05重要不等式、线性规划【高三第二轮】

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高考数学第二轮复习线性规划知识要点总结

高考数学第二轮复习线性规划知识要点总结2018年高考数学第二轮复习线性规划知识点总结简单线性规划问题是高考的热点之一，也是历年高考的必修内容。

它主要以填空题的形式考查X最优解的X值问题的解。

高考命题主要集中在以下几个方面的线性规划知识点：(1)常规的线性规划问题，即线性约束下求X值的问题；(2)结合函数、平面向量等知识的X值问题；(3)求解非线性约束下的X值问题；(4)考察线性规划在解决现实生活和生产实践中的应用。

第一个(2)(3)(4)点往往是命题的xx点。

【例1】让函数f()=？3?罪恶？因为。

其中角的顶点与坐标原点重合，开始边与X轴的非负半轴重合，结束边经过该点？P(x，y)？0呢？(1)如果点p的坐标是12，32，求f()的值；(2)如果点P(x，y)是平面区域：xyy1，y1。

在最后一个移动点上，尝试确定角度的取值范围，求函数f()的小值和大值。

分析第一个问题(1)，我们只需要用到三角函数的定义。

在问题(2)中，只要先画出平面面积，然后根据画出的平面面积确定角度的范围，再转化为求f()=a？罪恶？b？因为。

类型函数的x值。

解(1)可以从点p的坐标和三角函数的定义得到？罪恶？=32,因为。

=12。

所以f()=3？罪恶？因为。

=?332 12=2。

(2)做一个如图所示的平面区域(即三角形区域ABC)，其中a (1，0)，b (1，1)，C(0，1)？所以0？2,F()=又是3？罪恶？因为。

=2?罪恶？6,然后呢。

2?3,所以呢。

2，那是=？3，f()得到x的值，x的值等于2；什么时候？6，即当=0时，f()取x的小值，x的小值等于1。

评论本题X的亮点在于将线性规划中的基本内容平面区域有机合成，以解题的形式对三角函数进行求值，这在过去几年中是很少见的。

高考数学文(二轮复习)课件《不等式与线性规划》

2．解不等式的四种策略 (1) 解一元二次不等式的策略：先化为一般形式 ax2 ＋ bx ＋ c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集． (2)解简单的分式不等式的策略：将不等式一边化为 0，再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解． (3)解含指、对数不等式的策略：利用指、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． (4)解含参数不等式的策略：根据题意确定参数分类的标准，依次讨论求解．
2．(2014· 全国新课标Ⅱ)设集合 M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋ 2≤0}，则 M∩N＝( A．{1} C．{0,1} ) B．{2} D．{1,2}
答案：D
解析：N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又 M＝{0,1,2}，所以 M∩N＝{1,2}．故选 D.
基础记忆
试做真题
基础要记牢,真题须做熟
基础知识不“背死” ，就不能“用活” ！ 1．牢记四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法．先化为一般形式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法．
a＋b 2 (4)ab≤ 2 (a，b∈R)．
(5)
a2＋b2 a＋b ≥ ≥ ab(a>0，b>0)． 2 2
3．快速判断二元一次不等式表示的平面区域
不等式 B>0 Ax＋By＋ C>0 Ax＋By＋ C<0
区域 B<0
直线 Ax＋By 直线 Ax＋By＋＋C＝0 上方 C＝0 下方
不等式与线性规划

