(),(122222112t t R c ec t t R X t t X −==−−λ与无关,可见,t }0),({≥t t X为宽平稳过程五 若每隔一分钟观察噪声电压以X (n )表示第n 分钟观察噪声电压所得结果则X (n )为一随机变量}1),({≥n n X 为一随机过程此过程是马氏过程吗为什么解答: 由于第n 分钟观察噪声电压所得结果与其它各次观察噪声电压所得结果互不影响,显然为独立随机序列}1),({≥n nX 因此对于任意的正整数, 的条件联合分布函数为 n n n n m <<<<L 21)(),(,),(),(21n X n X n X n X m L })(,)(|)({),,,,,,,|,(112121m m m n x n X x n X x n X P n n n x x x n x F ≤≤≤=L L L })(,)({})(,)(,)({1111m m m m x n X x n X P x n X x n X x n X P ≤≤≤≤≤=L L})({})({})({})({})({})({})({})({1111m m m m m m m m x n X P x n X P x n X P x n X P x n X P x n X P x n X P x n X P ≤≤≤=≤≤≤≤≤=L L},|,{})(|)({})({})(,)({m m m m m m m m n x n x F x n X x n X P x n X P x n X x n X P =≤≤=≤≤≤=满足马尔科夫性,因此此过程是马氏过程六 一质点在圆周上作随机游动圆周上共有N 格质点以概率p 顺时针游动一格以概率逆时针移动一格p q −=1试用马氏链描述游动过程并确定状态空间及转移概率矩阵解答 将N 个格点分别记为1,2,…..,N如图排列 用X(n)表示n 时质点的位置显然它只与 X(n-1)时的位置有关与X(n-1)以前的位置无关满足马尔科夫性,因此为马氏过程}1),({≥n n X 其状态空间为E={ 1, 2, . . . . . .,N},参数空间为}1{≥=n T 故 为一马氏链}1),({≥n n X 其一步转移概率为((1)/())111ij p P X k j X k i p j i q j i i N o =+===+⎧⎪==−<<⎨⎪⎩其它1((1)/()1)2((1)/())11j N j p P X k j X k p j q j N o p P X k j X k N p j q j N o =+===⎧⎪==⎨⎪⎩=+===⎧⎪==−⎨⎪⎩其它其它七设一齐次马氏链{的概率转移图如下图}0),(≥n n X 且已知其初始分布为31})0({==i XP 3,2,1=i21试求1二步转移概率矩阵2}2)5(,=X 3)3(,2)1({==X XP解答1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0012/12/102/12/10P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/104/14/12/14/14/12/10012/12/102/12/100012/12/102/12/102P 2}2)5(,3)3(,2)1({===X X X P}3)3(|2)5({}2)1(|3)3({}2)1({======X X P X X P X P2412141]02121[31])0([)2(31)2(23231=××++==∑=p p p p i i i西 南 交 通 大 学本科生考试试卷A课程名称随 机 过 程二零零二年二零零三年第一学期 考试日期 2003.1.6班级 学号 姓名 成绩 一10分设质点M 在一直线上移动每单位时间移动一次且只能在整数点上移动质点M 的移动是随机的试建立描述这一随机现象的随机过程 二20分试写出随机过程),( ) sin()(+∞−∞∈Θ+=t t A t X ω的任意两个样本函数并画出其图形1若A 是上均匀分布的随机变量)1 ,1(−ω, Θ均为常数2若Θ服从(0, 2π)上的均匀分布A , ω为常数三10分试求随机过程的一维分布函数} , cos )({R t t A t X ∈=ω一维概率密度函数自相关函数与协方差函数其中A 服从标准正态分布N (0,1)四20分设在[0, t )时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是3=λ人/分的泊松过程试求1在5分钟内有7位乘客到达售票处的概率2第3位乘客在3分钟内到达售票处的概率 五10分设)},( sin cos )({+∞−∞∈+=t t B t A t X ωωω为常数为一随机过程其中A 与B 是互不相关随机变量且 0)()(==B E A E2)()(σ==B D A D 试问此随机过程是否平稳过程为什么六20分设在每次试验中事件A 发生的概率为)10(<<p p 现将这项试验独立地重复进行多次以X (n )表示到第n 次为止事件A 发生的次数1试问{是何种随机过程},2,1),(L =n n X2试写出{的一维概率分布},2,1),(L =n n X七10分一只老鼠放在迷宫内见下图每隔单位时间老鼠在迷宫中移动一次随机地通过格子也就是说如果有R 