2014年广东省深圳市高考理科数学二模试题及答案解析

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2014年全国高考广东省数学(理)试卷及答案【精校版】

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，10 7．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.60B.90C.120D.130小学初中高中年级 O二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为。

2014深圳二模(理科)数学试题含答案

广东省深圳中学2014届高三第二次模拟测试题理科数学第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1．“1>x ”是“ln 0x >”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2. 已知i 是虚数单位，复数2(1)(1)i z x x =-++是纯虚数，则实数x 的值为A ．1±B ．1-C ．1D ．23. 若集合{}0P y y =≥，PQ Q =，则集合Q 不可能是A ．∅B ．{}2,R y y x x =∈ C ．{}2,R xy y x =∈ D ．{}2log ,0y y x x =>4．sin 2013︒∈A ．32,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭B ．21,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．23,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．12,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭5．若函数2(),f x x x ax =+∈R ，常数a ∈R ，则A ．存在,a 使()f x 是奇函数B ．存在,a 使()f x 是偶函数C ．,a f x ∀∈R ()在(0,)+∞上是增函数D ．,a f x ∀∈R ()在(,0)-∞上是减函数 6. 动点P 在函数sin 2y x =的图象上移动，动点(,)Q x y 满足π(,0)8PQ =，则动点Q 的轨迹方程为A ．πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ． πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是A ．8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 设函数(2)ln(3)()4x x f x x --=-，则()f x 的图象A ．在第一象限内B ．在第四象限内C ．与x 轴正半轴有公共点D ．一部分在第四象限内，其余部分在第一象限内2n n =31n n =+开始 n =3，k =0 n 为偶数n =1输出k 结束k =k +1 是否是否y=cos xy=sin xOyx-2-12-17π83π8y xOODC BA第II 卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 右图中阴影部分区域的面积S = .10. 若命题“x ∀∈R ，220x x m ++≥”的否定为真命题，则实数m 的取值范围是 .11. 如右图，在四边形ABCD 中，13DC AB =，E 为BC 的中点，且AE x AB y AD =⋅+⋅，则32x y -= . 12．在ABC 中， 1cos ,33A AC AB ==，则cos B = . 13．已知函数()f x 满足：①对任意0x ∈+∞（，），恒有(2)2()f x f x =；②当(]1,2x ∈时，()2f x x =-.则(8)f = ；方程1()5f x =的最小正数解为 .选做题（请考生在以下两小题中任选一题做答，若两小题都做，则按第14题记分）.14．（几何证明选讲选做题）如图，已知点D 在圆O 直径AB 的延长线上，过D 作圆O 的切线,切点为.C 若3,1CD BD ==, 则圆O 的面积为 .15．(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为,(3.x t t y t =⎧⎨=+⎩为参数)；以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系O ρθ，则曲线l 的极坐标方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题共12分）（1）若1011(,),(,)a b ==-，()c a a b b =+⋅，求c ；（2）已知13,a b ==，1a b +=,求a 与b 夹角θ的值. 17．（本小题满分13分）已知函数()()sin f x a x b ωθ=+-的部分图象如下图，其中π0,,2ωθ><,a b 分别是ABC 的角,A B 所对的边.（1）求()f x 的解析式；（2）若cos ()+12CC f =，求ABC 的面积S . EDC BA18． (本题满分13分)已知向量m (2cos 23sin ,1)x x =+，向量n (cos ,)x y =-，,x y ∈R ．(1) 若m n ,且1y =,求πtan()6x +的值；（2）若m ⊥n ，设()y f x =，求函数)(x f 的单调增区间.19.（本小题共14分）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间(]1,1-上，01211(),201x x x f x ax x <<≤≤+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩，，其中常数a ∈R , 且13.22f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1) 求a 的值；（2）设函数()()()g x f x f x =+-,[21][12].x ∈--，， ①求证：()g x 是偶函数； ②求函数()g x 的值域.20．（本题满分14分）设函数()e ,xf x =2()4x g x =-，其中e 为自然对数的底数.(1) 已知12,R x x ∈，求证：[]12121()()()22x x f x f x f ++≥；（2）是否存在与函数()f x ，()g x 的图象均相切的直线l ？若存在，则求出所有这样的直线l 的方程；若不存在，则说明理由.21．(本小题满分14分)已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中常数k ∈R . (1) 求()f x 的单调增区间与单调减区间；（2）若()f x 存在极值且有唯一零点0x ，求k 的取值范围及不超过x k的最大整数m .