线性代数第一章课件
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线性代数课件 第一章
0 0 0 0 0 0 ≠ ( 0 0 0 0) . 0 0 0
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
线性代数第一章课件,数学
n(n − 1) = 2
新的排列，这种变换称为排列的一个对换. 如果将排列32514中的2与4对调，则 得到的新排列34512，它的逆序数 τ( 34512 )=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明， 奇排列32514经过一次对换得到偶排列 34512。一般地，有以下定理。 定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性. 证 分两种情况考虑.
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较 大的数排在一个较小的数的前面，则称这 两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数称为这个排列的逆序数.用
τ(j1,j2,…,jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数.
逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数 是奇数的排列称为奇排列. 对一个n阶排列 j1,j2,…,jn ，如何求它 的逆序数呢？
τ (n(n − 1) L321)
= ( n − 1) + ( n − 2) + L + 2 + 1 + 0
排列32514为奇排列;排列n(n-1) …321, 当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时 为奇排列. 定义1.1.3 把一个排列中某两个数的 位置互换，而其余的数不动，就得到一个
1.1.2 二阶与三阶行列式 本段的目的是叙述行列式这个概念的 形成，这需要从解线性方程组谈起. 设二元一次线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 .
（1.1.6）
用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12 去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然 后再将得到的两式相加，得
D2 =
a11
线性代数课件第一章第一节PPT课件
第7页/共51页
应用三、电网 工程师利用仿真软件设计电路以及包含 百万晶体管的微芯片.这类软件离不开线性 代数方法和线性代数方程.
第8页/共51页
应用四、经济学和工程学中的线性模型
列昂惕夫 美籍俄裔著名经济学家，1906 年8月日生于俄国彼得堡，1925年毕业于列 宁格勒大学经济系。1928年获德国柏林大 学哲学博士学位。
第9页/共51页
但是，当时MarkⅡ还不能处理500个未知量、 500个方程组的方程组.所以他把这个问题提炼成 42个未知量、42个方程的方程组.
最后，经过56小时的持续运转， MarkⅡ终于求出了一个解.
列昂惕夫开启了通往经济学数学 模型一个新时代的大门，并于1973年 荣获诺贝尔奖.从那时起，其他领域 的研究者也开始使用计算机分析数学 模型. 常用的数学软件有Matlab、Maple、 Mathematica、SAS、Mathcad.
1 2 3
D 0 1 1 2 3 3 2
13 0
4 2 3
D1 3 1 1 8 27 12 12 11
4 3 0
第37页/共51页
14 3
D2 0 3 1 4 9 4 1
1 4 0
1 2 4
D3 0 1 3 4 6 4 9 7
1 3 4
于是，方程组的解为:
11 22 44
例2 计算三阶行列式 D 2 2 1
解二： 利用展开法
3 4 2
D 1 2 1 2 2 1 (4) 2 2
4 2 3 2
3 4
8 27 4(2)
8 14 8
14
第29页/共51页
例3 求解方程
解 方程左端
11 23 49
1 x 0 x2
应用三、电网 工程师利用仿真软件设计电路以及包含 百万晶体管的微芯片.这类软件离不开线性 代数方法和线性代数方程.
第8页/共51页
应用四、经济学和工程学中的线性模型
列昂惕夫 美籍俄裔著名经济学家，1906 年8月日生于俄国彼得堡，1925年毕业于列 宁格勒大学经济系。1928年获德国柏林大 学哲学博士学位。
第9页/共51页
但是，当时MarkⅡ还不能处理500个未知量、 500个方程组的方程组.所以他把这个问题提炼成 42个未知量、42个方程的方程组.
最后，经过56小时的持续运转， MarkⅡ终于求出了一个解.
列昂惕夫开启了通往经济学数学 模型一个新时代的大门，并于1973年 荣获诺贝尔奖.从那时起，其他领域 的研究者也开始使用计算机分析数学 模型. 常用的数学软件有Matlab、Maple、 Mathematica、SAS、Mathcad.
