《点集拓扑学》第3章§33商空间

§3.3商空间

本节重点:掌握商空间、商拓扑、商映射的定义．

将一条橡皮筋的两个端点“粘合”起来，我们便得到了一个像皮圈；将一块正方形的橡皮块一对对边上的点按同样的方向两两‘粘合”起来，我们便得到了一个橡皮管，再将这个橡皮管两端的两个圆圈上的点按同样的方向两两“粘合”起来，我们又得到了一个橡皮轮胎……这种从一个给定的图形构造出一个新图形的办法可以一般化．

我们在第一章中讨论过等价关系和商集的概念．所谓商集乃是在一个集合中给定了一个等价关系之后将相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说便是分别将每一个等价类中的所有的点“粘合”为一个点后得到的集合．在定义1.5.6中我们也曾说起过在一个集合X中给定了一个等价关系R之后，从集合X到商集X/R有一个自然的投射p：X→X/R，它是一个满射．注意到了这一点，下面引出商拓扑和商空间的概念的方式便显得顺理成章了．

定义3.3.1设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．容易验证(请自行验证)Y的子集族．

是Y的一个拓扑．我们称为Y的（相对于满射f而言的）商拓扑．

容易直接验证在上述定义的条件下，Y的一个拓扑是Y的商拓扑当且仅当在拓扑空间（Y，）中FY是一个闭集的充分必要条件是（F）是X中的一个闭集．

定理3.3.1且设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．则

（1）如果是Y的商拓扑，则f:X→Y是一个连续映射；

（2）如果是Y的一个拓扑，使得对于这个拓扑而言映射f是连续的，则这也就是说商拓扑是使映射f连续的最大的拓扑．

证明（1）根据定义自明．

（2）如果U∈，由于满射f对于Y的拓扑而言连续，故因此U∈．这证明．

定义3.3.2设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．我们称映射f为一个商映射，如果它是一个满射并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑．

根据定理3.3.1可见商映射是连续的．下面的这个定理告诉我们如何利用商映射来验证一类映射的连续性．

定理3.3.2设X，Y和Z都是拓扑空间，且f:X→Y是一个商映射．则映射g：Y→Z连续当且仅当映射gof:X→Z连续．

证明由于商映射f连续，故当g连续时gf连续．

另一方面，设gf连续，若W∈，则．然而

所以根据商拓扑的定义．这便证明了g连续．

为了应用定理3.3.2，如何知道一个拓扑空间的拓扑是相对于从另一个拓扑空间到它的一个满射而言的商拓扑便成了一个有意思的问题．我们在这里只给出一个简单的必要条件．为此先陈述开映射和闭映射的定义．

定义3.3.3设X和Y是两个拓扑空间．映射f: X→Y称为一个开映射（闭映射），如果对于X中的任何一个开集（闭集）U，象集f(U)是Y中的一个开集（闭集）．定理3.3.3设X和Y是两个拓扑空间．如果映射f: X→Y是一个连续的满射，并且是一个开映射（闭映射），则Y的拓扑便是相对于满射f而言的商拓扑．

证明我们证明当f是开映射的情形．设Y中的使f连续的拓扑为,商拓扑为

如果V∈，由于映射f连续，，因此V∈．并且．

反之，如果V∈，则，由于f是一个开的满射，

所以，因此．

从而,．

综上所述，我们证明了Y的拓扑便是商拓扑．当f是闭映射的情形时，证明是类似的．定义3.3.4设（X，T）对是一个拓扑空间，R是X中的一个等价关系．商集X/R的（相对于自然的投射p：X→X/R而言的）商拓扑称为X／R的（相对于等价关系R而言的）商拓扑，拓扑空间（X/R，）称为拓扑空间（X，T）的（相对于等价关系R而言的）商空间．如果X是一个拓扑空间，R是X中的一个等价关系，若无另外的说明，我们总认为商集X/R的拓扑是商拓扑，也就是说将商集X/R认作拓扑空间时，指的就是商空间．因此投射p:X →X／R是一个商映射．

通过在一个拓扑空间中给定等价关系的办法来得到商空间是构造新的拓扑空间的一个重要手法．下面给出若干例子．

例3.3.1在实数空间R中给定一个等价关系

={（x，y）∈|或者x，y∈Q；或者x，yQ}

所得到的商空间R/实际上便是由两个点构成的平庸空间．（请读者自行验证．）然而，明确地写出上面那个等价关系有时是很麻烦的，我们经常采用一种较为通俗的简便说法，将这个商空间R/说成是“在实数空间中将所有有理点和所有无理点分别粘合（或等同）为一点所得到的商空间”．

例3.3.2在单位闭区间I＝[0,1]，中给定一个等价关系～={（x，y）∈|或着x＝y，或者{x，y}={0,1}}，我们便得到了一个商空间［0，1］/～．由于与例3.3.l中同样的理由，习惯上也将这个商空间说成是“在单位闭区间I中粘合两个端点所得到的商空间”．事实上（参见习题6），这个商空间与单位圆周同胚．

类似地我们还可以构造出许多为读者熟悉或不熟悉的拓扑空间．例如在单位正方形中将它的一对竖直的对边上的每一对具有相同的第二个坐标的点（0，x）和（1，x）粘合，得到的商空间将同胚于一截“管子”，而将它的一对竖直的对边上的每一对点（0，x）和（1，1-x）粘合得到的商空间通常叫做Mobius带．数学中许多重要的对象如环面，Klein瓶，射影平面和射影空间等也都可以作为商空间而给出，我们在此不做进一步的介绍．

作业:

P109 1．2．5．

本章总结：本章的学习重点是§3.1．难点也是它．也就是说,今后若遇到有关X空间的子集的各种概念时,指的都是子空间的各种概念,概念中涉及到的开集、闭集、导集、闭包等均指的是子空间的开集、闭集、导集、闭包，它们与X空间的开集、闭集、导集、闭包不相同（见引理3.1.2,定理3.1.5,3.1.6)．一定要记住这一点．

本章的§3.2与§3.3是作为应理解的知识,理解就行．