高考二轮复习第4讲不等式及线性规划

第四讲不等式及线性规划1．(1)若ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1和x 2(x 1<x 2) ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解为{x |x >x 2或x <x 1}， ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解为{x |x 1<x <x 2}； (2)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.2．(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (2)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0)； (3)不等关系的倒数性质⎩⎨⎧a >b ab >0⇒1a <1b； (4)真分数的变化性质若0<n <m ，c >0，则n m <n ＋cm ＋c；(5)形如y ＝ax ＋b x (a >0，b >0)，x ∈(0，＋∞)取最小值时，ax ＝bx ⇒x ＝ba，即“对号函数”单调变化的分界点；(6)a >0，b >0，若a ＋b ＝P ，当且仅当a ＝b 时，ab 的最大值为⎝⎛⎭⎫P 22；若ab ＝S ，当且仅当a ＝b 时，a ＋b 的最小值为2S .3．不等式y >kx ＋b 表示直线y ＝kx ＋b 上方的区域；y <kx ＋b 表示直线y ＝kx ＋b 下方的区域．4．绝对值不等式：|x |＞a (a ＞0)⇔x ＞a 或x ＜－a ， |x |＜a (a ＞0)⇔－a ＜x ＜a .小题速解——不拘一格优化方法考点一不等式性质及求解[典例1] (1)设x 、y 、z 为正数，且2x ＝3y ＝5z 则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜2x ＜3y C ．3y ＜5z ＜2x D ．3y ＜2x ＜5z通解：令t ＝2x ＝3y ＝5z ， ∵x 、y 、z 为正数，∴t ＞1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3＞0∴2x ＞3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5＜0∴2x ＜5z ，∴3y ＜2x ＜5z ，故选D.优解：由2x ＝3y ＝5z ，取以2为底的对数得，log 22x ＝log 23y ，∴x ＝y log 23，∴2x ＝y ·lg 29＞y ·log 28 ∴2x ＞3y ，同理2x ＝z ·log 252＜z log 232＝5z ， ∴3y ＜2x ＜5z . 答案：D(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0，0<x ≤12，x >12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x >－14.答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞1．不等式的求解技巧(1)对于和函数有关的不等式，可利用函数的单调性进行转化，分段函数需分段讨论求解． (2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集． (3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论． 2．比较数的大小(1)与函数有关的值可借助函数单调性． (2)作差法或作商法．(3)插值法：插入0，分出正、负；插入1，分出比1大和比1小．核心素养：此类题既考查基础(不等式的基本性质、基本转化、基本运算)；又考查不等式知识的综合运用能力． [自我挑战]1．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：选D.根据指数函数的性质得x ＞y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A 、B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质知，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．2．(2018·高考天津卷)设x ∈R ，则“x 3＞8”是“|x |＞2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由x 3＞8可得x ＞2，∴|x |＞2.由|x |＞2可得x ＞2或x ＜－2.∴x 3＞8或x 3＜－8.故“x 3＞8”是“|x |＞2”的充分而不必要条件．故选A. 考点二基本不等式及应用[典例2] (1)设x ＞0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0B ．12C ．1D ．32解析：∵x ＞0，∴x ＋12＞0，∴y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2 ⎝⎛⎭⎫x ＋12×1x ＋12－2＝0.当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0，故选A. 答案：A(2)当0＜m ＜12时，若1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，则实数k 的取值范围为( )A ．[－2，0)∪(0，4]B ．[－4，0)∪(0，2]C ．[－4，2]D ．[－2，4]解析：因为0＜m ＜12，所以2m ＞0，1－2m ＞0所以12×2m ×(1－2m )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m ＋（1－2m ）22＝18⎝⎛⎭⎫当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取等号，所以1m ＋21－2m ＝1m （1－2m ）≥8，又1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，所以k 2－2k －8≤0，所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2，4]．故选D. 答案：D(3)(2018·高考天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．解析：由题意知a －3b ＝－6，因为2a ＞0，8b ＞0，所以2a ＋18b ≥2×2a ×18b ＝2×2a －3b＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3b ，a ＝－3，b ＝1时取等号．答案：141．常数代换法求最值的关键在于常数的变形，利用此方法求最值应注意以下三个方面：(1)注意条件的灵活变形，确定或分离出常数，这是解题的基础；(2)将常数化成“1”，这是代数式等价变形的基础；(3)利用基本不等式求解最值时要满足“一正、二定、三相等”，否则容易出现错解．2．拼凑法就是将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．此方法适用于已知某些变量的等式，求解相关代数式的最值问题，或已知函数解析式，求函数的最值问题．核心素养：此类题重在考查学生逻辑推理，数学运算的素养．考查运用基本知识的技能． [自我挑战]3．已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞) ，则a 的值是( )A.12 B ．32C ．1D ．2解析：选C.由题意可得a ＞0，①当x ＞0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x ＜0时，f (x )＝x ＋ax＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎪⎨⎪⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C. 4．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5通解：选C.因为直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，所以1a ＋1b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 优解：如图a ，b 分别是直线x a ＋yb ＝1在x ，y 轴上的截距，A (a ，0)，B (0，b )，当a →1时，b →＋∞，当b →1时，a →＋∞，只有点(1，1)为AB 的中点时，a ＋b 最小，此时a ＝2，b ＝2，∴a ＋b ＝4.考点三求线性规划中线性目标函数的最值[典例3] (1)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3，0]B ．[－3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]通解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝x －z 过点A (2，0)时，z 取得最大值，即z ma x ＝2－0＝2；当直线y ＝x －z 过点B (0，3)时，z 取得最小值，即z min ＝0－3＝－3.所以z ＝x －y 的取值范围是[－3，2]．故选B.优解：直线与x 轴，y 轴的交点分别为(2，0)，(0，3)．代入z ＝x －y 中得z ＝2，z ＝－3. 即z ma x ＝2，z min ＝－3.故选B. 答案：B(2)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．通解：作出可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －2y ，得y ＝32x －z2.作出直线l 0：y ＝32x ，并平移l 0，知当直线y ＝32x －z2过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，2x ＋y ＋1＝0，得A (－1，1)， ∴z min ＝3×(－1)－2×1＝－5.优解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝02x ＋y ＋1＝0得A (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0x －y ＝0得B ⎝⎛⎭⎫－13，－13，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋2y －1＝0得C ⎝⎛⎭⎫13，13，分别代入z ＝3x －2y 中得z A ＝－5. z B ＝3×⎝⎛⎭⎫－13＋23＝－13. z C ＝3×13－23＝13，∴z min ＝－5.答案：－5(3)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：根据线性约束条件画出可行域，如图阴影部分所示．作出直线l 0：y ＝－2x .平移直线l 0，当经过点A 时，目标函数取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋3＝0，y ＋3＝0得点A 的坐标为(－6，－3)． ∴z min ＝2×(－6)＋(－3)＝－15.故选A. 答案：A求目标函数的最值的方法1．几何意义法(1)常见的目标函数①截距型：形如z ＝ax ＋by ，求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．②距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，设动点P (x ，y )，定点M (a ，b )，则z ＝|PM |2. ③斜率型：形如z ＝y －bx －a ，设动点P (x ，y )，定点M (a ，b )，则z ＝k PM .(2)目标函数z ＝xy 的几何意义①由已知得y ＝z x ，故可理解为反比例函数y ＝zx 的图象，最值需根据该函数图象与可行域有公共点时进行判断．②设P (x ，y )，则|xy |表示以线段OP (O 为坐标原点)为对角线的矩形面积． 2．界点定值法：利用可行域所对应图形的边界顶点求最值．核心素养：此类题重在考查学生运用基础知识、数形结合的能力，发展学生数学运算、数学建模、直观想象的数学素养． [自我挑战]5．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150x ＋0.3y ≤905x ＋3y ≤600x ≥0，x ∈N *y ≥0，y ∈N*，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N *，y ∈N *，可知取得最大值时的最优解为A (60，100)，所以z ma x ＝2 100×60＋900×100＝216000(元)．答案：216 0006．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( )A ．[1，5]B ．[2，6]C ．[3，11]D ．[3，10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示．则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y ＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1，5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3，11]．7．(2018·高考全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0.则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：画出可行域，如图中阴影部分所示．作出直线3x ＋2y ＝0并平移，结合图象可知，当平移后的直线经过点B (2，0)时，直线z ＝3x ＋2y 在y 轴上的截距最大，z 取得最大值，即当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0时，z ma x ＝3×2＋0＝6.答案：6考点四不等式、线性规划的交汇[典例4] (1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，5x －3y －12≥0，y ≤3，则当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取得最小值1时，13a ＋2b 的最小值为( )A ．4＋2 2B ．42C ．3＋2 2D ．3＋2解析：如图，作出不等式组所表示的可行域(△ABC 的内部及其边界)．因为a ＞0，b ＞0，所以目标函数z ＝ax ＋by 对应的直线的斜率k ＝－ab ＜0，当直线在x 轴或y 轴上的截距取得最小值时，目标函数取得最小值，即直线过点A 时z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，5x －3y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，所以A (3，1)．所以z 的最小值为3a ＋b ＝1，故13a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫13a ＋2b ×(3a ＋b )＝3＋b 3a ＋6ab . 因为a ＞0，b ＞0，由基本不等式可得b 3a ＋6ab ≥2b 3a ×6a b ＝22(当且仅当b 3a ＝6ab，即b ＝32a 时等号成立)，所以13a ＋2b 的最小值为3＋2 2.故选C.答案：C(2)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A ．1B ．35C.12D ．2解析：依题意可知不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由图可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (1，－2a )时，z 取得最小值1，即1＝2×1－2a ，解得a ＝12，选C.答案：C(3)已知Rt △ABC 的面积为4，O 为直角顶点．设向量a ＝OA →|OA →|，b ＝OB →|OB →|，OP →＝a ＋4b 则P A →·PB→的最大值为________．解析：以O 为原点，分别以向量OA →，OB →的方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系．如图，由已知得|OA →|·|OB →|＝8，设|OA →|＝m (m ＞0)，则点A (m ，0)，B ⎝⎛⎭⎫0，8m ，a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，OP →＝(1，4)．从而P A →＝(m －1，－4)，PB →＝⎝⎛⎭⎫－1，8m －4. 所以P A →·PB →＝1－m －4⎝⎛⎭⎫8m －4＝17－⎝⎛⎭⎫m ＋32m ≤17－2m ·32m＝17－82，当且仅当m ＝42时取等号，所以P A →·PB →的最大值为17－8 2. 答案：17－82核心素养：不等式常在交汇点处命题，重在考查学生运用知识的能力和解决问题的潜能． [自我挑战]8．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2，选B.9．(2018·高考北京卷)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y ＞4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2，1)∈A B ．对任意实数a ，(2，1)∉A C ．当且仅当a ＜0时，(2，1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A解析：选D.若点(2，1)∈A ，则不等式x －y ≥1显然成立，且同时要满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＞4，2－a ≤2，解得a ＞32，所以当且仅当a ≤32时，点(2，1)∉A ，故选D.1．已知2b ＜2a ＜1，则下列结论错误的是( ) A ．a 2＜b 2 B ．b a ＋a b ＞2C ．ab ＜b 2D ．1a ＞1b解析：选D.因为函数h (x )＝2x 在R 上单调递增，由2b ＜2a ＜1，即2b ＜2a ＜20，可得b ＜a ＜0.不妨取b ＝－2，a ＝－1.显然，A 项中，(－1)2＜(－2)2成立，故a 2＜b 2可能成立；B 项中，－2－1＋－1－2＝52＞2，即b a ＋ab ＞2可能成立；C 项中，(－1)×(－2)＝2＜(－2)2，即ab ＜b 2可能成立；D 项中，1－1＝－1＜1－2＝－12，所以1a ＞1b 不成立．