2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷(理科)(三)(有答案解析)
2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷（理科）（三）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合，集合，则A. B. 2， C. D.2.命题“，”的否定为A. ，B. ，C. ，D. ，3.已知复数，则A. B. C. D.4.已知向量，，，且，则实数A. B. 0 C. 1 D. 任意实数5.已知，且，三个数、、的大小关系是A. B.C. D.6.不等式的解集为，则的展开式中常数项为A. B. C. D.7.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D. 38.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A. B. C. D.9.山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁10.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，O为坐标原点，以为直径的圆O与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P、Q，点B为圆O与y轴正半轴的交点，若，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.11.已知定义域为R的函数，对任意有是函数的导函数，若为奇函数，则满足不等式的x的取值范围是A. B. C. D.12.已知a，，，则当取最小值时，的值为A. 2B.C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.不等式组所表示的平面区域的面积为______．14.设数列的前n项和为，若，则______．15.在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，，则a的值为．16.已知直线：，：及圆M：，设直线，分别与圆M交于点A，B和点C，D，现随机向圆M内抛掷一粒黄豆，则黄豆落入四边形ACBD内的概率为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.如图，在四边形ABCD中，，，，．Ⅰ当的面积最大时，求的面积；Ⅱ若，求AB．18.李华同学将参加英语考试，英语听力考试与笔试分开进行．英语听力一共五题，每题2分，李华同学做对一题的概率为，而后又进行了笔试，李华同学在做阅读共4题时，没有看懂文章，李华同学十分纠结，决定用丢色子的方法选出答案，若丢出1，2，5选A，丢出3选B，丢出6选D已知4道题的正确答案依次为A，C，D，求李华同学听力的6分的概率；记随机变量李华做阅读E时做对的题数为，求的分布列与期望．19.设数列的前n项和，已知，，．求数列的通项公式；是否对一切正整数n，有？说明理由．20.已知椭圆的离心率为，且过点．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过点P作两直线与分别交椭圆C于A，B两点，若直线与的斜率互为相反数，求的最大值．21.已知定义域为的函数满足其中是的导函数，，．Ⅰ求函数的最大值；Ⅱ若对于任意正实数a，b都有成立，求x的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．Ⅰ求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；Ⅱ若直线l被曲线C所截得的弦长为，求a的值；23.已知函数．Ⅰ解不等式；Ⅱ若不等式对恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：1，，，．故选：A．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的值域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：命题“，”是特称命题，命题的否定为：，．故选：A．根据命题“，”是全称命题，其否定为特称命题，将“”改为“”，““改为“”即可得答案．本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．3.答案：B解析：解：，，，，故选：B．先求出共轭复数，再求出，再代入所求式子，利用复数代数形式的乘除运算化简即可．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．4.答案：B解析：解：向量，，，且，，则实数，故选：B．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．5.答案：A解析：解：设函数，，，在上是增函数，，；令，，且，则；同理，设，，，在上是增函数，，；令，，且，，即；综上，．故选：A．构造函数，，利用导数判断的单调性，得出，令得；同理，设，，得出，即得．本题考查了构造函数的应用问题，也考查了利用导数判断函数的单调性以及利用函数的单调性比较大小的应用问题，是综合性题目．6.答案：D解析：解：不等式的解集为，和2是的两个实数根，，，即，，故，即，它的展开式的通项公式为，令，求得不合题意，故展开式中常数项为，故选：D．由题意求得a的值，再利用二项展开式的通项公式，求得的展开式中常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．7.答案：C解析：解：抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，可得：，可得，所以，因为，所以双曲线的离心率为，故选：C．求出抛物线的焦点坐标，渐近线方程，利用已知条件，列出关系式，求解双曲线的离心率即可．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力是中档题．8.答案：B解析：解：由循环体的算法功能可知，该程序求的是数列的前10项的和．，所以．故选：B．由循环体的算法功能可知，该程序求的是数列的前10项的和，采用裂项相消法可求解．本题考查了程序框图及裂项法求数列的和的问题，要注意首项和项数不要算错．属于中档题．9.答案：A解析：解：若甲说的是真话，则乙，丙说的也是真话，矛盾；则甲说的是假话，不是丁，则丙说的也是假话，乙丙说的是真话，因为乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”，且不是丁，所以是甲盗的．故选：A．假设甲说的话是真话，推出来矛盾，则甲说的话是假话，然后判断其他人说的话即可．本题考查简单的合情推理，属于基础题．10.答案：D解析：【分析】本题考查双曲线的简单几何性质，离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．联立圆与双曲线的方程，求得P的坐标，，化简即可求得双曲线的离心率．【解答】解：，，双曲线的一条渐近线方程为，则，由题意可知：以线段为直径的圆的方程，联立，解得，，，，即，，，解得，故选：D．11.答案：A解析：解：令，又，则，函数在R上单调递增．为奇函数，，．不等式，即的解集为：．故选：A．令，根据，可得，可得函数在R上单调性．利用单调性即可得出不等式的解集．本题考查了利用导数研究函数的单调性、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：由得，，等号成立时，即，此时故选：C．由已知可利用基本不等式进行配凑即可求解．本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是应用条件的配凑．属于基础题．13.答案：8解析：解：不等式组等价于或，画出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示；计算阴影部分的面积为．故答案为：8．不等式组等价于或，画出不等式组表示的平面区域，计算它的面积即可．本题考查了二元一次不等式组表示平面区域的问题，也考查了转化与数形结合思想，是基础题．14.答案：1008解析：解：由题意，可知当n为奇数时，设，，则，数列的奇数项是常数列．．当n为偶数时，设，，则，当，，即时，，当，，即时，，数列的偶数项为，5，，9，，，，，，，．．故答案为：1008．本题根据通项公式中正弦函数的性质可先分奇数项与偶数项分别分析，数列的奇数项是常数列，偶数项经过代入计算后又分为4的倍数项和非4的倍数项进行分析，再分别计算出前2018项中奇数项与偶数项分别的和，最后相加即可得到结果．本题主要考查数列的三角函数的综合问题．考查了正弦函数的性质，分类讨论思想，转化与化归思想的应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．15.答案：8解析：【分析】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由，，可得利用，化为，又，解得b，由余弦定理可得：即可得出．【解答】解：，，，，化为，又，解得，，由余弦定理可得：．解得．故答案为8．16.答案：解析：解：直线：，：及圆M：，圆M：；，且两直线的交点为恰为圆M的圆心，所以ACBD为正方形，且对角线AB为圆的直径4，即正方形ACBD边长为．现随机向圆M内抛掷一粒黄豆，则黄豆落入四边形ACBD内的概率为：，故答案为：．由题可得，且两直线的交点为恰为圆M的圆心，把问题转化为正方形的面积与圆的面积之比即可．本题主要考查几何概型，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据求解．17.答案：解：Ⅰ由知当时，最大，此时，，此时为等腰直角三角形；Ⅱ，由余弦定理所以，解析：Ⅰ根据题意选择的面积公式，由于面积最大，可求角，然后求的面积；Ⅱ选择合理的余弦定理，求AC，再求AB．本题考查解三角形，注意公式的合理选择，属于中等题．18.答案：解：根据题意，听力一共五题，每题2分，李华同学做对一题的概率为，则听力得6分的概率为；由题意，随机变量的可能取值为0，1，2，3，4；则，，，，；则的分布列为：01234 P的期望值为．解析：每题2分，做对一题的概率为，得6分即做对3道题，利用，计算即可；由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，再写出的分布列，求出期望值值．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是难题．19.答案：解：，，当时，，由，得，，，，数列是以首项为1，公差为1的等差数列．，，当时，上式显然成立．，．对一切正整数n，有．证明：当时，，可得，由，可得，即有，则当时，不等式成立；检验，2时，不等式也成立，综上可得对一切正整数n，有．解析：运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；对一切正整数n，有考虑当时，，再由裂项相消求和，即可得证．本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．20.答案：解：Ⅰ由题意有：，解得，椭圆C的方程为：；Ⅱ设直线AP为，则直线BP为，联立方程有：，，则，同理可得：，．所以．解析：Ⅰ根据题意，列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，从而得到椭圆C的方程；Ⅱ设直线AP为，则直线BP为，联立直线AP与椭圆方程，利用韦达定理求出点A的坐标，同理求出点B的坐标，再利用基本不等式即可求出的最大值．本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21.答案：解：Ⅰ，所以在上单调递增，在上单调递减，．Ⅱ，等号成立时即，由题由Ⅰ，得，又得，单调递减，所以式等价于，即．解析：Ⅰ对求导，并且把已知代入可得：，利用其单调性即可得出的最大值．Ⅱ两次利用基本不等式的性质可得，等号成立时即，由题，由Ⅰ，得进而得出函数单调递减，即可得出x的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：Ⅰ，曲线C：，直线l：，Ⅱ圆心为到直线l的距离，圆C：的半径为，直线l被曲线C所截得的弦长，解得．解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ即为，，即，，解得或，不等式的解集为；Ⅱ即恒成立，由时等号成立，可知，解得，或，即实数m的取值范围为．解析：Ⅰ由得，两边平方后，化为一元二次不等式，解出即可；Ⅱ问题即为恒成立，利用绝对值不等式的性质可得，解出即可．本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式性质的运用，考查不等式的恒成立问题，考查分离变量思想，属于基础题．。
2020年重庆市高考数学模拟试卷(理科)(6月份)
2020年重庆市高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选一择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|31}A x x =-<„，2{|()}B x y lg x x ==-，则(A B =I ) A ．(0，1]B ．(0,1)C ．[0，1]D ．[3-，1)2．（5分）在复平面内，复数z 对应点(,)Z x y ，若||||z i z i -=+，则( ) A ．0y =B ．0y =，[0x ∈，1]C ．0x =D ．0x =，[0y ∈，1]3．（5分）命题:p x N ∀∈，|2|3x +…的否定为( ) A ．x N ∀∈，|2|3x +< B ．x N ∀∉，|2|3x +< C ．x N ∃∈，|2|3x +…D ．x N ∃∈，|2|3x +<4．（5分）已知 2.122312log ,(),()225a b c -===，则( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b a c <<5．（5分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若27927a a a ++=，且89S S =，则(d = )A ．3-B ．1-C ．1D ．36．（5分）若随机变量X 服从正态分布(N μ，2)(0)σσ>，则(||)0.6806P X μσ-≈„，(||2)0.9544P X μσ-≈„，(||3)0.9974P X μσ-≈„．已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布(10,100)N ，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为() A ．159B ．46C ．23D ．137．（5分）已知向量(1,2),(3,4)a b =-=r r ，若向量c r 与a r 共线，且c r在b r ，则||(c =r)A ．1B ．2CD ．58．（5分）设α，β是空间中的两个平面，l ，m 是两条直线，则使得//αβ成立的一个充分条件是( )A ．l α⊂，m β⊂，//l mB ．l m ⊥，//l α，m β⊥C ．l α⊂，m α⊂，//l β，//m βD ．//l m ，l α⊥，m β⊥9．（5分）音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术，明代的律学家朱载堉创建了十二平均律，并把十二平均律计算得十分精确，与当今的十二平均律完全相同，其方法是将一个八度音程（即相邻的两个具有相同名称的音之间，如图中88键标准钢琴键盘的一部分中，c 到1c 便是一个八度音程）均分为十二等分的音律，如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是c ，d ，e ，f ，g ，a ，b ，则多出来的5个音符为#c （读做“升c ” )，#d ，#f ，#g ，#a ；12音阶为：c ，#c ，d ，#d ，e ，f ．#f ，g ，#g ，a ，#a ，b ，相邻音阶的频率之比为121:2．如图，则键盘c 和d 的频率之比为2121:(2)即61:2，键盘e 和f 的频率之比为121:2，键盘c 和1c 的频率之比为1:2，由此可知，图中的键盘1b 和2f 的频率之比为( )A ．32B ．2C 32D 210．（5分）已知函数2()sin 2cos 2cos sin sin f x x x ϕϕϕ=+-，若对任意x R ∈，5()()6f x f x π=-，则实数ϕ中的取值可以是( ) A ．3π-B ．6π-C ．6π D ．3π 11．（5分）已知点(2,0)Q -与抛物线22(0)y px p =>，过抛物线焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，若3AB BP =u u u r u u u r，且直线QA 的斜率为1，则(p = )A ．2B ．4C ．222+D ．4212．（5分）已知2(2,1),(,0),,3A B C D 四点均在函数2()log ax f x x b=+的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD 的面积是( ) A ．265B ．263C ．525D ．523二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）直线2y x =-与圆22450x y x ++-=交于A ，B 两点，则||AB = ． 14．（5分）曲线2()sin (1)f x x a x =+-在点(0，(0))f 处的切线方程为3y x b =-+，则a b += ．15．（5分）已知25()(21)()x x a x a R -+-∈的展开式中各项系数之和为1-，则展开式中x 的系数为 ．16．（5分）已知ABC ∆的三边长a ，b ，c 成等差数列，且222105a b c ++=，则b 的取值范围是 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且4n S ，13n S +，22n S +成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足10b =，11n n b b +-=，设,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}nc 的前2n 项和．18．（12分）某项数学竞赛考试共四道题，考察内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增，已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：假设学生甲每次考试各题的得分相互独立．（1）若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；（2）学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1、2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X 的分布列．19．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB BC ==，D ，E 分别为1AA ，1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）若直线BE 与平面11AA B B 所成角为30︒，求二面角C BD E --的大小．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，将其左、右焦点和短轴的两个端点顺次连接得到一个面积为4的正方形． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于P ，Q 两点（均不在y 轴上），点(0,)2mA -，若直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，且OPQ ∆6O 为坐标原点），求直线l 的方程．21．（12分）已知函数21(),2x f x x ae lnx a R =+-∈． （1）若12x =是函数()f x 的极值点，求a 的值； （2）当1a …时，证明：13()28f x ln >+． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (1sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数），直线l 经过点(2,0)且倾斜角为α，02πα<<，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过原点O 作直线l 的垂线1l ，垂足为P ，1l 交曲线C 于另一点B ，当α变化时，求ABP ∆的面积的最大值及相应的α的值． [选修4-5：不等式选讲]（10分）。
2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷(理科)(二)(含解析)
2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{1, 2, 3, 4}，B＝{x|x2<6}，则A∩B＝（）A.{1}B.{1, 2}C.{1, 2, 3}D.{1, 2, 3, 4}2.已知复数z1=1−i2+i ，z2=11−2i，则z1−z2的虚部为（）A.−1B.0C.1D.23.已知函数f(x)＝2x，则函数f（f(x)）的值域是（）A.(0, +∞)B.(1, +∞)C.[1, +∞)D.R4.已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式中不一定成立的是（）A.a+c>b+dB.a−d>b−cC.ac >bdD.√ac>√bd5.己知命题p:∀x>0，lgx<lnx，q:∃x>0，x2<√x，则下列命题中真命题是（）A.p∧qB.p∧(￢q)C.p∨qD.p∨(￢q)6.(x−√x)7的展开式中x的系数为（）A.560B.1120C.−35D.2807.历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林•梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2p−1（p是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22−1＝3，23−1＝7，25−1＝31，27−1＝127，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数．已知第10个梅森数为289−1，则第10个梅森数的位数为（参考数据：lg2≈0.301）（）A.25B.29C.27D.288.若函数f(x)=sin2x2+2cos2x+ax存在单调递减区间，则实数a的取值范團是（）A.a≥1B.a≥√5C.a<1D.a<√59.若不等式组{x+y≤1x−y≥−1y≥0，所表示的平面区域被直线x+y＝z分成面积相等的两部分；则z＝（）A.12B.√22C.√2−1D.2√2−110.函数f(x)＝Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, φ∈(−π, 0)的部分图象如图所示，要得到函数y＝Asinωx的图象，只需将函数f(x)的图象（）A.向左平移π12B.向左平移π6C.向右平移π12D.向右平移π611.如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（）A.12B.44C.58D.7612.如图，F I ，F 2是双曲线C:x 2a 2−y 23=1(a >0)的左、右焦点，点P 是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线F 2P 与y 轴的正半轴交于点A ，△APF 1的内切圆与边PF 1切于点Q ，且|PQ|＝4，则双曲线C 的离心率为（ ）A.2B.√72C.2√33D.√194二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.脱贫攻坚是一项历史性工程，精准脱贫是习近平总书记给扶贫工作的一剂良方．重庆市贫困人口分布相对集中，截止目前，渝东北地区贫困户占全市贫困户48%，渝东南地区贫困户占全市贫困户32%，为精准了解重庆市贫困户现状，“脱贫攻坚”课题组拟深入到其中25户贫困户家中调研，若按地区采用分层抽样的方法分配被调研的贫困户，课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是________．在等腰梯形ABCD 中，DC →=2AB →，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，记DA →=a ，DC →=b →，若用a →，b →表示DF →，则DF →=________．若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为________．设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n −2(n ∈N ∗)，若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n+n．（1）证明：{a n−1}为等比数列；（2）设b n=log√2|a n−1|，若不等式1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋯+1b n b n+1<t对∀n∈N∗恒成立，求t的最小值．为做好创建国家生态文明单位的需要，某地甲、乙两大型企业决定先从本企业的所有员工中随机抽取8名员工，对自己所在企业的生态文明建设状况进行自我内部的评分调查（满分10，被抽取的员工的评分结果如表：（1）若分别从甲、乙两企业被抽取的8名员工中各抽取1名，在已知两人中至少一人评分不低于80分的条件下，求抽到的甲企业员工评分低于80分的概率；（2）用样本的频率分布估计总体的概率分布，若从甲企业的所有员工中，再随机抽取4名员工进行评分细节调查，记抽取的这4名员工中评分不低于90分的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．如图，在四边形ABCD中，A为锐角，2cosAsin(A+C)=√3sin(C−π6)．（1）求A+C；（2）设△ABD、△CBD的外接圆半径分别为r1，r2，若1r1+1r2≤mDB恒成立，求实数m的最小值．已知函数f(x)＝aln(x+1)+x2−ax，a≠0．（1）当a>0时，求f(x)的单调区间（2）若存在x∈(−1, +∞)使得f(x)<a+1成立，求a的取值范围．