用波利亚的解题法规范学生的数学解题思维
如何运用波利亚解题思想培养学生数学解题能力
教育新探如何运用波利亚解题思想培养学生数学解题能力■戚雪敏在数学学习过程中，许多学生解题时常会出现凭主观想象导致思考偏差，考虑不周造成思路受阻等问题。
那么，怎样才能有一个好的解题思路呢?为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，美籍匈牙利数学家乔治·波利亚专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成了《怎样解题》一书，其核心是一张怎样解题表，把解题的全过程分成了“弄清问题”“拟定计划”“实现计划”“回顾”四个步骤，把寻找并发现解法的思维过程分解为5条建议和23个具有启发性的问题。
它们好比寻找和发现解法的思维过程的慢动作镜头，使我们对整个思维过程看得见、摸得着，将思路打开，达到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的结果。
以下是笔者对于波利亚解题思想的一些认识及看法。
笔者认为，波利亚的解题表不仅在于告诉我们如何解决具体的数学问题，其中蕴含的丰富的数学思维与思想方法也值得我们特别关注，并由此注意将其融入日常的数学教学之中。
一、化归与转化思想通过适当的转化过程，把待解决的问题归结为一类已经解决或能够轻易解决的问题，从而求得解答，这就是化归。
在波利亚的《怎样解题》一书中有这样的一段描述:“你能重新叙述这道题目吗?你能否想到一道更容易着手的相关题目?一道更为普遍化的题目呢?一道更为特殊化的题目呢?一道类似的题目呢?”这些提问引导我们使用各种方法去变更题目，把原有题目转化为新题目，而化归后的新题目将展现出运用知识的新的可能性。
反之，若不进行这种转化，我们可能根本无从下手，就只能望题兴叹了。
二、类比与猜想的思想类比是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似而推出其他属性也相同或相似的思想方法，它是一种从特殊到特殊的方法。
猜想是对研究的对象或问题，经过观察、实验、比较、类比、归纳、联想等一系列思维活动，依据已有事实和知识做出的推测和判断。
“你以前见过它吗?或者见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现吗?”通过观察，把原题与以前类似的题目进行类比，进而猜想出原题的可能的解题方案。
波利亚：怎样解题，数学思维的新方法
波利亚：怎样解题，数学思维的新方法怎样解题第一：你必须理解题目未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件有可能满足吗？条件是否以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？画一张图，引入适当的符号将条件的不同部分分开，你能把它写出来吗？第二：找出已知数据与未知量之间的联系如果找不到直接的联系，你也许不得不去考虑辅助题目最终你应该得到一个解题方案拟定方案你以前见过它吗？或者你见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现吗？你知道一道与它有关的题目吗？你知道一条可能有用的定理吗？观察未知量！并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目。
这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过，你能利用它吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了有可能应用它，你有否应该引入某个辅助元素？你能重新叙述这道题吗？你还能以不同的方式叙述它吗？回到定义上去如果你不能解所提的题目，先尝试去某道题有关的题目，你能否想到一道更容易着手的相关题目？一道更为普遍化的题目？一道更为特殊化的题目？一道类似的题目？你能解出这道题目的一部分吗？只保留条件的一部分，而丢掉其他部分，那么未知量可以确定到什么程度，它能怎样变化？你能从已知数据中得出一些有用的东西吗？你能想到其他合适的已知数据来确定该未知量吗？你能改变未知量或已知数据，或者有必要的话，把两者都改变，从而使新的未知量和新的已知数据彼此更接近吗？你用到所有的已知数据了吗？你用到全部的条件了吗？你把题目中所有关键的概念都考虑到了吗？第三：执行你的方案执行你的解题方案，检查每一个步骤，你能清楚地看出这个步骤是正确的吗？你能否证明它是正确的？第四：检查已经得到的解答回顾你能检查这个结果吗?你能检验这个论证吗？你能以不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出它来吗？你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？。
浅析基于波利亚解题思想的高中数学解题教学
