高考几何概型概率
高考数学总复习配套课件：第10章《概率》10-3几何概型
为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行
过程中始终保持与正方体6个表面的距离
均A.2大47 于1，称其为“安全B.19飞行”，则蜜蜂
“4安全飞行”的概率为( 1 )
C.9
D.27
解析：蜜蜂如果能“安全飞行”，则蜜蜂飞行过程中应在一个中心
与原正方体中心重合，且在棱长为 1 的正方体内，该正方体的体积 V1＝ 13＝1，而原正方体的体积 V＝33＝27，故所求概率 P＝VV1＝217.
【思想方法】 转化与化归思想在几何概 型中的应用
【典例】 (2012年高考辽宁卷)在长为12
cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形， 邻A.16边长分别等于线段ABC.13 ，CB的长，则该
矩2形面积大于20 cm2的概4 率为( )
C.3
D.5
【解析】 设 AC＝x，则 BC＝12－x，所以 x(12－x)＝20，解得 x
电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小 波周末不在家看书的概率为________．
[解析] 设 A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C ＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则 P(D) ＝1－π122－π π142＝1136.
[答案]
13 16
1．(2013 年太原模拟)若实数 a，b 满足 a2＋b2≤1，则关于 x 的方程
x2－ax＋34b2＝0 有实数根的概率是(
)
1
1
A.6
B.4
1 C.3
D．1
解析：由原方程有实根得a2－3b2≥0⇔(a－ b)(a＋b)≥0，则整个基本事件空间可用点 (a，b)所在图形的面积来度量，为以原点 为圆心，以1为半径的圆，事件“方程有 实根”可用不等式组对应平面区域的面积
几何概型的概率
几何概型的概率
几何概型的概率：
一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D
的测度的测度
. 说明：
(1)D 的测度不为0；
(2)其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积.
(3)区域为＂开区域＂；
(4)区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.
要点诠释：
几种常见的几何概型
(1)设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，若落在线段l 上的点数与线段l 的长度成正比，而与线段l 在线段L 上的相对位置无关，则点落在线段l 上的概率为：
P=l 的长度/L 的长度
(2)设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比，而与区域g 在区域G 上的相对位置无关，则点落在区域g 上概率为：
P=g 的面积/G 的面积
(3)设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点，若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为：
P=v的体积/V的体积。
几何概型的概率计算公式
几何概型的概率计算公式
几何概型是指在随机试验中，样本空间中的事件是由几何图形表示的情况。
比如投掷一枚硬币，其几何概型为一个二元组成的集合{正面，反面}，用几何图形表示就是一个圆，圆内分别标有正面和反面。
对于几何概型，我们可以使用概率计算公式来计算事件发生的概率。
下面介绍两种常见的几何概型及其概率计算公式。
一、均匀分布的几何概型
均匀分布的几何概型是指样本空间中所有可能的事件发生概率相等的情况。
比如扔一个骰子，其几何概型为{1,2,3,4,5,6}，每个数字出现的概率都是1/6。
对于均匀分布的几何概型中的某个事件A，其概率计算公式为：
P(A) = 面积(A) / 面积(样本空间)
其中，面积(A)是事件A所对应的几何图形的面积，面积(样本空间)是样本空间所对应的几何图形的面积，两者都必须是可测量的。
二、正态分布的几何概型
正态分布的几何概型是指事件在一个连续的区间内发生的概率，符合正态分布的概率密度函数。
比如身高和体重等连续型随机变量的分布，常常使用正态分布的几何概型进行概率计算。
对于正态分布的几何概型，设事件A在区间[a,b]内发生的概率为P(A)，则其概率计算公式为：
P(A) = ∫a~b f(x) dx
其中，f(x)是正态分布的概率密度函数，a和b分别是区间的上下界，∫a~b代表对x从a到b的积分。
通过以上公式，我们可以对几何概型中的事件概率进行准确计算。
几何概型概率
几何概型概率（实用版）目录1.几何概型概率的定义与性质2.几何概型概率的计算方法3.几何概型概率的应用举例正文一、几何概型概率的定义与性质几何概型概率是概率论中的一种概率类型，它是研究随机现象在几何空间中的分布规律。
几何概型概率具有以下性质：1.有限性：试验结果的数量是有限的。
2.等可能性：每个试验结果发生的可能性相等。
二、几何概型概率的计算方法几何概型概率的计算方法通常使用概率公式：P(A) = 满足条件 A 的试验结果数 / 所有可能的试验结果数。
