第三章 随即过程简

通信系统中，信源发出的信息是随机的。系统 的噪声也是一种随机的波形。

从统计学的观点：通信过程中的随机信号和噪 声均可归纳为依赖于时间参数的随机过程。因而 统计数学中有关随机过程的理论可以运用到随机 信号和噪声分析中来。
•
• 本章介绍分析通信系统所必需的基本理论，即 随机信号与噪声的特性表述，以及他们通过线性 系统的基本分析方法。
2.2 随机过程的一般表述

因而随机过程也可定义为：在时间进程中，处 于不同时刻的随机变量的集合。 随机过程的统计特性通过概率分布或数字特征加 以描述。平均值、方差和自相关函数就是常用的 数字特征。

二、随机过程的统计描述
１、一维统计特性
对t1时刻，ζ (t1)是一维随机变量。 概率分布函数： 的 概率. F1(x1, t1)=P[ζ (t1)≤x1] 为随机变量 ζ(t1) 小于或等于某一个数值X
2.2 随机过程的一般表述
随机过程是所有样本函数的集合，是依赖于时间参数 的随机变化的过程。它不能用确切的时间函数描述。即：
1. 每一个可能的波形，称为随机 过程的一个实现或样本函数。 在一次观察中，随机过程一定 取一个样本，然而究竟取哪一 个样本，则带有随机性。
2。随机过程兼有随机变量和时 间函数的特点，某一瞬间来 看，它是一个随机变量。
仅是时间间隔的函数
2、广义平稳 满足上面三个式子，即数学期望和方差与时间无关，自相 关函数仅与时间间隔有关的随机过程，称为广义平稳随机过程。
二、各态历经性
数字特征的求取不仅要知道随机过程的一维和二 维概率密度函数，还需要得到全体样本，这在实际中 常常十分困难。
我们希望能够通过一个样本函数就能求得随机过 程的数字特征。具有各态历经性的平稳随机过程就可 以这样做。
n
n越大，随机过程的统计特性就描述得越充分， 但问题的复杂性也随之增加。 一般情况下，分析二维分布函数就足够了。
1．随机过程的数学期望
随机过程 X t 的数学期望定义为
at E X t



xp1 x; t dx
其中 p x; t 为 X t 在某个给定瞬间 t 所对应的随机变量 1 的概率密度函数，下标“1”表示“一维”，即只涉及一个
概率密度函数
F1 ( x1 , t1 ) f1 ( x1 , t1 ) x1
随机过程的统计描述
2、多维分布函数与多维概率密度
多维分布函数：
Fn(x1,x2…xn,t1,t2…tn)
＝P{ζ (t1) ≤ x1,… ζ (tn) ≤ xn}
多维概率密度：
F1 ( x1...xn , t1...t n ) f n ( x1...xn , t1...t n ) x1...xn
f ( x) ( x a) exp[ ] 2 2 2 1
2
px
1 2
式中:a(均值)及σ(方差)是一个常量。 f(x)曲线如右： 即： a表示分布中心，σ表示集中程度
0
a
x
• 当a固定而σ变化时，表示为f(x)的曲线将随着σ减小而 变高和变窄
反映了随机过程在任意两个不同时刻上取值之 间的线性相关程度。 自相关函数和协方差函数的关系 B(t1,t2)＝R(t1,t2)－E[ζ(t1) ] E[ζ(t2) ]
§2-3 平稳随机过程
(stationary stochastic process)
一、定义 １、严格平稳
定义：如果对任意的n和Δ t，随机过程X(t)的n维概率密度 函数与时间无关，即满足
随机变量。
E X 随机过程的统计平均值。反映了随机变量 X 取 值的集中位置 X 。即均值是表示随机过程的摆动中心
a
图2.15 随机过程的数学期望
X t
0

t
反映了随机过程瞬时值的数学期望随时间变化的规律，
是随机过程各个样本的统计平均函数。

图2.15 中较细的线表示随机过程的若干样本函数，
2.8 随即过程通过线性系统
3.1 引 言

随机变量：在数学分析中，将每次实验的结果 用一个变量来表示，如果变量的取值是不确定 的（以某个概率取某个值），则这种变量称为 随机变量。

随机信号:通信中常遇到的带有某种随机性的信 号。既他们的某个或几个参数不确定预知或不 能完全预知。（若确知，则无信息量，通信失 去意义）。
P ( w)