研究浅析基于波利亚解题思想的高中数学解题教学夏国海柳瑛摘要：重视解题教学是中国数学教育的特色之一，但由于应试教育和功利性的竞赛导致如今的解题教学产生了教学枯燥无味、大搞“题海战术”等现象的存在。
而波利亚解题思想在世界上的影响极其深远，它所蕴含的丰富的数学思想对于学生的数学学习有着巨大的积极作用。
因此，如何在波利亚解题思想的基础上改进一线数学教师的解题教学，这是值得深思的问题。
关键词：波利亚；解题思想；高中数学；解题教学一、波利亚解题思想与解题教学（一）波利亚解题思想波利亚（George Polya，1887-1985），世界上著名的数学家和数学教育家，在数学领域内有着颇为精深的造诣。
他的解题思想主要体现在其代表作《怎样解题》一书中，该书主要内容基本上是围绕“怎样解题”表而展开，“怎样解题”表把解题分为了“了解问题”“拟定计划”“实行计划”和“回顾”四个步骤。
这是按照正常人解决问题时思维的自然过程而划分的，其中最关键和最核心的环节是“拟定计划”。
“怎样解题”表不仅说明应该如何去解决具体的数学问题，而且其中蕴含了丰富的数学思维与思想方法，包括化归与转化的思想、归纳与类比的思想、一般与特殊的思想等等。
化归是数学中最常用的方法之一，即通过适当的转化过程，把需要解决的问题归为一类以及已经解决或能够轻松解决的问题，进而解决原始问题。
关于归纳与类比、一般与特殊两种思想方法，波利亚在《数学与猜想》第一卷中都进行了详细的阐述。
其中类比是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似而推出其他属性相同或相似的思想方法，它是一种从特殊到特殊或一般到一般的思想方法；而归纳则是从特殊到一般，它是从具体的、特殊的事物中去探索其存在的规律，然后得出这类事物存在的普遍规律。
因此，归纳与类比、一般与特殊两种思想方法往往是同时运用的。
（二）解题教学解题，在数学领域里的解释就是求出数学题的答案，这个答案也可以称之为“解”。
解题教学的基本含义就是通过典型数学题的数学，去探究数学问题解决的基本规律，学会像数学家那样“数学地思维”。
利用波利亚解题思想提高数学教学有效性研究-2019年教育文档
利用波利亚解题思想提高数学教学有效性研究一、前言对于学校数学，问题和问题的解决是数学活动的核心。
波利亚认为，“加强解题训练是中学数学的首要任务”。
而解题教学不能单单凭借教师的经验总结，必须有解题理论的指导。
关于解题理论的研究，当首推波利亚的数学启发法。
人们公认，波利亚解题思想是解决问题的一面旗帜，我国数学家徐利治教授在上世纪80年代初，就大力倡导要按照波利亚数学思想改革中学数学教材和教学方法。
波利亚解题思想主要体现在“怎样解题”表和“合情推理”之中。
本文是在波利亚解题思想理论的指导下进行实践、认识、再实践、再认识后的理论认识，同时也尝试探索提高数学解题教学有效性的具体方法。
二、引入波利亚解题思想的重要性不管大纲怎么改、教材怎么变，“题海战术”总是涛声依旧。
新教材未进校门，应试资料已缤纷上市，生意火红。
“题海”难以避免，所以，我们要研究“题海”中游泳的策略。
波利亚的解题思想被人们公认为“指导学生在题海中游泳”的“行动纲领”。
笔者认为，指导学生在题海中畅游，必须在平时的解题教学中落实波利亚解题思想，唯此，解题教学有效性才可落到实处。
波利亚（George Polya，1887-1985）是美籍匈牙利杰出的数学家和伟大的数学教育家。
波利亚一生的数学教育论著共约三百部，复兴了“探索法”，开创了数学问题求解和合情推理的新时代。
波利亚的论著已影响了全世界数以百万计的数学教育工作者，波利亚的解题思想集中反映在他的《怎样解题》《数学与合情推理》及《数学的发现》等著作里。
其中影响最大的是《怎样解题》，至今已被译成约二十种文字，发行数百万册。
另外，波利亚在《数学与猜想》中还给出了其他一些启发性的方法或模式，主要有合情推理模式，包括归纳、类比、溯因推理，一般化、特殊化方法等。
数学既是一门系统的演绎科学，又是一门实验性的归纳科学，特别是创造过程中的数学更像是归纳科学。
波利亚指出，通过研究解题方法，我们可以看到发现过程中的数学。
用波利亚思想教学生解题案例及反思
45。得到的. 师:以前做过类似的题吗？ 生:似乎没有. 师:对于要求的" 0 ) * 的面积，你会什么？ 生 ：已知三角形的三个顶点的坐标时，会求三角形
的面积！现在不知道点）、* 的坐标. 师 :好 ，前进了一步！现在问题转化为求点）、* 的坐
著 名 数 学 教 育 家 波 利 亚 在 《怎 样 解 题 》一 书 中 指 出 ： “一 个 好 的 教 师 应 该 懂 得 并 且 传 授 给 学 生 下 述 看 法 :没 有 任 何 问 题 是 可 以 解 决 得 十 全 十 美 的 ，总 剩 下 些 工 作 要 做 .经 过 充 分 的 探 讨 与 钻 研 ，我 们 能 够 改 进 这 个 解 答 ，而 且 在 任 何 情 况 下 ，我 们 总 能 提 高 自 己 对 这 个 解 答 的 理 解
2. 罗增儒.数学解题学引论[M].西安 ：陕西师范大学 出版社，1997.