例如，从 n 个不同元素中任选 2 个进行组合，可以得到的组合数为C(n, 2)，那么组合的概率为 P(C(n, 2)) = C(n, 2) / C(n, n) = (n*(n-1)) / (2*1) = n*(n-1) / 2。
三、几何概型概率的应用举例几何概型概率在实际应用中有很多例子，下面举两个常见的例子：1.投针问题：在平面上随机投掷一根针，求针与 x 轴正半轴的夹角小于等于θ的概率。
解答：假设针的长度为 1，投针点距离 x 轴正半轴的距离为 d，则根据三角函数的性质，有 d = 2 * sin(θ/2)。
因为针的长度为 1，所以投针点在以原点为圆心、半径为 1 的圆内。
因此，针与 x 轴正半轴的夹角小于等于θ的概率为θ/2。
2.随机分割问题：将一个边长为 1 的正方形随机分割成两个三角形，求分割后两个三角形的面积比值小于等于 k 的概率。
解答：假设分割线段的长度为 x，其中一个三角形的面积为 S1 = (1-x)^2/2，另一个三角形的面积为 S2 = x^2/2。
因此，S1/S2 = (1-x)^2 / x^2 = (1-2x+x^2) / x^2 = 1 - 2x/x^2 + x^2/x^2 = 1 - 2/x + 1/x^2。
要求S1/S2 <= k，即 1 - 2/x + 1/x^2 <= k，解得 x >= 2/sqrt(k) 或x <= -2/sqrt(k)。
2022年新高考数学总复习：几何概型
2022年新高考数学总复习：几何概型知识点一几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__长度(面积或体积)__成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．知识点二几何概型的特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．知识点三几何概型的概率公式P (A )＝__构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)__．知识点四随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是：①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝MN作为所求概率的近似值．归纳拓展几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(√)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(√)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19．(×)题组二走进教材2．(P 140T1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(A)[解析]∵P (A )＝38，P (B )＝14，P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B )．故选A ．3．(P 146B 组T4)≤x ≤2，≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(D)A ．π4B ．π－22C ．π6D ．4－π4[解析]如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D的面积为4，而阴影部分(不包括AC ︵)表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π．因此满足条件的概率是4－π4，故选D ．题组三走向高考4．(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(B)A ．14B ．π8C ．12D ．π4[解析]不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4．由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8．故选B ．5．(2019·全国)在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，在BC 边上随机取点P ，则∠BAP ＜30°的概率为(B)A ．12B ．33C ．33D ．32[解析]在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，Rt △ABC 为等腰直角三角形，令AB ＝BC ＝1，则AC ＝2；在BC 边上随机取点P ，当∠BAP ＝30°时，BP ＝tan 30°＝33，在BC 边上随机取点P ，则∠BAP ＜30°的概率为：P ＝BP BC ＝33，故选B ．考点突破·互动探究考点一与长度有关的几何概型——自主练透例1(1)(2021·山西运城模拟)某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15－8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到单位且到达单位的时刻是随机的，则他能正常刷卡上班的概率是(D)A ．23B ．58C ．13D ．38(2)(2021·福建龙岩质检)在区间－π2，π2上随机取一个实数x ，使cos x ≥12的概率为(B )A ．