2020北京首师附中高二(5-12班)(上)期中数学

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北京市北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高二第一学期期中考试数学试题

绝密★启用前北京市北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高二第一学期期中考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．椭圆22194x y +=的离心率为（）A ．23B C D ．322．等差数列{}n a 中，1421120n a a a ===，，，则n 的值是（） A ．7B ．8C ．9D ．103．设00a b >>，，若28a b +=，则ab 的最大值为（） A ．2B ．4C ．8D ．164．若方程2212y x m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）A ．()3-∞，B ．()23，C ．()2+∞，D ．()3+∞， 5．已知13x x y -，，，中，前三项依次成等差数列，后三项依次成等比数列，则y =（）A ．-5B ．5C ．-9D ．96．设实数x y ，满足3412x y <<<<，，则2x y -的取值范围是（） A ．()46， B ．()47， C ．()56， D ．()57，7．已知数列a 中，12a a ==，，对任意3n ≥且*有8a a a ++=，则1000a =（） A ．1B ．2C ．5D ．88．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若当且仅当10n =或11时，n S 取得最小值，则下列选项错误的是（） A ．数列{}n a 的首项10a > B ．数列{}n a 的公差0d > C ．存在*k N ∈，使得1k k S S += D ．存在*k N ∈，使得2k k S S =第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．不等式223x x -<的解集为___________________. 10．已知各项均不为0的等差数列中，522a a =，则73a a =_______________. 11．已知数列{}n a 的通项公式为103n a n =-，则n a 的最小项为___________.此时n 的值为___________.12．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若423S S =，则数列{}n a 的公比为____________. 13．设椭圆22:12x C y +=的左､右焦点分别为12F F ，，过坐标原点作一条斜率0k ≠的直线交椭圆C 于两点P Q ，，则四边形12F PF Q 的周长为___________. 14．设0a >，函数()5af x x x =+-的值域为集合S ，若2S ∉，则a 的取值范围是___________.15．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若37363S S ==，，则3a =________. 16．一个皮球从距地为H 的地方释放，经地面反弹最后上升至2H处，之后每次反弹后上升的最高高度为上一次反弹的一半，若该皮球从开始释放至第五次接触地面瞬间，在空中的运动轨迹长为10米则H =________米｡17．若关于x 的方程()21210x m x m --+-=的两根分别在区间()1,0-和()0,1内，订…………○…………线_考号：___________订…………○…………线则m 的取值范围是_______________.18．如图，椭圆C 的中心为坐标原点O ，其左､右焦点分别为12F F ，，上，下顶点分别为12A A ，，已知点P 在椭圆C 上，满足1124PF F F ==，取线段1PF 的中点Q ，若1OQ =，则12A A =_________.19．已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为8n n a b n n λ==+，，设n n n n n nn a a b c b a b ≤⎧=⎨>⎩，，，若2λ=-，则数列{}n c 中的最大项是_________.若数列{}n c 中的最大项2m c <，则λ的取值范围是_________. 三、解答题20．已知以()()122020F F -，，，为焦点的椭圆过点()23P ，. （1）求椭圆方程.（2）设椭圆的左顶点为A ，线段1AF 的垂直平分线l 交椭圆于M N ，两点，求MNP △的面积.21．设函数()2f x x mx n =++.已知不等式()0f x <的解集为{}14x x <<（1）求m 和n 的值.（2）若()f x ax ≥对任意0x >恒成立，求a 的取值范围.22．数列{}n a 中，11a =，对任意2n ≥且*n N ∈有()112n n n a na --=. （1）设nn a b n=，证明:数列{}n b 为等比数列，并求{}n a 的通项公式. （2）求{}n a 的前n 项和n S .23．解关于x 的不等式240ax x a -+<.24．已知数列{}n a 满足11a =，对任意*n N ∈，都有2121nn a a n n+=++成立. （1）直接写出234a a a ，，的值. （2）推测出{}n a 通项公式并证明.25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且5434S a -=. （1）求{}n a 的通项公式. （2）设11n n n n a b S S ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使不等式121122019m T T T ⋅-<…成立的最小的正整数m .（3）设()2n an n c a t =-⋅.若数列{}n c 单调递增.①求t 的取值范围.②若t 是符合条件的最小正整数，那么{}n c 中是否存在三项()i j k c c c i j k <<，，依次成等差数列?若存在，给出i j k ，，的值.若不存在，说明理由.参考答案1．B 【解析】【分析】由椭圆方程直接可以求得2a 和2b ，利用离心率公式求得离心率. 【详解】由题可知，229,4a b ==，故离心率e ==.故选：B. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算公式，注意：本题也可以通过2a 和2b ，计算出c ，再用ce a=来计算离心率. 2．A 【解析】【分析】设出等差数列的公差，列方程，由基本量来求解. 【详解】设该数列的公差为d ，由14211a a ==，，可得：1311a d +=，解得3d =，故3120n a n =-=解得：7n =. 故选：A. 【点睛】本题考查由基本量计算通项公式，属数列基础题. 3．C 【解析】【分析】由28a b +=，可得()2a b ⨯的最大值，进而求解.因为00a b >>，，故由均值不等式：()()2111228224ab a b a b =≤⨯+=，当且仅当24a b ==时，取得最大值. 故选：C. 【点睛】本题考查均值不等式的应用（和定积最大）；但是要注意配凑的技巧. 4．D 【解析】【分析】利用方程表示椭圆、且焦点在y 轴上，可得参数的范围，即可求得. 【详解】因为方程2212y x m +=-表示椭圆，故：20m ->，且21m -≠；又该椭圆的焦点在y 轴上，故只需21m ->，解得3m >. 故选：D. 【点睛】本题考查由方程表示椭圆，确定参数的范围问题，属椭圆方程基础题. 5．D 【解析】【分析】由前三项等差求得x ，代入后，由后三项等差求得y . 【详解】因为13x x -，，构成等差数列，故：312x x -=，解得1x =；又3x x y ，，等比，故29xy x =，由1x =，解得9y =. 故选：D. 【点睛】本题考查等差中项，以及等比中项，属基础知识题. 6．B【分析】由x 的范围，求得2x 的范围；由y 的范围，求得y -的范围；再用不等式性质，求2x y -的范围. 【详解】因为34x <<，故可得：628x <<；由12y <<，故可得21y -<-<-；综上，利用不等式同向可加性可得：427x y <-<.故选：B. 【点睛】本题考查利用不等式的性质求范围的问题，注意不等式性质的利用条件. 7．A 【解析】【分析】列举数列，找出周期性，从而求解. 【详解】由121,2a a ==以及递推公式可得：35a =；依次解得：41a =，52a =，65a =，如此类推，可知：该数列为以3为周期的周期数列；故100011a a ==. 故选：A 【点睛】本题考查数列由递推公式求数列的项，涉及数列周期性，属基础题. 8．A 【解析】【分析】根据数列前n 项和的性质，对每个选项进行逐一分析即可.因为等差数列的前n 项和：2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当0d ≠时，n S 为关于n 的二次函数. 由题可知，n S 有最小值，故02d>，即0d >，故B 选项正确；又由题可知，10n =或11时，n S 取得最小值，故其对称轴为10.5，则：1110.52a d -=，110a d =-，故1a 与d 异号，因为0d >，故10a <，故A 选项错误；根据110a d=-，可得1100a d +=，即110a =，故C 选项正确；对D 选项，若2k k S S =，则由公式可得：()()2211222222d d d d k a k k a k ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 整理得：12133a k d =-+，又110ad=-，得7k =，故D 选项正确. 故选：A. 【点睛】本题考查数列前n 项和的性质以及通项公式的性质，涉及通项与前n 项和之间的关系，属于综合中档题. 9．()1,3- 【解析】【分析】移项，分解因式，即可求得. 【详解】不等式223x x -<，整理为2230x x --<，分解因式可得：()()310x x -+<，解得：()1,3x ∈- 故答案为：()1,3-. 【点睛】本题考查二次不等式的求解，属基础题.10．2 【解析】【分析】由数列的基本量表示通项，解方程即可求得. 【详解】设数列的公差为d ，因为522a a =，即：()1142a d a d +=+，解得12a d =；又73a a =1168224a d d a d d+==+. 故答案为：2. 【点睛】本题考查等差数列中基本量的计算，属基础题. 11．133 【解析】【分析】对通项公式分类讨论，分别求解最小值，取两最小值中的最小值即可. 【详解】因为103n a n =-，故： ①当1,2,3n =时，103n a n =-，此时n a 的最小项为13，3n =； ②当3,n n N +>∈时，103n a n =-，此时n a 的最小项为23，4n =；综上所述，故n a 的最小项为13，此时3n =.故答案为：13；3.【点睛】本题考查数列与函数的关系，从函数的角度看待数列，是处理数列问题的重要方法. 12．【解析】【分析】由首项和公比表示前n 项和，列方程，从而求得基本量. 【详解】设数列的公比为()1q q ≠，因为423S S =，故： 42131q q-=-，整理得22q =，解得q =故答案为：. 【点睛】本题考查数列的前n 项和公式的基本量计算，属基础题.13．【解析】【分析】由椭圆的定义可知周长为4a ，代值计算即可. 【详解】因为P 、Q 均为椭圆上的点，由椭圆的定义可知：122FQ F Q a +=，122F P F P a +=，故四边形12F PF Q 的周长为：12124FQ F Q F P F P a +++=，又知：22a =，故a =故答案为：【点睛】本题考查椭圆的定义，属椭圆定义的基础题. 14．9,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】将25ax x +≠-，转化为直线y a =，与函数()()25y x x =---没有交点的问题，数形结合求解即可. 【详解】2S ∉，等价于25ax x +≠-，整理得：()()25a x x ≠---，且5x ≠，即可转化为：直线y a =，与函数()()25y x x =---，()5x ≠ 的图像没有交点，根据题意，作图如下：容易知该函数的最大值94max y =，若直线与该函数没有交点，则：9,4a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故答案为：9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数与方程的问题，注意数形结合. 15．5 【解析】【分析】由等差数列前n 项和的性质，以及通项公式下标和性质即可求解. 【详解】由33S =，可得233a =，解得21a =；由763S =，可得4763a =，解得49a =；又2432a a a +=，故解得：35a =. 故答案为：5. 【点睛】本题考查数列前n 项和性质（()21121n n S n a ++=+），以及下标和性质；同时本题也可以用基本量进行计算求解. 16．8023. 【解析】【分析】将实际问题，转化为等比数列的问题，由基本量进行求解. 【详解】根据题意，皮球第n 次接触地面至第1n +次接触地面的运动轨迹长度满足一个以首项为1a =H ，公比12q =的等比数列{}n a ，故皮球从开始释放至第五次接触地面，在空中的运动轨迹长度为：12334a a a a a H +++++()4111a q H q -=+-238H =由题可知，23108H =，故可解的8023H =. 故答案为：8023. 【点睛】本题考查实际问题与数列的结合，涉及等比数列前n 项和，属基础题. 17．11,32⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】由一元二次方程根的分布问题，结合二次函数图像，求解即可. 【详解】令()()2121f x x m x m =--+-，方程()21210x m x m --+-=的两根分别在区间()1,0-和()0,1内等价于：函数()f x 与x 轴的交点的横坐标在()1,0-和()0,1，如下图所示：若满足以上要求，则只需：()()()001010f f f ⎧<⎪>⎨⎪->⎩，即21010310m m m -<⎧⎪+>⎨⎪->⎩，即11,32m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查一元二次方程根的分布问题，通过转化为函数零点的问题，数形结合进行处理. 