参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9．21- 10．(),1-∞ 11. 1 12．0 13. 0， 31014. π 15.(sin cos )3ρθθ-=,或π32sin()42ρθ-=三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题共12分）（1）若1011(,),(,)a b ==-，()c a a b b =+⋅，求c ；（2）已知13,a b ==，1a b +=,求a 与b 夹角θ的值. 解：（1）1011(,),(,)a b ==-，1a b ∴⋅=-， ……………………………………………………………………2分则21()(,)=+⋅=-=-c a a b b a b ，……………………………………………4分22215()c =+-=，…………………………………………………………6分另解：（1）1011(,),(,)a b ==-，1∴⋅=-a b ，2222101,(1)12=+==-+=a b ………………………3分则c a a b b a b =+⋅=-()， ……………………………………………4分222()21225c a b a a b b =-=-⋅+=++=，……………………6分（2）22222()22cos a b a b a b a b a b a b +=+=++⋅=++⋅θ,……8分又13,a b ==,1a b +=,∴1323cos 1θ++=,3cos 2θ=-. .………………………………………10分[]0,πθ∈,5π.6θ∴=.………………………………………………………………………12分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C D B B D B ACBAO-2-12-17π83π8y xO另解：（2）假设a 与b 方向相同，那么131a b a b +=+=+>，这与1a b +=矛盾；假设a 与b 方向相反，那么311a b b a +=+-=-<这与1a b +=矛盾. 故a 与b 不共线. .……………………………………………………………8分如图,在OACB 中,OA =a ,OB =b , 则=OC +a b ,AOB θ∠=.从而在OAC 中,1,3OA OC AC OB ====,22211(3)1cos .2112AOC +-∠==-⨯⨯.……………………………………………10分由(0,π)AOC ∠∈,知2π,3AOC ∠=π,6BOC OCA OAC ∠=∠=∠= 故2ππ5π.366AOB AOC BOC θ=∠=∠+∠=+=……………………………12分 17．（本小题满分13分）已知函数()()sin f x a x b ωθ=+-的部分图象如下图，其中π0,,2ωθ><,a b 分别是ABC 的角,A B 所对的边.（1）求()f x 的解析式；（2）若cos ()+12CC f =，求ABC ∆的面积S . 解：（1）由图象可知：max min ()21,()21,f x a b f x a b =-=-=--=--得2a =， 1.b =…………………………………………………………2分函数()f x 的最小正周期2π7π3π2()π88T ω==-=，得 2.ω=…………………3分由3π3π()2sin(2)121,88f θ=⨯+-=-得3πsin()1,4θ+=…………………4分ππ3π5π,2444θθ<<+<， 3πππ,.424θθ∴+==- ……………………………………………………………5分故π()2sin 2 1.4f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ …………………………………………………6分（2）由cos ()+12C C f =得，π2sin sin c s os o 4c C C C C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=，……7分即1cos 2sin .C C =……………………………………………………………8分又22sin cos 1C C +=，得2425sin ,sin .55C C ==±…………………………10分由0πC <<得，25sin 5C =，……………………………………………………11分故110sin .25S ab C ==……………………………………………………………13分 18． (本题满分13分)已知向量m (2cos 23sin ,1)x x =+，向量n (cos ,)x y =-，,x y ∈R ． (1) 若mn ,且1y =,求πtan()6x +的值；（2）若m ⊥n ，设()y f x =，求函数)(x f 的单调增区间. 解：（1）m n ,且1y =，2cos 23sin cos ,x x x ∴+=- ………………………2分即3tan .2x =-……………………………………………………………3分 πtan tanπ36tan().π691tan tan 6x x x +∴+==--⨯ ……………………………………5分（2）m ⊥n ，∴m ⋅n 0=，得22cos 23sin cos 0x x x y +-=, …………7分即π()1cos 23sin 22sin(2) 1.6y f x x x x ==++=++………………………9分0n ≠，πcos 0,π,2x x k k ∴≠≠+∈Z .（没考虑这点不扣分）由π()4cos(2)06f x x '=+≥得πππ2π22π,262k x k k -≤+≤+∈Z ，………11分即ππππ,36k x k k -≤≤+∈Z . …………………………………………………12分故)(x f 的单调增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .………………………………13分另解：（2）m ⊥n ，∴m ⋅n 0=，得22cos 23sin cos 0x x x y +-=, ………7分即π()1cos 23sin 22sin(2) 1.6y f x x x x ==++=++………………………9分0n ≠，πcos 0,π,2x x k k ∴≠≠+∈Z .（没考虑这点不扣分）函数2sin 1y t =+的单调增区间为ππ2π,2π,22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ,……………10分且函数π26t x =+是增函数, 由πππ2π22π,262k t x k k -≤=+≤+∈Z ，得ππππ,36k x k k -≤≤+∈Z . …………………………………………………12分故)(x f 的单调增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .………………………………13分 19.