数学：13.3乘法公式-13.3.2两数和的平方课件1(华东师大版八年级上)
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数学13.3《乘法公式》第二课时两数和的平方教案(华东师大八年级上)
§13.3 乘法公式
课题：两数和的平方第二课时
教学目标：
[知识与技能]：会推导两数和的平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 ，了解公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算。
[过程与方法]：通过计算、观察，学生自己得出公式，再通过观察公式的几何背景、图形，运用公式计算，理解两数和的平方公式，并形成一定的运用公式计算的能力。
[情感态度与价值观]：在推导和运用两数和的平方公式的过程中，体会数形结合的思想方法，发展数学思维能力。
教学重、难点：
[重点]：推导和运用两数和的平方公式。
[难点]：公式的结构特征及公式中字母的意义。
教学过程：。
华东师大版八年级数学上册两数和(差)的平方课件
③
＋
·－
��
A.①③
B.①②
C.①②③
D.①②③④
；④(x－2)(x＋1).
合作探究
运用完全平方公式计算:(－2x＋5y)2.
解:(－2x＋5y)2＝(5y－2x)2＝(5y)2－2×5y×2x＋(2x)2
＝25y2－20xy＋4x2.
方法归纳交流 对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用
第12章 整式的乘除
12.3 乘法公式
2.两数和差的平方
素养目标
1.知道两数和的平方公式.
2.会从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和的平方这一乘
法公式.
3.能运用两数和的平方公式进行有关计算.
◎重点:对两数和的平方公式的理解，能运用完全平方公式
进行简单的计算.
预习导学
1.说出平方差公式.两数的和乘以这两数的差等于这两个数
预习导学
归纳总结
－b)2＝
完全平方公式:(a＋b)2＝ a2＋2ab＋b2 ，(a
a2－2ab＋b2 .用语言来叙述:
两数和(或差)的平方，
等于这两数的平方和，再加上(或减去)它们的积的2倍 .
【讨论】(a＋b)2＝a2＋b2对吗？为什么？
不对.因为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
预习导学
·导学建议·
1.通过计算探究得到两数和(差)的平方公式，利用图形验证
完全平方公式，体会数形结合思想.
2.具有a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的情势的多项式叫做两数
和(差)的平方式，这种情势的多项式可以化成一个整式的平方.
预习导学
两数和(差)的平方公式的应用
阅读课本本课时“例4”至“练习”前面的内容，解决下列
＋
·－
��
A.①③
B.①②
C.①②③
D.①②③④
；④(x－2)(x＋1).
合作探究
运用完全平方公式计算:(－2x＋5y)2.
解:(－2x＋5y)2＝(5y－2x)2＝(5y)2－2×5y×2x＋(2x)2
＝25y2－20xy＋4x2.
方法归纳交流 对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用
第12章 整式的乘除
12.3 乘法公式
2.两数和差的平方
素养目标
1.知道两数和的平方公式.
2.会从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和的平方这一乘
法公式.
3.能运用两数和的平方公式进行有关计算.
◎重点:对两数和的平方公式的理解，能运用完全平方公式
进行简单的计算.
预习导学
1.说出平方差公式.两数的和乘以这两数的差等于这两个数
预习导学
归纳总结
－b)2＝
完全平方公式:(a＋b)2＝ a2＋2ab＋b2 ，(a
a2－2ab＋b2 .用语言来叙述:
两数和(或差)的平方，
等于这两数的平方和，再加上(或减去)它们的积的2倍 .
【讨论】(a＋b)2＝a2＋b2对吗？为什么？
不对.因为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
预习导学
·导学建议·
1.通过计算探究得到两数和(差)的平方公式，利用图形验证
完全平方公式，体会数形结合思想.
2.具有a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的情势的多项式叫做两数
和(差)的平方式，这种情势的多项式可以化成一个整式的平方.