18．【解析】【分析】由题中几何线段的长度，可求得椭圆的,,a b c ，即可求解. 【详解】设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>因为124F F =，故解得24c =，即2c =； ① 在12PF F n 中，由题意可知，OQ 为三角形中线，故：222PF OQ ==，由椭圆的定义可知：1226PF PF a +== 解得：3a =； ②由222b a c =-，结合①②解得b =则12AA b ==故答案为：【点睛】本题考查椭圆方程中,,a b c 的求解，以及对应的几何意义，涉及椭圆的定义，属基础知识题. 19．2 (),2-∞- 【解析】【分析】由数列的单调性，寻找数列{}n c 的最大项，从而求解. 【详解】①当2λ=-时，()8,42,(14)n n c n n n ⎧≥⎪=⎨⎪-≤<⎩当14n ≤<时，该数列为增数列，故其最大项为31a =；当4n ≥时，该数列为减数列，故其最大项为42a =；综上所述，则此时该数列的最大项是2.②根据题意，为更好说明问题，构造函数()()8min ,,h x x x N x λ+⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，在同一坐标系中绘制出8y x=与y x λ=+的函数图像，如下所示：结合题意，由图可知，若使得()h x 的最大值小于2，只需：当4x =时，y x λ=+的函数值小于2即可，故：42λ+<，解得2λ<-. 故答案为：2；(),2-∞-. 【点睛】本题考查数列的单调性，应该用函数的角度来思考问题.20．(1)22 11612x y +=；(2) 【解析】【分析】（1）设出椭圆方程，由焦点坐标、椭圆上的一点坐标，列方程求解即可；（2）先求出点M 、N 的坐标，根据三角形面积公式即可求得. 【详解】（1）设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，因为其焦点为()()122020F F -，，，，则 2c =； ①又因为椭圆过点()23P ，，则点P 的坐标满足椭圆方程： 22491?a b += ② 结合：222a b c =+ ③，由①②③可解得：22216,12,4a b c ===，故椭圆方程为：2211612x y +=.（2）由题意，作图如下：由（1）可知，椭圆的左顶点坐标为()4,0A -，又()12,0F -，故线段1AF 的垂直平分线的方程为：3x =-，即3M N x x ==-，又因为M 、N 均为垂直平分线与椭圆的交点，故当3x =-时，求得：2911612y +=，解得,22M N y y ==-，综上所述：点M 坐标为⎛- ⎝⎭，点N 坐标为3,⎛- ⎝⎭由此解得：M N MN y y =-=①又点P 的坐标为()2,3，则点P 到直线MN 的距离5P M h x x =-= ②故115222MNP S MN h =⨯==n . 【点睛】本题考查根据椭圆上一点，及焦点坐标求椭圆方程，以及求椭圆上点的坐标，涉及三角形面积公式，属椭圆方程的基础题. 21．(1) 5m =-，4n =；(2)(],1-∞-. 【解析】【分析】（1）由不等式的解集，求得方程的根，根据韦达定理求得参数；（2）等式两边同除以x ，分离参数，转化为最值问题. 【详解】（1）由不等式()0f x <的解集为{}14x x <<，可知：1x =和4x =为方程20x mx n ++=的两根，故：由韦达定理可知：5m =-，4n =.（2）由（1）可知，()254f x x x =-+，则：若()f x ax ≥对任意0x >恒成立，等价于：45a x x≤+-，对任意0x >恒成立，只需： min45a x x ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭，(0)x >因为0x >，则4551x x +-≥=-，即：min451x x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，当且仅当4x x =时取得. 故1a ≤-，即(],1a ∈-∞-. 【点睛】本题第一问考查一元二次不等式与二次方程之间的关系，第二问考查由恒成立问题求解参数的范围，涉及均值不等式的利用.22．(1)证明见详解，12n n a n -=n ；(2)()121nn S n =-+. 【解析】【分析】（1）用定义法证明数列为等比数列，求得n b ，再求n a ；（2）用错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为()112n n n a na --=，则可得：121n n a na n -=- 当2n ≥时，1111221n n n n b a n n n b n a n n ----=⨯=⨯=-，又111b a ==，则数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列.故：1112n n n b b q --==，又因为n n a nb =，故：12n n a n -=n .（2）由（1）可知：12n n a n -=n ，则：01211222322n n S n -=++++n n n L n ①①2⨯，可得：12321222322n n S n =++++n n n L n ②由①-②可得：12112222n n n S n --=++++-L n()212n n n S n -=--n整理得：()121nn S n =-+即为所求.【点睛】本题考查用定义法证明等比数列，由基本量求解通项公式，以及错位相减法求前n 项和，属数列综合问题.23．当(),2a ∈-∞-时，解集为：R ；当2a =-时，解集为：22,,a a ⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当()2,0a ∈-时，解集为((22,,a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当0a =时，解集为()0,+∞；当()0,2a ∈时，解集为((22,a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；当[)2,a ∈+∞时，不等式的解集为：∅. 【解析】【分析】对参数a 展开讨论，从而求解不等式. 【详解】（1）当0a =时，原不等式等价于40x -<，解得0x >，故不等式解集为{}0x x ；（2）当0a ≠时，原不等式为二次不等式，2164a =-n ，①当0>n 时，即()()2,00,2a ∈-⋃时，不等式对应的方程240ax x a -+=有两个不相等实根，解得：((1222 ,x x aa+==当()0,2a ∈时，12x x >，故不等式的解集为((22,a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；当()2,0a ∈-时，12x x <，故不等式的解集为((22,,a a⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②当0=n 时，即2a =±时，不等式对应的方程240ax x a -+=有两个相等的实根，即122x x a==当2a =时，不等式的解集为：∅ 当2a =-时，不等式的解集为：22,,a a ⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ③当0<n 时，即()(),22,a ∈-∞-⋃+∞时，不等式对应的方程240ax x a -+=没有实数根，故当(),2a ∈-∞-时，不等式的解集为：R . 当()2,a ∈+∞时，不等式的解集为：∅. 综上所述：当(),2a ∈-∞-时，解集为：R当2a =-时，解集为：22,,a a ⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当()2,0a ∈-时，解集为((22,,a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0a =时，解集为()0,+∞当()0,2a ∈时，解集为((22,a a ⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭当[)2,a ∈+∞时，不等式的解集为：∅. 【点睛】本题考查含参一元二次不等式的求解，其方法对参数进行分类讨论.一般地，我们针对参数是否为零，n 的正负，以及两根的大小关系，进行三级分类讨论.24．(1)234,9,416a a a ===；(2)2 n a n =，证明见详解. 【解析】【分析】（1）由递推公式，赋值即可求得；（2）归纳总结后，用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由2121nn a a n n+=++，以及11a =，令1n =，可得：24a =，令2n =，可得：39a =，令3n =，可得：416a =. （2）由（1），归纳猜想：()2n a nn N +=∈，下面应用数学归纳法进行证明：①当1n =时，2111a ==，满足题意，故成立；②假设当()2,n k k k N +=≥∈成立，即2k a k =故当1n k =+时：212 1kk a a k k+=++ =221k k ++ =()21k +故1n k =+时，等式成立，由①②可知，对任意自然数等式都成立，故()2n a n n N +=∈【点睛】本题考查归纳猜想、以及用数学归纳法证明数列的通项公式，属中档题.25．(1) 21n a n =-；(2)1?009；(3)不存在，证明见详解.【解析】【分析】（1）计算基本量，写出通项公式；（2）由（1）中的n a ，求得n b 以及n T ，进而求解不等式即可；（3）①由10n n c c -->，即可求得；②采用反证法，推证矛盾.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，因为5434S a -=故：()11510334a d a d +-+=，又11a =，解得：2d =，故该数列通项公式为：21n a n =-（2）由21n a n =-，可得：121n a n +=+，()2211n n S S n n +=+，故11n n n n a b S S ++==()()2222211111n n n n n +=-++ 则123n n T b b b b =++++L =()2222211111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎝⎭L =()2111n -+ =()()221n n n ++()()1232222211324351223421m m m TT T T m +⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯⨯-+L L =()()21212m m +-+ =122m +若使得其满足 11222019m <+，且m 为正整数，故解得： 1008.5m >，故取1009m =使得不等式成立.（3）由（1）可知()2n a n n c a t =-⋅=()21212n n t ---①因为数列为增数列，故10n n c c -->恒成立()2n ≥等价于：()()21232122320n n n t n t ------->n n 整理得：()2326310n n t --->，即：()1223t n n <-≥恒成立，又111233min n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故111233min t n ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，即11,3t ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭. ②由①可知，此时1t =, 故()14n n c n =-n ,假设存在三项()i j k c c c i j k <<，，依次成等差数列，则i c 2k j c c +=，即：()()()1414214i k j i k j -+-=-n n n ①因为j k <，且,j k 均为整数，故：1j k ≤-，12j k -≤-，144j k -≤故：()()()1121422414142j k k k j k k k -⎛⎫-≤-=-<- ⎪⎝⎭n n n n ，即 ()()21414j k j k -<-n n ②又因为()014ii ≤-n ③ 由②③可得：()()()2141414j k i j k i -<-+-n n n ，与①矛盾，故假设不成立，即不存在三项()i j k c c c i j k <<，，依次成等差数列.【点睛】本题考查由数列基本量求解通项公式、裂项求和，以及利用等差中项证明存在性问题，属数列综合困难题.。

首都师大附中 2020-2021 学年第一学期高二数学期中考试

平行四边形，DAB = 60 ，PA = AB = AD = 2 ，点 E 是棱 PC P
上一点．
（Ⅰ）求证：平面 PAC ⊥ 平面 BDE ；（Ⅱ）当 E 为 PC 中点时，求二面角 A − BE − D 的余弦值；
D
E
C
（Ⅲ）若直线 BE 与平面 PAC 所成的角为 45 时，求 CE ． A
有（）种．
A．6
B．12
C．18
D．36
答案：A
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5．圆 E : x2 + y2 = 1 与圆 F : x2 + y2 − 4x − 4 y + 4 = 0 的公切线的条数为（）
A．1
B． 2
C． 3
答案：B
6．双曲线 x2 − y2 = 1 的顶点到其渐近线的距离等于（ 2
−−2x2x2+=z20,= 0.
则 x2 = z2 = 0 ，令 y2 = 1 ，则 n2 = (0,1, 0) .
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所以， cos n1 , n2
= n1 n2 = −1 = − 7 .
| n1 | | n2 | 7
7
因为二面角 A − BE − D 为锐二面角，得二面角 A − BE − D 的余弦值为 7 . 7
22
2
此时 MN = (− 1 , 1 , 1) ，DC ' = (1,0,1) ， AB = (1,0,0) ， AC = (0,1,0) ， AD ' = (−1,1,1) . 222
（Ⅰ）因为 MN = 1 AD ' ， 2
所以 MN / / AD ' . 因为 MN 平面 ACD ' ，所以 MN // 平面 ACD ' .