（本小题共14分）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间(]1,1-上，01211(),201x x x f x ax x <<≤≤+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩，，其中常数a ∈R , 且13.22f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1) 求a 的值；（2）设函数()()()g x f x f x =+-,[21][12].x ∈--，， ①求证：()g x 是偶函数； ②求函数()g x 的值域.(1)解： 214212312a a f ++⎛⎫==⎪⎝⎭+， ……………………………………………………1分由函数()f x 的周期为2，得3311()(2)()2()102222f f f =-=-=-+=……3分1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 40, 4.3a a +∴==- ……………………………………………………………4分(2) ①证明：对[21][12]x ∀∈--，，，有[21][12]x -∈--，，且()()(())()()()g x f x f x f x f x g x -=-+--=-+=，∴()g x 是偶函数. …………………………………………………6分②解：由①知函数()g x 的值域与函数()g x 在[12]，上的值域相等 (1)(1)(1)(1)(12)2(1)2,g f f f f f =+-=+-+==-(2)(2)(2)2(0)4g f f f =+-==…………………………………………………8分当12x <<时, 21x -<-<-,()()()(2)(2)g x f x f x f x f x =+-=-+-+4(2)26()2(2)127(2)13x g x x x x x --+=-++=---+-,………………………10分26()20(3)g x x '=+>-,()g x 在()1,2内是增函数, ………………………11分得6627()2271323g x --<<⨯----,即2() 3.g x -<<…………………13分综上知,函数()g x 的值域为[){}2,34.-…………14分20．（本题满分14分）设函数()e ,xf x =2()4x g x =-，其中e 为自然对数的底数.(1) 已知12,R x x ∈，求证：[]12121()()()22x x f x f x f ++≥；（2）是否存在与函数()f x ，()g x 的图象均相切的直线l ？若存在，则求出所有这样的直线l 的方程；若不存在，则说明理由.(1)证明:[]12121()()()22x x f x f x f ++-121221(e e )e 2x x x x +=+- 121221(e e 2e )2x x x x +=+-122221(e e )0.2x x =-≥………………………………5分[]12121()()().22x x f x f x f +∴+≥ ……………………………………………6分(2) 设直线l 与函数()f x 的图象相切,切点为(,e )t t ,则直线l 的方程为e e (),t t y x t -=-即e e (1).t t y x t =+-……………………9分直线l 与函数()g x 的图象相切的充要条件是关于x 的方程2e e (1),4ttx x t +-=-即2+e e (1)04tt x x t +-=有两个相等的实数根, ………10分即2e e (1)0,t t t ∆=--=e 10.tt +-=……………………………………………11分设()e 1t t t ϕ=+-,则(0)0ϕ=,且()e 10t t ϕ'=+>,()t ϕ在R 上递增, ()t ϕ只有一个零点0.t =……………………………………13分所以存在唯一一条直线l 与函函数()f x 与()g x 的图象均相切,其方程为1.y x =+……………………………………………………………………………14分21．(本小题满分14分)已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中常数k ∈R . (1) 求()f x 的单调增区间与单调减区间；（2）若()f x 存在极值且有唯一零点0x ，求k 的取值范围及不超过x k的最大整数m . 解:（1）211()(0).x kx f x x k x x x-+'=+-=>……………………………………1分 ① 当2k ≤时，11()220f x x k x k k x x'=+-≥⋅-=-≥，函数()f x 为增函数. …………………………………………………………………3分 ②当2k >时，12()()()x x x x f x x--'=，其中2212440.22k k k k x x --+-<=<=…………………………………4分,(),()x f x f x '的取值变化情况如下表：………………………………………………………………………………………6分综合①②知当2k ≤时，()f x 的增区间为(0,)+∞，无减区间；当2k >时，()f x 的增区间为240,2k k ⎛⎤-- ⎥ ⎥⎝⎦与24,2k k ⎡⎫+-+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭，减区间为2244,.22k k k k ⎡⎤--+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………………7分x1(0,)x 1x12(,)x x2x2(,)x +∞ ()f x '+ 0-+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增（2）由(1)知当2k ≤时，()f x 无极值；…………………………………………………8分当2k >时，212420124k k x k k --<==<+-知()f x 的极大值1111()ln ()02x f x x x k =+-<，()f x 的极小值21()()0f x f x <<，故()f x 在(]20,x 上无零点. ………………………………………………………………10分224(2)ln(2)2ln(2)02k f k k k k =+-=>，又22412k k x k +-<=<，故函数()f x 有唯一零点0x ，且()02,2x x k ∈.………………………………………11分又222()ln ln 22k k f k k k k =+-=-，记2()ln (2)2k g k k k =->， 211()0,k g k k k k -'=-=<则22()(2)ln 2ln 2202g k g <=-=-<，从而()0f k <，002,1 2.x k x k k<<<<…………………………………………13分故k 的取值范围是(2,),+∞不超过0x k的最大整数 1.m = ………………………14分。

