福建省莆田市数学高二下学期理数第一次测评试卷

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福建省莆田市高二数学下学期期初考试试题文

莆田一中2017-2018学年下学期期初考试试卷高二数学文科选修1-1 1-2 4-5第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线2228x y -=的实轴长是( )A. 2．下列命题中，真命题是（） A ．,sin 1x R x ∀∈< B ．,20xx R ∃∈<C ．若a b >，则ac bc >D ．若1x >且2y >，则3x y +>3.若函数3/21()(1)3f x x f x x =--g ，则/(1)f 的值为（） A ．0 B ．2 C ．1 D ．1-4．命题0,:22≥++∈∀a ax x R x p ；命题2cos sin ,:=+∈∃x x R x q ，则下列命题中为真命题的是（）A ．q p ∨B ．q p ∧C ．q p ∨⌝)(D ．)()(q p ⌝∧⌝5．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果1210x x +=，那么||AB = （）A ．11B ．12C ．13D ．146．设条件:|2|3p x -<，条件:0q x a <<，其中a 为正常数，若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是（） A ．(0,5]B ．(0,5)C ．[5,)+∞D ．(5,)+∞7．设a R ∈，若函数xy e ax =+有大于零的极值点，则（）A ．1a <-B ．1a >-C ．1a e -<D ．1a e-> 8．在直角坐标系中，函数xx x f 1sin )(-=的图像可能是（）9．已知函数()sin f x x x =在0x x =处取得极值，则020(1)(1cos2)x x ++的值为（）A ．1B ．1-C ．2-D ．210．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，当0x >时，有/2()()0xf x f x x->恒成立，则不等式()0f x >的解集是（）A ．(,2)(2,)-∞-+∞UB ．(2,0)(0,2)-UC ．(2,0)(2,)-+∞UD ．(,2)(0,2)-∞-U11．设过曲线()2cos g x ax x =+上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()xf x e x =--上一点处的切线2l ，使得1l ∥2l ，则实数a 的取值范围为（）A.[)∞+，1B.[)∞+，1C. (]3-∞-，D. ()3-∞-，12．在研究直线(3)y k x =-与双曲线22127x y m -=是否有公共点的过程中，某学生做了如下演算：由方程组22(3)127y k x x y m =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得到形如20Ax Bx C ++=的方程，当0A =时，方程恒有一解；当0A ≠时，240B AC ∆=-≥恒成立。

