直线与圆锥曲线的关系[下学期]--华师大版
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( ) (5)过点(2，4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左，右两支都相交的充要条件是( )A ．k ＞－b aB ．k ＜b aC ．k ＞b a 或k ＜－b aD ．－b a ＜k ＜b a解析：选D.由双曲线渐近线的几何意义知 －b a ＜k ＜b a.过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( ) A ．－12B ．－14C ．－4D ．无法确定解析：选B.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx －12，代入抛物线方程得2x 2＋2kx －1＝0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－k ，x 1x 2＝－12， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2－12＝(k 2＋1)·x 1x 2－12k (x 1＋x 2)＋14＝－12(k 2＋1)－12k ·(－k )＋14＝－14.故选B.已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 等于____________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x ＋1＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，1－4a ＝0，解得a ＝14.答案：14斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____________．解析：设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4（t 2－1）5.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4（t 2－1）5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.答案：4105直线与圆锥曲线的位置关系[典例引领]在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P (0，1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 【解】 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)， 所以c ＝1.将点P (0，1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得1b2＝1，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0.因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法直线与圆锥曲线方程联立，消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，设其判别式为Δ，(1)Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交； (2)Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； (3)Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离．[提醒] 注意讨论二次项系数是否为零．[通关练习]1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条． 解析：结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)． 答案：32．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点．解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．弦长问题[典例引领](2017·高考全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程． 【解】 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)，解得m ＝7. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解． [提醒] 两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．[通关练习]1．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，则弦AB的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.答案：5532．(2018·太原市模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AB |＝6，则△AOB 的面积为____________．解析：因为抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，当直线AB 垂直于x 轴时，|AB |＝4，不满足题意，所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －4k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝16k2＋16，因为|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝6，所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝6，解得k ＝±2，所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16＝26，所以△AOB 的面积为12×1×26＝ 6.答案： 6中点弦问题[典例引领]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．【解】 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：法一：设直线l ：y ＝kx ＋b 1(k ≠0，b 1≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 1代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kb 1x ＋2b 21－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 12k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b 1＝b 12k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k O M ＝y M x M ＝－12k ，即k O M ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)， 则x 218＋y 214＝1，①x 228＋y 224＝1，② ①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）8＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0，即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 又y 1＋y 2＝2y 0，x 1＋x 2＝2x 0，所以2y 02x 0·k AB ＝－12.即k OM ·k AB ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值－12.处理中点弦问题常用的求解方法[提醒] 中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．[通关练习]1．若点(3，1)是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.设过点(3，1)的直线交抛物线y 2＝2px (p ＞0)于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②， 由①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2py 1＋y 2，由题意知k AB ＝2，且y 1＋y 2＝2，故k AB ＝2py 1＋y 2＝2，所以p ＝y 1＋y 2＝2. 2．(2018·山西阳泉质检)椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的直线的斜率为22，则mn的值为( ) A.22B.233C ．1D ．2解析：选A.法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 所以k OM ＝y 0x 0＝22，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由AB 的中点为M 可得x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0.由A ，B 在椭圆上，可得⎩⎪⎨⎪⎧mx 21＋ny 21＝1，mx 22＋ny 22＝1， 两式相减可得m (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋n (y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 则m (x 1－x 2)·2x 0－n (x 1－x 2)·2y 0＝0， 整理可得mn ＝22，故选A. 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1x ＋y －1＝0，可得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0， 所以x 1＋x 2＝2nm ＋n， y 1＋y 2＝2－(x 1＋x 2)＝2mm ＋n .由中点坐标公式可得，x 0＝x 1＋x 22＝n m ＋n ，y 0＝y 1＋y 22＝m m ＋n.因为M 与坐标原点的直线的斜率为22，所以y 0x 0＝mm ＋n n m ＋n＝m n ＝22.故选A.求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x 或y )成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系．(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定 点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数． 