预习导学
两数和(差)的平方公式的应用
阅读课本本课时“例4”至“练习”前面的内容，解决下列
华东师大版八年级上册12.3.2两数和(差)的平方课件(29张PPT)
(1) (2x2+3y2)2=4x4+ 12x2y2+9y4 (2) (2x2+ y )2= 4x4 +4x2y+y2 (3) (3x+ 2 )2 = 9x2 +12x+ 4
思考题
1.如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中 挖去直径分别为a与b的两个圆，求剩下 的钢板的面积。
2.运用完全平方公式计算：
2) 1992
解：1) 1022 = (100+2)2
= 1002+2×100×2+22
= 10000+400+4
= 10404
2)1992 = (200-1)2 =2002-2×200×1+12
= 40000-400+1
= 39601
运用完全平方公式计算：
1) 962
2) 1052
3)79.82 4) 80.32
可以求出这四块实验田的
总面积？
a
方法1：总面积= (a+b) 2 ；
a
b
方法2：总面积= a2+ ab+ab+b2. =a2+2ab+b2
结论: (a+b) 2 = a2 +2ab + b2.
动脑筋
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
=a2 − 2ab + b2.
完全平方公式：
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
华东师大版数学八年级上册两数和(差)的平方课件
式的法则进行计算. 2、先视察图12.3.2：
（1）解用(不a同 的b)方2 法 表(a示 它b)的(a面积b).
a2 ab（ aab bb2 ）2
a 2 2ab b‖2
图12.3.2
a2 2ab b2
a+b
a+b a a b
b
=
+
+
(a+b) 2 =
a2 +
2ab + b2
结论：两数和的平方
例3、已知x y 7， xy 10， 求x2 y2的值.
解 : x y 7, xy 10
x2 y2 x y2 2xy
72 210 29
例4、已知(x-y)2＝4，（x+y)2＝64，求x2+y2 和xy的值？
解:由(x-y)2＝4， 可得x2+y2-2xy=4 ① 由(x+y)2＝64，
也可以根据两数和平方公式计算
(a b)2 a (b)2
a2 2a(b) (b)2
a2 2ab b2
结论：两数差的平方
(a－b)2＝ a2－2ab+b2
两数差的平方，等于它们 的平方和减去这两数积的2倍．
公式的特点 首平方，尾平方，积的2倍夹中央
a-b
a-b
a
b
b
a
=
-
+
(a-b) 2 =
(a＋b)2＝ a2+2ab+b2
两数和的平方，等于它们 的平方和加上这两数积的2倍．
公式的特点 首平方，尾平方，积的2倍夹中央
例题讲授
提示：请大家认
例1、用 (a b)2 a2 2ab b2 计算：
(1)(2x 3y)2 （2）(2a b )2
（1）解用(不a同 的b)方2 法 表(a示 它b)的(a面积b).
a2 ab（ aab bb2 ）2
a 2 2ab b‖2
图12.3.2
a2 2ab b2
a+b
a+b a a b
b
=
+
+
(a+b) 2 =
a2 +
2ab + b2
结论：两数和的平方
例3、已知x y 7， xy 10， 求x2 y2的值.
解 : x y 7, xy 10
x2 y2 x y2 2xy
72 210 29
例4、已知(x-y)2＝4，（x+y)2＝64，求x2+y2 和xy的值？
解:由(x-y)2＝4， 可得x2+y2-2xy=4 ① 由(x+y)2＝64，
也可以根据两数和平方公式计算
(a b)2 a (b)2
a2 2a(b) (b)2
a2 2ab b2
结论：两数差的平方
(a－b)2＝ a2－2ab+b2
两数差的平方，等于它们 的平方和减去这两数积的2倍．
公式的特点 首平方，尾平方，积的2倍夹中央
a-b
a-b
a
b
b
a
=
-
+
(a-b) 2 =
(a＋b)2＝ a2+2ab+b2
两数和的平方，等于它们 的平方和加上这两数积的2倍．
公式的特点 首平方，尾平方，积的2倍夹中央
例题讲授
提示：请大家认
例1、用 (a b)2 a2 2ab b2 计算：
(1)(2x 3y)2 （2）(2a b )2
华师大版数学八年级上册同步课件：1两数和(差)的平方(第2课时)
几何意义（面积）
视察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
(a+b)2
=
a2
+ 2ab
+ b2
a+b
a2
ab
a2
ab
ab
b2
a
b
a+b
=
+
ab
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
+
2
b
你能推导两数差的平方公式（a-b）2吗？
(a b)2 [a (b)]2 a2 2a(b) (b)2 a2 2ab b2
解题时常用结论：
a2+b2=(a+b)2-2ab
=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.
