优质课《长方体和正方体体积公式推导》
长方体和正方体的表面积和体积公式的推导过程
长方体和正方体的表面积和体积公式的推导
过程
长方体的公式推导过程：
假设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
1.表面积的推导：
长方体的表面积可以看作由长方体的六个面积组成，分别为两个底面积和四个侧面积。
底面积为ab，共有两个，所以为2ab；
侧面积可以分成四个面，分别为ac, ac, bc, bc，所以共为2（ac + bc）；
因此，长方体的表面积为2ab + 2（ac + bc）。
2.体积的推导：
长方体的体积即为长方体的三条边的乘积，即abc。
正方体的公式推导过程：
正方体即为三个面都是正方形的长方体，假设正方体的边长为a。
1.表面积的推导：
正方体的表面积同样可以看作是由正方体的六个面积组成，分别为四个侧面积和两个底面积。
底面积为a^2，共有两个，所以为2a^2；
侧面积可以分成四个面，分别为a^2, a^2, a^2, a^2，所以共为4a^2；
因此，正方体的表面积为2a^2 + 4a^2 = 6a^2。
2.体积的推导：
正方体的体积即为正方体的边长的立方，即a^3。
拓展：
可以推导出长方体和正方体的对角线长度公式。
长方体的对角线长度公式为√(a^2 + b^2 + c^2)；
正方体的对角线长度公式为√(3a^2)。
人教版数学五年级下册-3.3.2 长方体、正方体体积公式的推导-教学课件
课堂练习
1 下列物体都是由棱长是1厘米的正方体搭成的， 把它们的体积填在括号里。
( 8 )立方厘米
( 7 )立方厘米
2 看图填表。
长 宽 高 小正方体的个数 长方体的体积
图① 4cm 1cm 1cm
4
4cm3
图② 4cm 3cm 1cm
12
12cm3
图③ 4cm 3cm 3cm
36
36cm3
变式训练
a
V ＝ a ‧ a ‧ a ＝ a³
aa
a3读作a的立方， 表示3个a相乘。
算一算 解决淘淘的问题，买哪个蛋糕比较划算？
草莓布朗尼蛋糕 218元
10cm
17cm
芒果冰激凌慕斯蛋糕 218元
草莓蛋糕：V=abh=23×20×10=4600（cm3） 芒果蛋糕：V=a3=173=4913（cm3）
因为4913＞4600，所以买芒果冰激凌慕斯蛋糕比较划算。
人教版·数学·五年级·下册
第三单元 长方体和正方体
第8课时 长方体、正方体体积公式的推导
情境导入 怎妈你样妈知计要道算过买生哪两日个个了蛋蛋，糕糕淘比的淘较体想划积买算呢一吗？个？蛋糕送给妈妈。
草莓布朗尼蛋糕 218元
芒果冰激凌慕斯蛋糕 218元
同样的价格，买到的蛋糕越多，也就是 蛋糕的体积越大，就越划算！
探究新知 怎样计算长方体的体积呢？
求长方体的体积就 是看长方体有多少 个体积单位。
把长方体分成若干 单位体积的小正方 体，就可以……
说一说，摆一摆
分组实验，验证猜想：
用12个体积为 1 cm3 的小正方体摆成不同的长方体。 说一说你是怎么摆的。 （1）把小组内摆法不同的长方体的相关数据填入下表。
长方体和正方体,体积公式的统一,底面积乘高,推导过程,教学课件
V=Sh
=21×3 =84(cm3)
答：它的体积是84cm3。
一块正方体石料，一个面的 面积是3６dm2，这块石料 的体积是多少立方分米？ 因为：36=6×6
所以：棱长是6 V = Sh =36×6 =216（dm3）
答：这块石料的体积是216 dm3。
努 力 吧 ！
计算下面立体图形的棱长总和表面积和体积。 (单位：分米)
答：原来这根木料的体积是0.3立方米。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
长方体和正方体，底面的面积叫做底面积。
高
底面
长
宽
棱 长
长×宽 长×宽×高 长方体的体积=______ 底面积
底面
棱长
棱长
棱长×棱长 棱长×棱长×棱长 正方体的体积=__________ 底面积×高 底面积
长方体（正方体）的体积=
高
V= S h
一个长方体,底面积是21cm2,高3cm,它的 体积是多少?