2019-2020学年北京师大附中高二(上)期中数学试卷-含详细解析

2019-2020学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.命题p：“∀x∈(−∞,0)，3x≥4x”的否定￢p为()A. ∀x∈(−∞,0)，3x<4xB. ∀x∈(−∞,0)，3x≤4xC. ∃ x0∈(−∞, 0), 3x0<4x0D. ∃ x0∈(−∞, 0) , 3x0≤4x02.在等比数列{a n}中，a3=2，a5=8，则a4=()A. 4B. 5C. ±4D. ±53.若a>b>c且a+b+c=0，则下列不等式中正确的是()A. ab>acB. ac>bcC. a|b|>c|b|D. a2>b2>c24.设0<x<1，则a=√2x，b=1+x，c=1中最大的一个是()1−xA. aB. bC. cD. 不能确定5.在等比数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，若数列{a n+1}也是等比数列，则S n等于()A. 2nB. 3nC. 2n+1−1D. 3n−16.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=()A. 4B. 2C. −2D. −47.设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的面积(i=1,2，…)，则{A n}为等比数列的充要条件是()A. {a n}是等比数列B. a1，a3，…，a2n−1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C. a1，a3，…，a2n−1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D. a1，a3，…，a2n−1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同8.设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是()A. 15B. 16C. 17D. 18二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.数列{a n}中，已知a1=1，a2=2，a n+1=a n+a n+2(n∈N∗)，则a7=______ ．10.若实数x，y满足xy=1，则x2+4y2的最小值为______．11.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a+b>1；②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1．其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______ .(填序号，只有一个正确选项)12.已知{a n}是等差数列，a1=1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=________．13.等比数列{a n}中，若前n项的和为S n=2n−1，则a+a22+⋯+a n2=______．14.珠海市板樟山森林公园(又称澳门回归公园)的山顶平台上，有一座百子回归碑．百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地，人文资料等，如中央四数连读为1999−12−20标示澳门回归日，中央靠下有23−50标示澳门面积约为23.50平方公里．百子回归碑实为一个十阶幻方，是由1 到100 共100 个整数填满100个空格，其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等．请问如图2 中对角线上数字(从左上到右下)之和为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S9=−a5．(1)若a3=4，求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围．16.已知命题：“∃x∈{x|−1<x<1}，使等式x2−x−m=0成立”是真命题，(1)求实数m的取值集合M；(2)设不等式(x−a)(x+a−2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．17.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可)元．获得利润是100(5x+1−3x(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．18.已知p：(x+1)(2−x)≥0，q：关于x的不等式x2+2mx−m+6>0恒成立．(1)当x∈R时q成立，求实数m的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19.已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n−1，n∈N∗.数列{b n}满足b n=1a n −1a n+1，T n为数列{b n}的前n项和．(1)求a1、d和T n；(2)若对任意的n∈N∗，不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，求实数λ的取值范围．20.已知无穷数列{a n}(a n∈Z)的前n项和为S n，记S1，S2，…，S n中奇数的个数为b n．(Ⅰ)若a n=n，请写出数列{b n}的前5项；(Ⅱ)求证：“a1为奇数，a i(i=2,3，4，…)为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的充分不必要条件；(Ⅲ)若a i=b i，i=1，2，3，…，求数列{a n}的通项公式．答案和解析1.【答案】C【解析】解：命题是全称命题，则￢p：∃ x0∈(−∞, 0), 3x0<4x0，故选：C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础．2.【答案】C【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由已知得a5=a3⋅q2，所以q=±2，都符合题意，所以a4=a3⋅q=±4，故选：C．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的通项公式可得a5=a3⋅q2，解可得q的值，代入通项公式计算可得答案．本题考查等比数列的性质，注意等比数列的通项公式的应用．3.【答案】A【解析】解：a>b>c且a+b+c=0，∴a>0>c，b∈R．∴ab>ac，ac<bc，a|b|与c|b|大小关系不确定，a2、b2、c2大小关系不确定．则上述不等式中正确的是A．故选：A．a>b>c且a+b+c=0，可得a>0>c，b∈R.利用不等式的基本性质即可判断出结论．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵0<x<1，∴1+x>2√x=√4x>√2x．∵1+x −11−x =1−x 2−11−x=−x 21−x<0，∴1+x <11−x．故选：C ．先由基本不等式确定a ，b 的大小，再对b ，c 作差比较即可．本题主要考查比较几个数的大小问题．比较大小一般通过基本不等式、作差、运用函数的单调性等来完成．5.【答案】B【解析】解：因数列{a n }为等比，则a n =3q n−1，因数列{a n +1}也是等比数列，则(a n+1+1)2=(a n +1)(a n+2+1)∴a n+12+2a n+1=a n a n+2+a n +a n+2∴a n +a n+2=2a n+1 ∴a n (1+q 2−2q)=0 ∴q =1 即a n =3，所以s n =3n ，故选：B ．根据数列{a n }为等比可设出a n 的通项公式，因数列{a n +1}也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q ，进而根据等比数列的求和公式求出s n ．本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力．6.【答案】D【解析】解：由互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，可设a =b −d ，c =b +d ，由题设得，{b −d +3b +b +d =10(b −d)2=b(b +d)，解方程组得{b =2d =6，或{b =2d =0，∵d ≠0， ∴b =2，d =6，因为a ，b ，c 成等差数列，且其和已知，故可设这三个数为b −d ，b ，b +d ，再根据已知条件寻找关于b ，d 的两个方程，通过解方程组即可获解．此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列的知识建立等式求解，注意三个成等差数列的数的设法：x −d ，x ，x +d ．7.【答案】D【解析】解：依题意可知A i =a i ⋅a i+1， ∴A i+1=a i+1⋅a i+2，若{A n }为等比数列则A i+1A i=a i+2a i=q(q 为常数)，则a 1，a 3，…，a 2n−1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比均为q ；反之要想{A n }为等比数列则A i+1A i=a i+2a i需为常数，即需要a 1，a 3，…，a 2n−1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相等；故{A n }为等比数列的充要条件是a 1，a 3，…，a 2n−1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同．故选D根据题意可表示A i ，先看必要性，{A n }为等比数列推断出a i+2a i为常数，可推断出a 1，a 3，…，a 2n−1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同；再看充分性，要使题设成立，需要a i+2a i为常数，即a 1，a 3，…，a 2n−1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相等，答案可得．本题主要考查了等比数列的性质，充分条件，必要条件和充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．8.【答案】B【解析】解：由题意，公司原有100人每年创造的产值为100t(万元)，分流后剩余(100−x)人每年创造的产值为(100−x)(1+1.2x%)t ，则由{0<x <100(100−x)(1+1.2x%)t ≥100t ，解得：0<x <503．∵x ∈N ，∴x 的最大值为16．故选：B ．不减少，可列不等式组求解．本题考查数学建模思想方法，关键是考查学生理解题意的能力，是中档题．9.【答案】1【解析】解：由a n+1=a n +a n+2，得a n+2=a n+1−a n ，所以a 3=a 2−a 1=1，a 4=a 3−a 2=1−2=−1，a 5=a 4−a 3=−1−1=−2，a 6=a 5−a 4=−2−(−1)=−1，a 7=a 6=a 5=−1−(−2)=1．故答案为：1．根据递推公式a n+1=a n +a n+2，得a n+2=a n+1−a n ，把a 1=1，a 2=2带入可依次求出前7项，从而得到答案．本题考查数列的递推公式，数列的递推公式是给出数列的一种方法．10.【答案】4【解析】解：若实数x ，y 满足xy =1，则x 2+4y 2≥2x ⋅2y =4xy =4，当且仅当x =2y =±√2时，上式取得最小值4．故答案为：4．