2020届新高考艺术生数学复习冲关训练：第四章 第2节平面向量的基本定理及坐标表示
2020版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第4章平面向量 4.2 平面向量基本定理及坐标表示 Word版含解析
4．2平面向量基本定理及坐标表示[知识梳理]1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21，|a＋b|＝(x2＋x1)2＋(y2＋y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．()(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x1 x2＝y1y2.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．教材衍化(1)(必修A4P 119T 11)已知|OA→|＝1，|OB →|＝3，OA →⊥OB →，点C 在线段AB 上，∠AOC ＝30°.设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 等于( )A.13 B ．3 C.33 D. 3 答案 B解析 依题意，以O 为原点，OA 、OB 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则A (1,0)，B (0，3)，设C (x ，y )，由OC →＝mOA →＋nOB →得x ＝m ，y ＝3n ，又∠AOC ＝30°，知y x ＝33，故mn ＝3，选B.(2)(必修A4P 101A 组T 5)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案 －12解析 解法一：由已知条件可得m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n )＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．∵m a ＋n b 与a －2b 共线，∴2m －n 4＝3m ＋2n －1，即n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－12.解法二：注意到向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)不共线，因此可以将其视为基底，因而m a ＋n b 与a －2b 共线的本质是对应的坐标(系数)成比例，于是有m 1＝n －2⇒m n ＝－12.3．小题热身(1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 答案 B解析 a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12.故选B.(2)(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 答案 B解析 设a ＝k 1e 1＋k 2e 2，A 选项，∵(3,2)＝(k 2,2k 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝3，2k 2＝2，无解．B 选项，∵(3,2)＝(－k 1＋5k 2,2k 1－2k 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －k 1＋5k 2＝3，2k 1－2k 2＝2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2，k 2＝1.故B 中的e 1，e 2可把a 表示出来． 同理，C ，D 选项同A 选项，无解．故选B.题型1 平面向量基本定理及应用典例(2015·北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN→＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________. 运用向量的线性运算对待求向量不断进行转化，直到用基底表示．答案 12 －16解析 由AM →＝2MC →知M 为AC 上靠近C 的三等分点，由BN →＝NC →，知N 为BC 的中点，作出草图如下：则有AN →＝12(AB →＋AC →)，所以M N →＝A N →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23·AC →＝12AB →－16AC →，又因为MN →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16. 方法技巧应用平面向量基本定理的关键点1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量． 2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．如典例．冲关针对训练设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12. 题型2平面向量共线的坐标表示及应用角度1 求点的坐标典例已知A (2,3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________．方程组法．答案 (8，－15)解析 设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上，且AP →＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝32(x －4)，y －3＝32(y ＋3).解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15)． 角度2 研究点共线问题典例(2018·佛山质检)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8用到均值不等式、向量问题实数化．答案 D解析 由题意可得，OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，所以AB→＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)． 又∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→∥AC →， 即(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4ab 时，取“＝”．故选D.方法技巧1．利用两向量共线求点的坐标利用向量共线的坐标表示构造所求点的坐标的方程组，解方程组即可．注意方程思想的应用．如角度1典例．2．研究点(向量)共线问题两平面向量共线的充要条件有两种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.如角度2典例．(2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb . 冲关针对训练1．(2017·许昌二模)已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0，1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM→|的最大值是( ) A.2＋1 B.7＋1 C.2－1 D.7－1 答案 A解析 设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM→|＝1， ∴x 2＋(y ＋2)2＝1，则x 2＋(y ＋2)2＝1，即动点M 的轨迹是以C 为圆心、1为半径的圆， ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA→＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)， 则|OA→＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，几何意义表示：点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，∵点N (－1，－1)在圆C 外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|NC |＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.故选A.2．(2018·湖北武昌调考)已知点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)．若向量PQ→与向量a ＝(λ，1)共线，则λ＝________. 答案 －23解析 点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)， ∴向量PQ→＝2PM →＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)． 又PQ→与向量a ＝(λ，1)共线， ∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－23.1．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8 答案 D解析 由题可得a ＋b ＝(4，m －2)，又(a ＋b )⊥b ， ∴4×3－2×(m －2)＝0，∴m ＝8.故选D.2．(2018·福州一中模拟)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB→＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析 由MA→＋MB →＋MC →＝0，知点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC→＝3AM →，故m ＝3.故选B. 3．(2017·福建四地六校联考)已知A (1,0)，B (4,0)，C (3,4)，O 为坐标原点，且OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)，则|BD→|等于________． 答案 2 2解析 由OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)＝12(OA →＋OC →)，知点D 是线段AC 的中点，故D (2,2)，所以BD→＝(－2,2)，故|BD →|＝(－2)2＋22＝2 2. 4．(2017·湘中名校联考)已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，∠BAC ＝120°，D 是BC 边上靠近点B 的四等分点，F 是AC 边的中点，若点G 是△ABC 的重心，则GD →·AF→＝________. 答案 －214解析 连接AD ，AG ，如图．依题意，有AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14BC →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →，AF →＝12AC →，GD →＝AD →－AG →＝AD →－23×12(AB →＋AC →)＝34AB →＋14AC →－13AB →－13AC →＝512AB →－112AC →，故GD →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫512AB →－112AC →·12AC →＝524AB →·AC →－124AC →2＝－524×6×6×12－124×62＝－154－32＝－214.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向答案 D解析 ∵c ∥d ，∴(k a ＋b )∥(a －b )，∴存在λ使k a ＋b ＝λ(a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝－λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1.∴c ＝－a ＋b ，∴c 与d 反向．故选D.2．(2018·襄樊一模)已知OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12 C ．k ＝1 D ．k ＝－1 答案 C解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB→与AC →共线．因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)．所以1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.故选C.3．(2018·怀化一模)设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)答案 D解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D.4．(2017·河南高三质检)在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝5，AC ＝4，D 是AB 上一点，且AB →·CD→＝5，则|BD →|等于( ) A ．6 B ．4 C ．2 D ．1 答案 C解析 设AD →＝λAB →，∵CD →＝AD →－AC →，∴AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝λAB →2－AB →·AC →＝5，可得25λ＝15，∴λ＝35，∴|BD →|＝25|AB →|＝2.