2013届高三北师大版理科数学一轮复习课时作业(7)指数与对数的运算
北大附中2013届高三数学一轮复习课时作业指数函数及其性质
北大附中2013届高三数学一轮复习课时作业：指数函数及其性质第Ⅰ卷(选择题)一、选择题1．若函数、三、四象限，则一定有( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 2．函数21(0)x y aa a -=+>≠且1的图象必经过点( )A ． (0,1)B ． (1,1)C ． (2,0)D ． (2,2)【答案】D 3．已知函数()21,x f x a b c =-<<，且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，必成立的是( )A ． 0,0,0a b c <<<B ．0,0,0a b c <≥>C ． 22ac -<D ．222ac +<【答案】D4．已知函数()xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=21，对于任意的两个实数()b a b a ≠,，下列关系不一定成立的是( )A ．()()()ab f b f a f =+B ．()()()b a f b f a f +=C ．()()0<--ba b f a fD ．()()[]b f a f b a f +<⎪⎭⎫⎝⎛+212 【答案】A5．设，，，则( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D6．若函数y =(a 2-3a +3)a x是指数函数，则( )A ． a ＞1且a ≠1B ． a ＝1C ． a ＝1或a ＝2D ． a ＝2【答案】D 7．函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是( )【答案】D8．函数xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21与函数2xy =-的图象关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．直线y x =对称D ．原点对称【答案】D9．设，则( )A ．－2<x<－1B ．－3<x<－2C ．－1<x<0D ．0<x<1【答案】A10．已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f(ab)，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( ) A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A D ．C ≤B ≤A 【答案】A11．已知函数()xf x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：① ABC ∆一定是钝角三角形 ② ABC ∆可能是直角三角形 ③ ABC ∆可能是等腰三角形 ④ABC ∆不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是( )A ．①③B ．①④C ． ②③D ．②④【答案】B12．下列函数中，图象与函数2xy =的图象关于原点对称的是( )A ．2xy =-B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．12xy -⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C13．已知集合11{1,1},{|24,}2x M N x x Z +=-=<<∈,则MN =( )A ．{1,1}-B ．{0}C ．{1}-D ．{1,0}-【答案】C 14．设函数6522221)(,21)(+++-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=x x bx x x g x f ，若)()(x g x f <对于任意实数x 恒成立，则实数b 的取值范围是( ) A ．12>b B ．12<bC ．15<bD ．15>b【答案】D15．在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，而函数的图象与的图象关于y 轴对称，若，则的值为( )A ．-eB ．-C ．eD ．【答案】B 16．函数33()2x xf x --=在其定义域内( )A ．是增函数又是偶函数B ．是增函数又是奇函数C ．是减函数又是偶函数D ．是减函数又是奇函数 【答案】B17．若函数x a x f 2)(⋅-=与14)(++=a x f x的图象有交点，则a 的取值范围是( )A ． 222-≤a 或 222+≥aB ． 1-<aC ． 2221-≤≤-aD ． 222-≤a【答案】D 18．函数bx ax f -=)(的图像如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a【答案】D19．若方程021411=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x x 有正数解，则实数a 的取值范围是( )A ．()1,∞-B ．)2,(--∞C ．()2,3--D ．()0,3-【答案】D 20．函数()x bf x a-=的图象如图，其中,a b 为常数，则下列结论正确的是( )A. 01,0a b <<<B. 1,0a b >>C. 01,0a b <<>D. 1,0a b >< 【答案】A 21．设111()()1222b a <<<，那么( ) A ．a a＜a b＜b aB ．a a ＜ b a ＜a bC ．a b＜a a＜b aD ．a b＜b a＜a a【答案】C第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题22．若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 . 【答案】1>a23．已知函数xx f )21()(=的图象与函数g(x)的图象关于直线x y =对称，令①h(x)的图象关于原点对称； ②h(x)为偶函数；③h(x)的最小值为0；④h(x)在(0，1)上为减函数.其中正确命题的序号为 (注：将所有正确．．命题的序号都填上） 【答案】②③24．方程|2x－1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是____________． 【答案】1a ≥或0a =25．若函数|21|xy =-，在(,]m -∞上单调递减，则m 的取值范围是 ． 【答案】0≤m 26．不等式1622<-+x x 的解集是 ．【答案】{31}xx -<<27．已知函数11()()12xf x x a =-+(a>0),若()f x ≤0恒成立,则a 的取值范围是 【答案】a ≥128．若关于x 的不等式1420x x a +--≤在[]2,1上恒成立,则实数a 的取值范围为 .【答案】0≤a29．已知函数1(01)xy aa a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 与点B )0,(m 、C )0,)(,0(≠≠mn n m n 在同一直线上，则11m n+的值为 【答案】130．已知函数m x g x x f x-⎪⎭⎫⎝⎛==21)(,)(2，若对[][],2,0,3,121∈∃-∈∀x x 使得)()(21x g x f ≥，则实数m 的取值范围是____________【答案】41≥m 31．如图，过原点O 的直线与函数2xy =的图象交与A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数4xy =的图象于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是 。
高三一轮复习精题组对数与对数函数(有详细答案)
§2.6 对数与对数函数1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5. ( √)(2)2log510＋log50.25＝5. ( ×)(3)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2. ( √)(4)log2x2＝2log2x. ( ×)(5)当x>1时，log a x>0. ( ×)(6)当x>1时，若log a x>log b x，则a<b. ( ×) 2．(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c答案 D解析a＝log36＝1＋log32＝1＋1log23，b＝log510＝1＋log52＝1＋1log25，c＝log714＝1＋log72＝1＋1log27，显然a>b>c.3．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x·2lg yC ．2lg x ·lg y＝2lg x＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y答案 D 解析 2lg x·2lg y＝2lg x ＋lg y＝2lg(xy )．故选D.4．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．答案 (－12，＋∞)解析 函数f (x )的定义域为(－12，＋∞)，令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在(－12，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(－12，＋∞)．5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )>0的解集为________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)解析 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. ∴f (log 18x )>0⇒log 18x <－13或log 18x >13⇒x >2或0<x <12，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)若x ＝log 43，则(2x－2－x )2等于( )A.94B.54C.103D.43(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f (log 312)的值是( )A ．5B ．3C ．－1D.72思维启迪 (1)利用对数的定义将x ＝log 43化成4x＝3； (2)利用分段函数的意义先求f (1)，再求f (f (1))；f (log 312)可利用对数恒等式进行计算．答案 (1)D (2)A解析 (1)由x ＝log 43，得4x＝3，即2x＝3，2－x ＝33，所以(2x －2－x )2＝(233)2＝43.(2)因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f (log 312)＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f (f (1))＋f (log 312)＝2＋3＝5.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为________．答案124解析 因为2＋log 23<4， 所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)， 而3＋log 23>4，所以f (3＋log 23)＝(12)3＋log 23＝18×(12)log 23＝18×13＝124. 题型二 对数函数的图象和性质例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 213)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．b <c <aD ．a <b <c思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象；(2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的． 答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C. (2)log 213＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 213)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47<log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125>532＝2>log 49， 又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， 且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (0.2－0.6)<f (log 213)<f (log 47)，即c <b <a .思维升华 (1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．(1)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a(2)已知函数f (x )＝log a (x ＋b ) (a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________. 答案 (1)A (2)2 2解析 (1)b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ，c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ，故c <b <a .(2)f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1b ＝a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＝2.题型三 对数函数的应用例3 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪 f (x )恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a 来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数， ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32a ＝32，故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f (x )＝log 4(4x－1)．(1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间[12，2]上的值域．解 (1)由4x－1>0，解得x >0， 因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在(0，＋∞)上递增．(3)f (x )在区间[12，2]上递增，又f (12)＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在[12，2]上的值域为[0，log 415]．