估算算术平方根
2022年初中数学同步 7年级下册 第07课 算数平方根与平方根(教师版含解析)-
第07课 算数平方根与平方根课程标准1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．知识点01 平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x 叫做的算术平方根(规定0的算术平方根还是0)；的算术平方根记作a ，读作“a 的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：(1)当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. (2)负数没有算数平方根；(3)算数平方根等于本身的数有：0和1； (4)算数平方根平方等于原来的数； (5)注意a 运算结果的非负性； 2.平方根的定义如果，那么x 叫做a 的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.注意：(1)非负数才有平方根； (2)负数没有平方根；(3)平方根等于本身的数是：0；(4)一个正数有2个平方根，他们互为相反数； (5)平方根平方等于原来的数；x a 2x a =a a a a a a a 2x a =a a a (0)a a ±≥a a 目标导航知识精讲知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：(1)定义不同；(2)结果不同：和 2．联系：(1)平方根包含算术平方根；(2)被开方数都是非负数；(3)0的平方根和算术平方根均为0． 注意：算术平方根平方根定义若正数x ，2x a =，正数x 叫做a 的算术平方根，x a =若数x ，2x a =，数x 叫做a 的平方根，x a =±a 的范围 0a ≥0a ≥表示aa ±正数有一个算术平方根，是正数正数有两个平方根，它们互为相反数0的算术平方根是0 0的平方根是0 负数没有算术平方根负数没有平方根知识点03 平方根的性质(1)2a =,0||0,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩(2)2()a =,(0)a a ≥知识点04 平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右(左)每移动两位，算术平方根的小数点向右(左)移动一位。
算术平方根、平方根知识点教学教材
算术平方根、平方根知识点学科教师辅导讲义知识点2：估算估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-=m ，那么m 的取值范围是（ ）A.10<<mB.21<<mC.32<<mD.43<<m知识点3：平方根、开平方的概念及符号表示延伸拓展1.平方根的理解（1）被开方数a 一定是非负数（即正数或0）； （2）平方与开平方是互逆运算；2.平方根与算术平方根的区别与联系例2.求下列各数的平方根和算术平方根：（1）0.0009 （2）8125（3）25-）（知识点4：平方根的性质平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ±，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根.注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个.例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（ ） A.2 B.-1 C.1 D.0随堂巩固一、选择题.1. 4的算术平方根是（ ）A.2B.-2C.±2D.162.下列说法正确的是（ ）A.5是25的算术平方根B.16是4的算术平方根C.-6是()26-的算术平方根 D.0没有算术平方根3.下列整数中，与 最接近的是（ ）A.4B.5C.6D.74.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）A.2与3 之间B.3与4 之间C.4与5之间D.5与6之间 5.81的平方根是（ ）A.3±B.3C.9±D.9 6.下列语句正确的是（ ）A.-2是-4的平方根B.2是()22-的算术平方根C.()22-的平方根是2D.4的平方根是2或-27.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（ ）A.-8B.8±C.2±D.8±或2±二、填空题 1.化简：（1）412= ； （2） = . 2.大于2且小于5的整数是 . 3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。
算术平方根、平方根知识点辅差
知识点2：估算估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小.规律小结确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分.例2.如果17-=m ，那么m 的取值范围是（ ）A.10<<mB.21<<mC.32<<mD.43<<m知识点3：平方根、开平方的概念及符号表示延伸拓展1.平方根的理解（1）被开方数a 一定是非负数（即正数或0）；（2）平方与开平方是互逆运算；2.例2.求下列各数的平方根和算术平方根：（1）0.0009 （2）8125（3）25-）（知识点4：平方根的性质平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ±，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a也叫做a 的算术平方根.注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个.例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（ ）A.2B.-1C.1D.0随堂巩固一、选择题.1. 4的算术平方根是（ ）A.2B.-2C.±2D.162.下列说法正确的是（ ）A.5是25的算术平方根B.16是4的算术平方根C.-6是()26-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中，与 最接近的是（ ）A.4B.5C.6D.74.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）A.2与3 之间B.3与4 之间C.4与5之间D.5与6之间5.81的平方根是（ ）A.3±B.3C.9±D.96.下列语句正确的是（ ）A.-2是-4的平方根B.2是()22-的算术平方根C.()22-的平方根是2D.4的平方根是2或-27.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（ ）A.-8B.8±C.2±D.8±或2±二、填空题1.化简：（1）412= ； （2） = . 2.大于2且小于5的整数是 .3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。