2014年广东高考理科数学及答案(word版)

绝密★启用前试卷类型A2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型A 填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．学科网在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+ B . 34i -- C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值学科网和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，学科网为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则学科网下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.60 B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为。

2014年高考理科数学广东卷-答案

【解析】由题意得，，又，
所以 = = = = .
【提示】直接由等比数列的性质结合已知得到，然后利用对数的运算性质化简后得答案.
【考点】等比数列的性质，数列的前n项和，对数的运算
14.【答案】
【解析】曲线即，故其直角坐标方程为：，曲线为，则其直角坐标方程为，所以两曲线的交点坐标为 .
【解析】由图1可得出样本容量为 .
抽取的高中生近视人数为，故选A.
【提示】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数.
【考点】频率分布直方图，分层抽样
7.【答案】D
【解析】由，，将四条直线放入正方体中，如图所示，，，，面，满足已知条件，为平面中的任意一条直线，即可得出结论，的位置关系不确定.
由①②知，当时， .
【提示】（Ⅰ）在数列递推式中取得一个关系式，再把变为得另一个关系式，进而可求，然后把递推式中n取1，再结合可求得 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明.
【考点】数列的项，数学归纳法求数列的通项公式
20.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）可知，又，
所以，
所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
所以，
所以，
， .
又，
所以，
.
【提示】（Ⅰ）由函数的解析式以及，求得的值.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，根据，求得的值，再由，求得的值，从而求得的值.
【考点】三角函数求值，同角三角函数的基本关系
17.【答案】
（Ⅰ）由题意可得 =7， =2， =0.28， =0.08.