. 已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①; ∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
由①-②，得 4xy=48， ∴xy=12.
a a
（a+b)2=a2+2ab+b2
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= p2+2p+1 .
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= m2+4m+4 . （3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= p2-2p+1 . （4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= m2-4m+4 .
1 2
华师大版八年级数学上册 123 乘法公式平方差公式 课件1
运用平方差公式计算：
1、(m+n)(-n+m) = m2-n2 2、(-x-y) (x-y) 2a+b)(2a-b) = 4、(x2+y2)(x2-y2)=
4a2-b2 x4-y4
系数变化 指数变化
5、 51 × 49 = 2499
无中生有
灵活运用平方差公式计算：
A.(x-2y)(2y+x)
B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y)
D.(-2b-5)(2b-5)
例1 运用平方差公式计算：
⑴ (3x+2)(3x-2) ; ⑵ (b+2a)(2a-b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
分析: ⑴ (3x+2)(3x-2) =(3x)2 -22
x米
地主很黑 心，亏了
2x5²m2
(X-5)米
(x-5)(x+5)=?
=X2-5x+5x-25 =X2-25
计算下列多项式的积： (1) (x+1)(x-1) = X2-1 =x2 - 12 (2) (m+2)(m-2) = m2-4 =m2 - 22 (3) (2x+1)(2x-1) = 4x2-1 =(2x)2 - 12
= (24-1)(24+1)
= 28-1
你能根据上题计算:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) … (22n+1) 的 结果吗？
(a+b-c)(a-b-c)能用平方差公式 运算吗?若能结果是哪两数的 平方差?
课本P 33 T 1 同步练习册P30
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二下午6时10分38秒18:10:3822.4.12
华师大版八年级上册1乘法公式课件
感悟新知
特别解读 公式的特征：
知1－讲
1. 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项
完全相同，另一项互为相反数；
2. 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减
去相反项的平方；
3. 理解字母a、b的意义，平方差公式中的a、b既可代表
一个单项式，也可代表一个多项式.
感悟新知
2. 平方差公式的几种常见变化及应用
解题秘方：确定公式中的“a”和“b”，利用完 全平方公式进行计算.
感悟新知
解：(x+7y)2 =x2+2·x·7y+(7y)2 =x2+14xy+49y2. (－4a+5b)2 =(5b－4a)2 =(5b)2－2·5b·4a+(4a)2 =25b2－40ab+16a2.
括号不能漏掉.
知2－练
不能漏掉“2ab”项，且符号 与完全平方中的符号一致.
知2－讲
感悟新知
知2－讲
ab= ［12 (a+b)2－(a2+b2)］= ［14(a+b)2－(a－b)2］； (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； a2+b2+c2+ab+ac+bc= ［1(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2 ］
2
感悟新知
知2－讲
特别解读 1. 弄清公式的特征：公式的左边是一个二项式的平方，
感悟新知
例2 计算： 10.3×9.7；2 022×2 024－2 0232.
知1－练
解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式 进行计算.
