2017_2018版高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行一学案(含答案)北师大版选修2_1
2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第二章 空间向量
[学习目标] 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.会用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.知识点一 直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量直线的法向量知识点二 空间平行关系的向量表示 (1)线线平行设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λa 2，b 1＝λb 2，c 1＝λc 2(λ∈R ). (2)线面平行设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔a ⊥u ⇔a·u ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u ＝(a 1，b 1，c 1)，v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝λv ⇔a 1＝λa 2，b 1＝λb 2，c 1＝λc 2(λ∈R ).题型一 利用方向向量和法向量判定线面、面面的位置关系 例1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； (2)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)； (3)平面α与β的法向量分别是u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12；(4)平面α与β的法向量分别是u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)；(5)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(0，－8，12)，u ＝(0,2，－3). 解 (1)∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2.(2)∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，∴a·b ≠0且a ≠k b (k ∈R )，∴a ，b 既不共线也不垂直，即l 1与l 2相交或异面.(3)∵u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12， ∴u·v ＝3－2－1＝0，∴u ⊥v ，即α⊥β.(4)∵u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)，∴u·v ≠0且u ≠k v (k ∈R )，∴u 与v 既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直.(5)∵a ＝(0，－8,12)，u ＝(0,2，－3)， ∴u ＝－14a ，∴u ∥a ，即l ⊥α.反思与感悟 (1)两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面.(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直.(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直.跟踪训练1 设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________. 答案 4解析 ∵α∥β，∴(1,3，－2)＝λ(－2，－6，k )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝1，λk ＝－2，∴λ＝－12，k ＝4.题型二 求平面的法向量例2 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量.解 如图，以A 为原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D (12，0,0)，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC →＝(12，1,0)，DS →＝(－12，0,1).易知向量AD →＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量.设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量， 则⎩⎨⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1). 反思与感悟 求平面法向量的方法与步骤：(1)求平面ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC →，AB →； (2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )； (3)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AB →＝0，并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.跟踪训练2 已知A (1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，求平面ABC 的一个法向量. 解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由题意知AB →＝(－1,1,0)，BC →＝(1,0，－1). ∵n ⊥AB →，n ⊥BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝－x ＋y ＝0，n ·BC →＝x －z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝z .令x ＝1，则y ＝z ＝1.∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1). 题型三 利用空间向量证明平行关系例3 在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点.证明：P A ∥平面EDB .证明 如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设PD ＝DC ＝a .方法一 连接AC ，交BD 于点G ，连接EG ， 依题意得D (0,0,0)，A (a,0,0)，P (0,0，a )，E (0，a 2，a 2).因为四边形ABCD 是正方形， 所以G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为(a 2，a2，0)，所以EG →＝(a2，0，－a 2).又P A →＝(a,0，－a )，所以P A →＝2EG →，这表明P A ∥EG . 而EG 平面EDB ，且P A ⊈平面EDB ， 所以P A ∥平面EDB .方法二 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， DE →＝(0，a 2，a 2)，EB →＝(a ，a 2，－a 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎨⎧a2(y ＋z )＝0，a (x ＋y 2－z 2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，2x ＋y －z ＝0.令y ＝－1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝1.所以n ＝(1，－1,1)，又P A →＝(a,0，－a )，所以n ·P A →＝(1，－1,1)·(a,0，－a )＝a －a ＝0. 所以n ⊥P A →.所以P A ∥平面EDB .方法三 假设存在实数λ，μ使得P A →＝λDE →＋μEB →， 即(a,0，－a )＝λ(0，a 2，a 2)＋μ(a ，a 2，－a2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝μa ，0＝λ·a 2＋μ·a 2＝a 2(λ＋μ)，－a ＝λ·a 2－μ·a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝1.