2014年高考理科数学试题广东卷【word版含答案】

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N = A.{1,0,1}- B.{1,0,1,2}- C.{1,0,2}- D.{0,1} 2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x xx i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为。

2014年广东高考理科数学试题含答案(Word版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0222222:11,,60,.2210(1)1(1)0B B =∴++-⋅+-+答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定答案:D 8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130 答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130, D.x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 . '5'0:530:5,5,35,530.x x x y y e y y x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= . 51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDF AEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ，（1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f . 55233:(1)()sin()sin , 3.121243223(2)(1):()3sin(),4()()3sin()3sin()443(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )4444323cos sin 6cos 426cos ,(0,),42f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈解由得10sin 4331030()3sin()3sin()3sin 3.44444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======解频率分布直方图如下所示(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D －AF －E 的余弦值.:(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CDDE CF CP EF DC DEDF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴=⋅======⋅∴====为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠==12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431,0),ADF CP (3,1,0),22AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,19||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）；（2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--∴++-><->-++++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-+++<--<<-<-∴-<-<-<--+∴=-∞------+---+-+∞==-⋅⋅该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-+∞+>+++>+>∴<-∞------++∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D ,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴-<----<<-+<--+--+<+->∴><+<<-+++<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii x x x x x k x x k k k g x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<<--+<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f --<<-+<-++<∴<>+->∴<++-+<---⋃--⋃-+⋃-+-+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。

2014广东高考真题数学理(含答案)

N （
）． D． {0,1}
C． {1, 0, 2} ）．
2.已知复数 z 满足 (3 4i) z 25, 则 z （ A． 3 4i B． 3 4i
C． 3 4i
D． 3 4i
yx 3.若变量 x, y 满足约束条件 x y 1且z 2 x y 的最大值和最小值分别为 M 和 m ，则M m （）． y 1
15.（几何证明选讲选做题）如图 3，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上且 EB 2 AE ，AC 与 DE 交于点 F ，则
CDF的面积＝ AEF的面积
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分 12 分）
6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2 （）．的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为
A． 200, 20
B． 100, 20
C． 200,10
D． 100,10
7.若空间中四条两两不同的直线 l1 , l2 , l3 , l4 ，满足 l1 l2 , l2 , l3, l3 l4，则下列结论一定正确的是（）． B． l1 / / l4 C． l1 , l4 既不垂直也不平行 D． l1 , l4 的位置关系不确定 A． l1 l4
π 5 3 已知函数 f ( x) A sin( x ), x R ，且 f ( π) ， 4 12 2 （1）求 A 的值；
（2）若 f ( ) f ( )
3 3 π ， (0, ) ，求 f ( π ) ． 4 2 2