条通路供离开那么选取其中任一条通路的概率为R1试用马氏链描述老鼠的移动规律给出它的状态空间和一步转移矩阵参考解答:一10分设质点M 在一直线上移动每单位时间移动一次且只能在整数点上移动质点M 的移动是随机的试建立描述这一随机现象的随机过程 解答设Y 为第n 个单位时刻质点M 所在位置, 而令随机变量n⎩⎨⎧−=向左移动一个整数单位质点向右移动一个整数单位质点M M X i 11L ,2,1=i 由于质点M 的移动是随机的, 故 21}1{}1{=−===X P X P 则在时刻 t=n 时, 质点所在的位置为M 1nn i i Y X ==∑,易知参数集为状态集为, 因此}1,{≥=n n T ,},2,1,0{L ±±=E {,1}n Y n ≥成为描述上述随机现象的随机过程二试写出. (1) 若A 是(-1, 1)上均匀分布, 为常数解答()sin()()X t A t t R ω=+Θ∈的任意两个样本函数,ωΘ图1取 12A =±得随机过程的两个样本函数图形如图111(sin(x t ω=+Θ2))21()sin()2t x t t ω=−+Θ 见图1(2)若 服为常Θ从(0,2),,U A πω数解答 ()12,2()sin()cos()2sin()sin()Xt A t A t X t A t A t πππωωωπωΘ=取=+==+=− 见图2{()cos ,}X t A t t R ωω=∈是一常数三试求随机过程的一维分布函数一维概率其中A 服从标准正态分布N (0, 1)密度函数自相关函数与自协方差函数 解答在一个给定时刻t 0随机变量X (t )为A 的性函数0线而A 服从标准正态分布N (0, 1)由概率论知(t X 0)服从正态分布0(0,(cos ))N t ω2故一维率密度函数为概一维分布函数为自相关函数为12=((),())R X t X t 212(cos cos E A t t ωω)])t t DA A ωω=+212cos cos ([E 因为所以自协方差函数1,0,DA EA ==12cos cos t t ωω= 12121(2),())((),())()()X X C X t X t R X t X t m t m t =−0 所以 Co 2t X 2ωω=(因为,()X t R m t ∀∈=))(),((v 1t X 1t t cos cos 四设在[0,t )时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是3=λ人/分的泊松过程试求1在5分钟内有7位乘客到达售票处的概率2第3位乘在客3分钟内到达售票处的概率 解答设N(t)为[0t 内到达的乘客数则 N(t)(1) (3)t π773515(35((5)7N ==)15)7!7!P e e −×−×= 153315(3)((3)3)!n k k n P P N ek ττ∞−=≤=≥=∑表第个乘客到达的时间()21000 cos t 0cos 2t ωω⎧⎫⎛⎞⎪≠⎬⎪⎭1(,)f x t =()200 cos t 0cos 2dx t ω⎧⎫⎛⎞⎪≠⎬⎪⎭101(,)xF x t ω−∞=∫(2)。
13级统计专业《随机过程》期末试卷B
.数学与统计学院2013级统计学专业（本科）《应用随机过程》期末试卷（B ）2015 — 2016 学年 第一学期 考试时间120 分钟 满分100分一、判断题（每题2分，满分10分）1.布朗运动和排队模型都属于随机过程。
（ ）2.如果随机过程{}(),X t t T ∈是严平稳过程，则它也是宽平稳过程。
（ ）3.Poisson 过程是具有独立增量和平稳增量的计数过程。
（ ）4.i 为零常返状态⇔0lim )(=∞→n iin p。
（ ） 5.如果状态i 为非常返状态，且是非周期的，则i 是遍历状态。
（ ）二、填空题（每空2分，满分20分）1.设{}(),X t t T ∈是平稳过程，则[()]E X t = 。
2.乘客以10人/小时的平均速率到达售票处，则[0,t]内到达的乘客数{}()N t 是强度为 的Poisson 过程。
3.自相关函数(,)X R s t = 。
4.更新过程的时间间隔 ,,21X X 是分布函数为F 的独立同分布序列。
如果允许1X 服从其他分布G ，则称由 ,,21X X 确定的计数过程是 。
5. 有“开”、“关”两种状态的更新过程，称作 。
6.有一类随机过程，它具备 ，即要确定过程将来的状态，只需知道它现在的状态，而不需要知道它过去的状态。
7.设Markov 链一步转移概率矩阵为()ij p P =，n 步转移矩阵为())()(n ij n p P =，则二者之间的关系为 。
8.在Markov 链中，若()11n ii ii n f f ∞===∑，则称状态i 为 。
9.更新过程中有()N t n ≥⇔ 。
10.若状态j i ,同属一类，则两状态的周期)()(j d i d 与的关系是 。
三、计算题（每题10分，满分30分）1.假设某天文台观测到的流行数是一个泊松过程，根据以往资料统计为每小时平均观测到5颗流星。
试求：上午8:00 -12:00期间，该天文台没有观察到流星的概率？观察到3颗的概率？2.设顾客在[0,t)内进入商场的人数是一泊松过程，平均每10min 进入25人。
(完整版)12-13随机过程试题B卷答案
专业：
院（系）：
= E[X (t )X (t)]E[Y (t )Y (t)] = RX ( )RY ( ) , 与 t 无关。