34B ．23C ．12D ．13(3)(2020·山东省青岛市模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝1和直线l ：y ＝k (x ＋2)，在(－3，3)上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相交”发生的概率为(C)A ．15B ．14C ．13D ．12[解析](1)一名职工在7：50到8：30之间到单位，刷卡时间长度为40分钟，但有效刷卡时间是8：15－8：30共15分钟，由测度比为长度比可得，该职工能正常刷卡上班的概率P ＝1540＝38．故选D ．(2)由y ＝cos x 在区间－π2，0上单调递增，在，π2上单调递减，则不等式cos x ≥12在区间－π2，π2上的解为－π3≤x ≤π3，故cos x ≥12的概率为2π3π＝23．(3)直线l 与C 相交⇒|2k |1＋k 2＜1⇒－33＜k ＜33．∴所求概率P ＝33－(－33)3－(－3)＝13．故选C ．[引申]本例(3)中“圆上到直线l 的距离为12的点有4个”发生的概率为__515__．[解析]圆上到直线l 的距离为12的点有4个⇔圆心到直线l 的距离小于12⇔|2k |1＋k 2＜12⇔－1515＜k ＜1515，∴所求概率P ＝1515－3－(－3)＝515．名师点拨与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度．〔变式训练1〕(1)(2017·江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ．在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是__59__．(2)(2021·河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，当x ∈[0，π]时，f (x )≥1的概率为(D)A ．13B ．14C ．15D ．12[解析](1)D ＝{x |6＋x －x 2≥0}＝[－2,3]，∴所求概率P ＝3－(－2)5－(－4)＝59．(2)由f (x )＝1，x ∈[0，π]得x ∈0，π2，∴所求概率P ＝π2π＝12，故选D ．考点二与面积有关的几何概型——师生共研角度1与平面图形有关的问题例2(1)(2021·河南商丘、周口、驻马店联考)如图，AC ，BD 上分别是大圆O的两条相互垂直的直径，4个小圆的直径分别为OA ，OB ，OC ，OD ，若向大圆内部随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为(D)A ．π4B ．π8C ．1πD ．2π(2)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为(C )A ．34＋12πB ．12＋1πC ．14－12πD ．12－1π[解析](1)不妨设大圆的半径为2，则大圆的面积为4π，小圆的半径为1，如图，设图中阴影部分面积为S ，由图形的对称性知，S 阴影＝8S ．又S ＝12π×12×12－12×2＝1，则所求概率为84π＝2π，故选D ．(2)∵|z |＝(x －1)2＋y 2≤1，∴(x －1)2＋y 2≤1，其几何意义表示为以(1,0)为圆心，1为半径的圆面，如图所示，而y ≥x 所表示的区域如图中阴影部分，故P ＝π4－12π＝14－12π．[引申]本例(1)中图形改成下图，则此点取自图中阴影部分的概率为__π－22π__．[解析]不妨设大圆的半径为2，则小圆的半径为1，∴所求概率P 14×4π＝π－22π．角度2与线性规划交汇的问题例3－y ＋1≥0，＋y －3≤0，≥0的平面点集中随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A 为“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是(B )A ．14B ．34C ．13D ．23[解析]－y ＋1≥0＋y －3≤0，≥0表示的平面区域为△ABC 且A (1,2)，B (－1,0)，C (3,0)，显然直线l ：y ＝2x 过A 且与x 轴交于O ，∴所求概率P ＝S △AOC S △ABC ＝|OC ||BC |＝34．选B ．名师点拨解决与面积有关的几何概型的方法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的几何元素，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．〔变式训练2〕(1)(2021·唐山模拟)右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为(B)A ．8B ．9C ．10D ．12(2)(2021·四川模拟)以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图，D ，E ，F 为正三角形ABC 各边中点，作出正三角形DEF 的勒洛三角形DEF (阴影部分)，若在△ABC 中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为(C)A ．π－32B ．23π－39C ．3π－36D ．3π－26[解析](1)根据面积之比与点数之比相等的关系，得黑色部分的面积S ＝4×4×225400＝9，故选B ．