1 2 3
D 0 1 1 2 3 3 2
13 0
4 2 3
D1 3 1 1 8 27 12 12 11
4 3 0
第37页/共51页
14 3
D2 0 3 1 4 9 4 1
1 4 0
1 2 4
D3 0 1 3 4 6 4 9 7
1 3 4
于是，方程组的解为:
11 22 44
例2 计算三阶行列式 D 2 2 1
解二： 利用展开法
3 4 2
D 1 2 1 2 2 1 (4) 2 2
4 2 3 2
3 4
8 27 4(2)
8 14 8
14
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例3 求解方程
解 方程左端
11 23 49
1 x 0 x2
线性代数第-章向量空间PPT课件
3
子空间在映射下的变化
线性映射可以导致子空间中的向量发生旋转、平 移或拉伸等变化。
子空间与线性映射的相互影响
子空间对线性映射的限制
子空间的性质可以影响线性映射的作用范围和结果。
线性映射对子空间的构造
通过选择特定的线性映射，可以构造出具有特定性质的子空间。
子空间与线性映射的关系
子空间和线性映射之间存在密切的关系，它们在许多数学问题中都 扮演着重要的角色。
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，这个子集中的向量之间同样可以进行加法运算和数乘运算，并且这些运算也 满足封闭性、结合性和交换性等性质。子空间的定义是为了研究向量空间的一个特定部分，以便更好地理解和应 用向量空间。
向量空间的基与维数
总结词
基是向量空间中线性无关的向量组，它能够生成整个向量空间；维数则是向量空间的基 所包含的向量个数。
向量空间的推广到矩阵空 间
将向量空间中的元素推广到矩阵，形成矩阵 空间，使得线性变换和矩阵运算的结合更加 紧密，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的推广到函数空 间
将向量空间的元素推广到函数，形成函数空 间，使得函数的线性组合、内积等运算成为 可能，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的应用前景
判定条件二
如果存在一个线性映射f：V→W，使得V和W的基底之间存在一一对应关系，并且 这种对应关系保持向量加法和标量乘法的运算关系，则称V和W同构。
同构的应用场景
线性变换
几何变换
同构映射可以应用于线性变换中，将 一个向量空间中的线性变换转移到另 一个向量空间中。
同构映射可以应用于几何变换中，如 旋转、平移等，将一个向量空间中的 几何变换转移到另一个向量空间中。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
线性代数第一章ppt
线性代数第一章
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
线性代数课件PPT第一章 行列式 S1_3 行列式定义
任意一项前面的符号就是
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
线性代数第一章、矩阵PPT课件
矩阵的秩的计算方法
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
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Ain 1 Ai 1 1 Ai 2 1 Ai 3
a11 ai 1,1 1 ai 1,1 a n1 a1n ai 1,n 1 ai 1,n ann
分析：
Ai 1 Ai 2 Ai 3
a11 ai 1,1 D ai 1 ai 1,1 a n1
21
1 Ain
解：
(1) A11 A12 A13 A14
1 1 1 2
1 1 3
1 0 1
1 5 r4 r3 3
4 1 3
r3 r1
23
r4 r3
1 1
1 1
1
1
r3 r1
0 5 ( 1)1 3 2 2 2 2 0 2 1 1 1 1 0 0
n
D , 当i j , aki Akj D ij k 1 0 , 当i j ;
n
1 , 当 i j ， 其中 ij 0 , 当 i j .
20
问题：设 D det (aij ) 中 aij 对应的代数余子式记为 Aij ,
那么
(1) Ai 1 Ai 2 Ai 3 Ain ? (2) b1 A1 j b2 A2 j b3 A3 j bn Anj ?
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2 ain Ajn ?
a11 a1 n ain
i j.