5 5 5 9
2 1.5
一根长方体木料，长5m，横截面的面积 是0.06m2。这根木料的体积是多少？
0.06m2 底面积
长5米其实是什么？ 高 5米
V=Sh
=0.06×5
=0.3（m3）
答：这根木料的体 积是0.3m3。
0.06m2 底面积
一根木2.5米的长方体木料锯成两段后, 表面积增加了0.24平方米,原来这根木料 的体积是多少立方米? V=Sh =0.24÷2×2.5 =0.12×2.5 =0.3（立方米）
正方体的体积=棱长X棱长X棱长
V＝
h
3 a
a
V ＝ abh
b
长方体的体积=长X宽X高 a a a
底面
《长方体和正方体体积公式推导》ppt课件
义务教育课程标准实验教科书五年级数学（下册）
长方体和正方体的体积计算
主讲：葛正萍
永登城关小学
教学目标： 1、理解体积的意义，认识常用体积的单位。 2、探索并掌握长方体和正方体的体积计算。
3、培养实际操作能力，体会理论来源于实践的 道理。 教学重点：理解各体积单位的意义并掌握长方 体和正方体的体积计算。 教学难点：理解长方体和正方体体积计算的推 导过程。
复习：
1、相交于一个顶点的三条棱的长度叫做长方 体的（长 ）、（ 宽 ）、（ 高 ）。 2、说出下面各图形所表示的长、宽、高各是 多少？6 6 3 4来自5 5 5 图1 图2 8
4
2 图3
自学指导（一）
自学课本38-39页内容，思 考： 1.什么是体积？ 2.计量体积的单位有哪些？ 用字母怎样表示？
2
体积
长
宽
高
3
2
12
3
2
2
h
a 长方体的体积＝长×宽×高
V a b h
b
V ＝ abh
自学检测二
一个长方体，长8厘米，宽6厘米， 高4 厘米。它的体积是多少？
8×6×4=192(立方厘米)
答:它的体积是192立方厘米。
a a
V
a a
3
a
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长
a
V＝a· a·a ＝a
a
哪一个所占的空间大？
火柴盒
卫生箱
衣柜
自学检测（一）
1.物体所占空间的（ ）叫做物体的 体积。 2.常用的体积单位有（ ）、 （ ）和（ ）。用字母可以写 成（ ）、（ ）、（ ）。
小
结
计量长度要用长度单位， 如米、分米、厘米… 计量面积要用面积单位， 如平方米、平方分米、 平方厘米…
《长方体和正方体的体积》优秀教学设计(7篇)
《长方体和正方体的体积》优秀教学设计（7篇）《长方体和正方体的体积》优秀教学设计篇1教材分析长方体和正方体是最基本的立体图形。
学生在认识一些平面图形的基础上学习三维图形，是一个飞跃。
本单元基本了解了长方体、正方体的特点和性质，学会了表面积的计算，掌握了体积的概念和体积的常用单位。
这节课，我们要学习长方体和正方体的体积计算，知道体积公式的来源，掌握公式的意义和用法。
学情分析体积对学生来说是一个新概念，从学习平面图形扩展到学习立体图形是学生的一次飞跃。
课前，学生已经了解了体积和体积的单位，对物体的体积有一个模糊的认识。
在教学中，教师要注重学生空间概念的培养，从学生实际出发，充分利用和创造条件，使学生在轻松愉快的氛围中学习；利用交互式多媒体课程，引导学生通过观察、测量、组合、绘制和制作物体和模型来丰富对身体的感知，从而培养其初步的空间概念和抽象概括能力。
教学目标1.体验长方体、正方体体积与长、宽、高关系的探索过程，了解并掌握长方体、正方体体积的计算方法。
2.根据正方体和长方体的隶属关系，理解和掌握正方体的体积计算方法。
3、能运用长方体、正方体体积计算公式正确进行简单体积计算，并解决简单问题。
4.体验数学学习活动，培养学生分析问题、解决问题的能力。
教学重点和难点教学重点:长方体体积计算方法。
教学难点：推导长方体体积计算公式。
教学过程一、创设情景，导入新课。
1.展示课件中的长方体和正方体，让学生说出它们的体积是多少。
2、如果较大的物体用1立方厘米来测量呢？可以用学过的数学知识来计算吗？二、师生互动，探究新知。
1、实验探究（1）每五人一组做实验并记录：取12块1立方厘米的小正方体积木，任意拼摆长方体，然后把数字记录在表格里面。
(2)通过课件演示，根据学生的记录表格，验证操作。
小组讨论:填表发现了什么？2.总结（1）研究数字间关系分组讨论（2）概括体积公式。
由学生自己总结出长方体的体积公式。
长方体体积=长×宽×高V=a×b×h=abh（3）根据长方体与正方体之间的关系，我们可以推出正方体的体积计算公式。
长方体和正方体的表面积和体积公式的推导过程
长方体和正方体的表面积和体积公式的推导
过程