所以P A →＝－DE →＋EB →， 所以P A ∥平面BDE .反思与感悟 通过证明平面内的一个向量与直线的方向向量平行来证明线面平行，需要特别说明直线的方向向量不在平面内；通过证明平面的法向量与直线的方向向量垂直来证明直线与平面平行，求解法向量的赋值与运算一定要准确；本题应用共面向量定理证明线面平行转化为判定P A →＝λDE →＋μEB →中λ和μ是否存在的问题.跟踪训练3 如图，已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点.判断并说明P A 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD .解 ∵P A ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2， 如图，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，F (1,1,0)，D (0,2,0). 不妨令P (0,0,t )，∴PF →＝(1,1,－t )，DF →＝(1,－1,0)， 设平面PFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PF →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －tz ＝0，x －y ＝0，令z ＝1，解得x ＝y ＝t2，∴n ＝(t 2，t2，1).设点G 的坐标为(0,0，m )， 又E (12，0,0)，则EG →＝(－12，0，m ).要使EG ∥平面PFD ，只需EG →·n ＝0， 即(－12)×t 2＋0×t2＋m ×1＝0，即m －t4＝0，解得m ＝14t ，从而满足AG ＝14AP 的点G 即为所求.利用向量法判断直线与平面平行例4 已知u 是平面α的一个法向量，a 是直线l 的一个方向向量，若u ＝(3,1,2)，a ＝(－2,2,2)，则l 与α的位置关系是________. 错解 因为u ·a ＝(3,1,2)·(－2,2,2) ＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0， 所以u ⊥a ，所以l ∥α.错解分析 错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别.实际上，本例中由向量u ⊥a 可得l α或l ∥α. 正解 因为u ·a ＝(3,1,2)·(－2,2,2) ＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0. 所以u ⊥a ，所以l α或l ∥α. 答案 l α或l ∥α1.已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量.若l 1∥l 2，则( ) A.x ＝6，y ＝15 B.x ＝3，y ＝152C.x ＝3，y ＝15D.x ＝6，y ＝152答案 D解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.2.已知线段AB 的两端点坐标为A (9,－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面( ) A.xOy 平行 B.xOz 平行 C.yOz 平行 D.yOz 相交 答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz . 3.若A (1,0，－1)，B (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A.(2,2,6) B.(－1,1,3) C.(3,1,1)D.(－3,0,1)答案 A解析 ∵A ，B 在直线l 上，∴AB →＝(1,1,3)，与AB →共线的向量(2,2,6)可以是直线l 的一个方向向量.4.设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A.l ∥α B.l α C.l ⊥α D.l α或l ∥α答案 D解析 ∵a ·b ＝0，∴l α或l ∥α.5.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是_____.(填序号) ①AB →；②AA 1→；③B 1B →；④A 1C 1→. 答案 ②③解析 ∵AA 1⊥平面ABC ，B 1B ⊥平面ABC ， ∴AA 1→与B 1B →可以作为平面ABC 的法向量.1.利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.2.证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明.。
2017-2018学期高中数学 第二章 空间向量与立体几何 4 用向量讨论垂直与平行(二) 北师大版选修2-1
空间垂直关系的解决策略
规律与方法
几何法
向量法
(1)证明两直线所成的角为90°. 线线
知识点三 向量法判断面面垂直
思考
平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)， 用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
梳理
若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)， 则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔ a1a2＋b1b2＋c.1c2＝0
思考
若直线l1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l2的方向向量为μ2＝ (1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂 直的一般方法是什么？ 答案
梳理
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)， 则l⊥m⇔ a·b＝0 ⇔ a1b1＋a2b2＋a. 3b3＝0
类型二 证明线面垂直 例2 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.
求证：AB1⊥平面A1BD. 证明
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
反思与感悟
方法一：(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.
第二章 空间向量与立体几何
§4 用向量讨论垂直与平行(二)
学习目标
1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系. 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的 垂直关系. 3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行课件北师大版选修
(1)直接寻找:若能根据已知条件找出该平面的一条垂线,则可直
接写出法向量.
(2)待定系数法:当平面的垂线不易确定时,可以利用待定系数法
求解,具体步骤如下:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1已知平面α经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平 面α的一个法向量.
解:∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0), ∴������������=(1,-2,-4),������������=(2,-4,-3).设平面 α 的法向量是 n=(x,y,z),依题
������1 = 0, ������1 = -2������1,
取y1=1,则n1=(0,1,-2).同理可求n2=(0,1,-2).
(1)∵n1·������������1 =(0,1,-2)·(0,2,1)=0,∴n1⊥������������1 .
又FC1⊈平面ADE,∴FC1∥平面ADE. (2)∵n1∥n2,∴平面ADE∥平面B1C1F.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是 正方体六个面的中心.求证:平面EFG∥平面HMN.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证法一以点D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,如图.不妨设正方体的棱长为2, 则E(1,1,0),F(1,0,1),G(2,1,1),H(1,2,1),M(1,1,2),N(0,1,1).