《算术平方根》说课稿(通用10篇)
《算术平方根》说课稿(通用10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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最新算术平方根、平方根知识点
学科教师辅导讲义知识点2：估算估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小.规律小结确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分.例2.如果17-=m ，那么m 的取值范围是（ ）A.10<<mB.21<<mC.32<<mD.43<<m知识点3：平方根、开平方的概念及符号表示延伸拓展1.平方根的理解（1）被开方数a 一定是非负数（即正数或0）；（2）平方与开平方是互逆运算；2.例2.求下列各数的平方根和算术平方根：（1）0.0009 （2）8125（3）25-）（知识点4：平方根的性质平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ±，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a也叫做a 的算术平方根.注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个.例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（ ）A.2B.-1C.1D.0随堂巩固一、选择题.1. 4的算术平方根是（ ）A.2B.-2C.±2D.162.下列说法正确的是（ ）A.5是25的算术平方根B.16是4的算术平方根C.-6是()26-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中，与 最接近的是（ ）A.4B.5C.6D.74.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）A.2与3 之间B.3与4 之间C.4与5之间D.5与6之间5.81的平方根是（ ）A.3±B.3C.9±D.96.下列语句正确的是（ ）A.-2是-4的平方根B.2是()22-的算术平方根C.()22-的平方根是2D.4的平方根是2或-27.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（ ）A.-8B.8±C.2±D.8±或2±二、填空题1.化简：（1）412= ； （2） = . 2.大于2且小于5的整数是 .3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。
算术技巧如何快速计算平方根和立方根
算术技巧如何快速计算平方根和立方根数学在我们的日常生活中起着重要作用，而算术技巧是数学中的基础。
在数学运算中，计算平方根和立方根是常见的需求。
本文将介绍一些快速计算平方根和立方根的算术技巧，帮助读者更高效地解决这些问题。
一、计算平方根的算术技巧1. 牛顿-拉弗森方法牛顿-拉弗森方法是一种通过迭代逼近的方法计算平方根。
它的基本思想是利用切线逼近曲线，通过不断迭代逼近目标值。
以下是一个使用牛顿-拉弗森方法计算平方根的示例：假设要计算数值a的平方根，首先猜测一个近似值x，然后使用以下公式进行迭代计算，直到达到所需精度：x = (x + a / x) / 2通过不断迭代，x的值会逐渐逼近平方根的精确值。
2. 平方根的性质与近似计算平方根具有一些特性，利用这些特性可以进行近似计算。
以下是一些常用的近似计算方法：（1）完全平方数的平方根是一个整数。
例如，√4 = 2，√16 = 4。
算。
例如，要计算√10，可以利用√9 = 3和√16 = 4的值进行估算，得到3 < √10 < 4。
（3）利用平方根的倍数进行近似计算。
例如，要计算√17，可以利用√16 = 4和√25 = 5的值进行估算，得到4 < √17 < 5。
二、计算立方根的算术技巧1. 牛顿迭代法牛顿迭代法也可以用来计算立方根，与计算平方根的方法类似。
假设要计算数值a的立方根，首先猜测一个近似值x，然后使用以下迭代公式：x = (2 * x + a / (x^2)) / 3通过不断迭代，x的值会逐渐逼近立方根的精确值。
2. 立方根的近似计算立方根的近似计算可以借鉴平方根的近似计算方法。
以下是一些常用的近似计算方法：（1）对于完全立方数，其立方根是一个整数。
例如，∛8 = 2。
算。
例如，要计算∛10，可以利用∛8 = 2和∛27 = 3的值进行估算，得到2 < ∛10 < 3。
（3）利用立方根的倍数进行近似计算。
例如，要计算∛17，可以利用∛8 = 2和∛27 = 3的值进行估算，得到2 < ∛17 < 3。
七年级数学下册教学课件《算术平方根》
3. （1）若一个数的算术平方根是 13 ，则这个数 是___1_3___.
4
（2）① 16 =___4__， 16的算术平方根是___2___；
② （ - 5）2 =___5___，（ - 5）2 的算术平方根是 ___5___，（-5）2的算术平方根是____5___.
概念
提取 ( 0 )2 = 0 ，规定：0 的算术平方根是 0.
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，
即 x2 = a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平
方根.
(非负数 x )2 = a
非负数 x 是非负数 a 的算术平方根
那么 1，9，16，36，4 的算术平方根是？
25
概念 提取
a 的算术平方根记为 a ，读作“根 号 a”，a 叫做被开方数.
（1）根据计算结果，回答 a2 一定等于 a 吗？你
发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来. （2）利用你总结的规律，计算：（3.14-）2 .
解：（1） a2 不一定等于a， a2 a .
（2）原式 = |3.14－π| = π－3.14 .
课堂总结
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a， 即 x2 = a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平
从
100 10
从
大 到
49 7 64 8
大 到
小
小
0.0001 0.1
被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
若a b 0，则 a __＞___ b.
对应训练
【选自教材P41练习 第1题】
1. 求下列各数的算术平方根： （1）0.0025；（2）81；（3）32.
人教版数学七年级下册 用计算器求算术平方根及其大小比较
典例精析 例1 (1) 估计与
最接近的两个整数是多少？
解：因为 32 = 9，42 = 16， 所以 3 < < 4．
所以与 最接近的两个整数是 3 和 4.
例1 (2) 估计与 最接近的一个整数是多少？ 太小 太大
解：因为 3 < < 4， 而 3.52 = 12.25， 所以 < 3.5 . 所以最接近 的整数是 3 .