长方体的表面积和体积公式是：
表面积= 2lw + 2lh + 2wh
体积= lwh
其中，l代表长，w代表宽，h代表高。
推导过程是，首先考虑长方体的六个面，分别有长宽、长高和宽
高组成，所以长方体的表面积可以表示为所有这些面积的总和，即2lw + 2lh + 2wh。
而长方体的体积可以看作是长方体的底面积乘以高，因此体积等
于lwh。
接下来，我们来推导正方体的表面积和体积公式。
正方体的特点
是长、宽、高都相等，设边长为a。
根据正方体的定义，它有六个面，每个面的面积都是a^2。
因此，正方体的表面积为6a^2。
正方体的体积可以看作是正方体的底面积a^2乘以高，因此体积等于a^3。
总结来说，长方体的表面积和体积公式可以直接通过面积和体积的定义进行推导。
而正方体只是长方体的特殊情况，所以推导方法与长方体类似，只是边长相等而已。
拓展：以上是针对长方体和正方体的简单情况推导的表面积和体积公式。
对于其他几何体，比如球体、圆柱体、圆锥体，也有各自的表面积和体积公式，并且推导方法也各有不同。
感兴趣的读者可以进一步了解和了解其他几何体的表面积和体积公式。
课《长方体和正方体体积公式推导》课件
• 小组合作作业：小组合作完成一个生活中的体积计算问题 ，并提交报告。
作业布置与要求
01
要求
02
03
04
所有作业需按时提交，不得抄 袭。
对于实际应用题和探究性作业 ，鼓励创新思维和多样化解题
方法。
小组合作作业需分工明确，体 现团队协作精神。
谢谢
THANKS
例题二
解
一个长方体的体积为24立方分米，其长为6 分米，求宽和高。
根据公式V=l×w×h，得到方程6w×h=24 ，又因为l=6，所以w×h=4，得到宽和高 分别为2分米和4分米或4分米和2分米。
03 正方体体积公式推导
CHAPTER
正方体的体积概念
总结词
理解正方体的体积概念是推导其 体积公式的基础。
设长方体的长为l、宽为w、高为h， 则其体积V=l×w×h。
几何法
利用长方体的长、宽、高构造一个长 方形或矩形，然后利用面积公式推导 出体积公式。
公式应用与例题解析
例题一
解
一个长方体的长为6cm，宽为4cm，高为 2cm，求其体积。
根据公式V=l×w×h，代入数值得到 V=6×4×2=48立方厘米。
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目录
CONTENTS
• 课程导入 • 长方体体积公式推导 • 正方体体积公式推导 • 公式拓展与实际应用 • 课程总结与作业布置
01 课程导入
CHAPTER
回顾旧知
回顾长方体和正方体的表面积公式
通过回顾长方体和正方体的表面积公式，为引入体积公式做铺垫，帮助学生理 解体积与表面积的关系。
02 长方体体积公01
02
03
体积定义
归纳长方体正方体圆柱圆锥体积公式推导过程
归纳长方体正方体圆柱圆锥体积公式推导过程
推导长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积公式
长方体体积公式推导过程：
我们知道长方体的体积等于底面积乘以高度。
设长方体的底面积为S，高度为h，则长方体的体积V=S*h。
正方体体积公式推导过程：
正方体是长方体的特殊情况，即长宽高相等。
设正方体的一边长为a，则底面积为a*a=a^2，高度也为a，所以正方体的体积V=a^2*a=a^3。
圆柱体积公式推导过程：
圆柱的底面为圆形，设底面半径为r，高度为h。
圆柱的底面积为π*r^2，高度为h，所以圆柱的体积V=π*r^2*h。
圆锥体积公式推导过程：
圆锥的底面为圆形，设底面半径为r，高度为h。
圆锥的底面积为π*r^2，高度为h，所以圆锥的体积V=1/3*π*r^2*h。
通过以上推导过程，我们得出了长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积公式。
这些公式在几何学和工程学中都有广泛的应用，可以帮助我们计算和解决各种实际问题。
深入理解这些公式的推导过程，有
助于我们更好地掌握数学知识，提高解决问题的能力。
希望这篇文章能帮助读者更好地理解和运用这些几何体积公式。
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高 1 cm 长 6 cm
宽 2 cm
精品文档
高 1 cm 长 4 cm
宽 3 cm
精品文档
高 宽
长
精品文档
1、这些长方体有什么共同点?不同点?
体积都相同，而长、宽、高不同。
2、为什么这些长方体的长、宽、高不 同,即形状不同而体积相同呢?