(2)设△ABC 的边长为2，则正△DEF 边长为1，以D 为圆心的扇形面积是π×126＝π6，△DEF 的面积是12×1×1×32＝34，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中勒洛三角形面积为3×π6－34＋34＝π－32，△ABC 面积为3，所求概率P ＝π－323＝3π－36．故选C ．考点三,与体积有关的几何概型——师生共研例4(1)(2021·山西省模拟)以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P ，则P 落在该几何体内的概率为(C )A ．18B ．56C ．16D ．78(2)(2020·江西抚州临川一中期末)已知三棱锥S －ABC ，在该三棱锥内任取一点P ，则使V P －ABC ≤13V S －ABC 的概率为(D)A ．13B ．49C ．827D ．1927[解析](1)如图以正方体各面中心为顶点的几何体是由两同底正四棱锥拼成，不妨设正方体棱长为2，则GH ＝2，∴所求概率P ＝V E －GHIJ －FV 正方体＝2×(13×2×2×1)2×2×2＝16，故选C ．(2)作出S 在底面△ABC 的射影为O ，若V P －ABC ＝13V S －ABC ，则三棱锥P －ABC 的高等于13SO ，P 点落在平面EFD 上，且SE SA ＝SD SB ＝SF SC ＝23，所以S △EFD S △ABC ＝49，故V S －EFD ＝827V S －ABC ，∴V P －ABC ≤13V S －ABC 的概率P ＝1－827＝1927．故选D ．名师点拨求解与体积有关问题的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题常转化为其对立事件的概率问题求解．〔变式训练3〕一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为(C)A ．4π81B ．81－4π81C ．127D ．827[解析]由已知条件可知，蜜蜂只能在以正方体的中心为中心棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127．[引申]若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体8个顶点的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为__1－4π81__．[解析]所求概率P ＝33－43π33＝1－4π81．考点四,与角度有关的几何概型——师生共研例5(1)(2021·南岗区校级模拟)已知正方形ABCD 的边长为3，以A 为顶点在∠BAD 内部作射线AP ，射线AP 与正方形ABCD 的边交于点M ，则AM ＜2的概率为(D)A ．32B ．12C ．33D ．23(2)在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内作一条射线CD 与线段AB 交于点D ，则AD ＜AC 的概率为__34__．[解析](1)正方形ABCD 的边长为3，以A 为顶点在∠BAD 内部作射线AP ，射线AP与正方形ABCD 的边交于点M ，如图所示：己知AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝3，DM ＝1，所以AM ＝(3)2＋12＝2．所以∠DAM ＝π6．根据阴影的对称性，故P (AM ＜2)＝π6＋π6π2＝23，故选D ．(2)在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°．设事件A ＝{在∠ACB 内部作一条射线CD ，与线段AB 交于点D ，AD ＜AC }．则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°，∴P (A )＝67.590＝34．名师点拨与角度有关的几何概型的求解方法(1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果所构成区域的角度．(2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算．〔变式训练4〕(1)(2021·山西太原一模)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为__13__．(2)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM交BC 于点M ，则BM ＜1的概率为__25__．[解析](1)当点P 在BC 上时，AP 与BC 有公共点，此时AP 扫过△ABC ，所以所求事件的概率P ＝3090＝13．(2)因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°，在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝AD tan 60°＝1，∠BAD ＝30°．记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM ＜1”，则可得∠BAM ＜∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝3075＝25．