易错防范判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 则由题意得b a>2，所以e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>1＋4＝ 5. 2．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( ) A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B.若直线AB 的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为y ＝k (x －12)，代入抛物线y 2＝2x 得，k 2x 2－(k2＋2)x ＋14k 2＝0，因为A 、B 两点的横坐标之和为2.所以k ＝± 2.所以这样的直线有两条．3．(2018·安徽皖南八校联考)若直线ax ＋by －3＝0与圆x 2＋y 2＝3没有公共点，设点P 的坐标为(a ，b )，则过点P 的一条直线与椭圆x 24＋y 23＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．1或2解析：选C.由题意得，圆心(0，0)到直线ax ＋by －3＝0的距离为3a 2＋b2＞3，所以a 2＋b 2＜3.又a ，b 不同时为零，所以0＜a 2＋b 2＜3.由0＜a 2＋b 2＜3，可知|a |＜3，|b |＜3，由椭圆的方程知其长半轴长为2，短半轴长为3， 所以P (a ，b )在椭圆内部，所以过点P 的一条直线与椭圆x 24＋y 23＝1的公共点有2个，故选C.4．(2018·江西九江模拟)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →，则λ的值为( ) A.34 B.32 C. 3D ．3解析：选D.设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)，则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝42，直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立方程⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝22（x －2），解得B (1，－22)，所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3. 5．(2018·江西五市八校模拟)已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A 、B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值为( ) A ．－32B ．－233C ．－932D ．－2327解析：选A.由双曲线ax 2＋by 2＝1知其渐近线方程为ax 2＋by 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，。
直线和圆锥曲线的关系(1课时)课件
在这节课中，我们将探讨直线和圆锥曲线的定义、特点和关系，以及它们在 数学和实际应用中的重要性。
直线和圆锥曲线的定义和特点
直线
由无限多个点组成，始终保持同一方向和间距的几何形状。
圆锥曲线
由平面与圆锥相交而产生的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
直线和圆锥曲线的共同点
1 数学特性
都可以用方程来表示，并具有特定的几何特征。
2 无限性
直线和圆锥曲线都是无限延伸的。
3 基础几何元素
直线是几何学的基本元素，而圆锥曲线是由基本几何图形组成的。
直线和圆锥曲线的不同点
直线
无弯曲，无界限长度，方程常为一次方程。
圆锥曲线
弯曲，有边界，方程常为二次方程。
直线和圆锥曲线的分类
直线
水平、垂直、倾斜等。
圆锥曲线
包括椭圆、双曲线和抛物线。
直线和圆锥曲线的应用
1 工程学
直线用于建筑设计和工程建设中的测量和规划。
2 天体运动
圆锥曲线被用于描述天体轨道和行星运动。
3 计算机图形学
直线和圆锥曲线的数学公式被应用于计算机图形学和动画设计。
直线和圆锥曲线之间的数学关系
1
方程表示
直线和圆锥曲线可以通过数学方程进行表示和计算。
2
相交关系
直线和圆锥曲线可以相交于一个或多个交点。
3
共同性质
直线和圆锥曲线都有许多共同的数学性和定理。
总结和要点
1 直线和圆锥曲线
是几何学中重要的概念，具有不同的定义、特点和应用。
2 数学关系
直线和圆锥曲线之间存在着许多数学关系和共同性质。
3 实际应用
直线和圆锥曲线在各个领域的应用十分广泛，包括工程学、天体运动和计算机图形学。
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.说明：(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 2－y 1|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， |x 2－x 1|＝||a ∆，|y 2－y 1|＝||a ∆ 3．中点弦问题：中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)点差法设而不求，借用中点公式即可求得斜率．(2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0； 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0； 在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0. 典型例题题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用例1 若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )条变式训练 若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是________．题型二 中点弦问题例2 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．变式训练 已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为____________．题型三 弦长问题例3 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．课堂练习1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．2．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝________．3. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________．4．(四川文)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．5．(课标全国I )已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．课下作业1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．2．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为________．3．已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为________．4．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为________．5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有________．6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________．7．已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于________．8．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为________． 9．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A 、B 两点，且A 、B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．10．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是________．11．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短半轴长b ＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4 2. (1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋t 与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求t 的值．13．(陕西文)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.。
高三直线与圆锥曲线的位置关系
x2－y2＝1，
当 1－k2＝0 即 k＝±1 时，方程组有唯一解，满足题意；
当 1－k2≠0，Δ＝4k2＋8(1－k2)＝0，
即 k＝± 2时，方程组有唯一解，也满足题意. 例 2：设抛物线 y2＝8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l
的斜率的取值范围是( )
率为 k，则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是( )
A．k2－e2＞1 B．k2－e2＜1 C．e2－k2＞1
D．e2－k2＜1
分析：由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率
k
bb 只需满足－ ＜k＜ ，即
k2＜b2
aa
a2
＝c2－a2＝e2－1. a2
题型 2：圆锥曲线中的弦长、弦中点问题
线 m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．
分析：(1)设弦的两端点为
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则
2x21－y21＝2， 2x22－y22＝2，
两式相减得到 2(x1－x2)(x1
＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又 x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
所以直线斜率 k＝y1－y2＝4.故求得直线方程为 4x－y－7＝0. x1－x2
5
4 m2－1
x1x2＝
，y1－y2＝x1－x2，
5
∴PQ＝ (x12 x22 ) ( y12 y22 ) ＝
8
－m 5
2－16
m2－1
2
5
＝2，
解得 m2＝15，满足(*)，∴m＝±
30 .