已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P为抛物线C上一点，|PF|＝4，O为坐标原点，∠OFP＝120∘．（1）求抛物线C的方程；（2）设Q为抛物线C的准线上一点，过点F且垂直于OQ的直线交抛物线C于A，B两点记△QAB，△OAB的面积分别为S1，S2，求1S2−1S1的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=−1+ty=2−t（t为参数），以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P(−1, 2)，直线l与曲线C相交于AB两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)＝|x+1|+|2x−1|．（1）解不等式f(x)≤2；（2）若f(x)≥3a2+b2对任意x∈R恒成立，求a+b的取值范围．2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{1, 2, 3, 4}，B＝{x|x2<6}，则A∩B＝（）A.{1}B.{1, 2}C.{1, 2, 3}D.{1, 2, 3, 4}【解答】∵集合A＝{1, 2, 3, 4}，B＝{x|x2<6}＝{x|−√6<x<√6}，∴A∩B＝{1, 2}．2.已知复数z1=1−i2+i ，z2=11−2i，则z1−z2的虚部为（）A.−1B.0C.1D.2【解答】∵z1=1−i2+i =(1−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−35i，z2=11−2i =1+2i(1−2i)(1+2i)=15+25i，∴z1−z2=15−35i−15−25i=−i，∴z1−z2的虚部为−1．3.已知函数f(x)＝2x，则函数f（f(x)）的值域是（）A.(0, +∞)B.(1, +∞)C.[1, +∞)D.R【解答】由指数函数的性质可知，函数f(x)＝2x的值域为(0, +∞)，令t＝2x，则t>0，∴f（f(x)）＝f(t)＝2t>20＝1，即所求函数的值域为(1, +∞)．4.已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式中不一定成立的是（）A.a+c>b+dB.a−d>b−cC.ac >bdD.√ac>√bd【解答】A．∵a>b>0，c>d>0，∴a+c>b+d，故A成立；B ．∵c >d >0，∴−d >−c ，又a >b >0，∴a −d >b −c ，故B 成立；C ．由a >b >0，c >d >0，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，则ac=bd ，故C 不一定成立；D ．∵a >b >0，c >d >0，∴ac >bd >0，∴√ac >√bd ．5.己知命题p:∀x >0，lgx <lnx ，q:∃x >0，x 2<√x ，则下列命题中真命题是（ ） A.p ∧q B.p ∧(￢q) C.p ∨q D.p ∨(￢q)【解答】对于命题p ：当x ＝1时，lgx ＝lnx ＝0， 所以命题p:∀x >0，lgx <lnx ，为假命题， 对于命题q ：当x =12时，x 2=14<√x =√22， 所以命题q:∃x >0，x 2<√x ，为真命题．所以p ∧q 为假命题，p ∧(￢q)为假命题，p ∨q 为真命题，p ∨(￢q)为假命题． 6.(x −√x)7的展开式中x 的系数为（ ） A.560 B.1120 C.−35 D.280【解答】 (x −√x)7的展开式的通项公式为T r+1=C 7r (−2)r x 7−32r ，则令7−3r 2=1，求得r ＝4，可得x 的系数为C 74⋅⋅(−2)4＝560，7.历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林•梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2p −1（p 是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22−1＝3，23−1＝7，25−1＝31，27−1＝127，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数．已知第10个梅森数为289−1，则第10个梅森数的位数为（参考数据：lg2≈0.301）（ ） A.25 B.29 C.27 D.28【解答】lg(289−1)≈89lg2≈26.789，故289−1≈1026.789，故第10个梅森数的位数为27，8.若函数f(x)=sin2x2+2cos2x+ax存在单调递减区间，则实数a的取值范團是（）A.a≥1B.a≥√5C.a<1D.a<√5【解答】由题意可得，f′(x)＝cos2x−2sin2x+a<0有解，则a<2sin2x−cos2x=√5sin(2x+φ)有解，即a<[√5sin(2x+φ)]max，所以a<√5．9.若不等式组{x+y≤1x−y≥−1y≥0，所表示的平面区域被直线x+y＝z分成面积相等的两部分；则z＝（）A.12B.√22C.√2−1D.2√2−1【解答】由图可知，x+y＝z将可行域划分为两块区域，{x+y=zx−y=−1⇒{x=z−12y=z+12⇒D(z−12, z+12)其中AE＝z−(−1)＝z+1；∴三角形ADE部分的面积等于△ABC的12；即S=12(z+1)⋅z+12=12⇒z=√2−1（负值舍）．10.函数f(x)＝Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, φ∈(−π, 0)的部分图象如图所示，要得到函数y＝Asinωx的图象，只需将函数f(x)的图象（）A.向左平移π12B.向左平移π6C.向右平移π12D.向右平移π6【解答】由函数f(x)＝Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, −π<φ<0)的部分图象，可得A＝2，由f(0)＝1，f(2π3)＝−2可得，ω＝2，φ=−π3，∴f(x)＝2cos(2x−π3)＝2sin(2x+π6)＝2sin[2(x+π12)]，故可将函数y＝f(x)的图象向右平移π12个单位长度得到y＝2sin2x的图象．11.如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（）A.12B.44C.58D.76【解答】根据题意，分4种情况讨论：若尾数为1：则前三位的数字可能为027，036，045，共C21⋅A22⋅3=12，还可能为234，有A33=6种；若尾数为3：则前三位的数字可能为016，025，共C21⋅A22⋅2=8，还可能为124，有A33=6种；若尾数为5：则前三位的数字可能为014，023，045，共C21⋅A22⋅2=8；若尾数为7：则前三位的数字可能为012，共C21⋅A22=4．综上所述，共有12+6+8+6+8+4＝44种；12.如图，F I，F2是双曲线C:x 2a −y23=1(a>0)的左、右焦点，点P是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于点A，△APF1的内切圆与边PF1切于点Q，且|PQ|＝4，则双曲线C的离心率为（）A.2B.√72C.2√33D.√194【解答】PQ ＝PF 1−F 1Q ＝PF 1−F 1M ＝PF 1−NF 2＝PF 1−(PF 2+PQ) ⇒PQ =12(PF 1−PF 2)=a ，∴a ＝4，b =√3，∴c =√19， 所以双曲线的离心率为：e =√194． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.脱贫攻坚是一项历史性工程，精准脱贫是习近平总书记给扶贫工作的一剂良方．重庆市贫困人口分布相对集中，截止目前，渝东北地区贫困户占全市贫困户48%，渝东南地区贫困户占全市贫困户32%，为精准了解重庆市贫困户现状，“脱贫攻坚”课题组拟深入到其中25户贫困户家中调研，若按地区采用分层抽样的方法分配被调研的贫困户，课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是________． 【解答】其它地区贫困户占的比例为1−48%−32%＝20%，故课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是25×20%＝5户，在等腰梯形ABCD 中，DC →=2AB →，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，记DA →=a ，DC →=b →，若用a →，b →表示DF →，则DF →=________． 【解答】DF →=12DB →+12DC →=12(DA →+AB →)+12DC →=34DC →+12DA →．若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为________． 【解答】设切点为(x 0, lnx 0+1)，则切线为y =1x 0(x −x 0)+lnx 0+1=1x 0x +lnx 0，所以1x 0=a ，lnx 0＝b ，则ab =lnx 0x 0，令g(x)=lnx x，所以g′(x)=1−lnx x 2，所以g(x)在(0, e)上单调递增，在(e, +∞)上单调递减， 则g(x)max =g(e)=1e ，即ab 的最大值为1e ，设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n −2(n ∈N ∗)，若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是________． 【解答】a n+1−a n =a n 2+a n −2=(a n +2)(a n −1)，若a n <−2，则a n+1>a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于−2；若a n ＝−2，则a n+1＝a n ，该数列为常数列，即a n ＝2． 综上所述，λ≥−2． ∴λ的最小值是−2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n +n ． （1）证明：{a n −1}为等比数列； （2）设b n =log √2|a n −1|，若不等式1b 1b 2+1b2b 3+1b3b 4+⋯+1bn b n+1<t 对∀n ∈N ∗恒成立，求t 的最小值． 【解答】a n ＝S n −S n−1＝2a n −2a n−1−1， ⇒a n −1＝2(a n−1−1)(n ≥2)， 所以：{a n −1}为等比数列，公比为2． 令n ＝1，则有S 1＝2a 1+1⇒a 1＝−1，所以a n −1=(a 1−1)⋅2n−1=−2n ，所以a n =1−2n ， 令b n =log √2|a n −1|=log √22n =2n ， 令c n =1bn b n+1=14(1n −1n+1)，所以1b1b 2+1b2b 3+⋯+1bn b n+1=14(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=14(1−1n+1)<14， 所以t ≥14． 所以t 的最小值为14．为做好创建国家生态文明单位的需要，某地甲、乙两大型企业决定先从本企业的所有员工中随机抽取8名员工，对自己所在企业的生态文明建设状况进行自我内部的评分调查（满分10，被抽取的员工的评分结果如表：（1）若分别从甲、乙两企业被抽取的8名员工中各抽取1名，在已知两人中至少一人评分不低于80分的条件下，求抽到的甲企业员工评分低于80分的概率；（2）用样本的频率分布估计总体的概率分布，若从甲企业的所有员工中，再随机抽取4名员工进行评分细节调查，记抽取的这4名员工中评分不低于90分的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望． 【解答】设事件A 为两人中至少一人评分不低于80，事件B 为甲企业评分人员低于8； 则P(B|A)=n(AB)n(A)=2×78×8−2×1=731由题意知，ξ∼B(4, 14)，则P(ξ=k)=C 4k(14)k (34)4−k ．所以其分布列如下：E(ξ)=4×14=1．如图，在四边形ABCD中，A为锐角，2cosAsin(A+C)=√3sin(C−π6)．（1）求A+C；（2）设△ABD、△CBD的外接圆半径分别为r1，r2，若1r1+1r2≤mDB恒成立，求实数m的最小值．【解答】因为sin(2A+C)+sinC=32sinC−√32cosC⇒sin(2A+C)=sin(C−π3)，所以2A+C+C−π3=π⇒A+C=2π3．由于m≥BDr1+BDr2=2sinA+2sinC=2sinA+2sin(2π3−A)=3sinA+√3cosA=2√3sin(A+π6)，又A∈(0,π2)，A+π6∈(π6, 2π3)，可得sin(A+π6)∈(12, 1],2√3sin(A+π6)∈(√3, 2√3]，所以m≥2√3．所以实数m的最小值2√3．已知函数f(x)＝aln(x+1)+x2−ax，a≠0．（1）当a>0时，求f(x)的单调区间（2）若存在x∈(−1, +∞)使得f(x)<a+1成立，求a的取值范围．【解答】f′(x)=ax+1+2x−a=x(2x+2−a)x+1，当0<a <2时， 则x ∈(−1,a−22)，f′(x)>0，函数单调递增，当x ∈(a−22, 0)，f′(x)<0，函数单调递减，x ∈(0, +∞)，f′(x)>0，单调递增，当a ＝2时，f′(x)=2x 2x+1≥0恒成立，故f(x)在(−1, +∞)上单调递增； 当a >2时，当x ∈(−1, 0)，f′(x)>0，函数单调递增，x ∈(a−22, +∞)，f′(x)>0，单调递增，x ∈(0, a−22)，f′(x)<0，函数单调递减，当a ≤0时，结合（1）可得f(x)(−1, 0)单调递减，(0, +∞)单调递增； f(x)min ＝f(0)＝0<a +1⇒a >−1；当a ≥0时，当x →−1时f(x)→−∞，所以必然存在． 综上所述a >−1．已知抛物线C:y 2＝2px(p >0)的焦点为F ，点P 为抛物线C 上一点，|PF|＝4，O 为坐标原点，∠OFP ＝120∘． （1）求抛物线C 的方程；（2）设Q 为抛物线C 的准线上一点，过点F 且垂直于OQ 的直线交抛物线C 于A ，B 两点记△QAB ，△OAB 的面积分别为S 1，S 2，求1S 2−1S 1的取值范围．【解答】（1）由题可知，P(p2+2,2√3)，代入抛物线C:y 2＝2px ， 得：12＝2p(p2+2)，求出p 的值，p =2. 即可得到抛物线C 方程：y 2=4x .（2）设直线AB 的倾斜角为θ(θ>0)，直线AB 与OQ 交于点D ， 则有AB =4sin θ，QD =QO +OD =1sinθ+sinθ， 所以S 1=12AB ⋅QD =2(1+sin 2θ)sin 3θ，S 2=12AB ⋅OD =2sinθ，所以1S 1−1S 2=−sinθ2(1+sin 2θ)=12×−1sinθ+1sinθ∈[−14,0)．根据图象对称性可知，1S 1−1S 2∈[−14,0)．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t（t 为参数），以原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P(−1, 2)，直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求|PA|+|PB|的值． 【解答】直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t （t 为参数），转换为直角坐标方程为x +y −1＝0．曲线C 的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ．转换为直角坐标方程为x 22+y 2=1． 直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t （t 为参数），转换为标准式为{x =−1−√22t y =2+√22t，（t 为参数），代入C 方程得到：3t 2+6√2t +14=0， 所以：t 1+t 2=−2√2，t 1t 2=143．则|PA|+|PB|=|t 1+t 2|=2√2．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)＝|x+1|+|2x−1|．（1）解不等式f(x)≤2；（2）若f(x)≥3a2+b2对任意x∈R恒成立，求a+b的取值范围．【解答】函数f(x)＝|x+1|+|2x−1|，当x≥12时，不等式f(x)≤2可化为x+1+2x−1≤2，解得：12≤x≤23；当−1<x<12时，不等式f(x)≤2可化为x+1+1−2x≤2，解得：0≤x<12；当x≤−1时，不等式f(x)≤2可化为−x−1+1−2x≤2，解得：x≥−23（不合题意，舍去）；所以不等式f(x)≤2的解集是[0, 23]；f(x)＝|x+1|+|2x−1|={3x,x≥12−x+2,−1<x<12−3x,x≤−1，画出y＝f(x)的图象，如图所示；由图象知f(x)的最小值是32，所以不等式f(x)≥3a2+b2对任意x∈R恒成立，化为3a2+b2≤32，即2a2+23b2≤1；它表示焦点在纵轴上的椭圆面，如图所示；设2a2＝cos2θ，23b2＝sin2θ，其中θ∈[0, 2π)；所以a=√22cosθ，b=√62sinθ，a+b=√22cosθ+√62sinθ=√2sin(θ+π6)；当θ+π6=π2，即θ=π3时，a+b取得最大值为√2；当θ+π6=3π2，即θ=4π3时，a+b取得最小值为−√2；所以a+b的取值范围是[−√2, √2]．。
2020年重庆市高考数学(理科)模拟试卷(3)(a卷)
2020年重庆市高考数学（理科）模拟试卷（3）（A卷）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜5}B．{x|x＞1}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5} 2．（5分）已知夹角为θ的向量，满足•（+）＝2，且||＝2||＝2，则向量，的关系是（）A．互相垂直B．方向相同C．方向相反D．成120°角3．（5分）观察下列各式：1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，4+5+6+7+8+9+10＝72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝n2B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n﹣1）2C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）＝n2D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）＝（2n﹣1）24．（5分）已知，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c5．（5分）如图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的5组100次投篮的命中数，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则x，y的值为（）A．8，2B．3，6C．5，5D．3，56．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）设平面向量＝（﹣2，1），＝（λ，2），若与的夹角为锐角，则λ的取值范围是（）A．（﹣，2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）8．（5分）若a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．充分必要条件9．（5分）如图，三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知P A＝BC＝2，AB＝4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝，若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论：①x1+x2＝﹣1，②x3x4＝1，③0＜x1+x2+x3+x4＜，④0＜x1x2x3x4＜1，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．412．（5分）已知函数f（x）＝m（x﹣）﹣2lnx（m∈R），g（x）＝﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，则实数m的范围是（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）曲线f（x）＝2x3﹣x﹣1在点（0，f（0））处的切线在x轴上的截距为．14．（5分）已知直线Ax+By+C＝0（其中A2+B2＝C2，C≠0）与圆x2+y2＝6交于点M，N，O是坐标原点，则|MN|＝，＝．15．（5分）三棱锥P﹣ABC，AB＝BC＝，AC＝6，PC垂直于平面ABC，PC＝2，则该三棱锥外接球的表面积．16．（5分）求函数y＝﹣x3+3x﹣5的极大值．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知数列{a n}满足（a1+2a2+…+2n﹣1a n）＝2n+1（n∈N*）．（1）求a1，a2和{a n}的通项公式；（2）记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S4对任意的正整数n恒成立，求实数k的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PD＝4，M为PD的中点，E为AM的中点，点F在线段PB上，且PF＝3FB．（Ⅰ）求证EF∥平面ABCD；（Ⅱ）若平面PDC⊥底面ABCD，且PD⊥DC，求平面P AD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．19．（12分）2019年双十一落下帷幕，天猫交易额定格在268（单位：十亿元）人民币（下同），再创新高，比去年218（十亿元）多了50（十亿元）．这些数字的背后，除了是消费者买买买的表现，更是购物车里中国新消费的奇迹，为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y（单位：十亿元），绘制如表：年份2010201120122013201420152016201720182019编号x123456789100.98.722.4416594132.5172.5218268销售额y根据以上数据绘制散点图，如图所示（1）根据散点图判断，y＝a+bx与y＝cx2+d哪一个适宜作为销售额y关于x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及如表中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测2020年天猫双十一销售额；（注：数据保留小数点后一位）（3）把销售超过100（十亿元）的年份叫“畅销年”，把销售额超过200（十亿元）的年份叫“狂欢年”，从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取2个，求至少取到一个“狂欢年”的概率．参考数据：，（t）2≈1483 y i＝1020x i y i＝8088t i＝385t≈25380t i y i≈67770参考公式：对于一组数据（（u1，v1），（u2，v2），…（u n，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，．20．（12分）已知函数f（x）＝x2e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）过点P（1，0）存在几条直线与曲线y＝f（x）相切，并说明理由；（Ⅲ）若f（x）≥k（x﹣1）对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（2，0）、（﹣2，0）的距离之和等于2，设点P的轨迹为C，斜率为k的直线l过点（2，0），且与轨迹C交于A、B两点．（1）写出轨迹C的方程；（2）如果|AB|＝，求k的值；（3）是否存在直线l，使得在直线x＝3上存在点M，满足△ABM为等边三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．四．解答题（共2小题，满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为（θ为参数，θ∈R）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝3．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若曲线C与y轴的上下两个交点分别为P，Q，M为l上一动点，求|MP|+|MQ|的最小值．23．已知函数的最小值为m．（1）求m的值；（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c＝m ，证明：．2020年重庆市高考数学（理科）模拟试卷（3）（A卷）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜5}B．{x|x＞1}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5}【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，∴A∩B＝{x∈N|1＜x＜5}＝{2，3，4}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知夹角为θ的向量，满足•（+）＝2，且||＝2||＝2，则向量，的关系是（）A．互相垂直B．方向相同C．方向相反D．成120°角【分析】根据平面向量的数量积与夹角公式，计算即可．【解答】解：由•（+）＝2，可得+•＝2，即+||×||×cosθ＝2，即22+2×1×cosθ＝2，所以cosθ＝﹣1，即θ＝π，所以、方向相反．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的数量积与夹角计算问题，是基础题．3．