名师讲坛·素养提升转化与化归思想在几何概型中的应用例6(1)(2021·贵州遵义模拟)在区间[0,2]上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是(A)A ．18B ．14C ．78D ．34(2)(2021·济宁模拟)甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到则等乙半小时，而乙还有其他安排，若乙早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率为(A )A ．38B ．34C ．35D ．45[解析](1)设函数为x ，y ，≤x≤2，≤y≤2由图可知x＋y＞3的概率P＝124＝18．故选A．(2)以6点作为计算时间的起点，设甲到的时间为x，乙到的时间为y，则基本事件空间是Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，事件对应的平面区域的面积S＝1，设满足条件的事件对应的平面区域是A，则A＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1，y－x≤12，且y≥x}，其对应的区域如图中阴影部分所示，则C(0,1)，则事件A对应的平面区域的面积是1－12×12×12－12×1×1＝38，根据几何概型的概率计算公式得P＝381＝38．名师点拨]生活中的几何概型度量区域的构造方法：(1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息．(2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型．(3)解模：求解建立的数学模型．(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．〔变式训练5〕(2020·海口调研)张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6：30－7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00－8：00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是__78__．[解析]以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A发生，所以P(A)＝1×1－12×12×121×1＝78．。
几何概型的概率公式
几何概型的概率公式
几何概率公式是统计学中一种重要的概率模型，它用来描述一个事件中重复发生的概率。
几何概率公式可以用来计算一个事件的重复发生次数，以及在多次尝试后发生的频率。
几何概率公式可以用来分析一个事件的概率分布，也可以用于预测一个事件的发生概率。
几何概率公式是一种概率模型，它可以用来计算一个事件发生的概率，假设该事件在每次尝试中只有两种结果：成功或失败。
几何概率公式可以用来确定一个事件具备多少次成功的概率，它可以用来计算一次尝试中成功的概率，也可以用来计算一次尝试中失败的概率。
几何概率公式的具体表达式如下：P(S) = 1 - (1 - p)^n，其中S表示成功的概率，p表示每次尝试中成功的概率，n表示尝试的次数。
几何概率公式的意义在于，如果每次尝试中成功的概率都相同，那么在多次尝试后，总成功概率就可以用几何概率公式来计算。
几何概率公式可以应用于许多不同的领域，例如抽奖、娱乐场游戏、网络投票、社会调查等。
几何概率公式还可以用来计算一个企业在某段时间内产品故障发生的概率，以及一个投资者获得收益的概率等。
几何概率公式是一种重要的概率模型，它可以用来预测一个事件的
重复发生的概率，也可以用来分析一个事件的发生概率分布，为解决各种实际问题提供重要的参考依据。
高考数学总复习第九章概率9.3几何概型课件文
4．(2018·福建莆田质检)从区间(0,1)中任取两个数作为直角三 角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于 1 的概率是 ()
ππ A.8 B.4
13 C.2 D.4
解析：任取的两个数记为 x，y，所在区域是正方形 OABC 内部， 而符合题意的 x，y 位于阴影区域内(不包括 x，y 轴)，故所求概率 P ＝141π××112＝π4.
表示的平面区域的面积为12×12×1
＝14，因此所求的概率为14，选 D. 答案：D
[变式练]——(着眼于举一反三)
3．(2018·广州市五校联考)ABCD 为长方形，AB＝2，BC＝1，
O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的
距离大于 1 的概率为( )
π A.4
一粒豆子(大小忽略不计)，则该豆子落入 N 中的概率为___2_π____．
x＋y≤1，
解析：因为集合 A＝{(x，y)|x2＋y2≤1}，B＝{(x，y)|x≥0，
}
y≥0
构成的平面区域 M，N 分别为圆及其内部与直角三角形及其内部，
它们的面积分别为 π，12，随机向 M 中掷一粒豆子(大小忽略不计)，
＝1－12×
55a×2 2a2
5
5a＝190.
答案：190
悟·技法 与体积有关的几何概型 对于基本事件在空间的几何概型，要根据空间几何体的体积计 算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算.