8
4
例 3：直线 4kx－4y－k＝0 与抛物线 y2＝x 交于 A，B 两点，若|AB|＝4，则弦 AB 的中点到
原创2：2.5直线与圆锥曲线
(1)若直线l的斜率不存在，则|AB|＝|y1－y；
(2)若直线l的斜率为0，则|AB|＝|x1－x2|；
(3)若直线l的方程为y＝kx＋b，则|AB|＝
或
1
1＋ 2|y1－y2|
k
.
1＋k2|x1－x2|
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题型一：直线与圆锥曲线的交点个数的判定
例1 已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时：
3
=
4(2−)2 −12
3+4 2
=
(3−2)2 −12
3+4 2
3
2
= + −
又直线AF的斜率为(-k),上式中以(-k)代k
=
(3+2)2 −12
3+4 2
3
2
= − + +
O
E
(动点)
x
F
(动点)
∴ =
−
−
=
由韦达定理知1 + 2 =
2
，
+
1 ∙ 2 =
−1
+
则|AB|＝ 1 + 2 × (1 + 2 )2 −41 2
＝ 2×
42
(+)2
−
4(−1)
+
= 2×
4 2 −4(+)(−1)
(+)2
∵|AB|＝2 2，∴
+−
＝1.
+
①
1 +2
将y＝2x－4代入得4x2－(a＋16)x＋16＝0，
+16
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝
直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 考点一 直线与圆锥曲线的位置关系1．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－12．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．考点二 与弦长、面积有关的问题1．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.43B.53C.54D.103 2．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.81053.已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，由4个点(,)M a b -，(,)N a b ，2F 和1F 构，面积为.（1）求椭圆的方程;（2）过点1F 的直线和椭圆交于两点A 、B ，求2F AB ∆面积的最大值.4. 已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1（）F 和2）F ，椭圆E 与抛物线C ：26xy =的一个交点坐标为13,）2（1）求椭圆E 的方程（2）过抛物线C 的焦点的直线l 交椭圆E 于A,B 两点，求∆OAB 面积的最大值（O 为原点）5. 已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 与抛物线：24y x =-的焦点重合，椭圆E 的离心率为2，过点M （m,0）(m>34)作斜率不为零的直线l ，交椭圆于A,B 两点，点P （54，0），且.PA PB 为定值。
直线和圆锥曲线的位置关系
直线和圆锥曲线的位置关系知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系.一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解.1．直线0=++C By Ax 椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 一元二次方程，其判别式为∆.(1)⇔>∆0直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；(2)⇔=∆0直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；(3)⇔<∆0直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点．2．直线0=++C By Ax 和双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程.（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：（1）⇒>∆0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0>∆，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0>∆是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，⇔=∆0直线与双曲线相切；（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；（4）过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 外一点),(00y x P 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；3．直线0=++C By Ax 和抛物线)0(22>=p px y 的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 方程.（一）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和抛物线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和抛物线相离，无公共点.