故选C.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC→＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，则C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )答案 A解析 由题意知OC→＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)．选A.6．(2017·茂名二模)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( )A ．24B ．8 C.83 D.53 答案 B解析 ∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3，又x ，y >0，∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝⎛⎭⎪⎫12＋29y x ·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y ＝32时，等号成立．∴3x ＋2y 的最小值是8.故选B.7．(2017·济南二模)如图所示，两个非共线向量OA →、OB →的夹角为θ，N 为OB 中点，M 为OA 上靠近A 的三等分点，点C 在直线MN 上，且OC→＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为( )A.425B.25C.49D.23 答案 A解析 因为点C ，M ，N 共线，则OC →＝λOM →＋μON →＝23λOA →＋12μOB →，λ＋μ＝1，由OC→＝xOA →＋yOB →， x ＝23λ，y ＝12μ＝12(1－λ)，x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ2＋14(1－λ)2＝2536λ2－λ2＋14，设g (λ)＝2536λ2－λ2＋14，由二次函数的性质可知：当λ＝925时，g (λ)取最小值，最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫925＝425，所以x 2＋y 2的最小值为425.故选A.8．(2017·河南中原名校联考)如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )A.58B.14 C ．1 D.516 答案 A解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.故选A.9．(2018·安徽十校联考)已知A ，B ，C 三点不共线，且AD →＝－13AB→＋2AC →，则S △ABD S △ACD＝( ) A.23 B.32 C ．6 D.16 答案 C解析 如图，取AM →＝－13AB →，AN →＝2AC →，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMDN ，此时AD →＝－13AB →＋2AC →. 由图可知S △ABD ＝3S △AMD ，S △ACD ＝12S △AND ， 而S △AMD ＝S △AND ，∴S △ABDS △ACD＝6.故选C.10．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB→＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22bB ．－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22bC ．－2a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1－22bD.2a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1－22b答案 B解析 根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形，由∠BCD ＝135°，得∠ACD ＝135°－45°＝90°.以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE ⊥y 轴于点E ，则△CDE 也为等腰直角三角形．由CD ＝1，得CE ＝ED ＝22，则A (1,0)，B (0,0)，C (0,1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1＋22，∴AB→＝(－1,0)，AC →＝(－1,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1，1＋22.令AD→＝λAB →＋μAC →，则有⎩⎨⎧－λ－μ＝22－1，μ＝1＋22，得⎩⎨⎧λ＝－2，μ＝1＋22，∴AD →＝－2a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22b .故选B.二、填空题11．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．答案 (2,4)解析 ∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4－x,2－y )，AB →＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)， 即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为________．答案 60°解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，整理， 得b 2＋a 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12. 又0°<C <180°，∴C ＝60°.13．(2017·太原三模)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP →|的最大值为________．答案 2133解析 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23AB →＋λAC →， ∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，①直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，②联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP→|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133.14．(2018·江西南昌一模)已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103解析 因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP→＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →， 所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC → ＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23， 因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.三、解答题15．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的上运动．若OC→＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2. 16．(2018·湖北襄阳阶段测试)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1，0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．(1)若x ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m ·n的最小值及对应的x 值．解 (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，由题易知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，所以OC →＋OD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t－222＋12(0≤t ≤1)，所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|2最小，最小值为22. (2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC →＝(cos x ＋1，sin x )， 则m ·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos2x －sin2x ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4， 所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取得最大值1， 所以m ·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.。
2020版高考数学(文)新设计一轮复习 第四章 第二节 平面向量基本定理及坐标表示
第二节平面向量基本定理及坐标表示一、基础知识批注——理解深一点1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.2．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. 若a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y 2.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．二、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (二)选一选1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析：选D 因为a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，所以12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝⎝⎛⎭⎫12，12－⎝⎛⎭⎫32，－32＝(－1,2)．2．在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD ―→＝12DA ―→，设CB ―→＝a ，CA ―→＝b ，则CD ―→＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45b D.45a ＋35b解析：选B CD ―→＝CA ―→＋AD ―→＝CA ―→＋23AB ―→＝CA ―→＋23(AC ―→＋CB ―→)＝13CA ―→＋23CB ―→＝13b＋23a ，故选B. 3．已知平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B.⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5D.⎝⎛⎭⎫－12，－5解析：选D ∵AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，∴OC ―→＝12AC ―→＝⎝⎛⎭⎫12，5， ∴CO ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. (三)填一填4．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则 λ＝________.解析：2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，解得λ＝12.答案：125．在平行四边形ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：因为AN ―→＝3NC ―→，所以AN ―→＝34AC ―→＝34(a ＋b )，又因为AM ―→＝a ＋12b ，所以MN ―→＝AN―→－AM ―→＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b考点一 平面向量基本定理及其应用[典例] 如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→.[解] ∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ， BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b .∵OD ―→＝a ＋b ， ∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→ ＝23OD ―→＝23a ＋23b ， ∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b .[解题技法]1．