3. 刘 春 书 . 寻 思 维 起 点 揭 问 题 本 质 — 对一道中 考题变式分析及探索[J ].中学数学（下），2017(4).
初中 版 十 •？农 *? 9 3
1 解法探究
2017年 9 月
2 ! T )的直线与曲线湘交于点" 、# ，其中曲线!是由函
一 、教 学 实 录 师:题目需要求什么问题？ 生:题目要求$ 0 * + 的面积. 师:题目已知什么条件？你能复述吗？ 生 ：题 目 已 知 过 点 '（- 4 % 1 ，4 " 1 ) 、）（2 " 2 ,
解题的前提是观察和分析题目，关键是联想和类比，而基 本的数学结构形式是联想和类比的基础.在解决本文问 题 时 构 造 的 基 本 几 何 图 形 有 圆 、直 角 三 角 形 、相似三角 形.初中数学中常用的构造方法有:构造方程，构造恒等 式 ，构造函数，构造几何图形，构造对偶式，构造不等式， 构 造 数 学 模 型 等 .构 造 法 是 一 种 灵 活 的 、创 造 性 的 解 题 方 法 ，它没有固定的程序和模式，构造法解题贵在创新， 这非常有利于培养学生的创新意识和创新精神，值得我 们重视.
波利亚四步解题法
波利亚四步解题法
波利亚的《怎样解题：数学思维的新方法》（How to Solve it:A New Aspect of Mathematical Method)
1、彻底理解问题：为了确保真正理解问题，你最好把问题用自已的话换成各种形
式反复重新表达，但另忘了指出问题的主干：要求解的是什么？已知什么？要满足哪些条件？但凡能画图，一定要画出来。
2、形成解题思路：要专注，用过往经验，已撑握的知识，并调整适用性来形成思路。
如果不行，就改变这个问题的各个组件：已知、未知、条件，先构造简单一点的，引入辅助，条件是否用足，甚至改变求解的未知数，看能否找到解题线索？直到找到与之相似而你又解决过的问题。
3、执行：一要有耐心，二需要及时的检查每一步，可凭直觉或证明（两个都有用，但是两回事），要问自已每一步都检查了吗？能看出来这一步是对的吗？能证明这一步是对的吗？
4、总结：巩固与提升的关键，多想想，再论证，尝试另外的解法，找更明快简捷
的方法，还要问，这次的解法还能用在什么地方？总结是最好的启法时刻。
达利奥的五步成功路径：
1、设定目标：设定目标就是设定你真正想达到的，不要去想能不能完成
2、发现通向目标的障碍：这要用身外之我，“元我”思维有助于以客观、抽离的方
式来“旁观”因难，以不受制于“我”在困难面前的纠结困扰。
3、诊断问题所在并制定计划：诊断问题就是诊断问题，不要去想如何解决。
以终
为始，要把可能遇到的问题及应对想透，对怎么走到现在、如何走下一步，相象出其展开全景，好像写越狱的电影剧本。
4、列出解决问题的任务清单：分解目标，可执行，越细越好。
5、坚决执行任务，但不忘初心，不忘目标。
然后这五步反复迭代。
波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用
波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用《普通高中课程标准（2017版）》中的课程目标提到在高中阶段要通过高中数学课程的学习，提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。
因此，高中数学教学十分重视学生解题能力的培养。