福建省莆田市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学含答案

莆田市2023-2024学年下学期期末质量监测高二数学（答案在最后）本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某质点的运动方程是3s t =，则该质点在2t =时的瞬时速度是（）A.4B.6C.8D.122.已知某次考试的成绩()2~80,10X N ，若(7080)P X a ≤≤=，则(90)P X ≥=（）A.12a - B.1a- C.2aD.a3.已知向量(1,,3)AB m =-uu u r ，(3,6,9)AC =-uuu r，若A ，B ，C 三点共线，则m =（）A.3-B.2- C.2 D.34.随机变量ξ服从两点分布，其分布列如下ξ1P26p p则p =（）A.12-B.12C.13 D.12-或135.斜三棱柱111ABC A B C -中，设AB a =，AC b = ，1AA c = ，若12BP PC =uu r uuu r ，则AP = （）A.122333a b c ++ B.211333a b c ++r r rC.122333a b c --r r rD.211333a b c --6.函数||2()e 2x f x x =-，[2,2]x ∈-的图象大致为（）A.B.C.D.7.1x ∀，2(0,)x a ∈，且12x x <，不等式122112ln ln 1x x x x x x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.(0,e]B.(20,e⎤⎦C.[e,)+∞ D.)2e ,⎡+∞⎣8.在三棱锥-P ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===.若M 为该三棱锥外接球上的一点，则MB MC ⋅的最大值为（）A.2B.4C.2+D.4+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于变量x 和变量y ，设经过随机抽样获得的成对样本数据为()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中1x ，2x ，…，n x 和1y ，2y ，…，n y 的均值分别为x 和y ，方差分别为2x s 和2y s .（）A.该样本相关系数||r 越接近0时，其线性相关程度越弱B.假设一组数据是1x a +，2x a +，…，n x a +，则该组数据的方差为2xs C.该成对样本数据点均在直线0.920.53y x =+上，则样本相关系数0.92r =D.该成对样本数据满足一元线性回归方程，则其回归直线必过样本中心(),x y 10.甲箱中有4个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球，2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球.用1A ，2A ，3A 分别表示从甲箱取出的球是红球，白球，黑球；用B 表示从乙箱取出的球是红球.则下列结论正确的是（）A.()1845P A B =B.31()90P B =C.()26|31P A B =D.3A 和B 相互独立11.M 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上一点，则（）A.当M 在线段11C D 上运动时，三棱锥1A BCM -的体积为定值43B.当M 在线段11B D 上运动时，AM 与BD 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.设E 是AB 的中点，若10ME A C ⋅=uuu r uuu r，则线段ME 长度的最大值为D.若直线AM 与平面ABCD 所成的角为π4，则点M 的轨迹长度为π+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()26.6350.01Pχ≥=，()210.8280.001P χ≥=.在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到27.235χ=，则我们至少有______%把握认为喜欢某种甜品与性别有关.13.已知(1,0,0)A ，(2,1,0)B ，(1,1,1)C 三点，则A 到直线BC 的距离为______.14.已知()f x 和()g x 为R 上的可导函数，满足：()(1)1g x f x =-+，()()1g x f x ''=-，且(1)f x +为奇函数.写出函数()f x '图象的一个对称中心，可以为______.若(0)1f =，则101()k g k ==∑______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤：15.已知函数21()(1)ln 2f x x a x a x =-++，a ∈R .（1）若1a =，求()f x 在[1,4]上的值域；（2）讨论()f x 的单调性.16.人均可支配收入的高低，直接影响到居民的生活质量水平，是衡量一个国家或地区经济发展状况的重要依据.下图是某市2015~2023年城镇居民人均可支配收入（单位：万元）的折线图，发现城镇居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系.（注：年份代码1~9分别对应年份2015~2023）（1）建立y 关于t 的经验回归方程（系数精确到0.01），并预测2024年该市城镇居民人均可支配收入；（2）为进一步对该市城镇居民人均可支配收入结构进行分析，某分析员从2015~2023年中任取两年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过4.5万元的年份数记为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.附注：参考数据：9135.37ii y==∑，91191.16i i i t y ==∑.参考公式：回归方程ˆˆˆy bt a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆnii i ni i tty y bt t ==--=-∑∑，ˆˆa y bt=-.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，CD BC ⊥，24AB CD ==，45BAD ∠=︒，PD =，PBC 为等边三角形.（1）若Q 为PB 的中点，求证：//CQ 平面PAD ；（2）求二面角A PD C --的正弦值.18.甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是12和p ，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分.（1）若23p =，（i ）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率；（ii ）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率.（2）若1223p ≤≤，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？19.设P 是直角坐标平面xOy 上的一点，曲线Γ是函数()y f x =的图象.若过点P 恰能作曲线Γ的k 条切线()k ∈N ，则称P 是函数()y f x =的“k 度点”.已知()x f x e =.（1）求证：()1f x x +≥；（2）设(,1)P a a +，判断P 为函数()f x 的“几度点”，并说明理由；（3）设(0,)M m ，若M 为函数e x y x 的“3度点”，求实数m 的取值范围.莆田市2023-2024学年下学期期末质量监测高二数学本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某质点的运动方程是3s t =，则该质点在2t =时的瞬时速度是（）A.4B.6C.8D.12【答案】D 【解析】【分析】求导，利用导数的几何意义得到瞬时速度.【详解】23s t '=，当2t =时，2233212s t '==⨯=，故质点在2t =时的瞬时速度为12.故选：D2.已知某次考试的成绩()2~80,10X N ，若(7080)P X a ≤≤=，则(90)P X ≥=（）A.12a - B.1a- C.2a D.a【答案】A 【解析】【分析】由正态分布的对称性求解概率.【详解】由正态分布对称性可知，12(7080)121(90)222P X a P X a -≤≤-≥===-.故选：A3.已知向量(1,,3)AB m =-uu u r ，(3,6,9)AC =-uuu r，若A ，B ，C 三点共线，则m =（）A.3-B.2- C.2 D.3【答案】B 【解析】【分析】根据条件得到AB AC λ=，再利用向量相等，即可求出结果.【详解】因为A ，B ，C 三点共线，则AB AC λ=，又向量(1,,3)AB m =-uu u r ，(3,6,9)AC =-uuu r ，所以13639m λλλ=-⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得1,23m λ=-=-，故选：B.4.随机变量ξ服从两点分布，其分布列如下ξ1P26p p则p =（）A.12-B.12C.13D.12-或13【答案】C 【解析】【分析】根据条件，利用分步列的性质建立方程261p p +=，即可求出结果.【详解】由题知，261p p +=，解得13p =或12-，又01p <<，所以13p =，故选：C.5.斜三棱柱111ABC A B C -中，设AB a =，AC b = ，1AA c =，若12BP PC =uu r uuu r ，则AP = （）A.122333a b c ++B.211333a b c ++r r rC.122333a b c --r r r D.211333a b c -- 【答案】C 【解析】【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.【详解】因为1122()33AP AB BP AB BC AB AC AB =+=+=+-112122()33333AB AC AA a b c =-+=--.故选：C.6.函数||2()e 2x f x x =-，[2,2]x ∈-的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据条件，得出||2()e 2x f x x =-的奇偶性和在区间[2,2]-上的单调性，结合图象，选项A 符合题意，选项BCD 不符合题意，即可求出结果.【详解】因为[2,2]x ∈-，关于原点对称，又||2||2()e 2()e 2()x x f x x x f x --=-==--，即()f x 为偶函数，当0x ≥时，2()e 2x f x x =-，()e 4x f x x '=-，令()e 4x h x x =-，则()e 4x h x '=-为增函数，因为(1)e 40h '=-<，2(2)e 40h '=->，()01,2x ∃∈，使00()e 40x h x '=-=，即有0e 4x =，当0(0,)x x ∈时，0()0h x '<，0(,2)x x ∈时，0()0h x '>，即()()e 4x f x h x x '==-，在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,2)x 上单调递增，所以0min 000()()e 44(1)0xf x f x x x ''==-=-<，又2(2)e 80f '=-<，1411(e 4044f '=-⨯>，1211(e 4022f '=-⨯<，011,42t ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，当0(0,)x t ∈时，()0f x '>，0(,2)t t ∈时，()0f x '<，所以()f x 在区间0(0,)t 上单调递增，在区间()0,2t 上单调递减，且011,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，结合图象，选项A 符合题意，选项BCD 不符合题意，故选：A.7.1x ∀，2(0,)x a ∈，且12x x <，不等式122112ln ln 1x x x x x x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.(0,e]B.(20,e⎤⎦C.[e,)+∞ D.)2e ,⎡+∞⎣【答案】B 【解析】【分析】根据条件变形得到2121ln 1ln 1x x x x -->在区间区间(0,)a 上恒成立，构造函数ln 1()x h x x -=，得到ln 1()x h x x-=在区间(0,)a 单调递增，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的增区间，即可求出结果.【详解】因为12x x <，不等式122112ln ln 1x x x x x x -<-在区间(0,)a 上恒成立，即122112ln ln x x x x x x ->-，也即1221ln l 1)1)n ((x x x x ->-在区间(0,)a 上恒成立，整理得到2121ln 1ln 1x x x x -->在区间(0,)a 上恒成立，令ln 1()x h x x -=，所以ln 1()x h x x -=在区间(0,)a 上单调递增，又221(ln 1)2ln ()x x h x x x'---==，令()0h x '=，得到2e x =，当2(0,e )x ∈，()0h x '>，即ln 1()x h x x-=在区间2(0,e )的单调递增，所以2(0,)(0,e )a ⊆，得到20e <≤a ，故选：B.8.在三棱锥-P ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===.若M 为该三棱锥外接球上的一点，则MB MC ⋅的最大值为（）A.2B.4C.2+D.4+【答案】C 【解析】【分析】首先将三棱锥放置在正方体中，并建立空间直角坐标系，利用转化向量的方法求数量积，再代入坐标运算，即可求解.【详解】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的交点，()0,0,0P ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()0,0,2C ，()1,1,1O ，(),,M x y z ，设三棱锥外接球的半径为R ，2R ==R ，()()MB MC MO OB MO OC ⋅=+⋅+ ，()2MO OB OC MO OB OC =++⋅+⋅ ，223MO R == ，()1,1,1OB =-- ，()1,1,1OC =-- ，()2,0,0OB OC +=- ，1111OB OC ⋅=--=-，()cos ,,OB OC MO OB OC MO OB OC MO OB OC MO +⋅=++=+ ，所以3,12,MB MC OB OC MO OB OC MO ⋅=++-=++ ，当cos ,1OB OC MO += 时，MB MC ⋅取得最大值2+故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是三棱锥与外接球组合体的几何关系，以正方体为桥梁，建立空间直角坐标系，转化为数量积问题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于变量x 和变量y ，设经过随机抽样获得的成对样本数据为()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中1x ，2x ，…，n x 和1y ，2y ，…，n y 的均值分别为x 和y ，方差分别为2x s 和2y s .