分析
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2 ain Ajn
ai 1 ai 1 a n1
0
ain ann
故 , 当 i j 时 , ai 1 A j 1 ai 2 A j 2
a1n 0 ann
a11 0 a n1
a12 ai 2 an 2
a1n 0 ann
a11 0 a n1
a12 0 an 2
a1n ain ann
ai 1 a n1
ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
13
ain Ain .
i 1, 2,
, n
□
例1
D
3 5 2 1
6
5 5
5
例2 计算行列式
3
1 2 0 2 3 3 5 2 1 0 5 0
1 7 D 0 2 0 2 5 2 1 0 5 0
0 4 1 4 0 5
解
3
1 2 0 2 3 3
1 7 D 0 2 0 2
0 4 1 4 0
15
5 3 1 2 2 3 1 3 1 2 5 0 2 1 2 2 5 4 1 4 0 4 1 4 2 3 5 0 2 3 5
a1 j ai 1, j a ij a nj
a1n ai 1,n 0 ann 0 a1n
aij 在
ai 1,1 0 a n1 aij
中的余子式
与 aij 在
a1 j ai 1, j anj
中的余子式 相同 ,
ai 1,n 设为 M ij . ann
10
a11 ai 1,1 0 a n1 aij a1 j 1
( i j ).
ai 1 A j 1 ai 2 A j 2
ain Ajn 0, i j ,
a1i A1 j a2 i A2 j
ani Anj 0, i j .
关于代数余子式的重要性质
D , 当i j , aik Ajk D ij k 1 0 , 当i j ;
a24 1 3 3 a a 33 21 0 a41 a44
a11
a12 a22 a42
a14 a24 . a44
5
引理 6.1 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元 素除 aij 外都为零，那么这行列式等于 aij 与 它的代数余子式的乘积，即 D aij Aij ． （1）当 aij 位于第一行第一列时, 证明 ：
D a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
a11 M 23 a31 a41
a12 a32 a42
2 3
a14 a34 a44
A23 1
M 23 M 23 .
说明：余子式和代数余子式与aij的值无关, 与其所在的 行、列的元素无关，而只与 元素的下标 (位置) 有关 .
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2 ain Ajn
ani Anj 0, i j .
a11 ai 1 ai 1 a n1 a1 n ain
0
ain ann
故 , 当 i j 时 , ai 1 A j 1 ai 2 A j 2
19
ain Ajn 0,
a11 D a21 a n1 0 a22 an 2 0 a2 n ann
(P14例10结论)
有 D a11 M11 ,
因 A11 1 M11 M11 ,
11
故 D a11 A11 .
6
（2）一般情形
a11 D 0 a n1
a1 j aij a nj
a1n 0 ann
把 D 的第 i 行依次与 第 i 1 行, 第 i 2 行,
a1n ai 1,n ain ai 1,n ann
同理可知
a11
b1 A1 j b2 A2 j b3 A3 j
bn Anj
a1, j 1
b1
a1, j 1 a n , j 1 a1, j 1 a n , j 1
a1n . ann a1n ann
a n1 a11 D a n1
0 a11
i 1
0 a12 ai 1,2 an 2
aij a1 j ai 1, j anj
0 a1n ai 1,n ann
…, 第1行对调, 得
D 1
ai 1,1 a n1
7
再把第 j 列依次与第 j 1列 , 第 j 2列 , … , 第1 列对调 .
aij a1 j 0 a11 ai 1,1 a n1 0 a12 ai 1,2 an 2 0 0 ai 1,n a nn
anj Anj .
, n
i , j 1,2,
12
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
证明：
a11 a12 0 0 ai 2 an 2 0
ain Ain
a1n 0 0 ain ann
D ai 1 0 a n1
a11
a12 0 an 2
一般地，对于一个n阶行列式，
D？ ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
3
ain Ain
i 1,2, , n.