E | Z (t) |2 = RZ (0) = RX (0)RY (0) < 因此 Z (t) 是平稳过程。
7 设 N(t) 为 Poisson 过程，对 s t ，证明在t 时刻到达 k 次的条件下 s 时刻达到次数的概率，即
N (t)
N (t)
E(W (t)) E{ (t k )} E{E[ (t k ) | N(t)]}
k 1
k 1
N (t)
n
E[ (t k ) | N(t) n] nt E[k | N(t) n]
k 1
k 1
由定理在 N(t)=n 条件下 n 个k 的联合分布等价与[0,t]上 n 个相互独立服从均匀分布的随机变量
(s) s 1 1 s 1 s2 , 解得消亡概率为 s 1 42 4
得分 评阅人
四、综合题：（共 2 题，每题 12 分）
12．叙述马氏链状态的划分（5 分！）。应用相关理论讨论下例的各个状态。
设 {X n , n 0} 是马氏链，其状态空间 E {0,1, 2,L }，转移概率为
p0,0
p0,0
1 2
0, 从而
0
是非周期的，因此
0
是遍历的。因为整个状态空间 E
是连通的，所以，
对任意的状态i ，它都是遍历的。
13．用数学语言描述布朗运动的主要性质，并对一维布朗运动 Bt 计算 E(Bt Bs ) ， E(Bt4 ) ，
解：布朗运动有很多好性质比如 布朗运动是时齐的独立增量过程，也是时齐的马氏过程。
h0
lim
(完整版)随机过程题库1
随机过程综合练习题一、填空题(每空3 分)第一章1．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g(t)，则X1 X2 X n 的特征函数是。
2．E E(X Y) 。
3．X 的特征函数为g(t)，Y aX b，则Y的特征函数为。
4．条件期望E(X Y)是的函数，(是or不是)随机变量。
5．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g i(t)，则X1 X 2 X n 的特征函数是。
6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性。
第二章7．宽平稳过程是指协方差函数只与有关。
8．在独立重复试验中，若每次试验时事件 A 发生的概率为p(0 p 1)，以X(n)记进行到n次试验为止 A 发生的次数，则｛X(n),n 0,1,2, ｝是过程。
9．正交增量过程满足的条件是。
10．正交增量过程的协方差函数C X (s,t) 。
第三章11．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0 的齐次泊松过程，其均值函数为；方差函数为。
12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1， 2 ，3且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是。
13．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0的齐次泊松过程，( t)n e n! 14．n15．240000 16．复合；17．71 4eP X(t s) X(s) n14．设{X(t), t ≥0} 是具有参数0的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n的数学期望15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均 2 次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000 元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额。
16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t) 相互独立，则在[0 ，t]内到达汽车总站的乘客总数是(复合or 非齐次)泊松过程．17．设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过 3 人的概率是．第四章18．无限制随机游动各状态的周期是。
《随机过程》期末试题
《随机信号》期末试题学号：姓名：计算题和解答题（注：答题纸上作答，请写出必要的步骤，直接写出答案不得分）1、(10分)设随机过程(),(0,)X t Vt b t =+∈∞，b 为常数，V 是服从正态分布N(0,1)的随机变量。
求X(t)的一维概率密度、均值和相关函数。
2、(15分)设随机过程1nn j j Y X ==∑，其中X j (j=1,2,…,n)是相互独立的随机变量，且P{Xj=1}=p ，P{Xj=0}=1-p=q ，求{Yn ，n=1,2,…}的均值函数和协方差函数。
3、(15分)设电话总机在(0,t]内接到电话呼叫数X(t)是具有强度（每分钟）为λ的泊松过程，求：（1）两分钟内接到3次呼叫的概率；（2）“第二分钟内收到第三次呼叫”的概率；4、(15分)某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加，在8时顾客平均到达率为5人/时，11时到达率达最高峰20人/时。