但传统的解题教学往往是模仿典型例题做变式训练，在这样的解题教学方式下，学生能通过大量地做题提高解题能力，却缺乏一个解题思维的培养过程。
著名的数学教育家波利亚在他所著的《怎样解题》中，针对人们解题思维的过程提出解题的四个步骤是：弄清问题→拟定计划→实施计划→回顾。
解题能力的培养并非让学生打“题海战术”，而是通过解题思维的培养以达到解题能力提高的目的。
本文以一道高考立体几何题为例，谈谈如何利用波利亚的解题思想培养学生的解题能力。
“学贵有疑”，回顾上述例题运用“怎样解题表”进行解题的过程，可见引导学生提出问题进行分析，探究解决问题的方法，有助于培养学生良好的思维习惯。
解题的第一步必须先弄清题目，“怎样解题表”通过分析题目的已知条件，将已知条件拆分并从中挖掘出其隐含的信息。
实际上，无论这些隐含信息是否在解题中用得上，这一过程对于学生分析问题的能力都是有很大帮助的。
第二步，在弄清问题的基础上，努力利用这些已知的信息与未知之间建立联系，若找不出直接的联系，就对原问题做出必要的变更或修改后，引进相应的辅助问题，从而拟定解决问题的计划。
在进行了第一、二步后，第三步的实施计划就显得较为简单了，根据拟定好的解题计划写出解题过程即可。
最后回顾题目，对解题过程进行反思、总结，教师应注意启发学生开阔思路，发散思维，学会多角度分析和多种解法。
波利亚认为，中学数学教育的根本目的是“教会年轻人思考”。
故在解题教学中，教师应从“扶”到“放”，循序渐进引导学生自主探究，使学生的思维受到良好的训练。
波利亚解题模型在高中数学解题教学中的运用分析
波利亚解题模型在高中数学解题教学中的运用分析作者：钟焕斌来源：《课程教育研究·中》2016年第06期【摘要】教师引导学生运用波利亚解题模型解决数学问题，能够有效提升学生的解题效率。
本文简要介绍了波利亚解题模型的相关内容，同时从递归模式、叠加模式两种模式介绍了如何在高中数学解题过程中运用波利亚解题模型，以期提升学生数学水平。
【关键词】波利亚解题模型高中数学实际运用【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）06-0128-01一、波利亚解题模型简要介绍波利亚解题思想包含丰富的内容，其认为数学题目的解答大致可分为四个步骤：第一步，了解问题。
学生在解决数学题目之前，需先将题目转化为数学语言，明确题目当中给定的已知条件以及未知条件，同时明确问题内容，即自己求解或是证明的目标。
同时根据自身对题目的认知联想相关知识点，并确定有可能需要使用的知识点，从而确定解决方式。
第二步，制定计划，部分学生完成第一步之后，便急忙应用知识进行解答，但往往由于解题思路存在问题，或是知识点运用错误导致解题失败。
为此，学生在解题之前，需先制定一定计划，确定各个条件之间存在的联系，如已知量同未知量之间存在的关系，之后寻找相似的解题模型以及解题方式，将未知题目转换为曾经解答过的已知题目，降低题目难度。
第三步，实施计划，学生在确定解题思路以及解题方式之后，便按照解题计划，运用所学知识以及技能解决问题。
第四步，检查。
部分学生在解题完成之后，便急于解决其他题目。
但部分题目由于学生的粗心，往往结果并不正确，如学生在计算过程中出现错误，导致数值与标准答案有偏差。
二、波利亚解题模型在高中数学解题过程中的实际运用（一）递归模式学生在求解数列多项和当中往往需要应用该模式进行求解。