（）A.该样本相关系数||r 越接近0时，其线性相关程度越弱B.假设一组数据是1x a +，2x a +，…，n x a +，则该组数据的方差为2xs C.该成对样本数据点均在直线0.920.53y x =+上，则样本相关系数0.92r =D.该成对样本数据满足一元线性回归方程，则其回归直线必过样本中心(),x y 【答案】ABD 【解析】【分析】选项A ，利用相关系数的意义，即可求解；选项B ，根据条件，利用方差的计算公式，即可求解；选项C ，由题知1r =，所以选项C 错误；选项D ，由最小二乘法知，样本中心(),x y 在线性回归方程上，即可判断正误.【详解】对于选项A ，由样本相关系数的意义可知，样本相关系数||r 越接近0时，其线性相关程度越弱，所以选项A 正确，对于选项B ，因为1x a +，2x a +，…，n x a +的平均数为x a +，方差为2222221212211[()()()][()()()]x n n x a x a x a x a x a x a x x x x x x n ns +--++--+++-=-+-++-= ，所以选项B 正确，对于选项C ，该成对样本数据点均在直线0.920.53y x =+上，则样本相关系数1r =，所以选项C 错误，对于选项D ，由最小二乘法知，样本中心(),x y 在线性回归方程上，所以选项D 正确，故选：ABD.10.甲箱中有4个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球，2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球.用1A ，2A ，3A 分别表示从甲箱取出的球是红球，白球，黑球；用B 表示从乙箱取出的球是红球.则下列结论正确的是（）A.()1845P A B = B.31()90P B =C.()26|31P A B =D.3A 和B 相互独立【答案】AB 【解析】【分析】选项A ，利用条件概率公式即可求解；选项B ，利用全概率公式即可求解；选项C ，利用条件概率公式即可求解；选项D ，分别求出32()30P A B =和331()()405P A P B =，利用相互独立事件的判定方法即可求解.【详解】由题知1234312(),(),()9939P A P A P A ====，1234233(|),(|),(|)1051010P B A P B A P B A ====，对于A ，因为()111248(|)()5945P A B P B A P A ==⨯=，所以A 正确，对于B ，因为112233()(|)()(|)()(|)()P B P B A P A P B A P A P B A P A =++421323319531091090=⨯+⨯+⨯=，所以B 正确，对于C ，()222231()(|)()9103|31()()3190P A B P B A P A P A B P B P B ⨯====，所以C 错误，对于D ，333232()()(|)91030P A B P A P B A ==⨯=，3323131()()()990405P A P B P A B =⨯=≠，所以D 错误，故选：AB.11.M 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上一点，则（）A.当M 在线段11C D 上运动时，三棱锥1A BCM -的体积为定值43B.当M 在线段11B D 上运动时，AM 与BD 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.设E 是AB 的中点，若10ME A C ⋅=uuu r uuu r，则线段ME长度的最大值为D.若直线AM 与平面ABCD 所成的角为π4，则点M的轨迹长度为π+【答案】BCD 【解析】【分析】选项A ，利用等体积法，即11A BCM M A BC V V --=，过过M 作1MH D C ⊥于H ，根据条件知MH 为三棱锥1M A BC -高，即可求解；选项B ，建立空间直角坐标系，设111D M D B λ=，进而求得cos cos ,BD AM θ==，即可求解；选项C ，通过找出一个过E 且与1AC 垂直的平面，进面得出点M 的轨迹，即可求解；选项D ，根据条件得到直线AM 与1AA 所成的角为π4，再对M 在各个面的情况进行讨论，即可求解.【详解】对于选项A ，如图1，连接1D C ，因为11A BCM M A BC V V --=，易知平面1A BC 即平面11A BCD ，过M 作1MH D C ⊥于H ，因为11A D ⊥面11DCC D ，MH ⊂面11DCC D ，所以11A D ⊥MH ，又1111AD DC D ⋂=，111,A D D C ⊂面11A BCD ，所以MH ⊥面11A BCD ，又1A BC 的面积为定值，而MH 随着M 的变化而变化，所以三棱锥1A BCM -的体积不为定值，所以选项A错误，对于选项B ，如图2，建立空间直角坐标系，因为正方形的棱长为2，则11(0,0,0),(2,2,0),(0,0,2),(2,2,2),(2,0,0)D B D B A ，设111(2,2,0)D M D B λλλ== ，01λ≤≤，又(2,2,0)=--BD ，11(2,0,2)(2,2,0)(22,2,2)AM AD D M λλλλ=+=-+=- ，设AM 与BD 所成的角为π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos cos ,BD AM θ==，当12λ=时，cos 0θ=，此时π2θ=，当12λ≠时，令110,22t λ⎛⎤-=∈ ⎥⎝⎦，cos θ==又10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦[)2,∞+，所以1cos 0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，得到ππ32θ≤<，故ππ32θ≤≤，所以选项B 正确，对于选项C ，如图3，取111111,,,,AD DD D C C B B B 的中点,,,,F H Q N P ，连接11,,,,,,,,EF FH HQ QN NP PE HP BD B D ，易知11////////EF BD B D QN HP ，所以EF 与QN 确定唯一平面α，由正方体性质知EQ 与HP 相交，所以HP α⊂，连接AC ，易知AC EF ⊥，又1AA EF ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂面1A AC ，所以EF ⊥面1A AC ，又1AC ⊂面1A AC ，所以1EF A C ⊥，同理可得1FH A C ⊥，又EF FH F ⋂=，所以1A C ⊥面EFHQNP ，因为10ME A C ⋅=uuu r uuu r，所以1ME A C ⊥，故M ∈面EFHQNP ，又M 是正方体1111ABCD A B C D -表面上一点，故M 在正六边形EFHQNP 的边上运动，由对称性知，当M 与Q 重合时，线段ME 长度最大，最大值为1EQ BC ==，所以选项C 正确，对于选项D ，因为直线AM 与平面ABCD 所成的角为π4，若点M 在平面11BCC B 内，如图4，过MO BC ⊥，连接AO ，则MAO ∠为直线AM 与平面ABCD 所成的角，由题知π4MAO ∠=，则AO MO =，显然只有M 与1B 重合符合题意，同理可知若点M 在平面11DCC D 内，M 与1D 重合符合题意，又因为1AA ⊥面ABCD ，得直线AM 与1AA 所成的角为π4，若点M 在平面11ADD A 内时，点M 的轨迹是1AD ，此时轨迹长为1AD =，若点M 在平面11ABB A 内时，点M 的轨迹是1AB ，此时轨迹长为1AB =，若点M 在平面1111D C B A 时，作MP ⊥面ABCD ，连接1,,AP AM A M ，如图4所示，因为π4PAM ∠=，所以AP PM =，又PM AB =，所以12AP A M ==，得到点M 的轨迹是以1A 为圆心，以2为半径的四分之一的圆，此时轨迹长为12π2π4⨯⨯=，所以点M 的轨迹长度为π+，故选项D 正确，故选：BCD.【点睛】关键点点晴：本题的关键在选项C 和选项D ，对于选项C ，将问题转化成寻找一个过E 且与1AC 垂直的平面，从而得出点M 的轨迹；对于选项D ，根据条件将问题转化成与直线AM 与1AA 所成的角为π4，再对点M 在各个平面的情况进行讨论，即可求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()26.6350.01Pχ≥=，()210.8280.001P χ≥=.在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到27.235χ=，则我们至少有______%把握认为喜欢某种甜品与性别有关.【答案】99【解析】【分析】根据6.6357.23510.828<<，再利用题设条件，即可求出结果.【详解】因为6.6357.23510.828<<，又()26.6350.01Pχ≥=，()210.8280.001P χ≥=，所以我们至少有99%把握认为喜欢某种甜品与性别有关，故答案为：99.13.已知(1,0,0)A ，(2,1,0)B ，(1,1,1)C 三点，则A 到直线BC 的距离为______.【答案】2【解析】【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】因为(1,0,1)BC =- ，(0,1,1)AC =，所以1cos ,2AC BC AC BC AC BC ⋅==⋅，得到sin ,2AC BC == ，所以A 到直线BC的距离为sin ,22d AC AC BC ===，故答案为：2.14.已知()f x 和()g x 为R 上的可导函数，满足：()(1)1g x f x =-+，()()1g x f x ''=-，且(1)f x +为奇函数.写出函数()f x '图象的一个对称中心，可以为______.若(0)1f =，则101()k g k ==∑______.【答案】①.(0,0)（(2,0)(Z)k k ∈，答案不唯一）②.11【解析】【分析】根据给定条件，利用复合函数求导可得()()f x f x ''=--，结合奇函数的意义并求导可得函数()f x '图象的关于直线1x =对称，进而求出周期求出对称中心；由导数探讨原函数可得(1)(1)f x f x -=-，并探求函数()f x 的周期，借助函数图象平移求出()g x 的周期，再赋值计算即得结果.【详解】由()(1)1g x f x =-+，求导得()(1)g x f x ''=--，又()(1)g x f x ''=-，则(1)(1)[(1)]f x f x f x '''-=--=---，即()()f x f x ''=--，所以函数()f x '是奇函数，其图象关于原点对称，即(0,0)为函数()f x '图象的一个对称中心，由(1)f x +为奇函数，得(1)(1)f x f x -+=-+，求导得(1)(1)f x f x ''--+=-+，即(1)(1)f x f x ''-+=+，函数()f x '的图象关于直线1x =对称，则点(2,0)是()f x '图象的一个对称中心，显然有(1)(1)f x f x ''+=--，即(2)()f x f x ''+=-，于是(4)(2)()f x f x f x '''+=-+=，函数()f x '是以4为周期的周期函数，所以函数()f x '的图象关于点(2,0)(Z)k k ∈对称；由()(1)g x f x ''=-，得[()(1)]0g x f x '--=，即有()(1)g x f x C --=（C 为常数），而()(1)1g x f x =-+，则(1)1(1)f x f x C -+--=，取1x =，得(0)1(0)1C f f =+-=，因此(1)(1)f x f x -=-，又(1)(1)f x f x -+=-+，则(1)(1)f x f x +=--，即(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，于是函数()f x 是周期为4的周期函数，又()(1)1g x f x =-+，则函数()g x 的图象可由()f x 的图象平移而得，从而函数()g x 是周期为4的周期函数，10114()2()(1)(2)k k g k g k g g ===++∑∑，显然(1)(3)0,(2)(4)0f f f f +=+=，因此(2)(4)(1)1(3)12g g f f +=+++=，(1)(3)(0)1(2)12(2)(4)2g g f f f f +=+++=++=，则14()4k g k ==∑，又(1)0f =，则(1)(0)12,(2)(1)11g f g f =+==+=，所以101()242111k g k ==⨯++=∑.故答案为：(0,0)；11【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数()f x 关于直线x a =轴对称，则()(2)f x f a x =-，若函数()f x 关于点(,)a b 中心对称，则()2(2)f x b f a x =--，反之也成立；（2）关于周期：若()()f x a f x +=-，或1()()f x a f x +=，或1()()f x a f x +=-，可知函数()f x 的周期为2a .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤：15.已知函数21()(1)ln 2f x x a x a x =-++，a ∈R .（1）若1a =，求()f x 在[1,4]上的值域；（2）讨论()f x 的单调性.【答案】（1）3,2ln 22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）当1a =时，21()2ln 2f x x x x =-+，对()f x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，得到21()2ln 2f x x x x =-+在区间[1,4]上单调递增，即可求出结果；（2）对()f x 求导，得到()(1)()x a x f x x --'=，再对a 进行分类讨，利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果.【小问1详解】当1a =时，21()2ln 2f x x x x =-+，又22121(1)()20'-+-=-+==≥x x x f x x x x x 在区间[1,4]恒成立，当且仅当1x =时取等号，所以21()2ln 2f x x x x =-+在区间[1,4]上单调递增，得到()f x 在[1,4]上的最小值为13(1)222f =-=-，最大值为1(4)1624ln 42ln 22f =⨯-⨯+=，所以()f x 在[1,4]上的值域为3,2ln 22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】易知定义域为()0,∞+，因为2(1)()(1)()(1)a x a x a x a x f x x a x x x'-++--=-++==，当0a ≤时，(0,1)x ∈时，()0f x '<，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，当01a <<时，(,1)x a ∈时，()0f x '<，()0,(1,)x a ∈+∞ 时，()0f x '>，当1a =时，()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立，当且仅当1x =时取等号，当1a >时，(1,)x a ∈时，()0f x '<，()0,1(,)x a ∈+∞ 时，()0f x '>，综上所述，当0a ≤时，()f x 的减区间为(0,1)，增区间为(1,)+∞；当01a <<时，()f x 的减区间为(,1)a ，增区间为(0,),(1,)+∞a ；当1a =时，()f x 的增区间为()0,∞+，无减区间；当1a >时，()f x 的减区间为(1,)a ，增区间为(0,1),(,)+∞a .16.