1 2
,0,0
,
∴平面 SAB 的一个法向量为������������ =
高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论平行与垂直教学设计北师大版选修2_1
第4节用向量讨论平行与垂直【空间向量的应用之-----垂直】【教学目标】通过本节课的学习让学生体会到向量这种工具在解决立体几何问题中的重要应用，体会数学中数与形的结合，转化之美。
激发学生学习数学的兴趣，减轻空间思维能力差的学生的学习压力。
【课型】新授课【课时安排】1课时【教学难点】利用向量解决立体几何问题的本质即如何将空间中的线面关系转化为相关向量之间的关系【教学重点】1教会学生如何用向量解决空间中的垂直问题2掌握坐标法，知道基底法【设计思路】本节课的教学首先我将重点放在与直线和平面有关的向量问题上，只要学生意识到与直线和平面有关的向量分别是直线的方向向量和平面的法向量，那么如何用向量去研究平行与垂直关系便显而易见！然后结合例题展示解题过程，强化知识点。
【教学方法】启发探讨式【教学过程】一：课前梳理1.空间向量基本定理的内容：已知321,,e e e 是三个_____________的向量，那么对于空间任意一个向量，存在唯一一组实数321,,λλλ使得_____________________.2.空间向量的坐标运算： 已知),,(111z y x =，),,(222z y x = 那么 =+b a =-b a=λ =∙>=<b a ,cos⇔≠)(// ⇔⊥3.与直线有关的向量是_________________4.与平面有关的向量是_________________二：课前预习思考空间中的平行关系包括哪些？如何用向量来体现？空间中的垂直关系包括哪些？如何用向量来体现？三：新知探索：1小组呈现预习思考研究结果（1）平行关系2．应用演练例2：在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，ABCD PA 平面⊥,AP=AB=2，BC=22,E,F PBAC PD ABCD ABCD PD ABCD P⊥=⊥-求证：，4的正方形，2是边长为底面,平面中，：在四棱锥1例分别是AD,PC 的中点，求证：PC ⊥平面BEF练习.在正方体1111A B C D A B C D -中,E F 、分别是1B B C D 、的中点, 求证:1D F ADE ⊥平面.例3：已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，,600=∠BCD E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD,PA=2求证：平面PBE ⊥平面PAB四：点拨与小结:利用向量解决空间的线面关系其本质是研究直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，所以熟练掌握直线的方向向量与平面的法向量的求解方法是解题的关键。
高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行1121数学
谢谢 指导 (xiè xie)
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同步练习（用坐标运算的方法）
如图，在正方体 ABCDA1B1C 中1D ，1 于点 O (xiāngjiāo) ，求证： AO A1B
Z
A1
D1
CD1和DC相1 交
B1
A B
x
C1
O
D y
C
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同步练习：（两平面(píngmiàn)垂直的性质定理）
不共线，那
存在有序实数组
e
l 4、直线 的方向向量是
平面 的法向量 与n 的 位置关系是
l
n
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思考 ： (sīkǎo)
我们能不能用直线的方向(fāngxiàng) 向量和平面法向量来刻画空间线 面位置关系？
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e , e l , l 设空间两条直线
的方向向量 为 1 2
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复习(fùxí)回顾：
1、 a b的充要条件是
ab 0
a b a , b 2、设向量(xiàngliàng)
的夹角 为 ，则
a b cos
a , b 3、共面向量定理 如果两个向量(xiàngliàng)
么p
a,b
向x量, y
与向量
，使得：
共面的充要条件是
pxayb
最终都是应用向量的数量积为0来证 明 线线垂直。 (zhèngmíng)
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课堂 小结： (kètáng)
本节课主要研究了用向量的方法判
定空间线线、线面垂直(chuízhí)关系。
如果要判定两条直线 a 、 b垂直 ，
可以通过证明它们的方向向量 的数量积为0实现
高中数学第二章空间向量与立体几何 用向量讨论垂直与平行学案含解析北师大版选修2_1
§4用向量讨论垂直与平行知识点一线线垂直、线面垂直[填一填]1．用向量运算证明两直线垂直如果我们知道两条直线的方向向量,我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判定两直线是否垂直,如图所示,设直线l1,l2的方向向量分别为v1,v2,则有l1⊥l2⇔v1⊥v2.由上述条件,证明空间两条直线l1⊥l2,可转化为证明两条直线的方向向量垂直,即证明v1·v2＝0.2．线面垂直判定定理若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平面垂直．3．面面平行判定定理若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行．[答一答]求证：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平面垂直．提示：如图,b,c是平面π内的两条相交直线,直线a满足a⊥b,a⊥c,设p是平面π内任意一条直线,则只需证a⊥p.设直线a,b,c,p的方向向量分别是a,b,c,p,只需证a⊥p.因为直线b,c相交,所以b与c不共线．由于直线b,c,p在同一平面π内,根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ,使得p＝λb＋μc.则a·p＝λ(a·b)＋μ(a·c)．