平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．2．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组． (2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．[题组训练]1．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB―→＝a ，AC ―→＝b ，则P Q ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A 由题意知P Q ―→＝PB ―→＋B Q ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b . 2．已知在△ABC 中，点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，则m ＋n 的取值范围是________．解析：依题意，设OP ―→＝λOC ―→(0<λ<1)， 由OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，知OC ―→＝－(OA ―→＋OB ―→)， 所以OP ―→＝－λOA ―→－λOB ―→，由平面向量基本定理可知， m ＋n ＝－2λ，所以m ＋n ∈(－2,0)． 答案：(－2,0)考点二 平面向量的坐标运算[典例] 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ，∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ， ∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)． [变透练清]1.(变结论)本例条件不变，若a ＝m b ＋n c ，则m ＝________，n ＝________. 解析：∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，a ＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.答案：－1 －12．已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→|＝________.解析：设P (x ，y )，由题意可得A ，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由AP ―→＝3PB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝12－3x ，y －3＝－3y －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝0，故|OP ―→|＝72.答案：72[解题技法]1．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．2．向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同． (2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆，需清楚结论推导过程与结果，加以区分．考点三 平面向量共线的坐标表示 [典例] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[解题技法]1．平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb . 2．两个向量共线的充要条件的作用判断两个向量是否共线(或平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求参数的值．[题组训练]1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的取值为( ) A ．－13B.13C ．－3D ．3解析：选A k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)． a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 则由(k a ＋b )∥(a －3b )得(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，所以k ＝－13.2．(2019·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3―→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：选D 设OP 3―→＝(x ，y )，则由OP 3―→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3―→＝(x ，－x )．若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.3．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ， ∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x,2－y )，AB ―→＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 答案：(2,4) [课时跟踪检测]1．(2019·昆明调研)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,3)，则|2a －b |＝( ) A.2 B ．2 C.10D ．10解析：选C 由已知，易得2a －b ＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a －b |＝(－3)2＋12＝10.故选C.2．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)． 3．(2018·石家庄模拟)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a ∥b ，则m 2＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.4．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC ―→＝2AE ―→，则EM ―→＝( ) A.12AC ―→＋13AB ―→ B.12AC ―→＋16AB ―→C.16AC ―→＋12AB ―→ D.16AC ―→＋32AB ―→解析：选C 如图，因为EC ―→＝2AE ―→，所以EC ―→＝23AC ―→，所以EM ―→＝EC ―→＋CM ―→＝23AC ―→＋12CB ―→＝23AC ―→＋12(AB ―→－AC ―→)＝12AB ―→＋16AC ―→.5．已知点A (8，－1)，B (1，－3)，若点C (2m －1，m ＋2)在直线AB 上，则实数m ＝( ) A ．－12 B ．13 C ．－13D ．12解析：选C 因为点C 在直线AB 上，所以AC ―→与AB ―→同向．又AB ―→＝(－7，－2)，AC ―→＝(2m －9，m ＋3)，故2m －9－7＝m ＋3－2，所以m ＝－13.故选C. 6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．42解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又因为OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.7．已知|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝3，OA ―→⊥OB ―→， 点C 在线段AB 上，∠AOC ＝30°.设OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R )，则m n等于( )A.13 B ．3 C.33D. 3 解析：选B 如图，由已知|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝3，OA ―→⊥OB ―→，可得AB ＝2，∠A ＝60°，因为点C 在线段AB 上，∠AOC ＝30°，所以OC ⊥AB ，过点C 作CD ⊥OA ，垂足为点D ，则OD ＝34，CD ＝34，所以OD ―→＝34OA ―→，DC ―→＝14OB ―→，即OC ―→＝34OA ―→＋14OB ―→，所以m n ＝3.8.(2019·深圳模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，则λ＋μ＝( )A.43B.53C.158D ．2解析：选B 以点A 为坐标原点，分别以AB ―→，AD ―→的方向为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)．设正方形的边长为2，则A (0,0)，C (2,2)，M (2,1)，B (2,0)，D (0,2)，所以AC ―→＝(2,2)，AM ―→＝(2,1)，BD ―→＝(－2,2)，所以λAM ―→＋μBD ―→＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC―→＝λAM ―→＋μBD ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.9．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－310．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(4，m )，若有(2|a |－|b |)(a ＋b )＝0，则实数m ＝________. 解析：因为a ＋b ＝(5,2m )≠0，所以由(2|a |－|b |)(a ＋b )＝0得2|a |－|b |＝0， 所以|b |＝2|a |，所以42＋m 2＝212＋m 2，解得m ＝±2. 答案：±211．(2019·南昌模拟)已知向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－2)，若|a |＝25，a ＝λb (λ<0)，则m －n ＝________.解析：∵a ＝(m ，n )，b ＝(1，－2)， ∴由|a |＝25，得m 2＋n 2＝20， ① 由a ＝λb (λ<0)，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，－2m －n ＝0， ②由①②，解得m ＝－2，n ＝4.∴m －n ＝－6.答案：－612．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________． 解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)，v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12. 答案：1213．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，求|OP ―→|；(2)设OP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→ (m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n .解：(1)∵PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得x ＝2，y ＝2， 即OP ―→＝(2,2)，故|OP ―→|＝2 2.(2)∵OP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，AB ―→＝(1,2)，AC ―→＝(2,1)．∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .。
2020年高考数学总复习第四章第2课时平面向量的基本定理及其坐标表示随堂检测(含解析)新人教版
2020年高考数学总复习 第四章 第2课时 平面向量的基本定理及其坐标表示随堂检测(含解析) 新人教版1. e i , e 2是平面内一组基底，那么( )A. 若实数 入1 ,入2使入侶1+入20= 0,贝U 入1=入2 = 0B. 空间内任_一向量a 可以表示为a =入心+入2e 2(入1,入2为实数)C. 对实数 入1 ,入2 ,入e +入2e 2不一定在该平面内D. 对 平面内任一向量 a ,使a =入e+入2e 2的实数 入1,入2有无数对 解析：选A.对于A ,v e 1, e 2不共线，故 入1 = X 2= 0正确；对于B,空间向量a 应改为与e 1, e 2共面的向量才可以；C 中，入18 +入2e 2 一定与 e 1, e 2共面；D 中，根据平面向量基本定理， 入1,入2应是唯——对.2.已知△ ABC 中，点D 在BC 边上，且C D= 2D B 6D= rAB + sAC 贝U r + s 的值是( 2 4 A. B.; 3 3C.— 3D. 0解析：选 D. C D= AD — AC D B= AB- AD ， ••• C D = A B - 6B - AC= AB- *CD-X C66 6 2 6 26 • -CD=AB- AC, • CD= -AB--AC2 3 36 6 6 2 2又CD= rAB + sAC •- r = 3 , s = — 3, 3 3• r + s = 0,故选 D. 3. (2020 •高考湖南卷)设向量a , b 满足|a | = 2 '5 , b = (2, 1),且a 与b 的方向相反， 则a 的坐标为 ____________________ .解析：•••「a 与b 方向相反，•可设 a =X b (入＜0), • a =入(2,1) = (2入，入).由| a | =5 X 2= 2 ,-5 ,解得 X =— 2,故 a = ( — 4 , — 2).答案：(一4 , — 2) 4 .已知边长为1的正方形ABCD 若A 点与坐标原点重合，边 AB AD 分别落在x 轴，y 轴的正方向上，贝U 向量 2AB+ 3BC + AC 勺坐标为 _________ .解析：由已知得 A (0,0) , B (1,0) , C (1,1),则X B= (1,0) , Bb= (0,1) , X C = (1,1),--2ABF 3BC^ AC=2(1,0) + 3(0,1) + (1,1) = (3,4) 答案：(3,4)。
