人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题四(含答案) (75)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题四（含答案)如图所示，在ABC ∆中，,,AB AC AB AC D =⊥为AC 边中点，AE BD ⊥于E ，CF BD ⊥的延长线于F ，求证：12CF BE =．【答案】详见解析【解析】【分析】 过点C 作CG ⊥AE 的延长线于G ，则CF EG =，证ADE CDF ∆∆≌，得AE CF =，则12CF AG =，再证ABE CAG ∆∆≌，得BE AG =即可得12CF BE = . 【详解】 证明：过点C 作CG ⊥AE 的延长线于G ，∵AE ⊥BD ，CG ⊥AE ，CF ⊥BD ，∴BD ∥CG ，AG ∥CF ，∠F=∠AED=90°，∴CF EG =，C CF G = ，在△ADE 和△CDF 中，AED=F AD=CD ADE=CDF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴ADE CDF ∆∆≌，∴AE=CF ，∴12CF AG = ，AE=CG ， 在Rt △ABE 和Rt △ACG 中，AB=AC AE=CG ⎧⎨⎩∴ABE CAG ∆∆≌，∴BE=AG ， ∴12CF BE =． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．42．已知：在ABC ∆中，,AD CE 分别是ABC ∆的角平分线，BG AD ⊥于,G BH CE ⊥于H ，连结GH ，求证：GH AC ．【答案】详见解析【解析】【分析】延长BH 、BG 分别交AC 于P 、Q ，根据ASA 可证△BCH ≌△PCH ，△ABG ≌△AQG ，根据全等三角形的性质可得BH=PH ，BG=QG ，根据三角形中位线的性质，可得答案.【详解】证明：延长BH 、BG 分别交AC 于P 、Q ，AD 是BAC ∠的角平分线，且 BG AD ⊥，∴∠BAG= ∠QAG ，∠BGA= ∠QGA ，在△ABG 和△AQG 中，BAG=QAG AG=AG BGA=QGA ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ∴ABG AQG ∆∆≌，∴BG=QG ，同理可证BH PH =，∴ GH ∥AC.【点睛】本题考查三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键．43．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分,DAB CD CB ∠=，求证：180B D ∠+∠=．【答案】详见解析【解析】【分析】过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，由条件可得出△CDF ≌△CEB，可得∠B=∠FDC ，进而可证明∠B+∠ADC=180°．【详解】证明：过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF AD ⊥于F ，∴CF=CE ，在Rt △CDF 与Rt △CEB 中，CF=CE CD=CB ⎧⎨⎩∴CBE CDF ∆∆≌，CBE CDF ∴∠=∠，180ADC CDF ∠+∠=︒，A C 180B D ∴∠+∠=︒ .【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL 证明△CDF ≌△CEB 进而得出∠B=∠FDC ．44．已知：在直角坐标系中，点()0,3B -，点()1,0C ，点A 在第二象限，,AC BC AC BC =⊥，求点A 的坐标．【答案】点A 的坐标为()2,1-【解析】【分析】过点A 作AE x ⊥轴于点E ，先证出ACE CBO ∆∆≌，则CE=BO=3，1AE OC ==，根据点A 在第二象限即可得点A 的坐标．【详解】解：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，∵在直角坐标系中，点()0,3B -，点()1,0C ，∴BO=3，OC=1，OC ⊥OB∵,AC BC AC BC =⊥∴OBC ECA ∠=∠ ，BOC CEA ∠=∠∴ACE CBO ∆∆≌，CE BO ∴==3，1AE OC ==，∵点A 在第二象限，∴点A 的坐标为()2,1-.故答案为点A 的坐标为()2,1-.【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形，要注意第二象限点的坐标符号是（-，+）．45．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点A 、B 分别是x 轴和y轴上的一动点，点C的横坐标为3 ，求点B的坐标.【答案】B（0，-3）．【解析】【分析】如图，作CD⊥y轴于M，则CD=3，证明△BCD≌△ABO(AAS)即可求得答案.【详解】如图，作CD⊥y轴于M，则CD=3，∵∠ABC=∠AOB=90゜，∴∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠CBD=∠BAO，又∵∠BDC＝∠AOB=90°，BC＝AB，∴△BCD≌△ABO(AAS)，∴OB=CD=3，∴B(0，-3)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，点的坐标，正确添加辅助线，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.46．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，若直线MN 经过点A ，BD MN ⊥于D ，CE MN ⊥于E .