因为a⊥b,a⊥c,所以a·b＝0,a·c＝0,从而a·p＝0,即a⊥p.所以直线a垂直于平面π.知识点二线面平行、面面垂直[填一填]1．用向量方法判断或证明直线与直线平行设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2(如图所示),则由向量共线的条件,可得l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.这样在证明l1∥l2时,结合空间图形,分别在两直线上适当地选取方向向量v1,v2,证明l1∥l2即可转化为证明v1∥v2,即证明v1＝x v2.2．线面平行的判定定理(1)定理内容：如果平面外的一条直线平行于这个平面内的一条直线,则平面外的这条直线平行于这个平面．(2)用向量法证明线面平行：证明线线平行、线面平行的关键是转化为证向量共线和共面问题,但要注意向量所在直线与所证直线或平面无公共点．已知两个非零向量v1,v2与平面α共面(如图所示),一条直线l的一个方向向量为v,则由共面向量定理,可得l∥α或在α内⇔v∥v1(或v2)或存在两个实数x,y,使v＝x v1＋y v2.这样在证明直线l∥平面α时,转化成证明直线l的一个方向向量v与平面α共面的两个向量v1,v2之一平行,即v∥v1(或v∥v2)或存在两个实数x,y,使v＝x v1＋y v2.3．面面垂直的判定定理若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直．[答一答]求证：若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行．提示：如图,已知a与b是平面π1内两条相交的直线,且a∥π2,b∥π2.平面π1,π2的法向量分别是n1,n2,要证π1∥π2,只需证n1∥n2.又由于a∥π2,b∥π2,故向量a∥π2,b∥π2,所以n2⊥a,n2⊥b.由于a与b相交,故向量n2也是π1的法向量,从而有n1∥n2.知识点三三垂线定理[填一填]若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影,则这两条直线垂直．[答一答]如何证明三垂线定理？提示：已知：如图,b是平面π外的一条直线,直线c是b在平面π上的投影,直线c与平面内一直线a垂直．求证：a⊥b.证明：过直线b上任意一点作平面π的垂线n.设直线a,b,c,n的方向向量分别是a,b,c,n,只需证a⊥b.由于b,c,n共面,根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ使得b＝λc＋μn.则a·b＝λ(a·c)＋μ(a·n)．又由于a⊥c,故a·c＝0；因为直线a在平面π内,n⊥π,故a⊥n,即a·n＝0.所以a·b＝0,即a⊥b.1．利用向量方法证明空间中的线线垂直和线面垂直总结如下：(1)线线垂直：设直线l 1,l 2的方向向量分别是a ,b ,若要证明l 1⊥l 2,只要证a ⊥b ,即证明a ·b ＝0.(2)线面垂直：①设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量是u ,若要证l ⊥α,只需证a ∥u . ②根据线面垂直的判定定理,即要证一条直线垂直于一个平面,若用向量法,只需证明这条直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量分别垂直,即其数量积分别为零即可．2．用向量法证明空间中的线线平行和线面平行总结如下：(1)线线平行：设直线l 1,l 2的方向向量分别是a ,b ,若要证l 1∥l 2,只需证a ∥b ,即a ＝λb (b ≠0)． (2)线面平行：①设直线l 的方向向量是a ,平面α的法向量是u ,若要证l ∥α,只需证a ⊥u ,即a ·u ＝0. ②根据线面平行的判定定理．③根据共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．3．(1)平面法向量的求法：若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下：①设出平面的法向量为n ＝(x ,y ,z )．②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标,a ＝(a 1,b 1,c 1),b ＝(a 2,b 2,c 2)．③根据法向量的定义,建立关于x ,y ,z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0. ④解方程组,取其中的一个解,即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个,故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．如含x ＝±1或y ＝±1或z ＝±1等,便于求解．(2)平面法向量的作用：设n 1,n 2分别是平面α,β的法向量,则 ①α∥β或α与β重合⇔n 1∥n 2； ②α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.由①,证明两个平面平行可转化为证明两个平面的法向量平行．由②,证明两个平面垂直可转化为证明两个平面的法向量垂直,即证明两个平面的法向量的数量积为零．(3)证明面面平行和面面垂直除了利用平面的法向量外,还可以直接利用它们的判定定理证明．4．关于三垂线定理及其逆定理的几个注意点：(1)三垂线定理及其逆定理合起来可表述为：设l 是平面α的一条斜线,l ′是l 在α内的投影,直线mα,则m ⊥l ′⇔m ⊥l .(2)处于非常规位置上的三垂线定理的应用问题,要抓住“一个面”、“四条线”,“一个面”就是要确定一个垂面,三条线共处于这个垂面之上,“四条线”就是垂线、斜线、投影以及平面内与投影垂直的第四条直线,这四条线中垂线是关键的一条,应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连接射影、寻第四条线．题型一 线面平行问题【例1】 如图,在三棱锥P -ABC 中,AB ⊥BC ,AB ＝BC ,点O 、D 分别是AC 、PC 的中点,且OA ＝OP ,OP ⊥平面ABC .求证：OD ∥平面P AB .【思路探究】 证明OD ∥平面P AB ,一种方法是只需证明OD →与平面P AB 的法向量垂直即可,另一种方法是用几何法证明在平面P AB 内存在直线与OD 平行．【证明】 证法一：因为AB ＝BC ,O 为AC 的中点,所以OB ⊥AC ,OA ＝OB ＝OC ,如图,建立空间直角坐标系,设OA ＝a ,则A (a,0,0),B (0,a,0),C (－a,0,0),P (0,0,a ),则D (－a 2,0,a2)．