Kllmck高一数学典型例题分析：同角三角函数的基本关系式
专题47 高中数学同角三角函数的基本关系(解析版)
专题47 同角三角函数的基本关系1．平方关系(1)公式：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.2．商数关系(1)公式：sin αcos α＝tan_α(α≠k π＋π2，k ∈Z)．(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．3．同角三角函数的基本关系式的变形形式(1)平方关系变形：sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. (2)商的变形：sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α.题型一 直接应用同角三角函数关系求值1．若cos α＝35，且α为第四象限角，则tan α＝________.[解析]因为α为第四象限角，且cos α＝35，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－43. 2．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于[解析] ∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin 2θ＝1－cos 2θ＝1－144169＝25169，又∵α是第四象限角，∴sin α<0，即sin θ＝－513.3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. [解析]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝2，①sin 2α＋cos 2α＝1，②由①得sin α＝2cos α代入②得4cos 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos α＜0，所以cos α＝－55. 4．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.[解析]因为sin αcos α＝－12，且sin 2α＋cos 2α＝1，又因为α是第二象限角，所以cos α＜0，所以cos α＝－255.5．若α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于[解析] 因为α是第四象限角，tan α＝－512，所以sin αcos α＝－512.又sin 2α＋cos 2α＝1.所以sin α＝－513.6．已知α是第二象限角，且cos α＝－1213，则tan α的值是[解析]因为α为第二象限角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－12132＝513， 所以tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512.7．已知α是第二象限角，且tan α＝－724，则cos α＝________.[解析]因为α是第二象限角，故sin α＞0，cos α＜0，又tan α＝－724，所以sin αcos α＝－724，又sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＝－2425.8．已知sin α＝－13，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝ [解析]由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，得cos α<0，又sin α＝－13，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223， 所以tan α＝sin αcos α＝24.9．已知cos α＝－45，求sin α和tan α.[解析] sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝⎝⎛⎭⎫352，因为cos α＝－45<0，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝34.10．已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．[解析] ∵cos α＝－817＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517，tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. 如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.11．已知sin α＝1213，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.[解析]cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝⎝⎛⎭⎫5132，又α是第二象限角， 所以cos α<0，cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－125.12．若cos α＝23，则tan αsin α＝( )[解析] 由cos α＝23得|sin α|＝53，所以tan αsin α＝sin 2αcos α＝59×32＝56.13．已知sin θ＝1213，且sin θ－cos θ>1，则tan θ等于________．[解析]因为sin θ－cos θ>1，所以cos θ<0，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－513，所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.14．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为________．[解析]因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1.整理得m 2－8m ＝0，解得m ＝0或8.15．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．[解析]∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos 2α＝1， 即10cos 2α＝1，∴cos α＝±1010.又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限． 当角α的终边在第二象限时，cos α＝－1010，sin α＝31010； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝1010，sin α＝－31010. 16．已知α是第三象限角，且sin α＝－13，则3cos α＋4tan α＝[解析]因为α是第三象限角，且sin α＝－13，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223，所以tan α＝sin αcos α＝122＝24， 所以3cos α＋4tan α＝－22＋2＝－ 2.17．若sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，则5sin A ＋815cos A －7＝________.[解析]∵sin A ＝45>0，∴A 为锐角或钝角．当A 为锐角时，cos A ＝1－sin 2A ＝35，∴原式＝6.当A 为钝角时，cos A ＝－1－sin 2A ＝－35，∴原式＝5×45＋815×⎝⎛⎭⎫－35－7＝－34.18．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝[解析]由题意知cos A ＞0，即A 为锐角．将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A ， ∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．∴A ＝π3.19．已知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则tan x ＝ [解析]∵sin x ＋cos x ＝3－12，且x ∈(0，π)，∴1＋2sin x cos x ＝1－32，∴2sin x cos x ＝－32<0，∴x 为钝角，∴sin x －cos x ＝(sin x －cos x )2＝1＋32，结合已知解得sin x ＝32，cos x ＝－12，则tan x ＝sin xcos x ＝－ 3.20．若1＋cos αsin α＝3，则cos α－2sin α等于[解析] 若1＋cos αsin α＝3，则1＋cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝3sin α－1＝45，所以cos α－2sin α＝－25.21．