数列多项和求解是高中数学中的重点题目，也是高考当中的常见题目，针对该类型性题目，建议学生使用波利亚解题模型中的递归模式进行解答。
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用波利亚的解题法规范学生的数学解题思维[摘要] 有的学生解答数学题时,比其他人要花费更多的时间。
其中,很大的一部分原因就是数学解题方法存在问题。
本文通过乔治波利亚名著《怎样解题》的四部曲,谈谈如何规范学生的数学解题思维,养成良好的解题习惯。
[关键词] 波利亚数学问题解题法解题思维
乔治波利亚(george polya,1887—1985) 出生于匈牙利布达佩斯,是著名的美国数学家、数学教育家、数学方法论大师。
他和hans freudenthal是20世纪下半叶世界公认的二位数学教育权威。
作为一名数学家,波利亚在众多的数学分支领域都颇有建树,并留下了
以他的名字命名的术语和定理;作为一名数学教育家,波利亚有丰
富的数学教育思想和精湛的教学艺术;作为一名数学方法论大师,
波利亚开辟了数学启发法研究的新领域,为数学方法沦研究的现代复兴奠定了必要的理论基础。
他的名著《怎样解题》中提到的解题过程,我觉得用来规范学生的数学解题思维很有成效。
乔治波利亚数十年如一日对解题方法进行研究,凝聚成一张“解题表”。
这“解题表”将解题过程分为四个阶段,即弄清问题、拟定计划、实行计划、回顾。
我在教学实践中,发现学生若能按照这样的四步解题程序来对数学进行解答,收获颇丰。
笔者就结合教学时碰到的实例,来谈一谈这四步解题程序。
一、弄清问题
一个问题摆在面前,它的未知数是什么,已知数又是什么?条件
是什么,结论又是什么?给出条件是否能直接确定未知数?若直接条件不够充分,那隐性的条件有哪些?所给的条件会不会是多余的?或者是矛盾的呢?弄清这些情况后,往往还要画画草图、引入适当的符号加以分析为佳。
有的学生没能把问题的内涵理解透,凭印象解答,冒然下手,结果可想而知。
好几个学生对结果有四种可能惊诧不已,其实,若能按照乔治波利亚《怎样解题》中说画画草图进而弄清问题,就能很快找出四种的可能答案。
这不禁也让我想起我国著名数学家华罗庚教授描写“数形结合”的一首诗:数形本是相倚依,焉能分做两边飞。
数缺形时少直觉,形缺数时难入微。
数形结合百般好,隔裂分家万事休。
几何代数统一体,永远联系莫分离。
二、拟订计划
大多问题往往不能一下子就可以迎刃而解,这时你就要找间接的联系,不得不考虑辅助条件,如添加必要的辅助线,找出已知量和未知量之间的关系,此时你应该拟定个求解的计划。
有的学生认为,解数学题要拟定什么计划,会做就会做,不会做就不会做。
其实不然,对于解题,第一步问题弄清后,要着手解决前,你会考虑很多,脑袋瓜会闪出很多问题,比如,以前见过它吗?是否遇到过相同的或形式稍有不同的此类问题?我该用什么方法来解答为好呢?哪些定理公式我可以用呢,等等诸如此类的问题。
在自问自答的过程中,就是自我拟定计划的过程,若学生经常这
样思维,并加以归纳,对于数学问题往往就能较快找到解决该问题的最佳途径。
例如,平面解析几何中在讲对称时,我常举以下几个例子加以练习:
第一小题是点与点之间对称的问题;第二小题和第三小题是个相互的问题,一题是直线关于点对称最终求直线的问题,另一题是点关于直线对称最终求点的问题;第四小题是直线关于直线对称的问题,这问题要考虑两直线是平行还是相交的情况.