R( )e
jw
d
P ( ) R( )
维纳——辛钦定理
§2-4 高斯随机过程
定义：高斯随机过程又称正态随机过程。是通信领域 中最重要也是最常见的一种过程。如大多数噪声等 都服从高斯分布的随机过程。
由信息论可知： 1. 如果是连续信源，当信号幅度的概率密度函数服 从高斯分布时，载荷的信息量最大，即有效性最好。 2. 如果是起伏噪声：当噪声功率一定时，幅度呈现 高斯分布的噪声对通信系统的影响也最为恶劣。 因而，在系统设计中，常以高斯噪声为着眼点来分 析考虑信噪比、带宽等。
第2章 随机信号分析
主要内容： 随机信号与噪声的特性表达 随机过程及窄带随机过程 随机信号通过线性系统的基本分析 重点： 随机过程的概念及统计特性 平稳随机过程及窄带随机过程 随机信号通过线性系统的基本分析
2.1 引言 2.2 随机过程的一般表述
2.3 平稳随机过程
2.4 平稳过程的相关函数与功率密度 2.5 高斯过程 2.6 窄带随机过程 2.7 正旋波加窄带高斯过程
较粗的曲线则表示数学期望。
2、方差(variance)
定义：

2 ( t ) E{[ X ( t ) m( t )] 2 }

2 [ x m( t )] f1( x;t )dx
描述随机过程的各样本对数学期望的偏离程度。
3．自相关函数

随机过程 X t 的自相关函数可定义为
§2-4 高斯过程
2、重要性质：
（1） 若高斯过程是广义平稳的，则也是狭义的 （2）若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也 是 统计独立的 （3）若干个高斯过程之和的过程仍是高斯过程 （4）高斯过程经过线性变换（或线性系统）后生成的过 程
仍是高斯型
一维高斯过程在给定任一时刻上，其概率密度函数： 服从正态分布
FT ( ) lim Ps ( ) T T
2
2
整个随机过程的平均功率谱为：
lim E FT ( ) P ( ) E[ Ps ( )] T T
自相关函数与功率谱密度
由非周期的功率型信号的自相关函数与其功 率普密度的付利叶变换关系。 可见：平稳随机过程ζ(t)的功率谱密度Pζ(w) 与其自相关函数R(τ) 也是一对傅立叶变换关系 即： 1 jw R ( ) P ( w ) e dw 2
§2-4 高斯过程

任意n维联合概率密度函数满足
1
n n
f n ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t2 ,..., tn ) 1 exp[ 1/ 2 n/2 2B (2 ) 1 2 ... n B
式中：
B
j 1 k 1
jk
(
xj aj
j
)(
xk ak
３、n维统计特性
n维概率分布函数：
Fn(x1,„, xn; t1,„, n维概率密度函数： t n)
=P[X(t1)≤x1,„,X(tn)≤xn]
Fn ( x1 ,..., xn ; t1 ,..., t n ) f n ( x1 ,..., xn ; t1 ,..., t n ) x1 ...xn
k
)]
2 ak E[ (t k )]; k E[ (t k ) ak ]2
B 是归一化协方差矩阵的行列式， 1
B b21 bn1
b12 1 bn 2
... ... ...
b1n b2 n 1
b jk是归一化协方差函数，b jk
E{[ (t j ) a j ][ (tk ) ak ]}
各态历经性：表示一个平稳随机过程的一个实现 能够经历随机过程的所有可能状态。
二、各态历经性
此时，数学期望（统计平均）可以有其任一实现的时间平均 来代替，其自相关函数也可以用时间平均代替统计平均。
lim 1 T 2T x ( t )dt a m T T 2 R( ) lim 1 T x ( t ) x ( t )dt R ( ) 2T T T 2 一般而言：一个随机过程中，不同样本函数的时间平均值 是不一定相同的，而随机过程数学期望则是一定的。因此 一般的随机过程的时间平均≠统计平均。只有平稳随机 过程才有可能是各态历经的。
RX t1 , t2 EX t1 X t2



x1 x2 p2 x1 , x2 ; t1 , t2 dx1dx2
其中 p2 x1 , x2 ; t1 , t 2 是该随机过程的二维概率密度函数。 自相关函数描述了随机过程在两个不同瞬间 t1 的取值之间的相关、相似程度。 、t 2
f n ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,..., t n ) f n ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 t, t 2 t,..., t n t )
则称X(t)是严格平稳的。
§2-3 平稳随机过程
如果随机过程严格平稳，则 对一维有
f1 ( x; t ) f1 ( x; t t ) f1 ( x)
3-2 随机过程的一般描述
一、随机过程的概念(stochastic process) 随机过程是一类随时间作随机变化的过程。
例：对一台通信机在相同的条件下所进行的N次观测记录的 噪声波形如下图。