解：由题意知正方形纸片的边长为 20 cm. 设长方形的长为 3x cm，则宽为 2x cm. 则有
3x 2x 300，x2 50，x 50 ，3x 3 50.
∵50＞49 ，∴ 50 ＞7. ∴3 50 ＞21. 3 50 就是 3 50
∴小丽不能裁出符合要求的纸片.
练一练
2.某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间 t (h)
导入中
是一个_无__限__不__循__环_小数
有多大呢？ 因为 52 = 25，62 = 36，
所以 5＜ 30＜6.
练一练
1. 设 a、b 是两个连续的整数，若a < 30 < b， 求 a + b 的值.
分析： 25＜ 30＜ 36 ，即 5 < 30 < 6，
总结 ∴ a + b = 5 + 6 = 11. 估算 a (a＞0)在哪两个整数之间及整数、小数的部分： 根据算术平方根的定义，有 m2＜a＜n2，其中 m，n 是 连续非负整数，则 m＜ a ＜n，则 a 的整数部分为 m， 小数部分为 a m .
(2)用计算器计算 3 (精确到 0.001)，并利用你在 (1) 中发现的规律说出 0.03 ， 300 ， 3000 的近似值. 你 能根据 3 的值直接得到 30 是多少吗?
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归纳小结
举例说明如何估算算术平方根的大小．
布置作业 教科书第44页练习 第1，2(1)、(2)、(4)题；习题6.1第6题
…
0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 …
… 0.25 0.791 2.5 7.91 25 79.1 250 …
被开方数的小数点每向右(或左)移动两位,则它的算术平方根的小数点向右(或左)移 动一位.
探究规律 利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
解：设这个大正方形的边长为x, 则 x2=2 x叫做2的算术平方根 2的算术平方根记做: 2 X 2
2
2有多大?
因为 1 2 < ( 2 )2 < 2 2
所以 1 <
2 <2
因为 1.4 2 < ( 2 )2 < 1.5 2
逼 近
所以 1.4 <
2 < 1.5
法
……
1.414 <
2 < 1.415
探究规律 利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
…
0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 …
… 0.25 0.791 2.5 7.91 25 79.1 250 …
被开方数每扩大100倍， 其算术平方根就扩大10倍
探究规律 利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
所以 1.4 ．2 1.5
1.96 2 2.25
因为 1.412 ， 1.9881 ，1.422 2.0614
而 1.9881 2，所2以.0164
． 1.41 2 1.42
因为 1.4142 ，1.999396 ，1.4152 2.002225
而 1.999396 2，所2以.002225
你能将这个问题转化为数学问题吗？
例题讲解
解：设剪出的长方形的两边长分别为3x cm和2x cm，
则有3x∙2x=300 ，
6x2=300 ，
xx2=505，0 3，50 cm
2 50 cm
故长方形纸片的长为
，宽为
．
长方形的长和宽与正方形的边长之间的大小关系是什么？小丽能用这块
纸片裁出符合要求的纸片吗？
2 = 1.4142135623730950 …
无限不循环小数!
解决问题
2 有多大呢？
你是怎样判断出 大于1而小于2的？ 2 因为 1，2 1 ， 22 4
而所以<1 < 2，． 4
1 2 2 你能不能得到 的更精确的2范围？
2大于1而小于2
解决问题
2 有多大呢？
因为 1.42， 1.96，而1.52 2.25，
． 1.414 2 1.415
……
解决问题
你以前见过这种数吗？
2有多大呢？
2
无
限
不
循
环
小
试比较下列各组数的大小
(1).4与 15 (2).2 7与6
解:(1).Q 42 16,
2
15 15
4 15
(2) ( 7 )2 7,32 9
7 3 2 7 6
比较大小：
5 1与0.5 . 2
30000 的近似值．
你能否根据 的值说出 3 是多少？
30
例题讲解 小丽想用一块面积为400 cm2为的长方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见 了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明 的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
例题讲解
解：设剪出的长方形的两边长分别为3x cm和2x cm，
则有3x∙2x=300 ，
6x2=300 ，
xx2=505，0 ，3 50 cm
2 50 cm
因故为长方50形＞纸49片，的得长为50＞7 ，所以，3宽5为0 ＞3×7＝2．1，
比原正方形的边长更长纸片裁出符合要求的纸片．
…
0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 …
… 0.25 0.791 2.5 7.91 25 79.1 250 …
你能直接说出 6250000与 625000的值吗？ 你 发 现 其 中 有 什 么 规 律 ？
应用规律
已知 3 1.732
并利用刚才的得到规律说出 0.03 ， 300
6.1 平方根 （第2课时）
（1）会估计带有根号的数的大致范围在 哪两个整数之间，
并初步体验“无限不循环小数”的含义．
(2)被开方数的小数点与它的算术平方根 的小数点移动规律
探索 & 交流 怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的
大正方形？
2 有多大呢？
思考:你知道这个大正方形的边长是多少吗？