选D.2．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥12x ，x ＋y ≤3，x ≥a ，z ＝3x ＋y 的最大值比最小值大14，则a 的值是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A.如图所示，不等式组所表示的可行域为△ABC 及其内部，作出目标函数z ＝3x ＋y 对应的直线l .因为z 的几何意义为直线l 在y 轴上的截距．显然，当直线l 过点B 时，z 取得最大值；当直线l 过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y ＝3，解得B (2，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＝a ，解得A ⎝⎛⎭⎫a ，a2. 所以目标函数的最大值为z ma x ＝3×2＋1＝7，最小值为z min ＝3a ＋a 2＝72a ，由题意知，7－72a ＝14，∴a ＝－2.3．若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，3x －y ＋3≥0，3x ＋y －6≤0，则x 2＋y 2的最小值与最大值分别为( )A.45，412 B ．255，41C.255，3177D ．45，15349解析：选A.不等式组所表示的可行域为如图所示△ABC 及其内部，x 2＋y 2表示可行域内的点P (x ，y )到原点O (0，0)的距离的平方，即|PO |2.由图可知，|PO |的最小值为原点到直线AB ：x ＋2y －2＝0的距离d ，最大值为|OC |.又d ＝|0＋0－2|12＋22＝255，故|PO |2的最小值为d 2＝⎝⎛⎭⎫2552＝45.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋3＝0，3x ＋y －6＝0，解得C ⎝⎛⎭⎫12，92. 故|PO |2的最大值为|OC |2＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫922＝412.4．甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费如下表所示，则组委会定做该工艺品的费用总和最低为________元．解析：设甲厂生产一等奖奖品x 件，二等奖奖品y 件，x ，y ∈N ，则乙厂生产一等奖奖品(3－x )件，二等奖奖品(6－y )件．则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，3－x ≥0，6－y ≥0，x ，y ≥0，设费用为z 元，则z ＝500x ＋400y ＋800(3－x )＋600(6－y )＝－300x－200y ＋6 000，作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示．由图象知当直线经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即A (3，1)，故组委会定做该工艺品的费用总和最低为z min ＝－300×3－200×1＋6 000＝4 900(元)．答案：4 9005．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos ∠APB ＝( ) A.32B ．12C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OP A ＝π6，∴∠APB ＝π3，∴cos ∠APB ＝12.6．在平面直角坐标系内，已知两定点A (1，0)，B (1，1)和一动点M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤OM →·OA →≤1，0≤OM →·OB →≤2，则点P (x ＋y ，x －y )构成的区域的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧0≤OM →·OA →≤1，0≤OM →·OB →≤2，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤x ＋y ≤2.设P (s ，t )，则⎩⎪⎨⎪⎧s ＝x ＋y ，t ＝x －y ，解得⎩⎨⎧x ＝12（s ＋t ），y ＝12（s －t ）.由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤2，0≤x ≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤s ≤2，0≤s ＋t ≤2.作出不等式组对应的平面区域，得如图所示的平行四边形OABC ，则A (0，2)，B (2，0)，C (2，－2)，则四边形的面积S ＝2×12×2×2＝4.答案：4限时规范训练(四)建议用时45分钟，实际用时________一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．若6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( )A ．9≤c ≤18B ．18＜c ＜30C ．9≤c ≤30D ．9＜c ＜30解析：选D.∵a 2≤b ≤2a ，∴3a2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a ，又∵6＜a ＜10，∴9＜c ＜30.2．设a ，b ∈R ，若p ：a ＜b ，q ：1b ＜1a ＜0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当a ＜b 时，1b ＜1a ＜0不一定成立；当1b ＜1a＜0时，a ＜b ＜0. 综上可得，p 是q 的必要不充分条件，故选B.3．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋2，x ＋y －2≥0，x ≤2，则z ＝|x －y |的最大值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.依题画出可行域，如图中阴影部分所示，令m ＝y －x ，则m 为直线l ：y ＝x ＋m 在y 轴上的截距，由图知在点A (2，6)处m 取最大值4，在C (2，0)处取最小值－2，所以m ∈[－2，4]，所以z 的最大值是4，故选B.4．已知b ＞a ＞0，a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( ) A ．log 3a ＞0B ．3a －b ＜13C ．log 2a ＋log 2b ＜－2D ．3⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥6解析：选C.对于A ，由log 3a ＞0可得log 3a ＞log 31，所以a ＞1，这与b ＞a ＞0，a ＋b ＝1矛盾，所以A 不正确；对于B ，由3a －b ＜13可得3a －b ＜3－1，所以a －b ＜－1，可得a ＋1＜b ，这与b ＞a ＞0，a ＋b ＝1矛盾，所以B 不正确；对于C ，由log 2a ＋log 2b ＜－2可得log 2(ab )＜－2＝log 214，所以ab ＜14，又b ＞a ＞0，a ＋b ＝1＞2ab ，所以ab ＜14，两者一致，所以C正确；对于D ，因为b ＞a ＞0，a ＋b ＝1，所以3⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＞3×2 b a ×ab＝6，所以D 不正确，故选C.5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为( )A ．－2B ．－23C ．－125D ．2－47解析：选C.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3，2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125，故选C.6．已知关于x 的不等式x 2－ax －6a 2＞0(a ＜0)的解集为(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，且x 2－x 1＝52，则a ＝( ) A ．－ 5 B ．－32C ．－ 2D ．－52解析：选C.解法一：因为关于x 的不等式x 2－ax －6a 2＞0(a ＜0)的解集为(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，所以x 1＋x 2＝a ，①x 1x 2＝－6a 2，②①的平方减去4倍的②可得(x 2－x 1)2＝25a 2，又x 2－x 1＝52，所以25a 2＝50，解得a ＝±2，因为a ＜0，所以a ＝－ 2.解法二：关于x 的不等式x 2－ax －6a 2＞0(a ＜0)可化为(x ＋2a )(x －3a )＞0，因为a ＜0，所以－2a ＞3a ，解不等式得x ＞－2a 或x ＜3a ，所以x 1＝3a ，x 2＝－2a .又x 2－x 1＝52，所以a ＝－ 2.7．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝2，2a ＋b ＝8，则1x ＋1y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．log 23解析：选B.∵a x ＝b y ＝2，∴x ＝log a 2，y ＝log b 2， ∴1x ＝log 2a ，1y＝log 2b ， ∴1x ＋1y ＝log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )， ∵8＝2a ＋b ≥22a ·b ，∴ab ≤8(当且仅当2a ＝b 时，取等号)， ∴1x ＋1y ≤log 28＝3，即1x ＋1y的最大值为3.故选B. 8．已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，122x －1，x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( ) A.⎣⎡⎦⎤14，23∪⎣⎡⎦⎤43，74 B.⎣⎡⎦⎤－34，－13∪⎣⎡⎦⎤14，23 C.⎣⎡⎦⎤13，34∪⎣⎡⎦⎤43，74 D.⎣⎡⎦⎤－34，－13∪⎣⎡⎦⎤13，34 解析：选A.作出y ＝f (x )与y ＝12的图象，如图．由图象及已知可得f (x )≤12的解集为⎣⎡⎦⎤－34，－13∪⎣⎡⎦⎤13，34，∴f (x －1)≤12的解集为⎣⎡⎦⎤14，23∪⎣⎡⎦⎤43，74，故选A. 9．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，且b ＝－2x －y ，当b 取得最大值时，直线2x ＋y＋b ＝0被圆(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦长为( ) A ．10 B ．25 C ．3 5D ．45解析：选B.作出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当直线y ＝－2x －b 经过点A (－2，－2)时，b 取得最大值，b ma x ＝－2×(－2)－(－2)＝6，此时直线方程为2x ＋y ＋6＝0.因为圆心(1，2)到直线2x ＋y ＋6＝0的距离d ＝|2＋2＋6|22＋12＝25，所以直线被圆截得的弦长L ＝252－（25）2＝25，故选B.10．设a ∈R ，关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2＞0的解集有下列四个命题： ①原不等式的解集不可能为∅；②若a ＝0，则原不等式的解集为(2，＋∞)； ③若a ＜－12，则原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1a ，2； ④若a ＞0，则原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－1a ∪(2，＋∞)．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.原不等式等价于(ax ＋1)(x －2)＞0. 当a ＝0时，不等式化为x －2＞0，得x ＞2.当a ≠0时，方程(ax ＋1)(x －2)＝0的两根分别是2和－1a ，若a ＜－12，解不等式得－1a ＜x ＜2；若a ＝－12，不等式的解集为∅；若－12＜a ＜0，解不等式得2＜x ＜－1a；若a ＞0，解不等式得x ＜－1a或x ＞2.故①为假命题，②③④为真命题．11．已知函数f (x )(x ∈R )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )＞0的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，2)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1，1)∪(3，＋∞)解析：选D.由f (x )的图象可知，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上，f ′(x )＞0，在(－1，1)上，f ′(x )＜0.由(x 2－2x －3)f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）＞0，x 2－2x －3＞0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）＜0，x 2－2x －3＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1或x ＜－1，x ＞3或x ＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜1，－1＜x ＜3，所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(3，＋∞)．故选D. 12．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)解析：选D.当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜0，2x ＜0，2x ＜x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x ＜0，所以x ＜0，故选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．若关于x 的不等式(mx －1)(x －2)＞0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1m＜x ＜2，则m 的取值范围是________．解析：∵不等式(mx －1)(x －2)＞0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1m ＜x ＜2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，1m ＜2，∴m 的取值范围是(－∞，0)．答案：(－∞，0)14．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y ＋2≤0，x ＋y －4≤0的解集记作D ，实数x ，y 满足如下两个条件：①∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ；②∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a . 则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，不等式组所表示的平面区域D 如图中阴影部分(△ABC 及其内部)所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋y －4＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以点B 的坐标为(2，2)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋y －4＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以点C 的坐标为(1，3)，因为∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ，由图可知，a ≤k OB ，所以a ≤1.由∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a ，设z ＝x －y ，则a ≥z min .当目标函数z ＝x －y 过点C (1，3)时，z ＝x －y 取得最小值，此时z min ＝1－3＝－2，所以a ≥－2.综上可知，实数a 的取值范围为[－2，1]．答案：[－2，1]15．设a ＜0，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为________．解析：当a ＜b ＜0时，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，可转化为∀x ∈(a ，b )，a ≤－3x 2，所以a ≤－3a 2，所以－13≤a ＜0，所以b －a ＜13；当a ＜0＜b 时，若x ＝0，则(3x 2＋a )(2x＋b )＝ab ＜0，不符合题意；当a ＜0＝b 时，由题意知x ∈(a ，0)，(3x 2＋a )·2x ≥0恒成立，所以3x 2＋a ≤0，所以－13≤a ＜0，所以b －a ≤13.综上所述，b －a 的最大值为13.答案：1316．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1，2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1，2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c ＞0的解集为(－2，1)．即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(－2，1)．31参考上述解法，若关于x 的不等式k x ＋a ＋x ＋b x ＋c＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为________．解析：若关于x 的不等式k x ＋a ＋x ＋b x ＋c＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式k 1x ＋a ＋1x ＋b 1x＋c ＜0，即kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为(－3，－1)∪(1，2)．答案：(－3，－1)∪(1，2)。