2020年高中数学 必修4 平面向量 平面向量的基本定理及坐标表示 同步练习(含答案解析)
2020年高中数学 必修4 平面向量 平面向量的基本定理及坐标表示 同步练习一、选择题1.已知a =(1,2)，b =(-1,1)，c =2a -b ，则|c |=( )A.26 B ．3 2 C.10 D. 62.已知向量a =(1,2)，b =(m ，-1)，若a ∥b ，则实数m 的值为( )A.0.5 B ．-0.5 C ．3 D ．-33.己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,|2|21PP P P =, 则P 点坐标为( )A 、(－2,11)B 、()3,34 C 、(32,3) D 、(2,－7) 4.若向量a r ＝（x+3，x 2－3x －4）与相等，已知A （1，2）和B （3，2），则x 的值为A 、－1B 、－1或4C 、4D 、1或－45.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个顶点的坐标是（ ）A 、（1，5）或（5，5）B 、（1，5）或（－3，－5）C 、（5，－5）或（－3，－5）D 、（1，5）或（5，－5）或（－3，－5）6.设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP，则向量21P P 长度的最大值是（ ）A 、2B 、3C 、23D 、7.已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为（ ）A 、17B 、18C 、19D 、208.若向量a ϖ= (1,1), b ϖ= (1,－1), c ϖ =(－1,2),则 c ϖ等于( )A 、21-a ϖ+23b ϖB 、21a ϖ23-b ϖC 、23a ϖ21-b ϖ D 、23-a ϖ+ 21b ϖ9.已知点A (-1,1)，B (1,2)，C (-2，-1)，D (3,4)，则向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是( )A.322 B ．- 322 C ．3 5 D ．- 3 510.在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0)，B(0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC=π4，|OC ―→|=2，若OC ―→=λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ=( )A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．4 211.如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ―→=λAM ―→＋μBD ―→，则λ＋μ=( )A.43B.53C.158D ．212.若α,β是一组基底,向量γ=x α+y β(x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α、β下的坐标.现已知向量a 在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a 在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为( )A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0) D .(0,2)二、填空题13.已知向量=⊥=-=m m 则若,),,3(),2,1( 、14.已知点A （－1，5），若向量与向量a r ＝（2，3）同向，且＝3a r，则点B 的坐标为15.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa ＋μb(λ，μ∈R)，则μλ=______.16.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1).若(a+kb)∥c,则实数k 的值为 .17.已知向量a=(2,3)，b=(-1,2)，若μa+b 与a-2b 平行，则μ等于__________.18.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →=2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →=(4,3)，PQ →=(1,5)，则BC →=________.三、解答题19.已知点A(－1,2)，B(2,8)及=AB 31，DA =－BA 31，求点C 、D 和的坐标.20.已知a=(1,0),b=(2,1).(1)当k 为何值时,ka-b 与a+2b 共线?(2)若AB =2a+3b,BC =a+mb 且A,B,C 三点共线,求m 的值.21.已知向量a=(2,3),b=(-1,2).（1）求(a-b)(a+2b)；（2）若向量a+λb 与2a-b 平行，求λ的值.22.已知向量a=（1，2），b=（x ，1）.（1）若a//b ，求x 的值；（2）若＜a ，b ＞为锐角，求λ的范围； （3）当（a+2b ）⊥（2a-b ）时，求x 的值.23.已知向量AB →=(4,3)，AD →=(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P(2，y)满足PB →=λBD →(λ∈R )，求λ与y 的值．24.已知向量a=⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b=⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4．(1)求a·b 及|a ＋b|；(2)若f(x)=a·b－|a ＋b|，求f(x)的最大值和最小值．25.平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →=12BC →，连接DC ，点E在CD 上，且CE →=14ED →，求E 点的坐标．答案解析1.答案为：B ；解析：因为c =2a -b =2(1,2)-(-1,1)=(3,3)，所以|c |=32＋32=3 2.故选B.2.答案为：B ；解析：由题意，得1×(-1)-2m =0，解得m =-12，故选B.3.A ；4.A ；5.D ；6.C7.C ；8.B ；9.答案为：C ；解析：依题意得，AB ―→=(2,1)，CD ―→=(5,5)，AB ―→·CD ―→=(2,1)·(5,5)=15，|AB ―→|=5，因此向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是AB ―→·CD ―→|AB ―→|=155=3 5.10.答案为：A ；解析：因为|OC ―→|=2，∠AOC=π4，所以C(2，2)，又OC ―→=λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)=λ(1,0)＋μ(0,1)=(λ，μ)，所以λ=μ=2，λ＋μ=2 2. 11.答案为：B ；解析：以点A 为坐标原点，分别以AB ―→，AD ―→的方向为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．设正方形的边长为2，则A(0,0)，C(2,2)，M(2,1)，B(2,0)，D(0,2)，所以AC ―→=(2,2)，AM ―→=(2,1)，BD ―→=(－2,2)，所以λAM ―→＋μBD ―→=(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC ―→=λAM ―→＋μBD ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ=53.故选B.12.答案为：D ；解析：由已知可得a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4).设a=xm+yn,则(2,4)=x(-1,1)+y(1,2)=(-x+y,x+2y),∴-x+y=2,x+2y=4,解得x=0,y=2.故选D. 13.414.B （5，14）15.答案为：4;解析：以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a=(－1,1)，b=(6,2)，c=(－1，－3).由c=λa ＋ μb ，即(－1，－3)=λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ=－1，λ＋2μ=－3，故λ=－2，μ=－0.5，则μλ=4. 16.答案为：21; 解析:由题意知,a+kb=(2,-1)+k(1,1)=(k+2,k-1),由(a+kb)∥c,得-5(k-1)=k+2,解得k=21. 17.答案为：-0.5.18.答案为：(－6,21)；解析：PQ →－PA →=AQ →=(1,5)－(4,3)=(－3,2)，因为点Q 是AC 的中点，所以AQ →=QC →，所以PC →=PQ →＋QC →=(1,5)＋(－3,2)=(－2,7)．因为BP →=2PC →，所以BC →=BP →＋PC →=3PC →=3(－2,7)=(－6,21)． 19.解:20.解:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).∵ka-b 与a+2b 共线,∴2(k-2)-(-1)×5=0,即2k-4+5=0,得k=-21. (2)∵A,B,C 三点共线,∴AB =λBC (λ∈R).即2a+3b=λ(a+mb),∴λ=2,m λ=3,∴m=23. 21.解：22.解：23.解：(1)设B(x 1，y 1)，因为AB →=(4,3)，A(－1，－2)，所以(x 1＋1，y 1＋2)=(4,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，所以B(3,1)．同理可得D(－4，－3)，设BD 的中点M(x 2，y 2)，则x 2=3－42=－12，y 2=1－32=－1，所以M(－12，－1)．(2)由PB →=(3,1)－(2，y)=(1,1－y)，BD →=(－4，－3)－(3,1)=(－7，－4)， 又PB →=λBD →(λ∈R )，所以(1,1－y)=λ(－7，－4)=(－7λ，－4λ)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－17，y ＝37.24.解：(1)a·b=cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2=cos2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4． ∵a ＋b=⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x2＋cos x 2，sin 3x 2－sin x 2，∴|a ＋b|=⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22=2＋2cos2x=2|cosx|． ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cosx>0，∴|a ＋b|=2cosx ． (2)f(x)=cos2x －2cosx=2cos 2x －2cosx －1=2⎝⎛⎭⎪⎫cosx －122－32．∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cosx≤1， ∴当cosx=12时，f(x)取得最小值－32；当cosx=1时，f(x)取得最大值－1．25.解：∵AC →=12BC →，∴2AC →=BC →，∴2AC →＋CA →=BC →＋CA →，∴AC →=BA →.设C 点坐标为(x ，y)，则(x ＋2，y －1)=(－3，－3)， ∴x=－5，y=－2，∴C(－5，－2)．∵CE →=14ED →，∴4CE →=ED →，∴4CE →＋4ED →=5ED →，∴4CD →=5ED →.设E 点坐标为(x′，y′)，则4(9，－1)=5(4－x′，－3－y′)．∴⎩⎪⎨⎪⎧20－5x′＝36，－15－5y′＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－165，y′＝－115.∴E 点坐标为(－165，－115)．。
2020版导与练一轮复习理科数学课件：第四篇 平面向量(必修4) 第2节 平面向量基本定理及其坐标表示 .pdf