利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(15分)(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b <a <cD ．a <c <bA ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b(3)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b思维启迪 (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 30.3＝log 3103的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1； 根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c .方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.(3)因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数． 因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减； 因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减． 因为1<20.2<2,0<log π3<1，log 39＝2， 所以0<log π3<20.2<log 39， 所以b >a >c ，选A. 答案 (1)C (2)C (3)A温馨提醒 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．2．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． 失误与防范1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N ＋，且α为偶数)．2．指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值A 组 专项基础训练一、选择题 1．函数y ＝2－xlg x的定义域是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |0<x <1或1<x <2}C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |0<x <1或1<x ≤2}答案 D解析 要使函数有意义只需要⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0x >0lg x ≠0，解得0<x <1或1<x ≤2，∴定义域为{x |0<x <1或1<x ≤2}． 2．函数y ＝lg|x －1|的图象是( )答案 A解析 ∵y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1lg (1－x )，x <1.∴A 项符合题意．3．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 21-，则 ( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x答案 D解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1.∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e21-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .4．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 C⇒a >1或－1<a <0.5．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13D ．(3，＋∞)答案 D解析 由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数， ∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数， 因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3，故选D. 二、填空题 6．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________________．答案 {x |－1<x ≤0或x >2}解析 当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，∴x >2.综上所述，x 的取值范围为－1<x ≤0或x >2.8．若log 2a 1＋a 21＋a<0，则a 的取值范围是____________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 当2a >1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a<1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1. 当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a>1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 三、解答题9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1. 所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．10．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13，＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝(12)－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.B 组 专项能力提升1．设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是 () A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x <1，∴－1<x <0.2．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有()A ．f (13)<f (2)<f (12) B ．f (12)<f (2)<f (13) C ．f (12)<f (13)<f (2) D ．f (2)<f (12)<f (13) 答案 C解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)． 3．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 015)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝________.答案 16解析 f (x 1x 2…x 2 015)＝log a (x 1x 2…x 2 015)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 015＝log a (x 1x 2…x 2 015)2＝2log a (x 1x 2…x 2 015)＝16.4．设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a <b .(1)求方程f (x )＝1的解；(2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )，求证：a ·b ＝1，a ＋b 2>1. (3)在(2)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f (a ＋b 2)所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.(1)解 由f (x )＝1得，lg x ＝±1，所以x ＝10或110. (2)证明 结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1.又a ＋b 2＝1b ＋b 2>21b ·b 2＝1(因1b≠b )． (3)证明 由已知可得b ＝(a ＋b 2)2，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b 2＋b 2＋2－4b ＝0， g (b )＝1b 2＋b 2＋2－4b ， 因为g (3)<0，g (4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.5．已知函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 21t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 21t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减， 故函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，a 2]上单调递增． 又因为函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎨⎧ a ≥22，2－2a ＋a ≥0，即22≤a ≤2(2＋1)．。
高考数学一轮复习指数与对数的运算培优课件
解析 对于A，当T＝220，P＝1 026时，lg P＝lg 1 026>lg 103＝3，根据图象可 知，二氧化碳处于固态； 对于B，当T＝270，P＝128时，lg P＝lg 128∈(lg 102，lg 103)，即lg P∈(2，3)， 根据图象可知，二氧化碳处于液态； 对于C，当T＝300，P＝9 987时，lg P＝lg 9 987<lg 104＝4，且与4非常接近， 根据图象可知，二氧化碳处于固态； 对于D，当T＝360，P＝729时，lg P＝lg 729∈(lg 102，lg 103)， 即lg P＝lg 729∈(2，3)，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态，故选D.
考点一 指数幂的运算
3
例 1 (1)(2023·杭州调研)化简
a3b2
11
ab2
3
(a＞0，b＞0)的结果是(
B
)
（a4b2）4·
b a
b A.a
解析
a
a2
b2
B.b
C. b
D. a
3 11
3
a3b2 ab2 ＝
11
3
a2b·a6b3
11
1
1＝a32＋16－1＋13b1＋13－2－13＝ab－1＝ba.
第二章 函 数
索引
考试要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂 的运算性质. 2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化 成自然对数或常用对数.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层精练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
间传染所需的平均时间.在新冠感染疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert
高考数学一轮复习 第8讲 指数与对数的运算课件 理 北师大版
)
(3)0.06413
1 22
2
÷160.75＋
1 2
1 3
0
＝52.
()
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第8讲 指数与对数的运算
双
向
固 基
[答案] (1)× (2)× (3)√
础
[解析]
(1)
1
13
＝
3
－1＝－1；
1
2 6
＝
6
（－1）2＝
6 1＝1.
5 (2)
（－2）3＝－5
0 的任何次方根都是 0，记作n 0＝0
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第8讲 指数与对数的运算
双 向
(续表)
固 基
概念 式子n a叫作__根__式__，其中 n 叫作
础
_根__指___数__，a 叫作__被__开__方__数
当 n 为任意正整数时，(n a)n＝
根
____a____
式
性质
当 n 为奇数时，n an＝_a_______
(4)若 log22＝x，则 x＝1.( )
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第8讲 指数与对数的运算
双
向
固 基
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
础
[解析] (1)由底数的对数等于 1，1 的对数等于 0，得
lg(lg 10)＝lg 1＝0.
双
向
固 基
1．根式
础
概念
如果 xn＝a，那么 x 叫作 a 的 n 次
__方__根______，其中 n>1，n∈N*
当 n 是___奇__数_______时，a 的 n 次方
高三理科数学一轮复习精品讲义07(对数与对数函数)
例 6. 已知函数 f(x)＝ log1 (x2 − 2ax + 3) ．
2
(1)若函数 f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)， 求实数 a 的值；
(2)若函数 f(x)的定义域为 R，值域为(－∞，－1]，求 实数 a 的值；
(3)若函数 f(x)在(－∞，1]上为增函数，求实数 a 的取 值范围．
范围；
(2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间[1,2] 上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由．
课堂小结： 1．对数值取正、负值的规律
当 a>1 且 b>1 或 0<a<1 且 0<b<1 时，logab>0； 当 a>1 且 0<b<1 或 0<a<1 且 b>1 时，logab<0. 2．对数函数的定义域及单调性 在对数式中，真数必须是大于 0 的，所以对数函数 y ＝logax 的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和 a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按 0<a<1 和 a>1 进行分类讨论． 3．比较幂、对数大小有两种常用方法： (1)数形结合； (2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比 较图象与直线 y＝1 交点的横坐标进行判定． 5．在运算性质 logaMα＝αlogaM 中，要特别注意条件，
解析 ∵f(x)是 R 上的偶函数，
∴它的图象关于 y 轴对称．
∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，
由 f13＝0，得 f－13＝0.