2020届高三理科数学二轮复习讲义：模块二专题一第四讲不等式、线性规划Word版含解析.doc

专题一会合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第四讲不等式、线性规划思想方法解说对于解不等式，主要波及一元二次不等式、分式不等式、对数和指数不等式，而且以一元二次不等式为主．2．对于线性规划知识的考察主要经过图示的方法获取最优解或已知最优解求参数，此类题型有时需要借助一个实质背景．此中以考查线性目标函数的最值为要点，常联合其代数式的几何意义 (如斜率、截距、距离、面积等 )来求解．3．对于基本不等式重在考察对代数式的转变过程及合用条件、等号建立条件的查验，在求最值或不等式恒建立问题中常用基本不等式.x．·广东珠海二模若会合＝≤02 ，)，B ＝{ x|x<2x} 1 (2017A xx －1则 A ∩B 等于()A ．{ x|0<x<1}B ．{ x|0≤x<1}C ．{ x|0<x ≤1}D ．{ x|0≤x ≤1}[分析 ]会合 A＝ xx≤0＝ { x|0≤x<1} ， B＝{ x|x2<2x} ＝x－1{ x|0<x<2} ，因此 A∩B＝{ x|0<x<1} ．[答案] Ax－y＋3≤0，2．(2017 ·山东卷 )已知 x，y 知足拘束条件 3x＋y＋5≤0，则zx＋3≥0，＝x＋2y 的最大值是 ()A ．0 B．2 C．5 D．6[ 分析 ]x，y 知足的拘束条件对应的平面地区如图中暗影部分所示，将直线x zy＝－ 2＋2进行平移，明显当该直线过点A(－3,4)时z 取得最大值， z max＝－ 3＋8＝5.[答案]C1 23．(2015 ·湖南卷 )若实数 a，b 知足a＋b＝ab，则 ab 的最小值为()A. 2 B．2 C．2 2 D．41 2 b ＋2a[ 分析 ] 解法一：由已知得 a ＋ b ＝ ab ＝ ab ，且 a>0，b>0，∴abab ＝b ＋2a ≥2 2 ab ，当且仅当 1＋2＝ ab ，时等号建立， a bb ＝ 2a ，∴ab ≥2 2.1 22解法二：由题设易知a>0， b>0，∴ ab ＝a ＋b ≥2ab ，即≥，当且仅当 1＋2＝ ab ，时，取等号，选 C.abab 22b ＝2a[答案]C4．(2017 ·山东卷 )若 a>b>0，且 ab ＝1，则以下不等式建立的是()1 bA ．a ＋b <2a <log 2(a ＋b)b1B. 2a <log 2(a ＋b)<a ＋b1 bC ．a ＋b<log 2(a ＋b)<2a1 bD ．log 2(a ＋b)<a ＋b <2a[ 分析 ] 特值法：令 a ＝，＝1，可清除 A 、C 、D.应选 B.2 b2[答案]B2x －y －6>0，5 ． ·山西四校联考 )已知实数，知足 y ≥1x －3，则(2017x y 2x ＋4y ≤12，y－3z＝x－2的取值范围为 ________．[分析 ]不等式组所表示的平面地区如图中暗影部分所示，z＝y－3表示点D(2,3)与平面地区内的点 (x， y)之间连线的斜率．因点x－2与连线的斜率为－1且 C 的坐标为 (2，－ 2)，故由图知 zD(2,3)B(8,1)3y－31＝x－2的取值范围为－∞，－3.1[答案]－∞，－3考点一不等式的解法求解不等式的方法(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式 ax2＋ bx ＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0(a≠0)的根，最后依据相应二次函数图象与x 轴的地点关系，确立一元二次不等式的解集．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转变为整式不等式 (一般为一元二次不等式 )求解．(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的合适分类，要点是找到对参数进行议论的原由，确立好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．[对点训练 ]． ·全国卷Ⅰ 设会合＝ { x|x 2－ 4x ＋3<0} ，B ＝{ x|2x －3>0} ， 1 (2016 ) A则 A ∩B ＝()A. －3，－3B. －3，322，33，3C.1 2D. 2[ 分析 ] ∵x 2－4x ＋3<0? (x －1)(x －3)<0? 1<x<3，∴ A ＝{ x|1<x<3} ．33∵ 2x －3>0? x>2，∴ B ＝ x|x>2 ，∴ ∩ ＝ 3 3，3 应选A B x|2<x<3 ＝ 2 .D.[答案] D2e x － 1， x<2，2．(2017 ·河北质量监测 )函数 f(x)＝，x ≥2，log 3 x 2－1 则不等式 f(x)>2 的解集为 ()A ．(－2,4)B ．(－4，－ 2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪( 10，＋∞ )D ．( 10，＋∞ )[ 分析 ] 令x － 1 ，解得 1<x<2 ；令 3 2－1)>2(x ≥2)， 2e >2(x<2) log (x解得 x>10，应选 C.[答案] C3．(2017·广东清远一中一模)对于x 的不等式ax －b<0的解集是(1，＋∞ )，则对于x 的不等式(ax ＋b)(x －3)>0的解集是 ()A ．(－∞，－ 1)∪(3，＋∞ )B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞， 1)∪(3，＋∞ )[ 分析 ] 对于 x 的不等式 ax －b<0 即 ax<b 的解集是 (1，＋∞ )，∴ a ＝b<0，∴不等式 (ax ＋b)(x －3)>0 可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－ 1<x<3，∴所求不等式的解集是 (－1,3)．应选 C.[答案]C|x|＋2，x<1，4 ．·天津卷已知函数f(x) ＝设 a ∈R ，若关(2017)＋2，x ≥1.xx于 x 的不等式 f(x)≥ x＋a 在 R 上恒建立，则 a 的取值范围是 ()2A ．[－2,2]B ．[－2 3，2]C ．[－2,2 3]D ．[－2 3，2 3][ 分析] 作出的图象如下图，当＝x ＋a 的图象经过点 (0,2)f(x)y2时，可知 a ＝±2.当 y ＝x＋a 的图象与 y ＝x ＋2的图象相切时，由 x＋a2x22＝x ＋x ，得 x 2－ 2ax ＋4＝ 0，由＝0，并联合图象可得 a ＝2.要使f(x)≥x＋a 恒建立，当 ≤时，需知足－ ≤ ，即－ 2 ≤ ≤ ，当2a 0a 2a 0a>0 时，需知足 a ≤2，因此－ 2≤a ≤2.[答案]A(1)求解一元二次不等式的 3 步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，如有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．(2)解一元二次不等式恒建立问题的 3 种方法：①图象法；②分别参数法；③改换主元法．考点二基本不等式的应用a＋b1．基本不等式：2≥ab(1)基本不等式建立的条件：a>0，b>0.(2)等号建立的条件：当且仅当a＝b 时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当 a＝b 时取等号．(2)a b≤a＋b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号．222(3)a ＋b≥a＋b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号．22b a(4)a＋b≥2(a，b 同号 )，当且仅当 a＝b 时取等号．[对点训练 ]1．(2017 ·河北衡水中学调研 )若 a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则 a＋b 的最小值为 ()A ．8 B．6 C．4 D．2[ 分析 ]由a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，1 1 1 1 b a即 ab＝a＋b，则有a＋b＝1，因此 a＋b＝a＋b(a＋b)＝2＋a＋b≥2b a＋2·＝4，当且仅当a＝b＝2时等号建立，因此a＋b的最小值a b 为 4，应选 C.[答案] C2．设 a>1，b>1 且 ab－(a＋b)＝1，那么 ()A ．