运用不等式a 2+b 2≥2ab(当且仅当a =b 取得等号)，计算可得所求最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．11.【答案】③【解析】解：关于①，a +b >1，可取a =23，b =23，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”；关于②，a +b =2，可取a =1，b =1，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”；关于④，a 2+b 2>2，可取a =−2，b =−2，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”；关于⑤，ab >1，可取a =−2，b =−2，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”．关于③，若a +b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，可用反证法证明，它是正确的．证明如下：假设a ≤1且b ≤1，则a +b ≤2．与已知条件“a +b >2”矛盾，故选③．本题可以利用反证法，“假设a，b两数均小于或等于1，可得结论a+b小于等于2.”，由些推理可得到正确结论．本题考查的是不等式的基本性质和反证法，注意在判断其它命题错误时，可以举反例．本题计算量不大，但有一定的思维量，属于中档题．12.【答案】64【解析】【分析】本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题．依题意，a1=1，(a1+d)2=a1⋅(a1+4d)，可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案．【解答】解：∵{a n}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，∴(a1+d)2=a1⋅(a1+4d)，又a1=1，∴d2−2d=0，公差d≠0，∴d=2，∴其前8项和S8=8a1+8×72×d=8+56=64．故答案为：64．13.【答案】43(4n−1)【解析】解：∵a1=S1=1，a2=S2−S1=3−1=2，∴公比q=2．又∵数列{a n2}也是等比数列，首项为a12=1，公比为q2=4，∴a12+a22+⋯+a n2=1×(1−42)1−4=43(4n−1)故答案为：43(4n−1)由已知可得等比数列{a n}的首项和公比，进而可得数列{a n2}也是等比数列，且首项为a12=1，公比为q2=4，代入等比数列的求和公式可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式，得出数列为等比数列是解决问题的关键，属基础题．14.【答案】505【解析】解：由题意得：82+75+53+54+19+20+98+4+31+69=505，故答案为：505．将图中对角线上数字从左上到右下相加即可．本题考查了简单的合情推理问题，考查n 阶幻方，是一道基础题．15.【答案】解：(1)根据题意，等差数列{a n }中，设其公差为d ，若S 9=−a 5，则S 9=(a 1+a 9)×92=9a 5=−a 5，变形可得a 5=0，即a 1+4d =0，若a 3=4，则d =a 5−a 32=−2，则a n =a 3+(n −3)d =−2n +10； (2)若S n ≥a n ，则na 1+n(n−1)2d ≥a 1+(n −1)d ，当n =1时，不等式成立，当n ≥2时，有nd2≥d −a 1，变形可得(n −2)d ≥−2a 1，又由S 9=−a 5，即S 9=(a 1+a 9)×92=9a 5=−a 5，则有a 5=0，即a 1+4d =0，则有(n −2)−a 14≥−2a 1，又由a 1>0，则有n ≤10，则有2≤n ≤10，综合可得：1≤n ≤10.n ∈N ．【解析】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于中档题．(1)根据题意，等差数列{a n }中，设其公差为d ，由S 9=−a 5，即可得S 9=(a 1+a 9)×92=9a 5=−a 5，变形可得a 5=0，结合a 3=4，计算可得d 的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；(2)若S n ≥a n ，则na 1+n(n−1)2d ≥a 1+(n −1)d ，分n =1与n ≥2两种情况讨论，求出n 的取值范围，综合即可得答案．16.【答案】解：(1)命题：“∃x ∈{x|−1<x <1}，使等式x 2−x −m =0成立”是真命题，等价于∃x ∈{x|−1<x <1}，使得m =x 2−x =(x −12)2−14，∵−1<x <1， ∴−14≤m <2，M ={m|−14≤m <2}. (2)若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆N ，①当a >2−a ，即a >1时，N ={x|2−a <x <a}，则{2−a <−14a ≥2a >1，解得a >94；②当a <2−a ，即a <1时，N ={x|a <x <2−a}，则{a <1a <−142−a ≥2，解得a <−14；③当a =2−a 即a =1时，N =⌀，此时不满足条件，综上可得，a 的取值范围是(−∞,−14)∪(94,+∞)．【解析】本题主要考查了二次函数的性质，二次不等式求解，集合之间包含关系的应用，考查了特称命题与必要条件，考查了分类讨论思想，属于中档题．(1)利用参数分离法将m 用x 表示，结合二次函数的性质求出m 的取值范围，从而可求集合M ；(2)若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆N ，分类讨论即可求解，17.【答案】解：(1)由题意可得：200(5x +1−3x )≥3000，即5x −3x ≥14，解得x ≥3，又1≤x ≤10， ∴3≤x ≤10．(2)设生产1200千克产品的利润为y ，则y =100(5x +1−3x )⋅1200x=120000(−3x 2+1x +5)=120000[−3(1x −16)2+6112]，∴当1x =16即x =6时，y 取得最大值610000．故甲厂以6千克/小时的速度生产可使利润最大，最大利润为610000元．【解析】(1)根据题意列不等式求出x 的范围即可；(2)设总利润为y ，得出y 关于x 的函数解析式，配方得出最大值即可．本题考查了函数解析式，函数最值的计算，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵4m 2+4m −24<0，∴m 2+m −6<0，∴−3<m <2， ∴实数m 的取值范围为：(−3,2)． (2)p ：−1≤x ≤2，设A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x 2+2mx −m +6>0}， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴A ⊊B①由(1)知，−3<m <2时，B =R ，满足题意；②m =−3时，B ={x|x 2−6x +9>0}={x|x ≠3}，满足题意； ③m =2时，B ={x|x 2+4x +4>0}={x|x ≠−2}，满足题意； ④m <−3，或m >2时，设f(x)=x 2+2mx −m +6， f(x)对称轴为x =−m ，由A ⊊B 得 {−m <−1f(−1)>0或{−m >2f(2)>0， ∴{m >1−3m +7>0或{m <−23m +10>0，∴1<m <73或−103<m <−2，∴−103<m <−3或2<m <73综上可知：−103<m <73【解析】(1)由△<0得含m 的不等式，解之得m 的取值范围；(2)把p 是q 的充分不必要条件转化为由A ⊊B ，在各种情况下找出充要条件不等式组，进而求出实数m 的取值范围．本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵a 12=S 1=a 1，a 1≠0，∴a 1=1.….(1分) ∵a 22=S 3=a 1+a 2+a 3，∴(1+d)2=3+3d ，∴d =−1，2，当d =−1时，a 2=0不满足条件，舍去．因此d =2.….(4分)∴a n =2n −1，∴b n =12n−1−12n+1，∴T n =2n2n+1.….(6分) (2)当n 为偶数时，λ⋅2n2n+1<n +8，∴λ<(2n+1)(n+8)2n =12(2n +8n +17)，∵2n +8n ≥8，当n =2时等号成立，∴12(2n +8n +17)最小值为252，因此λ<252.….(9分)当n为奇数时，λ<(2n+1)(n−8)2n =12(2n−8n−15)，∵2n−8n 在n≥1时单调递增，∴n=1时12(2n−8n−15)的最小值为−212，∴λ<−212.….(12分)综上，λ<−212.….(14分)【解析】(1)利用a n2=S2n−1，n取1或2，可求数列的首项与公差，从人体可得数列的通项，进而可求数列的和；(2)分类讨论，分离参数，求出对应函数的最值，即可求得结论．本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，解题的关键是分类讨论，分离参数，属于中档题．20.【答案】解：(I)a n=n，S n=n(n+1)2．∴S1=1，S2=3，S3=6，S4=10，S5=15．∴b1=1，b2=2，b3=2，b4=2，b5=3．证明：(II)(充分性)∵a1是奇数，a i(i=2,3，4…)为偶数，∴对于任意i∈N∗，S i都是奇数，∴b n=n，∴数列{b n}是单调递增数列．(不必要性)当数列{a n}中只有a2是奇数，其余项都是偶数时，S1为偶数，S i(i=2,3，4…)均为奇数，∴b n=n−1，数列{b n}是单调递增数列，∴“a1为奇数，a i(i=2,3，4，…)为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的不必要条件．综上，：“a1为奇数，a i(i=2,3，4，…)为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的充分不必要条件．(Ⅲ)(1)当a k为奇数时，若S k为偶数，若a k+1是奇数，则S k+1为奇数，∴b k+1=b k+1=a k+1为偶数，与a k+1=b k+1矛盾；若a k+1为偶数，则S k+1为偶数，∴b k+1=b k=a k为奇数，与a k+1=b k+1矛盾．∴当a k为奇数时，S k不能为偶数；(2)当a k为偶数，若S k为奇数，若a k+1为奇数，则S k+1为偶数，∴b k+1=b k=a k为偶数，与a k+1=b k+1矛盾，若a k+1为偶数，则S k+1为奇数，∴b k+1=b k+1=a k+1为奇数，与a k+1=b k+1矛盾，∴当a k为偶数时，S k不能是奇数．综上，a k与S k同奇偶，∵a1=b1=S1为偶数，且0≤b1≤1，∴b1=a1=0，∵a2=b2≤b1+1=1，且b2≥0，∴b2=a2=0，以此类推，得到a n=0．.由此能写出数列{b n}的前5项．【解析】(I)推导出a n=n，S n=n(n+1)2(II)先证充分性，推导出b n=n，从而数列{b n}是单调递增数列；再证不必要性，当数列{a n}中只有a2是奇数，其余项都是偶数时，S1为偶数，S i(i=2,3，4…)均为奇数，b n= n−1，数列{b n}是单调递增数列，由此能证明：“a1为奇数，a i(i=2,3，4，…)为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的充分不必要条件．(Ⅲ)当a k为奇数时，推导出S k不能为偶数；当a k为偶数，推导出S k不能是奇数，从而a k 与S k同奇偶，由此得到a n=0．本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．。