人均可支配收入的高低，直接影响到居民的生活质量水平，是衡量一个国家或地区经济发展状况的重要依据.下图是某市2015~2023年城镇居民人均可支配收入（单位：万元）的折线图，发现城镇居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系.（注：年份代码1~9分别对应年份2015~2023）（1）建立y 关于t 的经验回归方程（系数精确到0.01），并预测2024年该市城镇居民人均可支配收入；（2）为进一步对该市城镇居民人均可支配收入结构进行分析，某分析员从2015~2023年中任取两年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过4.5万元的年份数记为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.附注：参考数据：9135.37ii y==∑，91191.16i i i t y ==∑.参考公式：回归方程ˆˆˆy bt a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆnii i ni i tty y bt t ==--=-∑∑，ˆˆa y bt=-.【答案】（1）ˆ0.24 2.74yt =+，约为5.14万元；（2）分布列见解析，期望23.【解析】【分析】（1）求出,t y ，再利用最小二乘法求出经验回归方程并进行预测.（2）求出随机变量X 的可能值，再求出各个值对应概率，列出分布列并计算出期望.【小问1详解】依题意，91159i i t t ===∑，911 3.939ii y y===∑，而91191.16i i i t y ==∑，921285i i t ==∑，则1912229191.1695 3.93ˆ0.23850.24285959i ii nii t y t ybtt==--⨯⨯===≈-⨯-∑∑，ˆˆ 3.930.23855 2.7375 2.74ay bt =-=-⨯=≈，所以y 关于t 的经验回归方程为ˆ0.24 2.74yt =+，2024年即10t =，ˆ0.2410 2.74 5.14y=⨯+=，所以预测2024年该市城镇居民人均可支配收入约为5.14万元.【小问2详解】2015~2023年中，人均可支配收入超过4.5万元的年份数有3个，X 的可能取值为0,1,2，2629C 155(0)C 3612P X ====，116329C C 151(1)C 362P X ====，2329C 31(3)C 3612P X ====，所以随机变量X 的分布列为：X012P51212112数学期望5112()012122123E X =⨯+⨯+⨯=.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD，CD BC ⊥，24AB CD ==，45BAD ∠=︒，PD =，PBC 为等边三角形.（1）若Q 为PB 的中点，求证：//CQ 平面PAD ；（2）求二面角A PD C --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）取PA 中点H ，连接,DH HQ ，根据条件得到DHQC 是平行四边形，从而有//DH CQ ，再利用线面平行的判定定理，即可证明结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面APD 与面CPD 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【小问1详解】取PA 中点H ，连接,DH HQ ，因为Q 为PB 的中点，所以//QH AB 且12QH AB =，又//AB CD 且12AB CD =，所以//QH CD 且QH CD =，所以DHQC 是平行四边形，得到//DH CQ ，又DH ⊂面PAD ，CQ ⊄面PAD ，所以//CQ 平面PAD .【小问2详解】过D 作DM AB ⊥于M ，因为//AB CD ，CD BC ⊥，24AB CD ==，45BAD ∠=︒，所以2AM DM BC ===，又PBC 为等边三角形，所以2PC =，又PD =，所以222PC CD PD +=，得到CD PC ⊥，又CD BC ⊥，⋂=PC CB C ，,PC CB ⊂面PBC ，所以CD ⊥面PBC ，又CD ⊂面ABCD ，所以面PBC ⊥面ABCD ，取BC 中点E ，连接PE ，则PE BC ⊥，又面PBC⊥面ABCD ，面PBC ⋂面ABCD BC =，PE ⊂面PBC ，所以PE ⊥面ABCD ，过C 作//l PE ，以,,CD CB l 所在的直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由24AB CD ==，2BC =，知()0,0,0,C (4,2,0),(2,0,0),(0,1,A D P ，所以(2,1,PD =- ，(2,2,0)AD =-- ，CP = ，设平面APD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由00n PD n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到20220x y x y ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，取1x =，得到1,y z =-=，所以(1,n =- ，设平面CPD 的一个法向量为(,,)m a b c = ，由00m PD m CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到200a b b ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，取1c =，得到0,a b ==(0,m = ，设二面角A PD C --的平面角为θ，[]0,πθ∈，因为cos ,n m n m n m ⋅===⋅ ，所以sin 5θ===.18.甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是12和p ，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分.（1）若23p =，（i ）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率；（ii ）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率.（2）若1223p ≤≤，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？【答案】（1）（i ）56；（ii ）1154（2）15【解析】【分析】（1）（i ）根据条件，利用相互独立事件和对立事件的概率公式，即可求出结果；（ii ）记事件A ：甲进球0个，乙进球2个或3个，事件B ：甲进球1个，乙进球3个，分别求出事件A 和事件B 的概率，再利用互斥事件的概率公式，即可求出结果；（2）根据条件求出一轮比赛结束后，乙获得1分的概率P ，设n 轮比赛后，乙累计得分为X ，则231(,(3))8X B n p p + ，再根据条件，即可求出结果.【小问1详解】（i ）因为甲和乙每次进球的概率分别是12和23，所以甲、乙两人各投篮一次，至少有一人进球的概率为1151236P =-⨯=.（ii ）由题知甲进球0个，乙进球2个或3个，或甲进球1个，乙进球3个，乙获得1分，记事件A ：甲进球0个，乙进球2个或3个，事件B ：甲进球1个，乙进球3个，事件C 表示乙获得1分，则3312311125()()[1()C ()]233354P A =--⨯=，()33131231C 23279P B ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知,A B 互斥，所以5311()()()542754P C P A P B =+=+=.【小问2详解】因为一轮比赛结束后，乙获得1分的概率为32231332333111[C (1)]C ()(3)228P p p p p p p ⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭，设n 轮比赛后，乙累计得分为X ，则231(,(3))8X B n p p + ，由题知231(3)38n p p ⨯+≥，又1223p ≤≤，函数233y p p =+在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以237111(3)64854p p ≤+≤，由11354n ≥，得到15n ≥，所以至少进行15轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分，此时23p =.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，利用相互独立事件的概率公式求出一轮比赛结束后，乙获得1分的概率P ，从而得到n 轮比赛后，乙累计得分X 满足231(,(3))8X B n p p + ，再根据条件，即可求解.19.设P 是直角坐标平面xOy 上的一点，曲线Γ是函数()y f x =的图象.若过点P 恰能作曲线Γ的k 条切线()k ∈N ，则称P 是函数()y f x =的“k 度点”.已知()x f x e =.（1）求证：()1f x x +≥；（2）设(,1)P a a +，判断P 为函数()f x 的“几度点”，并说明理由；（3）设(0,)M m ，若M 为函数e x y x =的“3度点”，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）24(,0)e -.【解析】【分析】（1）构造函数()()1g x f x x =--，利用导数探讨最小值即得.（2）设出切点坐标，利用导数求出切线方程，代入点P 的坐标并构造函数()(1)e 1x h x a x a =+---，利用导数结合零点存在性定理分类讨论()h x 的零点即可.（3）设出切点坐标，利用导数求出切线方程，代入点M 的坐标得2e t m t -=，利用导数探讨方程有3个不同解即得.【小问1详解】令函数()()1e 1x g x f x x x =--=--，求导得()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，()(0)0g x g ≥=，所以()1f x x +≥.【小问2详解】设过点P 的直线与函数()x f x e =图象相切的切点00(,e )xQ x ，而()e x f x '=，因此该切线方程为000e e ()x x y x x -=-，即有0001e e ()x x a a x +-=-，整理得00(1)e 10xa x a +---=，令()(1)e 1x h x a x a =+---，函数()h x 有k 个零点，等价于过点P 恰能作()x f x e =图象的k 条切线，即P 是()f x 的“k 度点”，求导得()()e x h x a x -'=，当x a <时，()0h x '>，当x a >时，()0h x '<，即函数()h x 在(,)a -∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，max ()()e 1ah x h a a ==--，①当0a =时，()()0h x h a ≤=，此时函数()h x 仅有一个零点，P 是()f x 的“1度点”；②当1a ≤-时，()()1e 10a h a f a a a =--=-->，当x a <时，111a x a a +->+-=，则()(1)e 1e 10x x h x a x a a =+--->-->，当x a >时，(0)0h =，即0x =是函数()h x 在(,)a +∞的唯一零点，因此函数()h x 仅有一个零点，P 是()f x 的“1度点”；③当10a -<<时，()()1e 10a h a f a a a =--=-->，由e 1x x x ≥+>，得2e2x x ->-，则22e x x ->-，122e 1x x -+>-+，取012ln12a x a +=-<，则00000()(1)e 1(1)e 1x x h x a x a x a =+---<---0012ln 1112222e e 12e 10a x x a a +-+-+<⋅--=--=，于是10(,)x x a ∃∈，使得1()0h x =，即函数()h x 在(,)a -∞上有唯一零点，又0x =是函数()h x 在(,)a +∞上的唯一零点，因此函数()h x 有两个零点，P 是()f x 的“2度点”；④当0a >时，()()1e 10a h a f a a a =--=-->，取21x a a =+>，则222()(1)e 110x h x a x a a =+---=--<，于是32(,)x a x ∃∈，使得3()0h x =，即函数()h x 在(,)a +∞上有唯一零点，显然0x =是函数()h x 在(,)a -∞上的唯一零点，因此函数()h x 有两个零点，P 是()f x 的“2度点”，所以当1a ≤-或0a =时，P 是()f x 的“1度点”；当10a -<<或0a >时，P 是()f x 的“2度点”.【小问3详解】设过(0,)M m 的直线与曲线e x y x =相切的切点为(,e )t N t t ，而(1)e x y x '=+，因此该切线方程为e (1)e ()t t y t t x t -=+-，即有e (1)e ()t t m t t t -=+⋅-，整理得2e t m t -=，由M 为函数e x y x =的“3度点”，得方程2e t m t -=有3个不同的解，令2()e t t t ϕ=，求导得()(2)e t t t t ϕ'=+，当2t <-或0t >时，()0t ϕ'>，当20t -<<时，()0t ϕ'<，即函数()t ϕ在(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，函数()t ϕ在2t =-处取得极大值24(2)e ϕ-=，在0=t 处取得极小值(0)0ϕ=，而当2t <-时，恒有()0t ϕ>，24(1)e (2)e ϕϕ=>=-，因此当且仅当240e m <-<，即240em -<<时，直线y m =-与曲线()y t ϕ=有3个不同交点，即方程2e t m t -=有3个不同的解，则过点M 的切线条数为3，所以实数m 的取值范围是24(,0)e-.【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f (x )的切线问题，先设出切点坐标00(,)x y ，求导并求出切线方程000()()y y f x x x '-=-，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.。