考向三 与面积有关的几何概型
[分层深化型] [例] (1)(2017·新课标全国卷Ⅰ)如图，正方形 ABCD 内的图形 来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关 于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自 黑色部分的概率是( B )
几何概型概率-经典总结
几何概型1.定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2.概率公式：()P A =构成事件A 的区域长度（面积或体积）实验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.3.特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； 2）每个结果（基本事件）出现的可能性相等. 考点1：几何概型的概念（重点；理解）例1.下列概率模型中，是几何概型的为（ ） 1） 从区间[10,10]-内任取一个数，求取到1的概率；2）从区间[10,10]-内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； 3) 从区间[10,10]-内任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；4) 向一个边长为4cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1cm 的概率. 考点2：与长度有关的几何概型例2.在两根相距8m 的木杆间系一绳子，并在绳子上挂一个警示灯，求警示灯与两杆的距离都大于3m 的概率. 1.取一根长度为5m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两端绳子的长度都不小于2m 的概率为多少？ 2.在区间（1,3）内随机取一个数x ，则这个实数x 为不等式250x -<的解的概率是多少？ 3.设m 在[0,5]上随机地取值，求方程21042m x mx +++=有实数根的概率. 考点3：与面积有关的几何概型例3.如图，墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板，上面画了大、中、小三个同心圆，半径分别为6cm ，4cm ，2cm ，某人站在3m 之外向此板投镖，设投镖击中中线上或没有击中木板时都不算，可重投.（1）投中大圆内的概率是多少？ （2）投中圆环的概率是多少？ （3）投中大圆之外的概率是多少？4.向面积为S 的ABC ∆内任投一点P ，则PBC ∆的面积小于2S的概率是多少？ 5.设点(,)M x y 在1x ≤，1y ≤时按均匀分布出现.（1）求0x y +≥的概率；（2）求1x y +<的概率；（3）求221x y +≥的概率.6.在半径为1的圆内随机地取一点为弦中点做弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率.7.设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率.8.在区间[1,1]-上随机取两个数,x y ，求满足2214x y +<的概率.9.将长为18cm 的线段随机地分成三段，则以这三段线段的长能组成一个三角形的概率是多少？考点4：与体积有关的几何概型例4.已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，在正方体内随机取一点M ，求使四棱锥M ABCD -的体积小于16的概率.10.已知正三棱锥S ABC -的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内任取一点M ，试求使点M 到底面距离小于2h 的概率.11.在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.考点5：与角度有关的几何概型例5.如图在平面直角坐标系中，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在xOT ∠内的概率.考点6：几何概型在实际中的应用例6.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率.考点7：均匀随机数的应用例7.利用随机模拟法近似计算图中阴影部分（曲线与3x =及轴围成的图形）的面积.同步练习：1.如图1，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在ACB ∠内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M . 求AM AC <的概率.2.向面积为S 的正方形ABCD 内投一点P ，试求PBC ∆的面积小于4S 的概率.3.在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三段，试求这三条线段能构成三角形的概率.4.如图2，在地上画一个正方形线框，其边长等于一枚硬币直径的2倍，向方框中投硬币，硬币完全落在正方形外不计，求硬币完全落在正方形内的概率.5.(2009辽宁)ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ）.6.（2011山东）在区间[1,2]-上随机取一个数x ，则1x ≤的概率为（ ）.7.（2009福建）点A 为周长等于3的圆周上的一个定点.在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为（ ）.8.（2010全国）设函数()y f x =在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算曲线()y f x =及直线0,1,0,1x x y y ====所围成部分的面积S .先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,...,N x x x 和12,,...,N y y y ，由此得到N 个点(,)(1,2,...,)i i x y i N =，再数出其中满足()(1,2,...,)i i y f x i N ≤=的点数1N ，那么随机模拟方法可得S 的近似值为（ ）. 9.已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（ ）. 10.已知函数2()2,[5,5]f x x x x =--∈-，那么任取一点0x ，使0()0f x >的概率为（ ）. 11.在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边长作正方形，这个正方形的面积介于236cm 与281cm 之间的概率为（ ）.12.在正方形ABCD 内任取一点P ，则使90APB ∠<︒的概率是（ ）.13.