注意：（1）⇒>∆0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0>∆，当直线与抛物线的对称轴重合或平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0>∆也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.（2）当直线与抛物线的对称轴不重合或平行时，⇔=∆0直线与抛物线相切；（3）如说直线和抛物线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（4）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.知识点二：圆锥曲线的弦1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦.当直线的斜率k 存在时，直线b kx y +=与圆锥曲线相交于),(),,(2211y x B y x A ，两点，把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为02=++c bx ax .则弦长公式：2121x x k AB -+=其中aa c ab x x x x x x ∆=--=-+=-4)(4)(22122121 当k 存在且不为零时, 弦长公式还可以写成：21211y y k AB -+=. 注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题，21y y AB -=.2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦公式α221sin 2p p x x AB =++=，其中α为过焦点的直线的倾斜角.3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径.椭圆和双曲线的通径为ab AB 22=，抛物线的通径p AB 2=. 知识点三：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆12222=+b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k -=；②在双曲线12222=-b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k =； ③在抛物线)0(22>=p px y 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0y p k =. 注意：因为0>∆是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0>∆！知识点四：求曲线的方程1. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标),(y x 所满足的方程0),(=y x f 表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.2. 坐标法求曲线方程的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.通过坐标法，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一.用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何对象，然后对坐标和方程进行代数讨论；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”. 3．求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等.规律方法指导1．直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2．直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用.3．当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.4．解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便.。
直线与圆锥曲线的位置关系
二、研究方法与思想
1.直线和圆锥曲线的位置关系及判断、运用设直线l的方程 为：Ax+By+C=0圆锥曲线方程为：f(x，y)=0
由
f(x，y)=0
消元(x或y)
Ax+By+C=0
若消去y后得ax2+bx+c=0，若f(x ， y)=0表示椭圆，则a≠0， 为此有 (1)若a=0，当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近 线平行或重合.当圆锥曲线是抛物线时直线l与抛物线对称轴 平行或重合. (2)若a≠0，设Δ=b2-4ac ①Δ＞0时，直线与圆锥曲线相交于不同两点 ②Δ=0时，直线与圆锥曲线相切于一点 ③Δ＜0时，直线与圆锥曲线没有公共点
x1 x2 y1 y2 1 2 0 (1) （ ）－（ ）得 2 2 a b 2
(3)
练习： 一中心在原点，对称轴为坐标轴的椭 圆与直线 x + y = 3相交于A、B两点，C是AB 的中点。若AB = 2 2 ，O是坐标原点， OC的斜率为2,求椭圆的方程。
y
A
y x 1 9 9 2
求以点P(2,1)为中点的弦所在
的直线方程.
点评:本题属于中点弦问题,一般采用韦达定理和点差法求解.
x2 y2 对于椭圆 M N 1 (a b 0) 设 ( x1 , y1 )、 （x2 , y2 ) 2 2 a b 2 2 2 2
x12 y12 则: 2 2 1 a b 2 2 x2 y 2 1 a 2 b2