a＋b 有最小值 2＋22B．a＋b 有最大值 2＋22C．ab 有最大值 2＋1D．ab 有最小值 2＋2 2[ 分析 ] ∵a>1，b>1 且 ab－(a＋b)＝1，∴1＋a＋b＝ab≤a＋b 2，2则(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，得 a＋b≥2＋ 2 2或 a＋b≤－ 2 2＋2(舍去)，当且仅当 a＝b＝1＋ 2时等号建立．∵ a＋b＝ab－1≥2＋2 2，∴ab≥3＋2 2，当且仅当 a＝b 时等号建立，应选 A.[答案] A1123．(2017 ·海淀期末 )当 0<m<2时，若m＋1－2m≥k2－2k恒建立，则实数 k 的取值范围为 ()A ．[－2,0)∪ (0,4]B ．[ －4,0)∪(0,2]C ．[－4,2]D ．[－2,4]11 1[分析] 因为 0<m< 2 ，所以 0< 2 ×2m ×(1 － 2m)≤ 2× 2m ＋ 1－2m 2＝ 1 当且仅当＝－，即 12 8( ＝时取等号 )，所2m 1 2m m 4以1＋2＝1 ≥8，又 1＋ 2 ≥k 2－2k 恒建立，因此 k 2m 1－2m m 1－2m m 1－2m－2k －8≤0，因此－ 2≤k ≤4.因此实数 k 的取值范围是 [－ 2,4]．应选D.[答案] D4． (2017 ·天津卷 )若 a ，b ∈R ，ab>0，则 a 4＋4b 4＋1 的最小值为ab________．[ 分析 ] ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当 a 2＝2b 2 时 “＝ ”成立)，4＋4b 4＋12 2＋11，因为 ab>0，∴a≥4a b＝4ab ＋ababab∴ ＋ 1≥214 当且仅当 4ab ＝ 1时“＝ ”建立，· ＝4ab ab 4ab ab aba 2＝2b 2， a 4＋4b 4＋1 故当且仅当1时， ab 的最小值为 4.4ab ＝ab[答案] 4利用基本不等式求函数最值的3 个关注点(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别合适用基本不等式求最值．(2)条件：利用基本不等式求最值需知足“正”(即条件要求中字母为正数 )、“定”(不等式的另一边一定为定值)、“等”(等号获得的条件 )的条件才能应用，不然会出现错误．(3)方法：使用基本不等式时，一般经过“拆、拼、凑” 的技巧b把求最值的函数或代数式化为ax＋x(ab>0)的形式，常用的方法是变量分别法和配凑法．考点三线性规划问题1．线性目标函数z＝ax＋by 最值确实定方法线性目标函数z＝ax＋by 中的 z 不是直线 ax＋by＝z 在 y 轴上的截距，把目标函数化为a z zy＝－ bx＋b，可知 b是直线ax＋by＝z在y 轴上的截距，要依据 b 的符号确立目标函数在什么状况下获得最大值、什么状况下获得最小值．2．常有的目标函数种类a z(1)截距型：形如 z＝ax＋by，能够转变为 y＝－b x＋b，利用直线在 y 轴上的截距大小确立目标函数的最值；y－b(2)斜率型：形如 z＝x－a，表示地区内的动点 (x，y)与定点 (a，b)连线的斜率；(3)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，表示地区内的动点(x，y)与定点 (a，b)的距离的平方；形如z＝|Ax＋By＋C|，表示地区内的动点(x，y)到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍．角度 1：给出拘束条件求地区面积和目标函数的最值[ 分析 ]由拘束条件作出可行域，如图暗影部分所示．平移直线 3x－2y＝0 可知，目标函数 z＝3x－2y 在 A 点处取最小值，x＋2y＝1，x＝－ 1，又由解得即 A(－1,1)，2x＋y＝－ 1y＝ 1，因此 z min＝3×(－1)－2×1＝－ 5.[答案] －5[ 研究追问 ]在例 1－1的条件下， z＝(x＋1)2＋y2的取值范围是________．1[分析] 由x－y＝0，x＝3，即C1，1. x＋2y＝1，解得1 3 3y＝3，(x＋1)2＋y2的几何意义是地区内的点 (x，y)与定点 (－1，0)间距离的平方．由图可知，点 (－1,0)到直线AB： 2x＋ y＋1＝0 的距离最小，为|－2＋1|5115 ＝5，故 z min＝5；点(－1,0)到点 C 的距离最大，故 z max＝3＋11 171 17 2＋ 3 2＝ 9 .因此 z ＝(x ＋1) 2＋y 2 的取值范围是 5， 9 .1 17[答案] 5， 9角度 2：由最优解状况或可行域状况确立参数的值或取值范围【例 1 － 2 】(2017 ·开封一模 ) 若 x ， y 满足拘束条件x ＋y ≥1，x －y ≥－ 1，且目标函数 z ＝ax ＋2y 仅在点 (1,0)处获得最小值，则2x －y ≤2，a 的取值范围是 ()A ．[－4,2]B ．(－4,2)C ．[－4,1]D ．(－4,1)[ 思想流程 ]确立 → 找到 → 代入求参数可行域最优解值或范围[ 分析 ] 作出不等式组表示的地区如图中暗影部分所示，直线zaa＝ax ＋2y 的斜率为 k ＝－ 2，从图中可看出，当－ 1<－2<2，即－ 4<a<2 时，目标函数 z 仅在点 (1,0)处获得最小值．应选 B.[答案]B解决线性规划问题的 3 个步骤(1)作图——画出拘束条件所确立的平面地区和目标函数所表示的平面直线系中的随意一条直线l .(2)平移——将 l 平行挪动，以确立最优解所对应的点的地点．有时需要对目标函数l 和可行域界限的斜率的大小进行比较．(3)求值——解相关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．[对点训练 ]1．[角度 1]某旅游社租用 A，B 两种型号的客车安排900 名客人旅游，A，B 两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人，租金分别为 1600元/ 辆和 2400 元/ 辆．旅游社要求租车总数不超出21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为 ()A ．31200 元B．36000 元C．36800 元D．38400 元[ 分析 ] 设分别租用 A，B 两种型号的客车 x 辆，y 辆，所用的总租金为 z 元，则 z＝1600x＋2400y，36x＋60y≥900，此中x，y知足不等式组x＋y≤21，(x，y∈N* )．y－x≤72其可行域如图中暗影部分，由z＝1600x＋2400y，得 y＝－3x＋z2z2400.当直线 y＝－3x＋2400过点 M(5,12)时，z min＝1600×5＋2400×12＝36800.[答案]C2．[角度 2](2017 ·北八校联考湖 (一))若实数 x，y 知足不等式组x＋3y－3≥0，2x－y－3≤0，此中 m>0，且 x＋y 的最大值为 9，则实数 m＝( ) x－my＋1≥0，A ．4 B．3 C．1 D．2x＋ 3y－ 3≥0，[ 分析 ]依据拘束条件2x－y－3≤0，画出可行域如图中阴x－my＋1≥0影部分所示．x－my＋1＝ 0，3m＋15设z＝x＋y，由2x－y－3＝0，得A2m－1，2m－1.易知当z 3m＋15＝x＋y 经过点 A 时， z 获得最大值，故2m－1＋2m－1＝9，得 m＝1.[答案]C热门课题 4求解不等式中参数范围问题[感悟体验 ]1． (2017 ·安徽六安一中月考 )在区间 (1,2)上不等式x2＋mx＋4>0有解，则 m 的取值范围为 ()A ．m>－4 C．m>－5B．m<－4 D．m<－5[ 分析 ]记f(x)＝x2＋mx＋4，要使不等式x2＋mx＋4>0在区间(1,2)上有解，需知足f(1)>0 或 f(2)>0，即 m＋5>0 或 2m＋8>0，解得 m>－5.应选C.[答案]C2．(2017·唐山一模)已知a>1，b>0，若a＋b＝2，且a－1＋b<m2－m＋2恒建立，则实数m 的取值范围为()A ．[0,1]B．(－∞， 0]∪[1，＋∞ )C．(0,1)D．(－∞， 0)∪(1，＋∞ )[ 分析 ] 由题意可得 (a－1＋ b)max<m2－m＋2，∵ a>1，b>0，a ＋ b ＝ 2 ，∴ a － 1>0 ， a － 1 ＋ b ＝ 1.∴ a－1 ＋ b≤ 2[ a－1 2＋ b 2＝，当且仅当＝－，＋＝，即a ＝3，]2 b a 1 a b 22b＝12时取等号，因此m2－m＋2> 2，解得 m>1 或 m<0.应选 D. [答案]D。