（5分）观察下列各式：1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，4+5+6+7+8+9+10＝72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝n2B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n﹣1）2C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）＝n2D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）＝（2n﹣1）2【分析】观察所给的等式，右边是奇数的平方，左边是连续的整数的和，问题得以解决，【解答】解：∵1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，4+5+6+7+8+9+10＝72，…，∴n+（n+1）+（n+2）+…+（n+2n﹣2）＝（2n﹣1）2，故选：B．【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题4．（5分）已知，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵1＝log33＜log35＜log39＝2；0＜3﹣0.2＜1，31.2＞3，∴b＜a＜c．故选：B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．（5分）如图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的5组100次投篮的命中数，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则x，y的值为（）A．8，2B．3，6C．5，5D．3，5【分析】根据茎叶图，结合中位数，平均数的定义和公式进行求解即可．【解答】解：甲的中位数为65，则乙的中位数为65，即y＝5，若甲乙的平均数相等，则个位数也相等，乙的个位数之和为9+1+7+5+8＝30，个位数为0，则甲的个位数之和为6+2+5+x+4＝17+x，若个位数为0，则x＝3，即则x，y的值为3，5，故选：D．【点评】本题主要考查茎叶图的应用，结合中位数和平均数的定义是解决本题的关键．在利用平均数相等的条件中，可以使用个数数相等的技巧进行计算．可以避开复杂的公式计算．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为（）A．B．C．D．【分析】利用三视图，判断几何体是在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，截去四面体A﹣A1B1D1，利用体积公式求值．【解答】解：由三视图得，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，截去四面体A﹣A1B1D1，如图所示，设正方体棱长为a，则V三棱锥＝×a3＝a3，故正方体的体积为：a3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为：．故选：C．【点评】本题考查了几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还有几何体，利用体积公式解答．7．（5分）设平面向量＝（﹣2，1），＝（λ，2），若与的夹角为锐角，则λ的取值范围是（）A．（﹣，2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）【分析】根据向量的夹角为锐角即可得出，解出λ的范围即可．【解答】解：∵与的夹角为锐角，∴且不共线，∴，解得λ＜1且λ≠﹣4，∴λ的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1）．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积的计算公式，向量夹角的定义，向量数量积的坐标运算，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．8．（5分）若a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．充分必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可．【解答】解：a，b均为不等于1的正实数，当若“a＞b＞1”时，由对数函数的性质可得：log2a＞log2b＞0，可得log b2＞log a2成立．当若：“log b2＞log a2”有①若a，b均大于1，由log b2＞log a2，知log2a＞log2b＞0，必有a＞b＞1；②若a，b均大于0小于1，依题意，0＞log2a＞log2b，必有0＜b＜a＜1；③若log a2＜0＜log b2，则必有0＜a＜1＜b；故：“log b2＞log a2”不能推出a＞b＞1；综上所述由充要条件的定义知，a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的充分不必要条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．属于基础题．9．（5分）如图，三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知P A＝BC＝2，AB＝4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC，AD所成角的余弦值．【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，D是棱PB的中点，P A＝BC＝2，AB ＝4，CB⊥AB，∴以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，4，2），C（2，0，0），A（0，4，0），B（0，0，0），D（0，2，1），＝（2，﹣4，﹣2），＝（0，﹣2，1），设异面直线PC，AD所成角为θ，则cosθ＝||＝||＝＝．所以异面直线PC，AD所成角的余弦值为．故选：D．【点评】本题考查了异面直线所成角的余弦值计算问题，解题时要注意向量法的合理运用，是中档题．10．（5分）从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（）A．B．C．D．【分析】记儿童体型合格的概率为事件A，身体关节构造合格的概率为事件B．则P（A）＝，P（B）＝，且A，B相互独立，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率P＝1﹣P（），代入公式即可求解．【解答】解：记儿童体型合格的概率为事件A，身体关节构造合格的概率为事件B．则P（A）＝，P（B）＝，且A，B相互独立，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率P＝1﹣P（）＝1﹣＝．故选：B．【点评】本题主要考查了相互独立事件的概率公式的应用，属于基础试题．11．（5分）已知函数f（x）＝，若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论：①x1+x2＝﹣1，②x3x4＝1，③0＜x1+x2+x3+x4＜，④0＜x1x2x3x4＜1，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由已知画出图形，求得x1+x2＝﹣2，x3x4＝1，再把x1+x2+x3+x4与x1x2x3x4分别转化为x3与x1的函数求解，则答案可求．【解答】解：作出函数f（x）＝的图象如图，则x1+x2＝﹣2，故①错误；由f（x3）＝f（x4），得|log2x3|＝|log2x4|，∴﹣log2x3＝log2x4，则log2（x3x4）＝0，即x3x4＝1，故②正确；x1+x2+x3+x4＝﹣2+x3+x4＝﹣2，由log2x＝﹣1，得x＝，则＜x3＜1，∴﹣2∈（0，），即0＜x1+x2+x3+x4＜，故③正确；x1x2x3x4＝x1x2＝x1（﹣2﹣x1）＝﹣，∵﹣2＜x1＜1，∴﹣∈（0，1），即0＜x1x2x3x4＜1，故④正确．∴正确命题的个数是3个．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．12．（5分）已知函数f（x）＝m（x﹣）﹣2lnx（m∈R），g（x）＝﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，则实数m的范围是（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）【分析】由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解，即＜在[1，e]上有解，令h（x）＝，则h′（x）＝，然后求出h（x）的最大值，利用＜h（x）max能求出m的取值范围．【解答】解：由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解，∴mx＜2lnx，即＜在[1，e]上有解，令h（x）＝，则h′（x）＝，∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，∴h（x）max＝h（e）＝，∴＜h（e）＝，∴m＜．∴m的取值范围是（﹣∞，）．故选：B．【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）曲线f（x）＝2x3﹣x﹣1在点（0，f（0））处的切线在x轴上的截距为﹣1．【分析】先求导数，然后求出切点处的导数即切线斜率，然后写出切线的点斜式方程，最后令y＝0可得截距．【解答】解：f′（x）＝6x2﹣1，∴k＝f′（0）＝﹣1，而f（0）＝﹣1，∴切线方程为y+1＝﹣x，令y＝0得x＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要是考查了利用导数求切线方程的基本思路，属于基础题．14．（5分）已知直线Ax+By+C＝0（其中A2+B2＝C2，C≠0）与圆x2+y2＝6交于点M，N，O是坐标原点，则|MN|＝2，＝﹣10．【分析】由已知结合直线与圆相交的性质可|MN|，然后结合锐角三角函数的定义可求cosθ，再由向量数量积的定义即可求解．【解答】解：由中A2+B2＝C2，C≠0可知，圆心到直线Ax+By+C＝0的距离d＝＝1，|MN|＝2＝2，设与的夹角为θ，则cos（π﹣θ）＝＝，所以cosθ＝，所以，＝＝﹣10．故答案为：2；﹣10．【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质的应用及向量数量积的定义的应用，属于基础试题．15．（5分）三棱锥P﹣ABC，AB＝BC＝，AC＝6，PC垂直于平面ABC，PC＝2，则该三棱锥外接球的表面积π．【分析】根据已知条件得出△ABC的外接圆的半径，利用勾股定理得出外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵AB＝BC＝，AC＝6，∴cos C＝，∴sin C＝，∴△ABC的外接圆的半径＝＝，设三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为d，则R2＝d2+（）2＝（2﹣d）2+（）2，∴该三棱锥的外接球半径为R2＝，表面积为：4πR2＝4π×＝π，故答案为：π．【点评】本题综合考查了空间几何体的性质，考查三棱锥的外接球表面积，正确求出三棱锥的外接球半径是关键，属于中档题．16．（5分）求函数y＝﹣x3+3x﹣5的极大值﹣3．【分析】根据题意对函数y＝f（x）求导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值．【解答】解：函数y＝f（x）＝﹣x3+3x﹣5，x∈R；则f′（x）＝﹣3x2+3＝﹣3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＝0，解得x＝﹣1或x＝1；列表讨论：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减∴当x＝﹣1时，函数取得极小值为f（﹣1）；当x＝1时，函数取得极大值为f（1）＝﹣1+3﹣5＝﹣6．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求极值的应用问题，是基础题．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知数列{a n}满足（a1+2a2+…+2n﹣1a n）＝2n+1（n∈N*）．（1）求a1，a2和{a n}的通项公式；（2）记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S4对任意的正整数n恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用已知条件建立不等式组求出参数的范围【解答】解：（1）由题意得，所以：，．解得：a2＝6．由，所以，相减得﹣（n﹣1）•2n，得a n＝2n+2，n＝1也满足上式．所以{a n}的通项公式为a n＝2n+2．（2）数列{a n﹣kn}的通项公式为：a n﹣kn＝2n+2﹣kn＝（2﹣k）n+2说以：该数列是以4﹣k为首项，公差为2﹣k的等差数列，若S n≤S4对任意的正整数n恒成立，等价于当n＝4时，S n取得最大值，所以解得．所以实数k的取值范围是[]．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PD＝4，M为PD的中点，E为AM的中点，点F在线段PB上，且PF＝3FB．（Ⅰ）求证EF∥平面ABCD；（Ⅱ）若平面PDC⊥底面ABCD，且PD⊥DC，求平面P AD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）取MD的中点N，连结EN，FN，推导出EN∥AD，FN∥BD，从而平面ENF∥平面ABCD，由此能证明EF∥平面ABCD．（Ⅱ）设AB的中点为G，以D为坐标原点，DG为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面P AD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取MD的中点N，连结EN，FN，∵E为AM的中点，∴EN∥AD，又∵M为PD的中点，N为MD的中点，∴PN＝3ND，∵PF＝3FB，∴FN∥BD，∵EN∩FN＝N，AD∩BD＝D，∴平面ENF∥平面ABCD，∵EF⊂平面ENF，∴EF∥平面ABCD．解：（Ⅱ）∵平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥DC，∴PD⊥平面ABCD，设AB的中点为G，以D为坐标原点，DG为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（），C（0，2，0），P（0，0，4），则＝（﹣），＝（0，﹣2，4），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，2，），同理得平面P AD的法向量＝（），设平面P AD与平面PBC所成锐二面角为θ，则cosθ＝＝，∴平面P AD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）2019年双十一落下帷幕，天猫交易额定格在268（单位：十亿元）人民币（下同），再创新高，比去年218（十亿元）多了50（十亿元）．这些数字的背后，除了是消费者买买买的表现，更是购物车里中国新消费的奇迹，为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y（单位：十亿元），绘制如表：年份2010201120122013201420152016201720182019编号x123456789100.98.722.4416594132.5172.5218268销售额y根据以上数据绘制散点图，如图所示（1）根据散点图判断，y＝a+bx与y＝cx2+d哪一个适宜作为销售额y关于x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及如表中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测2020年天猫双十一销售额；（注：数据保留小数点后一位）（3）把销售超过100（十亿元）的年份叫“畅销年”，把销售额超过200（十亿元）的年份叫“狂欢年”，从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取2个，求至少取到一个“狂欢年”的概率．参考数据：，（t）2≈1483 y i＝1020x i y i＝8088t i＝385t≈25380t i y i≈67770参考公式：对于一组数据（（u1，v1），（u2，v2），…（u n，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，．【分析】（1）直接由散点图判断函数模型；（2）由已知求得c与d的值，即可求得y关于x的回归方程，取x＝11求得y值，即可预测2020年天猫双十一销售额；（3）直接利用枚举法结合古典概型概率公式求解．【解答】解：（1）由散点图可知，y＝cx2+d适宜作为销售额y关于x的回归方程类型；（2）令t＝x2，则y＝ct+d．t i＝385＝38.5，y i＝1020＝102．c ＝≈≈2.7，d ＝≈﹣2.0．∴y＝2.7t﹣2.0，则y关于x的回归方程为y＝2.7x2﹣2.0，取x＝11，得y＝2.7×121﹣2＝324.7（十亿元）．预测2020年天猫双十一销售额为324.7（十亿元）；（3）2010年到2019年这十年中“畅销年”有4年，其中“狂欢年”有2年．从中任取2个，基本事件总数为（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共6个，至少取到一个“狂欢年”的事件数为（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共5个．则至少取到一个“狂欢年”的概率为．【点评】本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，训练了利用古典概型概率公式求概率，考查计算能力，是中档题．20．（12分）已知函数f（x）＝x2e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）过点P（1，0）存在几条直线与曲线y＝f（x）相切，并说明理由；（Ⅲ）若f（x）≥k（x﹣1）对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用f′（x）＝x（x+2）e x＞0或＜0即可求得f（x）的单调区间；（Ⅱ）过点P（1，0）过的切线方程为﹣＝（+2x0）（1﹣x0），化简得x0（x0+）（x0﹣）＝0，通过该方程解的个数可判断过点P（1，0）存在几条直线与曲线y＝f（x）相切；（Ⅲ）若f（x）≥k（x﹣1）对任意x∈R恒成立，设g（x）＝x2e x﹣k（x﹣1），方法1：分k＝0、k＜0、k＞0三类讨论后，只需考虑x＞1时情况；转化为≥k对任意x∈（1，+∞）恒成立，构造函数，令h（x）＝（x＞1），利用导数可求得其最小值，从而可得实数k的取值范围．方法2：不用讨论k，只讨论x，分x＝1，x＞1两类讨论，重点关注后者，可转化为≥k对任意x∈（1，+∞）恒成立，以下分析方法同方法1．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）f′（x）＝（x2+2x）e x＝x（x+2）e x………………（1分）f′（x）＞0得，x＜﹣2或x＞0；f′（x）＜0得，﹣2＜x＜0；………………（2分）所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞）；单调减区间为（﹣2，0）………（3分）（Ⅱ）过（1，0）点可做f（x）的三条切线；理由如下：………………（1分）设切点坐标为（x0，），过切点的切线方程为y﹣＝（+2x0）（x﹣x0）………………（2分）切线过（1，0）点，代入得﹣＝（+2x0）（1﹣x0），化简得x0（x0+）（x0﹣）＝0，…………（3分）方程有三个解，x0＝0，x0＝﹣，x0＝，即三个切点横坐标，…………（4分）所以过（1，0）点可做f（x）的三条切线．（Ⅲ）设g（x）＝x2e x﹣k（x﹣1），………………（1分）方法11°k＝0时，x2e x≥k（x﹣1）成立；………………（1分）2°k＜0时，若x，f（0）＝0＞k（0﹣1）不成立，所以k＜0不合题意．………………（2分）3°k＞0时，x≤1时，h（x）＞0显然成立，只需考虑x＞1时情况；转化为≥k对任意x∈（1，+∞）恒成立．………………（3分）令h（x）＝（x＞1），h′（x）＝＝，………………（3分）当1＜x＜时，h′（x）＜0，h′x）单调减；当x＞时，h′（x）＞0，h（x）单调增；所以h（x）min＝h（）＝＝（2+2）≥k，………………（4分）所以k≤（2+2）．综上，k的取值范围是[0，（2+2）]………………（7分）方法2：不用讨论k，只讨论x．1°x＝1，成立；………………（1分）2°x＞1转化为≥k对任意x∈（1，+∞）恒成立………………（2分）令h（x ）＝（x＞1），h′（x ）＝＝，………………（3分）当1＜x ＜时，h′（x）＜0，h（x）单调减；当x ＞时，h′（x）＞0，h（x）单调增；所以h（x）min＝h （）＝＝（2+2）≥k，………………（4分）所以k≤（2+2）．3°当x＜1时转化为≤k对任意x∈（﹣∞，1）恒成立………………（5分）同2°，令h（x ）＝（x＜1），h′（x ）＝，列下表x （﹣∞，﹣﹣（﹣，0）0 （0，1））h′（x）﹣0+0﹣h（x）减极小值增极大值减当x＜1时，易得h（x ）＝≤0，h（0）＝0，所以h max＝h（0）＝0≤k；即k≥0，………………（6分）综上，k的取值范围是[0，（2+2）]．………………（7分）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值及利用导数研究曲线上某点切线方程，考查等价转化思想、函数与方程思想及分类讨论思想的综合运用，要求逻辑思维能力强，运算量大，属于难题．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（2，0）、（﹣2，0）的距离之和等于2，设点P的轨迹为C，斜率为k的直线l过点（2，0），且与轨迹C交于A、B两点．（1）写出轨迹C的方程；（2）如果|AB|＝，求k的值；（3）是否存在直线l，使得在直线x＝3上存在点M，满足△ABM为等边三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据点P到两点（2，0）、（﹣2，0）的距离之和等于2，且2＞4，可知轨迹为椭圆，从而求出轨迹C的方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出弦长与已知弦长相等，可求出直线斜率；（3）将△ABM为等边三角形转化为MN⊥AB，且|MN|＝|AB|，利用第（2）的弦长以及两点间距离公式可求得答案．【解答】解：（1）∵点P到两点（2，0）、（﹣2，0）的距离之和等于2，且2＞4，∴点P的轨迹是以（2，0）、（﹣2，0）为焦点的椭圆，且c＝2，a＝，∴b2＝a2﹣c2＝2，∴点P的轨迹为C的方程为：；（2）直线l的方程为：y＝k（x﹣2），将其代入到，整理得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，，∴|AB|＝＝＝＝＝∴＝，即k2＝1，∴k＝±1；（3）假设存在点M（3，y0）满足题意，设AB的中点为N（），由（2）知：，y1+y2＝k（x1+x2）﹣4k＝，∴N（，），∵△ABM为等边三角形，∴MN⊥AB，且|MN|＝|AB|，∴，|MN|＝＝＝，∴＝•，化简得：k2＝1，∴k＝±1，∴存在直线l：y＝±（x﹣2），使得在直线x＝3上存在点M，满足△ABM为等边三角形．【点评】本题主要考查了椭圆的定义以及标准方程、弦长公式、韦达定理、两直线垂直的斜率关系，是中档题．四．解答题（共2小题，满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝3．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若曲线C与y轴的上下两个交点分别为P，Q，M为l上一动点，求|MP|+|MQ|的最小值．【分析】（1）利用参数方程化为普通方程，极坐标化为直角坐标方程即可．（2）画出图形，求出对称点的坐标，利用距离公式求解表达式的最小值即可．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R）．可得直角坐标方程为：，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝3．可得x﹣y＝3．（2）曲线C与y轴的上下两个交点分别为P（0，2），Q（0，﹣2），M为l上一动点，|MP|+|MQ|的最小值就是Q关于直线x﹣y＝3对称点Q′到P的距离．所以Q′（1，﹣3），|MP|+|MQ|的最小值：＝．【点评】本题考查参数方程以及极坐标方程与普通方程的互化，直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．23．已知函数的最小值为m．（1）求m的值；（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c＝m，证明：．【分析】（1）去掉绝对值符号，利用分段函数求解函数的最值，通过m即可．（2）利用重要不等式a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，利用综合法证明即可．【解答】（1）解：根据题意，函数，所以f（x）为在单调递减，在单调递增，所以．（2）证明：由（1）知，m＝1，所以a+b+c＝1，又因为a，b，c为正实数，a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，所以2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），即a2+b2+c2≥ab+bc+ac，所以1＝（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3（a2+b2+c2），即．【点评】本题考查含有绝对值的函数的最值，基本不等式的应用等基础知识，考查学生的逻辑推理能力，化归与转化能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算，是中档题．。
重庆2020届高三调研测试数学(理)试题Word版含答案及解析
重庆2020届高三调研测试数学（理）试题满分150分。
考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。
务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好考号条形码或将考号对应数字涂黑。
