人教A版高中数学必修五河南省安阳二中最新学案第课时正、余弦定理的应用教师
人教A版高中数学必修5精选优课教案 1.2应用举例
正余弦定理及其应用的教案教学目标（一）知识与能力目标1．通过对正余弦定理的应用，加深对正余弦定理的理解．会用正余弦定理解三角形．(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其它的边和角．（3）已知三边，用余弦定理，必有唯一解；（4）已知两边及其中一边的对角，（不妨设为a,b,A）解法有两种：2．理解掌握已知两边和其中一边的对角解三角形时，有一解或两解或无解三种情况，并会判断哪些条件使解三角形时出现一解、两解、无解．（二）过程与方法目标通过对正余弦定理及其变形式的应用，达到边角互化的目的，在题型中的操练，达到熟练掌握的同时，并掌握一定的解题技巧和方法。
（三）情感态度与价值观感受正余弦定理与其他知识间的紧密联系，体会万事万物间也存在着千丝万缕的关系。
教学重点和难点重点：1、正余弦定理的应用，用正余弦定理解三角形，特别是在已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况2、利用正余弦定理实现边角互化，体现正余弦定理搭建边角互化的桥梁，是解三角形有利的两大工具。
难点：在具体的题型中真正体现正余弦定理作为桥梁的作用，并能挖掘出题目中的隐含条件，达到求解的目的。
教学设计：由复习引入到本节主要三个环节，分环节进行，典例剖析，讲练结合，层层递进，环环相扣。
教学过程设计一、复习正余弦定理1、正弦定理：正弦定理精确地表达了三角形中各边和它所对角的正弦成正比．a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ．2、余弦定理：二、教师指导学生完成，教师最后总结．正余弦定理精确地表达了三角形中的边与角之间的关系，我们就可利用它根据三角形中的已知元素去求出未知元素． )(2sin sin sin 外接圆的半径表示ABC R R C c B b A a ∆===，2bca cb cosA 222-+=，2cab ac cosB 222-+=。
2abc b a cosC 222-+=2R sinC c 2R，sinB b 2R，sinA a ===2Rc ，sinC 2R b ，sinB 2R a sinA ===（一）解三角形二、合理使用正、余弦定理，使角边互相转化例3：在 ABC 中，已知acosA=bcosB ，判断三角形的形状。
人教A版高中数学必修五高二新课程余弦定理教案新
高二数学 教·学案课题：1.1.2 余弦定理主备人： 执教者： 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
【授课类型】新授课【教 具】课件、电子白板 【学习过程】一、引入：1.什么是正弦定理？什么是解三角形？2.思考：如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c二、新课学习：联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
如图1．1-5，设CB a =u u r r ，CA b =u u r r ，AB c =u u r r ，那么c a b =-r r r ，则()()2222 2c c c a b a ba ab b a b a b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r 从而2222cos c a b ab C =+-同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+-个性设计高二数学教·学案课后反思：。
人教A版高中数学必修五河南省安阳二中最新学案第课时解三角形复习课教师
听课第9课时 解三角形复习课(1)、(2)学习要求1． 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形； 2． 能利用计算器解决三角形的计算问题。
【课堂互动】自学评价1．正弦定理： (1)形式一：CcB b A a sin sin sin === 2R ； 形式二：R 2a A sin ＝；R 2b B sin ＝；R2c C sin ＝；（角到边的转换） 形式三：A sin R 2a ⋅=，B sin R 2b ⋅=，C sin R 2c ⋅=；（边到角的转换）形式四：B sin ac 21A sin bc 21C sin ab 21S ===；（求三角形的面积）(2)解决以下两类问题：1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。
(3)若给出A ,b a ，那么解的个数为： 若A sin b a <，则无解；若A sin b a A sin b a ≥=或者，则一解； 若b a A sin b <<，则两解； 2．余弦定理：(1)形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）(2)解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）【精典范例】一、判定三角形的形状【例1】根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1) 若a 2tanB=b 2tanA ；(2) b 2sin 2C + c 2sin 2B=2bccosBcosC;(3) (3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1. 【解】(1)由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2 ⇒Acos Asin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o 或 A – B=0 所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. (2)由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC ∵ sinBsinC ≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o, 故△ABC 是直角三角形.