福建省福州市2019—2020学年度第一学期高三期末质量检测理科数学试卷-含答案

准考证号 姓名 .（在此卷上答题无效）绝密★启用前2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）试题（完卷时间120分钟；满分150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅰ卷3至4页．满分150分. 注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅰ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数()1i 1i 2z ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,则z =A ．5B ．102C ．52D ．5242. 已知集合{}|02A x x x =≤或≥，{}2|20B x x x =--≤，则A ．AB B ．B AC ．A B =∅D ．A B =R3. 执行如图所示的程序框图，若输入的,a b 分别为4,2,则输出的n =A ．6B ．5C ．4D ．34. 已知向量(2,),(,2)λλ==a b ,则“2λ=”是“//(2)-a a b ”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5. 若5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-,则0a =A ．32-B ．2-C ．1D ．326. 若实数,a b 满足201,a b a ＜＜＜＜且()22log ,log ,log ,a a a m b n b p b ===则,,m n p 的大小关系为 A ．m p n ＞＞B ．p n m ＞＞C ．n p m ＞＞D ．p m n ＞＞7. 若2cos21sin2x x =+，则tan x =A ．1-B ．13C ．1-或13D ．1-或13或38. 若,x y 满足约束条件31,933,x y x y --⎧⎨-+⎩≤≤≤≤则z x y =+的最小值为A ．1B ．3-C ．5-D ．6-9. 把函数()sin cos f x x x =+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则A ．()2g x x =B ．()32g x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭C ．()1521g x x π⎛⎫=+ ⎪6⎝⎭ D ．()1328g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 10. 已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接BE FB EF ,,，点H 为BF 的中点，有下述四个结论： ①DE BF ⊥；②EF 与CH 所成角为60︒；③EC ⊥平面DBF ； ④BF 与平面ACFE 所成角为45︒． 其中所有正确结论的编号是 A ．①② B ．①②③C ．①③④D ．①②③④11. 已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，若E 上点A 满足122AF AF =，且向量12,AF AF 夹角的取值范围为,32π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦，则E 的离心率取值范围是A ．B ．⎤⎦C ．[]3,5D ．[]7,912. 已知函数21()2,()f x x ax g x x=+=-，若存在点()()()()1122,,,A x f x B x g x ，使得直线AB 与两曲线()y f x =和()y g x =都相切，当实数a 取最小值时，12x x +=A ．BCD ．绝密★启用前2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）试题第Ⅰ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 函数,0,()e 1,0,xx x f x x ⎧=⎨-⎩＜≥则()(2)1f f +-= ． 14. 设抛物线22y px =上的三个点()12323,,1,,,32A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到该抛物线的焦点距离分别为123,,d d d ．若123,,d d d 中的最大值为3，则p 的值为 ． 15. 已知n S 为数列{}n a 前n 项和，若152a =，且()122n n a a +-=，则21S = ． 16. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 ；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分）在ABC △中，1,7AC BC ==． （1）若150A =︒，求cos B ；（2）D 为AB 边上一点，且22BD AD CD ==，求ABC △的面积．18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足12211+=+++n nn b a c a c a c ,求数列{}n c 的前2020项的和．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ．（2）试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30︒．20.（本小题满分12分）已知圆22:43x y O +=，椭圆2222:1x y C a b +=（0a b ＞＞）的短轴长等于圆O 半径的6倍，C 的离心率为22． （1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于,A B 两点，且与圆O 相切，证明：AOB △为直角三角形．21.（本小题满分12分）已知函数()2cos 1.f x x ax =+- （1）当12a =时，证明：()0f x ；（2）若()f x 在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为5,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求C 的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(， l 与曲线C 的交点为,A B ，求11MA MB+的值．23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知函数1()212f x x x =-++的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若,,a b c 为正实数，且a b c m ++=，证明：22213a b c ++≥．2019－2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

除第16题外，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．D 3．C 4．A 5．D 6．B 7．C8．C9．A10．B11．B12．A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．2e 2-14．315．8316三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．【命题意图】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，任意三角形的面积，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解析】解法一：（1）在ABC △中，由正弦定理及题设得sin sin AC BC B A=，故1sin B =， ································································ 3分 解得sinB =····················································································· 4分又030B ︒︒＜＜，所以cos B ==······················································ 6分（2）设AD CD x ==，则2BD x =． 在ABC △中，由余弦定理得， 2`222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即27916cos x x A =+-，① ··········································································· 7分在等腰ACD △中，有112cos 2ACA AD x ==，② ···················································· 8分联立①②，解得1x =或1x =-（舍去）． ························································· 9分 所以ACD △为等边三角形，所以60A =︒，···················································· 11分所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A =⨯⨯=⨯⨯⨯︒=△．··································· 12分解法二：（1）同解法一． ············································································· 6分（2）设AD x =，则,2,CD x BD x == 因为ADC BDC ∠=π-∠，所以BDC ADC ∠-=∠cos cos ， ·········································································· 7分由余弦定理得，得22222472142x x x x x +--=-， ·········································································· 8分 所以21x =，解得1x =或1x =-（舍去）．······················································ 9分 所以ACD △为等边三角形，所以60A =︒，···················································· 11分所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A =⨯⨯=⨯⨯⨯︒=△．··································· 12分18.【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算. 【解答】(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ， ·································································· 1分 所以22111112361628,a a a a ++=++解得1 2.a = ································································································ 2分 2.n a n ∴= ································································································· 3分 设等比数列{}n b 的公比为q ，所以342282,4b a q b a ==== ········································ 4分 又2224,422.n n n b a b -==∴=⨯= ····································································· 5分 (2)由（1）知，2,2.n n n a n b == 因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++⋅⋅⋅⋅++= ① 当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --++⋅⋅⋅+= ② ···························································· 6分 由①-②得，2n n nc a =,即12n n c n +=⋅, ································································ 7分 又当1n =时，31122c a b ==不满足上式,18,1,2, 2.n n n c n n +=⎧∴=⎨⋅≥⎩···················································································· 8分 数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯2342021412223220202=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ·············· 9分设2342020202120201222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ③，则34520212022202021222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ④，由③-④得：234202120222020222220202T -=+++⋅⋅⋅+-⨯ ··································· 10分2202020222(12)2020212-=-⨯-2022420192=--⨯ ································································· 11分 所以20222020201924T =⨯+,所以2020S = 202220204201928T +=⨯+. ··························································· 12分19.【命题意图】本题考查空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直的证明，二面角等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力和空间想象能力.考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.【解析】解法一：（1）因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥. ··························································································· 1分 因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥， 又因为PAAB A =，所以BC ⊥平面PAB . ····················································· 2分 因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥. ··························································································· 3分 因为PA AB =，E 为线段PB 的中点，所以AE PB ⊥， ························································································· 4分 又因为PBBC B =，所以AE ⊥平面.PBC ··················································································· 5分 又因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC . ·········································································· 6分 （2）因为PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方形ABCD 的边长为2，则()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,0,1A B C D P E ， ······································································································· 7分 所以()()()1,0,1,2,2,2,0,2,2.AE PC PD ==-=- 设点F 的坐标为()()2,,002,λλ≤≤所以()2,,0.AF λ= 设()111,,x y z =n 为平面AEF 的法向量， 则0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以11110,20,x z x y λ+=⎧⎨+=⎩ 取12y =，则(),2,λλ=-n .……………………8分 设()222,,x y z =m 为平面PCD 的法向量， 则0,0,PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 所以222220,0,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩。