第三章 一维势场中的粒子 讲义 2
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2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
§2.2 方势
在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrödinger 方程来处 理一类简单的问题——一维定态问题。 这样讨论的意义有： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其它基本原理；
（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论， 量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；
x a/2
, x a / 2
求粒子的能量和本征函数。
讨论
(1) 粒子的最低能量不为零
E1
2π 2
2ma 2
利用不确定性关系也可求解：
x ~ a p ~ / x a / x 则 E ~ p2 / 2m ~ (p)2 / 2m ~ 2 / 2ma 2 0
(2)波函数的对称性 当n奇数时，波函数为对称的
证明：按照假设有
ψ1
2m 2
[E
V
( x )]ψ1
0
(14)
ψ2
2m 2
[E
V
( x )]ψ 2
0
(15)
ψ1 (15) ψ2 (14) ψ1ψ2 ψ2ψ1 0
即 积分得
(ψ1ψ2 ψ2ψ1) 0 ψ1ψ2 ψ2ψ1 C
--------证毕
定理 7 设粒子在规则势场V(x)（(V(x)中无奇点)中运动，若存在
（4）一维问题是处理各种复杂问题的基础。
2.2.1 无限深方势阱， 离散谱
求解 S — 方程 分四步：
V(x)
（1）列出各势域的一维S—方程 I
II
III
（2）解方程
（3）使用波函数标准条件定解
（4）确定归一化系数
0
a
势函数
V
(
x)
第三章 一维势场中的粒子 讲义 2
根据x=0点ψ连续及ψ’的跃变 条件，有
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第24页
透射系数 反射系数
讨论： (a)δ势垒换为δ 势阱(γ→-γ)，透射及反射系 数的值不变 . (b) δ势的特征长度为 ，特征能量为 ，透 射波的振幅S只依赖于 ，即入射波波长和δ势的特 征长度之比。透射系数依赖于 特征能量与入射粒子能 量之比。当 ，高能极限下粒子将完全穿透 势垒。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第18页
E>V0情形
令 相应有，k2=ik’，利用 sh(ik’a) = isin(k’a)， 则透射系数为
E<V0情形
在量子情况下，也不是所有粒子均能通过势垒。入射粒 子中只有百分比为T的粒子可贯穿势垒，而只有百分比为 R的粒子被势垒反射回去。
从左入射，碰到δ势垒，定态 薛定谔方程为
（3.3-1） Fang Jun 第23页
x=0是方程的奇点，该点ψ”不存在， 在x≠0处，方程 (3.3-1) 变为 表现为ψ’不连续。 积分上式， 它的两个线性独立的解的形式 为e±ikx,考虑到从左入射的假定， 与方势垒的穿透相似，本题的 解仍可表示为 在x=0， ψ’一般是不连续的。
第三章一维势场中的粒子讲义2一维码一维空间一维条码十一维空间一维数组一维码查询十一维
一维无限深方势阱
能量本征方程
V→∞
V(x)
V→∞
EV=0 0a源自x由边界条件，得到
B=0
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第1页
第三章 一维势场中的粒子 new 2(1) 量子力学教学课件
第3章 一维势场中的粒子@ Quantun 第6页
定理 2 对应于能量E，总可找到方程(1)的一组实解， 凡是属于E的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加 。 证明： 假设ψ(x)是方程(1)的对应于E的一个解，若是实 解，则归到实解集合中去。若是复解，按定理 1， ψ*(x) 也必是方程属于E的一个解，则它们的叠加
两边除以
（ x ,y ,z ) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
1 2d 2 1 2d 2 1 2 d 2
X 2 d 2 X x V 1 ( x ) Y 2 d 2 Y y V 2 ( y ) Z 2 d 2 Z z V 3 ( z ) E
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第8页
空间反射算符P 定义为Pψ(x) = ψ(-x)，按定理 3，若 V(-x) = V(x)，则ψ(-x)和ψ(x)都是对应E的量子态。若对 应E，方程(1)的解无简并，则解必具有确定的宇称，即 偶宇称 Pψ(x) = ψ(-x)= ψ(x)，或者 奇宇称 Pψ(x) = ψ(-x)= -ψ(x)。 证明： 由于无简并， Pψ(x) = ψ(-x) = Cψ(x) P2ψ(x) = P Cψ(x) = C2ψ(x), P2ψ(x) = ψ(x), 则有C2=1，C = ±1。 若能级有简并，能量本征态不一定具有确定宇称。
2 [
2
d2 dx 2
V1 ( x )] X ( x )
Ex X (x)
2 [
2
d2 dy 2
V2 ( y )]Y ( y )
E yY ( y )
2 [
2
d2 dz 2
V3 ( z )] Z ( z )
量子辅导3一维势场中的粒子
三、一维势场中的粒子（历年考研重点）
定态 ：
i
t
2
2
2
V
(r ,
t)
(r ,
t
)
(r )e
iEt/
Hˆ
2
2
2
V (r)
E
（1）一维无限深势阱
0 V (x)
x a x a
本征值
En
n 2 2 2 8a 2
本征函数
n
(
x)
1 sin nx
a 2a
0
n
(
x)
1 cos nx
a 2a
n
i
x px
p x x u njdx
0
（2）进一步证明
i
u
* ni
px xunjdx
2 ij
证明：
（1）
x, H
x,
p
2 x
2
1
2
x,
px px
px x,
px
i
px
u
* ni
x px
p x x unjdx
i
u
* ni
x[
x
,
H
]
[
x
,
H
]
x
u
n
j
d
x
i
u
* ni
x2H
x)
2 sin nx
aa
0 xa
0
x 0, x a
（2）三维无限深方势阱
V
0
0 x a,0 y b,0 z c 阱外
本征值
E n1n2 n3
2π 2 2μ
n12 a2
定态 ：
i
t
2
2
2
V
(r ,
t)
(r ,
t
)
(r )e
iEt/
Hˆ
2
2
2
V (r)
E
（1）一维无限深势阱
0 V (x)
x a x a
本征值
En
n 2 2 2 8a 2
本征函数
n
(
x)
1 sin nx
a 2a
0
n
(
x)
1 cos nx
a 2a
n
i
x px
p x x u njdx
0
（2）进一步证明
i
u
* ni
px xunjdx
2 ij
证明：
（1）
x, H
x,
p
2 x
2
1
2
x,
px px
px x,
px
i
px
u
* ni
x px
p x x unjdx
i
u
* ni
x[
x
,
H
]
[
x
,
H
]
x
u
n
j
d
x
i
u
* ni
x2H
x)
2 sin nx
aa
0 xa
0
x 0, x a
（2）三维无限深方势阱
V
0
0 x a,0 y b,0 z c 阱外
本征值
E n1n2 n3
2π 2 2μ
n12 a2
量子力学第三章
2 III
0
I II
C1e x C2e x
Asin(x )
III B1e x B2e x
（3）使用波函数标准条件
I C1ex
2
2
2 (VE)
I (a) li m C1ea 0
所以 I 0
同理： III0
从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是
第11页，本讲稿共59页
综合 I 、II 结果，最后得：
m 2 2 2 Em 8a2
I III 0m来自II A sin m
2a
I III 0 II A cos m
2a
x x
对应 m = 2 n
m 0 的偶数
对应 m = 2n+1
m 奇数。
第12页，本讲稿共59页
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式，则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。
2 d 2
[ 2 dx 2 V1 ( x )] X ( x ) E x X ( x )
2 d 2
[ 2 dy 2 V2 ( y )]Y ( y ) E yY ( y )
( r ,t) ( r ,t)
称波函数具有正宇称（或偶宇称）；
( r ,t) ( r ,t)
称波函数具有负宇称（或奇宇称）；
（3）如果在空间反射下
( r ,t) ( r ,t)
，
则波函数没有确定的宇称。
第16页，本讲稿共59页