∴ f (log1 x) >0⇒ log1 x <－13或 log1 x >13 ⇒x>2 或 0<x<12，
新教材北师大版高中数学必修第一册第三章指数运算与指数函数 学案(知识点汇总及配套习题)
第三章指数运算与指数函数3.1指数幂的拓展 (1)3.2指数幂的运算性质 (7)3.3 指数函数 (12)1、指数函数的概念指数函数的图象和性质 (12)2、指数函数及其性质的应用 (21)复习巩固 (28)3.1指数幂的拓展学习目标核心素养1．理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法．(易混点)1．通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养．2．通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养.1．正分数指数幂的定义是什么？2．正分数指数幂有哪些性质？3．负分数指数幂的定义是什么？1．正分数指数幂(1)定义：给定正数a和正整数m，n，(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得b n＝a m，则称b为a的mn次幂，记作b＝a.这就是正分数指数幂．(2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂a满足：a＝a.②a＝n a m.2．负分数指数幂给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义a＝1a＝1n a m.能否将3－27＝－3写成(－27)＝－3?[提示]不能．因为在指数幂的概念中，总有a>0.于是，尽管有3－27＝－3，但不可以写成(－27)＝－3的形式．1.把下列各式中的b(b>0)写成正分数指数幂的形式：(1)b4＝35；(2)b－3＝32.[解](1)∵b4＝35，∴b＝3.(2)∵b－3＝32，∴b＝32.2.计算：(1)8＝________；(2)27＝________.(1)2(2)19[(1)设b＝8，由定义，得b3＝8，b＝2，所以8＝2.(2)由负分数指数幂的定义，得27＝127.设b＝27，由定义，得b3＝272＝93，b＝9，所以27＝19 .]类型1 根式的化简与求值【例1】化简：(1)n x－πn(x＜π，n∈N*)；(2)4()x＋24.[解](1)∵x＜π，∴x－π＜0.当n为偶数时，n x－πn＝|x－π|＝π－x；当n为奇数时，n x－πn＝x－π.综上可知，nx －πn＝⎩⎨⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *.(2)4()x ＋24＝||x ＋2＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≥－2－x －2，x <－2.正确区分n a n 与⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n(1)n a n 表示a 的n 次方的n 次方根，而⎝ ⎛⎭⎪⎫na n表示a 的n 次方根的n 次方，因此从运算角度看，运算顺序不同．(2)运算结果不同①⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n ＝a .②n a n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.[跟进训练]1．若xy ≠0，则使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件可能是( ) A ．x ＞0，y ＞0 B ．x ＞0，y ＜0 C ．x ≥0，y ≥0D ．x ＜0，y ＜0B [∵4x 2y 2＝2|xy |＝－2xy ，∴xy ≤0. 又∵xy ≠0，∴xy ＜0，故选B.] 2．若2a －12＝31－2a3，则实数a 的取值范围为________．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 [2a －12＝|2a －1|，31－2a3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a ，故2a －1≤0，所以a ≤12.]类型2 根式与分数指数幂的互化 【例2】 (1)3可化为( ) A ． 2B ．33C ．327 D．27(2)5a－2可化为( )A ．a B．a C．a D．－a[思路点拨] 熟练应用n a m＝a mn是解决该类问题的关键．(1)D(2)A[(1)3＝()33＝27. (2) 5a－2＝()a－2＝a.]根式与分数指数幂的互化规律1．关于式子n a m＝a的两点说明(1)根指数n即分数指数的分母；(2)被开方数的指数m即分数指数的分子．2．通常规定a中的底数a>0.[跟进训练]3．将下列各根式化为分数指数幂的形式：(1)13a；(2)4a－b3.[解](1)13a ＝1a＝a；(2)4a－b3＝()a－b.类型3 求指数幂a mn的值【例3】求下列各式的值：(1)64；(2)81.[思路点拨] 结合分数指数幂的定义，即满足b n ＝a m 时，a ＝b (m ，n ∈ N ＋，a ，b >0)求解．[解] (1)设64＝x ，则x 3＝642＝4 096， 又∵163＝4 096， ∴64＝16. (2)设81＝x, 则x 4＝81－1＝181， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181，∴81＝13.解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．[跟进训练]4．求下列各式的值： (1)125；(2)128.[解] (1)设125＝x ，则x 3＝125， 又∵53＝125， ∴125＝5. (2)设128＝x ，则x 7＝128－1＝1128， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝1128，∴128＝12. 随堂检测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1) 2表示23个2相乘．( )(2) a ＝m a n(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．( )1(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．( )(3) a＝n a m[答案](1)×(2)×(3)√2.3a－2可化为( )A．a B．aC．a D．－a[答案]A3．计算243等于( )A．9 B．3C．±3D．－3B[由35＝243，得243＝3.]4．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝________.[答案]55．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)，(1)a3＝________；1(2)＝________.3a53.2指数幂的运算性质学习目标核心素养1.掌握指数幂的运算性质．(重点)2. 能用指数幂的运算性质对代数式进行化简与求值．(难点)通过指数幂的运算，培养数学运算素养.指数幂的运算性质由哪些？指数幂的运算性质(a>0，b>0，α∈R，β∈R) 1．aα·aβ＝aα＋β；2．(aα)β＝aαβ；3．(ab)α＝aα·bα.以下计算正确吗？若计算错误，应该如何计算[提示]错误，.1.23×2×2－2＝________.2.(x2y－1z3)＝________.[答案]x y z类型1 指数幂的运算【例1】计算下列各式：[解] (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫49－⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(3)原式＝4×4100·a ·a ·b·b ＝425a 0b 0＝425.在进行幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，再利用幂的运算性质进行化简．[跟进训练] 1．计算：(2)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (3)23a ÷46a ·b ·3b 3. [解] (1)原式＝－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝64715. (2)原式＝－4a －2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a3c. (3)原式＝.类型2 对指数幂的运算性质的理解【例2】 (1)下列函数中，满足f ()x ＋1＝12f ()x 的是( )A ．f ()x ＝4xB ．f ()x ＝4－xC ．f ()x ＝2xD ．f ()x ＝2－x(2)＝( )(1)D (2)A [(1)f ()x ＋1＝2－(x ＋1)＝12×2－x ＝12f ()x .故选D.1．根据需要，指数幂的运算性质可正用、逆用和变形使用．2．运用幂的运算性质化简时，其底数必须大于零，对于底数小于零的，要先化为底数大于零的形式．如先化为.[跟进训练]2．下列运算结果中，正确的是( ) A ．a 2·a 3＝a 6 B ．()－a 23＝()－a 32C.()a 23＝a 5D ．()－a 23＝－a 6D [a 2·a 3＝a 5，A 错；(－a 2)3＝(－1)3×a 2×3＝－a 6，(－a 3)2＝(－1)2×a 3×2＝a 6，B 错；()a 23＝a 6，C 错，故选D.]类型3 根据条件求值 【例3】 已知a ＋a ＝5，求下列各式的值：(1)a ＋a －1； (2)a 2＋a －2. [解] (1)将a ＋a＝5两边平方，得a ＋a －1＋2＝5，所以a ＋a －1＝3. (2)将a ＋a －1＝3两边平方，得a 2＋a －2＋2＝9，所以a 2＋a －2＝7.在本例条件不变的情况下，则a 2－a －2＝______.±35 [令y ＝a 2－a －2，两边平方，得y 2＝a 4＋a －4－2＝(a 2＋a －2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±35，即a2－a－2＝±3 5.] 条件求值的步骤[跟进训练]3．已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求a－ba＋b的值．[解]a－b a＋b＝a－b2 a＋b a－b＝a＋b－2aba－b.①∵a＋b＝12，ab＝9，②∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108. ∵a＜b，∴a－b＝－6 3.③将②③代入①，得a－ba＋b＝12－2×9－63＝－33.随堂检测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1) 对任意实数a，a m＋n＝a m a n.( )(2) 当a>0时，()a m n＝a mn.( )(3)当a≠0时，a ma n＝a m－n.( )[答案](1)×(2)√(3)√2．2·5＝( )A ．103B ．10C ．310D ．