所以OD →＝(－a 2,0,a2)．设平面P AB 的法向量为n ＝(x ,y ,z )．则⎩⎪⎨⎪⎧n ·P A →＝0，n ·AB →＝0.由于P A →＝(a,0,－a ),AB →＝(－a ,a,0),所以⎩⎪⎨⎪⎧ax －az ＝0，－ax ＋ay ＝0.令z ＝1,得x ＝y ＝1,所以n ＝(1,1,1),所以OD →·n ＝－a 2＋a 2＝0,所以OD →⊥n ,因为OD 不在平面P AB 内,所以OD ∥平面P AB .证法二：因为O 、D 分别是AC 、PC 的中点,所以OD →＝CD →－CO →＝12CP →－12CA →＝12AP →,所以OD →∥AP →,即OD ∥AP ,又O D ⃘平面P AB ,P A 平面P AB ,所以OD ∥平面P AB .规律方法 解决线面平行问题一般有以上两种解法,但方法一须注意合理建系,正确求解法向量．如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是C 1C ,B 1C 1的中点,求证：MN ∥平面A 1BD .证明：证法一：如图,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则可求得M (0,1,12),N (12,1,1),D (0,0,0),A 1(1,0,1),B (1,1,0),于是MN →＝(12,0,12),设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ,y ,z )．则n ·DA 1→＝0且n ·DB →＝0,得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0. 取x ＝1,得y ＝－1,z ＝－1. ∴n ＝(1,－1,－1)．又MN →·n ＝(12,0,12)·(1,－1,－1)＝0,∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .证法二：∵MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→,∴MN →∥DA 1→,即MN ∥DA 1.又DA 1平面A 1BD ,M N ⃘平面A 1BD , ∴MN ∥平面A 1BD .证法三：∵MN →＝C 1N →－C 1M →＝12D 1A 1→－12D 1D →＝12(DB →＋BA →)－12(D 1A 1→＋A 1D →)＝12DB →＋12BA →－12D 1A 1→－12A 1D →＝12DB →＋12DA 1→＋12(BA →－DA →)＝12DB →＋12DA 1→＋12BD →＝12DA 1→＋0·DB →. 即MN →可用DA 1→与DB →线性表示, ∴MN →与DA 1→,DB →是共面向量．∴MN →∥平面A 1BD ,即MN ∥平面A 1BD . 题型二 线面垂直问题【例2】 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P 为DD 1的中点,O 为底面ABCD 的中心,求证：B 1O ⊥平面P AC .【思路探究】 欲证B 1O ⊥平面P AC ,只需证明B 1O →与平面P AC 内的两条相交直线都垂直,B 1O →与这两条相交直线的方向向量的数量积为0即可．【证明】 如图,建立空间直角坐标系,不妨假设正方体的棱长为2,则A (2,0,0),P (0,0,1),C (0,2,0),B 1(2,2,2),O (1,1,0)．于是OB 1→＝(1,1,2),AC →＝(－2,2,0),AP →＝(－2,0,1)．由于OB 1→·AC →＝－2＋2＝0,OB 1→·AP →＝－2＋2＝0.所以OB 1⊥AC ,OB 1⊥AP .又AC 平面P AC ,AP 平面P AC ,且AC ∩AP ＝A , 所以OB 1⊥平面P AC .规律方法 用向量法证明线面垂直时,可直接证明直线的方向向量与面内两相交直线的方向向量垂直；也可证明直线的方向向量与平面的法向量平行．可由图形特点建立直角坐标系后用坐标法证明,也可利用基向量法进行处理．如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都为2,D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明：取BC 中点O ,B 1C 1中点O 1,以O 为原点,OB →,OO 1→,OA →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则B (1,0,0),D (－1,1,0),A 1(0,2,3),A (0,0,3),B 1(1,2,0),∴AB 1→＝(1,2,－3),BD →＝(－2,1,0),BA 1→＝(－1,2,3)．∵AB 1→·BD →＝－2＋2＋0＝0, AB 1→·BA 1→＝－1＋4－3＝0, ∴AB 1→⊥BD →,AB 1→⊥BA 1→. 即AB 1⊥BD ,AB 1⊥BA 1.又BD ∩BA 1＝B ,∴AB 1⊥平面A 1BD . 题型三 面面平行问题【例3】 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的边长为4,M 、N 、E 、F 分别是棱A 1D 1、A 1B 1、D 1C 1、B 1C 1的中点,求证：平面AMN ∥平面EFBD .【思路探究】 思路分析一：通过建立空间直角坐标系,利用向量共线的条件先证线线平行,再证面面平行．思路分析二：先求这两个平面的法向量,然后证明这两个法向量平行． 【证明】证法一：如图所示,建立空间直角坐标系,则A (4,0,0),M (2,0,4),N (4,2,4),D (0,0,0),B (4,4,0),E (0,2,4),F (2,4,4)．取MN 的中点G 及EF 的中点K ,BD 的中点Q ,则G (3,1,4),K (1,3,4),Q (2,2,0)．∵MN →＝(2,2,0),EF →＝(2,2,0), AG →＝(－1,1,4),QK →＝(－1,1,4)． 可见MN →＝EF →,AG →＝QK →, ∴MN ∥EF ,AG ∥QK .∴MN ∥平面EFBD ,AG ∥平面EFBD . 又MN ∩AG ＝G .∴平面AMN ∥平面EFBD .证法二：由证法一得AM →＝(－2,0,4),MN →＝(2,2,0),DE →＝(0,2,4),EF →＝(2,2,0)． 设平面AMN 的法向量为n 1＝(x 1,y 1,z 1),则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AM →＝0，n 1·MN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋4z 1＝0，2x 1＋2y 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝12x 1，y 1＝－x 1.