初中数学八年级上华东师大版13.3乘法公式一教案
学以至用理解公式训练公式强化公式：公式应用：下列各式都能用平方差公式吗?（课件）A.(a-3)(a+3) ( )B.(a+3)(a-2) ( )C. (-a+3)(-a-3) （)D. (a+3)(-a-3) （)E. （-a-3）（a-3）（）能否用平方差公式，你有什么更快更好的判断方法吗？两个多项式中：两项相等，两项互为相反数在平方差这个结果中谁作被减数,谁作减数,你还有什么办法确定?相等数的平方减去相反数的平方公式的主要作用是简化运算：现在我们掌握了公式的特点，就可以更快更准确地去运算了.请看例题：[例1]计算:（1）.（2x+21）（2x-21）（2）. （1）(2x+y)(2x－y)（3）(3a＋2b)(3a－2b) （4）(200＋1)(200－1)例2]计算:（1）(x+6)(6-x) （2）11()()22x x-+--（3）)212)(212(22--+-xx（4）))((zyxzyx++-+（5）)31)(31(abba---（6）（3a＋b－2）(3a－b＋2)（7）（3a－2b）（2b＋3a）（8）（－4x＋y）（4x＋y）（9）)221)(221(yxyx--+-（10）（-4a-1）（4a-1）主要用于判断一起分析公式的关键字教给学生用公式时如何利用转化的方法确定两个数的和、两个数的差，从而确定平方差转化变形、公式有什么作用？。
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《数学》( 华师大.八年级 上册 )
回顾 & 思考 ☞ (a+b)(a−b)= a2 − b2;
公式的结构特征: 左边是
y 9x
2 2
两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积. 两数的平方差.
右边是
２.计算下列各题:
1 .( 2 x 3)( 2 x 3) 2 .( 3 x y )(3 x 3 .( m 2 )( m 2 )
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄 错符号、2ab时不少乘2；第一(二)数是乘积被平方时要注意添括号, 是运用 完全平方公式进行多项式乘法的关键 有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式 的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.
拓展：
１．计算： ( a b c ) ２．已知 (1).
学一学
例1 利用完全平方公式计算： (1) (2x−3)2 ；
注意
使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确个是 a , 哪个是 b.
解：(1) (2x−3)2 = ( 2x )2 − 2 • 2x • 3 + 3 2 = 4x2 − 12x + 9 ;
做题时要边念边写：
第一数 的平方,
减去 第一数与第二数 乘积 的2倍, 加上 第二数 的平方.
例1
运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2
(2)
(x 2 y)
2
2 2 解: (1).(4m+n)2= (4m) +2•(4m)•n +n
(a +b)2 = a2 + 2 ab + b2 =16m2 +8mn +n2
b
公式: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2.
动脑筋
想一想
的证明
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; 2= a2 −2ab+b2. (a−b)
[a+(−b)]2
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 某学生写出了如下的算式 (a−b)2= : 她是怎么想的? 你能继续做下去吗?
= 4x2 9 y) = = m 2 4mn 4
做一做
形成四块 其边长增加 b 米. 实验田，以种植不同的新品种 b (如图1—6). 用不同的形式表示实验田 的总面积, 并进行比较.
一块边长为a米的正方形实验田， 因需要将
探索: 你发现了什么?
a a
图1—6
直 总面积= (a+b) 2； 接 法一 求 间 接 总面积= a2+ ab+ ab+ b2. 法二 求
推证
(a+b)2 =(a+b) (a+b)=a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2;
(a−b)2= [a+(−b)]2 = a 2 + 2 a (−b) + (−b) 2 = a2 − 2ab + b2.
利用两数和的 完全平方公式 推证公式
初 识 完全平方公式
(a+b)2 = a2+2ab+b2 .
2 2 2
2
4x y 2n 1
4 5
x y
2
1 25
x
2
(3).(n +1)2 − n2 ; (4). .
4m 4m： 形式不同．
完全平方公式的结果 是三项， 结果不同： 即 (a b)2＝a2 2ab+b2; 平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
(2 ).( x 2 y ) x 2 x 2 y (2 y )
2 2 2
(a －b)2 = a2 －2 ab + b2
x 4 xy 4 y
2 2
随堂练习
1、计算：
(1).( (2).(2xy+ 1 x )2 ;
(2m n)
1x 2
−
2y)2
5
2
；
1 4
x 2 xy 4 y
(a+b)2= a2+2ab+b2 几 b 何 解 释: a
(a−b)2 = a2−2ab+b2 .
结构特征: 左边是 二项式 (两数和 (差)) 的平方; 右边是 两数的平方和 加上 (减去) 这两数乘积的两倍.
