2016_2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.3.2指数函数的图像与性质高效测评
常用函数图像
函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数y = |x| 符号函数y = sgnx 取整函数y= [x]极限的几何解释(1) 极限的几何解释(2)极限的几何解释(3)极限的性质(1) (局部保号性)极限的性质(2) (局部保号性) 极限的性质(3) (不等式性质) 极限的性质(4) (局部有界性) 极限的性质(5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于x tanx等价于x arctanx等价于x1-cosx等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞) 夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性(1) 数列的夹逼性(2) pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本)^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
指数函数与对数函数思维导图
指数函数与对数函数思维导图
指数函数与对数函数
│
└─── 概念
│
├─── 指数函数
│ │
│ └─── 定义
│ 指数函数是一种形式为 y=an的函数。
其中，a>0，a≠1 且 n 为任意实数。
│ └─── 特点
│ 指数函数的图像上沿一条直线呈现出指数分布，其曲线会通过原点 (0，1)，函数值以指数增长，存在无限点，此曲线由起点而有趋势向上攀升。
│
├─── 对数函数
│ │
│ └─── 定义
│ 对数函数是一种形式为 y = loga x 的函数，其中，a>0，a≠1 且 x 为正实数。
│ └─── 特点
│ 对数函数是反比例函数，函数值呈现直线函数的形式在y轴上呈对称，此函数没有凹凸把抛物线的形状，其通过的点具有可能的无穷项，抛物线上的点除去极值之外全部重合，抛物线有一条经过原
点的轴线。
│
└─── 比较
指数函数是一种可增长的快速函数，它的函数值会呈指数分布；
而对数函数是一种反比例函数，其曲线会有一对对称的轴，比较特别。
另外，两者有不同的变换性质，指数函数与其反函数是同一个函数，
而对数函数的反函数是指数函数。
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3.2 指数函数y=2^x和y=(1%2)^x的图像和性质》示范课件_32
复习回顾
指数函数的定义：
形如 y=ax (a0，且a 1)的函数叫做指数函数，
其中x是自变量，a 是常量,函数的定义域是R.
指数函数与幂函数的区别：
• 系数为1
y ax
•
底数为常数 (a0，且a 1)
• 指数为自变量X
y xa
• 系数为1 • 底数为自变量X
• 指数为常数
1：指出下列函数那些是指数函数,幂函数？
(1) y 4x ;
(4) y (4)x;
(7) y xx;
(2) yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x4 ;
(3) y 4 x ;
(5) y x;
(6) y 1 x
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
1
0
1
x
y
y
y 1 x
y2 a x
(a 1)
y 1 x 3
y
y 3x y 2x
y ax
(0 a 1)
1 1
0
x
0
1
1
0x
x
y
y ax
y 2x, y (1)x, y 3x, y (1)x
2
3
x … -3 -2 -1 0
y 2x …
1
1
8
4
y (1)x …
2
18
4
1
y 3x … 27
9
y (1)x … 27 9
3
11
2
21
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②lo g 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。
第3章 §3 第1课时指数函数的图像和性质
D [由0<a<1，知y＝ax是减函数，y＝(a－1)x2的图像开口向下．故选 D.]
课 时 分 层 作 业
返 首 页
指数函数的性质
自 主 预 习 • 探 新 知
[探究问题]
1 1 x 1．函数y＝2 与y＝ 的定义域有什么关系？单调性有什么关系？
x
提示：定义域相同，单调性相同．
11 1 x 2．函数y＝ 2 与y＝x 的定义域有什么关系？单调性有什么关系？
－1
课 时 分 层 作 业
返 首 页
自 主 预 习 • 探 新 知
指数函数的图像
(1)函数y＝3 x的图像是(
－
)
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
课 时 分 层 作 业
返 首 页
(2)如图331是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，
自 主 预 习 • 探 新 知
返 首 页
自 主 预 习 • 探 新 知
2．指数函数y＝f(x)的图像过点(2,4)．则f(－2)＝________. 【导学号：60712233】
1 x 2 [ 设 f ( x ) ＝ a ，由 f (2) ＝ 4 ，得 a ＝4，又a>0，且a≠1，则a＝2， 4 1 ∴f(x)＝2 ，∴f(－2)＝2 ＝4.]
大于0 且 不等于1 的常量，函数的定义域是实数集R.
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
课 时 分 层 作 业
返 首 页
自 主 预 习 • 探 新 知
思考1：指数函数定义中，为什么规定a>0且a≠1?
[提示] (1)若a＝0，则x>0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义． (2)若a<0，则其定义域不是R.