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. [解析]∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－⎝⎛⎭⎫132＝223.题型二 灵活应用同角三角函数关系式求值(齐次式)1．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值．①3sin α－cos α2sin α＋3cos α；②sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α；③sin2α－2sin αcos α＋1;④34sin 2α＋12cos 2α. [解析] 由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.①法一(换元)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89.法二(弦化切)原式＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89.②原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝9－2×3－14－3×32＝－223.③原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310. ④原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940.2．已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. [解析]因为tan αtan α－1＝－1，所以tan α＝12.(1)原式＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)原式＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝14＋1214＋1＋2＝135.3．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是[解析]因为tan α＝－12，所以2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝2tan αtan 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫－12⎝⎛⎭⎫－122－1＝43.4．若2sin α＋cos α3sin α－2cos α＝1，则tan α的值为________．[解析]2sin α＋cos α3sin α－2cos α＝1化为2tan α＋13tan α－2＝1，所以2tan α＋1＝3tan α－2，所以tan α＝3.5．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α＝________．[解析]易知cos α≠0，由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.6．已知sin α＋2cos α5cos α－sin α＝516，则tan α＝____________．[解析]由sin α＋2cos α5cos α－sin α＝516，得tan α＋25－tan α＝516，解之得tan α＝－13.7．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝________．[解析]由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.原式＝3tan α－12tan α＋3＝89.8．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值． [解析]∵tan 2α1＋2tan α＝13，∴3tan 2α－2tan α－1＝0.即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，∴tan α＝－13或tan α＝1.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴tan α<0，∴tan α＝－13，∴sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝516. 9．若tan θ＝－2，求sin θcos θ.[解析]∵sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝sin θcos θcos 2θsin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan θtan 2θ＋1，而tan θ＝－2，∴原式＝－2(－2)2＋1＝－25.10．已知tan α＝2，则4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝________. [解析]4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝55＝1. 11．已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos 2α的值． [解析]由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.12．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝[解析]1＋sin θcos θ＝1＋sin θcos θ1＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1，又tan θ＝2，所以1＋sin θcos θ＝22＋2＋122＋1＝75.13．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________． [解析]因为tan α＋1tan α＝3，所以sin αcos α＋cos αsin α＝3，即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3，所以sin αcos α＝13.14．已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝________.[解析]法一：(构建方程组)因为sin α＋cos α＝713，①，所以sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝49169，即2sin αcos α＝－120169.因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.所以sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1713.②由①②解得sin α＝1213，cos α＝－513，所以tan α＝sin αcos α＝－125.法二：(弦化切)同法一求出sin αcos α＝－60169，sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－60169，tan αtan 2α＋1＝－60169，整理得60tan 2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－512或tan α＝－125.由sin α＋cos α＝713＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－125.15．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为 [解析]tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8.16．已知cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.[解析]由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1，得(5sin α＋2)2＝0， ∴sin α＝－255，cos α＝－55，∴tan α＝2.题型三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用1．已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，求：(1)sin αcos α；(2)sin α－cos α；(3)sin 3α＋cos 3α.[解析] (1)由sin α＋cos α＝15，平方得2sin αcos α＝－2425，∴sin αcos α＝－1225.(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925，∴sin α－cos α＝±75.又由(1)知sin αcos α<0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝75. (3)∵sin 3α＋cos 3α＝(sin α＋cos α)(sin 2α－sin αcos α＋cos 2α)＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)， 由(1)知sin αcos α＝－1225，且sin α＋cos α＝15，∴sin 3α＋cos 3α＝15×⎝⎛⎭⎫1＋1225＝15×3725＝37125.2．