（四）讨论
一维无限深 势阱中粒子 的状态
1 2d 2 1 2d 2 1 2d 2
量子力学 02一维势场中的粒子
2 d 2 Z V3 ( z ) E 2 dz2
2 d 2 [ V1 ( x )]X ( x ) E x X ( x ) 2 2 d x 2 d 2 [ V2 ( y )] ( y ) E yY ( y ) Y 2 2 d y 2 d 2 [ V3 ( z )]Z ( z ) E z Z ( z ) 2 2 d z
虽然，波函数ψ(-x) 也是满足S方程的，且也属于能 量E的波函数。
空间反演算符P
定义 一维
P ( r ) ( r ) P ( x ) ( x )
对于任意波函数，满足
P ( x) P ( x) ( x)
2
本征值方程
P ( x) C ( x)
V * ( x) V ( x)
2 d 2 [ V ( x)] * ( x) E * ( x) 2 2 dx
• 即ψ*(x)也满足同一个能量本征方程，并且对应的能 量本征值也是E。
• 无简并：能量本征方程的解只有一个，即一个E对应一 个波函数。 • 简并：能量本征方程的解不止一个，即一个E对应多 个波函数，称为多重简并。 推论：按定理1，假设对应于能量的某个本征值是E，能量 本征方程的解无简并，则可取为实解。 • 证明 若ψ(x)是能量本征值为E的一个解， ψ*(x)也是能量 本征值为E的一个解，由于无简并，必有： ψ(x)= Cψ*(x)， 且ψ* (x)= C*（ψ*(x）)*= C*ψ (x）=C* Cψ*(x) 故C* C=1，即C=e ia,a可取任易实数，则取a=0 ψ(x)= Cψ*(x)= ψ*(x)， ψ(x)为实函数
2 2 2 2 d d d [ 1 ( x ) V2 ( y ) V 3 ( z )] ( x , y , z ) V 2 2 2 X ( x )Y ( y ) Z ( z ) 2 dx dy dz
高二物理竞赛课件：一维势场中的粒子
0 sin l dx
l
8
（3）:
p x x p̂ x n x dx
1
0
1
0
*
n
2
nx ih d 2
nx
sin
sin
dx
l
l 2 dx l
l
nih l
nx
nx
2 sin
cos
dx 0
l
l
l 0
9
经典物理无法理解势垒贯穿。
sin
sin
dx
0
0
l
l
l
l
l
l
1 cos 2n x
2
2
nx
l dx
x sin 2
dx
x
0
l
l 0
2
l
l
1 x2
l2
l
2
l
l
0
l
2nx l
l
x sin
0
2n
l
2n
2nx
∵E＝T＋V，T＝E－V＜0，不可能 . 本节介绍量子
力学如何解释势垒贯穿，以及如何计算穿过势垒的几率。
Eபைடு நூலகம்
应用:
1973年: 固体中的隧道效应,
V0
-a/2
0
a/2
半导体中的隧道效应.
约朔夫森, 江琦, 迦埃非.
1986年: 设计世界上第一架电子显微镜,设计隧
道效应显微镜.
鲁斯卡, 宾尼(德国),罗雷尔因(瑞士).
l
8
（3）:
p x x p̂ x n x dx
1
0
1
0
*
n
2
nx ih d 2
nx
sin
sin
dx
l
l 2 dx l
l
nih l
nx
nx
2 sin
cos
dx 0
l
l
l 0
9
经典物理无法理解势垒贯穿。
sin
sin
dx
0
0
l
l
l
l
l
l
1 cos 2n x
2
2
nx
l dx
x sin 2
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x
0
l
l 0
2
l
l
1 x2
l2
l
2
l
l
0
l
2nx l
l
x sin
0
2n
l
2n
2nx
∵E＝T＋V，T＝E－V＜0，不可能 . 本节介绍量子
力学如何解释势垒贯穿，以及如何计算穿过势垒的几率。
Eபைடு நூலகம்
应用:
1973年: 固体中的隧道效应,
V0
-a/2
0
a/2
半导体中的隧道效应.
约朔夫森, 江琦, 迦埃非.
1986年: 设计世界上第一架电子显微镜,设计隧
道效应显微镜.
鲁斯卡, 宾尼(德国),罗雷尔因(瑞士).
量子力学_2.1一维势场中粒子能量本征态的一般性质
x 总是向
x 0 区域 , 区域 , x 0
曲线向下弯 x ; x 曲线向上弯 0, . x 0, x
x
结论
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
与此不同, 在经典的禁区 指数上升或下降的函数 由于 弯曲，即 与 的正负号相同 ,
为势阱高度,以下讨论 0
x
a 2 a x 2
束缚态情况.