用2B铅笔将试卷类型A填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．非选择答题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的清洁。
考试结束后，监考人员将答题卡和试卷一并收回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. 1 D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.3.设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.4.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则（）A. 127B. 64C. 63D. 325.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，且，则C. 若，，且，，则D. 若直线与平面所成角相等，则6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.7.运行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 128.设函数的一条对称轴为直线，将曲线向右平移个单位后得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（）A. B.C. D.9.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A. B. C. D.10.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（ ）A. 9B. 7C. 6D. 5 11.已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（ ）A.B.C.D.12.已知是函数（其中常数）图像上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最小值为（ ） A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.若实数x ，y 满足00320x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-+的最小值为______.14.住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图.为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一只被选为组长的概率为______.15.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若23S =，()*11n n a S n N +=+∈，则通项公式n a =______.16.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过1F的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限相交于A 点，若21AF AF ⊥，则该双曲线的离心率为______.三、解答题：共70分。
2020年重庆市江津中学、实验中学等七校高考数学三诊试卷(理科) (解析版)
2020年高考（理科）数学三诊试卷一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log2x＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣∞，2）D．（﹣1，1）2．设z=1+3i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，x03−x02+1≤0B．存在x0∈R，x03−x02+1≤0C．∃x0∈R，x03−x02+1＞0D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞04．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a6＝4+a4，则S9＝（）A．18B．24C．48D．365．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β6．如图，给出的是1+13+15+⋯+199的值的一个程序框图，框内应填入的条件是（）A．i≤99B．i＜99C．i≥99D．i＞997．《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式V ≈3112L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A ．227B ．258C ．289D ．82278．函数f （x ）＝（x ﹣3sin x ）cos x 在[﹣π，π]上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知直线y ＝kx （k ≠0）与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√510．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ） A ．240种B ．120种C ．188种D ．156种11．已知k ∈R ，设函数f(x)={x 2−2kx +2k ，x ≤1(x −k −1)e x+e 3，x ＞1，若关于x 的不等式f （x ）≥0在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．[0，e 2]B ．[2，e 2]C ．[0，4]D ．[0，3]12．函数f （x ）＝sin （2x +θ）+cos 2x ，若f （x ）最大值为G （θ），最小值为g （θ），则（ ）A ．∃θ0∈R ，使G （θ0）+g （θ0）＝πB ．∃θ0∈R ，使G （θ0）﹣g （θ0）＝πC ．∃θ0∈R ，使|G （θ0）•g （θ0）|＝πD ．∃θ0∈R ，使|G(θ0)g(θ0)|=π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a→=（1，1），b→=(m，−2)，且a→∥(a→+2b→)，则m的值等于．14．(x2−2)(1x−1)5展开式的常数项是．15．已知圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1，过直线l：3x+ay﹣5＝0（a＞0）上的任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为√15，则直线l的斜率为．16．已知数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2，n∈N），设b n=1a n+1+1a n+2+1a n+3+⋯+1a2n，若对任意的正整数n，当m∈[1，2]时，不等式m2﹣mt+13＞b n恒成立，则实数t的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cos A＝a cos C．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=√13，△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠BAD=2π3，PA＝AB＝BC＝2，AD＝4，点M是棱PD的中点．（1）求证：CM∥平面PAB；（2）求二面角M﹣AC﹣D的大小．19．某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：空气质量指数（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]300以上空气质 量等级一级 （优） 二级 （良） 三级 （轻度污染） 四级 （中度污染） 五级 （重度污染） 六级 （严重污染）（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数； （2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）．①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X ，求X 的分布列和数学期望；②以一个月空气质量指数分布的频率代替每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率．20．已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为F 1（﹣1，0），C 与y 轴正半轴交点为A ，且，∠AF 1O =π3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作斜率为k 1，k 2（k 1k 2≠0）的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M ，N ．证明：当k 2=k1k 1−1时，直线MN 过定点．21．已知函数f （x ）＝alnx ﹣x +a ，g （x ）＝kx ﹣xlnx ﹣b ，其中a ，b ，k ∈R ． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若对任意a ∈[1，e ]，任意x ∈[1，e ]，不等式f （x ）≥g （x ）恒成立时最大的k记为c ，当b ∈[1，e ]时，b +c 的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数），直线l 的参数方程为{x =√3−√32ty =3+12t （t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为（2√3，θ），其中θ∈（π2，π）（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x +12|+a |x −32|． （1）当a ＝﹣1时，解不等式f （x ）≤3x ；（2）当a ＝2时，若关于x 的不等式4f （x ）＜2|1﹣b |的解集为空集，求实数b 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |log 2x ＜0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣1，2）B ．（0，1）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣1，1）【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A ∪B ． 解：∵集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}＝{x |﹣1＜x ＜2}， B ＝{x |log 2x ＜0}＝{x |0＜x ＜1}， ∴A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}＝（01，2）． 故选：A ．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．设z =2i1+3i，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 解：∵z =1+3i =√3i)(1+3i)(1−3i)=√32+12i ， ∴在复平面内z 对应的点的坐标为（√32，12），位于第一象限．故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．命题“∀x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是（ ）A ．不存在x 0∈R ，x 03−x 02+1≤0B ．存在x 0∈R ，x 03−x 02+1≤0C ．∃x 0∈R ，x 03−x 02+1＞0D ．对任意的x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可． 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是：存在x 0∈R ，x 03−x 02+1＞0．故选：C．【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a6＝4+a4，则S9＝（）A．18B．24C．48D．36【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a3+a6＝4+a4找出首项a1与公差d的关系式求出a5，再代入前n项和的关系式求出S9．解：设等差数列{a n}的公差为d，由a3+a6＝4+a4可得a1+2d+a1+5d＝4+a1+3d，整理得：a1+4d＝4＝a5，所以S9=9(a1+a9)2=9a5＝36．故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的性质及基本量的求法，属于基础题．5．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【分析】由线线、线面平行及面面垂直的判定定理可得：设m⊂α，且m∥l，由l⊥β，则m⊥β，则α⊥β，得解．解：设m⊂α，且m∥l，由l⊥β，则m⊥β，由面面垂直的判定定理可得：α⊥β，即选项A正确，故选：A．【点评】本题考查了线线平行及面面垂直的判定定理，属中档题．6．如图，给出的是1+13+15+⋯+199的值的一个程序框图，框内应填入的条件是（）A．i≤99B．i＜99C．i≥99D．i＞99【分析】由已知中该程序的功能是计算1+13+15+⋯+199的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为99，即小于等于99的数满足循环条件，大于99的数不满足循环条件，由此易给出条件中填写的语句．解：∵该程序的功能是计算1+13+15+⋯+199的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为99，即小于等于99的数满足循环条件，大于99的数不满足循环条件，故判断框中应该填的条件是：i≤99故选：A．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式V≈3112L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．227B．258C．289D．8227【分析】用L ，h 表示出圆锥的体积V =L 2ℎ12π，根据L 2ℎ12π=3112L 2h 计算π即可． 解：由L ＝2πr 可得r =L2π，故圆锥的第面积为S ＝πr 2=L 24π， ∴V =13Sh =L 2ℎ12π，若V ≈3112L 2h ，则112π=3112，故π=11236=289． 故选：C ．【点评】本题考查了圆锥的体积公式，属于基础题．8．函数f （x ）＝（x ﹣3sin x ）cos x 在[﹣π，π]上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】因为f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以根据函数奇偶性的定义可知，函数f （x ）为奇函数，可排除选项B ，对比选项A 、C 和D 后，分别计算出f(π2)=0，f(π6)＜0，可分别排除选项A 和C ，故而得解．解：∵f （﹣x ）＝[﹣x ﹣3sin （﹣x ）]•cos （﹣x ）＝﹣（x ﹣3sin x ）•cos x ＝﹣f （x ）， ∴函数f （x ）为奇函数，排除选项B ， 而f(π2)=(π2−3)×0=0，可排除选项A ， f(π6)=(π6−3×12)×√32＜0，可排除选项C ， 故选：D ．【点评】本题考查函数的图象，一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手考虑，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 9．已知直线y ＝kx （k ≠0）与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√5【分析】根据以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，得到以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2＝c 2，根据三角形的面积求出B 的坐标，代入双曲线方程进行整理即可． 解：∵以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ， ∴以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2＝c 2，由对称性知△ABF 的面积S ＝2S △OBF ＝2×12c h ＝ch ＝4a 2，即h =4a 2c，即B 点的纵坐标为y =4a 2c，则由x 2+（4a 2c）2＝c 2，得x 2＝c 2﹣（4a 2c）2＝c 2−16a 4c 2， B 在双曲线上，则c 2−16a 4c 2a 2−16a 4c 2b 2=1， 即c 2a 2−16a 2c 2−16a 4c 2(c 2−a 2)=1，即c 2a −16a 2c （1+a 2c 2−a2）＝1，即c 2a −16a 2c •c 2c −a =1，即c 2a 2−16a 2c 2−a 2=1，即c 2a 2−1=16a 2c 2−a2=c 2−a 2a2， 得16a 4＝（c 2﹣a 2）2，即4a 2＝c 2﹣a 2，得5a 2＝c 2，得c =√5a ，则离心率e =c a =√5a a=√5，方法2：设双曲线的左焦点为F ′，由图象的对称性得，圆O 经过点F ′，且|BF′|＝|AF|，设|BF'|＝|AF|＝m，|BF|＝n，∵BF⊥AF∴S△ABF=12mn＝4a2，m2+n2＝4c2，则mn＝8a2，∵|BF′|﹣|BF|＝2a，∴m﹣n＝2a则m2﹣2mn+n2＝4a2，∴4c2﹣16a2＝4a2，即c2＝5a2，则c=√5a，即离心率e=ca=√5a a=√5，故选：D．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出B的坐标，代入双曲线方程是解决本题的关键．考查学生的运算能力，运算量较大．10．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（）A．240种B．120种C．188种D．156种【分析】根据题意，按甲的位置分3种情况讨论，求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，甲班必须排在前三位，分3种情况讨论：①，甲班排在第一位，丙班、丁班排在一起的情况有4A22＝8种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有A33＝6种情况，此时有8×6＝48种安排方案；②，甲班排在第二位，丙班、丁班排在一起的情况有3A22＝6种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有A33＝6种情况，此时有6×6＝36种安排方案；③、甲班排在第三位，丙班、丁班排在一起的情况有4A22＝8种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有A33＝6种情况，此时有8×6＝48种安排方案；则一共有48+36+48＝120种安排方案；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．11．已知k∈R，设函数f(x)={x2−2kx+2k，x≤1(x−k−1)e x+e3，x＞1，若关于x的不等式f（x）≥0在x∈R上恒成立，则k的取值范围为（）A．[0，e2]B．[2，e2]C．[0，4]D．[0，3]【分析】当x≤1时，f（x）＝x2﹣2kx+2k，分k＜1、k≥1两类讨论，可求得k≥0；当x＞1时，f（x）＝（x﹣k﹣1）e x+e3，分k≤1、k＞1两类讨论，可求得k≤3；取其公共部分即可得到答案．解：（1）当x≤1时，f（x）＝x2﹣2kx+2k，∴f（x）的对称轴为x＝k，开口向上．①当k＜1时，f（x）在（﹣∞，k）递减，（k，1）递增，∴当x＝k时，f（x）有最小值，即f（k）≥0，∴0≤k＜1；②当k≥1时，f（x）在（﹣∞，1）上递减，∴当x＝1时，f（x）有最小值，即f（1）＝1，∴1≥0显然成立，此时k≥1．综上得，k≥0；（2）当x＞1时，f（x）＝（x﹣k﹣1）e x+e3，∴f'（x）＝（x﹣k）e x，①′当k≤1时，f（x）在（1，+∞）上递增，∴f（x）＞f（1）＝﹣ke+e3≥0，∴k≤e2，∴此时k≤1；②′当k＞1时，f（x）在（1，k）递减，（k，+∞）递增，∴f（x）≥f（k）＝﹣e k+e3≥0，∴k≤3，∴此时1＜k≤3．综上：0≤k≤3，∵关于x的不等式f（x）≥0在x∈R上恒成立，则k的取值范围为0≤k≤3，故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，考查不等式恒成立问题，着重考查分类讨论思想和等价转化思想，考查导数的运用，考查运算求解能力和推理能力，属于难题．12．函数f（x）＝sin（2x+θ）+cos2x，若f（x）最大值为G（θ），最小值为g（θ），则（）A．∃θ0∈R，使G（θ0）+g（θ0）＝πB．∃θ0∈R，使G（θ0）﹣g（θ0）＝πC．∃θ0∈R，使|G（θ0）•g（θ0）|＝πD．∃θ0∈R，使|G(θ0)g(θ0)|=π【分析】由三角函数的辅助角公式得：f（x）＝sin（2x+θ）+cos2x＝cosθ•sin2x+（sinθ+1 2）•cos2x+12=√54+sinθsin（2x+φ）+12，所以G（θ）=√54+sinθ+12，g（θ）=−√54+sinθ+12，由方程有解问题，分别求四个选项的值域判断即可得解．解：f（x）＝sin（2x+θ）+cos2x＝cosθ•sin2x+（sinθ+12）•cos2x+12=√54+sinθsin（2x+φ）+1 2，所以G（θ）=√54+sinθ+12，g（θ）=−√54+sinθ+12，①对于选项A，G（θ0）+g（θ0）=√54+sinθ+12−√54+sinθ+12=1，显然不满足题意，即A错误，②对于选项B，G（θ0）﹣g（θ0）=√54+sinθ+12+√54+sinθ−12=2√54+sinθ∈[1，3]，显然不满足题意，即B错误，③对于选项C，G（θ0）•g（θ0）＝（√54+sinθ+12）•（√54+sinθ−12）＝1+sinθ∈[0，2]，显然不满足题意，即C错误，④对于选项D ，|G(θ)g(θ)|＝|√54+sinθ−12+1|∈[2，+∞），即∃θ0∈R ，使|G(θ0)g(θ0)|=π，故D 正确，故选：D ．【点评】本题考查了三角函数的辅助角公式及方程有解问题，属难度较大的题型 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=（1，1），b →=(m ，−2)，且a →∥(a →+2b →)，则m 的值等于 ﹣2 ．【分析】根据题意，求出a →+2b →的坐标，进而由向量平行的坐标表示公式可得1+2m ＝﹣3，解可得m 的值，即可得答案．解：根据题意，向量a →=（1，1），b →=(m ，−2)， 则a →+2b →=（1+2m ，﹣3），若a →∥(a →+2b →)，则有1+2m ＝﹣3，解可得：m ＝﹣2； 故答案为：﹣2【点评】本题考查向量平行的坐标表示公式，关键是掌握向量的坐标计算公式，属于基础题．14．(x 2−2)(1x−1)5展开式的常数项是 ﹣8 ．【分析】把(1x−1)5按照二项式定理展开，可得(x 2−2)(1x−1)5展开式的常数项． 解：(x 2−2)(1x −1)5=（x 2﹣2）•（1x −5x +10x −10x +5x−1）的展开式的常数项为﹣10+2＝﹣8， 故答案为：﹣8．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．已知圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1，过直线l ：3x +ay ﹣5＝0（a ＞0）上的任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为√15，则直线l 的斜率为 −34．【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，把过直线l ：3x +ay ﹣5＝0（a ＞0）上的任意一点作圆C 的切线，切线长最小转化为圆心到直线l 的距离最小，利用点到直线的距离公式得答案．解：如图，由（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1，得圆心坐标为（3，4），要使切线长最小，即圆心到直线l：3x+ay﹣5＝0（a＞0）的距离最小，∵圆的半径为1，切线长为√15，∴圆心到直线l：3x+ay﹣5＝0（a＞0）的距离等于√12+(√15)2=4．再由√9+a2=4，解得：a＝4．此时直线l的斜率为−3a=−34．故答案为：−3 4．【点评】本题考查了圆的切线方程，考查了直线和圆的位置关系，考查了数学转化思想方法，是中档题．16．已知数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2，n∈N），设b n=1a n+1+1a n+2+1a n+3+⋯+1a2n，若对任意的正整数n，当m∈[1，2]时，不等式m2﹣mt+13＞b n恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）．【分析】通过并项相加可知当n≥2时a n﹣a1＝n+（n﹣1）+…+3+2，进而可得数列{a n}的通项公式a n=12n（n+1），裂项、并项相加可知b n＝2（1n+1−12n+1）=2n2n2+3n+1=22n+1n+3，通过求导可知f（x）＝2x+1x（x≥1）是增函数，进而问题转化为m2﹣mt+13＞（b n）max，由恒成立思想，即可得结论．