定理 （Laplace展开定理、降阶定理） 行列式
等于它的任一行（列）的各元素与其
对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
D a1 j A1 j a2 j A2 j
§6
行列式按行(列)展开
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
引例 a11 a12 a13
a21 a22 a31 a32 a23 a33
a11 a22a33 a23a32 a12 a21a33 a23a31
a13 a21a32 a22a31
a22 a11 a32
a23 a21 a12 a33 a31
a23 a33
a13
a21 a22 a31 a32
1
一、余子式与代数余子式
定义 6.1 在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做 记作 M ij . 元素 aij 的余子式， i j 叫做元素 a ij的代数余子式 ． 记 Aij 1 M ij ， 例如
2
引例
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a22 a23 a11 a32 a33
a13
a23 a21 a a33 12 a31
a23 a33
a13
a21 a22 a31 a32
a11 A11 a12 A12 a13 A13 ？ a21 A21 a22 A22 a23 A23 ？ a31 A31 a32 A32 a 1
1
j 1
ai 1, j anj
8
aij a1 j i j2 D ( 1) ai 1, j anj aij a1 j i j ( 1) ai 1, j anj
0 a11 ai 1,1 an1 0 a11 ai 1,1 an1
aij Aij .
□
11
二、行列式按行（列）展开法则
定理 6.2 （Laplace展开定理、降阶定理） 行列式 等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
D a1 j A1 j a2 j A2 j
ain Ain
2 3 1 7 2 r2 2r1 10 0 7 2 10 2 6 6 r3 r1 0 6 6
20 42 12 1080.
16
二、行列式按行（列）展开法则
定理 6.2 （Laplace展开定理、降阶定理） 行列式
等于它的任一行（列）的各元素与其
ain Ain
anj Anj .
, n
i , j 1,2,
a11 ai 1,1 1 ai 1,1 a n1 a1n ai 1,n 1 ai 1,n ann
分析：
Ai 1 Ai 2 Ai 3
a11 ai 1,1 D ai 1 ai 1,1 a n1
21
1 Ain
解：
(1) A11 A12 A13 A14
1 1 1 2
1 1 3
1 0 1
1 5 r4 r3 3
4 1 3
r3 r1
23
r4 r3
1 1
1 1
1
1
r3 r1
0 5 ( 1)1 3 2 2 2 2 0 2 1 1 1 1 0 0
n
D , 当i j , aki Akj D ij k 1 0 , 当i j ;
n
1 , 当 i j ， 其中 ij 0 , 当 i j .
20
问题：设 D det (aij ) 中 aij 对应的代数余子式记为 Aij ,
那么
(1) Ai 1 Ai 2 Ai 3 Ain ? (2) b1 A1 j b2 A2 j b3 A3 j bn Anj ?
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2 ain Ajn ?
a11 a1 n ain
i j.
分析
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2 ain Ajn
ai 1 ai 1 a n1
0
ain ann
故 , 当 i j 时 , ai 1 A j 1 ai 2 A j 2
a1n 0 ann
a11 0 a n1
a12 ai 2 an 2
a1n 0 ann
a11 0 a n1
a12 0 an 2
a1n ain ann
ai 1 a n1
ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
13
ain Ain .
i 1, 2,
, n
□
例1
D
3 5 2 1
6
5 5
5
例2 计算行列式
3
1 2 0 2 3 3 5 2 1 0 5 0
1 7 D 0 2 0 2 5 2 1 0 5 0
0 4 1 4 0 5
解
3
1 2 0 2 3 3
1 7 D 0 2 0 2
0 4 1 4 0
15
5 3 1 2 2 3 1 3 1 2 5 0 2 1 2 2 5 4 1 4 0 4 1 4 2 3 5 0 2 3 5
a1 j ai 1, j a ij a nj
a1n ai 1,n 0 ann 0 a1n
aij 在
ai 1,1 0 a n1 aij
中的余子式
与 aij 在
a1 j ai 1, j anj
中的余子式 相同 ,
ai 1,n 设为 M ij . ann
10
a11 ai 1,1 0 a n1 aij a1 j 1
( i j ).
ai 1 A j 1 ai 2 A j 2
ain Ajn 0, i j ,
a1i A1 j a2 i A2 j
ani Anj 0, i j .