北京高二上学期期中数学试题(解析版)

一、单选题1．经过点，且斜率为的直线方程是（） (1,2)2A ． B ．C ．D ．20x y -=20x y +=210x y -+=230x y +-=【答案】A【分析】根据点斜式方程求解即可.【详解】解：经过点，且斜率为的直线方程是，整理得. (1,2)2()221y x -=-20x y -=故选：A2．已知空间向量，，，若，则（） (2,3,4)a =- (4,,)b m n =- ,R m n ∈a b ∥m n -=A ．2B ．C ．14D ．2-14-【答案】C【分析】，得到，解得答案.b a λ=(4,,)(2,3,4)(2,3,4)m n λλλλ-=-=-【详解】，则，即， a b ∥b a λ= (4,,)(2,3,4)(2,3,4)m n λλλλ-=-=-解得，，，. 2λ=-6m =8n =-14m n -=故选：C3．已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的左顶点，则椭圆方程22221(0)x y a b a b +=>>352100x y ++=为（）A ．B ．22154x y +=221259x y +=C ．D ．221169x y +=2212516x y +=【答案】D【解析】直线过椭圆的左顶点,则椭圆的左顶点为,所以椭圆中，由离心率2100x y ++=(5,0)-5a =为，则，可求出椭圆的，从而可得椭圆的方程. 353c =b 【详解】直线与轴的交点为,2100x y ++=x (5,0)-直线过椭圆的左顶点，即椭圆的左顶点为.2100x y ++=(5,0)-所以椭圆中，由椭圆的离心率为，则.5a =353c =则，所以椭圆的方程为：.4b =2212516x y +=故答案为：D【点睛】本题考椭圆的简单几何性质，根据离心率求，属于基础题.,,a b c 4．在中，为边上的中线，为的中点，则（）ABC AD BC E AD EB =A ．B ．C ．D ．3144AB AC -1344AB AC -1344AB AC +1142AB AC +【答案】A【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为为边上的中线， AD BC 所以，1()2AD AB AC =+因为为的中点，E AD 所以可得， 111131()()224244EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=- 故选：A5．设，，则以线段为直径的圆的方程为（） (2,1)A -(4,1)B AB A ． B ． C ． D ．22(3)4x y -+=22(3)2x y -+=22(3)2x y ++=22(3)8x y ++=【答案】B【分析】由题知圆心为. ()3,0【详解】解：由题知线段中点为，AB ()3,0=所以，以线段为直径的圆的圆心为 AB ()3,022(3)2x y -+=故选：B6．设双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线上一2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F P C点，且．若的面积为的周长为（）1260F PF ∠=12F PF △12F PF △A ．BCD ．+2+【答案】A【分析】由三角形面积公式可求，结合余弦定理得1216PF PF ⋅= 22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，由离心率可求出，同理结合12122cos PF PF F PF -⋅∠,,a b c ()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅代入余弦定理可求，进而得解. 12PF PF +【详解】由题可知，求得， 1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅⋅∠=△1260F PF ∠= 1216PF PF ⋅=对由余弦定理可得12F PF △22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，即，12122cos PF PF F PF -⋅∠()()221212122222cos c a PF PF PF PF F PF =+⋅-⋅∠即，因为，解得， 2416,2b b ==2222243c a e a a+===222,6a c ==又，22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=+-⋅12122cos PF PF F PF -⋅∠即，解得， ()2212121212422cos c PF PF PF PF PF PF F PF =+-⋅-⋅∠12PF PF +=122F F c ==所以的周长为. 12F PF △1212PF PF F F ++=故选：A7．如图所示，在平行六面体中，，，，，ABCD A B C D -''''1AB =2AD =3AA '=90BAD ∠=，则的长为（）60BAA DAA ∠'=∠=' C A 'A ．5BCD 【答案】B【分析】由向量得：，展开化简，再利用向量的数AC AB AD AA =+'+'()()22AC AB AD AA =+'+' 量积，便可得出答案.【详解】解：，AC AB BC CC AB AD AA '=++='+'+，()()()()()222222()AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''∴=++=+++⋅+⋅'⋅'+ ∵，，，， 1AB =2AD =3AA '=90BAD ∠=60BAA DAA ∠'=∠=' . ()222291232(013cos 6023cos 60)142232AC ︒︒∴=+++⨯+⨯+⨯=+='⨯，即 AC ='∴AC '故选：B.8．过直线上一点作圆的切线，切点为．则四边形的43100x y ++=P 22:20C x y x +-=,A B PACB 面积的最小值为（）A B C D ．【答案】C【分析】由切线性质可得，由勾股定理表示出，进而得解.122PACB S PA AC =⋅⋅PA 【详解】如图，由切线性质可知，，所以，圆的,,PA AC PB BC PAC PBC ⊥⊥△≌△122PACB S PA AC =⋅⋅标准方程为，圆心为，半径为，点到直线距离，()2211x y -+=()1,0C 1r =C 4101455d +==最小，需使，故122PACB S PA AC =⋅⋅min PC d =()min122PACB S r =⋅=故选：C二、多选题9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若为上一点，且，则22:18y C x -=1F 2F P C 17PF =（）A ．的虚轴长为2B ．的值可能为5C 2PF C ．的离心率为3D ．的值可能为9C 2PF 【答案】BCD【分析】由双曲线标准式确定，可判断A ，C 是否正确，由双曲线第一定义可判断B ，D 正,,a b c 确性.【详解】由的标准式可确定：22:18y C x -=， 22231,8,9,1,3,231c a b c a b c b e a ==========故C 正确，A 错误；由双曲线第一定义可知，，解得或9，，，所以122PF PF -=17PF =25PF =2c a -=52,92≥≥BD 正确. 故选：BCD10．如图，为正方体，下面结论正确的是（）1111ABCD A B C D-A ．平面BD ∥11AB D B ．与平面AC 11AB D C ．平面1AC ⊥11CB D D ．异面直线与所成的角为 BD 1CB 60 【答案】ACD【分析】以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可逐个证明.【详解】以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，为正方体，设边长为1，1111ABCD A B C D -则，，，，，，，， ()0,0,0D ()1,0,0A ()1,1,0B ()0,1,0C ()10,0,1D ()11,0,1A ()11,1,1B ()10,1,1C 对A ，，，又∵平面，∵平面，∴()111,1,0BD B D ==--11BD B D ∥BD ⊄11AB D 11B D ⊂11AB D BD ∥平面，A 对；11AB D 对B ，，，，由得为平面()11,1,1AC =-- ()11,0,1AD =- ()10,1,1AB = 11110A C AD A C AB ⋅=⋅=1AC 的法向量，11AB D ，故与平面所成的角的正弦值为B 错； ()1,1,0AC =- AC 11ABD 11A C AC A C AC⋅==⋅对C ，由B 得，同理可证为平面的法向量，故平面，C 对；1AC u u u r11CB D 1AC ⊥11CB D对D ，，，∴异面直线与所成的角的余弦值为()1,1,0BD =-- ()11,0,1CB =BD 1CB ，故所成角为，D 对.1260 故选：ACD11．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则（）22195x y +=F (0y m m =<<A B A ．为定值 B ．的周长的取值范围是 AF BF +ABF △()6,12C ．当为直角三角形 D ．当时，m =ABF △1m =ABF △【答案】AB【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A ；由为定值以及的范围判断||||AF BF +||AB B ；求出坐标，由数量积公式得出，得出为钝角三角形判断C ；求出坐,A B ·0FA FB <ABF △,A B 标，由面积公式得出的面积判断D.ABF △【详解】解：设椭圆的左焦点为，连接，由椭圆的对称性得， 1F 1AF 1AF BF =所以为定值，A 正确；16AF BF AF AF +=+=的周长为，因为为定值6，ABF △||||||AB AF BF ++||||AF BF +所以的范围是，所以的周长的范围是，B 正确； ||AB (0,6)ABF△(6,12)将，，又因为， y=A ⎛ ⎝B(2,0)F 所以，，即为钝角，23(2)02FA FB ⋅=+=-<AFB ∠所以为钝角三角形，C 错误；ABF △将与椭圆方程联立，解得，所以D 错误. 1y =,A B ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭112ABF S == 故选：AB【点睛】12．在四棱锥中，底面S ABCD -ABCD是边长为2的正方形，底面，，，交于点，是棱上的动点，SA ⊥ABCD SA AB =AC BD O M SD 则（）A ．存在点，使平面 M //OM SBCB ．三棱锥体积的最大值为S ACM -23C ．点到平面的距离与点到平面的距离之和为定值2 M ABCD M SAB D ．存在点，使直线与所成的角为 M OM AB 60 【答案】ACD【分析】根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，利用向量法判断A AB AD AS ，，,,x y z CD ，根据底面积不变，高最大时，锥体体积最大，判断B 选项.根据线面平行的判定定理判断A. 【详解】解：根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角A AB AD AS ，，,,x y z 坐标系，如图，则, (0,0,0),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0)A C B D S O 由是棱上的动点，设，M SD (0,,2),(02)M λλλ-≤≤,其中为到平面的距离，13S ACM SAC V S h -=⨯ h M SAC 因为底面为正方形，故, ABCD OD AC ⊥又底面底面 SA ⊥,ABCD OD ⊂,ABCD 所以,SA OD ⊥又,平面， SA AC A ⋂=,SA AC ⊂SAC 所以底面,OD ⊥SAC 所以当与D 重合时，三棱锥体积的最大且为，故B 错M S ACM-1142323S ACM V -=⨯⨯⨯=误；当为中点时，是的中位线，所以，又平面，M SD OM SBD //OM SB OM ⊄SBC 平面，所以平面，故A 正确；SB ⊂SBC //OM SBC 点到平面的距离， M ABCD 12d λ=-点到平面的距离,M SAB 2|||(0,,2)(0,2,0)|2||AM AD λλd λAD →→→⋅-⋅===所以，故C 正确.1222d d λλ+=-+=,,(2,0,0)AB →=(1,1,2)OM λλ→=---若存在点，使直线与所成的角为M OM AB 60︒则，化简得，解得1cos 602AB OM AB OM ⋅︒=== 2310λλ-+=λ=所以，当与所成角为，故D 正确； λ=OM AB 60︒故选：ACD三、填空题13．若，，则___________． ()53,2,a =()0,1,4b =- 2a b -=【分析】由向量坐标的线性运算及模运算计算即可.【详解】，故()()()22320,1,42,1,13,,5a b -=-⨯-= a -=14．已知正方形的中心为直线，的交点，正方形一边所在的直线方程为220x y -+=10x y ++=，则它邻边所在的直线方程为___________．