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2014年广东省深圳市高考理科数学二模试题及答案解析
数学（理科）
一、选择题
1.函数)1ln(+=x y 的定义域是
A. )0,1(-
B. ),0(+∞
C. ),1(+∞-
D. R
2.方程014=-z 在复数范围内的根共有
A.1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3.两条异面直线在同一个平面上的正投影不．
可能是 A.两条相交直线 B.两条平行直线 C.两个点 D.一条直线和直线外一点
4.在下列直线中，与非零向量),(B A n = 垂直的直线是
A. 0=+By Ax
B. 0=-By Ax
C. 0=+Ay Bx
D. 0=-Ay Bx
5.已知函数)(x f y =的图像与函数1
1+=x y 的图像关于原点堆成，则=)(x f A. 11+x B. 11-x C. 11+-x D. 1
1--x 6.已知△ABC 中，C B C B A sin sin sin sin sin 222++=，则=A A.
6π B. 3π C. 32π D. 6
5π 7.已知不等式x x a y y 224+≤-+对任意实数y x ,都成立，则常数a 的最小值为 A.1 B. 2 C. 3 D. 4
8.如图1，我们知道，圆环也可看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积
2
2)()(22r R r R r R S +⨯
⨯-=-=ππ.所以，圆环的面积等于是以线段r R AB -=为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长22r R +⨯π为长的矩形
面积.请将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：
若将平面区域d)r 0}()(|),{(2
22<<≤+-=其中r y d x y x M 绕
y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是
A. d r 22π
B. d r 222π
C. 22rd π
D. 222rd π
二、填空题
(一)必做题:
9.如图2，在独立性检验中，根据二维条形图回答，吸烟与患肺病（填“有”或“没有”）.
10.在4)32(+x 的二项展开式中，含3x 项的系数是 .PB
11.以抛物线x y 42=的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲
线方程是 .
12.设变量y x ,满足⎩⎨
⎧≤+≤≤1
10y y x ，则y x +的取值范围是 .
13.在程序中，RND x =表示将计算机产生的[0,1]区间上的均匀随机数赋给变量x .利
用图3的程序框图进行随机模拟，我们发现：随着输入N 值的增加,输出的S 值稳定在
某个常数上.这个常数是 .(要求给出具体数值) 注:框图中的“=”,
即为“←”或为 “:=”.
(二)选做题:
14.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中,B A ,分别是直线05s i n 4c o s 3=+-θρθρ和圆θρcos 2=上的动点,则B A ,两点之间距离的最小值
是 .
15.(几何证明选讲选做题)如图4,△OAB 是等腰三角形,P 是底边AB
延长线上一点,且4,3=∙=PB PA PO ,则腰长OA= .
三、解答题:
16.(本小题满分12分)
已知函数)6cos(sin )(πωω+
+=x x x f ,其中R x ∈,ω为正常数. (1) 当2=ω时,求)3
(π
f 的值; (2) 记)(x f 的最小正周期为T ,若1)3
(=π
f ,求T 的最大值.
某班联欢晚会玩飞镖投掷游戏,规则如下:
每人连续投掷5支飞镖,累积3支飞镖掷中目标即可获奖;否则不获奖.同时要求在以下两种情况下中止投掷:①累积3支飞镖掷中目标;②累积3支飞镖没有掷中目标.
已知小明同学每支飞镖掷中目标的概率是常数)5.0( p p ,且掷完3支飞镖就中止投掷的概率为3
1. (1) 求p 的值；
(2) 记小明结束游戏时，投掷的飞镖支数为X ，求X 的分布列和数学期望.
18.( 本小题满分14分)
如图5,已知△ABC 为直角三角形,∠ACB 为直角.以AC 为直径作半圆O,使半圆O 所在平面⊥平面ABC,P 为半圆周异于A,C 的任意一点.
(1) 证明:AP ⊥平面PBC
(2) 若PA=1,AC=BC=2,半圆O 的弦PQ ∥AC,求平面PAB 与平面QCB 所成锐二面角的余弦值.
设等差数列}{n a 的公差为d ,n S 是}{n a 中从第12-n 项开始的连续12-n 项的和,即
(1) 若1S ,2S ,3S 成等比数列,问:数列}{n S 是否成等比数列?请说明你的理由;
(2) 若04151>=
d a ,证明:*),14121(981111321N n d S S S S n n ∈+-≤++++ .
20.( 本小题满分14分)
已知a 为正常数,点A,B 的坐标分别是)0,(),0,(a a -,直线AM,BM 相交于点M,且它们的斜率之积是2
1a -. (1) 求懂点M 的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线;
(2) 当2=a 时,过点)0,1(F 作直线AM l ∥,记l 与(1)中轨迹相交于两点P,Q,动直线AM 与y
轴交与点N,证明
AN AM PQ
为定值.
设f （x ）是定义在［a ，b ］上的函数，若存在c (,)a b ，使得f （x ）在［a ，c ］上单调递增，在［c ，b ］上单调递减，则称f （x ）为［a ，b ］上单峰函数，c 为峰点。

（1）已知
为[a ，b]上的单峰函数，求t 的取值范围及b-a 的最大值：
（2）设其中 ①证明：对任意上的单峰函数： ②记函数上的峰点为证明：。