第2节 平面向量基本定理及其坐标表示1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.[考纲展示]考点专项突破知识链条完善 把散落的知识连起来知识梳理1.平面向量基本定理如果e 1,e 2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,存在唯一一对实数λ1,λ2,使a = .我们把不共线的向量e 1,e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解.不共线λ1e 1+λ2e 2互相垂直单位向量3.平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个i ,j 作为基底,a 为坐标平面内的任意向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a =x i +y j ,这样,平面内的任一向量a 都可由x,y唯一确定,我们把实数对 叫作向量a 的坐标,记作 .(2)若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则=(x 2-x 1,y 2-y 1).4.平面向量的坐标运算(1)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ±b = ;(2)若a =(x,y),则λa =(λx,λy).(x,y)a =(x,y)(x 1±x 2,y 1±y 2)5.向量共线的充要条件的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔ .x1y2-x2y1=0对点自测B1.已知e 1,e 2是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为一组基底的是( )(A)e 1+e 2和e 1-e 2 (B)3e 1-2e 2和4e 2-6e 1(C)e 1+2e 2和e 2+2e 1 (D)e 2和e 1+e 2解析:因为4e 2-6e 1=-2(3e 1-2e 2),所以3e 1-2e 2与4e 2-6e 1共线,又作为一组基底的两个向量一定不共线,所以它们不能作为一组基底.故选B.D2.(2018·三明月考)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a+b等于( )(A)(5,7)(B)(5,9)(C)(3,7)(D)(3,9)解析:2a+b=2(2,4)+(-1,1)=(3,9),故选D.A 3.(2018·湖南省永州市一模)已知a =(1,-1),b = (1,0),c=(1,-2),若a 与m b -c平行,则实数m等于( )(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3解析:由题m b -c=(m-1,2),又因为a 与m b -c平行,所以1×2=-(m-1),m=-1,故选A.4.(教材改编题)已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为 .答案:(1,5)5.已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若m a+n b=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为 .答案:-3考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 平面向量基本定理及其应用反思归纳(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.考点二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)向量a,b满足a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),则b为( ) (A)(-3,4)(B)(3,4)(C)(3,-4)(D)(-3,-4)答案:(1)A (2)已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为 .答案:(2)(2,4).反思归纳(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.【跟踪训练2】 (1)(2018·福州模拟)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a+b等于( )(A)(5,7)(B)(5,9)(C)(3,7)(D)(3,9)解析:(1)2a+b=2×(2,4)+(-1,1)=(3,9),故选D.(2)已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若3a-2b+c=0,则c等于( )(A)(-23,-12)(B)(23,12)(C)(7,0) (D)(-7,0)解析:(2)3a-2b+c=(23+x,12+y)=0,故x=-23,y=-12,故选A.考点三 共线向量的坐标表示答案:(1)B (2)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .反思归纳(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;②若a∥b(b≠0),则a=λb.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解.答案:(1)A(2)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)∥(m-n),则λ= .解析:(2)因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),又(m+n)∥(m-n),所以(2λ+3)×(-1)=3×(-1),解得λ=0.答案:(2)0备选例题【例2】 已知向量a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的( )(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件解析:由题意得a+b=(2,2+m),由m=-6得a+b=(2,-4),因为(-1)×(-4)=-2×2=0,所以a∥(a+b);由a∥(a+b),得-1×(2+m)=2×2,所以m=-6,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要条件,故选A.点击进入应用能力提升。
(福建专用)高考数学总复习 第四章第2课时 平面向量的基本定理及其坐标表示课时闯关(含解析)
（福建专用）2013年高考数学总复习 第四章第2课时 平面向量的基本定理及其坐标表示课时闯关（含解析）一、选择题1．e 1，e 2是平面内一组基底，那么( )A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对 解析：选A.对于A ，∵e 1，e 2不共线，故λ1＝λ2＝0正确； 对于B ，空间向量a 应改为与e 1，e 2共面的向量才可以；C 中，λ1 e 1＋λ2e 2一定与e 1，e 2共面；D 中，根据平面向量基本定理，λ1，λ2应是唯一一对．2．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形解析：选B.∵AB →＝DC →，即一组对边平行且相等， AC →·BD →＝0，即指对角线互相垂直，故四边形为菱形．3．设向量a ＝(4sin α，3)，b ＝(2,3cos α)，且a ∥b ，则锐角α为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.512π 解析：选B.∵a ∥b ，∴4sin α·3cos α＝2×3，∴sin 2α＝1，∵α为锐角．∴α＝π4.故选B.4．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( ) A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7) D ．(6，－21)解析：选B.AQ →＝PQ →－PA →＝(－3,2)， ∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)． PC →＝PA →＋AC →＝(－2,7)， ∴BC →＝3PC →＝(－6,21)．故选B.5．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ≠－2B ．k ≠12C ．k ＝1D ．k ≠－1解析：选C.若点A 、B 、C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线，∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1. 二、填空题6．梯形ABCD (按顺时针排列)的顶点坐标为A (－1,2)，B (3,4)，D (2,1)且AB ∥DC ，AB ＝2CD ，则点C 的坐标为________．解析：DC →＝12AB →＝12(4,2)＝(2,1)，OC →＝OD →＋DC →＝(2,1)＋(2,1)＝(4,2)．答案：(4,2)7．已知a 是以A (3，－1)为起点，且与向量b ＝(－3,4)平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是________．解析：设a 的终点坐标为(x ，y )，则a ＝(x －3，y ＋1)，由已知得⎩⎨⎧x －2＋y ＋2＝1，x －－－y ＋＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝125，y ＝－15，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝185，y ＝－95.所以终点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫125，－15或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，－95. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫125，－15或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，－958．(2012·三明调研)已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，3cos θ)，则|a －b |的最大值为________．解析：|a －b |＝|sin θ－3cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3≤2. 答案：2 三、解答题9．已知a ＝(1,1)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b . (1)若u ＝3v ，求x ； (2)若u ∥v ，求x .解：因为u ＝a ＋2b ＝(1,1)＋2(x,1)＝(1,1)＋(2x,2)＝(2x ＋1,3)， v ＝2a －b ＝2(1,1)－(x,1)＝(2－x,1)． (1)u ＝3v ，即(2x ＋1,3)＝3(2－x,1)，(2x ＋1,3)＝(6－3x,3)， 所以2x ＋1＝6－3x ，解得x ＝1.(2)u ∥v ⇒(2x ＋1,3)＝λ(2－x,1)⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ－x 3＝λ⇒(2x ＋1)－3(2－x )＝0⇒x ＝1.10．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R. (1)求|a ＋tb |的最小值及相应的t 值； (2)若a －tb 与c 共线，求实数t .解：(1)因为a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)， 所以a ＋tb ＝(－3,2)＋t (2,1)＝(－3＋2t,2＋t )．所以|a ＋tb |＝－3＋2t 2＋＋t 2＝5t 2－8t ＋13＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －452＋495≥495＝755，当且仅当t ＝45时取等号，即|a ＋tb |的最小值为755，此时t ＝45.(2)因为a －tb ＝(－3,2)－t (2,1)＝(－3－2t,2－t )， 又因为a －tb 与c 共线，c ＝(3，－1)，所以(－3－2t )×(－1)－(2－t )×3＝0，解得t ＝35.一、选择题1．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3, 4)，λ∈R}，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M ∩N 等于( ) A ．{(1,1)} B ．{(1,1)，(－2，－2)} C ．{(－2，－2)} D ．∅解析：选C.M ＝{a |a ＝(1＋3λ，2＋4λ)，λ∈R}，N ＝{a |a ＝(－2＋4λ，－2＋5λ)，λ∈R}， 令⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3λ1＝－2＋4λ2，2＋4λ1＝－2＋5λ2，即⎩⎪⎨⎪⎧3λ1－4λ2＋3＝0，4λ1－5λ2＋4＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝0，代入M 或N 中得a ＝(－2，－2)．所以M ∩N ＝{(－2，－2)}．2．(2012·南平调研)设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝(m ，m2＋sin α)，其中λ，m ，α是实数，若a ＝2b ，则λm的取值范围是( )A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．