7 3B [由实数指数幂的运算性质(ab )n ＝a n b n 知，2·5＝()2×5＝10.]3．已知x ＋x ＝5，则x 2＋1x的值为( )A ．5B ．23C ．25D ．27B [∵x ＋x ＝5，∴x ＋2＋x －1＝25，∴x ＋x －1＝23.∴x 2＋1x ＝x ＋1x ＝x ＋x －1＝23.]4.614－ 3338＋30.125 的值为________． 32[原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－3⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝52－32＋12＝32.] 5．8×42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×36________.110 [原式＝＝2＋22×33＝2＋4×27＝110.]3.3 指数函数1、指数函数的概念 指数函数的图象和性质学 习 目 标核 心 素 养1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．(重点) 2．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．(重点、难点)1．通过指数函数的图象的学习，培养直观想象素养．2．借助指数函数性质的应用，培养逻辑推理素养.1．指数函数的概念是什么？2．结合指数函数的图象，分别指出指数函数y ＝a x (a >1)和y ＝a x (0<a <1)的定义域、值域和单调性各是什么？3．y ＝a x和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x(a >0且a ≠1)的图象和性质有什么关系？知识点1 指数函数的概念1．定义：当给定正数a ，且a ≠1时，对于任意的实数x ，都有唯一确定的正数y ＝a x 与之对应，因此，y ＝a x 是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数．2．性质：(1)定义域是R ，函数值大于0； (2)图象过定点(0,1)．指数函数的解析式有什么特征？[提示] 指数函数解析式的3个特征：①底数a 为大于0且不等于1的常数；②自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1；③a x 的系数是1.1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)y ＝x 2是指数函数．( )(2)指数函数y ＝a x 中，a 可以为负数．( ) (3)y ＝2x ＋1是指数函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)×2.函数y ＝(a －2)a x 是指数函数，则a ＝________.3[由指数函数定义知a－2＝1得a＝3.]3.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.(2)x[设f(x)＝a x(a >0，a≠1)，∵f(2)＝2，∴a2＝2，∴a＝2，即f(x)＝(2)x.]知识点2 指数函数的图象和性质1．对于函数y＝a x和y＝b x(a>b>1)．(1)当x<0时，0<a x<b x<1；(2)当x＝0时，a x＝b x＝1；(3)当x>0时，a x>b x>1.2．对于函数y＝a x和y＝b x(0<a<b<1)．(1)当x<0时，a x>b x>1；(2)当x＝0时，a x＝b x＝1；(3)当x>0时，0<a x<b x<1.3．指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域：R值域：(0，＋∞)过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在R上是增函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0在R上是减函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大4．一般地，指数函数y＝a x和y＝⎝⎛⎭⎪⎫a(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R 上的单调性相反．(1)在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？ (2)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象与底数a 有什么关系？[提示] (1)指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限．(2)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a >1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a <1时，指数函数的图象是“下降”的．4.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数．( )(2)已知函数f (x )＝3x ，若m >n ，则f (m )>f (n )．( ) (3)指数函数的图象一定在x 轴的上方．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√5.下列函数中，是增函数的是________(填上正确的序号)． ①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；②y ＝(3＋1)x ；③y ＝2－x ；④y ＝(a 2＋2)x . [答案] ②④6.函数f (x )＝2x ＋3的值域为________． [答案] (3，＋∞)7.函数y ＝a x －1－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点________． (1,0) [由于指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(0,1)，因而在函数y ＝a x －1－1中，当x ＝1时，恒有y ＝0，即函数y ＝a x －1－1的图象恒过点(1,0)．]第1课时 指数函数的概念、图象和性质类型1 指数函数的概念 【例1】 给出下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ；③y ＝32x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3C [①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y ＝3x 是指数函数；③中，y ＝32x ＝9x ，故③是指数函数；④中，y ＝x 3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．]判断一个函数是指数函数，需判断其解析式是否可化为y ＝a x (a >0，且a ≠1)的形式．[跟进训练]1．函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1C [由指数函数定义知⎩⎨⎧a －22＝1，a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.]类型2 指数型函数的定义域和值域 【例2】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝2；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |；(3)y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x . [解] (1)∵x 应满足x －4≠0，∴x ≠4， ∴定义域为{x |x ≠4，x ∈R }． ∵1x －4≠0，∴2≠1，∴y ＝2的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)定义域为R .∵|x |≥0，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32|x |≥⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1，∴此函数的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120， ∴x ≥0，∴定义域为{x |x ≥0，x ∈R }． ∵x ≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >0，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1.∴0≤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<1，∴0≤y <1，∴此函数的值域为[0,1)．函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合．(2)值域：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．[跟进训练] 2．函数f (x )＝3x －4＋2x－4的定义域是________． [2,4)∪(4，＋∞) [依题意有⎩⎨⎧x －4≠0，2x－4≥0，解得x ∈[2,4)∪(4，＋∞)．]3．若函数f (x )＝a x －a 的定义域是[1，＋∞)，则a 的取值范围是________． (1，＋∞) [∵a x －a ≥0， ∴a x ≥a ，∴当a>1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a>1.]4．函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．[解]①当0<a<1时，函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝a1＝a，最小值f(x)min＝f(2)＝a2，所以a－a2＝a2，解得a＝12或a＝0(舍去)；②当a>1时，函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝a2，最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a，所以a2－a＝a2，解得a＝32或a＝0(舍去)．综上所述，a＝12或a＝32.类型3 指数型函数图象【例3】(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0(2)在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是________．(1)D(2){m|m≥1，或m＝0} [(1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线位置看，是由函数y＝a x(0<a<1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<0.