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3.2 指数数y=2^x和y=(1%函2)^x的图像和性质》示范课件_0
问题1 一尺之棰,日取其半,万世不竭
用x表示y的关系式是：
…
设木棒原长为１个单位
截取次数x １ ２ ３ ４ …
剩余长度y
…
情景设计 问题2 细胞分裂问题
用x表示y的关系式是：
………… ………… ………… …………
分裂次数x 1 2 3 4 …
细胞个数y
…
分析：
这两个解析式的形式有什么共同特征？ 1.等号左右两端：左端是因变量 y,
谢 谢 , 再 见！
用图形计算器展示下列四个函数图象
(1) y 2x , (2) y 3x
(3)
y
1 2
x
,
(4)
y
1 3
x
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
1
0
1
x
y
y
y 1 x
y2 a x
x
-3 0.125
的图象.-2 0.25
8
-1 0.5
01 1 0.5 2 0.25
y
1 2
x
6 4 2
3 0-.110 25
-5
y 2x
5
01 12 24
x
3 10 8
-2
探究2：在同一直角坐标系内作出若干个
底数不同的指数函数 y ax a 0且a 1
的图象.观察图象，你能发现它们有哪些共 同特征？
1、画出函数图象
列表 描点
连线 2、研究函数性质
图形计算 器绘图
①定义域 ②值域 ③单调性 ④奇偶性 ⑤其它
2016_2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.5.1对数函数的概念5.2y=log2x的图像和性质课件
[思路探究] 可先作出y＝log2x的图像，利用图像考察单调性解决问题．
[规范解答]
函数 y＝log2x 的图像如图，
(1)因为 y＝log2x 是增函数，若 f(a)>f(2)，即 log2a>log22，则 a>2.所以 a 的取 值范围为(2，＋∞)． (2)∵2≤x≤14， ∴3≤2x－1≤27， ∴log23≤log2(2x－1)≤log227. ∴函数 y＝log2(2x－1)在 x∈[2，14]上的最小值为 log23，最大值为 log227.
(1)要使函数有意义，
x＋1>0， x>－1， 需 即 x<1. 1－x>0，
∴－1<x<1， ∴函数的定义域为(－1，1)． (2)要使函数有意义，需 5－x>0， x<5， x－2>0， ∴x>2， x－2≠1， x≠3. ∴定义域为(2，3)∪(3，5)．
解析：
(1)由于 y＝ax 与 y＝logax 互为反函数，图像关于 y＝x 对称，知 A，
B 正确；当 a>1 时，它们均为增函数，当 0<a<1 时，它们均为减函数． (2)函数 f(x)的反函数为 y＝logax， 由题意得，loga3＝1. ∴a＝3.
答y＝log2x的图像与性质 根据函数 f(x)＝log2x 的图像和性质解决以下问题． (1)若 f(a)>f(2)，求 a 的取值范围； (2)求 y＝log2(2x－1)在 x∈[2，14]上的最值．
(0，＋∞) ，函数的值域为___ R . 义域是____________
[强化拓展] 根据对数函数的定义，只有形如 y＝logax(a＞0，且 a≠1)的函数才是对数函 数，例如，y＝log3x(x＞0)、y＝log1 x(x＞0)都是对数函数， 而 y＝－log2x、y＝log3(x 2 1 ＋1)、y＝ 1 等函数都不是对数函数，而是和对数函数有关的函数． log2x
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3.2 指数函数y=2^x和y=(1%2)^x的图像和性质》示范课件_4
底互为倒数的 两个函数图像 关于y轴对称
1
y 1 x
2
0 y 1 x
x
3
（三）典例精讲
类型一 两个数比较大小 （1）30.8，30.7 (2) 0 .75-0.1，0.750.1(3)1.70.3，0.93.1
解:(1)利用指数函数单调性，考虑函数y=3x ∵3>1
∴1.70.3 > 0.93.1
小结:比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1)同底数指数幂比大小,构造指数函数，利 用单调性来判断. (2)不同底数指数幂比大小,利用指数函数图 像与底的关系来判断. (3)底数、指数都不同的两个幂比大小,则应 通过中间值来判断.常用1和0.
知识检测1： 课本第73页 练习1 1.
5
在解指数函数不等式时，将其转化为一 次不等式或通过性质求解
知识检测2 解下列不等式：
3 4 2 （1） x1 1 (2) x x1 3 0 81
四、小结归纳，拓展深化
通过本节课的学习，你学到了那些知识？ 你有掌握了哪些学习数学方法？
五、布置作业.
必做题 P77:A组3，4，5 选做题 P77:B组2.