已知0<θ<π，且sin θ－cos θ＝15，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．[解析]∵sin θ－cos θ＝15，∴(sin θ－cos θ)2＝125，解得sin θcos θ＝1225.∵0<θ<π，且sin θcos θ＝1225>0，∴sin θ>0，cos θ>0.∴sin θ＋cos θ＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝ 1＋2425＝75. 由⎩⎨⎧sin θ－cos θ＝15，sin θ＋cos θ＝75，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝sin θcos θ＝43.3．已知sin α·cos α＝18，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为[解析] (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，因为π4<α<π2，所以sin α>cos α，所以cos α－sin α＝－32.4．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为[解析]因为A 为△ABC 的内角，且sin A cos A ＝13＞0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A ＞0.又1＋2sin A cos A ＝1＋23，即(sin A ＋cos A )2＝53，所以sin A ＋cos A ＝153.5．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎫0<θ≤π4，则sin θ－cos θ＝ [解析]由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，得2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，由0<θ≤π4，知sin θ－cos θ≤0，所以sin θ－cos θ＝－23.6．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(2)求tan A 的值．[解析] (1)由sin A ＋cos A ＝15两边平方，得1＋2sin A ·cos A ＝125，所以sin A ·cos A ＝－1225<0.因为0<A <π，⎩⎨⎧sin A >0cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(2)因为sin A ·cos A ＝－1225，所以(sin A －cos A )2＝1－2sin A ·cos A ＝1＋2425＝4925.又因为sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝75.又因为sin A ＋cos A ＝15，所以sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝－43.7．已知sin θ＋cos θ＝－105，求： (1)1sin θ＋1cos θ的值；(2)tan θ的值． [解析] (1)因为sin θ＋cos θ＝－105，所以1＋2sin θcos θ＝25，即sin θcos θ＝－310， 所以1sin θ＋1cos θ＝cos θ＋sin θsin θcos θ＝2103.(2)由(1)，得sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝－103，所以tan 2θ＋1tan θ＝－103，即3tan 2θ＋10tan θ＋3＝0，所以tan θ＝－3或tan θ＝－13.8．已知sin θ＋cos θ＝15，且0<θ<π.(1)求tan θ的值；(2)求sin 2 θcos 2 θ－2sin θcos θ的值．[解析] (1)因为sin θ＋cos θ＝15，①，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝125，所以2sin θcos θ＝－2425<0，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ>0，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，所以sin θ－cos θ＝75，②由①②得，sin θ＝45，cos θ＝－35，所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)法一：由(1)知sin θ＝45，cos θ＝－35，所以sin 2θcos 2 θ－2sin θcos θ＝⎝⎛⎭⎫452⎝⎛⎭⎫－352－2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝1633.法二：由(1)得tan θ＝－43，所以原式＝tan 2 θ1－2tan θ＝⎝⎛⎭⎫－4321－2×⎝⎛⎭⎫－43＝1633.9．设α是第三象限角，问是否存在实数m ，使得sin α，cos α是关于x 的方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由．[解析]假设存在实数m 满足条件，由题设得，Δ＝36m 2－32(2m ＋1)≥0，① 因为sin α<0，cos α<0，所以sin α＋cos α＝－34m <0②，sin αcos α＝2m ＋18>0③.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1. 把②③代入上式得⎝⎛⎭⎫－34m 2－2×2m ＋18＝1， 即9m 2－8m －20＝0，解得m 1＝2，m 2＝－109.因为m 1＝2不满足条件①，舍去；因为m 2＝－109不满足条件③，舍去．故满足题意的实数m 不存在．题型四 应用同角三角函数关系式化简1．化简1－sin 23π5的结果是( )A ．cos 3π5B ．sin 3π5C ．－cos 3π5D ．－sin 3π5[解析]因为3π5是第二象限角，所以cos 3π5＜0，所以1－sin 23π5＝cos 23π5＝⎪⎪⎪⎪cos 3π5＝－cos 3π5. 2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )A ．tan α＝－sin αcos α B ．cos α＝－1－sin 2 αC ．sin α＝－1－cos 2 αD ．tan α＝cos αsin α[解析]由商数关系可知A ，D 均不正确．当α为第二象限角时，cos α＜0，s i n α＞0，故B 正确． 3．化简2sin 2α－11－2cos 2α＝________.[解析]原式＝2sin 2α－11－2(1－sin 2α)＝2sin 2α－12sin 2α－1＝1.4．化简⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α[解析]⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α.[答案] A5．化简sin 760°1－cos 2 40°；[解析]sin 760°1－cos 2 40°＝sin （2×360°＋40°）sin 2 40°＝sin 40°|sin 40°|＝sin 40°sin 40°＝1. 6．化简：1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin 2130°；[解析]原式＝sin 2130°－2sin130°cos130°＋cos 2130°sin130°＋cos 2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1.7．若角α的终边在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝________．[解析]因为sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝sin α|sin α|＋|cos α|cos α，又角α的终边落在x ＋y ＝0上，故角α的终边在第二、四象限，当α在第二象限时，原式＝sin αsin α＋－cos αcos α＝0，当α在第四象限时，原式＝sin α－sin α＋cos αcos α＝0.综上所述，原式＝0.8．化简sin 2α－sin 4α，其中α是第二象限角．[解析] 因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin αcos α＜0， 所以sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2αcos 2α＝－sin αcos α. 9．