(2)画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有1个交点，则m≥1或m＝0，即实数m的取值范围是{m|m≥1，或m＝0}．]处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．[跟进训练]4．函数f(x)＝2x＋2－x2x－2－x的大致图象为( )A B C DA[要使函数有意义，则2x－2－x≠0，即x≠0，故其定义域为{x|x≠0}．由于所有选项中的图象都具有奇偶性，因此考虑其奇偶性：f(－x)＝2－x＋2x 2－x－2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．再考虑单调性：f(x)＝2x＋2－x2x－2－x＝22x＋122x－1＝1＋222x－1，当x>0时，f(x)为减函数，故符合条件的函数图象只有A.]5．(多选)函数y＝a x－1a(a>0，a≠1)的图象可能是( )A B C DCD [当a >1时，1a ∈(0,1)，因此x ＝0时，0<y ＝1－1a <1，且y ＝a x －1a在R上是增函数，故C 符合；当0<a <1时，1a>1，因此x ＝0时，y <0，且y ＝a x －1a在R 上是减函数，故D 符合．故选CD.]指数函数图象变换问题探究为研究函数图象的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数f (x )＝2x 为例，借助几何画板画出了下面4组函数的图象：(1)y ＝f (x －1)；(2)y ＝f (|x |)＋1；(3)y ＝－f (x )；(4)y ＝|f (x )－1|.[问题探究]1．请分别写出这4组函数的解析式． [提示] (1)y ＝f (x －1)＝2x －1； (2)y ＝f (|x |)＋1＝2|x |＋1； (3)y ＝－f (x )＝－2x ； (4)y ＝|f (x )－1|＝|2x －1|.2．若给出函数f (x )＝4x 的图象，能否由图象变换的方法得到上面这4组函数的图象？若能，试分别写出图象的变换过程．[提示] 能．(1)将函数y ＝f (x )＝4x 的图象向右平移1个单位长度得到函数y ＝f (x －1)＝4x －1的图象．(2)保留函数y ＝f (x )＝4x 在y 轴右侧的图象，并对称至y 轴左侧，再向上平移1个单位长度得到y ＝f (|x |)＋1＝4|x |＋1的图象．(3)函数y ＝－f (x )＝－4x 与y ＝f (x )＝4x 的图象关于x 轴对称．(4)将函数y ＝f (x )＝4x 的图象向下平移1个单位长度得到函数y ＝f (x )－1＝4x －1的图象，再将x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴的上方，便得到函数|f (x )－1|＝|4x －1|的图象.随堂检测1．下列函数中，指数函数的个数为( ) ①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x－1.A ．0个B ．1个C ．3个D ．4个B [由指数函数的定义可判定，只有②正确．]2．若函数y ＝(2a －1)x(x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >0，且a ≠1 B ．a ≥0，且a ≠1 C ．a >12，且a ≠1D ．a ≥12C [依题意得：2a －1>0，且2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1，故选C.]3．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )A BC DC [函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，故可排除选项ABD.] 4．函数f (x )＝2x －3(1<x ≤5)的值域是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤14，4 [因为1<x ≤5，所以－2<x －3≤2.而函数f (x )＝2x －3在其定义域上是增函数，所以14<f (x )≤4，即所求函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤14，4.]5．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________．7 [由已知得⎩⎨⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋3＝4＋3＝7.]2、指数函数及其性质的应用类型1 指数式的大小比较【例1】 (链接教材第86页例3)比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫311与⎝ ⎛⎭⎪⎫833；(3)1.50.3和0.81.2.[解] (1)∵函数y ＝1.5x 在R 上是增函数，2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2.(2)指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫311x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫833x 的图象(如图)，由图知⎝ ⎛⎭⎪⎫311>⎝ ⎛⎭⎪⎫833.(3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1， 而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2.比较指数式大小的3种类型及处理方法[跟进训练]1．比较下列各题中两个值的大小： (1)0.8－0.1,1.250.2； (2)1.70.3,0.93.1；(3)a 0.5与a 0.6(a >0，且a ≠1)． [解] (1)∵0<0.8<1， ∴y ＝0.8x 在R 上是减函数． ∵－0.2<－0.1， ∴0.8－0.2>0.8－0.1，而0.8－0.2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45－0.2＝1.250.2， 即0.8－0.1<1.250.2.(2)∵1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1， ∴1.70.3>0.93.1.(3)a 0.5与a 0.6可看做指数函数y ＝a x 的两个函数值．当0<a <1时，函数y ＝a x 在R 上是减函数． ∵0.5<0.6，∴a 0.5>a 0.6.当a >1时，函数y ＝a x 在R 上是增函数． ∵0.5<0.6，∴a 0.5<a 0.6.综上所述，当0<a <1时，a 0.5>a 0.6；当a >1时，a 0.5<a 0.6. 类型2 解含指数型不等式 【例2】 求解下列不等式：(1)已知3x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5，求实数x 的取值范围；(2)若a －5x >a x ＋7(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．[解] (1)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5＝30.5，所以由3x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5可得3x ≥30.5，因为y ＝3x 在R上为增函数，故x ≥0.5.(2)①当0<a <1时，函数y ＝a x 在R 上是减函数，则由a －5x >a x ＋7可得－5x <x ＋7，解得x >－76.②当a >1时，函数y ＝a x 在R 上是增函数，则由a －5x >a x ＋7可得－5x >x ＋7，解得x <－76.综上，当0<a <1时，x >－76；当a >1时，x <－76.指数型不等式的解法(1)指数型不等式a f (x )>a g (x )(a >0，且a ≠1)的解法： 当a >1时，f (x )>g (x )； 当0<a <1时，f (x )<g (x )．(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a 0(a >0，且a ≠1)，a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x(a >0，且a ≠1)等．[跟进训练]2．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤2x 的解集为________．{x |x ≥1，或x ≤－2} [∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2＝(2－1)x 2－2＝22－x 2，∴原不等式等价于22－x 2≤2x .∵y ＝2x 是R 上的增函数， ∴2－x 2≤x ，∴x 2＋x －2≥0，即x ≤－2或x ≥1， ∴原不等式的解集是{x |x ≥1，或x ≤－2}．] 类型3 指数型函数性质的应用指数型函数的单调性问题【例3】 求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ＋3的单调区间．[解] 令t ＝x 2－2x ＋3，则由二次函数的性质可知该函数在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 为减函数，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ＋3的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．指数型函数的奇偶性问题【例4】 若函数y ＝a －12x－1为奇函数． (1)确定a 的值； (2)求函数的定义域．[解] (1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x －1＋a －12x －1＝0， ∴2a ＋1－2x1－2x ＝0.∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x －1≠0，即x ≠0，∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．指数型函数性质的综合问题【例5】 已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)求f (x )的值域．[解] (1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x1＋4x.又f (0)＝0.故当x ∈(－1,1)时，f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x ＋1，x ∈0，1，0，x ＝0，－2x 4x＋1，x ∈－1，0(2)f (x )＝2x1＋4x ，x ∈(0,1)为减函数，证明如下：任取x 1，x 2∈(0,1)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝2x 2－2x 12x 1＋x 2－14x 1＋14x 2＋1.∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(0,1)上是减函数．由奇函数的对称性知f (x )在(－1,0)上也是减函数．∴当0<x <1时，f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2141＋1，2040＋1，即f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12；当－1<x <0时，f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2040＋1，－2－14－1＋1，即f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25.而f (0)＝0，故函数f (x )在(－1,1)上的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25∪{0}∪⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12.1．对于形如f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)的函数，可以利用复合函数的单调性，转化为指数函数y ＝a x 及函数g (x )的单调性来处理．2．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．[跟进训练]3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x2，求f (x )的值域与单调区间．[解] 令u ＝2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋1≤1，定义域为R ，故u 在(－∞，1)上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u为减函数，所以根据复合函数的“同增异减”得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x2在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，单调增区间为[1，＋∞)，单调减区间为(－∞，1)．4．求函数y ＝4x －2×2x ＋5的单调区间．[解] 函数的定义域为R ，令t ＝2x ，x ∈R 时，t ∈(0，＋∞)．y ＝(2x )2－2×2x ＋5＝t 2－2t ＋5＝(t －1)2＋4，t ∈(0，＋∞)． 当t ≥1时，2x ≥1，x ≥0； 当0<t <1时，0<2x <1，x <0.∵y ＝(t －1)2＋4在[1，＋∞)上递增，t ＝2x 在[0，＋∞)上递增，∴函数y ＝4x －2×2x ＋5的单调增区间为[0，＋∞)． 同理可得单调减区间为(－∞，0].随堂检测1．若函数f (x )＝(1－2a )x 在实数集R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B [由已知，得0<1－2a <1，解得0<a <12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]2．下列判断正确的是( ) A ．2.52.5>2.53 B ．0.82<0.83 C ．π2<π 2D ．0.90.3>0.90.5D [∵y ＝0.9x 是减函数，且0.5>0.3， ∴0.90.3>0.90.5.]3．若f (x )＝3x＋1，则( ) A ．f (x )在[－1,1]上为减函数B ．y ＝3x＋1与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋1的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象过点(0,1)D ．f (x )的值域为[1，＋∞)B [f (x )＝3x ＋1在R 上为增函数，则A 错误；y ＝3x ＋1与y ＝3－x ＋1的图象关于y 轴对称，则B 正确；由f (0)＝2，得f (x )的图象过点(0,2)，则C 错误；由3x>0，可得f (x )>1，则D 错误．故选B.]4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调增区间为________．(－∞，＋∞) [由已知得，f (x )的定义域为R . 设u ＝1－x ，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u.因为u ＝1－x 在R 上为减函数，又因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u在(－∞，＋∞)上为减函数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 在(－∞，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调增区间为(－∞，＋∞)．]5．不等式52x 2>5x ＋1的解集是________． ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12，或x >1 [由52x 2>5x ＋1得2x 2>x ＋1，解得x <－12或x >1.]复习巩固类型1 指数的运算【例1】 化简：(1)；[解] (1)原式＝＝2－1×103×10＝2－1×10＝102. (2)原式＝＝a 2·a 2＝a 4.指数运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解，以达到约分的目的．[跟进训练]1．0.25－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫3702×[(－2)3]＋(2－1)－1－2＝________.－1252 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－(－2)2×(－2)4＋12－1－ 2＝12－4×16＋(2＋1)－ 2 ＝－1252.] 类型2 函数图象及其应用由解析式判断函数图象【例2】 定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x的图象是( )A B C D A [∵当x ≥0时，2x ≥1，当x <0时，2x <1，∴f (x )＝1⊕2x＝⎩⎨⎧2x ，x <0，1，x ≥0，故选A.][跟进训练]2．函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )A BC DA [对于函数y ＝2x －x 2，当x ＝2或4时，2x －x 2＝0，所以排除B ，C ； 当x ＝－2时，2x－x 2＝14－4＜0，排除D.故选A.]应用函数图象研究函数性质【例3】 设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点坐标为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)B [在同一坐标系中画出y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象，如图，由图知当x <x 0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2>x 3，当x >x 0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2<x 3.代入x ＝2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝1<23，∴2>x 0.再代入1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝2>13，∴x 0>1.] [跟进训练]3．已知函数f (x )＝|2x －1|，a ＜b ＜c ，且f (a )＞f (c )＞f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．2a ＋2c ＜2B ．2－a ＜2cC ．a ＜0，b ≥0，c ＞0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0A [作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图所示．对于A ，∵a ＜c ，且f (a )＞f (c )，结合函数图象，如果a ，c 位于函数的减区间(－∞，0)，此时a ＜b ＜c <0，可得f (a )＞f (b )＞f (c )，与题设矛盾；如果a ，c 不位于函数的减区间(－∞，0)，那么必有a ＜0＜c ，则f (a )＝|2a －1|＝1－2a ，f (c )＝|2c －1|＝2c －1.又∵f (a )＞f (c )，∴1－2a ＞2c －1，即2a ＋2c ＜2.故A 正确．对于B ，C ，D 选项，取a ＝－2，b ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫或14，c ＝12， 满足a ＜b ＜c ，且f (a )＞f (c )＞f (b )，但是B ，C ，D 选项均不成立．]指数函数图象是研究指数函数性质的工具，所以要能熟练画出指数函数图象，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．类型3 指数函数的性质及应用比较大小【例4】(1)比较数的大小：(1)27,82；(2)比较1.5，23.1,2的大小关系是( )A．23.1<2<1.5B．1.5<23.1<2C．1.5<2<23.1D．2<1.5<23.1(1)[解]∵82＝(23)2＝26，由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27，即82<27.(2)C[∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数，1.5<2，∴1.5<2.又∵指数函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数，13.1<3.1，∴2<23.1，∴1.5<2<23.1.]数的大小比较常用方法：(1)当需要比较大小的两个实数均是指数幂时，可将其看成某个指数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(2)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．[跟进训练]4．比较下列数的大小：a1.2，a1.3.[解]∵函数y＝a x(a>0，且a≠1)，当底数a>1时在R上是增函数，当底数0<a<1时在R上是减函数，而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2<a1.3；当0<a<1时，有a1.2>a1.3.函数性质综合应用【例5】已知f(x)＝a＋22x＋1(a∈R)．