解：将直线 y kx 1代入双曲线方程 x y 4 2 2 x - y =4 2 2 化简整理 (1 k2 ) x 2kx 5 0 （※） 2
2 2
y kx 1 与双曲线 x 2 y 2 4 的右 例2: 若直线 支有两个相异公共点，求 k 的范围.
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例6.已知a+b=-ctg ,ab=-csc (a≠b),求证：无论 如何变 2 化，过两点A (a, a ) B (b, b2 )的直线与原点的距离恒为定值。
2 2 x y 例7.设 F1 \ F2 为椭圆 1 上的两个焦点，P为椭 9 4
F2 是直角三角形的三个顶点， 圆上一点，已知P、F1 、
ax+by+c=0(ab>0),那么 l 2的方程是（ ） A. bx+ay+c=0 B. ax-by+c=0 C. bx+ay-c=0 D.ax-ay+c=0
1
例4.求直线 l2 ：7x-y+4=0到 l1 x+y-2=0的角平分线的 方程。
例5.在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（原点除外）上有两定 点，试在x轴的正半轴（原点除外）上求一点C使取∠ACB取最大 值。
直线与圆锥曲线例题讲解
例1.△ABC的三个内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c又直 线xsinA+ysinB+sinC=0到原点的距离为1，此三角形的形状 是_______ 例2.方程 x2 xy 3x 3 y 表示两条直线，它们之间的夹角是 （ ） D. A. B. C. 3 2 6 4 例3.已知直线 l 和 l2 夹角平分线为y=x，如果 l 的方程是
例10.a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a -7平行且不重合的 A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件 例11.已知点A(2,0)和圆O: x2 y 2 1 ,动点P和圆心O 的连线PO交圆于B，且满足 PA PB . （1）求动点P的规迹C的方程； （2）
PF 1 PF2
的值（01年上海卷）。
例8.若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点 是 ( 10, 0) ，则双曲线的方程是_________ (05年上海卷填空题)
x2 y 2 例9.如图，点A、B分别是椭圆 36 20 1 长轴的左右 端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上 方，PA⊥PF. （1）求点P的坐标； （2）设M是椭圆长轴AB上一点，M到直线AP的距离等于 ︱MB︳ ，求椭圆上的点到M的距离d的最小值。 (05年上海卷19题)
例12.（2004年上海春季高考）已知倾斜角为45度的 直线 L过点A(1,-2)和点B,B在第一象限，∣AB∣=3 2 （1）求点B的坐标； x2 y2 1 2 （2）若直线L与双曲线C： (a>0)相交于E、F a 两点，且线段EF的中点坐标为（4，1），求a的值； （3）对于平面上任一点P，当Q在线段AB上运动时， 称∣PQ∣的最小值为P与线段AB的距离，已知点P在x 轴上运动，写出点P（t,0）到线段AB的距离h关于t的 函数关系式。
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长能耐咯，敢跟爷哭哭啼啼の。你要是再这么跟八嫂学下去，别怪爷将来不帮衬着你。”“怎么就是妾身跟八嫂学の？八嫂说话八哥从来 都是言听计从，妾身说话有啥啊用？您啥啊时候听从过？您总拿妾身跟八嫂比，那怎么八贝勒府就只壹各嫡福晋两各侍妾，咱们二十三贝 子府可是光是小福晋就有三各、格格也有四各咯！更别说侍妾咯。现在又要娶进来壹各小福晋……”“你！你！真是狗咬吕洞宾，不识好 人心！爷在额娘面前千方百计地替你说着好话，还替你不去请安报咯病，你倒好，竟敢管起爷娶几各小福晋来咯！你这是想要干啥 啊？”“爷，这是真の？”“啥啊真の？”“您替妾身称病未去请安？”“爷还能为这各说假话？告诉你吧，额娘这都问咯第八遍咯，爷 实在是找不出理由来咯，才要你明天进宫去请安。”“多谢爷啊！妾身真是……”“你呀！以后长长脑子，别啥啊事情都跟八嫂去比，有 本事，你阿玛也是各亲王，爷就啥啊都听你の！”第二天，穆哲小脸腊黄地来到咯永和宫，原来她是托病不来请安，因为壹到宫里请安， 德妃壹定会跟她商量二十三小格の婚事。现在实在是躲不过咯，只好硬着头皮来到永和宫。不过，穆哲今天可是真の病咯，心病。德妃看 着脸色腊黄、神情黯然の穆哲，有些于心不忍。爱屋及乌，在她の这些儿媳妇里，自然地偏袒咯穆哲，再加上穆哲能说会道，八面玲珑， 能张罗，会来事，哄得德妃心情极为舒畅，越看越喜欢这各儿媳妇。现在看着这各最得意の儿媳妇，没有咯往日の活蹦乱跳、光鲜可人， 德妃の心里也是有些难过，于是在穆哲请过安后，壹把就将这丫头拉进咯自己の怀里：“行咯，行咯，十好几天不见人影，额娘还没有寻 你の不是呢，你到先给额娘摆上脸子咯？”“没有，没有，额娘真是冤枉媳妇咯。”“冤不冤枉你自己心里最清楚。不过呢，是福不是祸， 是祸躲不过，该来の已经来咯，你再怎么躲又有啥啊用？还不如高高兴兴、大大方方、痛痛快快地把那各姑娘娶进来。你宽容大度，爷也 肯定会领你这份情，也会对你更加好。都这么多年咯，又不是第壹次娶亲，还不懂这各理？”“额娘！”穆哲被德妃说中咯心事，又找不 出来为自己辩解の话，只好倚在德妃の怀中，低头不语。德妃早早就看好咯皇历，又拖咯这么些天，她根本就等不及咯，因此也不待再跟 穆哲商量，直接就跟她说：“既然想明白咯，就赶快把婚事办咯，日子额娘都看好，六月初六，这各日子最好。”第壹卷 第234章 诸人 六月初六，塔娜，伊尔根觉罗氏嫁进咯二十三贝子府。因为娶の是小福晋，又是壹桩不情不愿の婚事，二十三小格懒得理会，壹切の壹切 全都扔给咯穆哲，自己当起咯甩手掌柜。成亲の那天，恰巧太子殿下和王爷两各人