(典型题)高考数学二轮复习知识点总结不等式及线性规划

不等式及线性规划1．四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形⇒f xg x>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； ②变形⇒f xg x≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，af (x )>ag (x )⇔f (x )>g (x )； ②当0<a <1时，af (x )>ag (x )⇔f (x )<g (x )．(4)简单对数不等式的解法①当a >1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； ②当0<a <1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )<g (x )且f (x )>0，g (x )>0. 2．五个重要不等式(1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R )． (2)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )． (3)a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．(4)ab ≤(a ＋b2)2(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0)． 3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等． (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4．两个常用结论(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.考点一一元二次不等式的解法例1 (2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．答案 9解析由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又∵f (x )<c .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题考查了二次函数的值域及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．(1)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．[0,2](2)设命题p ：{x |0≤2x －1≤1}，命题q ：{x |x 2－(2k ＋1)x ＋k (k ＋1)≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是__________．答案 (1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12解析 (1)p ∧q 为真命题，等价于p ，q 均为真命题．命题p 为真时，m <0；命题q 为真时，Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.故p ∧q 为真时，－2<m <0.(2)p ：{x |12≤x ≤1}，q ：{x |k ≤x ≤k ＋1}，由p ⇒q 且qD ⇒/p ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≤121≤k ＋1，∴0≤k ≤12，即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.考点二利用基本不等式求最值问题例2 (1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6(2)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．答案 (1)C (2)2105解析 (1)∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1.∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3xy＋4＋9＋12y x＝135＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)， ∴3x ＋4y 的最小值为5. (2)方法一 ∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1，∴(2x ＋y )2－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y )2≤85，即2x ＋y ≤2105.等号当且仅当2x ＝y >0，即x ＝1010，y ＝105时成立．方法二令t ＝2x ＋y ，则y ＝t －2x ，代入4x 2＋y 2＋xy ＝1，得6x 2－3tx ＋t 2－1＝0，由于x 是实数，故Δ＝9t 2－24(t 2－1)≥0，解得t 2≤85，即－2105≤t ≤2105，即t 的最大值也就是2x ＋y 的最大值为2105.方法三化已知4x 2＋y 2＋xy ＝1为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋14y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫154y 2＝1，令2x ＋14y ＝cos α，154y ＝sin α，则34y ＝155sin α，则2x ＋y ＝2x ＋14y ＋34y ＝cos α＋155sin α＝2105sin(α＋φ)≤2105.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件． (1)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a ≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1 B.32C ．2D.52答案 B 解析 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2·x －a2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.(2)(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2D.94 答案 C解析由题意知：z ＝x 2－3xy ＋4y 2，则z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x－3≥1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y 2. 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2. 所以当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2. 考点三简单的线性规划问题例3 (2013·湖北)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元答案 C解析设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元则z ＝1 600x ＋2 400yx 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21y －x ≤736x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x 、y ∈N画出可行域如图直线y ＝－23x ＋z2 400过点A (5,12)时纵截距最小，∴z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800，故租金最少为36 800元．(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．(1) (2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12(2)(2013·北京)设关于x 、y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53答案 (1)C (2)C解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0得A (3，－1)．此时线OM 的斜率最小，且为－13.(2)当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.1．三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点． 2．基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创设基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可． 3．二元一次不等式表示平面区域的快速判断法：简记为“同上异下”，这叫B 的值判断法．解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．1．若实数x 、y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y的取值范围是( )A ．0<t ≤2B ．0<t ≤4C ．2<t ≤4D ．t ≥4答案 C解析依题意得，(2x ＋2y )2－2×2x ×2y ＝2(2x ＋2y)，则t 2－2t ＝2×2x ×2y≤2×(2x ＋2y 2)2＝t 22；即t 22－2t ≤0，解得0≤t ≤4；又t 2－2t ＝2×2x ×2y>0，且t >0，因此有t >2，故2<t ≤4，故选C.2．已知点A (2，－2)，点P (x ，y )在⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ＋1≥0，2x －y －1≤0所表示的平面区域内，则OP →在OA →方向上投影的取值范围是( )A ．[－22，22)B ．(－22，22) C ．(－22，22] D ．[－22，22] 答案 D解析不等式组表示的平面区域，如图所示：由向量投影的几何意义知，当点P 与点D 重合时投影最大，当点P 与点B 或点C 重合时投影最小．又C (－1,0)，D (0，－1)， ∴OC →＝(－1,0)，OD →＝(0，－1)， ∴OD →在OA →方向上的投影为OD →·OA →|OA →|＝22，OC →在OA →方向上的投影为OC →·OA →|OA →|＝－22，故OP →在OA →方向上投影的取值范围是[－22，22]．(推荐时间：60分钟)一、选择题1． (2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确． 2．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③答案 D解析由不等式的基本性质可知①对；幂函数y ＝x c(c <0)在(0，＋∞)上单调递减，又a >b >1，所以②对；由对数函数的单调性可得log b (a －c )>log b (b －c )，又由对数的换底公式可知log b (b －c )>log a (b －c )，所以log b (a －c )>log a (b －c )，故选项D 正确．3．设A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b等于( )A ．7B ．－1C ．1D ．－7答案 D解析依题意，A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，又因为A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则B ＝[－1,4]．所以a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4，于是a ＋b ＝－7.故选D.4． (2012·陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2答案 A解析由小王从甲地往返到乙地的时速分别为a 和b ，则全程的平均时速为v ＝2ss a ＋sb＝2aba ＋b，又∵a <b ，∴2a 22a <2ab a ＋b <2ab2ab ＝ab ，∴a <v <ab ，A 成立．5． (2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －，若z ＝2x ＋y的最小值为1，则a 等于( )A.14 B.12C ．1D ．2答案 B解析作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a x －，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B.6．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，x －3y ＋3≤0，y －1≤0，若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．(3,5) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－1,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1答案 B解析如图所示，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线y －ax ＝0，要使目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值(即直线z ＝y －ax 仅当经过该平面区域内的点(－3,0)时，在y 轴上的截距达到最大)，结合图形可知a >12.二、填空题7．已知p ：x －1x≤0，q ：4x ＋2x－m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．答案 [6，＋∞)解析由p 得：0<x ≤1，若p 是q 的充分条件，则有对∀x ∈(0,1]，4x ＋2x－m ≤0恒成立，即m ≥4x ＋2x恒成立，只需m ≥(4x ＋2x )max ，而(4x ＋2x)max ＝6，∴m ≥6. 8．函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0 (mn >0)上，则1m ＋1n的最小值为________．答案 4解析定点A (1,1)，又A 在mx ＋ny －1＝0上， ∴m ＋n ＝1.∴1m ＋1n＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n＝2＋n m ＋m n≥4.当且仅当m ＝n ＝12时取等号．9．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a 的值为________．答案 1解析依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1.10．(2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________. 答案 2解析作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2.三、解答题11．求解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)当a ＝0时，原不等式变为－x ＋1<0，此时不等式的解集为{x |x >1}．(2)当a ≠0时，原不等式可化为a (x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0.若a <0，则上式即为(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0，又因为1a<1，所以此时不等式的解集为{x |x >1或x <1a}．若a >0，则上式即为(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0.①当1a<1，即a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a<x <1；②当1a ＝1，即a ＝1时，原不等式的解集为∅；③当1a>1，即0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a .综上所述，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1a 或x >1；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a<x <1.12．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km)的关系式为p ＝k3x ＋5(0≤x ≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f (x )为建造宿舍与修路费用之和．(1)求f (x )的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小，并求最小值．解 (1)根据题意得100＝k3×1＋5，所以k ＝800，故f (x )＝8003x ＋5＋5＋6x,0≤x ≤8.(2)因为f (x )＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥80－5，当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)即x ＝5时f (x )min ＝75.所以宿舍应建在离厂5 km 处，可使总费用f (x )最小，最小为75万元．13．已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0<x 1<1<x 2<2. (1)证明：a >0；(2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围．(1)证明求函数f (x )的导数f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b . 由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1、x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1时，f (x )为增函数，f ′(x )>0，由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0.(2)解在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ，f，f，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为：A ⎝⎛⎭⎪⎫47，67，B (2,2)，C (4,2)． z 在这三点的值依次为167，6,8.16 7，8)．所以z的取值范围为(。