2022-2023学年福建省莆田市高二下学期期末质量监测数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省莆田市高二下学期期末质量监测数学试题一、单选题1．从3名男生，2名女生中任选2人，则选到2名女生的概率为（）A ．110B ．310C ．35D ．910【答案】A【分析】首先为男生，女生编号，再结合样本空间，和古典概型概率公式，即可求解.【详解】设3名男生的编号为123,,a a a ，2名女生的编号为12,b b ，任取2人的样本空间包含()()()()()()()12131112232122,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a b a b ()()()313212,,,,,,a b a b b b 共10个样本点，其中选到2名女生为()12,,b b 共1个样本点，所以选到2名女生的概率110P =.故选：A2．函数y x =的导函数是（）A ．2x y '=B ．12y x'=C ．1y x'=D ．2x y -'=【答案】B【分析】利用幂函数的导数公式，即可求解.【详解】()11221122y x x x x -'⎛⎫''====⎪⎝⎭.故选：B3．若直线l 的方向向量为m，平面α的法向量为n，则可能使l α∥的是（）A ．()3,1,0m =-，()1,0,2n =- B ．()2,1,4m =- ，()2,0,1n =C ．()2,9,7m =，()2,0,1n =-- D ．()1,2,3m =- ，()0,3,1n = 【答案】B【分析】根据线面的位置关系，可知0m n ⋅=r r，结合选项，即可判断.【详解】要使l α∥，则0m n ⋅=r r，A.30m n ⋅=-≠ ，B.440m n ⋅=-+= ，C.110m n ⋅=-≠ ，D.30m n ⋅=-≠.故选：B4．甲每次投篮命中的概率为14，且每次投篮相互独立，则在16次连续投篮中甲命中的次数的方差是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题意，命中的次数随机变量1(16,)4X B ，由二项分布方差公式求解.【详解】根据题意，命中的次数随机变量1(16,)4X B ，由二项分布方差公式得，11()16(1)344D X =´-=.故选：C5．若点P ∈平面ABC ，且对空间内任意一点O 满足1148OP OA OB OC λ=++，则λ的值是（）A ．58-B ．38-C ．38D ．58【答案】D【分析】根据条件得出P ，A ，B ，C 四点共面，再根据1148OP OA OB OC λ=++即可求出λ的值．【详解】P ∈ 平面ABC ，P ∴，A ，B ，C 四点共面，又1148OP OA OB OC λ=++，∴11148λ++=，解得58λ=．故选：D ．或者根据P ∈ 平面ABC ，P ∴，A ，B ，C 四点共面，则存在实数,x y ，使得PA xPB yPC =+，即()()()1OA OP x OB OP y OC OP x y OP OA xOB yOC -=-+-⇒--=--，又1442OP OA OB OC λ=++ ，所以14,4,1,2x y x y λ⎧⎪--=⎪-=⎨⎪⎪-=⎩解得58λ=故选：D6．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是矩形，其中2AB =，4=AD ，13AA =，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则线段1AC 的长为（）A ．9B ．29C ．47D ．43【答案】C【分析】由11AC AC CC =+ ，两边平方，利用勾股定理以及数量积的定义求出2211,,2AC AC CC CC ⋅ 的值，进而可得答案【详解】由11AC AC CC =+ ，2222211111()2AC AC AC CC AC AC CC CC ==+=+⋅+ .因为底面ABCD 是矩形，2AB =，4=AD ，13AA =，所以2241620=AC AC =+= ，219CC = ，因为1160A AB A AD ∠=∠=，所以1123cos 603,43cos 606AB CC BC CC ⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=所以()1111822()2()=23+6=1AC CC AB BC CC AB CC BC CC ⋅=+⋅=⋅+⋅，2112018947,47AC AC =++==故选：C.7．某同学利用电脑软件将函数()22f x x x =-+，()312x g x =--的图象画在同一直角坐标系中，得到如图的“心形线”.观察图形，当0x >时，()g x 的导函数()g x '的图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】A【分析】首先确定函数()g x 的图象，再结合导数于函数图象间的关系，即可判断选项.【详解】()220f x x x =-+≥，()3102xg x =--≤，所以x 轴下方的图象为函数()g x 的图象，当0x >时，函数()g x 单调递增，所以()0g x '>，故排除CD ；根据导数的几何意义可知，0x >时，函数()g x 图象上每点处的切线斜率应先变小，再增大，故排除B ，只有A 正确.故选：A8．设1e a =，11ln 22b =-，()444ln 4ec -=，则（）A ．b a c <<B ．<<b c aC ．<<c a bD ．c b a<<【答案】D【分析】由于1ln e e e a ==，11ln 2ln 4ln 2224b =-==，()444e ln 44ln 44e e 4c -==，所以构造函数()ln (0)xf x x x=>，然后利用导数判断函数的单调性，再利用函数单调性可比较大小，【详解】1ln e e e a ==，11ln 2ln 4ln 2224b =-==，()444e ln 44ln 44e e 4c -==，令()ln (0)xf x x x =>，则4e (e),(4),4a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由()ln (0)xf x x x=>，得()21ln (0)x f x x x -'=>，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上递增，在()e,+∞上递减，因为4e e 44<<，所以()()4e e 44f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以a b c >>，故选：D【点睛】关键点点睛：此考查比较大小，解题的关键是对,,a b c 变形，使形式相同，然后构造函数，判断函数的单调性，再利用单调性比较大小，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.二、多选题9．某学习小组收集了7组样本数据（如下表所示）：x1234567y0.51.20.81.51.72.32.5他们绘制了散点图并计算样本相关系数()()()()12211niii nniii i x x yyr x x yy===--=-⋅-∑∑∑，发现y 与x 有比较强的线性相关关系.若y 关于x 的经验回归方程为 0.2y bx=+ ，则（）A ．y 与x 呈正相关关系B ．0.325b= C ．当10x =时，y 的预测值为3.3D ．去掉样本点()4,1.5后，样本相关系数r 不变【答案】ABD【分析】首先求,x y ，根据样本中心求回归直线方程，即可判断选项.【详解】由数据可知，123456747x ++++++==，0.5 1.20.8 1.5 1.7 2.3 2.51.57y ++++++==，样本点中心(),x y 必在回归直线上，所以ˆ1.540.2b=+，得ˆ0.3250b =>，故AB 正确； 0.3250.2y x =+，当10x =时，ˆ 3.45y=，故C 错误；因为()4,1.5是样本点中心，0i i x x y y -=-=，所以去掉这一项，样本相关系数r 不变，故D 正确.故选：ABD10．甲、乙两个罐子均装有2个红球，1个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同.先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件()0,1,2i A i =表示从甲罐中取出的2个球中含有i 个红球，B 表示从乙罐中取出的球是红球，则（）A ．0A ，1A ，2A 两两互斥B ．()213P B A =C ．()12P B =D ．B 与1A 不相互独立【答案】AC【分析】结合互斥，相互独立事件的定义，以及全概率公式，条件概率公式，即可判断选项.【详解】A.0A 表示从甲罐中取出的2个球，没有红球，1A 表示从甲罐中取出的2个球，有1个红球，2A 表示从甲罐中取出的2个球，有2个红球，在一次实验中，这三个事件，任两个事件不能同时发生，所以两两互斥，故A 正确；B.()()()212421246222224C C C C 2C 3C P A B P B A P A ⨯===，故B 错误；C.()()()()()()()001122P B P B A P A P B A P A P B A P A =⨯+⨯+⨯11211123222242121212646464C C C C C C C 1C C C C C C 2=⨯+⨯+⨯=，故C 正确；D.()1122124C C 2C 3P A ==，()12P B =，()11122312146C C C 1C C 3P A B ==，则()()()11P A B P A P B =，则B 与1A 相互独立，故D 错误.故选：AC11．函数()[]()2sin π,πf x x mx x =-∈-在π3x =处取得极大值，则（）A ．1m =B ．()f x 只有两个不同的零点C ．()πππ26f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 在[]π,0-上的值域为[]0,π【答案】AC【分析】首先根据极值点求函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，结合函数的单调性，极值和端点值，即可判断选项.【详解】()2cos f x x m '=-，[]π,πx ∈-，由条件可知，π103f m ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，得1m =，当1m =时，()2cos 10f x x '=-=，得π3x =-或π3x =，xπ-ππ,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭π3-ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭π3π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭π()f x '-+-()f x π单调递减极小值π33-+单调递增π33-单调递减π-由表格数据单调性可知，ππ,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭单调递减，且()ππ03f f ⎛⎫-⋅-< ⎪⎝⎭，所以函数在区间ππ,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭有1个零点，同理，函数在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭和π,π3⎛⎫⎪⎝⎭也各有1个零点，所以函数有3个不同的零点，故A正确，B 错误；()ππf =-，ππ222f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ166f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()πππ26f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；()00f =，再结合表格数据可知，函数在区间[]π,0-上的值域为π3,π3⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，故D 错误.故选：AC12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）.把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则A ．122QC AD AB AA =++ B ．若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最大值为2C ．点P 到直线CQ 的距离是173D ．异面直线CQ 与1AD 所成角的正切值为17【答案】BCD【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D.【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+ ，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 错误；如图以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,1,0P -，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,2,1CP =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ=-+=⋅-+，所以当1λ=时()max2BM BD =⋅ ，故B 正确；对于C ：()2222213CP =+-+=uur ，()()()22212222183221CP CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==+-+uur uuu ruuu r ，所以点P 到直线CQ 的距离22173CP CQ d CP CQ ⎛⎫⋅ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭uur uuu r uur uuu r，故C 正确；对于D ：因为11112cos ,632CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅，所以21234sin ,166CQ AD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以1tan ,17CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD 所成角的正切值为17，故D 正确；故选：BCD三、填空题13．已知()2,6,a y =- ，()3,,6b x =-- ，且a b∥，则x y +=.【答案】13【分析】利用向量共线定理列方程求得94x y =⎧⎨=⎩，从而可得答案.【详解】因为()2,6,a y =- ，()3,,6b x =-- ，且a b ∥，(0)b a a λ∴=≠ ，()()(),26,6,3,,26,b a y x y λλλλλ∴--===--=，则3266x yλλλ-=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，解得：3294x y λ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，9+413x y ∴+==.故答案为：1314．若某工厂制造的机械零件尺寸X 服从正态分布14,4N ⎛⎫⎪⎝⎭，则零件尺寸介于3.5和5之间的概率约为.（若()2~,X N μσ，则()~0.6827P X μσ≈≤，()~20.9545P X μσ≈≤，()~30.9973P X μσ≈≤）【答案】0.8186【分析】由题意可得()()3.552P X P X μσμσ≤≤=-≤≤+()()()22P X P X P X μσμσμσ-≤--≤=+-≤，然后代值计算即可.【详解】因为X 服从正态分布14,4N ⎛⎫⎪⎝⎭，所以14,0.52μσ===，所以3.540.5,5420.52μσμσ=-=-=+⨯=+，所以()()3.552P X P X μσμσ≤≤=-≤≤+()()()22P X P X P X μσμσμσ-≤--≤=+-≤0.95450.68270.68270.81862-=+=，故答案为：0.818615．现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为.【答案】227【分析】根据题意，先求出进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率，然后根据各局游戏是相互独立，即可得到结果.【详解】设事件A 表示“进行一局游戏，成功确定参加活动人选”，则()2113323C C C 233P A ⋅⋅==，则进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率为21133-=，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为21223327⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：227四、双空题16．已知函数()()e xf x a a =∈R ，若直线y x =是曲线()2y f x =的切线，则=a ；若直线y x =与曲线()y f x =交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且11229x y x y ≥，则a 的取值范围是.【答案】12e3ln30,6⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【分析】，对函数()f x 求导，设出切点，由导数的几何意义可得()()00202002e 1e x x g x a g x a x ⎧==⎪⎨=='⎪⎩，由此可得a 的值；依题意，直线y a =与曲线()e xxg x =有两个交点，利用导数研究函数()g x 的性质，可知10,e a <<，则由11229x y x y ≥，可令123x t x =≥，进一步可得ln 1ln 1e t t tt a --=，设ln (3)1t m t t =≥-，则e m m a =，利用导数求出m 的范围，即可得到a 的范围．【详解】记()()22e x g x f x a ==，()22e x g x a '=，设切线y x =与曲线()y g x =相切于点0(x ，0)x ，则()()00202002e 1e x x g x a g x a x ⎧==⎪⎨=='⎪⎩，解得01212e x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即实数a 的值为12e ；令e x a x =，则e x x a =，依题意，直线y a =与曲线()x x h x e =有两个交点，又1()e xx h x -'=，令()0h x '>，解得1x <，令()0h x '<，解得1x >，则函数()h x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且1(1)eh =，当0x >时，()0h x >，当0x <时，(0h x <，作出函数()h x的大致图象如图所示，由图象可知：要使直线y a =与曲线()x x h x e =有两个交点，则10,e a <<又11229x y x y ≥，则22129x x ≥，则123x x ≥，令123x t x =≥，则12x tx =，又1212e e x x a x a x ⎧=⎨=⎩，则2222e e tx x a tx a x ⎧=⎨=⎩，于是22e tx x t -=，则2ln 1t x t =-，故ln 1ln 1e t t tt a --=，设ln (3)1t m t t =≥-，则e m m a =，又2211(1)ln 1ln ()(1)(1)t t t t t m t t t ----'==--，设1()1ln (3)t t t t ϕ=--≥，则22111()0t t t t tϕ-'=-=<，故()t ϕ在[3,)∞+上单调递减，则12()(3)1ln3ln3033t ϕϕ≤=--=-<，故()0m t '<在[3,)∞+上恒成立，则()m t 在[3,)∞+上单调递减，于是ln ln30112t m t <=≤<-，又函数()x x h x e =在(0,1)上单调递增，则当ln302m <≤时，3ln3(0,]e 6m m a =∈．故答案为：12e ；3ln30,6⎛⎤ ⎥ ⎝⎦．【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.五、解答题17．已知函数()()3223R f x x ax a =+∈.(1)当1a =时，求()f x 的极值；(2)若()f x 在(]0,2上单调递减，求a 的取值范围.【答案】(1)极大值为()1231f -=-+=，极小值为()00f =(2)(],2-∞-【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，即可求函数的极值；（2）利用导数，将不等式恒成立，转化为a x ≤-在(]0,2x ∈上恒成立，即可求解.【详解】（1）当1a =时，()3223f x x x +=，()()266610f x x x x x '=+=+=，得0x =或=1x -，当()0f x ¢>时，解得：1x <-或0x >，当()0f x '<时，解得：10x -<<，所以函数的单调递增区间是(),1-∞-和()0,∞+，单调递减区间是()1,0-，当x 变换时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示，x (),1-∞-1-()1,0-0()0,∞+()f x '+0-0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的的极大值为()1231f -=-+=，极小值为()00f =（2）()3223=+f x x ax ，R a ∈，()266f x x ax '=+，因为()f x 在(]0,2上单调递减，可得()2660f x x ax '=+≤在(]0,2x ∈上恒成立，即a x ≤-在(]0,2x ∈上恒成立，当(]0,2x ∈时，[)2,0x -∈-，所以2a ≤-，即a 的取值范围是(],2-∞-.18．如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，1AC 的中点.(1)求点1C 到平面DEF 的距离；(2)求二面角C DF E --的大小.【答案】(1)63(2)π2【分析】（1）首先，建立空间直角坐标系，求平面DEF 的法向量，利用点到平面的距离公式，即可求解；（2）利用垂直关系证明1AD ⊥平面DCF ，利用法向量求二面角的大小.【详解】（1）如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，()10,2,2C ，()0,0,0D ，()2,1,0E ，()0,2,0C ，()1,1,1F ，()2,1,0DE = ，()1,1,1DF = ，()10,2,2DC = 设平面DEF 的法向量为(),,m x y z =，则DE m DF m⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，即200x y x y z +=⎧⎨++=⎩，令1x =，则2,1y z =-=，所以平面DEF 的法向量为()1,2,1m =- ，所以点1C 到平面DEF 的距离12636DC m d m ⋅-=== ；（2）因为11AD A D ⊥，DC ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以1DC AD ⊥，且1A D DC D = ，1,A D DC ⊂平面1A DC ，所以1AD ⊥平面1A DC ，即1AD ⊥平面DCF ，()2,0,0A ，()10,0,2D ，()12,0,2AD =- ，111cos ,0m AD m AD m AD ⋅== ，所以二面角C DF E --的大小为π219．甲、乙两位好友进行乒乓球友谊赛，比赛采用21k +局1k +胜制（*k ∈N ），若每局比赛甲获胜的概率为13，且每局比赛的结果是相互独立的.(1)比赛采用5局3胜制，已知甲在第一局落败，求甲反败为胜的概率；(2)比赛采用3局2胜制，比赛结束时，求甲获胜的局数X 的分布列及数学期望.【答案】(1)19(2)分布列见解析，()2227E X =【分析】（1）根据题意，分别求出比分3:1或3:2的概率，即可得到结果；（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，然后分别求出其对应的概率，即可得到结果.【详解】（1）记A =“甲在第一局落败”，B =“甲反败为胜”，甲最终获胜有两种可能的比分3:1或3:2，且每局比赛结果是相互独立的.①若比分是3:1，则甲接下来连胜3局，其概率为311327⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若比分是3:2，则第2,3,4，局比赛中甲胜2局输1局且第5局甲获胜，其概率为2231212C 33327⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以()12127279P B A =+=.（2）X 的所有可能取值为0,1,2，()224039P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()1212281C 33327P X ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，()212112172C 333327P X ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为X012P 49827727则()487220129272727E X =⨯+⨯+⨯=.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ，AB AD ⊥，1222CD AD AB ===，E 为AB 的中点，PAD 与PCD 均为等边三角形，AC 与DE 相交于O 点.(1)证明：PO ⊥平面ABCD ；(2)求直线PE 与平面PBC 所成的角的正弦值.【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）要证明线面垂直，可证明PO 垂直于平面内的两条相交直线，利用垂直关系，构造辅助线，即可证明；（2）根据（1）的结果，建立空间直角坐标系，求平面PBC 的法向量，利用向量公式求线面角的正弦值.【详解】（1）取AD 的中点M ，连结,AM OM ，EC ，因为PAD 是等边三角形，所以PM AD ⊥，因为AB AD ⊥，AD DC =，E 为AB 的中点，所以四边形ADCE 是正方形，所以AO OD =，则OM AD ⊥，且PM OM M = ，,PM OM ⊂平面POM ，所以AD ⊥平面POM ，PO ⊂平面POM ，所以AD PO ⊥，又因为PAD 与PCD 均为等边三角形，所以PA PC =，所以PO AC ⊥，且AC AD A = ，,AC AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD（2）四边形ADCE 是正方形，所以OC OD ⊥，以点O 为原点，以{},,OD OC OP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，32262PM =⨯=，2OM =，222PO PM OM =-=，()002P ,,,()2,0,0E -，()0,2,0C ，()4,2,0B -，()4,2,2PB =-- ，()0,2,2PC =- ,()2,0,2PE =--设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r ，则PB n PC n ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即4220220x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩，得0x =令1y z ==，所以平面PBC 的法向量()0,1,1n = ，设直线PE 与平面PBC 的夹角为θ，所以21sin cos ,2222PE n PE n PE nθ⋅-====⨯ ，所以直线PE 与平面PBC 的夹角的正弦值1221．为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位：只）：发病没发病合计接种疫苗81624没接种疫苗17926合计252550(1)能否有95%的把握认为接种该疫苗与预防该疾病有关？(2)从该地区此动物群中任取一只，记A 表示此动物发病，A 表示此动物没发病，B 表示此动物接种疫苗，定义事件A 的优势()()11P A R P A =-，在事件B 发生的条件下A 的优势()()21P A B R P A B =-.（ⅰ）证明：()()21P B A R R P B A =；（ⅱ）利用抽样的样本数据，给出()P B A ，()P B A 的估计值，并给出21R R 的估计值.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.()20P x χ≥0.0500.0100.0010x 3.841 6.63510.828【答案】(1)有95%的把握认为接种该疫苗与预防该疾病有关.(2)证明见解析，2112R R =【分析】（1）根据卡方的计算即可与临界值比较求解，（2）根据条件概率的计算公式，即可结合12,R R 的定义进行求证，进而求解.【详解】（1）根据联表可得()()()()()()22250171672 5.128 3.84125252426n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-==≈>++++⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为接种该疫苗与预防该疾病有关.（2）（ⅰ）由于()()()()()()11()()()P AB P B P AB P AB P A B P A B P B P B P B --=-===,所以()()()()21P A B P A B R P A B P A B ==-，()()()()11P A P A R P A P A ==-，故()()()()()()()()()()()()()()21()()P A P A P A P A B P B A P AB P B P AB R R P A P A P A P A B P B P AB P AB P B A ====,故得证.（ⅱ）由二联表中的数据可得()825P B A =，()1625P B A =，所以()()2112P B A R R P B A ==，22．已知函数()2ln f x ax x =--，其中a ∈R .(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点1x ，2x ，且213x x ≥，求12x x 的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)49e 【分析】（1）求出函数的导函数，再分0a ≤、0a >两种情况讨论，分别求出函数的单调性；（2）依题意可得11222ln 02ln 0ax x ax x --=⎧⎨--=⎩，即可得到12121212ln ln ln ln 4x x x x a x x x x -++==-+，从而得到()121121221ln 4ln 1x x x x x x x x ++=-，令12x t x =，10,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()1ln 1t g t t t +=-，10,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用导数求出()g t 的最小值，即可求出12x x 的最小值.【详解】（1）()2ln f x ax x =--定义域为()0,∞+，且()11ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0f x '=得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上可得：当0a ≤时()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）因为()()120f x f x ==，所以11222ln 02ln 0ax x ax x --=⎧⎨--=⎩，所以()1212ln ln a x x x x -=-，()1212ln ln 4a x x x x +=++，所以12121212ln ln ln ln 4x x x x a x x x x -++==-+，所以()112121121122221ln 4ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x +++==--，令12x t x =，因为213x x ≥，所以1213x x ≤，即103t <≤，所以()121ln 4ln 1t x x t t ++=-，10,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()1ln 1t g t t t +=-，10,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()()()()()2211ln 11ln 2ln 11t t t t t t t t t g t t t +⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭'==--，令()12ln h t t t t=--，()0,1t ∈，则()()22211210t h t t t t -=+-=>'，所以()h t 在()0,1上单调递增，又()10h =，所以()0h t <，即()0g t '<，所以()g t 在10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()12ln 33g t g ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以()12ln 42ln 3x x +≥，即2ln 3412e x x -≥，即1249e x x ≥，当且仅当2112439e x x x x =⎧⎪⎨=⎪⎩，即122333e x x ==时等号成立，所以12x x 的最小值为49e .【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