[－1,1]D ．[－1,6]解析：选A.由a ＝2b 得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝2m ⇒m ＝λ2＋1，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，所以λ2－m ＝λ2－λ2－1＝cos 2α＋2sin α＝1－sin 2α＋2sin α＝－(sin α－1)2＋2.所以－2≤λ2－λ2－1≤2.因为λ2－λ2＋3≥0恒成立，由λ2－λ2－3≤0，解得－32≤λ≤2.由λm ＝λλ2＋1＝2λλ＋2＝2－4λ＋2可得－6≤λm≤1. 二、填空题 3．已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (θ，sin θ)，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，满足OQ →＝m ⊗OP→＋n (其中O 为原点)，则y ＝f (x )的最大值和最小正周期分别为________．解析：设Q (x ，y )，由题知(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ，12sin θ ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0＝⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3，12sin θ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2θ＋π3y ＝12sin θ⇒y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6，y max ＝12，T ＝4π.答案：12，4π4.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________． 解析：法一：建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos120°，sin120°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)．∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2，32y ＝(cos α，sin α)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．∵0°≤α≤120°.∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值． 法二：设∠AOC ＝α，则⎩⎪⎨⎪⎧OC →·OA →＝xOA →·OA →＋yOB →·OA →，OC →·OB →＝xOA →·OB →＋yOB →·OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，－α＝－12x ＋y .∴x ＋y ＝2[cos α＋cos(120°－α)]＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6≤2. 答案：2 三、解答题5．已知向量u ＝(x ，y )，与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示．(1)证明：对任意的向量a 、b 及常数m 、n ，恒有f (ma ＋nb )＝mf (a )＋nf (b )成立； (2)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )与f (b )的坐标； (3)求使f (c )＝(p ，q )(p 、q 为常数)的向量c 的坐标． 解：(1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， ma ＋nb ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)．∴f (ma ＋nb )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)． ∵mf (a )＝m (a 2,2a 2－a 1)，nf (b )＝n (b 2,2b 2－b 1)， ∴mf (a )＋nf (b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)， ∴f (ma ＋nb )＝mf (a )＋nf (b )成立． (2)f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)， f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)． (3)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝p ，2y －x ＝q .即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p －q ，y ＝p . ∴c ＝(2p －q ，p )．6．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．解：(1)∵m ∥n ，∴2sin B (2cos 2B2－1)＝－3cos2B ，∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－ 3.又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b22ac ，得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式，得ac ≤4，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立．S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，即S △ABC 的最大值为 3.。
高考数学总复习 第四章第2课时 平面向量的基本定理及
（福建专用）2013年高考数学总复习 第四章第2课时 平面向量的基本定理及其坐标表示课时闯关（含解析）一、选择题1．e 1，e 2是平面内一组基底，那么( )A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对 解析：选A.对于A ，∵e 1，e 2不共线，故λ1＝λ2＝0正确； 对于B ，空间向量a 应改为与e 1，e 2共面的向量才可以； C 中，λ1 e 1＋λ2e 2一定与e 1，e 2共面；D 中，根据平面向量基本定理，λ1，λ2应是唯一一对．2．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形解析：选B.∵AB →＝DC →，即一组对边平行且相等， AC →·BD →＝0，即指对角线互相垂直，故四边形为菱形．3．设向量a ＝(4sin α，3)，b ＝(2,3cos α)，且a ∥b ，则锐角α为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.512π 解析：选B.∵a ∥b ，∴4sin α·3cos α＝2×3，∴sin 2α＝1，∵α为锐角．∴α＝π4.故选B.4．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( ) A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7) D ．(6，－21)解析：选B.AQ →＝PQ →－PA →＝(－3,2)， ∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)． PC →＝PA →＋AC →＝(－2,7)， ∴BC →＝3PC →＝(－6,21)．故选B.5．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ≠－2B ．k ≠12C ．k ＝1D ．k ≠－1解析：选C.若点A 、B 、C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线，∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1. 二、填空题6．梯形ABCD (按顺时针排列)的顶点坐标为A (－1,2)，B (3,4)，D (2,1)且AB ∥DC ，AB ＝2CD ，则点C 的坐标为________．解析：DC →＝12AB →＝12(4,2)＝(2,1)，OC →＝OD →＋DC →＝(2,1)＋(2,1)＝(4,2)．答案：(4,2)7．已知a 是以A (3，－1)为起点，且与向量b ＝(－3,4)平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是________．解析：设a 的终点坐标为(x ，y )，则a ＝(x －3，y ＋1)，由已知得⎩⎨⎧x －32＋y ＋12＝1，4x －3－－3y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝125，y ＝－15，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝185，y ＝－95.所以终点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫125，－15或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，－95. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫125，－15或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，－958．(2012·三明调研)已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，3cos θ)，则|a －b |的最大值为________．解析：|a －b |＝|sin θ－3cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3≤2. 答案：2 三、解答题9．已知a ＝(1,1)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b . (1)若u ＝3v ，求x ； (2)若u ∥v ，求x .解：因为u ＝a ＋2b ＝(1,1)＋2(x,1)＝(1,1)＋(2x,2)＝(2x ＋1,3)， v ＝2a －b ＝2(1,1)－(x,1)＝(2－x,1)． (1)u ＝3v ，即(2x ＋1,3)＝3(2－x,1)，(2x ＋1,3)＝(6－3x,3)， 所以2x ＋1＝6－3x ，解得x ＝1.(2)u ∥v ⇒(2x ＋1,3)＝λ(2－x,1)⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ2－x 3＝λ⇒(2x ＋1)－3(2－x )＝0⇒x ＝1.10．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R. (1)求|a ＋tb |的最小值及相应的t 值； (2)若a －tb 与c 共线，求实数t .解：(1)因为a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)， 所以a ＋tb ＝(－3,2)＋t (2,1)＝(－3＋2t,2＋t )．所以|a ＋tb |＝－3＋2t2＋2＋t2＝5t 2－8t ＋13＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －452＋495≥495＝755，当且仅当t ＝45时取等号，即|a ＋tb |的最小值为755，此时t ＝45.(2)因为a －tb ＝(－3,2)－t (2,1)＝(－3－2t,2－t )， 又因为a －tb 与c 共线，c ＝(3，－1)，所以(－3－2t )×(－1)－(2－t )×3＝0，解得t ＝35.一、选择题1．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M ∩N 等于( ) A ．{(1,1)} B ．{(1,1)，(－2，－2)} C ．{(－2，－2)} D ．∅解析：选C.M ＝{a |a ＝(1＋3λ，2＋4λ)，λ∈R}，N ＝{a |a ＝(－2＋4λ，－2＋5λ)，λ∈R}， 令⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3λ1＝－2＋4λ2，2＋4λ1＝－2＋5λ2，即⎩⎪⎨⎪⎧3λ1－4λ2＋3＝0，4λ1－5λ2＋4＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝0，代入M 或N 中得a ＝(－2，－2)．所以M ∩N ＝{(－2，－2)}．2．(2012·南平调研)设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝(m ，m2＋sin α)，其中λ，m ，α是实数，若a ＝2b ，则λm的取值范围是( )A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．[－1,1]D ．[－1,6]解析：选A.由a ＝2b 得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝2m ⇒m ＝λ2＋1，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，所以λ2－m ＝λ2－λ2－1＝cos 2α＋2sin α ＝1－sin 2α＋2sin α＝－(sin α－1)2＋2. 