从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人。
假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8:30-9:30问无顾客到达商店的概率是多少?在这段时间内到达商店的顾客数的数学期望是多少?5、(15分)设马尔科夫链的状态空间为I={1，2，3，4，5，6}，状态转移图如下所示，写出转移概率矩阵。
6、(15分)设马尔科夫链的转移概率矩阵分别为（1）11221233⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）112233000p q p q q p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算1112,,1,2,3n n f f n =7、(15分)设S(t)是一周期为T 的函数，θ在(0,T )上均匀分布，称X(t)=S(t+θ)为随机相位周期过程，讨论其平稳性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学与统计学院2013级统计学专业（本科）
《应用随机过程》期末试卷（B ）
2015 — 2016 学年 第一学期 考试时间120 分钟 满分100分
一、判断题（每题2分，满分10分）
1.布朗运动和排队模型都属于随机过程。
（ ）
2.如果随机过程{}(),X t t T ∈是严平稳过程，则它也是宽平稳过程。
（ ）
3.Poisson 过程是具有独立增量和平稳增量的计数过程。
（ ）
4.i 为零常返状态⇔0lim )
(=∞
→n ii
n p。
（ ） 5.如果状态i 为非常返状态，且是非周期的，则i 是遍历状态。
（ ）
二、填空题（每空2分，满分20分）
1.设{}(),X t t T ∈是平稳过程，则[()]E X t = 。
2.乘客以10人/小时的平均速率到达售票处，则[0,t]内到达的乘客数{}()N t 是强度为 的Poisson 过程。
3.自相关函数(,)X R s t = 。
4.更新过程的时间间隔Λ,,21X X 是分布函数为F 的独立同分布序列。
如果允许1X 服从其他分布G ，则称由Λ,,21X X 确定的计数过程是 。
5. 有“开”、“关”两种状态的更新过程，称作 。
6.有一类随机过程，它具备 ，即要确定过程将来的状态，只需知道它现在的状态，而不需要知道它过去的状态。
7.设Markov 链一步转移概率矩阵为()ij p P =，n 步转移矩阵为()
)
()(n ij n p P =，则二者
之间的关系为 。
8.在Markov 链中，若()1
1n ii ii n f f ∞
===∑，则称状态i 为 。
9.更新过程中有()N t n ≥⇔ 。
10.若状态j i ,同属一类，则两状态的周期)()(j d i d 与的关系是 。
三、计算题（每题10分，满分30分）
1.假设某天文台观测到的流行数是一个泊松过程，根据以往资料统计为每小时平均观测到5颗流星。
试求：上午8:00 -12:00期间，该天文台没有观察到流星的概率？观察到3颗的概率？
2.设顾客在[0,t)内进入商场的人数是一泊松过程，平均每10min 进入25人。
再设每位顾客购物的概率为0.2，而每位顾客是否购物相互独立 ，且与进入商场的顾客数相互独立。
令)(t X 表示[0,t)时段内在该商场购物的顾客人数。
(1)求一天在该商场购物的平均顾客数； (2)相邻两购物顾客的购物时间间隔的分布。
学院 专业 级 班 姓名 学号
3.某控制器用一节电池供电，设电池的寿命2~(25,2)(1,2,)i X N i =L ，电池失效
时需要去仓库领取，领取新电池的时间~(0,1)(1,2,)i Y U i =L 。
求长时间工作时，控制器更换电池的速率。
四、计算题（每题10分，满分20分）
1. 设{}114i P X ==，{}3
24
i P X ==，求{(2)}P N k =。
（10分）
2. 设{}(),1X n n ≥为齐次Markov 链，状态空间{}1,2,3,4S =,其转移概率为
124411
1
1,1,,2,33
ii ii ii P P P P P i +-====== 其余为0，试求： （1）从状态3经过两步到达状态3的概率；（5分） （2）从状态2经过四步达到状态4的概率。
（5分）
学院 专业 级 班 姓名 学号
五、综合题（每题10分，满分20分）
1.设 Markov 链的状态空间为{
}4,3,2,1=S ，其一步转移概率矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=02
10
2
10323100001002121P （1）画出状态转移图；（4分） （2）对状态进行分类。
（6分）
2.设齐次马氏链{}(),1X n n ≥的状态空间{}1,2,3S =，其一步转移概率为
1
1022110221102
2
P ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
（1）判断此Markov 链是否具有遍历性；（5分） （2）若具有遍历性，求出极限分布。
（5分）
学院 专业 级 班 姓名 学号。