(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；(2)用定义法判断函数f(x)的单调性；(3)若当x∈[－1,5]时，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．[解](1)若函数f(x)为奇函数，∵x∈R，∴f(0)＝a＋1＝0，得a＝－1，验证当a＝－1时，f(x)＝－1＋22x＋1＝1－2x1＋2x为奇函数，∴a＝－1.(2)任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝22x1＋1－22x2＋1＝22x2－2x12x1＋12x2＋1，由x1<x2，得2x1＜2x2，∴2x2－2x1>0，又2x1 ＋1>0,2x2 ＋1>0，故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．(3)当x∈[－1,5]时，∵f(x)为减函数，∴f(x)max＝f(－1)＝43＋a，若f(x)≤0恒成立，则满足f(x)max＝43＋a≤0，得a≤－43，∴a的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－43.函数y＝a f(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数y＝a f(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．[跟进训练]5．已知函数f (x )＝9x －3x ＋1＋c (其中c 是常数)．(1)若当x ∈[0,1]时，恒有f (x )＜0成立，求实数c 的取值范围； (2)若存在x 0∈[0,1]，使f (x 0)＜0成立，求实数c 的取值范围． [解] f (x )＝9x －3x ＋1＋c ＝(3x )2－3·3x ＋c ， 令3x ＝t ，则g (t )＝t 2－3t ＋c .(1)当x ∈[0,1]时，t ∈[1,3]，g (t )＝t 2－3t ＋c <0恒成立． ∵二次函数g (t )＝t 2－3t ＋c 图象的对称轴方程为t ＝32，∴根据二次函数的性质可知g (t )在[1,3]上的最大值为g (3)， ∴g (3)＝32－3×3＋c <0，解得c <0.故c 的取值范围为{c |c <0}．(2)存在x 0∈[0,1]，使f (x 0)<0，等价于存在t ∈[1,3]，使g (t )＝t 2－3t ＋c <0，于是只需g (t )在[1,3]上的最小值小于0即可．∵二次函数g (t )＝t 2－3t ＋c 图象的对称轴方程为t ＝32，∴根据二次函数的性质可知g (t )在[1,3]上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－3×32＋c <0，解得c <94，故c 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪c <94.1．(2015·山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <aC [由函数y ＝0.6x 为R 上的减函数，得1>0.60.6>0.61.5>0，而1.50.6>1，所以b <a <c .故选C.]2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f⎝⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ [法一：当x >0时，f (x )＝2x >1，则不等式f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1，恒成立当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝x ＋1＋x ＋12＝2x ＋32>1，解得x >－14，综上知，x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.法二：设F (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，∵f (x )在R 上是增函数，∴F (x )为R 上的增函数，原不等式即为F (x )>1，∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝1，∴原不等式等价于F (x )>F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，即知x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.]3．(2015·江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________．{x |－1<x <2} [不等式可化为2x 2－x <22，∵函数y ＝2x 为R 上的增函数， 所以不等式等价于x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.则知不等式的解集为{x |－1<x <2}．]4．(2015·山东卷)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [f (x )＝2x ＋12x －a ，f (－x )＝2－x ＋12－x －a ，∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴a ＝1.∴f (x )＝2x ＋12x －1，∴f (x )>3，即2x ＋12x －1>3，故不等式可化为2x －22x －1<0，即1<2x <2，解得0<x <1，∴x 的取值范围为(0,1)．]。
最新高考数学一轮复习课时规范练指数与指数函数理北师大版
课时规范练9 指数与指数函数基础巩固组1.化简(x>0,y>0)得()A.2x2yB.2xyC.4x2yD.-2x2y2.函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1),满足f(1)=,则f(x)的递减区间是()A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]3.已知f(x)=3x-b(2≤x≤4,b为常数)的图像经过点(2,1),则f(x)的值域为()A.[9,81]B.[3,9]C.[1,9]D.[1,+∞)4.函数y=a x-a(a>0,且a≠1)的图像可能是()5.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a6.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于()A.5B.7C.9D.117.已知x,y∈R,且2x+3y>2-y+3-x,则下列各式正确的是()A.x-y>0B.x+y<0C.x-y<0D.x+y>08.若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-3)> 0}=()A.{x|x<-3或x>5}B.{x|x<1或x>5}C.{x|x<1或x>7}D.{x|x<-3或x>3}9.函数f(x)=的递减区间为.10.已知函数f(x)=3x-.(1)若f(x)=2,求x的值;(2)判断x>0时,f(x)的单调性;(3)若3t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈恒成立,求m的取值范围.综合提升组11.函数y=(0<a<1)图像的大致形状是()12.若关于x的方程|a x-1|=2a(a>0,a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是()A. (0,1)∪(1,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.13.当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是.14.已知函数f(x)=是奇函数.(1)求m的值;(2)设g(x)=2x+1-a,若函数f(x)与g(x)的图像至少有一个公共点,求实数a的取值范围.1创新应用组15.(2018湖南衡阳一模,9)若实数x,y满足|x-1|-ln y=0,则y关于x的函数图像的大致形状是()16.(2018辽宁抚顺一模,12)已知函数f(x),若在其定义域内存在实数x满足f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为“局部奇函数”,若函数f(x)=4x-m·2x-3是定义在R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是()A.[-)B.[-2,+∞)C.(-∞,2)D.[-2)参考答案课时规范练9 指数与指数函数1.A原式=(26x12y6=2x2|y|=2x2y.2.B由f(1)=,得a2=.又a>0,∴a=,即f(x)=.∵y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,∴f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减,故选B.3.C由f(x)的图像过定点(2,1)可知b=2.因为f(x)=3x-2在[2,4]上是增加的,所以f(x)min=f(2)=1,f(x)max=f(4)=9.故选C.4.C当x=1时,y=a1-a=0,所以y=a x-a的图像必过定点(1,0),结合选项可知选C.5.A由0.2<0.6,0<0.4<1,可知0.40.2>0.40.6,即b>c.又因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.6.B由f(a)=3得2a+2-a=3,两边平方得+2-2a+2=9,即+2-2a=7,故f(2a)=7.7.D因为2x+3y>2-y+3-x,所以2x-3-x>2-y-3y.令f(x)=2x-3-x,因为f(x)=2x-3-x=2x-为增函数,f(x)>f(-y),所以x>-y,即x+y>0.8.B∵f(2)=0,∴f(x-3)>0等价于f(|x-3|)>0=f(2).∵f(x)=2x-4在[0,+∞)内是增加的,∴|x-3|>2,解得x<1或x>5.9.(-∞,1]设u=-x2+2x+1,∵y=在R上为减函数,又u=-x2+2x+1的递增区间为(-∞,1],∴f(x)的递减区间为(-∞,1].10.解 (1)当x≤0时,f(x)=3x-3x=0,∴f(x)=2无解.当x>0时,f(x)=3x-,令3x-=2.∴(3x)2-2×3x-1=0,解得3x=1±.∵3x>0,∴3x=1+.∴x=log3(1+).(2)∵y=3x在(0,+∞)上递增,y=在(0,+∞)上递减,∴f(x)=3x-在(0,+∞)上递增.(3)∵t∈,2∴f(t)=3t->0.∴3t f(2t)+mf(t)≥0化为3t+m≥0,即3t+m≥0,即m≥-32t-1.令g(t)=-32t-1,则g(t)在上递减,∴g(x)max=-4.