解：∵a1＝1，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2，n∈N），当n≥2时，a n﹣a n﹣1＝n，a n﹣1﹣a n﹣2＝n﹣1，…，a2﹣a1＝2，并项相加，得：a n﹣a1＝n+（n﹣1）+…+3+2，∴a n＝1+2+3+…+n=12n（n+1），又∵当n＝1时，a1=12×1×（1+1）＝1也满足上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=12n（n+1），∴b n=1a n+1+1a n+2+1a n+3+⋯+1a2n=2(n+1)(n+2)+2(n+2)(n+3)+⋯+22n(2n+1)＝2（1n+1−1n+2+1n+2−1n+3+⋯+12n−12n+1）＝2（1n+1−12n+1）=2n2n2+3n+1=22n+1n+3，令f（x）＝2x+1x（x≥1），则f′（x）＝2−1x2，∵当x≥1时，f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，故当x＝1时，f（x）min＝f（1）＝3，即当n＝1时，（b n）max=1 3，对任意的正整数n，当m∈[1，2]时，不等式m2﹣mt+13＞b n恒成立，则须使m2﹣mt+13＞（b n）max=13，即m2﹣mt＞0对∀m∈[1，2]恒成立，即t＜m的最小值，可得得t＜1，∴实数t的取值范围为（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cos A＝a cos C．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=√13，△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长．【分析】（Ⅰ）（2b﹣c）cos A＝a cos C，由正弦定理得：（2sin B﹣sin C）cos A＝sin A cos C，再利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式可得cos A，结合范围A∈（0，π）．解得A．（Ⅱ）利用余弦定理，三角形的面积公式可求b+c的值，即可计算得解三角形的周长．解：（Ⅰ）在三角形ABC中，∵（2b﹣c）cos A＝a cos C，∴由正弦定理得：（2sin B﹣sin C）cos A＝sin A cos C，∴可得：2sin B cos A＝sin C cos A+sin A cos C＝sin（A+C）＝sin B，∵sin B≠0，∴解得：cos A=1 2．∵A∈（0，π）．∴可得：A=π3．（Ⅱ）∵A=π3，a=√13，∴由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：13＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，又∵△ABC的面积为3√3=12bc sin A=√34bc，解得：bc＝12，∴13＝（b+c）2﹣36，解得：b+c＝7，∴△ABC的周长a+b+c＝7+√13．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，考查了计算能力，属于基础题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠BAD=2π3，PA＝AB＝BC＝2，AD＝4，点M是棱PD的中点．（1）求证：CM∥平面PAB；（2）求二面角M﹣AC﹣D的大小．【分析】（1）取AP的中点E，连接BE、EM．推导出四边形BCME为平行四边形，CM∥BE，由此能证明CM∥平面PAB．（2）在平面ABCD内过点A作AD的垂线Ax，由题意知PA，Ax，AD两两垂直，以A为坐标原点，Ax ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M ﹣AC ﹣D 的大小． 解：（1）如图，取AP 的中点E ，连接BE 、EM ． ∵M 是PD 的中点，∴EM =12AD ，EM ∥AD ， 又BC =12AD ，BC ∥AD ，所以EM ＝BC ，EM ∥BC ，∴四边形BCME 为平行四边形， ∴CM ∥BE ，又BE ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， ∴CM ∥平面PAB ．（2）在平面ABCD 内过点A 作AD 的垂线Ax ，由题意知PA ，Ax ，AD 两两垂直， 以A 为坐标原点，Ax ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知PA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝4，∠BAD =2π3， 可得A （0，0，0），C(√3，1，0)，M （0，2，1）， ∴AC →=(√3，1，0)，AM →=(0，2，1)， 设平面MAC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则由{n →⋅AC →=0n →⋅AM →=0，即{√3x +y =02y +z =0，令y ＝﹣3，则x =√3，z ＝6， ∴n →=(√3，−3，6)为平面MAC 的一个法向量． ∵PA ⊥底面ABCD ，∴可取平面ACD 的一个法向量为m →=(0，0，1)， ∴cos〈n →，m →〉=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=48=√32， ∵二面角M ﹣AC ﹣D 为锐二面角， ∴二面角M ﹣AC ﹣D 的大小为π6．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面解的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：空气质量指数（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]300以上空气质量等级一级（优）二级（良）三级（轻度污染）四级（中度污染）五级（重度污染）六级（严重污染）（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）．①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X，求X的分布列和数学期望；②以一个月空气质量指数分布的频率代替每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图求出轻度污染的天数，然后说明空气质量等级为优或良的天数；（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，求出概率，得到分布列，然后求解期望． ②甲不宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310，然后求解概率即可．解：（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在（90，110]的天数为2天， 空气质量指数在（110，130]的天数为1天， 所以估计空气质量指数在（90，100]的天数为1天， 故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天．（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，∴P(X =0)=C 242C 302=92145，P(X =1)=C 61⋅C 241C 302=48145，P(X =2)=C 62C 302=129， X 012P9214548145129∴X 的分布列为 ∴EX =0×92145+1×48145+2×129=25． ②甲不宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310，∴P =C 32⋅(110)2⋅910⋅C 21⋅310⋅710=56750000．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，频率分布表的应用，是基本知识的考查，中档题．20．已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为F 1（﹣1，0），C 与y 轴正半轴交点为A ，且，∠AF 1O =π3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作斜率为k 1，k 2（k 1k 2≠0）的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M ，N ．证明：当k 2=k1k 1−1时，直线MN 过定点． 【分析】（1）由题意可求出c ，b ，a ，可得方程；（2）先设方程，可得M ，N 横坐标之间的关系，代入题给的等式，化简可得． 解：（1）x 24+y 23=1，（2）由题不妨设MN ：y ＝kx +m ，联立{x 24+y 23=1y =kx +m，方程组的解M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 消去y 化简得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，且x 1+x 2=−8km4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，∵k 1k 2＝k 1+k 2，∴y 1−√3x 1⋅y 2−√3x 2=y 1−√3x 1+y 2−√3x 2，∴代入y ＝kx +m ，化简得(k 2−2k)x 1x 2+(k −1)(m −√3) （x 1+x 2）+m 2−2√3m −3=0，8√3k(m −√3)=3(m −√3)2，∵m ≠√3，8√3k =3(m −√3)，∴m =8√3k 3+√3， 直线MN ：y =kx +8√3k 3+√3，MN 过定点（−8√33，√3）． 【点评】本题考查圆锥曲线，设直线方程是，注意斜率，属于中档题．21．已知函数f （x ）＝alnx ﹣x +a ，g （x ）＝kx ﹣xlnx ﹣b ，其中a ，b ，k ∈一、选择题． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若对任意a ∈[1，e ]，任意x ∈[1，e ]，不等式f （x ）≥g （x ）恒成立时最大的k 记为c ，当b ∈[1，e ]时，b +c 的取值范围．【分析】（1）求导可得f′(x)=a−x x ，然后分a ≤0及a ＞0两种情况讨论即可得出单调性；（2）依题意，分析可知k ≤a(1+lnx)−x+xlnx+b x，而a(1+lnx)−x+xlnx+b x ≥1+lnx−x+xlnx+b x ，构造g(x)=1+lnx−x+xlnx+b x ，则g′(x)=−lnx+x−b x 2，令p(x)=−lnx +x −b ，则p′(x)=−1x +1，故p （x ）＝﹣lnx +x ﹣b 在（1，+∞）上递增，利用导数分p （1）≥0，可得此时c ＝g （x ）min ＝g （1）＝b ⇒b +c ＝2b ＝2，当p （e ）≤0，c =g(x)min =g(e)=b+2e ⇒b +c =b+2e +b ∈[e +1e ，e +2e+1]，当p （1）p （e ）＜0，c =g(x)min =g(x 0)=1+lnx 0−x 0+x 0lnx 0+b x 0=lnx 0+1x 0，则b +c =lnx 0+1x 0+x 0−lnx 0=x 0+1x 0，再利用导数求其最值即可．解：（1）∵f （x ）＝alnx ﹣x ﹣a （x ＞0，a ∈R ），∴f′(x)=a x −1=a−x x ，∵x ＞0，a ∈R ．∴①当a ≤0时，f （x ）的减区间为（0，+∞），没有增区间；②当a ＞0时，f （x ）的增区间为（0，a ），减区间为（a ，+∞）；（2）原不等式f （x ）≥g （x ）恒成立⇔k ≤a(1+lnx)−x+xlnx+b x ， ∵a ∈[1，e ]，x ∈[1，e ]，∴a(1+lnx)−x+xlnx+b x ≥1+lnx−x+xlnx+b x ，令g(x)=1+lnx−x+xlnx+b x ⇒g′(x)=−lnx+x−b x 2， 令p(x)=−lnx +x −b ⇒p′(x)=−1x +1≥0⇒p （x ）＝﹣lnx +x ﹣b 在（1，+∞）上递增；①当p （1）≥0时，即b ≤1，∵b ∈[1，e ]，所以b ＝1时x ∈[1，e ]，p （x ）≥0⇒g '（x ）≥0，∴g （x ）在[1，e ]上递增，∴c ＝g （x ）min ＝g （1）＝b ⇒b +c ＝2b ＝2．②当p （e ）≤0，即b ∈[e ﹣1，e ]时x ∈[1，e ]，p （x ）≤0⇒g '（x ）≤0，∴g （x ）在[1，e ]上递减；∴c =g(x)min =g(e)=b+2e⇒b +c =b+2e +b ∈[e +1e ，e +2e +1]． ③当p （1）p （e ）＜0时，p （x ）＝﹣lnx +x ﹣b 在上递增；存在唯一实数x 0∈（1，e ），使得p （x 0）＝0，则当x ∈（1，x 0）时⇒p （x ）＜0⇒g '（x ）＜0，当x ∈（x 0，e ）时⇒p （x ）＞0⇒g '（x ）＞0，∴c =g(x)min =g(x 0)=1+lnx 0−x 0+x 0lnx 0+b x 0=lnx 0+1x 0， ∴b +c =lnx 0+1x 0+x 0−lnx 0=x 0+1x 0．此时b ＝x 0﹣lnx 0， 令h(x)=x −lnx ⇒h′(x)=1−1x =x−1x＞0⇒h(x)在[1，e ]上递增，b ∈（1，e ﹣1）⇒x 0∈（1，e ），∴b +c ∈(2，e +1e )． 综上所述，b +c ∈[2，e +2e+1]． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，推理能力及计算能力，属于较难题目．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数），直线l 的参数方程为{x =√3−√32t y =3+12t （t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为（2√3，θ），其中θ∈（π2，π） （Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值．【分析】（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程，利用点A 的极坐标为（2√3，θ），θ∈（π2，π），即可求θ的值；（Ⅱ）若射线OA 与直线l 相交于点B ，求出A ，B 的坐标，即可求|AB |的值．解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数），普通方程为x 2+（y ﹣2）2＝4，极坐标方程为ρ＝4sin θ，∵点A 的极坐标为（2√3，θ），θ∈（π2，π），∴θ=2π3； （Ⅱ）直线l 的参数方程为{x =√3−√32t y =3+12t（t 为参数），普通方程为x +√3y ﹣4√3=0， 点A 的直角坐标为（−√3，3），射线OA 的方程为y =−√3x ，代入x +√3y ﹣4√3=0，可得B （﹣2√3，6），∴|AB |=√3+9=2√3．【点评】本题考查三种方程的转化，考查两点间距离公式的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x +12|+a |x −32|．（1）当a ＝﹣1时，解不等式f （x ）≤3x ；（2）当a ＝2时，若关于x 的不等式4f （x ）＜2|1﹣b |的解集为空集，求实数b 的取值范围．【分析】（1）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）利用绝对值三角不等式求得f （x ）的最大值为14，可得|1﹣b |≤7，由此解得b 的范围．解：（1）当a ＝﹣1时，不等式f （x ）≤3x 可化为{x ＜−14−(2x +12)+(x −32)≤3x①；或{−14≤x ＜322x +12+(x −32)≤3x ②；或{x ≥322x +12−(x −32)≤3x ③． 解①求得−12≤x ＜−14，解求得−14≤x ＜32，解求得x ≥32． 综上可得，不等式的解集为{x |x ≥−12}．（2）当a ＝2时，f （x ）＝|2x +12|+|2x ﹣3|≥|2x +12−（2x ﹣3）|=72，（当且仅当−14≤x ≤32时取等号），则f （x ）的最大值为4•72=14，不等式4f （x ）＜2|1﹣b |的解集为空集，等价于|1﹣b |≤7，解得﹣6≤b ≤8，故实数b 的取值范围是[﹣6，8]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。
2020年重庆市江津中学高考数学三诊试卷(理科)(含答案解析)
2020年重庆市江津中学高考数学三诊试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|lg(x−3)<1}，集合B={x|x2−3x−4<0}，则A∪B=()A. (3,13)B. (−1,4)C. (−1,13)D. (2,3)2.在复平面内，复数z=2i1+i所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.命题“∀x∈R，x2−x≤0”的否定是()A. ∃x∈R，x2−x≥0B. ∀x∈R，x2−x≥0C. ∃x∈R，x2−x>0D. ∀x∈R，x2−x>04.等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=36，则a3+a7=()A. 4B. 8C. 12D. 165.已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是()A. 若l//α，l⊥β，则α⊥βB. α⊥β，l⊥α，则l⊥βC. 若l//α，l//β，则α//βD. 若α⊥β，l//α，则l⊥β6.如图给出的是计算12+14+16+⋯+118的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()A. i>9B. i<9C. i>18D. i<187.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高，计算其体积V的近似公式V≈148L2ℎ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4，那么近似公式V≈175L2ℎ相当于将圆锥体积公式中π的近似取为()A. 256B. 258C. 253D. 2548.函数f(x)=x3cos x2+sinx在[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.9.已知直线y=kx(k≠0)与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若▵ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √510.某次晚会有六个节目，安排要求如下：A必须排在前三位，且E、F必须排在一起，则这六个节目的不同安排方案共有()A. 240种B. 188种C. 156种D. 120种11.当x∈[−2,1]时，不等式ax3−x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A. [−5,−3]B. [−6,−98] C. [−6,−2] D. [−4,−3]12.函数f(α)=tsinα+cosα的最大值为g(t)，则g(t)的最小值为()A. 1B. 0C. |t|+1D. √t2+1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(m,−1)，若a⃗//(a⃗+b⃗ )，则m=______．14.若(2x−1x2)n的展开式中所有二项式系数和为64，则n=________，展开式中的常数项是________．15.过直线2x+3y=0上的任意一点作圆(x−2)2+(y−3)2=1的切线，则切线长的最小值为_______．16.已知数列{a n}中，a1=1，a n−a n−1=n(n≥2,n∈N)，设b n=1a n+1+1a n+2+1a n+3+⋯+1a2n，若对任意的正整数n，当m∈[1,2]时，不等式m2−mt+13>b n恒成立，则实数t的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3sin A，周长为4(√2+1)，且sinB+sinC=√2sinA．(1)求a及cos A的值；)的值．(2)求cos(2A−π318.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF//平面BCE；(2)求二面角C−BE−D的余弦值的大小．19.某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如表(假设该区域空气质量指数不会超过300)：空气质量指数(0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．(1)以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？(2)从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率；(3)从这10天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽取空气质量良的天数，求ξ的分布列和期望．20.已知点F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，其焦距为2，椭圆C与y轴正半轴交点为A，且△AF1F2为等边三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点A作斜率为k1、k2(k1k2≠0)的两条直线分别交椭圆C于异于点A的两点M、N.证明：当k2=k1k1−1时，直线MN过定点．21. 已知函数f(x)=2lnx −ax(a ∈R)，g(x)=m −3x ．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a =−1时，对任意x ∈(0,+∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数m 的取值范围．22. 已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√2m,y =m2(m 为参数)，直线l 的参数方程为{x =t,y =3t +1(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．点A 的极坐标为(2√3,π6)． (1)求直线l 以及曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求线段MN 的中点到点A 的距离．23.已知函数f(x)=|x+a|+|x−2|．(Ⅰ)当a=−3时，求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)若f(x)≤|x−4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了并集及其运算和不等式的解法，属于基础题．解一元二次不等式和对数不等式可得出集合B和集合A，进而得出A∪B．解：由集合A={x|lg(x−3)<1}，可得A={x|3<x<13}，由集合B={x|x2−3x−4<0}，可得B={x|−1<x<4}，∴A∪B={x|−1<x<13}，故选C．2.答案：A解析：解：∵z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，∴复数z所对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈R，x2−x≤0”的否定是：∃x∈R，x2−x>0．故选：C．全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.答案：B解析：解：等差数列{a n}的前n项和为S n，S9=36，所以S9=9(a1+a9)2=9(a3+a7)2=36⇒a3+a7=8，故选：B．由题意可得9(a1+a9)2=36，再根据等差数列的性质即可求出．本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题．5.答案：A解析：本题主要考查了空间线面、面面位置关系，空间线面、面面垂直与平行的判定和性质，简单的逻辑推理能力，空间想象能力，根据题意逐项进行判断即可得到结果．解：A.若l//α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故A正确；B.若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除B；C.若l//α，l//β，则满足题意的两平面可能相交，排除C；D.若α⊥β，l//α，则l可能与β平行，相交，排除D.故选A.6.答案：A解析：解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：S=0，n=2，i=1不满足条件，第一圈：S=0+12，n=4，i=2，不满足条件，第二圈：S=12+14，n=6，i=3，不满足条件，第三圈：S=12+14+16，n=8，i=4，…依此类推，不满足条件，第8圈：S=12+14+16++⋯+，n=18，i=9，不满足条件，第9圈：S=12+14+16++⋯+118，n=20，i=10，此时，应该满足条件，退出循环其中判断框内应填入的条件是：i>9．故选：A．。
2020届重庆市高考数学三模试卷(理科)(有答案)(加精)