10
0 V0
a 为阱宽,
在阱外(
V
a ,经典禁区 ),能量本征方程为 x 2
d 2m 2 V0 0 2 dx
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
2
11
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
5
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
联合式(5)和(3)
2 2 n 2 n , n 1, 2,3 2 2ma
结论
6
一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的，即构成的能谱 是离散的． 称为体系的能量本征值.与En 对应的波函数 记为 n 称为能量本征函数，
a
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
先考虑 程表示为 情况 .在势垒外( V 0 ,经典允许区 ),x 能量的本征方 x 0, a
d2 2m 2 0 2 dx 由于势垒的存在, 在 区域中 既有入射波 , 也有反射 x, 0 波 , 而在 区域中只有透射波 所以 ikx ikx xa e e eikx ,
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量之比。当
，高能极限下粒子将完全穿透
势垒。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第25页
由于 尽管ψ’在x=0点不连续，但粒子流密度连续。
可见：从流密度的连续性不能得出Ψ′的连续性。
问题在于:流密度公式中含有互为复共轭的两项，尽管Ψ′不连续， 但两项相减后就抵消了。
第3章
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第26页
δ 势阱中的束缚态
考虑粒子在δ势阱 V(x) = -γδ(x) (γ>0) 中运动。 E>0为游离态，E可以取一切实数值， 是连续变化的，E<0时则可能存在束 缚定态，E只能取分立值，以下讨论 E<0 情况。
能量本征方程为
a为阱宽， V0为势阱高度。讨 论束缚态情况，（0<E< V0 ）。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第2页
三个区的解分别为
这里已分别略去了ψⅠ 和ψⅢ中负指数 和正指数项，因为它们在x→±∞ 发散。
这里波函数解中有一个待定参数E（k,k’)，4个待定系数A,B,C, δ。另一方 面，在x=a,-a处波函数及其一阶导数连续，波函数归一化条件五个方程， 可决定5个未知数。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第19页
3.2.5 方势阱的反射、透射与共振
对于方势阱的透射，上述理论仍然适用，令
透射系数变为
-1
V0=0, 时，相当于无势阱，T=1，粒子完全透射。 一般地，V0≠0, T<1，|R| ≠0, 粒子有一定概率被势阱弹回， 经典力学无法解释。
在
。
。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
基态时，波函数无节点
Fang Jun 第11页
当粒子能量增加时，在|x|>a/2， ψ(x)的曲率减小。|x|<a/2时， ψ(x) 的振荡加快。在某个能量E处， ψ(x) 在|x|<a/2内经历一次振荡，并出现一 个节点，并且能与外面波函数光滑衔 接上，外面解不发散。此时出现第一 激发态，有一个节点。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第6页
δ= 0，
边界条件为
用图解法即可定出相应能谱。由于 上方程各分支曲线都不经过原点， 这两个条件有无交点要看V0a2的数 值而定。
时才出现最低的奇宇称能级。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第23页
x=0是方程的奇点，该点ψ”不存在， 表现为ψ’不连续。
在x≠0处，方程
(3.3-1) 变为
积分上式，
在x=0， ψ’一般是不连续的。
它的两个线性独立的解的形式 为e±ikx,考虑到从左入射的假定， 与方势垒的穿透相似，本题的 解仍可表示为
根据x=0点ψ连续及ψ’的跃变 条件，有
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第20页
对于给定势阱，透射系数 依赖于入射粒子能量E，T(E) 随E变化。当满足k’a = nπ ， T=1， |R| =0，发生共振透
射。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
解释：如粒子能量合适， 它在阱内的波长满足2a=nλ, 经阱壁各次反射而透射出 去的波相位相同，相干叠 加。
垒（遂穿效应），是粒子波
动性的表现。
经典图象:眼前无路好回头 量子图象:眼前无路穿着走
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第18页
E>V0情形
令 相应有，k2=ik’，利用 sh(ik’a) = isin(k’a)， 则透射系数为
E<V0情形