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是 [解析] 原式＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1. 10．化简：sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β.[解析]原式＝sin 2α(1－sin 2β)＋sin 2β＋cos 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β＋cos 2αcos 2β＋sin 2β＝(sin 2α＋cos 2α)cos 2β＋sin 2β＝1. 11．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为 [解析]sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝－35.12．若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于[解析]∵cos 2α＋cos 4α＝cos 2α(1＋cos 2α)＝(1－sin 2α)(1－sin 2α＋1)∵sin α＋sin 2α＝1，∴1－sin 2α＝sin α ∴原式＝sin α·(sin α＋1)＝sin 2α＋sin α＝1. 13．化简1－2sin1cos1的结果为( )A ．sin1－cos1B ．cos1－sin1C ．sin1＋cos1D ．－sin1－cos1[解析]易知sin1>cos1，所以1－2sin1cos1＝(sin1－cos1)2＝sin1－cos1.故选A.14．⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x cos 2x 等于( ) A ．tan xB ．sin xC ．cos xD.1tan x[解析]原式＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x ·cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝1sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x . 15．化简：sin 2αtan α＋cos 2αtan α＋2sin αcos α.[解析]原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＋2sin αcos α＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αcos αsin α＝（sin 2α＋cos 2α）2sin αcos α＝1sin αcos α.16．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为[解析]由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin 2θcos 2θ＝29.因为θ是第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，所以sin θcos θ＝23. 17．已知f (tan x )＝1cos 2x，则f (－3)＝________. [解析]因为f (tan x )＝1cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x cos 2x ＝tan 2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋1，所以f (－3)＝4.18．若π2<α<π，化简cos α1－cos 2α＋sin α1－sin 2α1－cos 2α.[解析]因为π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α，sin α＝1－cos 2α，所以原式＝cos αsin α＋sin α（－cos α）1－cos 2α＝cos αsin α－sin αcos αsin 2α＝cos αsin α－cos αsin α＝0.19．化简11＋tan 220°的结果是________．[解析]11＋tan 220°＝11＋sin 220°cos 220°＝1cos 220°＋sin 220°cos 220°＝11cos 220°＝|cos 20°|＝cos 20°.] 20．化简：1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角)．[解析]∵α是第二象限角，∴cos α<0. 则原式＝1cos 2α·1＋sin2αcos 2α－(1＋sin α)21－sin 2α＝1cos 2α·cos 2αcos 2α＋sin 2α－1＋sin α|cos α|＝－cos αcos 2α＋1＋sin αcos α＝－1＋1＋sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.21．化简sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α.(其中α是第三象限角)[解析]原式＝sin α1－cos α·sin αcos α－sin αsin αcos α＋sin α＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α·(1－cos α)21－cos 2α＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|.又因为α是第三象限角，所以sin α＜0.所以原式＝sin α1－cos α·1－cos α－sin α＝－1.22．1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为( )A ．1B ．－1C ．sin 10°D ．cos 10°[解析] [1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°＝(cos 10°－sin 10°)2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.23．化简tan α1sin 2α－1，其中α是第二象限角． [解析]因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0. 故tan α1sin 2α－1＝tan α1－sin 2αsin 2α＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 24．化简下列各式：(1)sin α1＋sin α－sin α1－sin α；(2)⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)． [解析] (1)原式＝sin α(1－sin α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)＝－2sin 2α1－sin 2α＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1＋cos αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α＝sin α. 25．已知sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，则sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝________.[解析]sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ，又因为sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系得sin θcos θ＝12，则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝±2.26．化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.[解析]解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2αsin 2α3cos 2αsin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23.解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2sin 2αcos 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α)＝1－1＋2cos 2αsin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2αsin 2α]＝2cos 2αsin 2α3cos 2αsin 2α＝23. 解法三：原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 27．化简：(1)sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α；(2)(1－tan θ)cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫1＋1tan θsin 2θ.