重庆市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|＜x≤3} B．{x|＜x＜3}C．{x|≤x＜2}D．{x|＜x＜2}2．已知复数z=1+，则1+z+z2+…+z2016为（）A．1+i B．1﹣i C．i D．13．（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=（）A．1024 B．243 C．32 D．244．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A．43 B．44 C．45 D．465．给出下列四个结论：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；②若x，y∈R，则“x≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件；③函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．③④6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（）A．B．C．1 D．7．已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）A．[，5]B．[0，5]C．[0，5）D．[，5）8．某中学学生社团活动迅猛发展，高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社”、“科技社”、“十年国学社”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）A．72 B．108 C．180 D．2169．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．11．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（）A．a，a B．a，C．D．12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．[，+∞）D．（﹣∞，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题线上.13．已知向量⊥，||=3，则•=．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得=80，y i=20，x i y i=184，=720．家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为2千元，预测该家庭的月收入为千元．（附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b）16．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，若ac=8，=，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间的距离的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，A+3C=B，（1）求cosC的值；（2）若b=3，求△ABC的面积．18．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动小组对2014年1月﹣2014年12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：指数API [0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中重度污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记为t）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P∈若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计100下面临界值表功参考．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828参考公式：．19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与定直线l2：x=4交于点P，试探索当m变化时，直线BP 是否过定点？21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM•MB=DF•DA．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x+5|．（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．重庆市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|＜x≤3} B．{x|＜x＜3}C．{x|≤x＜2}D．{x|＜x＜2}【考点】V enn图表达集合的关系及运算．【分析】首先化简集合A和B，然后根据V enn图求出结果．【解答】解：∵M={x|y=}={x|x≤}N={y|y=3﹣2x}={y|y＜3}图中的阴影部分表示集合N去掉集合M∴图中阴影部分表示的集合{x|＜x＜3}故选：B．2．已知复数z=1+，则1+z+z2+…+z2016为（）A．1+i B．1﹣i C．i D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数，然后利用复数单位的幂运算求解即可．【解答】解：复数z=1+=1+=i．1+z+z2+…+z2016=1+i+i2+…+i2016=1．故选：D．3．（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=（）A．1024 B．243 C．32 D．24【考点】二项式系数的性质．【分析】由于|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于（1+3x）5的各项系数和，故在（1+3x）5的展开式中，令x=1，即可求得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值．【解答】解：由题意（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5可得，|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于（1+3x）5的各项系数和，故在（1+3x）5的展开式中，令x=1可得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=45=1024，故选：A．4．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A．43 B．44 C．45 D．46【考点】程序框图．【分析】框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n﹣1，然后判断p＞2016是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n﹣1，成立时算法结束，输出n的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n项和问题．当前n项和大于2016时，输出n的值．【解答】解：框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，执行n=1+1=2，p=1+（2×2﹣1）=1+3=4；判断4＞2016不成立，执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3﹣1）=1+3+5=9；判断9＞2016不成立，执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4﹣1）=1+3+5+7=16；…由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，由p=＞2016，且n∈N*，得n=45．故选：C．5．给出下列四个结论：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；②若x，y∈R，则“x≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件；③函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】逐一分析四个结论的真假，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，当m=0时不成立，故为假命题，故错误；②若x，y∈R，当“x≥2或y≥2”时，“x2+y2≥4”成立，当“x2+y2≥4”时，“x≥2或y≥2”不一定成立，故“x ≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件，故正确；③当x=0时，y=log a（x+1）+1=1恒成立，故函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1），故正确；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.1，故错误；故选：C6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（）A．B．C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是腰长为2的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为为2，故圆锥的底面半径为1，高为，进而可得其侧视图的面积．【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，∴半圆锥的底面半径为1，高为，即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，故侧视图的面积是，故选：B．7．已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）A．[，5]B．[0，5]C．[0，5）D．[，5）【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域如图，令u=2x﹣2y﹣1，由线性规划知识求出u的最值，取绝对值求得z=|u|的取值范围．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得，∴A（2，﹣1），联立，解得，∴．令u=2x﹣2y﹣1，则，由图可知，当经过点A（2，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，u最大，最大值为u=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5；当经过点时，直线在y轴上的截距最大，u最小，最小值为u=．∴，∴z=|u|∈[0，5）．故选：C．8．某中学学生社团活动迅猛发展，高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社”、“科技社”、“十年国学社”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）A．72 B．108 C．180 D．216【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析可得，必有2人参加同一个社团，分2步讨论，首先分析甲，因为甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，再分析其他4人，此时分甲单独参加一个社团与甲与另外1人参加同一个社团，2种情况讨论，由加法原理，可得第二步的情况数目，进而由乘法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得，必有2人参加同一个社团，首先分析甲，甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有A44=24种情况，若甲是1个人参加一个社团，则有C42•A33=36种情况，则除甲外的4人有24+36=60种情况；故不同的参加方法的种数为3×60=180种；故选C．9．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【分析】依题意，可求得α∈[，]，2α∈[，π]，进一步可知β﹣α∈[，π]，于是可求得cos （β﹣α）与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又sin2α=＞0，∴2α∈[，π]，cos2α=﹣=﹣；又sin（β﹣α）=，β﹣α∈[，π]，∴cos（β﹣α）=﹣=﹣，∴cos（α+β）=cos[2α+（β﹣α）]=cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）=﹣×（﹣）﹣×=．又α∈[，]，β∈[π，]，∴（α+β）∈[，2π]，∴α+β=，故选：A．10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D11．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（）A．a，a B．a，C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用切线长定理，结合双曲线的定义，把|PF1|﹣|PF2|=2a，转化为|AF1|﹣|AF2|=2a，从而求得点A的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在△F1CF2中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．【解答】解：根据题意得F1（﹣c，0），F2（c，0），设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A1，B1，与F1F2切于点A，则|PA1|=|PB1|，|F1A1|=|F1A|，|F2B1|=|F2A|，又点P在双曲线右支上，∴|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|F1A|﹣|F2A|=2a，而|F1A|+|F2A|=2c，设A点坐标为（x，0），则由|F1A|﹣|F2A|=2a，得（x+c）﹣（c﹣x）=2a，解得x=a，∵|OA|=a，∴在△F1CF2中，OB=CF1=（PF1﹣PC）=（PF1﹣PF2）==a，∴|OA|与|OB|的长度依次为a，a．故选：A．12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．[，+∞）D．（﹣∞，]【考点】二次函数的性质．【分析】根据“f（x）在区间D上有次不动点”当且仅当“F（x）=f（x）+x在区间D上有零点”，依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，讨论将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．【解答】解：依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，当x=1时，使F（1）=≠0；当x≠1时，解得a=，∴a′==0，得x=2或x=，（＜1，舍去），x （1，2） 2 （2，4）a′+0 ﹣a ↗最大值↘∴当x=2时，a最大==，所以常数a的取值范围是（﹣∞，]，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题线上.13．已知向量⊥，||=3，则•=9．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=9．【考点】等差数列的性质；定积分的简单应用．【分析】先利用定积分求得，再根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵=（x2+x）|02=5，∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得=80，y i=20，x i y i=184，=720．家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为2千元，预测该家庭的月收入为8千元．（附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b）【考点】线性回归方程．【分析】利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出b，a，然后求出线性回归方程y=bx+a，通过x=2，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄．【解答】解：（1）由题意知，n=10，==8，=y i=2，b===0.3，a=﹣b=2﹣0.3×8=﹣0.4，∴线性回归方程为y=0.3x﹣0.4，当y=2时，x=8，故答案为：8．16．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，若ac=8，=，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间的距离的最小值为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把两个圆的方程相减与圆O1联立可得x2+y2=9，令4y﹣3x=t，则y=，代入可得25x2+6tx+t2﹣144=0，由△≥0，可得﹣15≤t≤15，再利用P到直线l的距离为=，即可求出点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值．【解答】解：∵ac=8，=，∴=，故两圆的圆心O1（a，b）、圆心O2（c，d）、原点O三点共线，不妨设==k，则c=，b=ka，d=kc=．把圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1相减，可得公共弦的方程为（2c﹣2a）x+（2d﹣2b）y=c2﹣a2，即（﹣2a）x+（﹣2•ka）y=﹣a2，即2（﹣a）x+2k（﹣a）y=（+a）（﹣a），当a≠±2时，﹣a≠0，公共弦的方程为：2x+2ky=+a，即：2ax+2kay=a2+8，即：2ax+2by=a2+8．O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，即x2+y2=2ax+2by﹣a2+1，再把公共弦的方程代入圆O1的方程可得x2+y2=9 ①．令4y﹣3x=t，代入①可得25x2+6tx+t2﹣144=0．再根据此方程的判别式△=36t2﹣100（t2﹣144）≥0，求得﹣15≤t≤15．点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离为==，故当4y﹣3x=t=﹣15时，点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离取得最小值为2．当a=±2时，由条件可得a=c，b=d，此时，两圆重合，不合题意．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，A+3C=B，（1）求cosC的值；（2）若b=3，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）把A+3C=B代入A+B+C=π得B=+C，可得sinB=cosC＞0，由条件和正弦定理化简后，利用平方关系求出cosC的值；（2）由条件求出边c的值，由（1）和平方关系求出cosB和sinC的值，利用两角和的正弦公式求出sinA 的值，代入三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）由题意得A+3C=B，则A=B﹣3C，代入A+B+C=π得，B=+C，所以sinB=cosC＞0，∵，∴由正弦定理得，，则，①又sin2C+cos2C=1，②由①②得，cos2C=，则cosC=；（2）∵，b=3，∴c=，由（1）知sinB=cosC=，且B=+C，∴cosB=﹣=﹣，同理可得sinC=，则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+（﹣）×=∴△ABC的面积S===．18．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动小组对2014年1月﹣2014年12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：指数API [0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中重度污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记为t）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P∈若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100下面临界值表功参考．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828参考公式：．【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）由200＜4t﹣400≤600，得150＜t≤250，频数为39，即可求出概率；（Ⅱ）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失P∈=…．（Ⅱ）根据以上数据得到如表：非重度污染重度污染合计供暖季22 8 30非供暖季63 7 70合计85 15 100…．K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…所以有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关．…19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，通过面面垂直的判定定理即得结论；（2）过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．则∠QNM是二面角Q﹣BD ﹣P的平面角，在Rt三角形MNQ中利用tan∠MNQ=计算即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PCD，DC⊂平面PDC，图1所示．∴AD⊥PD，AD⊥DC，在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°，又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°，∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD．∵PD⊥AD，PD⊥DC，AD∩DC=D．AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD．∴BC⊥平面PBD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）解：过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．由（1）可知BC⊥平面PDB，∴QM⊥平面PDB，∴QM⊥BD，∵QM∩MN=M，∴BD⊥平面MNQ，∴BD⊥QN，图2所示．∴∠QNM是二面角Q﹣BD﹣P的平面角，∴∠QNM=60°，∵，∴，∵QM∥BC，∴，∴QM=λBC，由（1）知，∴，又∵PD=1，MN∥PD，∴，∴MN===1﹣λ，∵tan∠MNQ=，∴，∴．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与定直线l2：x=4交于点P，试探索当m变化时，直线BP 是否过定点？【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C 的右焦点F，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）令m=0，则A（1，），B（1，﹣）或A（1，﹣），B（1，），从而得到满足题意的定点只能是（，0），设为D点，再证明P、B、D三点共线．由此得到BP恒过定点（，0）．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，∴由题设，得，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆C的标准方程为=1．（Ⅱ）令m=0，则A（1，），B（1，﹣）或A（1，﹣），B（1，），当A（1，），B（1，﹣）时，P（4，），直线BP：y=x﹣，当A（1，﹣），B（1，）时，P（4，﹣），直线BP：y=﹣x+，∴满足题意的定点只能是（，0），设为D点，下面证明P、B、D三点共线．设A（x1，y1），B（x2，y2），∵PA垂直于y轴，∴点P的纵坐标为y1，从而只要证明P（4，y1）在直线BD上，由，得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，∵△=144（1+m2）＞0，∴，，①∵k DB﹣k DP=﹣=﹣==，①式代入上式，得k DB﹣k DP=0，∴k DB=k DP，∴点P（4，y1）恒在直线BD上，从而P、B、D三点共线，即BP恒过定点（，0）．21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．（2）求出r（x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．【解答】解：（1）①h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx﹣n．则h（0）=1﹣n，函数的导数f′（x）=e x﹣m，则f′（0）=1﹣m，则函数在x=0处的切线方程为y﹣（1﹣n）=（1﹣m）x，∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）=1﹣m，即m+n=2．②当n=0时，h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx=0在（﹣1，+∞）上无解，若x=0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m=，设g（x）=，则函数的导数g′（x）=，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）=﹣e﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，若方程m=无解，则﹣e﹣1≤m＜e．（2）∵n=4m（m＞0），∴函数r（x）=+=+=+，则函数的导数r′（x）=﹣+=，设h（x）=16e x﹣（x+4）2，则h′（x）=16e x﹣2（x+4）=16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′=16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′=16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16﹣8=8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16﹣16=0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）=，故当x≥0时，r（x）≥1成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF 的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM•MB=DF•DA．