(3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1⇒[2sin 2B A +cos 2B A -+ sin(A + B)] – [2cos 2B A +cos 2B A -+ 2cos 22C - 1]=0⇒ [2sin 2B A +cos 2B A -+ sin(A + B)] – 2cos 2B A +cos 2BA - - 2sin 22B A +=0⇒(sin 2B A +- cos 2B A +)(cos 2B A -- sin 2B A +)=0⇒sin(2B A +- 4π)sin 4B C A -+sin 4C B A --=0 ⇒△ABC 是Rt △.二、三角形中的求角或求边长问题【例2】△ABC 中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB 、BC 、CA 上取点D 、E 、F ，使△DEF 是等边三角形.设∠FEC=α，问sin α为何值时，△DEF 的边长最短？并求出最短边的长。
河南省安阳二中高二数学最新学案第1章第3课时《正弦定理》(3)(学生版)(人教A版必修5)
听课第3课时知识网络⎪⎩⎪⎨⎧解的个数的判定平面几何中某些问题判断三角形状正弦定理的应用学习要求1．掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形；2．熟记正弦定理及其变形形式；3．判断△ＡＢＣ的形状. 【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===C c B b A a sin sin sin R 2, 2R sin sin sin sin sin a b a b c A B A B C±±±==±±± R 为ABC ∆的_______________2．三角形的面积公式：（1）s=_______=_______=_______（2）s=__________________（3）s=____________【精典范例】【例1】在△ＡＢＣ中，已知A a cos ＝B b cos ＝Cc cos ，试判断△ＡＢＣ的形状． 【解】点评: 通过正弦定理，可以实现边角互化．【例2】在△ＡＢＣ中，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，用正弦定理证明AC AB ＝DCBD ． 【证】【例3】根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？若有解，判断解的个数．（1）5a =，4b =，120A =︒，求B ；（2）5a =，4b =，90A =︒，求B ；（3）a =，b =，45A =︒，求B ；（4）a =b =，45A =︒，求B ；（5）4a =，b =，60A =︒，求B ．【解】追踪训练一1. 在△ABC 中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是（ ）A.无解B.一解C.两解D.解的个数不能确定2. 在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ）A ．A b sin 2B ．A b cos 2C ．B b sin 2D ．B b cos 23. 在△ABC 中，若22tan tan b a B A=，则△ABC 的形状是（ ）A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形【选修延伸】【例4】如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求2211OM ON+的最大值和最小值． 【解】追踪训练二1.在ABC ∆中，::4:1:1A B C =，则::a b c = ( )A ．B ．2:1:1C D2.在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，且15a b c ++=，则a = ，b = ，c = ．3.已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( )A ．1∶2∶3B ．2 D ．3∶1∶24.如图，△ABC 光线与地面成40ABC 与地面所成的角为( )A.75°B.60° C .50° 5．已知△ABC 中，sin A ∶sin B k≠0)，则k 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．C ．)0,21(-D 6．在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos b a b B a A -=-.【师生互动】。
人教A版高中数学必修五河南省安阳二中最新学案第课时正、余弦定理的应用教师(1)
听课第8课时正、余弦定理的应用（2） 【学习导航】知识网络⎪⎩⎪⎨⎧数学问题航海测量学正、余弦定理的应用学习要求1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。
2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。
【课堂互动】自学评价运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解；④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