令x 1＝1,则n 1＝(1,－1,12)．设平面EFBD 的法向量为n 2＝(x 2,y 2,z 2),则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF →＝0，n 2·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，2y 2＋4z 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－y 2，z 2＝－12y 2，令x 2＝1,则n 2＝(1,－1,12)．∴n 1＝n 2.∴平面AMN ∥平面EFBD .规律方法 利用向量证明面面平行可转化为证明两个平面的法向量平行．如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H ,M ,N 分别是正方体六个面的中心．求证：平面EFG ∥平面HMN .证明：证法一：如图,以点D 为坐标原点,分别以DA →,DC →,DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系D -xyz ,不妨设正方体的棱长为2,则E (1,1,0),F (1,0,1),G (2,1,1),H (1,2,1),M (1,1,2),N (0,1,1)．∴EF →＝(0,－1,1),FG →＝(1,1,0),HM →＝(0,－1,1),NH →＝(1,1,0)． ∴EF →∥HM →,FG →∥NH →. ∴EF ∥HM ,FG ∥NH .∵HM 平面HMN ,NH 平面HMN . E F ⃘平面HMN ,F G ⃘平面HMN . ∴EF ∥平面HMN ,FG ∥平面HMN .又∵EF 平面EFG ,FG 平面EFG ,EF ∩FG ＝F , ∴平面EFG ∥平面HMN .证法二：建立空间直角坐标系如证法一中的图,设平面EFG 的法向量m ＝(x 1,y 1,z 1),则m ·EF →＝(x 1,y 1,z 1)·(0,－1,1)＝－y 1＋z 1＝0,m ·FG →＝(x 1,y 1,z 1)·(1,1,0)＝x 1＋y 1＝0,从而,得x 1＝－y 1＝－z 1. 设x 1＝－1,则m ＝(－1,1,1)． 设平面HMN 的法向量n ＝(x 2,y 2,z 2),则n ·HM →＝(x 2,y 2,z 2)·(0,－1,1)＝－y 2＋z 2＝0,n ·NH →＝(x 2,y 2,z 2)·(1,1,0)＝x 2＋y 2＝0,从而,得x 2＝－y 2＝－z 2, 设x 2＝－1,则n ＝(－1,1,1)． ∴m ∥n .∴平面EFG ∥平面HMN . 题型四 面面垂直问题【例4】 如图,底面ABCD 是正方形,AS ⊥平面ABCD ,且AS ＝AB ,E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .【思路探究】 已知AS ⊥平面ABCD ,可将证明平面BDE ⊥平面ABCD 转化为寻找平面BDE 内一条直线与AS 平行；也可通过证明两平面的法向量垂直来证明两平面垂直．【证明】 方法一：设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1,建立如图所示的空间直角坐标系,则B (1,0,0),D (0,1,0),A (0,0,0),S (0,0,1),E (12,12,12)．连接AC ,设AC 与BD 相交于点O ,连接OE ,则点O 的坐标为(12,12,0)．因为AS →＝(0,0,1),OE →＝(0,0,12),所以OE →＝12AS →,所以OE ∥AS .又AS ⊥平面ABCD , 所以OE ⊥平面ABCD . 又OE 平面BDE ,所以平面BDE ⊥平面ABCD .方法二：设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1,建立如图所示的空间直角坐标系,则B (1,0,0),D (0,1,0),A (0,0,0),S (0,0,1),E (12,12,12)．设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ,y ,z ), 因为BD →＝(－1,1,0),BE →＝(－12,12,12),所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥BD →，n 1⊥BE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BD →＝－x ＋y ＝0，n 1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0.令x ＝1,可得平面BDE 的一个法向量n 1＝(1,1,0)．因为AS ⊥平面ABCD ,所以平面ABCD 的一个法向量n 2＝AS →＝(0,0,1),因为n 1·n 2＝0,所以平面BDE ⊥平面ABCD .规律方法 若在一个平面内找另一个平面的垂线较为直观,则可采用方法一,否则采用方法二．也可利用一个平面的法向量平行于另一个平面进行求解．已知：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,CD 的中点．求证：平面DEA ⊥平面A 1FD 1.证明：建立空间直角坐标系如图．令DD 1＝2,则有D (0,0,0),D 1(0,0,2),A (2,0,0),A 1(2,0,2),F (0,1,0),E (2,2,1)．设n 1＝(x 1,y 1,z 1),n 2＝(x 2,y 2,z 2)分别是平面DEA ,平面A 1FD 1的法向量,则n 1⊥DA →,n 1⊥DE →.∴⎩⎪⎨⎪⎧(x 1，y 1，z 1)·(2，0，0)＝0，(x 1，y 1，z 1)·(2，2，1)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，2y 1＋z 1＝0.令y 1＝－1,得n 1＝(0,－1,2)． 同理可得n 2＝(0,2,1)．∴n 1·n 2＝(0,－1,2)·(0,2,1)＝0,知n 1⊥n 2. ∴平面DEA ⊥平面A 1FD 1.——多维探究—— 利用向量知识解决立体几何中 的探索性问题、存在性问题对于存在性问题,就是探求平面上或直线上是否存在一点,使得该点与其他点构成的线段是否满足某种垂直或平行于平面的位置关系,常用的方法就是假定存在这样的点,然后在该条件下求该问题,若存在,则一定能求出结果；若不存在,则求解的过程就是要说明的理由．