[解析] (1)原式＝sin α1－cos α·sin αcos α－sin αsin αcos α＋sin α＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α·(1－cos α)21－cos 2α＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|＝sin α|sin α|，当sin α>0时，原式＝1；当sin α<0时，原式＝－1.(2)原式＝cos θ－sin θcos θ·cos 2θ＋sin θ＋cos θsin θ·sin 2θ＝cos 2θ－sin θcos θ＋sin 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1.28．已知α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，且1＋2sin αcos α＋1－2sin αcos αcos α＝4，则sin α－cos α2sin α＋cos α＝________. [解析]∵1＋2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2,1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2，∴1＋2sin αcos α＝|sin α＋cos α|， 1－2sin αcos α＝|sin α－cos α|.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，∴sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0. 由题意，得(sin α＋cos α)＋(sin α－cos α)cos α＝4，∴sin α＝2cos α.∴sin α－cos α2sin α＋cos α＝2cos α－cos α4cos α＋cos α＝15.29．化简： 1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2. [解析]原式＝⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22＝⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α2∈⎝⎛⎭⎫0，π4.所以cos α2－sin α2＞0，sin α2＋cos α2＞0， 所以上式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α2.30．若1＋sin θ·sin 2θ＋cos θ·cos 2θ＝0成立，则角θ不可能是 ( )A ．第二、三、四象限角B ．第一、二、三象限角C ．第一、二、四象限角D ．第一、三、四象限角[解析] 由于1＋sin θ·sin 2θ＋cos θcos 2θ＝0，且1－sin 2θ－cos 2θ＝0，所以sin θ≤0，cos θ≤0，故选C. 31．若β∈[0,2π)，且1－cos 2β＋1－sin 2β＝sin β－cos β，则β的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2B.⎣⎡⎦⎤π2，πC.⎣⎡⎦⎤π，3π2D.⎣⎡⎭⎫3π2，2π [解析]∵1－cos 2β＋1－sin 2β＝|sin β|＋|cos β|＝sin β－cos β，∴sin β≥0且cos β≤0.又∵β∈[0,2π)，∴β∈⎣⎡⎦⎤π2，π.故选B.32．已知sin α＝13，求1－2sin αcos α（2cos 2α－1）（1－tan α）的值．[解析]1－2sin αcos α（2cos 2α－1）（1－tan α）＝（sin α－cos α）2（2cos 2α－sin 2α－cos 2α）（1－tan α）＝（cos α－sin α）2（cos α＋sin α）（cos α－sin α）（1－tan α）＝cos α－sin α（cos α＋sin α）（1－tan α） ＝1－tan α（1＋tan α）（1－tan α）＝11＋tan α，当角α是第一象限角时，cos α＝223，tan α＝sin αcos α＝24，所以原式＝11＋24＝8－227；当角α是第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝sin αcos α＝－24，所以原式＝11－24＝8＋227.33．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及θ的值．[解析] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2，所以sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2)由(1)，知sin θ＋cos θ＝3＋12，将上式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34，由(1)，知m 2＝34，所以m ＝32. (3)由(2)可知原方程为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，所以θ＝π3或π6.题型五 应用同角三角函数关系式证明1．下列等式中恒成立的个数为( )①sin 21＝1－cos 21；②sin 2α＋cos 2α＝sin 23＋cos 23；③sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . A ．1 B ．2 C ．3D ．0[解析]①②③都正确，故选C. 2．求证：sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝1.[解析]sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝sin α1－cos α·cos α·sin αcos α1＋cos α＝sin α1－cos α·sin α1＋cos α＝sin 2α1－cos 2α＝sin 2αsin 2α＝1. 3．求证：1＋tan 2α＝1cos 2α.[解析]1＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α. 4．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α·⎝⎛⎭⎫1＋1tan α＝1sin α＋1cos α. [解析]左边＝sin α⎝⎛⎭⎫1＋sin αcos α＋cos α⎝⎛⎭⎫1＋cos αsin α ＝sin α＋sin 2αcos α＋cos α＋cos 2αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边．即原等式成立．5．求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[解析]法一：(切化弦)左边＝sin 2αsin α－sin αcos α＝sin α1－cos α，右边＝sin α＋sin αcos αsin 2α＝1＋cos αsin α.因为sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，所以sin α1－cos α＝1＋cos αsin α，所以左边＝右边．所以原等式成立．法二：(由右至左)因为右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，所以原等式成立． 6．求证：2sin x cos x －1cos 2x －sin 2x ＝tan x －1tan x ＋1.[解析]证法一：∵左边＝2sin x cos x －(sin 2x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝－(sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝sin x －cos x sin x ＋cos x ＝tan x －1tan x ＋1＝右边．∴原式成立．证法二：∵右边＝sin xcos x－1sin x cos x＋1＝sin x －cos x sin x ＋cos x ；左边＝1－2sin x cos x sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝sin x －cos x sin x ＋cos x .∴左边＝右边，原式成立．7．求证：(1)sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α；(2)2(sin 6 θ＋cos 6 θ)－3(sin 4 θ＋cos 4 θ)＋1＝0.[解析] (1)左边＝(sin α－cos α＋1)(sin α＋cos α＋1)(sin α＋cos α－1)(sin α＋cos α＋1)＝(sin α＋1)2－cos 2 α(sin α＋cos α)2－1＝(sin 2 α＋2sin α＋1)－(1－sin 2 α)sin 2 α＋cos 2 α＋2sin αcos α－1＝2sin 2 α＋2sin α1＋2sin αcos α－1＝2sin α(sin α＋1)2sin αcos α＝1＋sin α cos α＝右边，∴原等式成立．