【精典范例】【例1】作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60，求3F 的大小与方向（精确到0.1）.【解】3F 应和12,F F 合力F 平衡，所以3F 和F 在同一直线上，并且大小相等，方向相反.如图1-3-3，在1OF F ∆中，由余弦定理，得()70F N =再由正弦定理，得150sin1205sin 70FOF ∠== 所以138.2FOF ∠≈，从而13141.8F OF ∠≈. 答 3F 为70N ，3F 与1F 之间的夹角是141.8.【例2】半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积.【解】设AOB α∠=.在AOB ∆中，由余弦定理，得22212212cos 54cos AB αα=+-⨯⨯=-.于是，四边形OACB 的面积为AOB ABC S S S ∆∆=+21sin 2OA OB AB α=⋅)121sin 54cos 2αα=⨯⨯⨯+-sin αα=-+2sin 3πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为0απ<<，所以当32ππα-=时，56απ=，即56AOB π∠=时，四边形OACB 的面积最大.追踪训练一1. 如图，用两根绳子牵引重为Ｆ１＝１００Ｎ的物体，两根绳子拉力分别为Ｆ２，Ｆ３，保持平衡．如果Ｆ２＝８０Ｎ，Ｆ２与Ｆ３夹角α＝１３５°．（１）求Ｆ３的大小（精确到１Ｎ）； （２）求Ｆ３与Ｆ１的夹角β的值（精确到０.１°）．答案：（１）)(13945sin 6.100sin 100003N F ≈= （２）06.145=β2. 从２００ｍ高的电视塔顶Ａ测得地面上某两点Ｂ，Ｃ的俯角分别为３０°和 ４５°，∠ＢＡＣ＝４５°，求这两个点之间的距离．答案：8.2822200≈3．在△ABC 中，若1=a ，B=450，△ABC 的面积为2，那么，△ABC 的外接圆直径为25【选修延伸】【例3】ABC ∆中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，① 求最大角的余弦值；② 求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.【解】①设三边1,,1+==-=k c k b k a ， *∈N k 且1>k ，∵C 为钝角， ∴2224cos 022(1)a b c k C ab k +--==<-， 解得41<<k ，∵*∈N k ， ∴2=k 或3，但2=k 时不能构成三角形应舍去，当3=k 时，12,3,4,cos 4a b c C ====-； ②设夹C 角的两边为y x ,，4=+y x ，所以，2sin (4)(4)S xy C x x x x ==-=-+，当2=x时，max S = 追踪训练二1．我国潜艇外出执行任务，在向正东方向航行时，测得某国的雷达站在潜艇的东偏北300方向的100n mile 处，已知该国的雷达扫描半径为70n mile ，若我国潜艇不改变航向，则行驶多少路程后会有暴露目标？（ B ）A 50B )225(310-C 620D 3502．在△ABC 中，若B A >，则A sin 与B sin 的大小关系是 （ A ）A 大于B 大于等于C 小于D 小于等于解：2sin A B a b r A >⇔>⇔ 2sin sin sin r B A B >⇔>3．两艘快艇在水面上一前一后前进，后一艘快艇的速度是前一艘的两倍，前一艘快艇突然向与原前进方向成300角行驶，若后一快艇需想在最短的时间内赶上前艇，则它行驶的方向应与原方向的夹角为 41arcsin。
人教A版高中数学必修五河南省安阳二中最新学案第课时正弦定理教师
听课第1章 解三角形【知识结构】 正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理→→⎭⎬⎫ 【重点难点】重点：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
难点：（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题第1课时 正弦定理（1）【学习导航】知识网络 直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理学习要求1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法；2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题 【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===Cc B b A a sin sin sin R 2, 2．正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角【精典范例】【例1】在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题．【解】因为30A =︒，105C =︒，所以45B =︒．因为sin sin sin a b c A B C==，所以sin 10sin 45sin sin 30a B b A ︒===︒，sin 10sin105sin sin 30a C c A ︒===+︒因此， b ，c 的长分别为和．【例2】根据下列条件解三角形：（1）60,1b B c ==︒=；（2）45,2c A a ==︒=．分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题．【解】（1）sin sin b c B C =，∴sin 1sin 2c B C b ===，,60b c B >=，∴C B <，∴C 为锐角， ∴30,90C A ==，∴2a ==．（2）sin sin a c A C=，∴sin 453sin c A C a ===，∴60120C =或， ∴当sin 756075,31sin 60c B C B b C ====时， ∴当sin sin1512015,31sin 60c B C B b C ====时，所以，1,75,60b B C =+==或1,15,120b B C =-==．追踪训练一1．在△ABC 中，0105=C ，045=B ，5=c ，则b 的值为（ A ）A )13(5-B )13(5+C 10D )26(5+2．在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，32sin =B ，则A sin = （C ） A 43 B 61 C 21 D 1 3．（课本P9练习第2题）在△ABC 中，（1）已知075=A ，045=B ，23=c ，求a ，b ；（2）已知030=A ，0120=B ，12=b ，求a ，c 。