向量有一套良好的运算性质,它可以把几何图形的性质转化为向量运算,实现了数与形的结合,在解决立体几何的距离与夹角、平行与垂直、探索性等问题中体现出巨大的优越性．【例5】 如图,在底面是菱形的四棱锥P -ABCD 中,∠ABC ＝60°,P A ＝AC ＝a ,PB ＝PD ＝2a ,点E 在PD 上,且PE ED ＝21.在棱PC 上是否存在一点F ,使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．【解】 存在．证明如下：以A 为坐标原点,直线AD ,AP 分别为y 轴、z 轴,过A 点垂直于平面P AD 的直线为x 轴,建立空间直角坐标系(如图),则由题设条件知,相关各点的坐标分别为A (0,0,0),B (32a ,－12a,0),C (32a ,12a,0),D (0,a,0),P (0,0,a ),E (0,23a ,13a )． ∴AE →＝(0,23a ,13a ),AC →＝(32a ,12a,0), AP →＝(0,0,a ), PC →＝(32a ,12a ,－a ), BP →＝(－32a ,12a ,a )．设点F 是棱PC 上的点, PF →＝λPC →＝(32aλ,12aλ,－aλ), 其中0<λ<1, 则BF →＝BP →＋PF →＝(－32a ,12a ,a )＋(32aλ,12aλ,－aλ) ＝(32a (λ－1),12a (1＋λ),a (1－λ))． 令BF →＝λ1AC →＋λ2AE →,得⎩⎪⎨⎪⎧32a (λ－1)＝32a λ1，12a (1＋λ)＝12a λ1＋23a λ2，a (1－λ)＝13a λ2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝λ1，1＋λ＝λ1＋43λ2，1－λ＝13λ2.解得λ＝12,λ1＝－12,λ2＝32.即当λ＝12时,BF →＝－12AC →＋32AE →.即F 是PC 的中点时,BF →,AC →,AE →共面, 又B F ⃘平面AEC ,∴当F 是棱PC 的中点时,BF ∥平面AEC .规律方法 是否存在一点或直线,满足某一限定条件,这样的问题,叫作存在性问题,解决方案一般是先假设存在,根据条件能求出具体的点或直线,就说明存在；若求不出,则说明不存在．用向量手段处理类似问题,要证明方向明确．设点的坐标时,一定要注意坐标的限制范围．如图,在棱长AB ＝AD ＝2,AA 1＝3的长方体AC 1中,点E 是平面BCC 1B 1上的一个动点,点F 是CD 的中点．试确定点E 的位置,使D 1E ⊥平面AB 1F .解：以点A 为原点,AB →、AD →、AA 1→所在的射线分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),F (1,2,0),B 1(2,0,3),D 1(0,2,3),设E (2,y ,z ),则D 1E →＝(2,y －2,z －3),AF →＝(1,2,0),AB 1→＝(2,0,3),∵D 1E ⊥平面AB 1F ,∴⎩⎪⎨⎪⎧D 1E →·AF →＝0，D 1E →·AB 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2(y －2)＝0，4＋3(z －3)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝53.∴E (2,1,53)即为所求．1．直线l 1的方向向量为v 1＝(1,0,－1),直线l 2的方向向量为v 2＝(－2,0,2),则l 1与l 2的位置关系是( A )A ．平行B ．相交C ．垂直D ．不能确定解析：直线l 1,l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0,－1),v 2＝(－2,0,2),则v 2＝－2v 1,∴v 1∥v 2,∴l 1∥l 2.2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,－5,7),平面α的法向量为u ＝(－2,1,1),则( A ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⃘αD ．l 与α斜交解析：∵直线l 的方向向量为a ＝(1,－5,7),平面α的法向量为u ＝(－2,1,1),∴a ·u ＝0,∴l ∥α.3．若直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,使得l ∥α的是( D ) A ．a ＝(1,0,0),n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5),n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1),n ＝(－1,0,－1) D ．a ＝(1,－1,3),n ＝(0,3,1)解析：要使l ∥α,只需l 的方向向量与平面α的法向量n 满足a ·n ＝0,而选项D 满足． 4．向量a 在平面α内,则平面α平行于平面β是向量a 平行于平面β的充分不必要条件． 解析：若α∥β,∵a 在α内,∴a ∥β,而若a ∥β,不能保证α∥β,故为充分不必要条件． 5．如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB ＝3,BC ＝5.证明：在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B ,并求BDBC 1的值． 证明：易知AA 1⊥AC ,AA 1⊥AB . 由题知AB ＝3,BC ＝5,AC ＝4, 所以AB ⊥AC .如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A -xyz ,则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4),设D (x ,y ,z )是直线BC 1上一点,且BD →＝λBC 1→.所以(x ,y －3,z )＝λ(4,－3,4)． 解得x ＝4λ,y ＝3－3λ,z ＝4λ.所以AD →＝(4λ,3－3λ,4λ)． 由AD →·A 1B →＝0, 即9－25λ＝0, 解得λ＝925.因为925∈[0,1],所以在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B . 此时,BD BC 1＝λ＝925.。
2017_2018学年高中数学第二章空间向量与立体几何2_4用向量讨论垂直与平行教学案北师大版选修2
可见 ＝ ， ＝ ，∴MN∥EF，AG∥QK.
又MN⃘平面EFBD，AG⃘平面EFBD.
∴MN∥平面EFBD，AG∥平面EFBD.