2021年高二下学期第一次质量检测数学(理)试卷含答案

2021年高二下学期第一次质量检测数学（理）试卷含答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、下面几种推理过程是演绎推理的是（）A ．某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人；B ．三角形的性质，可以推测空间四面体的性质；C ．平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分；D ．在数列中，，由此可以归纳出的通项公式。

2、用反证法证明命题；“三角形的内角中至少有一个不大于”时，反设正确的是（）A ．假设三内角都不大于B ．假设三内角都大于C ．假设三内角至多有一个大于D ．假设三内角至多有两个大于3、函数在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A ．B ．C ．或D ．4、函数在处有极值10，则点为（）A ．或B ．C ．D ．不存在5、计算由曲线和直线所围成的图形的面积是（）A ．B ．18C ．D ．6、已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为，类比三角形的面积可得四面体的体积为（）A ．B ．C ．D ．7、已知三次函数()3221(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在无极值点，则的取值范围是（）A ．或B ．或C ．D ．8、若函数在R 上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A ．函数由极大值，无极小值B ．函数由极小值，无极大值C ．函数由极大值和极小值D ．函数由极大值和极小值9、若，则（）A ．B ．C ．D ．10、已知函数是定义在R 上的奇函数，，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

.11、12、已知为常数），在上有最小值3，那么在上的最大值是13、曲线在点处的切线方程与坐标轴所围成图形的面积为14、若曲线在点处的切线平行于轴，则 15、观察下列式子2222221311511171,1,1,222332344+<++<+++<，则推广到第n 个等式为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）的三个内角为及其三边，且成等差数列。

莆田(文科)

高二数学选修2-3
2017年福建省莆田市高考数学一模试卷（理科）
17．（12 分）（2017• 莆田一模）已知数列{an }的前 n 项和常数，a6=13．（1）求 k 的值及数列{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn }的前 n 项和 Tn ．
，其中 k 为
】解：（1）∵ ﹣1+k．
k＜﹣1，g（1）＜0，g（x）在[1，+∞）上无零点； k=﹣1，g（1）=0，g（x）在[1 ，+∞）上有 1 个零点； ﹣1＜k ＜0，g（1）＞0，g（e1 k）=ke1 k+k＜0 ，g（x）在 [1，+∞）上有 1 个零点；综上所述，k＜﹣1 时，h （x）有 1 个零点；﹣1≤k＜0 时，h （x）有两个零点；（2）设切点（t，f（t ）），f′（x）=6x2﹣6x，∴切线斜率 f′ （t）=6t 2﹣6t， ∴切线方程为 y﹣f（t）=（6t 2﹣6t ）（x﹣t）， ∵切线过 P（a，﹣4），∴﹣4﹣f（t）=（6t 2﹣6t ）（a﹣t ）， ∴4t3 ﹣3t2﹣6t 2a+6ta﹣5=0①
．
∴当 x≤2 时，f（x）＞2，6﹣2x＞2，解得 x＜2；当 2＜x＜4 时，f（x）＞2 得 2＞2，无解；当 x≥4 时，f（x）＞2 得 2x﹣6＞2，解得＞4．所以不等式 f（x）＞2 的解集为（﹣∞，2）∪（4，+∞）．
（2））∵|x﹣4|+|x﹣2|≥2，∴M=2， ∵2x +a≥M 的解集包含[0，1]， ∴20+a≥2，21+a≥2，∴a≥1．故 a 的取值范围为：[1，+∞）
﹣ ﹣
由题意，方程①有 3 个不同的解．令 H（t）=4t 3﹣3t2 ﹣6t2a+6ta﹣5，则 H′ （t）=12t2 ﹣6t﹣12at+6a=0．t= 或 a． a= 时，H′（ t）≥0，H（ t）在定义域内单调递增，H（t）不可能有两个零点，方程①不可能有两个解，不满足题意； a 时，在（﹣ ），（a，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（，

福建省莆田市第二十五中学2024_2025学年高二数学下学期第一次月考试题理

莆田其次十五中学2024-2025学年下学期月考一试卷高二理科数学考试时间：120分钟；留意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)一、单选题1．已知命题，. 则为（）A．， B．， C．， D．，2．椭圆的离心率为（）A． B． C． D．3．若函数，则（）A． B． C．1 D．04．一质点沿直线运动，假如由始点起经过秒后的位移与时间的关系是，那么速度为零的时刻是A．0秒 B．1秒末 C．4秒末 D．1秒末和4秒末5．椭圆的两个焦点分别为、，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为A． B．C． D．6．已知函数，则（）A．0 B．-1 C．1 D．-27．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为：，化简得.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的方程为（）A． B．C． D．8．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．以下有关命题的说法错误的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠,则2320x x -+≠”B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C ．命题“在△ABC 中，若,sin sin A B A B >>则”的逆命题为假命题；D ．对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，则210x x ++≥10．直线是曲线的一条切线，则实数的值为（）A ．2B ．C ．D ．11．如图，已知正方体中，异面直线与所成的角的大小是A ．B ．C ．D ．12．已知点，，则，两点的距离的最小值为A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题)二、填空题13．命题“若，则”的逆否命题是______．14．焦点为()0,2的抛物线标准方程是__________．15．已知长轴长为2a ，短轴长为2b 椭圆的面积为ab π，则dx x ⎰--332912=___________。