定义域: R
性
值 域: ( 0,+ ∞ )
恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
质 在 R 上是 增函数
在 R 上是 减函数
你还能发
现指数函数图 像的关系吗？
y
y 1 x 2
y 1 x 3
在第一象限 沿箭头方向
底增大
y 3x y 2x
.
(一)复习回顾
1、指数函数的定义：一般地，形如 y =ax (a>0,a≠1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016-2017学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.3.2 指数
函数的图像与性质高效测评 北师大版必修1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数y ＝3x
与y ＝3－x
的图像关于下列哪条直线对称( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝x
D ．直线y ＝－x
解析： y ＝3－x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
， 由y ＝3x
与y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
关于y 轴对称， 所以y ＝3x 与y ＝3－x
关于y 轴对称． 答案： B
2．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 与g (x )＝a x
的图像可能是( )
解析： 需要对a 讨论：
①当a >1时，f (x )＝ax 过原点且斜率大于1，g (x )＝a x
是递增的．②当0<a <1时，f (x )＝ax 过原点且斜率小于1，g (x )＝a x
是减函数．显然B 正确．
答案： B
3．定义运算a ⊕b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧a （a ≤b ），b （a >b ），则f (x )＝2x ⊕2－x
的图像是( )
解析： x ≥0时，2x
≥1≥2－x
>0；
x <0时，0<2x <1<2－x .
故f (x )＝2x ⊕2－x
＝⎩
⎪⎨⎪⎧2－x
，x ≥0，2x ，x <0.
答案： C
4．已知a ＝0.80.7
，b ＝0.80.9
，c ＝1.20.8
，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a
D ．c >a >b
解析： a ＝0.80.7
>0.80.9
＝b ，
a ＝0.80.7<0.80＝1，∴
b <a <1.
而c ＝1.20.8
>1.20
＝1， ∴c >a >b . 答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫15x
－3x
在区间[－1，1]上的最大值等于
________________________________________________________________________．
解析： 由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 是减函数，y ＝3x 是增函数，可知y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫15x
－3x
是减函数，故当x ＝
－1时函数有最大值14
3
.
答案：
143
6．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x
－1|(a >0，且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．
解析： 当0<a <1时，如图(1)所示， 要使得y ＝2a 与y ＝|a x
－1|有两个交点， 需0<2a <1，故0<a <1
2
.
当a >1时，如图(2)所示，
由于y ＝2a >2，所以y ＝2a 与y ＝|a x
－1|不存在两个交点，故a 的取值范围为0<a <12.
答案： 0<a <1
2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知a >0且a ≠1，讨论f (x )＝a －x 2
＋3x ＋2的单调性．
解析： 设u ＝－x 2
＋3x ＋2＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322
＋17
4，则当x ≥32时，u 是减函数，当x ≤32时，
u 是增函数．
又当a >1时，y ＝a u
是增函数，当0<a <1时，y ＝a u
是减函数，
所以当a >1时，原函数f (x )＝a －x 2
＋3x ＋2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上是减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32上是
增函数．
当0<a <1时，原函数f (x )＝a －x 2
＋3x ＋2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32上是减
函数．
8．设a >0，f (x )＝e x a ＋a
e x (e>1)是R 上的偶函数．
(1)求a 的值；
(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 解析： (1)依题意，对一切x ∈R ，都有
f (x )＝f (－x )， ∴e
x
a ＋a e x ＝1a e
x ＋a e x
. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝
⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0.
∴a －1a
＝0，即a 2
＝1.
又a >0，∴a ＝1； (2)证明：设0<x 1<x 2，
f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋
1e x 1－1e x 2
＝(e x 2－e x 1)⎝
⎛⎭
⎪
⎫1e x 1＋x 2－1
＝e x 1(e x 2－x 1－1)·1－e x 1＋x 2
e x 1＋x 2，
∵x 2>x 1>0，
∴x 2－x 1>0，x 1＋x 2>0，
又由e>1知y ＝e x
在R 上为增函数， ∴e x 2－x 1－1>0，1－e x 1＋x 2<0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．
∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 尖子生题库 ☆☆☆
9．(10分)已知函数f (x )＝a x
在x ∈[－2，2]上恒有f (x )<2，求a 的取值范围． 解析： 当a >1时，
函数f (x )＝a x
在[－2，2]上单调递增， 此时f (x )≤f (2)＝a 2
， 由题意可知a 2
<2，即a <2， 所以1<a < 2. 当0<a <1时，
函数f (x )＝a x
在[－2，2]上单调递减， 此时f (x )≤f (－2)＝a －2
， 由题意可知a －2
<2，即a >22
， 所以
2
2
<a <1. 综上所述，所求a 的取值范围是⎝
⎛⎭
⎪⎫
22，1∪(1，2)．。