又MN∩AG＝G，
∴平面AMN∥平面EFBD.
法二：由法一得 ＝(－2,0,4)， ＝(2,2,0)， ＝(0,2,4)， ＝(2,2,0)．
设平面AMN的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
∴n⊥a.
∴直线l和平面π的位置关系是lπ或l∥π.
②∵n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，
∴n＝－ a.
∴n∥a.∴l⊥π.
③∵n＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，
∴n和a既不共线，也不垂直．
∴l与π斜交．
[一点通]
用向量法来判定线面位置关系时，只需判定直线的方向向量与平面的法向量位置关系即可．线线间位置关系与方向向量关系相同，面面间位置关系与法向量间关系相同，线面间的位置关系与向量间位置关系不同，只是平行与垂直的互换．
又DA1平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
用空间向量证明面面平行
[例3] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F别离是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD.
[思路点拨] 此题可通过成立空间直角坐标系，利用向量共线的条件先证线线平行，再证面面平行．也能够先求这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
面面垂直
π1⊥π2⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0
2.三垂线定理
假设平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，那么这两条直线垂直．
3．面面垂直的判定定理
假设一个平面通过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直．
高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行2121数学
例3 :
Z
在正方体ABCD A' B'C ' D'中. D
E,F分别是CC ', BD的中点. A
求证：A' F 平面BDE.
A'F(1,1,2),
D
DB(2,2,0),DE(0,2,1)
F
A'F•DB(1,1,2)•(2,2,0)0,XA
C
B E
C
Y
B
A'F•DE(1,1,2)•(0,2,1)0 A'FDB,A'FDE,又DB DED.A'F平面BDE
（一）用向量处理(chǔlǐ)平行问题
（二）用向量处理(chǔlǐ)垂直问题
11
第十一页，共二十五页。
（一）用向量 处理平行问 (xiàngliàng) 题
例1（面面平行判定定理）若一个平面内有两条相交(xiāngjiāo)线都平行于另
一个平面，则这两个平面平行.
证明：如图，已知a与b是平面1内 两条相交直线，且a// 2,b// 2. 平面1，2的法向量分别是n1,n2, 要证1 // 2,只需证n1 // n2.
21
第二十一页，共二十五页。
四、课后作业(zuòyè)（选做题）
1.如 图, 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1中,
ACB 900 , AC 1, CB 2 ,
侧 棱 AA1 1, 侧 面 AA1B1B的 两 条
对 角 线 交 点 为 D, B1C1的 中 点 为M .
求证CD 平面BDM
喻义:要想拥有珍贵品质或美好才华是需要不 断的努力、修炼、克服一定的困难才能 达到的。 (cáinéng) 天道酬勤 勤能补拙
第二十四页，共二十五页。
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4 用向量讨论垂直与平行（一）
学习目标 1.会用待定系数法求平面的法向量.2.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.
知识点一空间中平行关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
知识点二利用空间向量处理平行问题
思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系.
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？
(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？
梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
类型一求直线的方向向量、平面的法向量
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
引申探究
若本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量.
反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z ). (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →
. (3)列方程组：由⎩⎪⎨
⎪⎧ n ²AB →＝0，
n ²AC →＝0，列出方程组.
(4)解方程组：⎩⎪⎨
⎪⎧
n ²AB →＝0，
n ²AC →＝0.
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量.
跟踪训练1 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形.平面PAB ⊥平面ABCD ，△PAB 是边长为1的正三角形，ABCD 是菱形.∠ABC ＝60°，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF 的法向量.
类型二 利用空间向量证明平行问题
例2 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ；
(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .
反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面
ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，PA ＝BC ＝12
AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面PAB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由.
1.若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3)
D.(3,2,1)
2.已知直线l 1的方向向量为a ＝(2，－3,5)，直线l 2的方向向量为b ＝(－4，x ，y )，若l 1∥l 2，则x ，y 的值分别是( ) A.6和－10 B.－6和10 C.－6和－10
D.6和10
3.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( ) A.(0，－3,1) B.(2,0,1) C.(－2，－3,1)
D.(－2,3，－1)
4.若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12，2，则m 为( )
A.－4
B.－6
C.－8
D.8
5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为________.
1.应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.
2.证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R).
提醒：完成作业第二章§4(一)
答案精析
问题导学 知识点一
a ∥
b a ²μ＝0 μ＝k v (k ∈R )
知识点二
思考 (1)由直线方向向量的定义知，若直线l 1∥l 2，则直线l 1，l 2的方向向量共线，即l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔v 1＝λv 2(λ∈R ).
(2) 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行. (3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行. 题型探究
例1 解 因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直. 如图，以A 为坐标原点，AB →
的方向为x 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则
D (0，3，0)，
E (0，32，1
2
)，B (1,0,0)， C (1，3，0)，
于是AE →
＝(0，32，12)，AC →＝(1，3，0).
设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
n ²AC →＝0，
n ²AE →＝0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋3y ＝0，
32
y ＋1
2z ＝0，
所以⎩⎨
⎧
x ＝－3y ，z ＝－3y ，
令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.
所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3). 引申探究
解 如图所示，建立空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (1，3，0)，。