因为它们都含有同样多的体积单位-----12个1厘米3
底面
底面
长方体或正方体底面的面积叫底面积。
精品文档
h
a
b
长方体的体积＝长×宽×高
底面积
V ＝ sh
精品文档
a aa
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长
底面积
V ＝ sh
精品文档
底面
底面
长方体（或正方体）的体积＝底面积×高
V ＝ sh 精品文档
长方体和正方体的体积
长方体的体积=长×宽×高
V=abh
复习：
1、相交于一个顶点的三条棱的长度叫做长方
体的（长 ）、宽（
高）、
（2、说出下面各）图。形所表示的长、宽、高各是
多少？
55 5
5
图1 图3
4 8
精品文档
6
4
6
3
4 2
图2
哪一个所占的空间大？
火柴盒
卫生箱 精品文档
衣柜
课前检测
1.物体所占空间的（ ）叫做物体 的体积。 2.常用的体积单位有（ ）、 （ ）和（ ）。用字母可以写 成（ ）、（ ）、（ ）。
（
）
（ 2）5X3 =15X；（ × ）
( 3 )一个正方体棱长4分米,它的
体积是3:4 =12(立方分米)( × )
( 4 )一个长方体,长5分米,宽4分米,高
3厘米,它的体积是60分米 .(× ) 精品文档
本课小结
同学们，说说你们这节课 的收获和体会。
精品文档
（
）
2叫做、物体长的体方积。体 长的×宽体×高积 =
（
abh）
3 、用字正母表方示V体=（棱的长×棱体）长×积棱长 =
（
a ×a ×）a
用字母表示V精品=文档（
）
当堂作业
1、计算下面图形的体积。
4
4
6
66 6
（1）
（2）
2、一块长方体的砖，长24厘米，宽12
厘米，厚6厘米。12块这样有砖的体积 是多少立方厘米？
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思考题
希望小学建一个长方体游泳池，长50m,宽5m， 深2m。
（1）游泳池占地面积是多少平方米？ （2）游泳池共存水多少立方米？
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思考题
有一个形状如下图的零件，它的 体积是多少？（单位：分米）
2 6
3 2
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求长方体的体积是多 少立方厘米？
高
3
底面
厘
米
底面的面积是54平方厘米 精品文档
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小正方体 长方体体
的个数 积（立方厘米）
12
12
长
（厘米）
宽
（厘米）
高
（厘米）
43 1
12
12
32 2
12
12
12 1 1
12
12
62 1
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你能总结出长方体的体积计算公式吗
高
h
长a
宽b
长方体的体积=长×宽×高
V=abh
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自学检测二
一个长方体，长8厘米，宽6厘米， 高4 厘米。它的体积是多少？
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小结
A.计量长度要用长度单位， 如米、分米、厘米…
B.计量面积要用面积单位， 如平方米、平方分米、 平方厘米…
C.计量体积要用品文档
长方体的体积可能与什么有关?
高宽
长
高宽 长
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长高 宽
长方体的体 积与长、宽、 高都有关系
观察操作
用一些体积是1立方厘米的 正方体拼四个不同的长方体。
8×6×4=192(立方厘米) 答:它的体积是192立方厘米。
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• 摆一摆，用几个小正方体摆成大正方体?
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a3 读作a的立方或a的3次方，
a a
a
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长
V
a
a
a
V ＝ a ·a＝·a a3
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表示三个a相乘。
自学检测三
1、一个正方体纸箱，棱长是5 分米，它的体积是多少立方分 米？
还可以共用一个公式！
长方体（或正方体）的
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长体积＝底面积×高
V ＝ a ·a·＝aa3
V ＝ sh
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一根长方体木料，长5m，横截面的面积 是0.06m2。这根木料的体积是多少？
0.06m2
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判断正误并说明理由。
（ 1）0.32 =0.2×0.2×0.2； √
5×5×5=125（立方分米） 答：它的体积是125立方分米。
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2、口答：练一练
长/分米 宽/分米 高/分米 体积/分米 3
长
5
方
4
体
10
正 方 体
1
2
3
5
2
4
棱长/米
6
30
0.4
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10 60 80
体积/米3
216 27000 0.06 4
这节课你有什么收获？
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1、物体 所占空间的大小
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用12个体积是1立方厘米的小正方体拼 四个不同的长方体 并完成下表
小正方体 长方体体积 长 宽 高
的个数 （立方厘米）
（厘米） （厘米）
（厘米）
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观察下面的长方体， 看它包含有多少个体积 单位？它的体积是多少？ 并指出它的长、宽、高 各是多少？
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高 1 cm 宽 1 cm 长 12 cm