2021-2022学年福建省莆田市第一中学高二下学期期末考试数学试题

莆田一中2021-2022学年度下学期期末试卷高二数学选择性必修二、三第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列{}n a 的通项公式为21nn a =+，则这个数列第5项是（）A .9B .17C .33D .652.某高中调查学生对2022年冬奥会的关注是否与性别有关，随机抽样调查150人，进行独立性检验，经计算得()()()()()225.879n ad bc a b c d a c b d χ-=≈++++，临界值表如下：α0.150.100.050.0250.010x α2.0722.0763.8415.0246.635则下列说法中正确的是：（）A .有97.5%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”B .有99%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关”C .在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关”D .在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”3.设A ，B 为两个事件，已知()0.4P B =，()0.5P A =，()|0.3P B A =，则()|P A B =（）A .0.24B .0.375C .0.4D .0.54.若函数()21f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则α的取值范围是（）A .()3,+∞B .(],3-∞C .[]0,3D .[)3,+∞5.已知()()511ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（）A .-1B .-2C .-3D .-46.现有5名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配到甲校的概率为（）A .25B .35C .15D .2157.甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子，记事件A 为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C 为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则下列结论不正确的是（）A .()()()P A P B P C ==B .()()()P BC P AC P AB ==C .()18P ABC =D .()()()18P A P B P C ⋅⋅=8.设ln1.01a =， 1.0130b e =，1101c =，则（）A .a b c<<B .a c b <<C .c b a<<D .c a b<<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考），其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即将学生考试时的原始卷面分数由高到低进行排序，评定为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，再转换为分数计入高考总成绩.某试点高中2020年参加“选择考”总人数是2018年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2018年和2020年“选择考”成绩等级结果，得到如图所示的统计图.针对该校“选择考”情况，2020年与2018年比较，下列说法正确的是（）A .获得A 等级的人数增加了B .获得B 等级的人数增加了1.5倍C .获得D 等级的人数减少了一半D .获得E 等级的人数相同10.设01m <<，随机变量的分布列为：ξm1P3a13213a -则当m 在（0，1）上增大时，（）A .()E ξ减小B .()E ξ增大C .()D ξ先增后减，最大值为16D .()D ξ先减后增，最小值为1611.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（）A .此人第六天只走了5里路B .此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C .此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里D .此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍12.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若()3f x -，522g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭均为奇函数，则（）A .()30f =B .()30g =C .5722f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .()()58g g =-三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线()2ln f x x x =-在1x =处的切线方程为_______.14.若随机变量()~63,100X N ，则()73P X <=_______.（附：若随机变量()2~,X Nμσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<+=）15.用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，若用1a ，2a ，3a ，4a ，5a 分别表示五位数的万位、干位、百位、十位、个位，则出现123a a a <<，345a a a >>特征的五位数的概率为_______.16.已知函数()1ln mxf x ex m=-，当0x >时，()0f x >，则m 的取值范围为________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）设数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足112nn nS S S +=+，且11a =.（1）证明：数列1n S ⎧⎫⎨⎩⎭为等差数列；（2）求{}n a 的通项公式.18.（12分）已知函数()()3231312f x x k x kx =-+++，其中R k ∈.（1）当3k =时，求函数()f x 在()0,3内的极值点；（2）若函数()f x 在[]1,2上的最小值为3，求实数k 的取值范围.19.（12分）甲、乙两位同学在一起做猜拳（石头剪刀布）游戏，他们规定每次猜拳赢的一方得1分，输的一方得-1分，平局时两个人都各得0分.出现得3分者，则游戏结束，得3分者获胜.（1）求两次猜拳后，乙得2分的概率；（2）求在至多进行四次猜拳后，甲获胜的概率；（3）若进行五次猜拳后游戏结束，求此时乙得-3分的概率.20.（12分）双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口.吃起来香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香.双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成.水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素.不过新鲜的水牛奶保质期较短.某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：日销售量/件0123天数5102510假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.（1）求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；（2）已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况.该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货.假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率.21.（12分）我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资公司准备投资芯片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30%的概率为p ，收益率为-10%的概率为1p -；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30%的概率为0.4，收益率为-20%的概率为0.1，收益率为零的概率为0.5.（1）已知以上两个项目每个投资1（亿元），获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑为该公司选择一个较稳妥的项目；（2）若该风险投资公司准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资，4年中每年累计投资数据如表：年份x2018201920202021μ1234累计投资金额y （单位：亿元）2356请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于μ的线性回归方程ˆˆˆyb a μ=+，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元.附：收益=投入的资金×获利的期望；线性回归ˆˆˆybx a =+中，()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.22.（12分）已知函数()1ln 2xf x a x =--恰有两个零点1x ，2x （12x x >）.（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：1236x x a+>莆田一中2021-2022学年度下学期期末试卷答案1.【解析】52133+=.故选：C .2.【解析】解：∵()()()()()225.879 5.024n ad bc a b c d a c b d χ-=≈>++++，∴在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关”.故选：C .3.【解析】解：由()0.5P A =，()|0.3P B A =得()()()|0.15P AB P B A P A =⋅=，所以()()()0.15|0.3750.4P AB P A B P B ===，故选：B4.【解析】解：∵()21f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，故()2120f x x a x '=+-≥在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，令()212h x x x =-，则()322h x x'=--，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '<，则()h x 为减函数.∴()132h x h ⎛⎫<=⎪⎝⎭，故3a ≥.故选：D .5.【解析】解：因为()51x +的二项展开式的通项为5r rC x （05r ≤≤，Z r ∈），则含2x 的项为()2212551105C x ax C x a x ⨯+⋅=+，所有1055a +=，1a =-.故选A .6.【解析】按1+1+3分组：3510C =种（1与1自然成堆），从而有335360C A ⋅=按1+2+2分组：22532215C C A =种，从而有2235332290C C A A ⨯=故所有的分配方法有150种，甲校恰好分配到两人的分配方法有22253260C C A =种，则概率为25.故选A .7.【解析】解：对于A ，掷这两个骰子，一共有6×6=36种基本事件，事件A 发生，则两个骰子的点数为一奇一偶有3×3+3×3=18种，∴()181362P A ==，∵掷骰子正面向上为奇数和偶数的方法种数相同，∴()3162P B ==，()3162P C ==，故A 正确；对于B ，事件BC ，事件AC ，事件AB 均表示甲为奇数，乙为偶数，∴()()()P BC P AC P AB ==，故B 正确；对于C ，事件ABC 表示甲朝上一面为奇数，乙朝上一面为偶数，故()331664P ABC ⨯==⨯，故C 错误.对于D ，∵()12P A =，()12P B =，()12P C =，∴()()()31128P A P B P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：C .8.【解析】解：构造函数()ln 1f x x x =-+（0x >），()10f =，()111xf x x x-'=-=，所以()f x 在()0,1上()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 在()1,+∞上()0f x '<，()f x 单调递减，令 1.01x =，则 ln a x =，30x b e =，11c x =-，考虑到ln 1x x ≤-，可得11ln 1x x =-，1ln 1x x-≥-等号当且仅当 1x =时取到，故 1.01x =时a c >，排除A ，B .下面比较a ，b 大小，由ln 1x x ≤-得 1.01ln1.01 1.0130e<<，故b a >，所以c < a < b .故选：D .9.【答案】AB .10.【解析】解：由题意得，1211333a a -++=，解()121110133333a a m a E m ξ-==⨯+⨯+⨯=+，()222211212666333327m m m m m D ξ⎡⎤+---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.当实数m 在()0,1上增大时，()D ξ先减小后增大，当12m =时，()D ξ取最小值16.故选：BD .11.【解析】解：根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列.所以()611611123781112a a q S q ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦===--，解得1192a =.选项A ：5561119262a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故A 错误，选项B ：由1192a =，则61378192186S a -=-=，又1961866-=，故B 正确.选项C ：211192962a a q ==⨯=，而6194.54S =，9694.5 1.5-=，故C 正确.选项D ：()21231111192133624a a a a q q⎛⎫++=++=⨯++= ⎪⎝⎭，则后3天走的路程为37833642-=，而且336428÷=，D 正确.故选：BCD .12.【答案】AD 13.【解析】由()12f x x x'=-，有()11f '=-，()11f =-.曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()11y x +=--，整理得0x y +=.14.【解析】解：因为()~63,100X N ，所以()()10.68277363100.158652P X P X ->=>+==.15.【解析】基本事件的总数为55120A =.中间3a 最大，只能放5，即35a =，其它位置的方法数为246C =种，故概率为6112020=.16.【解析】由题意，若0m ≤显然()f x 不是恒大于零，故0m >.则显然()1ln 0mxf x ex m=->在(]0,1上恒成立；当1x >时，()ln 11ln 0ln ln ln mx mx mx xf x e x e x mx e x x x e m m=->⇔>⇔⋅>=⋅，令()t g t te =（0t >）()()10t g t t e '=+>，()g t 在()0,+∞上单调递增.因为0mx >，ln 0x >（1x >），所以ln ln ln mxx mx e x e mx x ⋅>⋅⇔>，即()ln 1xm x x>>，再设()()()2ln 1ln 1x xh x h x x x x-'=⇒=>，令()0h x '=，则x e =，易得()h x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，所以()()max 13h x h e ==，故1m e>，所以m 的取值范围为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.17.【解析】（1）证明：∵112nn nS S S +=+，且11a =，∴112112n n n n S S S S ++==+，…………………………………………………………………………2分即1112n nS S +-=，∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为1，公差为2的等差数列；…………………………………………………5分（2）解：由（1）可得：()112121nn n S =+-=-，即121n S n =-，………………………………6分当2n ≥时，()()111221232123n n n a S S n n n n -=-=-=-----，又当1n =时，11a =，∴()()1,122123n n a n n =⎧⎪=-⎨⎪--⎩，2n ≥………………………………………………………………10分18.【解析】解：（1）3k =时，()32691f x x x x =-++，则()()()23129313f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=得11x =，23x =，列表如下：x()0,11()1,33()f x '+0-0()f x 1单调递增5单调递减1故()f x 在()0,3内的极大值点为1x =，无极小值点.…………………………………………5分（2）方法一：()()()()2331331f x x k x k x x k '=-++=--，①当 1k ≤时，[]1,2x ∀∈，()0f x '≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增，所以()()()min 31113132f x f k k ==-+++=，即53k =（舍）；……………………………………………………………………………………7分②当2k ≥时，[]1,2x ∀∈，()0f x '≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减，所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+=，符合题意；………………………………9分③当12k <<时当[)1,x k ∈时，()0f x '≤，()f x 区间在[)1,k 单调递减，当(],2x k ∈时，()0f x '>，()f x 区间在(],2k 单调递减，所以()()()322min 313132f x f k k k k k ==-+++=，化简得：32340k k -+=，即()()2120k k +-=，所以1k =-或2k =（都舍）；注：也可令()3234g k k k =-+，12k <<，则()()236320g x k k k k '=-=-<，则()3234g k k k =-+在()1,2k ∈单调递减，所以()02g k <<，不符合题意；综上所述：实数k 取值范围为2k ≥.……………………………………12分方法二：()()()()2331331f x x k x k x x k '=-++=--，①当2k ≥时，[]1,2x ∀∈，()0f x '≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减，所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+=，符合题意；②当1k ≤时，[]1,2x ∀∈，()0f x '≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增，所以()()()min 23f x f k f =<=，不符合题意；③当12k <<时，当[)1,x k ∈时，()0f x '<，()f x 区间在[)1,k 单调递减，当(],2x k ∈时，()0f x '>，()f x 区间在(],2k 单调递增，综上所述：实数k 取值范围为2k ≥.…………………………………………………………………………12分19.【解析】解：（1）由题意每局比赛赢，输，平局的概率都为13，两次猜拳后，乙得2分，即乙赢了两局，概率21139P ⎛⎫== ⎪⎝⎭；…………………………………………3分（2）由题意甲连赢3局或甲在前3局赢两局平一局，第4局赢了，则至多进行四次猜拳后，甲获胜的概率322311112333327P C ⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；…………………………7分（3）五次猜拳游戏结束且乙得-3分有两种情况：①两次平局，甲赢3局且平局出现在前4局；②没有平局，甲输1局赢4局，且输的一局在前3局，故进行五次猜拳后游戏结束，此时乙得-3分的概率22222143111111133333327P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯++⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………………………………………………12分20.【解析】解：（1）设接下来三天中有X 天能卖出3件水牛奶，根据题意得1~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭…………2分则函数()()()232314113223555125P X P X P X C ⎛⎫⎛⎫≥==+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率13125.…………………………………………5分（2）设第一天补货后（第二天开始营业时）有3件水牛奶为事件1A ，有2件水牛奶为事件2A ，根据题意得()145P A =，()215P A =，………………………………………………………………………………7分设事件B 为第二天营业结束后货架上有1件存货，则()11|2P B A =，()21|5P B A =.…………9分由全概率公式得()()()()()1122411111||525525P B P A P B A P A P B A =+=⨯⨯⨯=因此，第二天营业结束后货架上有1件存货的概率为1125.…………………………………………12分21.【解析】解：（1）若投资光刻机项目，设收益率为X ，则()()()0.30.110.40.1E X p p p =+-⨯-=-，若投资光刻胶项目，设收益率为Y ，则()()0.30.40.20.100.50.1E Y =⨯+-⨯+⨯=，…………………………………………………2分∵两个项目每个投资1（亿元），获利的期望是一样的，∴0.40.10.1p -=，解得0.5p =，∵()()()220.30.10.50.10.10.50.03D X =-⨯+--⨯=，∴()()E X E Y =，()()D X D Y >，故建议该公司投资光刻胶项目.……………………………5分（2）由表中数据可得，()11234 2.54μ=⨯+++=，()1235644y =⨯+++=，4147i i i y μ==∑，42130i i μ==∑，则()()()11222211474 2.54ˆ 1.4304 2.5nniii yi i nniii i x x y y x ynx y bx x xnx====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑，ˆˆ4 1.4 2.50.5ay b μ=-=-⨯=，……………………………………………………………………9分故线性回归方程为ˆ 1.40.5yμ=+，设该公司在芯片领域的投资收益为Z ，则()0.1 1.40.50.75Z μ=⨯+≥，解得5μ≥，…………11分故在2022年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元.…………………………12分22.【解析】解：（1）函数()f x 定义域为{}|0x x >，()1222a x a f x x x-'=-=.……………………1分①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 单调递增，至多一个零点，不合题意，舍去；………………2分②当0a >时，当02x a <<时()0f x '<，()f x 单调递减，当2x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()()min 21ln 2f x f a a a a ==--，记()()1ln 20g x x x x x =--->，…………………3分则()1ln 21ln 2g x x x '=--=-，当102x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当12x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()max 11111ln102222g x g ⎛⎫==--=-< ⎪⎝⎭，即()20f a <，……………………………………4分又112a e a>，故12a e a -<，且11111ln 02a a a f e e a e ---⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，令(20x a =+，则()00001ln 1022x x f x a x =-->--，故函数()f x 在区间1,2a e a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，(22,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭分别存在一个零点.综上可得，当0a >时，函数()f x 有两个零点.…………………………………………………………6分（2）当0a >时，令21x t x =，则01t <<，且21x tx =，所以()1111ln 02x f x a ax =--=，①()2221ln 02x f x a x =--=即()111ln 02tx a tx --=②.…………………………………………………7分①-②，得11ln 02t x a t -+=，即12ln 1a t x t =-，所以212ln 1at t x tx t ==-，……………………………………………………………………………………8分要证1236x x a +>，即证6ln 2ln 611a t at t a t t +>--，又0a >，即证3ln ln 311t t t t t +>--，又01t <<，即证()3ln ln 31t t t t +<-，即证()31ln 03t t t --<+，（*）……………………………10分令()()31ln 3t t t t ϕ-=-+，01t <<，则()()()()()()2222231231120333t t t t t t t t t t ϕ+--'=-==>+++所以()t ϕ在01t <<时单调递增，且()()1ln100t ϕϕ<=-=，所以（*）式得证，即1236x x a +>成立.………………………………………………………………12分。