通过以上四小题的分析归纳,学生再碰到此类对称的问题就能得心应手了,能以最快的时间内拟出解决方案,即拟定好计划,少走弯路.另外对点、直线和圆的位置关系的判断也可以进行同样的探讨,做到举一反三。
在拟定计划中,有时不能马上解决所提出的问题,此时可以换个角度考量。
譬如,(1)能不能加入辅助元素后可以重新叙述该问题,或能不能用另外一种方法来重新描述该问题;(2)对于该问题,我能不能先解决一个与此有关的问题,或能不能先解决和该问题类似的问题,然后利用预先解决的问题去拟定解决该问题的计划;(3)能不能进一步探讨,保持条件的一部分舍去其余部分,这样的话对于未知数的确定会有怎么样的变化,或者能不能从已知数据导出某些有用的东西,进而改变未知数或数据(或者二者都改变),这样能不能使未知量和新数据更加接近,进而解答问题;(4)是否已经利用了所有的已知数据,是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念,原先
自己凭印象给出的定义是否准确.碰到问题一时无法解决,采用上述的不同角度进行思考,应该很快就可以找到解决问题的瓶颈了。
三、实行计划
实施解题所拟定的计划,并认真检验每一个步骤和过程,必须证明或保证每一步的准确性.出现谬论或前后相互矛盾的情况,往往就在实行计划中没能证明每一步都是按正确的方向来走。
例如,有这样的一个诡辩题,题目大意如下:龟和兔,大家都知道肯定是兔子跑的快,但如果让乌龟提前出发10米,这时乌龟和兔子一起开跑,那样的话兔子永远都追不上乌龟.从常识上看这结论肯定错误,但从逻辑上分析:当兔子赶上乌龟提前出发的这10米的时候,是需要一段时间的,假设是10秒,那在这10秒里,乌龟又往前跑了一小段距离,假设为1米,当兔子再追上这1米,乌龟又往前移动了一小段距离,如此这样下去,不管兔子跑的有多快,但只能无限接近乌龟而不能超过。
这个问题问倒了很多人(当然包括学生),问题出在哪呢?问题就出在假设上,假设出现了问题,就是实行计划的第一步出现错误,你能说结论会正确吗?
这样诡辩题在数学上很多,有的一开始就是错的,如同上面的例子;有的在解题过程中出现错误;有的采用循环论证,用错误的结论当做定理去证明新的问题;还有的偷换概念。
例如,学生们之间经常讨论的一个例子:有3个人去投宿,一个晚上30元,三个人每人掏了10元凑够30元交给了老板,后来老板说今天优惠只要25元就够了,于是老板拿出5元让服务生退还给他们,而服务生偷偷藏起了2元,
然后把剩下的3元钱分给了那三个人,每人分到1元。
现在来算算,一开始每人掏了10元,现在又退回1元,也就是10-1=9,每人只花了9元钱,3个人每人9元,3 ×9 = 27元 +服务生藏起的2元=29元,还有一元钱哪去了?这问题就是偷换概念,不同类的钱数目硬性加在一起。
所以,在实行计划中,检验是非常关键的。
四、回顾
最后一步是回顾,就是最终的检测和反思了。
结果进行检测,判断是否正确;这道题还有没有其他的解法;现在能不能较快看出问题的实质所在;能不能把这个结论或方法当做工具用于其它的问题的解答,等等。
⑴在乔治波利亚解题法第一步弄清问题中,所举的那个例题,结论要是考虑不周全,不进行认真检验,就会漏了方程x=2这个解,那样的话,从完整度来说就前功尽弃了。
⑵一题多解,举一反三,这在数学解题中经常出现。
⑶通过问题的解答过程以及最终结论检验,在今后遇到同样或类似问题时,能不能直接找到问题实质所在或答案,或许这就是看你的“数感”(即对数学的感知感觉)如何了。
例如,空间四边形四边中点依次连接构成平行四边形,有了这感觉,回忆起以前学的正方形、长方形、菱形、梯形或任意四边形的四边中点依次连接所成的图形,就不难得出答案了。
⑷数学是一门工具学,某个问题解决了,要是所获得的经验或结
论可以作为其它问题解决的奠基石,那么解决这个数学问题的目的就达到了。
古人在经过长期的生产生活中,给我们留下了不少经验和方法,体现在数学上就是定理或公式了,为我们的继续研究创造了不少的先决条件,不管在时间上还是空间上,都是如此。
我们要让学生认识到,教课书中的知识包涵了多少前辈人的心血,要好好珍惜。
参考文献:
[1][美]g波利亚.怎样解题.上海科技教育出版社,2007.
[2]乔家瑞.数学基础版教参.语文出版社,2002.。