关于代数余子式的重要性质
D , 当i j , aik Ajk D ij k 1 0 , 当i j ;
a24 1 3 3 a a 33 21 0 a41 a44
a11
a12 a22 a42
a14 a24 . a44
5
引理 6.1 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元 素除 aij 外都为零，那么这行列式等于 aij 与 它的代数余子式的乘积，即 D aij Aij ． （1）当 aij 位于第一行第一列时, 证明 ：
D a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
a11 M 23 a31 a41
a12 a32 a42
2 3
a14 a34 a44
A23 1
M 23 M 23 .
说明：余子式和代数余子式与aij的值无关, 与其所在的 行、列的元素无关，而只与 元素的下标 (位置) 有关 .
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2 ain Ajn
ani Anj 0, i j .
a11 ai 1 ai 1 a n1 a1 n ain
0
ain ann
故 , 当 i j 时 , ai 1 A j 1 ai 2 A j 2
19
ain Ajn 0,
a11 D a21 a n1 0 a22 an 2 0 a2 n ann
(P14例10结论)
有 D a11 M11 ,
因 A11 1 M11 M11 ,
11
故 D a11 A11 .
6
（2）一般情形
a11 D 0 a n1
a1 j aij a nj
a1n 0 ann
把 D 的第 i 行依次与 第 i 1 行, 第 i 2 行,
a1n ai 1,n ain ai 1,n ann
同理可知
a11
b1 A1 j b2 A2 j b3 A3 j
bn Anj
a1, j 1
b1
a1, j 1 a n , j 1 a1, j 1 a n , j 1
a1n . ann a1n ann
a n1 a11 D a n1
0 a11
i 1
0 a12 ai 1,2 an 2
aij a1 j ai 1, j anj
0 a1n ai 1,n ann
…, 第1行对调, 得
D 1
ai 1,1 a n1
7
再把第 j 列依次与第 j 1列 , 第 j 2列 , … , 第1 列对调 .
aij a1 j 0 a11 ai 1,1 a n1 0 a12 ai 1,2 an 2 0 0 ai 1,n a nn
anj Anj .
, n
i , j 1,2,
12
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
证明：
a11 a12 0 0 ai 2 an 2 0
ain Ain
a1n 0 0 ain ann
D ai 1 0 a n1
a11
a12 0 an 2
一般地，对于一个n阶行列式，
D？ ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
3
ain Ain
i 1,2, , n.
定理 （Laplace展开定理、降阶定理） 行列式
等于它的任一行（列）的各元素与其
对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
D a1 j A1 j a2 j A2 j
§6
行列式按行(列)展开
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
引例 a11 a12 a13
a21 a22 a31 a32 a23 a33
a11 a22a33 a23a32 a12 a21a33 a23a31
a13 a21a32 a22a31
a22 a11 a32
a23 a21 a12 a33 a31
a23 a33
a13
a21 a22 a31 a32
1
一、余子式与代数余子式
定义 6.1 在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做 记作 M ij . 元素 aij 的余子式， i j 叫做元素 a ij的代数余子式 ． 记 Aij 1 M ij ， 例如
2
引例
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a22 a23 a11 a32 a33
a13
a23 a21 a a33 12 a31
a23 a33
a13
a21 a22 a31 a32
a11 A11 a12 A12 a13 A13 ？ a21 A21 a22 A22 a23 A23 ？ a31 A31 a32 A32 a 1
1
j 1
ai 1, j anj
8
aij a1 j i j2 D ( 1) ai 1, j anj aij a1 j i j ( 1) ai 1, j anj
0 a11 ai 1,1 an1 0 a11 ai 1,1 an1
aij Aij .
□
11
二、行列式按行（列）展开法则
定理 6.2 （Laplace展开定理、降阶定理） 行列式 等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
D a1 j A1 j a2 j A2 j
ain Ain
2 3 1 7 2 r2 2r1 10 0 7 2 10 2 6 6 r3 r1 0 6 6
20 42 12 1080.
16
二、行列式按行（列）展开法则
定理 6.2 （Laplace展开定理、降阶定理） 行列式
等于它的任一行（列）的各元素与其
ain Ain
anj Anj .
, n
i , j 1,2,