（1）求证：DE BD CE =+；（2）若将MN 绕点A 旋转，使MN 与BC 相交于点P ，其他条件不变，（1）中的结论成立吗？若不成立，请写出它们的数量关系，并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）不成立，DE=BD-CE ，理由见解析.【解析】【分析】(1)利用△ABD ≌△CEA ，可求出BD=AE ，AD=CE ，由此即可得证；(2)第二问中若将MN 绕点A 旋转，与BC 相交于点O ，则BD ，CE 与MN 垂直，AB=AC ，两个三角形仍全等，继而可得BD=AE ，AD=CE ，再根据线段的和差即可得结论.【详解】(1)∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，又∵BD ⊥MN ，CE ⊥MN ，∴∠CAE+∠ACE=90°，∠BDA=∠AEC=90°，∴∠BAD=∠ACE ，在△ABD 和△CAE 中BDA AECBAD ACEAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△CAE(AAS)；∴BD=AE ，AD=CE ，∵DE=AD+AE ，∴DE=BD+CE ；(2)不成立，DE=BD-CE ，理由如下：∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，又∵BD ⊥MN ，CE ⊥MN ，∴∠CAE+∠ACE=90°，∠BDA=∠AEC=90°，∴∠BAD=∠ACE ，在△ABD 和△CAE 中BDA AECBAD ACEAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△CAE(AAS)；∴BD=AE ，AD=CE ，∵DE=AE-AD ，∴DE=BD-CE.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．47．如图，在四边形OACB 中，CE OA ⊥于E ，12∠=∠，CA CB =.求证：34180∠+∠=︒；2OA OB OE +=.【答案】详见解析【解析】【分析】过点C 向OA 、OB 作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论.【详解】如图，过点C 作CF OB ⊥与点F ，则∠F=∠CEO=90°，12∠=∠，OC=OC ，FOC EOC ∴∆≅∆，CE CF ∴=，OE OF =，CA CB =，90CEA CFB ∠=∠=︒，()R t t CAE R CBF HL ∴∆≅，4CBF ∴∠=∠，AE BF =，∵3180CBF ∠+∠=︒，34180∴∠+∠=︒，()()2OA OB OE AE OF BF OE OF OE ∴+=++-=+=.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键.48．已知：如图，2AB AC =，BAD CAD ∠=∠，DA DB =，求证：90ACD ∠=︒.【答案】详见解析【解析】【分析】由于DA=DB ，想到作DE ⊥AB ，构造直角∠AED ，只需要证明∠ACD=∠AED ，本题就得解．从而转化为说明△AED ≌△ACD 的问题．【详解】如图所示，作DE ⊥AB 于E ，∵DA=DB ，DE ⊥AB ，∴AE=EB=12AB ，∠AED=90°， ∵AB=2AC ，∴AC=12AB ， ∴AC=AE ，在△ACD 和△AED 中，∵AC=AE ，∠2=∠1，AD=AD ，∴△ACD ≌△AED(SAS)，∴∠ACD=∠AED=90°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；解题时主要运用了全等三角形问题中常用辅助线-截长补短，通过辅助线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解题，这是一种非常重要的方法，注意掌握．49．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：AB AC BD CD ->-.【答案】详见解析【解析】【分析】可以在AB 上截取AE=AC ，构造三角形全等，再结合三角形三边关系可证得结论．【详解】在AB 上截取AE=AC ，则BE=AB-AC ，在△AED 和△ACD 中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AED ≌△ACD(SAS)，∴DE=DC ，在△BDE 中，BD-DE ＜BE(三角形两边之差小于第三边)，∠BE>BD-CD ，即AB-AC>BD-CD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造三角形全等是解题的关键．50．如图，AD BC ∥，DC AD ⊥，AE 平分BAD ∠，且E 是DC 中点试问：AD 、BC 和AB 之间有何关系？并说明理由.【答案】详见解析【解析】【分析】AD+BC=AB ，理由如下：如图，在AB 上截取AF AD =，证明()R t t BEF BEC HL ∆∆≌R ，可得BF=BC ，继而可得答案.【详解】AD+BC=AB ，理由如下：如图，在AB 上截取AF AD =，AE ∵平分BAD ∠，BAE EAD ∴∠=∠，AE AE =，EAF EAD ∴∆∆≌，EF ED ∴=，90AFE ADE ∠=∠=︒，∴∠BFE=90°，AD BC ∵∥，90BCE ADE ∴∠=∠=︒，90BFE BCE ∴∠=∠=︒， E 是DC 中点，ED CE ∴=，EF EC ∴=，又BE BE =，()R t t BEF BEC HL ∴∆∆≌R ，BF BC ∴=，AD BC AF BF AB ∴+=+=.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用角平分线这一条件，在角两边截取相等线段构建全等三角形，实现截长补短见是解题的关键.。