人教A版高中数学必修五正弦定理和余弦定理教案二新
1.1.2余弦定理一、教学目标：1、能力要求：①掌握余弦定理，能初步运用余弦定理解一些斜三角形。
②明确余弦定理可解决哪种类型的三角形问题。
2、过程与方法：①探究式教学使学生明确余弦定理的用途。
②在探究学习中，认识到余弦定理可以解决某些与几何计算和测量有关的实际问题。
二、教学重点、难点：重点：余弦定理公式及其推论的应用；难点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解斜三角形三、预习问题处理：1、余弦定理：三角形中 平方等于 减去 的两倍，即=2a ；=2b ；=2c 。
2、从余弦定理，可以得到它的推论：=A cos ；=B cos ；=C cos 。
3、从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是 ；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是 ；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是 。
4、只利用余弦定理，我们可以解决何种类型的问题？四、新课讲解：通过上一节课的学习我们知道，利用正弦定理可以解决两类三角形问题：①已知三角形两角和任一边解三角形；②已知两边和其中一边的对角解三角形。
那么其它类型的解三角形问题是否就没有办法解决了呢？下面我们由正弦定理出发，进行一下探索。
正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径） 由正弦定理可知：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===()()[]C B C B C B R AC B C B R A bc c b +++=-+=-+∴cos sin sin 2sin sin 4cos sin sin 2sin sin 4cos 222222222[]()()[][]()()()22222222222222222222222sin 2sin 4sin 4cos sin cos sin 4cos cos sin sin 2cos sin cos sin 4cos cos sin sin 2sin 1sin sin 1sin 4cos cos sin sin 2sin sin 2sin sin 4a A R A R C B R B C C B R C B C B B C C B R C B C B B C C B R C B C B C B C B R ===+=+=++=+-+-=+-+=即A bc c b a cos 2222-+=。
人教新课标版数学高二-2015年人教A版数学必修5教案2 正弦、余弦定理的综合应用
【学习目标】
1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2.通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
【学习重点】在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
【学习难点】正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用
【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
【学习方法】
．在∆ABC。
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听课
第7课时正、余弦定理的应用（1）
【学习导航】
知识网络
⎪⎩
⎪
⎨⎧数学问题航海测量学正、余弦定理的应用
学习要求
1． 综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方 法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题
2． 分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念 3． 将实际问题转化为解三角形问题
【课堂互动】
自学评价
1．正弦定理、余弦定理及其变形形式， （1）正弦定理、三角形面积公式：
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===； B ac
C ab A bc S ABC sin 2
1
sin 21sin 21===∆（2）正弦定理的变形：
C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；
R
c
C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin =
==； sin sin sin ::::A B C a b c =．
（3）余弦定理：1）A bc c b a cos 2222-+=
变形：2）bc
a c
b osA 22
22-+=
2．运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：
①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）； ②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解； ④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
【精典范例】
【例1】为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得
85ADC ∠=，60BDC ∠=，47ACD ∠=，72BCD ∠=，100CD m =.设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.