(2)左边＝2[(s i n 2 θ)3＋(cos 2θ)3]－3(sin 4 θ＋cos 4 θ)＋1＝2(sin 2 θ＋cos 2 θ)(sin 4 θ－sin 2 θcos 2 θ＋cos 4 θ)－3(sin 4 θ＋cos 4 θ)＋1＝(2sin 4 θ－2sin 2 θcos 2 θ＋2cos 4 θ)－(3sin 4 θ＋3cos 4 θ)＋1＝－(sin 4 θ＋2sin 2 θcos 2 θ＋cos 4 θ)＋1 ＝－(sin 2 θ＋cos 2 θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边， ∴原等式成立． 8．若3π2<α<2π，求证：1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α＝－2sin α.[解析]∵3π2<α<2π，∴sin α<0.左边＝(1－cos α)2(1＋cos α)(1－cos α)＋(1＋cos α)2(1－cos α)(1＋cos α)＝(1－cos α)2sin 2α＋(1＋cos α)2sin 2α＝|1－cos α||sin α|＋|1＋cos α||sin α|＝－1－cos αsin α－1＋cos αsin α＝－2sin α＝右边．∴原等式成立．9．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan (720°＋2x )1＋tan (360°＋2x ).[解析] 法一：右边＝1－tan 2x1＋tan 2x＝1－sin 2xcos 2x 1＋sin 2x cos 2x＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )＝cos 22x ＋sin 22x －2cos 2x sin 2xcos 22x －sin 22x ＝1－2sin 2x cos 2xcos 22x －sin 22x＝左边．所以原等式成立．法二：左边＝sin 22x ＋cos 22x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x －sin 2xcos 2x ＋sin 2x .右边＝1－tan 2x1＋tan 2x＝1－sin 2x cos 2x 1＋sin 2x cos 2x ＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x .所以原等式成立.10．求证：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝1＋tan αtan α－1.[解析]左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2（sin α－cos α）（sin α＋cos α）＝sin α＋cos αsin α－cos α＝1＋tan αtan α－1＝右边．所以原式成立．11．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1. [解析]因为tan 2α＝2tan 2β＋1，所以tan 2α＋1＝2tan 2β＋2，所以sin 2αcos 2α＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin 2βcos 2β＋1，所以1cos 2α＝2cos 2β，所以1－sin 2β＝2(1－sin 2α)，即sin 2β＝2sin 2α－1.。
同角三角函数的基本关系式课件
行化简。
转换函数形式
通过同角三角函数的关系式，可 以实现三角函数的转换，如正弦 与余弦、正切与余切之间的转换。
证明恒等式
利用同角三角函数的基本关系式， 可以证明各种三角恒等式。
在解决实际问题中的应用
物理问题求解
在物理问题中，经常需要用到三角函数的知识，同角三角函数的 基本关系式是解决这类问题的重要工具。
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换， 利用已知的三角恒等式推 导出同角三角函数的基本 关系式。
几何证明法
利用单位圆的性质和三角 形的相似性质，通过几何 图形和角度关系证明同角 三角函数的基本关系式。
向量证明法
利用向量的数量积和向量 模的性质，通过向量的运 算证明同角三角函数的基 本关系式。
证明过程
证明结果
同角三角函数的基本关系式
sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ，cotθ = cosθ/sinθ等。
证明结果的应用
同角三角函数的基本关系式在解三角形、求三角函数的值、 判断三角函数的单调性等方面有广泛的应用。
பைடு நூலகம்
04
同角三角函数的基本关系式应用
在解三角形中的应用
代数证明过程
通过三角恒等式的变换，将同角 三角函数的基本关系式化简为已 知的三角恒等式或基本的代数恒
等式。
几何证明过程
利用单位圆的性质，将三角函数的 角度转化为单位圆上的弧长，再利 用三角形相似性质推导出同角三角 函数的基本关系式。
向量证明过程
利用向量的数量积和向量模的性质， 将同角三角函数的基本关系式转化 为向量的运算，通过向量的运算证 明。
(完整word版)同角三角函数的基本关系-知识点与题型归纳汇总(良心出品必属精品)
1●高考明方向1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sinαcosα＝tanα. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．★备考知考情同角关系式和诱导公式中的π±α，π2±α是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题，主要是诱导公式在三角式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、2 和差角公式及倍角公式的综合应用，一般不单独命题，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法.一、知识梳理《名师一号》P47知识点一 同角三角函数的基本关系平方关系：;1cos sin 22=+αα商数关系：sin tan cos =ααα注意：《名师一号》P50 问题探究 问题1在利用同角三角函数的基本关系中应注意哪些技巧？利用同角三角函数基本关系式化简求值时， 涉及两个同角基本关系sin 2α＋cos 2α＝1和tanα＝sinαcosα，它们揭示同一角α的各三角函数间的关系，需要在复习中通过解题、理解、掌握．尤其是利用sin2α＋cos2α＝1及变形形式sin2α＝1－cos2α或cos2α＝1－sin2α进行开方运算时，要注意符号判断．知识点二诱导公式记忆口诀:奇变偶不变，符号看象限!注意：《名师一号》P50 问题探究问题2诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有34 关？无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α分别是第一、三、四，二、一、二象限角．二、例题分析：（一) 求值例1．(1)《名师一号》P50 对点自测 4 （09全国卷Ⅰ文）o 585sin 的值为(A) 2-(B)2(C)2-2答案：A例1．(补充)（2）17cos 3⎛⎫-π ⎪⎝⎭的值为5 答案：12例1．(补充)（3）()tan 1665︒-的值为答案：1-注意：(补充)求任意角的三角函数值：负化正→正化主[)0,2π→主化锐例1.(4)《名师一号》P51 高频考点 例2(1)(2014·安徽卷)设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sinx.当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－126解:(1)由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.练习:(补充)（2009重庆卷文）下列关系式中正确的是（ ）A ．000sin11cos10sin168<<B ．000sin168sin11cos10<<C ．000sin11sin168cos10<<D ．000sin168cos10sin11<<7【答案】Csin168sin(18012)sin12,cos10cos(9080)sin80︒︒︒︒︒︒︒︒=-==-=由于正弦函数sin y x =在区间[0,90]︒︒上为递增函数，因此sin11sin12sin80︒︒︒<<，即sin11sin168cos10︒︒︒<<。
同角三角函数的基本关系 高一数学
(2)∵cos α=>0,∴α 是第一象限角或第四象限角.
当 α 是第一象限角时,sin α=
-
=
-
= ,
∴tan α= = ;
当 α 是第四象限角时,sin α=
∴tan α=-.
- =-
-
=-,
(2)证明:∵右边=
=
-
+
=左边,
-
∴原等式成立.
=
=
- +
+
||
||
+
-
=
(+)
(-)(+)
探究三 同角三角函数的基本关系的综合应用
关系?
提示:∵tan α= (x≠0),sin α= ,cos α= ,
∴tan α= ≠ + ,∈ .