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明．【分析】（1）证明DC是⊙O的切线，就是要证明CD⊥OC，根据CD⊥AF，我们只要证明OC∥AD；（2）首先，我们可以利用射影定理得到CM2=AM•MB，再利用切割线定理得到DC2=DF•DA，根据证明的结论，只要证明DC=CM．【解答】证明：（1）连接OC，∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA，∵CA是∠BAF的角平分线，∴∠OAC=∠FAC∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AD．…∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．…（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AM•MB．又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF•DA．∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM，∴AM•MB=DF•DA…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ．把代入上述方程即可化为直角坐标方程．（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t=0时），把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2+6t﹣6=0，利用|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ．化为直角坐标方程：y2=4x．（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t=0时），把直线l的参数方程（t为参数），代入抛物线方程可得：t2+6t﹣6=0，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x+5|．（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）f（x）=|x﹣4|+|x+5|和f（x）=|2x+1|，根据绝对值不等式，对|x﹣4|+|x+5|放缩，注意等号成立的条件，（Ⅱ）把关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，转化为关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，求函数f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|x﹣4|+|x+5|≥|（x﹣4）+（x+5）|=|2x+1|，当且仅当（x﹣4）（x+5）≥0，即x≤﹣5或x≥4时取等号．所以若f（x）=|2x+1|成立，则x的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[4，+∞）．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣4|+|x+5|≥|（x﹣4）﹣（x+5）|=9，所以若关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，则a＞f（x）min=9，即a的取值范围是（9，+∞）．。
2020年重庆市普通高等学校招生全国统一考试6月调研考试(2020届康德卷6月三诊考试)理科数学试卷及答案
2020年重庆市普通高等学校招生全国统一考试6月调研考试（2020届康德卷6月三诊考试）理科数学试卷★祝考试顺利★一、选一择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的。
已知集合2{|31},{|lg()},x x B x y x x -≤≤==-则A∩B=A ．(]0,1B ．(0,1) [].0,1C [).3,1D -2．在复平面内,复数z 对应点Z (x,y),若||||,z i z i -=+则A.0y = B ．[]0,0,1y x =∈ C ．0x = D ．[]0,0,1x y =∈3．命题p ：∀x ∈N,|2|3x +≥的否定为A ．∀x ∈N,|2|3x +<B ．∀x N,|2|3x +<C ．∃x ∈N,|2|3x +≥D ．∃x ∈N,|2|3x +<4．已知 2.122312log ,,225a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则 A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ． b a c <<5．设等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为n S ,若92727,a a a ++=且89,S S =则d=A ．-3B ．-1C ．1D ．36.若随机变量X 服从正态分布2(,)(0)N μσσ>则(||)0.6806,(||2)0.9544,(||3)0.9974.P X P X P X μσμσμσ-≤≈-≤≈-≤≈已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布()10100,N ，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为A ．159B ．46C ．23D ．137．已知向量()()12,34a b =-=r r ，，/,若向量→c 与→a 共线,且→c 在→b 则|→c |=A ．1B ．2C ．58．设α,β是空间中的两个平面,,m 是两条直线,则使得α∥β成立的一个充分条件是A ． ⊂α,m ⊂β,∥mB ．⊥m ,∥α,m ⊥αC ． ⊂α,m ⊂α,∥β,m ∥βD ．∥m ,⊥α,m ⊥β9．音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术,明代的律学家朱载填创建了十二平均律,并把十二平均律计算得十分精确,与当今的十二平均律完全相同,其方法是将一个八度音程(即相邻的两个具有相同名称的音之间,如图中88键标准钢琴键盘的一部分中,c 到1c 便是一个八度音程)均分为十二等分的音律,如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符,分别是c,d,e,f,g,a,b,则多出来的5个音符为c#(读做“升c”),d#,f#,g#,a#;12音阶为：c,c#,d,d#,e,f ．f#,g,g#,a,a#,b,相邻音阶的频率之比为1如图,则键盘c 和d 的频率之比为21即1键盘e 和f 的频率之比为1键盘c 和1c 的频率之比为1：2,由此可知,图中的键盘1b 和2f 的频率之比为A ．1B ．C :1D :1。
2020年重庆市高考数学模拟试卷(理科)(6月份) (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜1}，B＝{x|y＝lg（x﹣x2）}，则A∩B＝（）A．（0，1]B．（0，1）C．[0，1]D．[﹣3，1）2．在复平面内，复数z对应点Z（x，y），若|z﹣i|＝|z+i|，则（）A．y＝0B．y＝0，x∈[0，1]C．x＝0D．x＝0，y∈[0，1] 3．命题p：∀x∈N，|x+2|≥3的否定为（）A．∀x∈N，|x+2|＜3B．∀x∉N，|x+2|＜3C．∃x∈N，|x+2|≥3D．∃x∈N，|x+2|＜34．已知a=log232，b=(12)2.1，c=(25)−2，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜a＜c5．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若a2+a7+a9＝27，且S8＝S9，则d＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．36．若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则P（|X﹣μ|≤σ）≈0.6806，P （|X﹣μ|≤2σ）≈0.9544，P（|X﹣μ|≤3σ）≈0.9974．已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N（10，100），据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为（）A．159B．46C．23D．137．已知向量a→=(−1，2)，b→=(3，4)，若向量c→与a→共线，且c→在b→方向上的投影为√5，则|c→|＝（）A．1B．2C．√5D．58．设α，β是空间中的两个平面，l，m是两条直线，则使得α∥β成立的一个充分条件是（）A．l⊂α，m⊂β，l∥m B．l⊥m，l∥α，m⊥βC．l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥βD．l∥m，l⊥α，m⊥β9．音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术，明代的律学家朱载堉创建了十二平均律，并把十二平均律计算得十分精确，与当今的十二平均律完全相同，其方法是将一个八度音程（即相邻的两个具有相同名称的音之间，如图中88键标准钢琴键盘的一部分中，c 到c1便是一个八度音程）均分为十二等分的音律，如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是c，d，e，f，g，a，b，则多出来的5个音符为c#（读做“升c”），d#，f #，g #，a #；12音阶为：c ，c #，d ，d #，e ，f ．f #，g ，g #，a ，a #，b ，相邻音阶的频率之比为1：√212．如图，则键盘c 和d 的频率之比为1：(√212)2即1：√26，键盘e 和f 的频率之比为1：√212，键盘c 和c 1的频率之比为1：2，由此可知，图中的键盘b 1和f 2的频率之比为（ ）A ．1：√23B ．1：√2C ．√23：1D ．√2：110．已知函数f （x ）＝sin2x cos φ+2cos 2x sin φ﹣sin φ，若对任意x ∈R ，f(x)=f(5π6−x)，则实数φ中的取值可以是（ ） A ．−π3B ．−π6C ．π6D ．π311．已知点Q （﹣2，0）与抛物线y 2＝2px （p ＞0），过抛物线焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，若AB →=3BP →，且直线QA 的斜率为1，则p ＝（ ） A ．2B ．4C ．2+2√2D ．4√212．已知A(2，1)，B(23，0)，C ，D 四点均在函数f （x ）＝log 2ax x+b的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD 的面积是（ ） A ．265B ．263C ．525D ．523二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线y ＝2﹣x 与圆x 2+y 2+4x ﹣5＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ ．14．曲线f （x ）＝sin x +a （x ﹣1）2在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b ，则a +b ＝ ．15．已知（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5（a ∈R ）的展开式中各项系数之和为﹣1，则展开式中x 的系数为 ．16．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且a 2+b 2+c 2＝105，则b 的取值范围是 ． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17\～2117．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且4S n ，3S n +1，2S n +2成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝0，b n +1﹣b n ＝1，设c n ={a n ，n 为奇数b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和．18．某项数学竞赛考试共四道题，考察内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增，已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：代数 几何 数论 组合 第1题 0.6 0.8 0.7 0.7 第2题 0.5 0.7 0.7 0.6 第3题 0.4 0.5 0.5 0.3 第4题0.20.30.30.2假设学生甲每次考试各题的得分相互独立．（1）若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；（2）学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1、2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X 的分布列．19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，AB ＝BC ＝2，D ，E 分别为AA 1，B 1C 的中点． （1）证明：DE ⊥平面BCC 1B 1；（2）若直线BE 与平面AA 1B 1B 所成角为30°，求二面角C ﹣BD ﹣E 的大小．20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)，将其左、右焦点和短轴的两个端点顺次连接得到一个面积为4的正方形． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y ＝kx +m （k ＞0，m ＞0）与椭圆C 交于P ，Q 两点（均不在y 轴上），点A(0，−m 2)，若直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，且△OPQ 的面积为√62（O 为坐标原点），求直线l 的方程．21．已知函数f （x ）=12x 2+ae x −lnx ，a ∈R ．（1）若x =12是函数f （x ）的极值点，求a 的值； （2）当a ≥1时，证明：f （x ）＞138+ln 2． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ（θ为参数），直线l经过点（2，0）且倾斜角为α，0＜α＜π2，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过原点O 作直线l 的垂线l 1，垂足为P ，l 1交曲线C 于另一点B ，当α变化时，求△ABP 的面积的最大值及相应的α的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|，设f （x ）的最大值为M ． （1）求M ；（2）若正数a ，b 满足1a 3+1b 3=Mab ，证明：a 4b +ab 4≥43．参考答案一、选一择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |﹣3≤x ＜1}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣x 2）}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，1]B ．（0，1）C ．[0，1]D ．[﹣3，1）【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 解：∵A ＝{x |﹣3≤x ＜1}，B ＝{x |x ﹣x 2＞0}＝{x |0＜x ＜1}， ∴A ∩B ＝（0，1）． 故选：B ．2．在复平面内，复数z 对应点Z （x ，y ），若|z ﹣i |＝|z +i |，则（ ） A ．y ＝0B ．y ＝0，x ∈[0，1]C ．x ＝0D ．x ＝0，y ∈[0，1]【分析】由题意，z ＝x +yi （x ，y ∈R ），代入|z ﹣i |＝|z +i |，写出复数的模，整理后得答案． 解：由题意，z ＝x +yi （x ，y ∈R ），代入|z ﹣i |＝|z +i |，得|x +（y ﹣1）i |＝|x +（y +1）i |， 即√x 2+(y −1)2=√x 2+(y +1)2， 整理得：y ＝0． 故选：A ．3．命题p ：∀x ∈N ，|x +2|≥3的否定为（ ） A ．∀x ∈N ，|x +2|＜3 B ．∀x ∉N ，|x +2|＜3C ．∃x ∈N ，|x +2|≥3D ．∃x ∈N ，|x +2|＜3【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：“∀x ∈N ，|x +2|≥3”的否定为：∃x ∈N ，|x +2|＜3． 故选：D ．4．已知a =log 232，b =(12)2.1，c =(25)−2，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c【分析】可以得出14＜log 232＜1，(12)2.1＜14，(25)−2＞1，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．解：∵14=log2214＜log232＜log22=1，(12)2.1＜(12)2=14，(25)−2＞(25)0=1，∴b＜a＜c．故选：D．5．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若a2+a7+a9＝27，且S8＝S9，则d＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】利用等差数列的通项公式与前n项和的定义，即可求出公差d的值．解：等差数列{a n}中，a2+a7+a9＝（a1+d）+（a1+6d）+（a1+8d）＝3（a1+5d）＝3a6＝27，所以a6＝9；又S8＝S9，所以a9＝0；所以a9﹣a6＝3d＝﹣9，解得d＝﹣3．故选：A．6．若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则P（|X﹣μ|≤σ）≈0.6806，P （|X﹣μ|≤2σ）≈0.9544，P（|X﹣μ|≤3σ）≈0.9974．已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N（10，100），据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为（）A．159B．46C．23D．13【分析】由题意，μ＝110，σ＝10，结合2σ原则可得P（X＞130），乘以1000得答案．解：由题意，μ＝110，σ＝10，故P（X＞130）＝P（X＞μ+2σ）=1−0.95442=0.0228．∴估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为1000×0.0228＝22.8≈23．故选：C．7．已知向量a→=(−1，2)，b→=(3，4)，若向量c→与a→共线，且c→在b→方向上的投影为√5，则|c→|＝（）A．1B．2C．√5D．5【分析】根据平面向量的共线定理和投影的定义，求出向量c→，再求模长．解：向量a→=（﹣1，2），向量c→与a→共线，设c→=（﹣λ，2λ），由b→=（3，4），所以c→在b→方向上的投影为|c→|cosθ=c→⋅b→|b→|=−3λ+8λ5=√5，解得λ=√5，所以c→=（−√5，2√5），所以|c→|=√(−√5)2+(2√5)2=5．故选：D．8．设α，β是空间中的两个平面，l，m是两条直线，则使得α∥β成立的一个充分条件是（）A．l⊂α，m⊂β，l∥m B．l⊥m，l∥α，m⊥βC．l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥βD．l∥m，l⊥α，m⊥β【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系分析四个选项中能够推出α∥β的条件即可得答案．解：对于A，由l⊂α，m⊂β，l∥m，不一定得到α∥β，α与β也可能相交；对于B，由l⊥m，l∥α，m⊥β，不一定得到α∥β，α与β也可能相交，如图，对于C，l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，不一定得到α∥β，只有添加条件l与m相交时，才有α∥β；对于D，由l∥m，l⊥α⇒m⊥α，又m⊥β，可得α∥β．∴使得α∥β成立的一个充分条件是D．故选：D．9．音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术，明代的律学家朱载堉创建了十二平均律，并把十二平均律计算得十分精确，与当今的十二平均律完全相同，其方法是将一个八度音程（即相邻的两个具有相同名称的音之间，如图中88键标准钢琴键盘的一部分中，c 到c 1便是一个八度音程）均分为十二等分的音律，如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是c ，d ，e ，f ，g ，a ，b ，则多出来的5个音符为c #（读做“升c ”），d #，f #，g #，a #；12音阶为：c ，c #，d ，d #，e ，f ．f #，g ，g #，a ，a #，b ，相邻音阶的频率之比为1：√212．如图，则键盘c 和d 的频率之比为1：(√212)2即1：√26，键盘e 和f 的频率之比为1：√212，键盘c 和c 1的频率之比为1：2，由此可知，图中的键盘b 1和f 2的频率之比为（ ）A ．1：√23B ．1：√2C ．√23：1D ．√2：1【分析】根据所给定义，由图推得f 2是b 1后的第6个音阶即可得到答案解：根据题意，因为相邻音阶的频率之比为1：√212，而键盘f 2是b 1后的第6个音阶， 故频率之比为1：(√212)6=1：√2， 故选：B ．10．已知函数f （x ）＝sin2x cos φ+2cos 2x sin φ﹣sin φ，若对任意x ∈R ，f(x)=f(5π6−x)，则实数φ中的取值可以是（ ） A ．−π3B ．−π6C ．π6D ．π3【分析】先根据三角函数公式化简解析式，再由条件得到函数f （x ）的图象关于直线x =5π12对称；进而求得结论．解：因为函数f （x ）＝sin2x cos φ+2cos 2x sin φ﹣sin φ＝sin2x cos φ+（2cos 2x ﹣1）sin φ＝sin2x cos φ+cos2x sin φ＝sin （2x +φ）， ∵对任意x ∈R ，f(x)=f(5π6−x)， ∴函数f （x ）的图象关于直线x =5π12对称； 故2×5π12+φ＝k π+π2（k ∈Z ），即φ＝kπ−π3，k∈Z，故选：A．11．已知点Q（﹣2，0）与抛物线y2＝2px（p＞0），过抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点P，若AB→=3BP→，且直线QA的斜率为1，则p＝（）A．2B．4C．2+2√2D．4√2【分析】判断A、B的位置，结合向量关系，推出A、B横坐标与纵坐标的关系，通过直线的斜率关系，转化求解即可．解：由题意可知A在第一象限，B在第四象限，由AB→=3BP→，可知：x A＝4x B，则y A＝﹣2y B，又A、F、B三点共线，可得y A−y Bx A−x B=y Bx B−p2，即2py A+y B=y By B22p−p2，可得y A y B＝﹣P2，∴−12y A2＝﹣p2，即y A=√2p，x A＝p，由QA斜率为1可得：y Ax A+2=1，即√2pp+2=1，则p＝2（√2+1）．故选：C．12．已知A(2，1)，B(23，0)，C，D四点均在函数f（x）＝log2axx+b的图象上，若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形ABCD的面积是（）A．265B．263C．525D．523【分析】把点A，B的坐标代入函数f（x）的解析式，求出a，b的值，再利用BA→=CD→得到x2=x1+43，由f（x2）﹣f（x1）＝1得x1x2＝2x2﹣4x1，把x2=x1+43代入即可得到点C的坐标，从而求出BA→，BC→，得到平行四边形ABCD的面积．解：∵函数f（x）＝log2axx+b，由f（2）＝1可得2a2+b=2，∴a＝b+2，由f（23）＝0可得23a23+b=1，∴a＝1+32b，解得：a＝4，b＝2，∴f（x）=log24xx+2，设点C ，D 的横坐标分别为x 1，x 2，由题意可知BA →=CD →，则x 2−x 1=43，∴x 2=x 1+43，由f （x 2）﹣f （x 1）＝1得：log 2x 2(x 1+2)x 1(x 2+2)=1，∴x 2(x 1+2)x 1(x 2+2)=2，∴x 1x 2＝2x 2﹣4x 1，把x 2=x 1+43代入解得x 1=23或﹣4，又∵点C 不与B 重合，∴x 1＝﹣4，∴C （﹣4，3）， ∴BA →=(43，1)，BC →=(−143，3)，故平行四边形ABCD 的面积S ＝|43×3−1×(−143)|=263，故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线y ＝2﹣x 与圆x 2+y 2+4x ﹣5＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ 2 ．【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，进而求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，圆x 2+y 2+4x ﹣5＝0即（x +2）2+y 2＝9，其圆心为（﹣2，0），半径r ＝3， 圆心到直线y ＝2﹣x 的距离d =|−2−2|1+1=2√2， 则弦长|AB |＝2×√r 2−d 2=2×√9−8=2； 故答案为：2．