350x y +-=【答案】390,330x y x y -+=--=【分析】先求出中心坐标为，再根据邻边所在直线与垂直设方程为，进(1,0)M -1l 34,l l 230x y d -+=而结合点即可求解. (1,0)M -【详解】解：，解得，22010x y x y -+=⎧⎨++=⎩10x y =-⎧⎨=⎩∴中心坐标为，(1,0)M -点M 到直线的距离1:350l x y +-=d设与垂直两线分别为，则点， 1l 34l l 、(1,0)M -设方程为34,l l 230x y d -+=或， 23d =-9∴它邻边所在的直线方程为． 390,330x y x y -+=--=故答案为：390,330x y x y -+=--=15．已知圆，直线的距离等于1，则22x y a +=:=l y x l =a ___________．【答案】4【分析】由圆心到直线距离可确定，进而得解. 2rd =【详解】圆的圆心为，则. 22x y a +=()0,0,r =2r d ==4a =故答案为：416．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是1111ABCD A B C D -P 1BD DC AP ⋅___________．【答案】[]0,4【分析】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出1BP BD λ=⋅ DC AP ⋅λ的取值范围．DC AP ⋅【详解】解：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立DAx DC y 1DD z 空间直角坐标系．则，，，，．()0,0,0D ()0,2,0C ()2,0,0A ()2,2,0B ()10,0,2D ，，．∴()0,2,0DC = ()12,2,2BD =-- ()0,2,0AB =点在线段上运动，P 1BD ，且． ∴()12,2,2BP BD λλλλ=⋅=--01λ……，∴()2,22,2AP AB BP λλλ=+=--，∴44DC AP λ⋅=-∵，∴，即， 01λ……0444λ≤-≤[]0,4DC AP ⋅∈故答案为：．[]0,4四、解答题17．已知的三个顶点分别为，，．ABC ()2,4A ()1,1B ()7,3C(1)求边的垂直平分线的方程； BC (2)求的面积． ABC 【答案】(1) 3140x y +-=(2) 8【分析】（1）计算，的中点为，边的垂直平分线的斜率，得到直线方13BC k =BC ()4,2BC 3k =-程.（2）计算到直线的距离为，得到面积. BC =A BC d =【详解】（1），故边的垂直平分线的斜率，的中点为， 311713BC k -==-BC 3k =-BC ()4,2故垂直平分线为，即. ()342y x =--+3140x y +-=（2=所在的方程为，即， BC ()1113y x =-+320x y -+=到直线的距离为. A BC d 11822S BC d =⋅=⨯=18．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)以直线为渐近线，焦点是，的双曲线； y =()3,0-()3,0(2)离心率为，短轴长为6的椭圆． 45【答案】(1)22136x y -=(2)或221259x y +=221259y x +=【分析】（1）由题意设双曲线方程为(，)，根据焦点坐标和双曲线的渐近线方22221x y a b-=0a >0b >程求出，即可；a b （2）分椭圆的焦点在轴时和轴时讨论求解即可.x y 【详解】（1）解：由题意设双曲线方程为，由焦点坐标可知，22221(0,0)x y a b a b-=>>3c =双曲线的渐近线方程为，可得 y =ba=又，解得222+=a b c a =b =所以双曲线的方程为.22136x y -=（2）解：当焦点在轴时，设椭圆方程为，x 22221x y a b +=(0)a b >>由题可得，解得，，2224526c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩5a =3b =所以椭圆方程为；221259x y +=当焦点在轴时，设椭圆方程为，y 22221y x a b +=(0)a b >>由题可得，解得，，2224526c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩5a =3b =所以椭圆方程为；221259y x +=所以，所求椭圆方程为或.221259x y +=221259y x +=19．如图，在正方体中，为的中点．1111ABCD A B C D -E 1BB(1)求证：平面； 1BC ⊥1ACD (2)求直线与平面所成角的余弦值． 1D C 1AD E 【答案】(1)证明见详解【分析】（1）要证平面，可证，结合正方体性质即可求证；1BC ⊥1ACD 111BC A DBC CD⊥⎧⎨⊥⎩（2）以方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标AD x AB y 1AA z系，求出和平面的法向量，由向量的夹角公式求出与平面所成角的正弦值，结1D C1AD E 1D C 1AD E 合同角三角函数即可求解.【详解】（1）连接，因为几何体为正方体，所以，四边形为平行四边形，11,A D AC 11//D C AB 11ABC D 所以，因为，所以，11//BC AD 11AD DA ⊥11BC A D ⊥又平面，平面，所以平面，11,,,CD BC CD CC BC CC C BC ⊥⊥=⊂ 11BCC B 1CC ⊂11BCC B CD ⊥11BCC B 又平面，所以，1BC ⊂11BCC B 1BC CD ⊥平面，平面，所以平面； 1,CD A D D CD =⊂ 1ACD 1A D ⊂1ACD 1BC ⊥1ACD（2）以方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标AD x AB y 1AA z 系，不妨设正方体边长为1，则，，()()()110,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,2A C D E ⎛⎫⎪⎝⎭()10,1,1D C =-，设平面的法向量为，则，即，设()111,0,1,0,1,2AD AE ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 1AD E (),,n x y z = 100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩020x z y z +=⎧⎨+=⎩，则，，2x =1,2y z ==-()2,1,2n =-设直线与平面所成角为，则，所以1D C 1AD Eθ1sin cos D C θ==π4θ=cos θ=，故直线与平面. 1D C 1AD E20．已知圆的方程为．C 221x y +=(1)求过点且与圆相切的直线的方程；()1,2P C l (2)直线过点，且与圆交于两点，当是等腰直角三角形时，求直线的方程． m (1,2)P C ,A B AOB m 【答案】(1)或 1x =3450x y -+=(2)或 10x y -+=750x y --=【分析】（1）斜率不存在时显然相切，斜率存在时，设出直线的点斜式方程，由圆心到直线距离等于半径求出，进而得解；k （2，进而得解. 【详解】（1）当直线斜率不存在时，显然与相切； 1x =221x y +=当直线斜率存在时，可设，由几何关系可得，解得，故():12l y k x =-+1d r =34k =，即，故过点且与圆相切的直线的方程为或()3:124l y x =-+3450x y -+=()1,2P C l 1x =；3450xy -+=（2）设，可设中点为，因为是等腰直角三角形，所以，即()1:12my k x =-+ABD AOBOD =圆心到直线距离，解得或7，故直线或，即d =11k =():12m y x =-+()712y x =-+或.10x y-+=750x y --=21．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别ABCD ABEF M N 在正方形对角线和上移动，且．AC BF (0CM BN a a ==<<(1)求证与平面平行； MN BCE(2)当的余弦值． a =A MNB --【答案】(1)证明见详解(2)13-【分析】（1）采用建系法，表示出坐标，要证与平面平行，即证平面的,M N MN BCE MN ⊥BCE 法向量；（2）分别求出平面和平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解.AMN MNB 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，所以ABCD ⊥ABEF ABCD ABEF AB =BE AB ⊥平面，，所以平面，显然三垂直，以方向为轴正BE ⊥ABCD BC AB ⊥BC ⊥ABEF ,,BA BE BC BA x 方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，BE y BC z B AEC -，因为，所以，，()()()()1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0A C B F (0CM BN a a ==<<CM = BN设，，，由，得()()111222,,,,,M x y z N x y z ()111,,1CM x y z =- ()1,0,1=- CA CM = M，，，由得，，可设平面()222,,BN x y z = ()1,1,0= BF BN = N ⎫⎪⎭1MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 的法向量为，，所以与平面平行；BCE ()1,0,0n =r 0MN n ⋅=MN BCE（2）当，，，a =1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1,0,0A ()0,0,0B 1111,0,,,,02222AM AN ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，， 1111,0,,,,02222BM BN ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面的法向量为，则，即，可设，故，设AMN ()1,,n x y z = 1100n AM n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩x y z ==1x =()11,1,1n = 平面的法向量为，则，即，令，则，故MNB ()2333,,n x y z = 2200n BM n BN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 333300x z x y +=⎧⎨+=⎩31x =331y z ==-，设二面角的平面角为，则， ()21,1,1n =-- A MN B --θ121cos cos ,3n n θ==- 故二面角的余弦值为.A MNB --13-22．已知椭圆的离心率为，且经过点．2222:1(0)xy C a b a b+=>>1231,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求椭圆的方程；C (2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于y kx m =+C M N 、O OM ON 、34-，试探求的面积是否为定值，并说明理由．OMN 【答案】(1)22143x y +=(2)【分析】（1）将代入标准方程得关系，由离心率得关系，结合即可求31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭,a b ,a c 222a b c =+解；（2）设，联立直线与椭圆方程，由斜率之积等于求出与关系，由弦长()()1122,,,M x y N x y 34-k m 公式求出，由点到直线距离公式求出的高，结合三角形面积公式化简即可求解. MN OMN 【详解】（1）因为椭圆过，故，又，，联立解得31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭221914a b +=22214c e a ==222a b c =+，所以椭圆的方程为； 2221,3,4c b a ===C 22143x y +=（2）设，联立得，()()1122,,,M x y N x y 22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2224384120k x kmx m +++-=，()()()()2222284341248430km k m k m ∆=-+-=+->， ()12221228434343km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩()2212121212121212OM ON k x x km x x my y kx m kx m k k x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅= ()()()()()22222222222222438438434343434343m km k km m k m k m m k k k m m k --⎛⎫⋅+⋅+ ⎪--++++⎝⎭==--+，即，()()222343443m k m -==--22243m k =+d =12OMN S MN d =⋅==△所以的面积为定值.OMN。