3.(1)同角三角函数的基本关系
①平方关系:sin2α+cos2α= 1 .
②商数关系:tan α=
≠ + ,∈ .
对于任意角α,有sin2α+cos2α=1,下面用三角函数的定义证明:
设角α的终边与单位圆☉O的交点为P(x,y),
则由三角函数的定义,得sin α=y,cos α=x.
故sin2α+cos2α=x2+y2=|OP|2=1.
2.由三角函数的定义,tan α与sin α,cos α之间具有怎样的等量
= =左边,∴原等式成立.
反思感悟
1.三角函数式的化简技巧:(1)化切为弦,即把正切函数化为正
同角三角函数的基本关系推导
同角三角函数的基本关系推导
同角三角函数是指在同一角度下的三角函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。
它们之间存在一些基本的关系，在数学中具有重要的应用。
以正弦函数和余弦函数为例，它们之间的基本关系是：
sinθ + cosθ = 1
这个关系可以通过勾股定理和单位圆的概念得到。
我们可以将一个角度θ对应的单位圆上的点记作(P, Q)，其中P表示点在x轴上的坐标，Q表示点在y轴上的坐标。
此时，正弦函数和余弦函数可以分别表示为：
sinθ = Q
cosθ = P
根据勾股定理可以得到：
P + Q = 1
将正弦函数和余弦函数代入上式，得到：
sinθ + cosθ = Q + P = 1
这就是同角三角函数之间的基本关系。
同样的方法也可以推导出其他的基本关系。
在实际应用中，同角三角函数的基本关系可以用于求解各种三角函数的值，简化计算过程，提高计算精度。
同时，它们也是学习高等数学、物理等学科的基础。
- 1 -。
高一数学同角三角函数的基本关系式及诱导公式
同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、基本知识：（1） 同角三角函数的基本关系式： 平方关系： 商式关系： 倒数关系：（2）诱导公式：A 函数名称不变，符号看象限。
（公式一） （公式二）（公式三） （公式四）（公式五）B 函数名称要改变，符号看象限。
（公式六） （公式七）（公式八） （公式九）方法总结：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：用公式二或一 用公式一用公式三、四、五（或六、七、八、九）三、例题分析：例1、求值：求下列角度的三角函数值。
1. sin(－330°)=_______，2、cos4080°=_______．3、cos(210)-︒4、27tan4π5、cot(1470)-︒例1化简sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)cos(π-α)tan(3π-α)．例2、设的值为（）例3、计算=____________.（1）tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°例2例5、已知函数f(x)=asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(1997)=－1，则f(1998)=例4、已知A、B、C为△ABC的三个内角，求证：（1）cos（2A＋B＋C）=－cosA；（2）例2 若sinθcosθ= 18，θ∈(π4，π2)，求cosθ－sinθ的值．变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值．变式2 已知cos θ－sin θ= － 32， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．例3 已知tan θ=3．求（1）ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）cos 2θ+sin θcos θ的值．例4、证明：1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α =1+ tan α1－tan α例5、（1）化简：2cos2sin212cos2sin21αααα++-，⎪⎭⎫⎝⎛<<20πα （2）已知α是第三象限角，求ααααcos 1cos 1cos 1cos 1-+++-的值。
同角三角函数的基本关系式运用同角三角函数的基本关系式求值
同角三角函数的基本关系式
•同角三角函数的关系式：
（1）；
（2）商数关系：；
（3）平方关系：。
•同角三角函数的基本关系的应用：
已知一个角的一种三角函数值，根据角的终边的位置利用同角三角函数的基本关系，可以求出这个角的其他三角函数值．
同角三角函数的基本关系的理解：
(1)在公式中，要求是同一个角，如不一定成立．
(2)上面的关系式都是对使它的两边具有意义的那些角而言的，如：基本三角关系式。
对一切α∈R成立；
Z)时成立．
(3)同角三角函数的基本关系的应用极为为广泛，它们还有如下等价形式：
(4)在应用平方关系时，常用到平方根、算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”
的选取．间的基本变形三者通过
，可知一求二，有关
等化简都与此基本变形有广泛的联系，要熟练掌握。
18.必修四数学同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系知识点一、同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.二、sin α±cos α与sin αcos α的关系(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.常考题型归纳类型一 同角三角函数的基本关系式的简单应用已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，要注意角的终边所在象限，恰当选定根号前面的正负号，而在使用sin αcos α＝tan α.时，没有选定正负号的问题。
例1.已知cos α＝－35，求sin α及tan α的值．变式练习1、已知 ，求 的值。