福建省莆田市高二数学下学期第一次月考试题文(2021年整理)

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福建省莆田市2016-2017学年高二数学下学期第一次月考试题文第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。

若复数z=2(1)1ii-+，则｜z|=(A)8 （B)22 (C）2 （D）2 2。

已知x与y之间的一组数据:x0123y1357）A .（2，2） B.(1，2） C.（1。

5,0) D (1.5,4）3．设x∈R，则“|x﹣2｜＜1”是“x2+x﹣2＞0"的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．复数31ii--在复平面上所对应的点在第（ )象限。

A．一 B。

二 C.三 D. 四5．已知复数z满足（3+i）z=4﹣2i，则复数z=（) A．1﹣i B．1+i C．2+i D．2﹣i6．曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为( ）A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+27.xxexf-=)(的一个单调递增区间是（）A．[—1，0] B．[2,8] C．[1，2] D．［0，2]8．下列函数中，在),0(+∞上为增函数的是( ）A 。

x y cos =B.x xe y = C 。

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福建省莆田市数学高二下学期理数第一次测评试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）已知是虚数单位,则复数的虚部等于（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）已知函数在（1，4）上是减函数，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）若则f(2012)=（）
A . 0
B . ln2
C .
D . 1+ln2
4. （2分） (2016高二下·福建期末) 高二某班班会选出包含甲、乙、丙的5名学生发言，要求甲、乙两人的发言顺序必须相邻，而乙、丙两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序共有（）
A . 48种
B . 36种
C . 24种
D . 12种
5. （2分） (2017高二下·蚌埠期中) 函数y=lnx（x＞0）的图象与直线相切，则a等于（）
A . ln2﹣1
B . ln2+1
C . ln2
D . 2ln2
6. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 下面几种是合情推理的是（）
①已知两条直线平行同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，那么
②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
③数列中，推出
④数列，，，，…推测出每项公式．
A . ①②
B . ②④
C . ②③
D . ③④
7. （2分）在复平面内，复数对应的点位于（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
8. （2分） (2017高一上·河北月考) 已知定义在R的函数是偶函数，且满足
上的解析式为，过点作斜率为k的直线l ，若直线l与函数的图象至少有4个公共点，则实数k的取值范围是
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2015高二下·郑州期中) 用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）
A . 2k+1
B . 2k+3
C . 2（2k+1）
D . 2（2k+3）
10. （2分）(2019高二下·佛山月考) 若且
，则实数（）
A . 1或-3
B . 1或3
C . -3
D . 1
11. （2分） (2019高二下·丰台期末) 已知是定义在上的奇函数，，当时，
，则使得成立的的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）已知函数,,设函数
，且函数的零点均在区间内，则b-a的最小值为（）
A . 8
B . 9
C . 10
D . 11
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2018高二下·湛江期中) 已知函数 ,若函数在点
处的切线平行于x轴，则实数b的值是________．
14. （1分）以曲线为曲边的曲边形（如图阴影部分）面积为________．
15. （1分） (2015高二上·常州期末) 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=a，CD=b（a＞b）．若EF∥AB，EF 到CD与AB的距离之比为m：n，则可推算出：．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD，BC相交于O点，设△OAB，△OCD的面积分别为S1 ， S2 ，EF∥AB且EF到CD与AB的距离之比为m：n，则△OEF的面积S0与S1 ， S2的关系是________
16. （1分）(2020·普陀模拟) 已知函数是偶函数，若方程
在区间上有解，则实数的取值范围是________.
三、解答题 (共6题；共40分)
17. （10分） (2016高二下·鹤壁期末) 已知f（x）=（2x﹣3）n展开式的二项式系数和为512，且（2x﹣3）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n
（1）求a2的值；
（2）求a1+a2+a3+…+an的值．
18. （5分） (2017高二下·牡丹江期末) 已知函数的导函数的两个零点为和0．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若的极小值为，求的极大值．
19. （5分） (2016高二下·三原期中) 已知a，b，c均为实数，且a=x2﹣2y+ ，b=y2﹣2z+ ，c=z2﹣2x+ ，求证：a，b，c中至少有一个大于0．
20. （5分） (2017高二下·嘉兴期末) 已知椭圆的离心率为，且它的一个焦点
的坐标为 .
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设过焦点的直线与椭圆相交于两点，是椭圆上不同于的动点，试求的面积的最大值.
21. （5分） (2018高三上·嘉兴期末) 已知数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：对任意的，都有
① ；
② （）．
22. （10分）已知函数．
（1）若曲线y=f（x）在点x=0处的切线斜率为1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共40分)
17-1、
17-2、
18-1、
19-1、
21-1、22-1、
22-2、
第11 页共11 页。