高考数学二轮复习专题一第2讲不等式及线性规划课件

3.利用基本不等式求最值已知 x，y∈(0，＋∞)，则(1)若 x＋y＝S(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取得最大值S42xy≤x＋2 y2＝S42；(2)若 xy＝P(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值 2 P(x＋y≥2 xy＝2 P).
真题感悟 1.(2015·福建卷)若直线ax＋by＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则
a＋b 的最小值等于( C )
A.2

B.3
C.4
D.5
解析由题意1a＋1b＝1，∴a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋
ab≥4，当且仅当 a＝b＝2 时，取等号.故选 C.
2.(2015·陕西卷)设 f(x)＝ln x，0＜a＜b，若 p＝f( ab)，q＝f a＋2 b，
4.平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集. 线性目标函数 z＝ax＋by 中的 z 不是直线 ax＋by＝z 在 y 轴上的截距，把目标函数化为 y＝－abx＋bz，可知bz是直线 ax＋by＝z 在 y 轴上的截距，要根据 b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.
＋ln b)＝12ln a＋12ln b＝ln(ab)12＝f( ab)＝p.故 p＝r＜q.选 C.
3.(2015·全国Ⅰ卷)若 x，y 满足约束条件xx＋－y2－y＋2≤ 1≤0， 0，则 z＝3x 2x－y＋2≥0，
＋y 的最大值为________.
解析作出不等式组所表示的可行域 ( 如图中阴影部分所示 ) ，作直线 l0 ： 3x ＋y＝0，平移直线l0，当直线3x＋y＝z 过点(1，1)时，zmax＝3＋1＝4. 答案 4

高考数学二轮复习第2部分不等式线性规划

度较小,也经常作为工具
性知识渗透在函数、三
角函数、数列、解析几
选择题
何等题目中;高考对线性
填空题
规划考查的频率非常高,
几乎每年都有题目,重点
是确定二元一次不等式
(组)表示的平面区域,求
目标函数的最值或范围,
已知目标函数的最值求
参数值或范围.
复习策略
抓住考查的主
要题目类型进
行训练,重点
是一元二次不
等式、简单的
分式不等式、
对数不等式和
指数不等式的
解法;求目标
函数的最值或
范围;已知目
标函数的最值
求参数值或范
围.
-3命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
简单不等式的解法
【思考】如何解一元二次不等式、分式不等式?解指数不等式、
对数不等式的基本思想是什么?
例 1(1)若 log 1 (1-x)<log 1 x,则( C )
题,求解时借助二次函数的图象,一般考虑四个方面:开口方向,判别
式的符号,对称轴的位置,区间端点函数值的符号.
-6命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
-1
对点训练 1(1)不等式2+1≤0 的解集为( C )
1
A. -∞,- 2 ∪[1,+∞)
1
C. - ,1
2
2 -8
1
B. - 2 ,1
≤ 2,
例 2 若 x,y 满足 ≥ -1,
则 y-x 的最小值为
4-3 + 1 ≥ 0,
1
最大值为
.
解析作出可行域如图阴影部分所示.
设z=y-x,则y=x+z.