14．曲线f （x ）＝sin x +a （x ﹣1）2在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b ，则a +b ＝ 4 ．【分析】先对f （x ）求导，然后求出f （x ）在（0，f （0））处的切线斜率，再根据在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b 和切线过切点（0，a ），得到关于a ，b 的方程，进一步求出a +b 的值．解：由f （x ）＝sin x +a （x ﹣1）2，得f ′（x ）＝cos x +2a （x ﹣1）， ∴f （x ）在（0，f （0））处的切线斜率k ＝f '（0）＝1﹣2a ， ∵f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b ， ∴1﹣2a ＝﹣3，∴a ＝2，又y ＝﹣3x +b 过（0，a ），∴b ＝a ＝2， ∴a +b ＝4． 故答案为：4．15．已知（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5（a ∈R ）的展开式中各项系数之和为﹣1，则展开式中x 的系数为 ﹣9 ．【分析】先求出a 的值，再利用二项展开式的通项公式的特点，求出展开式中x 的系数． 解：∵令x ＝1，可得（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5展开式的各项系数之和为a •15＝﹣1， ∴a ＝﹣1，∴（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5＝（x 2﹣x ﹣1）（2x ﹣1）5＝x 2•（2x ﹣1）5﹣x •（2x ﹣1）5﹣（2x ﹣1）5；显然这三项展开后，只有后面两项有x ；即（﹣x ）•（﹣1）5−∁54•2x •（﹣1）4＝﹣9x ；故展开式中x 的系数为﹣9； 故答案为：﹣9．16．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且a 2+b 2+c 2＝105，则b 的取值范围是 （√30，√35] ．【分析】设等差数列的公差为d ，用b 和d 表示a 和c ，结合题意列出不等式求出b 的取值范围．解：设等差数列的公差为d ，则a ＝b ﹣d ，c ＝b +d ； 所以a 2+b 2+c 2＝（b ﹣d ）2+b 2+（b +d ）2＝3b 2+2d 2＝105； 不妨设d ≥0，由a +b ＞c ，得b ﹣d +b ＞b +d ，解得d ＜b2； 所以3b 2≤105＜3b 2+b 22，解得30＜b 2≤√35， 即√30＜b ≤√35；所以b 的取值范围是（√30，√35]． 故答案为：（√30，√35]．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17\～2117．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且4S n ，3S n +1，2S n +2成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝0，b n +1﹣b n ＝1，设c n ={a n ，n 为奇数b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和．【分析】（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的定义、通项公式可得所求； （2）由等差数列的定义和通项公式，可得b n ，求得c n ={2n−1，n 为奇数n −1，n 为偶数，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和． 解：（1）由4S n ，3S n +1，2S n +2成等差数列， 可得6S n +1＝4S n +2S n +2，即3S n +1＝2S n +S n +2， 即2（S n +1﹣S n ）＝S n +2﹣S n +1，即2a n +1＝a n +2，所以等比数列{a n }的公比为2， 又a 1＝1，可得a n ＝2n ﹣1，n ∈N*；（2）由b 1＝0，b n +1﹣b n ＝1，可得{b n }是首项为0，公差为1的等差数列， 则b n ＝n ﹣1，n ∈N*，c n ={a n ，n 为奇数b n ，n 为偶数={2n−1，n 为奇数n −1，n 为偶数，所以{c n }的前2n 项和为c 1+c 2+…+c 2n ＝（a 1+a 3+…+a 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）＝（1+4+16+…+22n ﹣2）+（1+3+…+2n ﹣1）=1−4n 1−4+1+2n−12•n =4n 3−13+n 2． 18．某项数学竞赛考试共四道题，考察内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增，已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：代数 几何 数论 组合 第1题 0.6 0.8 0.7 0.7 第2题 0.5 0.7 0.7 0.6 第3题 0.4 0.5 0.5 0.3 第4题0.20.30.30.2假设学生甲每次考试各题的得分相互独立．（1）若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；（2）学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1、2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X的分布列．【分析】（1）学生甲得160分，即第1，2题做对一道，第3、4题都做对，由此能预测学生甲考试得160分的概率．（2）由题知学生甲第1题必得40分，只需考虑另三道题的得分情况，从而X的所有可能取值为40，80，100，140，160，200，分别求出相应的概率，能求出X的分布列．解：（1）学生甲得160分，即第1，2题做对一道，第3、4题都做对，∴P＝（0.6×0.3+0.4×0.7）×0.5×0.2＝0.046．（2）由题知学生甲第1题必得40分，只需考虑另三道题的得分情况，故X的所有可能取值为40，80，100，140，160，200，P（X＝40）＝0.3×0.7×0.7＝0.147，P（X＝80）＝0.7×0.7×0.7＝0.343，P（X＝100）＝0.3×C32×0.3×0.7=0.126，P（X＝140）=0.7×C21×0.3×0.7=0.294，P（X＝160）＝0.3×0.3×0.3＝0.027，P（X＝200）＝0.7×0.3×0.3＝0.063．∴X的分布列为：X4080100140160200P0.1470.3430.1260.2940.0270.063 19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝BC＝2，D，E 分别为AA1，B1C的中点．（1）证明：DE⊥平面BCC1B1；（2）若直线BE与平面AA1B1B所成角为30°，求二面角C﹣BD﹣E的大小．【分析】（1）取BC的中点F，连结AF，EF，推导出DE∥AF，且DE＝AF，AF⊥BC，由A1A⊥面ABC，且A1A∥B1B，从而B1B⊥面ABC，进而B1B⊥AF，由此能证明AF ⊥平面BCC1B1，从而DE⊥面BCC1B．（2）过F作FH⊥AB，由题意得FH＝1，推导出FH⊥面AA1B1B，即点F到平面AA1B1B 的距离为1，EF∥面AA1B1B，E到平面AA1B1B的距离d＝1，求出BE＝2，EF=√2，BB1＝2√2，以F为原点，FA为x轴，FB为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣BD﹣E的大小．解：（1）证明：取BC的中点F，连结AF，EF，则EF∥B1B∥DA，且EF=12B1B=DA，∴DE∥AF，且DE＝AF，又△ABC是等腰直角三角形，∴AF⊥BC，由A1A⊥面ABC，且A1A∥B1B，∴B1B⊥面ABC，∴B1B⊥AF，B1B∩BF＝B，∴AF⊥平面BCC1B1，∴DE⊥面BCC1B．（2）解：过F作FH⊥AB，由题意得FH＝1，由A1A⊥面ABC，知A1A⊥面ABC，知A1A⊥FH，∴FH⊥面AA1B1B，即点F到平面AA1B1B的距离为1，又EF∥B1B，EF⊄平面AA1B1B，∴EF∥面AA1B1B，∴点E与点F到平面AA1B1B的距离相等，∴E到平面AA1B1B的距离d＝1，∴sin30°=dBE=1BE，解得BE＝2，∴EF=√2，BB1＝2√2，以F为原点，FA为x轴，FB为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，√2，0），C（0，−√2，0），D（√2，0，√2），E（0，0，√2），∴CB→=（0，2√2，0），BD→=（√2，−√2，√2），BE→=（0，−√2，√2），设平面CBD和平面BDE的法向量分别为m→=(x1，y1，z1)，n→=（x2，y2，z2），则{m →⋅CB →=2√2y 1=0m →⋅BD →=√2x 1−√2y 1+√2z 1=0，取x 1＝1，得m →=（1，0，﹣1）， {n →⋅BD →=√2x −√2y +√2z =0n →⋅BE →=−√3y +√3z =0，取y 2＝1，得n →=（0，1，1）， ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=−12，由图知二面角C ﹣BD ﹣E 是锐二面角， ∴二面角C ﹣BD ﹣E 的大小为π3．20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)，将其左、右焦点和短轴的两个端点顺次连接得到一个面积为4的正方形． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y ＝kx +m （k ＞0，m ＞0）与椭圆C 交于P ，Q 两点（均不在y 轴上），点A(0，−m 2)，若直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，且△OPQ 的面积为√62（O 为坐标原点），求直线l 的方程．【分析】（1）根据正方形面积为4可得b ＝c =√2，椭圆方程可求；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由题意直线l 的方程为：l ：y ＝kx +m ，（k ＞0，m ≠0，±1）根据韦达定理和直线的斜率以及等比数列的性质，可求出k ，再根据弦长公式，点到直线的距离公式，和三角形的面积公式即可求出m 的值，则直线PQ 的方程即可求出．解：（1）由题知b ＝c =√2，a ＝2， 故C 的方程为：x 24+y 22=1；（2）联立{x 24+y 22=1y =kx +m，整理得（1+2k 2）x 2+4km +2m 2﹣4＝0，则△＝8（2﹣m 2+4k 2）＞0得4k 2+2＞m 2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=−4km 1+2k2，x 1x 2=2m 2−42k 2+1，由直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，则k 2=y 1+m 2x 1•y 2+m2x 2=kx 1+32m x 1•kx 2+32m x 2， 即k 2x 1x 2＝k 2x 1x 2+32mk （x 1+x 2）+94m 2，又m ＞0，所以k （x 1+x 2）=−32m ， 即−4k 2m 2k 2+1=−32m ，则k 2=32，又S △OPQ =12•|m |•|x 1﹣x 2|，所以√62=|m|2•√8(2−m 2+4k 2)2k 2+1=|m|2•√8(8−m 2)4，即m 4﹣8m 2+12＝0，解得m 2＝2或6，均满足△＞0． 又k ＞0，m ＞0，且P 、Q 均不在y 轴上，所以k =√62，m =√6，故直线l 的方程为y =√62x +√6．21．已知函数f （x ）=12x 2+ae x −lnx ，a ∈R ．（1）若x =12是函数f （x ）的极值点，求a 的值； （2）当a ≥1时，证明：f （x ）＞138+ln 2． 【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a 的方程，解出验证即可； （2）问题转化为只需证明12x 2+e x ﹣lnx ＞138+ln 2，令g （x ）=12x 2+e x ﹣lnx ，根据函数的单调性怎么即可．解：（1）f ′（x ）＝x +ae x −1x，由题意知f ′（12）＝0，即12+a √e −2＝0，解得：a =2e，又f ″（x ）＝1+ae x +1x 2＞0， ∴f ′（x ）在（0，+∞）上递增， 故当a =32√e 时，有x ∈（0，12）时，f ′（x ）＜0， x ∈（12，+∞）时，f ′（x ）＞0，∴x =12是f （x ）的极小值点；（2）当a ≥1时，对于∀x ＞0有ae x ≥e x ， 即f （x ）≥12x 2+e x ﹣lnx ， 故要证明f （x ）＞138+ln 2，只需证明12x 2+e x ﹣lnx ＞138+ln 2， 令g （x ）=12x 2+e x ﹣lnx ，则g ′（x ）＝x +e x −1x，g ″（x ）＝1+e x +1x 2＞0， ∴g ′（x ）在（0，+∞）递增，又g ′（12）=√e −32＞0，g ′（13）=√e 3−83＜0， 故存在x 0∈（13，12），使得g ′（x 0）＝0，则g （x ）在（0，x 0）递减，在（x 0，+∞）递增，∴g （x ）≥g （x 0）=12x 02+e x 0−lnx 0，又x 0+e x 0−1x 0=0，∴g （x 0）=12x 02−x 0+1x 0−lnx 0，令h （x ）=12x 2﹣x +1x −lnx （13＜x ＜12），则h ′（x ）＝x ﹣1−1x 2−1x＜0， ∴h （x ）在（13，12）递减，∴h （x ）＞h （12）=138+ln 2， 故g （x 0）＞138+ln 2，故g （x ）＞138+ln 2， 原不等式得证． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ（θ为参数），直线l经过点（2，0）且倾斜角为α，0＜α＜π2，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过原点O 作直线l 的垂线l 1，垂足为P ，l 1交曲线C 于另一点B ，当α变化时，求△ABP 的面积的最大值及相应的α的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用及二次函数的性质的应用求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ（θ为参数），转换为直角坐标方程为x 2+（y ﹣1）2＝1，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ＝2sin θ．（2）由题意知直线l 1的极坐标方程为θ=α+π2，则：{ρ=2sinθθ=α+π2，所以ρB =2sin(α+π2)=2cosα．故：|OP |＝2sin α，|AP |＝2cos α，所以|BP |＝2cos α+2sin α． 所以S △ABP =12×2(cosα+sinα)2cosα=√2sin(2α+π4)+1． 当2α+π4=π2，即α=π8时，面积的最大值为√2+1． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|，设f （x ）的最大值为M ． （1）求M ；（2）若正数a ，b 满足1a 3+1b 3=Mab ，证明：a 4b +ab 4≥43．【分析】（1）由f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|＝|2x ﹣1|﹣|2x +2|﹣|x +1|，结合绝对值不等式的性质和绝对值的几何意义，可得所求最大值； （2）由（1）可得1a 3+1b 3=3ab ，a 4b +ab 4＝ab （a 3+b 3）=13（1a 3+1b 3）（a 3+b 3），再由基本不等式即可得证．解：（1）函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|＝|2x ﹣1|﹣|2x +2|﹣|x +1|≤|2x ﹣1﹣2x ﹣2|﹣|﹣1+1|＝3， 当x ＝﹣1时，f （x ）取得最大值3，即M ＝3； （2）证明：正数a ，b 满足1a +1b =3ab ，故a 4b +ab 4＝ab （a 3+b 3）=13（1a 3+1b3）（a 3+b 3）=13（1+1+a 3b3+b3a3） ≥13（2+2√a 3b3⋅b 3a3）=43，当且仅当a ＝b =√235时等号成立，故a 4b +ab 4≥43．。
2020届重庆市高三高考模拟调研(三)(康德卷)数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届重庆市高三高考模拟调研（三）（康德卷）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设集合{}2230,N A x x x x =--<∈，集合{}2xB y y ==，则A B =I ( )A ．{}1,2B ．{}1,2,8C ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．∅答案A求出集合A 、B ，利用交集的定义可得出集合A B I . 解：{}{}{}2230,N 13,N 0,1,2A x x x x x x x =--<∈=-<<∈=Q ，{}{}20x B y y y y ===>，因此，{}1,2A B =I .故选：A. 点评：本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解以及指数函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题.2．命题“0x ∀>，tan sin x x >”的否定为（ ） A ．0x ∃>，tan sin x x ≤ B ．0x ∃≤，tan sin x x > C ．0x ∀>，tan sin x x ≤ D ．0x ∀≤，tan sin x x ≤答案A利用全称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果. 解：命题“0x ∀>，tan sin x x >”为全称命题，其否定为“0x ∃>，tan sin x x ≤”， 故选：A. 点评：本题考查全称命题否定的改写，属于基础题. 3．已知复数12z i =+，则55zz iz-+=（ ）A ．12i +B ．2i +C ．12i -D ．2i -答案B利用复数的乘法和除法法则可计算出结果. 解：12z i =+Q ，则2125z z ⋅=+=，因此，()()()5125552121212i i zz i ii z i i i --+===+++-. 故选：B. 点评：本题考查复数的计算，涉及复数的乘法和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.4．已知向量()1,2a =r，()11b =-r ,，(),2c m =r ，且()2-⊥r r r a b c ，则实数m =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．任意实数答案B计算出向量2a b -r r的坐标，由()2-⊥r r r a b c 得()20a b c -⋅=r r r ，结合向量数量积的坐标运算可求得实数m 的值. 解：()1,2a =rQ ，()11b =-r ,，()23,0a b ∴-=r r ，(),2c m =rQ ，()2-⊥r r r a b c ，则()230a b c m -⋅==r r r ，解得0m =.故选：B. 点评：本题考查利用向量垂直的坐标表示求参数，考查计算能力，属于基础题. 5．已知n *∈N ，且1n >，三个数1ln n n +、11n +、1n的大小关系是（ ） A ．111ln 1n n n n +>>+ B ．111ln 1n n n n +>>+ C ．111ln1n n n n +>>+ D ．111ln1n n n n+>>+ 答案A试题分析：令()ln(1)f x x x =+-，则1()111xf x x x'=-=-++，当0x >时，()0f x '<，所以()f x 在区间[0,)+∞上单调递减，所以当0x >时，()ln(1)(0)0f x x x f =+-<=恒成立，即ln(1)x x +<恒成立，令1x n=得，11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即11ln n n n+⎛⎫<⎪⎝⎭；令()ln(1)1xg x x x =+-+，则()()2211()0111x x x g x x x x +-'=-=>+++，所以()g x 在区间[0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()ln(1)(0)01x g x x g x =+->=+，即ln(1)1x x x +>+，令1x n=得11ln 111n n n⎛⎫+> ⎪⎝⎭+，即11ln 1n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭.综上所述有111ln 1n n n n +>>+，故选A. 【考点】1.导数与函数单调性；2.函数与数列不等式.6．不等式20x ax b -+<的解集为{}12x x <<，则6x a ⎫-⎪⎭的展开式中常数项为( ) A ．64- B ．16027-C ．2027D ．803答案D利用一元二次不等式的解可求得实数a 的值，进而写出二项展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可得解. 解：由题意可知，1、2是二次方程20x ax b -+=的两根，由韦达定理得123a =+=，所以63x ⎫-⎪⎭的展开式通项为633621661233rr rr r r r r x T C C x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令3302r -=，得2r =，因此，二项展开式中常数项为22436180233T C ⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭. 故选：D. 点评：本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了二项展开式中常数项的求解，考查计算能力，属于中等题.7．抛物线24y x =的焦点到双曲线()222210,0x y a b a b -=>>则该双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．3答案C求出抛物线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求出ba的值，再利用离心率公式可求得双曲线的离心率的值. 解：抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，双曲线的渐近线方程为by x a=±， 由题意得2231b a d b a ==+，解得3ba=， 因此，该双曲线的离心率为222212c a b b e a a a +⎛⎫===+= ⎪⎝⎭. 故选：C. 点评：本题考查抛物线和双曲线几何性质的应用，在涉及利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，利用公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算较为方便，考查计算能力，属于中等题. 8．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．919B ．1021C ．1819D ．2021答案B根据程序框图得出2221114114214101S =+++⨯-⨯-⨯-L ，利用裂项相消法可求得输出的S 的值. 解：()()21111141212122121i i i i i ⎛⎫==- ⎪--+-+⎝⎭Q，由程序框图可知，输出的S 的值为2221114114214101S =+++⨯-⨯-⨯-L 1111111012335192121⎛⎫=-+-++-= ⎪⎝⎭L . 故选：B. 点评：本题考查利用程序框图计算输出结果，同时也考查了裂项求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.9．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁答案A分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果． 解：①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意； ②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意.综上所述，盗窃者是甲.故选：A.点评：本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．10．已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别为1F、2F，O为坐标原点，以12F F为直径的圆O与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P、Q，点B 为圆O与y轴正半轴的交点，若2POF QOB∠=∠，则双曲线C的离心率为（）A．35+B．352+C．15+D．152+答案D画出图形如图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为by xa=，以12F F为直径的圆O的方程为222x y c+=．由222by xax y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得x ay b=⎧⎨=⎩，故点P的坐标为(,)a b；由22222221x ya bx y c⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得22x b cbyc⎧=+⎪⎨=⎪⎩，故点Q的坐标为22()a b c bc+．∵2POF QOB∠=∠，∴2sin sinPOF QOB∠=∠，∴222b b cc c+=，整理得2b ac=，∴22c a ac-=，故得210e e--=，解得152e+=．选D．。