语言表述:
用自己的语 言叙述上面 的公式
ab
b2 ab
b
a2
a
口诀:
两数和(差) 的平方 等于 这两数的平方和 加上(减去) 这两数乘积的两倍.
2
2
x y 4, xy 12
2
求下列各式的值．
2
x y
(2).
(x y)
“首平方,尾平方, 首尾积的两倍放 中央.”
判断下列各式是否正确，如果错误并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ; 应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;
回顾 & 思考 ☞ (a+b)(a−b)= a2 − b2;
公式的结构特征: 左边是
y 9x
2 2
两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积. 两数的平方差.
右边是
２.计算下列各题:
1 .( 2 x 3)( 2 x 3) 2 .( 3 x y )(3 x 3 .( m 2 )( m 2 )
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄 错符号、2ab时不少乘2；第一(二)数是乘积被平方时要注意添括号, 是运用 完全平方公式进行多项式乘法的关键 有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式 的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.
拓展：
１．计算： ( a b c ) ２．已知 (1).
学一学
例1 利用完全平方公式计算： (1) (2x−3)2 ；
注意
使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确个是 a , 哪个是 b.
解：(1) (2x−3)2 = ( 2x )2 − 2 • 2x • 3 + 3 2 = 4x2 − 12x + 9 ;
做题时要边念边写：
第一数 的平方,
减去 第一数与第二数 乘积 的2倍, 加上 第二数 的平方.
例1
运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2
(2)
(x 2 y)
2
2 2 解: (1).(4m+n)2= (4m) +2•(4m)•n +n
(a +b)2 = a2 + 2 ab + b2 =16m2 +8mn +n2
b
公式: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2.
动脑筋
想一想
的证明
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; 2= a2 −2ab+b2. (a−b)
[a+(−b)]2
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 某学生写出了如下的算式 (a−b)2= : 她是怎么想的? 你能继续做下去吗?
= 4x2 9 y) = = m 2 4mn 4
做一做
形成四块 其边长增加 b 米. 实验田，以种植不同的新品种 b (如图1—6). 用不同的形式表示实验田 的总面积, 并进行比较.
一块边长为a米的正方形实验田， 因需要将
探索: 你发现了什么?
a a
图1—6
直 总面积= (a+b) 2； 接 法一 求 间 接 总面积= a2+ ab+ ab+ b2. 法二 求
推证
(a+b)2 =(a+b) (a+b)=a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2;
(a−b)2= [a+(−b)]2 = a 2 + 2 a (−b) + (−b) 2 = a2 − 2ab + b2.
利用两数和的 完全平方公式 推证公式
初 识 完全平方公式
(a+b)2 = a2+2ab+b2 .
2 2 2
2
4x y 2n 1
4 5
x y
2
1 25
x
2
(3).(n +1)2 − n2 ; (4). .
4m 4m： 形式不同．
完全平方公式的结果 是三项， 结果不同： 即 (a b)2＝a2 2ab+b2; 平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
(2 ).( x 2 y ) x 2 x 2 y (2 y )
2 2 2
(a －b)2 = a2 －2 ab + b2
x 4 xy 4 y
2 2
随堂练习
1、计算：
(1).( (2).(2xy+ 1 x )2 ;
(2m n)
1x 2
−
2y)2
5
2
；
1 4
x 2 xy 4 y
(a+b)2= a2+2ab+b2 几 b 何 解 释: a
(a−b)2 = a2−2ab+b2 .
结构特征: 左边是 二项式 (两数和 (差)) 的平方; 右边是 两数的平方和 加上 (减去) 这两数乘积的两倍.
语言表述:
用自己的语 言叙述上面 的公式
ab
b2 ab
b
a2
a
口诀:
两数和(差) 的平方 等于 这两数的平方和 加上(减去) 这两数乘积的两倍.
2
2
x y 4, xy 12
2
求下列各式的值．
2
x y
(2).
(x y)
“首平方,尾平方, 首尾积的两倍放 中央.”
判断下列各式是否正确，如果错误并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ; 应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;