所以－2≤λ2－λ2－1≤2.因为λ2－λ2＋3≥0恒成立，由λ2－λ2－3≤0，解得－32≤λ≤2.由λm ＝λλ2＋1＝2λλ＋2＝2－4λ＋2可得－6≤λm≤1. 二、填空题 3．已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (θ，sin θ)，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，满足OQ →＝m ⊗OP→＋n (其中O 为原点)，则y ＝f (x )的最大值和最小正周期分别为________．解析：设Q (x ，y )，由题知(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ，12sin θ ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3，12sin θ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2θ＋π3y ＝12sin θ⇒y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6，y max ＝12，T ＝4π.答案：12，4π4.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________． 解析：法一：建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos120°，sin120°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)．∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2，32y ＝(cos α，sin α)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．∵0°≤α≤120°.∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值． 法二：设∠AOC ＝α，则⎩⎪⎨⎪⎧OC →·OA →＝xOA →·OA →＋yOB →·OA →，OC →·OB →＝xOA →·OB →＋yOB →·OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，cos 120°－α＝－12x ＋y .∴x ＋y ＝2[cos α＋cos(120°－α)]＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6≤2. 答案：2 三、解答题5．已知向量u ＝(x ，y )，与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示．(1)证明：对任意的向量a 、b 及常数m 、n ，恒有f (ma ＋nb )＝mf (a )＋nf (b )成立； (2)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )与f (b )的坐标； (3)求使f (c )＝(p ，q )(p 、q 为常数)的向量c 的坐标． 解：(1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， ma ＋nb ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)．∴f (ma ＋nb )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)． ∵mf (a )＝m (a 2,2a 2－a 1)，nf (b )＝n (b 2,2b 2－b 1)， ∴mf (a )＋nf (b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)， ∴f (ma ＋nb )＝mf (a )＋nf (b )成立． (2)f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)， f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)． (3)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝p ，2y －x ＝q .即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p －q ，y ＝p . ∴c ＝(2p －q ，p )．6．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．解：(1)∵m ∥n ，∴2sin B (2cos 2B2－1)＝－3cos2B ，∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－ 3.又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b22ac ，得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式，得ac ≤4，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立．S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，即S △ABC 的最大值为 3.。
2020新课标高考艺术生数学复习教师用书：第四章第2节 平面向量的基本定理及坐标表示 Word版含解析
第2节 平面向量的基本定理及坐标表示最新考纲核心素养考情聚焦1.理解平面向量基本定理及其意义．2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．4.能用坐标表示平面向量共线的条件1.平面向量的基本定理的应用，发展直观想象和数学运算素养． 2.平面向量的坐标运算，提升数学运算素养． 3.平面向量共线的坐标表示，增强数学抽象和数学运算素养高考对平面向量的基本定理与坐标运算的考查主要有以下几方面：①平面向量基本定理及其意义；②用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；③用坐标表示平面向量共线的条件．对用坐标表示平面向量共线的条件的考查是比较突出的．考查的形式以选择题、填空题为主，难度中等1．平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向量a ， 有且只有 一对实数λ1，λ2，使a ＝ λ1e 1＋λ2e 2 .其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 . 2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解． 3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝ (x 1＋x 2，y 1＋y 2) ，a －b ＝ (x 1－x 2，y 1－y 2) ，λa ＝ (λx 1，λy 1) ，|a |＝x 21＋y 21 .(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝ (x 2－x1，y 2－y 1) ， |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 .4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔ x 1y 2－x 2y 1＝0 .1．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.以上三个条件任取两两组合，都可以得出第三个条件且λ＋μ＝1常被当作隐含条件运用．3．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为∠ABC .( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) (5)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ [小题查验]1．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a ＋b 等于( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7) D ．(3,9) 解析：D [2a ＋b ＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)．故选D.]2．(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)解析：A [根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.]3．(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → 解析：A [如图，由题意可得BE →＝12BA →＋12BD →＝12BA →＋14BC →＝12BA →＋14BA →＋14AC →＝34BA →＋14AC →，所以EB →＝34AB →－14AC →，故选A.]4．(人教A 版教材复习题改编)设M 是▱ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝____OM →.答案：45．e 1，e 2是不共线向量，且a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，若b ，c 为一组基底，则a ＝________.解析：设a ＝λ1b ＋λ2c ，则－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2)， 即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，解得⎩⎨⎧λ1＝－118，λ2＝727，∴a ＝－118b ＋727c .答案：－118b ＋727c考点一 平面向量基本定理的应用(师生共研)[典例] (1)如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1[解析] D [选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝－λ，无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．](2)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为______．[解析] 设|BP →|＝y ，|PN →|＝x ， 则AP →＝AN →＋NP →＝14AC →－x x ＋y BN →，①AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋y x ＋yBN →，②①×y ＋②×x 得AP →＝x x ＋y AB →＋y 4(x ＋y )AC →，令y 4(x ＋y )＝211，得y ＝83x ，代入得m ＝311.[答案]311(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[跟踪训练](2019·盐城市模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.解析：由题意可得BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋14BD →，由平面向量基本定理可得λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.答案：34考点二 平面向量的坐标运算(自主练透)[题组集训]1．若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎛⎭⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A.12a ＋b B ．－12a －bC.32a ＋12bD.32a －12b 解析：A [设c ＝x a ＋y b ，则⎝⎛⎭⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，则c ＝12a ＋b . 2．已知平行四边形的三个顶点分别是A (4,2)，B (5,7)，C (－3,4)，则第四个顶点D 的坐标是________．解析：设顶点D (x ，y )．若平行四边形为ABCD ，则由AB →＝(1,5)，DC →＝(－3－x,4－y )，得⎩⎪⎨⎪⎧－3－x ＝1，4－y ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－1； 若平行四边形为ACBD ，则由AC →＝(－7,2)，DB →＝(5－x,7－y )，得⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x ＝－77－y ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5； 若平行四边形为ABDC ，则由AB →＝(1,5)，CD →＝(x ＋3，y －4)，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝1，y －4＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝9.