在量子情况下，也不是所有粒子均能通过势垒。入射粒 子中只有百分比为T的粒子可贯穿势垒，而只有百分比为 R的粒子被势垒反射回去。
用图解法求解在ξ—η平面上，以 为半径做圆，此圆与曲线
是多分支曲线，交点可能 不止一个。具体多少要看半径大 小，即V0a2的大小而定。
的交点就为所求值， 但无论V0a2多小，由于曲线有一个分支点经
之后再定出能量本征值。
过坐标原点，所以它与圆周至少有一个交点 (即一个能级)存在。就是说无论方势阱多浅
多窄，至少有一个束缚定态存在。
在x≠0处，
积分， 条件
,得到Ψ′的跃变
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第27页
方程的解具有形式e±βx,。由于V(-x) = V(x)，则束缚能量本征态具有确定 宇称。
A. 偶宇称态
考虑到束缚态条件，偶宇称波函数 应表为:
为 特征长度。
归一化的波函数表示为
按Ψ′跃变条件，可得 粒子能量本征值为
|x|>L区域 中找到粒 子的几率 为
利用归一化条件
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第28页
B. 奇宇称态
波函数应表为
3.3.3 δ势与方势的关系， Ψ′跃变条件
由波函数的连续条件(x=0 点)，可得C=0,所以不可能 存在奇宇称束缚定态。从物 理上考虑，奇宇称波函数在 x=0点必为零，而δ势又恰 好只在x=0点起作用，所以 δ势阱对奇宇称态没有影响， 因而不可能形成束缚态。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第4页
x= ±a/2处的边界条件
时
边界条件为，
若要等式成立
令， 条件变为，
，则边界
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第5页
由k和k’的表达式可知，
联立以上两式，即可解出能谱。可
Fang Jun 第7页
讨论：势阱外波函数为衰减解， 不为0，粒子有一定概率能到达 阱外。 能量为E的粒子能到达（V>E）阱 外的现象在经典理论中是不可能 的。量子力学中，粒子有波动性， 有一定概率出现在阱外。
惊喜：癞蛤蟆是可以吃着天鹅肉的！
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第16页
消去A,B 得 消去R， 得
透射系数， 反射系数
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第17页
|R|2 表示粒子被反弹回去的 概率，|S|2,表示粒子穿过势 垒的概率，上式意味着概率
守恒。可以看出，即使 E<V0, 透射系数不为0，粒 子能穿透比他动能更高的势
继续下去，可以得出：只当粒子能量
取某些离散值的时候，相应的波函数
才满足束缚态边界条件。这些能量值
即能量本征值，相应的波函数称为能
量本征函数。基态波函数无节点，激
发态节点数依次增加一个。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第12页
3.2.4 方势垒的反射与透射
入射粒子流密度，
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
反射系数 透射系数
Fang Jun 第15页
在势垒内部，经典禁区，通解可
写为，
x=a， ψ,ψ’的连续性条件给出，
x=0， ψ,ψ’的连续性条件给出，
上两式分别相加减，
两式相加减，
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
对于有限方势垒
显然
V0→∞, a→0, 保持V0a为有限值.就 得到一个无限高而又无限窄的势 垒，即δ势垒，记为
V(x) = γδ(x) γ>0
设有质量为m的粒子（能量E>0） 从左入射，碰到δ势垒，定态 薛定谔方程为
当且仅当x=0,时, V(x)才不为0.
（3.3-1）
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第8页
3.2.3 束缚态与离散谱
束缚能量本征态（E<V0）的能量是 离散的，它是束缚态边界条件下的
必然结果。
按照能量本征方程，
ψ(x)总是向x轴方向弯曲
经典允许区，（V(x) < E），波函数 是x的振荡函数（sinkx, coskx）， E-V(x) 越大的地方，振荡得越快。
的正负号相反，即
前面例子中，共同的特点是:在无穷远 处体系的波函数为零，这个条件意味 着粒子被限制在空间有限区域，利用 这个条件，我们定出了能级是分立的， 这就是所谓的束缚态问题的共同特征。
经典粒子如何运动？
在本例中，体系在无穷远处势能为零， 这时粒子可以在无限远处出现，波函 数在无限远处不为零。
由于没有无限远处波函数为零的约束，体系能量可以取任意值，组 成连续谱。这类问题属于粒子被势场散射问题，粒子从无限远处来， 经势场散射后又到无限远处去。在这类问题中，粒子能量是预先给 定的。
相似，有一部分波透过，一部分波被反射
回去。
因此，按波函数的统计解
释，无论粒子能量 E<V0 ， 或是E>V0，都有一定几率 穿透势垒，也有一定几率
被反射回去。
E<V0情形 I,II，III 区的薛定谔方程写为
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第14页