【解】
在ADC ∆中，85ADC ∠=，47ACD ∠=，则48DAC ∠=.又100DC =， 由正弦定理，得
()sin 100sin 85
134.05sin sin 48
DC ADC AC m DAC ∠=
=≈∠.在BDC ∆中，60BDC ∠=，
72BCD ∠=，
则48DBC ∠=.又100DC =，
由正弦定理，得
()sin 100sin 60
116.54sin sin 48
DC BDC BC m DBC ∠=
=≈∠在ABC ∆中，
由余弦定理，得
2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠()22134.05116.542134.05116.54cos 72
47
=+-⨯⨯-
3233.95≈，
所以 ()57AB m ≈
答 ,A B 两点之间的距离约为57m .
【例2】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min ）.
【解】设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，
则21AB x =，9BC x =，又10AC =，()45180105120ACB ∠=+-=.
由余弦定理，得
2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，
即
()
()2
2
2211092109cos 120x x x =+-⨯⨯∠化简，得
2369100x x --=，
解得()()2
40min 3
x h ==（负值舍去）.
由正弦定理，得
sin 9sin12033sin 21BC ACB x BAC AB x ∠∠=
==
21.8BAC ∠≈，
方位角为4521.866.8+=.
答 舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮.
听课【例3】某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东3
π
的C 处，12时20
分测得轮船在海岛北偏西
3
π
的B 处，12时40分轮船到达海岛正西方5km 的E 港口.如果
轮船始终匀速前进，求船速.
【解】设ABE θ∠=，船的速度为/km h υ，则4
3BC υ=，13
BE υ=.
在ABE ∆中，153
sin υθ=
，15sin 2θυ
∴=. sin120， cos150⋅， 1连杆端点Ｐ在Ｑ的位x ｃｍ．已知ＯＡ＝２
.
答案：（１）4.10≈x ｃｍ （２）9.43≈x ｃｍ 航行的方位角∠ＮＡ处有灯塔，其方位角∠ＮＢＡ＝１１０°，在Ｃ处观察灯塔Ａ的方位角∠Ｎ′ＣＡ＝３５°，由Ｂ到Ｃ需航行０．５ｈ，求Ｃ到灯塔Ａ的距离．
听课
答案：35.10≈x ｎｍｉｌｅ
3．如图，某人在高出海面６００ｍ的山上Ｐ处，测得海面上的航标Ａ在正东，俯角为３０°，航标Ｂ在南偏东６０°，俯角为４５°，求这两个航标间的距离．
答案：这两个航标间的距离是600m.
【选修延伸】
【例4】三角形ABC 中有两个角分别为300和450，a b c ++= ()4sin sin sin A B C ++，求⊿ABC 的面积。
【解】由条件知三角形的第三个角为1050，设三角形外接圆半径为r ，则
4(
)2222a b c
a b c r r r r ++=++⇒=21sin 2sin sin sin 2
ABC S ab C r A B C ∆⇒== 134
2
6222142+=+⋅⋅⋅⋅=.
追踪训练二
1．在⊿ABC 中，已知A=030，且1233==b a ，则C 的值为（ C ）
A 4
B 9
C 4或9
D 无解
2．有一广告气球，直径为6m ，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球中心的仰角为300时，测得气球的视角01=β，若θ很小时可取θθ=sin ，则估算该气球离地高度为（ B ）
A 72 m
B 86 m
C 102 m
D 118 m
3．在锐角三角形ABC 中，1=a ，2=b ，则边c 的取值范围是 （ C ）
A 31<<c
B 51<<c
C
53<<c D 33<<c
提示：分边c 是最大边和不是最大边两种情况讨论，用余弦定理。
4．在⊿ABC 中，若
c
b a
c b b a ++=
+++3
11，则B= 600 。
提示：由条件知，
(2)()3()()a b c a b c a b b c ++++=++，222
a c
b a
c ⇔+-=
0602
1
cos =⇔=
⇔B B。