北京市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案

北京市2023—2024学年第一学期期中阶段练习高二数学（答案在最后）2023.11班级____________姓名____________学号____________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知(1,3),(3,5)A B --，则直线AB 的斜率为（）A.2 B.1C.12D.不存在【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式，可求出直线AB 的斜率.【详解】由(1,3),(3,5)A B --，可得35213AB k --==--.故选：A.2.圆222430x y x y +-++=的圆心为（）．A.(1,2)-B.(1,2)- C.(2,4)- D.(2,4)-【答案】A 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.【详解】由222430x y x y +-++=，得22(1)(2)2x y -++=，所以圆心为(1,2)-，故选：A3.一个椭圆的两个焦点分别是()13,0F -，()23,0F ，椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A.2216428x y += B.221167x y += C.221169x y += D.22143x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，故28,4a a ==，且()13,0F -，故2223,7c b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为221167x y +=.故选：B4.任意的k ∈R ，直线13kx y k -+=恒过定点（）A.()0,0 B.()0,1 C.()3,1 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点.【详解】因为13kx y k -+=，即()31y k x =-+，所以直线13kx y k -+=恒过定点()3,1.故选：C.5.已知圆221:1C x y +=与圆222:870C x y x +-+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，得到12124C C r r ==+，得到两圆外切.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆()22222:87049C x y x x y +-+=⇒-+=，故圆心()24,0C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是外切.故选：D6.过点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与圆2214x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角取值范围是（）A.π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为12，圆心为原点，当倾斜角为π2时，即直线l 方程为12x =-，此时直线l 与圆相切满足题意；当斜率存在时，不妨设直线l方程为122y k x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则圆心到其距离为12d =≤，解不等式得33k ≤-，所以直线l 的倾斜角取值范围为π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A7.“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出当12l l //时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当12l l //时，()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时，直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //；当4a =时，直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //.因为{}1-{}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件.故选：A.8.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】()()21111111AB AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ 211110222228,22AB AD ⇒⋅=+⨯⨯+⨯⨯+= 故选：B9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点()2,0A ，()1,2B ，且AC BC =，则△ABC 的欧拉线的方程为（）A.240x y --=B.240x y +-=C.4210x y ++=D.2410x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由题设条件求出AB 垂直平分线的方程，且△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得20212AB k -==--，且AB 中点为3(,1)2，∴AB 垂直平分线的斜率112AB k k =-=，故垂直平分线方程为131()12224x y x =-+=+，∵AC BC =，则△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线的方程为2410x y -+=.故选：D10.曲线33:1C x y +=.给出下列结论:①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A.①② B.②C.②③D.③【答案】C 【解析】【分析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误.②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③.故选：C【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.已知空间()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，a b ⊥ ，则b ＝_____．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案.【详解】由a b ⊥ ，且()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，则860a b x ⋅=-++=r r ，解得2x =，故b =r.故答案为：12.已知过点(0,2)的直线l 的方向向量为(1,6)，点(,)A a b 在直线l 上，则满足条件的一组,a b 的值依次为__________．【答案】1；8【解析】【分析】根据方向向量设出直线l 的方程，再由点(0,2)求出其方程，从而得出62b a =+，即可得出答案.【详解】直线l 的方向向量为(1,6)，可设直线l 的方程为60x y C -+=因为点(0,2)在直线l 上，所以2C =，即直线l 为620x y -+=所以620a b -+=，即62b a =+可取1a =，则8b =故答案为：1；813.在正方体ABCD A B C D -''''中，E 是C D ''的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为______.【答案】10【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.【详解】如图所示，取A B ''的中点F ，易得//AF DE ，则FAC ∠或其补角为所求角，不妨设正方体棱长为2，则,3,AF FC FC AC '====，由余弦定理知：222cos 210AF AC FC FAC AF AC +-∠==⋅，则FAC ∠为锐角，即异面直线DE 与AC 所成角.故答案为：1010.14.将一张坐标纸对折，如果点()0,m 与点()()2,22m m -≠重合，则点()4,1-与点______重合.【答案】()1,2--【解析】【分析】先求线段AB 的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点()0,A m 与点()2,2B m -，可知线段AB 的中点为1,122mm M ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且212AB mk m -==--，则线段AB 的中垂线的斜率1k =，则线段AB 的中垂线方程为1122m m y x ⎛⎫⎛⎫-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20x y -+=，设点()4,1-关于直线20x y -+=的对称点为(),a b ，则114412022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，所以所求点为()1,2--.故答案为：()1,2--.15.给定两个不共线的空间向量a 与b，定义叉乘运算：a b ⨯ .规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a，b垂直的向量；（ii ）a，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯= ；②AB AD AD AB ⨯=⨯；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中，正确结论的序号是______________.【答案】①③④【解析】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【详解】解： ||||||sin902214AB AD AB AD ⨯=︒=⨯⨯=，且1AA 分别与,AB AD 垂直，∴1AB AD AA ⨯= ，故①正确；由题意，1AB AD AA ⨯= ，1AD AB A A ⨯=，故②错误；AB AD AC +=，∴11|()|||41AB AD AA AC AA +⨯=⨯=⨯= 且1()AB AD AA +⨯ 与DB 共线同向， 1||2418AB AA ⨯=⨯⨯= ，1AB AA ⨯ 与DA 共线同向，1||2418AD AA ⨯=⨯⨯= ，1AD AA ⨯ 与DB共线同向，11||AB AA AD AA ∴⨯+⨯= 11AB AA AD AA ⨯+⨯ 与DB共线同向，故③正确；11()||||||sin90cos022416AB AD CC AB AD CC ⨯=⨯⨯︒⨯︒=⨯⨯=，故④成立．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案．．．写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．.16.在平面直角坐标系中，已知(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，线段AC 的中点M ；（1）求过M 点和直线BC 平行的直线方程；（2）求BC 边的高线所在直线方程．【答案】（1）3170x y -+=（2）30x y +=【解析】【分析】（1）根据(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，求得点M 的坐标，和直线直线BC 的斜率，写出直线方程；（2）根据13BC k =，得到BC 边的高线的斜率，写出直线方程；【小问1详解】解：因为(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，所以()1,6M ，13BC k =，所以过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1613y x -=-，即3170x y -+=；【小问2详解】因为13BC k =，所以BC 边的高线的斜率为-3，所以BC 边的高线所在直线方程()933y x -=-+，即30x y +=17.如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点.（1）求证：1//BC 平面1AED ；（2）求点1A 到平面1AED 的距离；（3）直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）43（3）23【解析】【分析】（1）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点1A 到平面1AED 的距离；（3）利用空间向量法可求得直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，故四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，因此，1//BC 平面1AED .【小问2详解】解：以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()0,2,1E 、()12,0,2D ，所以，()10,0,2AA = ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE = ，设平面1AED 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2z =-，可得()2,1,2n =- ，所以，点1A 到平面1AED 的距离为143AA n d n⋅== .【小问3详解】解：因为11142cos ,233AA n AA n AA n ⋅<>===⨯⋅ ，因此，直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值为23.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与x 轴相切于点()1,0.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，____，求m 的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆C 被直线l 分成两段圆弧，其弧长比为2:1；条件②：2AB =；条件③：90ACB ∠=︒.【答案】（1）()()22124x y -+-=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.【小问1详解】设圆心坐标为(),C a b ，半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知：2a b =.又圆C 与x 轴相切于点()1,0，1a ∴=，2b =，则02r b =-=.∴圆C 圆心坐标为()1,2，则圆C 的方程为()()22124x y -+-=【小问2详解】如果选择条件①：120ACB ∠=°，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离1cos 60d CA =⨯= ，则1d ==，解得1m +或1+.如果选择条件②和③：AB =，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离d =，则d ==，解得1m =-或3.如果选择条件③：90ACB ∠=︒，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离cos 45d CA ⨯== ，则d ==，解得1m =-或3.19.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是33，求m 的值；（3）若2m =，在线段A 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）推导出⊥BC 平面PAB ．,AE BC AE PB ⊥⊥．由此能证明AE ⊥平面PBC ;（2）建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出m 的值;（3）设()()0,0,03F t t ≤≤，当2m =，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE ==-- ，由PF CE ⊥知，0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,从而在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．【小问1详解】证明：因为AD ⊥平面PAB ，BC AD ∥,所以⊥BC 平面PAB ,又因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．在PAB 中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为BC PB B = ,,BC PB ⊂平面PBC ,所以AE ⊥平面PBC ．【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以,AD AB AD PA ⊥⊥,又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3A B C m E P D ,则()0,2,AC m = ，()1,1,0AE = ，设平面AEC 的法向量为 =s s ．则00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即200y mz x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z m =，故21,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥,又AE PB ⊥,,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面AED ,所以PB ⊥平面AED ．又因为()2,2,0PB =- ，所以取平面AED 的法向量为()2,2,0PB =-所以cos ,3n PB n PB n PB⋅== ，3=，解得21m =．又因为0m >，所以1m =；【小问3详解】结论：不存在．理由如下：证明：设()()0,0,03F t t ≤≤．当2m =时，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE =-=-- ，由PF CE ⊥知0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,所以在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．20.已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x --=交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为13-.（1）求a 的值及MON △的面积；（2）若圆C 与x 轴交于,A B 两点，点Q 是圆C 上异于,A B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交:4l x =-于,R S 两点.当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）12,2MON a S =-=（2）()4-【解析】【分析】（1）先确定直线OP 的方程，联立直线方程求得P 点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a ，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；（2）设QA 方程，含参表示QB 方程，求出,R S 坐标，从而求出以RS 为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.【小问1详解】由题知：直线OP 方程为13y x =-，则由113y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，得到3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点P 为线段MN 的中点，MN PC ∴⊥，即1021132MN PC k k a -⋅=-⨯=-+，2a ∴=-，即圆心−2,0；C ∴到直线=1y x --距离为2d ==，MN ∴==，又O 到直线=1y x --的距离为22，MN 边上的高为22.11222MON S ∴=⨯= .【小问2详解】由上可知()()3,0,1,0A B --,不妨设直线QA 的方程为()3y k x =+，其中0k ≠，在直线QA 的方程中，令4x =-，可得()4,R k --，因为QA QB ⊥，则直线QB 的方程为()11y x k =-+，在直线QB 的方程中，令4x =-，可得3y k =，即点34,S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则线段RS 的中点为234,2k F k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径平方为2232k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以，以线段MN 为直径的圆的方程为()2222233422k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2223430k x y y k -++--=，由()2430031x y x ⎧+-=⎪=⎨⎪-<<-⎩，解得40x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，因此，当点Q 变化时，以RS 为直径的圆恒过圆C内的定点()4-+.21.已知{}1,2,,n S = ，A S ⊆，{}12,T t t S =⊆，记{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，用X 表示有限集合X 的元素个数.（1）若4n =，12A A =∅ ，分别指出{}1,2,3A =和{}1,2,4A =时，集合T 的情况（直接写出结论）；（2）若6n =，12A A =∅ ，求12A A ⋃的最大值；（3）若7n =，4A =，则对于任意的A ，是否都存在T ，使得12A A =∅ 说明理由.【答案】（1）{}1,4（2）10（3）不一定存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知得12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，当{}1,2,3A =时，12t t ，相差3；由此可求得T ，当{}1,2,4A =时，同理可得；（2）若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当{}2,3,4,5,6A =时，则12t t ，相差5，所以{}1,6T =，A 中至多有5个元素，所以12,A A 也至多有5个元素，求出12,A A 得出结果；（3）举反例{}1,2,5,7A =和{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，根据题意检验即可说明.【小问1详解】若12A A =∅ ，则12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，否则12t a t b +=+，12A A ⋂≠∅，若4n =，当{}1,2,3A =时，211-=，312-=，所以121,2t t -≠，则1t ，2t 相差3，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以{}1,4T =；当{}1,2,4A =时，211-=，422-=，413-=，所以121,2,3t t -≠，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以T 不存在；【小问2详解】若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当A S =时，211-=，514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，所以A S ≠，121,2,3,4,5t t -≠，所以T 不存在；所以A 中至多有5个元素；当{}2,3,4,5,6A =时，321-=，422-=，523-=，624-=，所以121,2,3,4t t -≠，则1t ，2t 相差5，所以{}1,6T =；{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，所以{}1345,6,7A =,,，{}28910,11,12A =,,，{}12345,6,7,8910,11,12A A = ,,,,.因为A 中至多有5个元素，所以1A ，2A 也至多有5个元素，所以12A A ⋃的最大值为10.【小问3详解】不一定存在，理由如下：例如{}1,2,5,7A =，则211-=514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，则1t ，2t 相差不可能1，2，3，4，5，6，这与{}{}12,1,2,3,4,5,6,7T t t =⊆矛盾，故不都存在T ；例如{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，不妨令121,6t t ==，则{}{}122,3,4,5,7,8,9,10A A ==，满足12A A =∅ .【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.。