综上所述，第四个顶点D 的坐标为(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)． 答案：(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考点三 平面向量共线的坐标表示(子母变式)[母题] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[解析] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.[子题1] 在本例条件下，若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且 |d －c |＝5，求d .解：设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3)．[子题2] 在本例条件下，若m a ＋n b 与a －2b 共线， 求mn的值． 解：m a ＋n b ＝(3m －n,2m ＋2n )，a －2b ＝(5，－2)， 由题意得－2(3m －n )－5(2m ＋2n )＝0. ∴m n ＝－12. [子题3] 若本例条件变为：已知A (3,2)，B (－1,2)，C (4,1)，判断A ，B ，C 三点能否共线． 解：AB →＝(－4,0)，AC →＝(1，－1)，∵－4×(－1)－0×1≠0，∴AB →，AC →不共线． ∴A ，B ，C 三点不共线．1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值.1．(2019·内江市一模)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：B [对于A ，e 1∥e 2，e 1，e 2是两个共线向量，故不可作为基底． 对于B ，e 1，e 2是两个不共线向量，故可作为基底． 对于C ，e 1∥e 2，e 1，e 2是两个共线向量，故不可作为基底． 对于D ，e 1∥e 2，e 1，e 2是两个共线向量，故不可作为基底．故选B.]2．(2019·包头市一模)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(λ，1)．若a ＋b 与a 平行，则λ＝( ) A ．－5 B.52 C ．7 D ．－12解析：D [∵向量a ＝(－1,2)，b ＝(λ，1)，∴a ＋b ＝(－1＋λ，3)，∵a ＋b 与a 平行，∴－1＋λ－1＝32，解得λ＝－12.] 3．(2019·孝义市模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(3，－2m )，b ＝(1，m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎭⎫65，＋∞C ．(－∞，－2)∪(－2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，65∪⎝⎛⎭⎫65，＋∞ 解析：D [由题意可知a ，b 为一组基向量，故a ，b 不共线，∴－2m ≠3(m －2)，即m ≠65.故选D.]4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析：D [设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．]5．(2019·梅河口市一模)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．2B ．4 C.12 D ．－12解析：B [以向量a ，b 的公共点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ－3＝λ＋2μ，解得λ＝－2且μ＝－12，因此，则λμ＝4.故选B.]6．(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________. 解析：因为2a ＋b ＝(4,2)，且c ∥(2a ＋b )，所以1×2－λ×4＝0，解得λ＝12.答案：127．(2019·柳州市模拟)设A (1,1)、B ⎝⎛⎭⎫4，112，点C 满足AC →＝2CB →，则点C 到原点O 的距离为________．解析：∵AC →＝2CB →， ∴OC →－OA →＝2(OB →－OC →)，∴OC →＝13(OA →＋2OB →)＝13⎣⎡⎦⎤(1，1)＋2⎝⎛⎭⎫4，112＝(3,4)． ∴|OC →|＝5，即点C 到原点O 的距离为5. 答案：58．△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p ∥q ，则角C ＝________________.解析：因为p ∥q ，则(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合余弦定理知，cos C ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°.答案：60°9．如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将OB →分为2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解：(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →.由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)如题图，EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ， DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝－1－53，∴λ＝45. 10．已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？P 在第三象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由． 解：(1)∵AB →＝(3,3)，∴OP →＝(1,2)＋(3t,3t )＝(3t ＋1,3t ＋2)， 若点P 在x 轴上，则3t ＋2＝0，解得t ＝－23；若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，解得t ＝－13；若点P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t <0.解得t <－23.(2)不能，若四边形OABP 成为平行四边形，则OP →＝AB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3.∵该方程组无解，∴四边形OABP 不能成为平行四边形.。
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第四章 第2节
1．(2019·内江市一模)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)
B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)
C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)
D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12
，－34 解析：B [对于A ，e 1∥e 2，e 1，e 2是两个共线向量，故不可作为基底．
对于B ，e 1，e 2是两个不共线向量，故可作为基底．
对于C ，e 1∥e 2，e 1，e 2是两个共线向量，故不可作为基底．
对于D ，e 1∥e 2，e 1，e 2是两个共线向量，故不可作为基底．故选B.]
2．(2019·包头市一模)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(λ，1)．若a ＋b 与a 平行，则λ＝( )
A ．－5 B.52 C ．7 D ．－12
解析：D [∵向量a ＝(－1,2)，b ＝(λ，1)，∴a ＋b ＝(－1＋λ，3)，∵a ＋b 与a 平行，∴－1＋λ－1
＝32，解得λ＝－12
.] 3．(2019·孝义市模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(3，－2m )，b ＝(1，m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，2)
B.⎝⎛⎭
⎫65，＋∞ C ．(－∞，－2)∪(－2，＋∞)
D.⎝⎛⎭⎫－∞，65∪⎝⎛⎭
⎫65，＋∞ 解析：D [由题意可知a ，b 为一组基向量，故a ，b 不共线，∴－2m ≠3(m －2)，即m ≠65
.故选D.]
4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )
A ．(2,6)
B ．(－2,6)
C ．(2，－6)
D ．(－2，－6)
解析：D [设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又
4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．]
5．(2019·梅河口市一模)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )
A ．2
B ．4 C.12 D ．－12
解析：B [以向量a ，b 的公共点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)．
∵c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
－1＝－λ＋6μ－3＝λ＋2μ，解得λ＝－2且μ＝－12， 因此，则λμ＝4.故选B.]
6．(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.
解析：因为2a ＋b ＝(4,2)，且c ∥(2a ＋b )，所以1×2－λ×4＝0，解得λ＝12
. 答案：12
7．(2019·柳州市模拟)设A (1,1)、B ⎝
⎛⎭⎫4，112，点C 满足AC →＝2CB →，则点C 到原点O 的距离为________．
解析：∵AC →＝2CB →，
∴OC →－OA →＝2(OB →－OC →)，
∴OC →＝13(OA →＋2OB →)＝13⎣
⎡⎦⎤(1，1)＋2⎝⎛⎭⎫4，112＝(3,4)． ∴|OC →|＝5，即点C 到原点O 的距离为5.
答案：5
8．△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p ∥q ，则角C ＝________________.
解析：因为p ∥q ，则(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，
所以a 2＋b 2－c 2
＝ab ，a 2
＋b 2－c 22ab ＝12， 结合余弦定理知，cos C ＝12
，又0°<C <180°，∴C ＝60°. 答案：60°
9．如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将OB →分为2∶1的一个内
分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .
(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；
(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．
解：(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23
OB →. 由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →.
∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，
DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53
b . (2)如题图，EC →∥DC →.
又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，
DC →＝2a －53
b ， ∴2－λ2＝－1－53
，∴λ＝45. 10．已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：
(1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？P 在第三象限？
(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．
解：(1)∵AB →＝(3,3)，
∴OP →＝(1,2)＋(3t,3t )＝(3t ＋1,3t ＋2)，
若点P 在x 轴上，则3t ＋2＝0，解得t ＝－23
； 若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，解得t ＝－13
； 若点P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧
1＋3t <0，2＋3t <0.
解得t <－23. (2)不能，若四边形OABP 成为平行四边形， 则OP →＝AB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3t ＝3，2＋3t ＝3.
∵该方程组无解，
∴四边形OABP 不能成为平行四边形.。