已知直线,[2,3]y x b b =+∈-，则直线在y 轴上的截距的绝对值大于1的概率为（ ）. 14.已知半径为 ）. 15.1b 是[0,1]上的均匀随机数，1(2)3b b =-*，则b 是区间 上的均匀随机数.16.正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，在正方体内随机取一点M . （1）求点M 落在三棱锥111B A BC -内的概率； （2）求M 与面ABCD 及面1111A B C D 的距离都大于3a 的概率；（3）求使四棱锥M ABCD -的体积小于31a 的概率.C D一.关于互斥事件、对立事件的概率1.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）. A.至少有一个红球；都是红球 B.至少有一个红球；都是白球 C.至少有一个红球；至少有一个是白球 D.恰有一个红球；恰有两个红球2.甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢. （1）若以A 表示和为6的事件，求()P A ； （2）现在连续玩三次，若以B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，B 和C 是否为互斥事件，为什么？这种游戏规则公平吗？3.现有8名数理化成绩优秀者，其中123,,A A A 数学成绩优秀，123,,B B B 物理成绩优秀，12,C C 化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛. （1）求1C 被选中的概率； （2）求1A 和1B 不全被选中的概率.二.关于古典概型问题1.（2011江苏）在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为（ ）.2.已知圆22:9C x y +=.（1）若连续掷两次骰子，点数分别为,m n ，则点(,)m n 在圆C 内的概率是多少？ （2）若[4,4],[5,5]m n ∈-∈-，则点(,)m n 在圆C 内的概率是多少？3.袋中有红、黄、白色球各1个，每次任取1个，有放回地抽取三次.（1）三次颜色各不相同的概率；（2）三次颜色不全相同的概率；（3）三次取出的无红色或无黄色的概率； 三.关于几何概型问题1.在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点，作射线OC ，求AOC ∠和BOC ∠都不小于30°的概率.2.在区间[0,1]内随机地取出两个数，求所取的两个数之和小于65的概率.3.在区间[1,1]-上任取两个数,a b ，求一元二次方程220x ax b ++=的两根：（1）都是实数的概率； （2）都是正数的概率. 四.求放回不放回概型的概率1.从含有两件正品12,a a 和一件次品1b 的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率. 五.概率中的观察角度1.口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，试计算第二个人摸到白球的概率.概率解题方法：1.数形结合思想例1：甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布）分别求平局、甲赢、乙赢的概率. 2.化归思想例2：两个对讲机持有者A 和B 都为货运公司工作，他们的对讲机接受范围为25公里，在下午3：00时A 正在基地正东距离基地30公里以内的某处向基地行驶.而此时B 正在基地正北距基地40公里以内的某处向基地行驶，他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？3.函数与方程的思想例3：设点(,)p q 在3,3p q ≤≤中按均匀分布出现，试求方程22210x px q +-+=的两根都是实数的概率.。
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剖析几何概型的五类重要题型
解决几何概型问题首先要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事件A 的概率
计算公式:积等）
的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）
的区域长度（面积或体构成事件）（A A P =
.其次要学
会构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 下面举几个常见的几何概型问题.
一.与长度有关的几何概型
例1 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？
思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．
解 记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×
3
1
=10米， ∴3
13010)(==
E P . 二.与面积有关的几何概型 例2 如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
思路点拨 此为几何概型，只与面积有关．
解 记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为221224
1
cm ⨯⨯π的大圆内，而当中靶点落在面积为
222.124
1
cm ⨯⨯π的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为01.01224
12.124
1
)(222
2=⨯⨯⨯⨯=cm cm B P ππ. 即：“射中黄心”的概率是0.01.
1．在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则
发现草履虫的概率是 0.004
2. 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1
m的概率是 3
1
3.在1万km 2的海域中有40km 2
的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻
到油层面的概率是2501
4.如下图，在一个边长为3cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形，向大正方形
内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是 9
4
.
5.如下图，在直角坐标系内，射线O T 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，则射线
落在∠xOT 内的概率是 6
1
.
(第4题)。