2021年高考数学二轮复习专题05 不等式与线性规划(教学案)解析版

专题5 不等式与线性规划与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．高考备考时，应切实理解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．1.熟记比较实数大小的依据与基本方法．①作差(商)法；②利用函数的单调性．2．特别注意熟记活用以下不等式的基本性质(1)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(2)同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(4)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)；3．熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值．4．牢记常见类型不等式的解法．(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解．(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化．(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解．5．简单线性规划(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域．(2)简单的线性规划问题解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．高频考点一不等式性质及解不等式例1、(1)若a ，b ∈R ，且a >|b |，则( ) A ．a <－b B ．a >b C ．a 2<b 2D.1a >1b(2)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集为⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞【解析】 (1)∵a >|b |，|b |≥b ，∴a >b .故选B. (2)∵不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，∴易知a <0且⎩⎨⎧b a ＝－56，－1a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5，∴不等式x 2－bx －a <0可化为x 2－5x ＋6<0，解得2<x <3.故选A.【答案】 (1)B (2)A 【方法技巧】1．解一元二次不等式主要有两种方法：图象法和因式分解法．2．解含参数的“一元二次不等式”时，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行讨论；其次根据相应一元二次方程的根是否存在，即Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小进行讨论．3．解决恒成立问题可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．4．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．5．解决不等式在给定区间上的恒成立问题，可先求出相应函数这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题.【举一反三】(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋2＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1}【解析】由x (x ＋2)＞0得x ＞0或x ＜－2；由|x |＜1得－1＜x ＜1，所以不等式组的解集为{x |0＜x ＜1}，故选C.【答案】C(2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，1 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 【解析】∵f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋－x 2＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数．∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )递增，y ＝－11＋x 2也递增，根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f (x )＞f (2x －1)⇔f (|x |)＞f (|2x －1|)⇔|x |＞|2x －1|⇔x 2＞(2x －1)2⇔3x 2－4x ＋1＜0⇔13＜x ＜1.故选A.速解法：令x ＝0，f (x )＝f (0)＝－1＜0. f (2x －1)＝f (－1)＝ln 2－12＝ln 2－ln e ＞0. 不适合f (x )＞f (2x －1)，排除C. 令x ＝2，f (x )＝f (2)＝ln 3－15，f (2x －1)＝f (3)，由于f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2在(0，＋∞)上为增函数 ∴f (2)＜f (3)，不适合．排除B 、D ，故选A. 【答案】A高频考点二基本不等式及应用例2、(1)已知x ，y ∈R 且x －2y －4＝0，则2x＋14y 的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．256(2)设正数x ，y 满足x ＋y ＝1，若不等式1x ＋ay ≥4对任意的x ，y 成立，则正实数a 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(4，＋∞)【解析】 (1)∵x －2y －4＝0，∴x －2y ＝4，∴2x＋14y ≥22x －2y ＝8，当且仅当x ＝2，y ＝－1时等号成立，∴2x＋14y 的最小值为8，故选B.(2)∵x ＋y ＝1，且x >0，y >0，a >0，∴1x ＋a y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋a y (x ＋y )＝a ＋1＋y x ＋axy ≥a ＋1＋2a ， ∴a ＋2a ＋1≥4，即a ＋2a －3≥0，解得a ≥1，故选C. 【答案】 (1)B (2)C 【方法技巧】1．常数代换法求最值的关键在于常数的变形，利用此方法求最值应注意以下三个方面：(1)注意条件的灵活变形，确定或分离出常数，这是解题的基础；(2)将常数化成“1”，这是代数式等价变形的基础；(3)利用基本不等式求解最值时要满足“一正、二定、三相等”，否则容易出现错解．2．拼凑法就是将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．此方法适用于已知关于变量的等式，求解相关代数式的最值问题，或已知函数解析式，求函数的最值问题.【举一反三】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以()221,01,1,log log 1,2a ba b a b ><<∴+= ()12112log a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. 高频考点三求线性规划中线性目标函数的最值例3、【2019年高考浙江卷】若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是A ．-1B ． 1C ． 10D ． 12【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。

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【知识要点】均值不等式及线性规划。

【基础练习】
1．若实数x、y满足不等式组
330
230
10
x y
x y
x y
+-≥
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪-+≥
⎩
，则x y
+的最大值为（A）
A．9 B．15
7
C．1 D．
7
15
【评析】本题主要考查了线性规划中求线性目标函数的最值问题，属容易题。

2．已知正实数a b
、满足2
ab=，则使得21
a b
+取得最小值的实数对(,)
a b
为．(2,1)
【评析】本题主要考查均值不等式等号成立条件。

3．若0,0
x y
>>且19
1
x y
+=，则x y
+的最小值是（ C ）．
（A）6 （B）12 （C）16 （D）24 4．实数,x y满足22
26
x y
+=，则xy的最大值是（A）．
（A
）
2（B
）-（C
）（D
）
2
-
【例题分析】
1．不等式(21)(3)0
x y x y
-++-≤在平面内表示的区域（用阴影部分表示），应是下列图形的（ C ）
【评析】本题为选择题，除了用规范方法直接画图找到选项外，也可用带入特殊点进行检查。

2．设正数,x y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，则x y +的取值范围是（）
（A ）(0,6]
（B ）[6,)+∞
（C ）[1)+
+∞ （D ）(0,1+
【解析】2
2
3()()4()1202
x y x y xy x y x y +++=≤⇒+-+-≥ 6x y ∴+≥.选B.
3．已知,,x y z R +
∈，230x y z -+=，则
2
y
xz
的最小值．3
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230x y z -+=得32
x z y +=
，代入
2
y
xz
得
22
9666344x z xz
xz xz xz
xz
+++≥
=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”
．【评析】本题考查了利用不等式222a b ab +≥求最值问题，注意等号成立的条件。

4．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．
①1ab ≤； ≤
222a b +≥； ④333a b +≥； ⑤
112a b +≥
①，③，⑤
【评析】本题考查不等式的性质，属于偏难题。

全方位考查综合应用、思维运算能力。

本题关键
【规律方法】
1．相性规划问题，注意“以线定界，以点定域”。

2．均值不等式在求最值问题时，要注意等号成立条件。

【作业】
1．满足线性约束条件23,23,
0,0
x y x y x y +≤⎧⎪
+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是（ C ）
A ．1
B ．
32
C ．2
D ．3
2．设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-+≤⎩
表示的平面区域为D ，若指数函数y=x a 的图像上存
在区域D 上的点，则a 的取值范围是（ A ）
A ．(1,3]
B ．[2,3]
C ．(1,2]
D ．[ 3, +∞]
3．点(),P x y 是直线320x y +-=上的动点，则代数式327x
y
+有（ A ）
（A ）最小值6 （B ）最小值8 （C ）最小值6 （D ）最小值8
4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨．20
5．现有一块长轴长为10分米，短轴长为8分米形状为椭圆的玻璃镜子，欲从此镜中划一块面积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为（）
（A ）10平方分米（B ）20平方分米（C ）40平方分米（D ）
160041
平方分米
解:椭圆方程为
2
2
125
16
x
y
+
=，设顶点坐标为00(,)x y ，矩形面积004S x y =⋅，而
2
2
000012,1025
16
5
4
x y x y x y =
+
≥⋅
⋅
≤，40S ≤.选C.
6．若x x f 2
1log
)(=， A )2
(
b a f +=，
G f =，H )2(
b
a a
b f +=，其中a ，b >0，则
A ，G ，H 的大小关系是 ( A ) （A ）A ≤G ≤H （
B ）A ≤H ≤G （
C ）H ≤G ≤A （
D ）G ≤H ≤A
7．已知函数).],1,1[()(3R a x a x x x f y ∈-∈+-== （1）求函数)(x f 的值域；
（2）设函数)(x f y =的定义域为D ，若对任意的D x x ∈21,，都有1|)()(|21<-x f x f 成立，则称函数)(x f y =为“标准函数”，否则称为“非标准函数”,试判断函数).],1,1[()(3
R a x a x x x f y ∈-∈+-==是否为“标准函数”，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由
解：（1）/2()31f x x =-，令2310,[1,1]3x x -==±
∈-.
可见，当]1,1[-∈x 时，
max min ()(()3
9
3
9
f x f a f x f a =-
=+
==-
()[9
9
f x a a ∴-
+
函数值域为.
（2）如果对于任意1212max min ,,|()()||()()|1,x x D f x f x f x f x ∈-≤-<成立即可证明)(x f 是“标准函数”,否则，)(x f 不是“标准函数”
12max min |()()||()()|1,9
f x f x f x f x -≤-<
<所以)(x f 是“标准函数”。