2021-2022学年北京市首师大附中高二(上)期中数学试卷

2021-2022学年北京市首师大附中高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40分）1．直线x+y﹣＝0的倾斜角为（）A．45°B．60°C．120°D．135°2．已知圆（x+1）2+y2＝2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），D．（﹣1，0），3．若直线l1：2x+ay+1＝0与直线l2：x﹣2y+2＝0平行，则a＝（）A．1B．﹣1C．4D．﹣44．已知点A（1，0），直线l：x﹣y+1＝0，则点A到直线l的距离为（）A．1B．2C．D．25．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α6．若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（1，m）三点共线，则m的值为（）A．0B．C．﹣2D．﹣17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则•等于（）A．1B．2C．3D．8．点M，N是圆x2+y2+2kx+2y﹣4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x﹣y+1＝0对称（）A．3B．C．D．99．kx﹣y+2k+1＝0与x+2y﹣4＝0的交点在第四象限，则k的取值范围为（）A．（﹣6，2）B．C．D．10．已知圆C：x2+y2+2x﹣2my﹣4﹣4m＝0（m∈R），则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（）A．B．6C．D．二、填空题（本大题共5小题，共25分）11．已知向量＝（﹣1，2，1），＝（3，x，y），且∥，则x+y＝．12．已知直线l经过A（1，1），B（2，3）两点，则l的斜率为，直线l的方程为.（写成一般式）13．已知直线l过点（1，2），且在横坐标轴与纵坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可以是.（写出一种即可）14．已知直线l1：ax﹣y+2a＝0，与l2：（2a﹣1）x+ay+a＝0互相垂直，则a的值是或．15．已知集合P＝{（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝4，0≤θ≤π}．知集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”给出下列结论：①“水滴“图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为；②在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为4；③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则|CD|＝3+．④白色“水滴“图形的面积是．其中正确的有．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16．（1）已知点A（2，3）在直线l上，直线l的方向向量为（2，3）；（2）已知点A（2，3）在直线l上，直线l的法向量为（2，3）（结果写成一股式）．17．如图，在空间四边形OABC中，2，点E为AD的中点，设＝，，＝．（1）试用向量，，表示向量；（2）若OA＝OC＝4，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°|的值．18．已知△ABC的三个顶点分别为A（0，1），B（2，1），C（0，5），求：（1）BC边上中线AD所在直线的方程（D为BC中点）；（2）BC边的垂直平分线的方程；（3）求△ABC的外接圆方程．19．如图，在三校杉ABC﹣A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝2，且AC⊥CB，AA1⊥底面ABC，E为AB中点．（1）求证：BC1∥平面A1CE；（2）求二面角A1﹣CE﹣B的余弦值；（3）求点B1到平面A1CE的距离．20．已知直线l1经过点（0，1），直线l2过点（5，0），且l1∥l2．（1）若l1与l2距离为5，求两直线的方程；（2）若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．21．在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平证ABCD⊥平面SBC，M是BC的中点．AB＝SM＝1，BC＝2．（1）求证：AM⊥SD；（2）求直线SA与平面SCD所成角的正弦值；（3）在线段SD上是否存在点P，使得面AMP⊥面SCD，若存在；若不存在，说明理由．。

北京师范大学附属中学2020学年高二数学上学期期中试题理

北京师大附中2020学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知命题N n p ∈∀:，n n>2，则p ⌝是A. N n ∈∀，n n≤2 B. N n ∈∀，n n<2C. N n ∈∃，n n ≤2D. N n ∈∃，n n >22. 设直线0=++c by ax 的倾斜角为α，且0cos sin =+αα，则a,b 满足 A. 1=+b a B. 1=-b aC. 0=+b aD. 0=-b a3. 已知p,q 是简单命题，那么“q p ∧是真命题”是“p ⌝是真命题”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E ，F 两点，则EOF ∆（O 是原点）的面积为A.23B.43C. 52D.556 5. 关于两条不同的直线m,n 与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是 A. α//m ，β//n 且βα//，则n m // B. α⊥m ，β//n 且βα//，则n m ⊥ C. α⊥m ，β⊥n 且βα⊥，则n m //D. α//m ，β⊥n 且βα⊥，则m//n6. 已知椭圆12222=+y ax 的一个焦点与抛物线x y 82=的焦点重合，则该椭圆的离心率是A.36B.332 C. 22 D.23 7. 已知双曲线的焦点在x 轴上，焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线012=+-y x 平行，则双曲线的标准方程为A. 1422=-y xB. 1422=-y xC. 15320322=-y xD. 12035322=-y x 8. 已知点A （2，1），抛物线x y 42=的焦点是F ，若抛物上存在一点P ，使得||||PF PA +最小，则P 点的坐标为 A. （2，1） B. （1，1）C. （21，1）D. )1,41(9. 某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛，该校高一年级有1，2，3，4，四个班参加了比赛，其中有两个班获奖，比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”，已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是 A. 乙，丁 B. 甲，丙 C. 甲，丁D. 乙，丙10. 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，P 为底面ABCD 上的动点，C A PE 1⊥于E ，且PA=PE ，则点P 的轨迹是A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分二、填空题（每小题5分，共30分）11. 已知直线02=+y x 与直线04)1(=+++y a x 垂直，则实数a 的值是________。

2023—2024学年北京市昌平区首都师范大学附属中学昌平学校高二上学期期中考试试数学试卷

2023—2024学年北京市昌平区首都师范大学附属中学昌平学校高二上学期期中考试试数学试卷一、单选题1. 设，，则的中点的坐标为（）A．B．C．D．2. 直线的倾斜角是（）A．B．C．D．3. 已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O 的位置关系是()A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．无法判断4. 已知向量，且，则x的值为（）A．4B．2C．3D．15. 点到直线的距离是（）A．B．C．D．6. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，则（）A．B．C．D．7. 平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（）A．B．C．D．8. 已知直线l经过点，平面的一个法向量为，则（）A．B．C．D．l与相交，但不垂直9. 已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．10. 已知，，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题11. 已知，，则等于 _________ .三、双空题12. 圆的圆心坐标为 ___________ ；半径为___________ .四、填空题13. 在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为__________ .14. 两条直线与之间的距离是 ______ .五、双空题15. 过点且与直线平行的直线的方程是__________________ ；过点且与直线垂直的直线的方程为__________________六、填空题16. 已知直线（为常数）和圆，给出下列四个结论：①当变化时，直线恒过定点；②直线与圆可能无公共点；③若直线与圆有两个不同交点，，则线段的长的最小值为；④对任意实数，圆上都不存在关于直线对称的两个点.其中正确的结论是 ______ .（写出所有正确结论的序号）七、解答题17. 已知点，求：(1) 边上的中线所在直线的方程；(2)三角形的面积.18. 如图，正方体的棱长是，点为的中点.(1)求证：∥平面；(2)求直线到平面的距离.19. 已知圆，圆及点.(1)判断圆和圆的位置关系；(2)求经过点且与圆相切的直线方程.20. 已知点，，线段是圆的直径.(1)求圆的方程；(2)过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.21. 如图，在直三棱柱中，，M、N分别是的中点，．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面所成角的余弦值．22. 在平面上，我们把与定点距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，为该曲线的两个焦点．已知曲线是一条伯努利双纽线．(1)求曲线的焦点的坐标；(2)判断曲线上是否存在两个不同的点、（异于坐标原点），使得以为直径的圆过坐标原点．如果存在，求点、坐标；如果不存在，请说明理由．。

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2020北京首师附中高二（5-12班）（上）期中
数学
一.选择题
1．在二项式6(1)x +的展开式中，含2x 的项的系数是（）
A ．15-
B ．20-
C ．15
D ．20
2．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）
A ．=n αβ，m α⊂，////m m n β⇒
B ．αβ⊥，=m αβ⋂，m n n β⊥⇒⊥
C ．m n ⊥，m α⊂，n βαβ⊂⇒⊥
D ．//m α，n ⊂α，//m n ⇒
3. 在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1,CD DD 的中点，则异面直线EF 与11A C 所成角的余弦值为 ( ) A.1
2 B. 12-
C.2
D.2-
4. 五名学生和五名老师站成一排照相，五名老师不能相邻的排法有（）
A ．55552A A
B ．5565A A
C ．5
5562A A D ．5555
A A
5．将4位志愿者分配到世博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种．
A ．72
B ．36
C ．64
D ．81
6.如图，E 为棱长为3的正方体的棱1AA 上一点，且1113
A E
A A =，F 为棱AD 上一点，且190C EF ∠=︒，则
:AF FD = （）
A ．2:7
B ．2:6
C ．1:3
D ．2:5
7. 将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放
置硬币的方法共有（）种．
A ．6
B ．12
C ．18
D ．36
8. 如图，四棱锥S ABCD -的正方形ABCD ，AC 与BD 的交点为O ，SO ⊥平面ABCD 且
SO =E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为( )
A ．
B ．
C ．1+
D ．1+9. 将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种
植方法种数是（）．
A ．420
B ．180
C ．64
D ．25
10. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数(0d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是 A ．6m ≠
B ．5m ≠
C ．4m ≠
D ．3m ≠
二.填空题
11.若23
6n n C A =则正整数n =__________．
12. 在正方体1111ABCD A B C D -中，若点O 是底面正方形1111D C B A 的中心，且1AO xAB yAD zAA =++，则x y z ++=__________．
13．已知二项式n
的展开式中，各项二项式系数之和为64，则n 等于________． 14. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当//PA 平
面BEF 时，PF FC
=______
15.用数学0，1，2，3，4可组成__________个无重复数字的偶数三位数.
16．如图，二面角l αβ--等于120︒，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，
BD l ⊥，且1AB AC BD ===，则CD 的长等于______
17．甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物、英语5门学科，每名志愿者至少辅导1门学
科，每门学科由1名志愿者辅导，则不同的安排方法共有：_________种．
18. 已知菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 相交于点O ．将ABD △沿BD 折起，使顶点A 至点M ，在折
起的过程中，下列结论正确的有_________
①BD CM ⊥ ②存在一个位置，使CDM 为等边三角形
③DM 与BC 不可能垂直 ④直线DM 与平面BCD 所成的角的最大值为60
三.解答题
19. 如图所示，平行六面体''''ABCD A B C D -中，'AA ⊥平面ABCD ，AB AC ⊥， ,M N 分别为,'CB CC 的中点，
'1AB AC AA ===.
（Ⅰ）求证：//MN 平面'ACD ；
（Ⅱ）求证：'C D ⊥平面'ACD
（Ⅲ）求点B 到平面'ACD 的距离.
20. 四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2PA AB AD ===，点E 是
棱PC 上一点.
（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面BDE
（Ⅱ）当E 为PC 中点时，求二面角A BE D --的余弦值.
（Ⅲ）若直线BE 与平面PAC 所成的角为45︒时，求CE
.
D。