2、已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值．类型二 三角恒等式的证明证明三角恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程。
证明方法通常有： （1）由等式的一边证得它的另一边； （2）综合法：其依据是等价转化思想； （3）证明左右两边都等于同一个式子； （4）比较法：证明左边-右边=0，或左边/右边=1. 例2.证明：变式练习1、求证：(1)1＋tan2α＝1cos2α；(2)2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.(3)sinα1－cosα＝1＋cosαsinα.类型三三角函数式的化简(1)化简三角函数式的一般要求：①函数种类最少；②项数最少；③函数次数最低；④能求值的求出值；⑤尽量使分母不含三角函数；⑥尽量使分母不含根式．例3.已知sinαcosα<0，sinαtanα<0,化简变式练习1、化简tanα1sin2α－1，其中α是第二象限角．2、化简：.3、化简：类似四关于sinα，cosα的分式、齐次式的求值在已知tanα=m的条件下，求关于sinα，cosα的齐次式问题，需要注意以下两点：（1）一定是关于sinα，cosα的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式；（2）因为cosα≠0，所以可用cos n α(n ∈N+)除之，这样可以转为关于tan α的表达式，代入tan α=m ，从而使问题获解。
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秋风清，秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。
同角三角函数的基本关系式·典型例题分析1．已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值．
解∵sinα＜0
∴角α在第三或第四象限(不可能在y轴的负半轴上)
(2)若α在第四象限，则
说明在解决此类问题时，要注意：
(1)尽可能地确定α所在的象限，以便确定三角函数值的符号．
(2)尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只要使用一次)．
(3)必要时进行讨论．
例2 已知sinα=m(|m|≤1)，求tgα的值．
(2)当m=±1时，α的终边在y轴上，tgα无意义．
(3)当α在Ⅰ、Ⅳ象限时，∵cosα＞0．
当α在第Ⅱ、Ⅲ象限时，∵cosα＜0，
说明 (1)在对角的范围进行讨论时，不可遗漏终边在坐标轴上的情况．
(2)本题在进行讨论时，为什么以cosα的符号作为分类的标准，而不按sin α的符号(即m的符号)来分类讨论呢？你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗？
2．三角函数式的化简
三角函数式的化简的结果应满足下述要求：
(1)函数种类尽可能地少．
(2)次数尽可能地低．
(3)项数尽可能地少．
(4)尽可能地不含分母．
(5)尽可能地将根号中的因式移到根号外面来．
化简的总思路是：尽可能地化为同类函数再化简．
例3 化简sin2α·tgα+cos2α·ctgα+2sinαcosα
=secα·cscα
解2 原式=(sin2α·tgα+sinα·cosα)+(cos2α·ctgα+sinαcosα)
=tgα·(sin2α+cos2α)+ctgα(sin2α+cos2α)
=tgα+ctgα
=secα·cscα
说明 (1)在解1中，将正切、余切化为正弦、余弦再化简，仍然是循着减少函数种类的思路进行的．
(2)解2中的逆用公式将sinα·cosα用tgα表示，较为灵活，解1与解2相比，思路更自然，因而更实用．
例4 化简：
分析将被开方式配成完全平方式，脱去根号，进行化简．
3．三角恒等式的证明
证明三角恒等式的过程，实际上是化异为同的过程，即化去形式上的异，而呈现实质上的同，这个过程，往往是从化简开始的——这就是说，在证明三角恒等式时，我们可以从最复杂处开始．
例5 求证 cosα(2secα+tgα)(secα-2tgα)=2cosα-3tgα．
分析从复杂的左边开始证得右边．
=2cosα-3tgα=右边
例6 证明恒等式
(1)1+3sin2αsec4α+tg6α=sec6α
(2)(sinA+ secA)3+(cosA+cscA)2=(1+secAcscA)2
分析 (1)的左、右两边均较复杂，所以可以从左、右两边同时化简
证明 (1)右边-左边=sec6α-tg6α-3sin2αsec4α-1
=(sec2α-tg2α)(sec4α+sec2α·tg2α+tg2α)-3sin2αsec4α-1
=(sec4α-2sec2αtg2α+tg2α)-1
=(sec2α-tg2α)2-1=0
∴等式成立．
=sin2A+cos2A=1故原式成立
在解题时，要全面地理解“繁”与“简”的关系．实际上，将不同的角化为同角，以减少角的数目，将不同的函数名称，化为同名函数，以减少函数的种类，都是化繁为简，以上两点在三角变换中有着广泛的应用．
分析1 从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，以减少函数的种类．
分析2 由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)2，进而可以约分，达到化简的目的．
说明 (1)当题目中涉及多种名称的函数时，常常将切、割化为弦(如解法1)，或将弦化为切(如解法2)以减少函数的种类．
(2)要熟悉公式的各种变形，以便迅速地找到解题的突破口，请看下列．
=secα+tgα
∴等式成立
说明以上证明中采用了“1的代换”的技巧，即将1用sec2α-tg2α代换，可是解题者怎么会想到这种代换的呢？很可能，解题者在采用这种代换时，已经预见到代换后，分子可以因式分解，可以约分，而所有这一切都是建立在熟悉公式的各种变形的基础上的，当然，对不熟练的解题者而言，还有如下的“一般证法”——即证明“左边-右边=0”
∴左边=右边。