∴所求实数m的取值范围是[-4,+∞).11.D函数定义域为{x|x∈R,x≠0},且y==当x>0时,函数是一个指数函数,∵0<a<1,∴函数在(0,+∞)上是减少的;当x<0时,函数图像与指数函数y=a x(x<0,0<a<1)的图像关于x轴对称,在(-∞,0)上是增加的,故选D.12.D方程|a x-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不等实根转化为函数y=|a x-1|与y=2a有两个交点.①当0<a<1时,如图(1),∴0<2a<1,即0<a<.②当a>1时,如图(2),而y=2a>1不符合要求.综上,0<a<.13.(-1,2)原不等式变形为m2-m<.∵函数y=在(-∞,-1]上是减少的,∴≥=2,当x∈(-∞,-1]时,m2-m<恒成立等价于m2-m<2,解得-1<m<2.14.解 (1)由函数f(x)是奇函数,可知f(0)=1+m=0,解得m=-1.(2)函数f(x)与g(x)的图像至少有一个公共点,即方程=2x+1-a至少有一个实根,即方程4x-a·2x+1=0至少有一个实根.令t=2x>0,则方程t2-at+1=0至少有一个正根.方法一∵a=t+≥2,∴a的取值范围为[2,+∞).方法二令h(t)=t2-at+1,由于h(0)=1>0,∴只需解得a≥2.∴a的取值范围为[2,+∞).15.A由实数x,y满足|x-1|-ln y=0,可得y=e|x-1|=因为e>1,故函数在[1,+∞)上是增加的,由y=e|x-1|知f(x)的图像关于直线x=1对称,对照选项,只有A正确,故选A.16.B根据“局部奇函数”的定义可知,方程f(-x)=-f(x)有解即可,即4-x-m·2-x-3=-(4x-m·2x-3),∴4-x+4x-m(2-x+2x)-6=0,化为(2-x+2x)2-m(2-x+2x)-8=0有解,令2-x+2x=t(t≥2),则有t2-mt-8=0在[2,+∞)上有解,设g(t)=t2-mt-8,则抛物线的对称轴为t=,若m≥4,则Δ=m2+32>0,满足方程有解;若m<4,要使t2-mt-8=0在[2,+∞)上有解,则需解得-2≤m<4.综上可得实数m的取值范围为[-2,+∞).3。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4.1 对数及其运算练习 北师大版必修1
§4 对数4.1 对数及其运算1.对于a>0,且a≠1,下列说法中正确的是()①若M=N,则log a M=log a N;②若log a M=log a N,则M=N;③若log a M2=log a N2,则M=N;④若M=N,则log a M2=log a N2.A.①③B.②④C.②D.①②③④解析:在①中,当M=N≤0时,log a M与log a N均无意义,因此log a M=log a N不成立.在②中,当log a M=log a N时,必有M>0,N>0,且M=N,因此M=N成立.在③中,当log a M2=log a N2时,有M≠0,N≠0,且M2=N2,即|M|=|N|,但未必有M=N.例如,M=2,N=-2时,也有log a M2=log a N2,但M≠N.在④中,若M=N=0,则log a M2与log a N2均无意义,因此log a M2=log a N2不成立.答案:C2.4log510+log50.25的值等于()A.4+log54B.500C.50D.6解析:原式=log5104+log50.25=log5(10 000×0.25)=log52 500=log5(625×4)=4+log54.答案:A3.若log32=a,则log38-2log36用a表示为()A.a-2B.3a-(1+a)2C.5a-2D.3a-2-a2解析:log38-2log36=3log32-2(log33+log32)=log32-2=a-2.答案:A4.计算lo(2)-lo(3-2)+e ln 2的值为()A.3B.2C.1D.0解析:原式=lo)3-lo-1)2+2=3-2+2=3.答案:A5.定义在R上的函数f(x)=则f(3)的值为()A.-1B.-2C.1D.2解析:∵3>0,∴f(3)=f(3-1)-f(3-2)=f(2)-f(1).又∵2>0,∴f(2)=f(2-1)-f(2-2)=f(1)-f(0),∴f(3)=-f(0)=-log2(4-0)=-log24=-2.答案:B6.lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根,则lg(ab)·=()A.2B.4C.6D.8解析:由已知得,lg a+lg b=2,即lg(ab)=2,lg a·lg b=.所以lg(ab)·=2(lg a-lg b)2=2[(lg a+lg b)2-4lg a·lg b]=2=2×2=4,故选B.答案:B7log(x-1)(x2-8x+7)=1的x值为.解析:由已知可得x-1=x2-8x+7,整理得x2-9x+8=0,解得x=8或x=1.但当x=1时,x-1=0,不合题意;当x=8时,x-1=7,x2-8x+7>0,符合要求,即x的值为8.答案:88.若lg x-lg y=m,则lg-lg=.解析:lg-lg=10lg-10lg=10lg=10(lg x-lg y)=10m.答案:10m9.已知lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1,lg x=-2+0.778 1,则x=.解析:∵lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1,且0.301 0+0.477 1=0.778 1,∴lg x=-2+lg 2+lg 3,即lg x=lg 10-2+lg 6.∴lg x=lg(6×10-2),即x=6×10-2=0.06.答案:0.0610.(2016山东济南高一检测)log3+lg 25+lg 4-log2(log216).解:原式=log3+lg(25×4)-log2(log224)=log3+lg 102-log24=-+2-2=-.11a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实根,求lg(ab)·(lg b lg a)的值.解:原方程等价于2(lg x)2-4lg x+1=0.设lg x=t,则原方程可化为2t2-4t+1=0.所以t1+t2=2,t1t2=.又因为a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实根,所以lg a=t1,lg b=t2,即lg a+lg b=2,lg a lg b=.所以lg(ab)·(lg b lg a)=(lg a+lg b)·(lg b lg a)=2×=1.。
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课时作业(七) 第7讲 指数与对数的运算
时间：35分钟 分值：80分
基础热身
1．2011·南充高中月考 化简：(log 23)2－4log 23＋4＋log 213
，得( ) A ．2 B ．2－2log 23
C ．－2
D ．2log 23－2
2．下列命题中，正确命题的个数为( ) ①n a n ＝a ；
②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1； ③3x 4＋y 3＝x 43
＋y ； ④3－5＝6(－5)2.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．下列等式能够成立的是( )
A.⎝⎛⎭⎫n m 7＝m 17
n 7 B.12(－2)4＝3－2 C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34 D.39＝33 4．2011·沈阳模拟 下列四个数中最大的是( )
A ．lg2
B ．lg 2
C ．(lg2)2
D ．lg(lg2)
能力提升
5．在对数式b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )
A ．a >5或a <2
B ．2<a <5
C ．2<a <3或3<a <5
D ．3<a <4
6．2011·济南调研 设a ＞1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系
为( )
A ．n ＞m ＞p
B ．m ＞p ＞n
C ．m ＞n ＞p
D ．p ＞m ＞n
7．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )
A ．a <b <c
B ．c <a <b
C ．b <a <c
D ．b <c <a
8．2010·辽宁卷 设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b
＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10
C ．20
D ．100
9．2011·南阳测试 作为对数运算法则：lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b (a >0，b >0)是不正确的．但对一些特殊值是成立的，例如：lg(2＋2)＝lg2＋lg2.那么，对于所有使lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b (a >0，b >0)成立的a ，b 应满足函数a ＝f (b )的表达式为________．
10．2010·上海卷 已知0<x <π2，则lg ⎝
⎛⎭⎫cos x tan x ＋1－2sin 2x 2＋lg ⎣⎡⎦⎤2cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－lg(1＋sin2x )＝________.
11．定义a b ＝a 12＋b －13，a *b ＝lg a 2－lg b 12，若M ＝94 8125，N ＝2*125
M ＋N ＝________.
12．(13分)计算：
(1)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25； (2)lg5·lg8000＋(lg23)2
lg600－12lg0.036－12
lg0.1.
难点突破
13．(12分)设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且3x ＝4y ＝6z .
(1)求证：1x ＋12y ＝1z
； (2)比较3x,4y,6z 的大小．
课时作业(七)
【基础热身】
1．B 解析 (log 23)2－4log 23＋4＝(log 23－2)2＝|log 23－2|＝2－log 23，而log 213
＝－log 23，则两者相加即为B.
2．B 解析 只有②正确．注意运算的限制条件．
3．D 解析 ⎝⎛⎭
⎫n m 7＝n 7·m －7，12()－24＝32，4x 3＋y 3＝()x 3＋y 314≠(x ＋y )34. 4．A 解析 由对数函数的增减性可知lg 2<lg2<1，∴(lg2)2<lg2，lg(lg2)<lg1＝0，lg2>lg1＝0，∴lg2
最大．
【能力提升】
5．C 解析 要使对数式有意义，只要a －2≠1且a －2>0且5－a >0，解得2<a <3或3<a <5.
6．B 解析 ∵a >1，a 2＋1>2a ，∴m >p ；∵2a >a －1，∴p >n .故选B.
7．C 解析 由x ∈(e －1,1)，得－1<ln x <0，所以a －b ＝－ln x >0⇒a >b ，a －c ＝ln x (1－ln 2x )<0，a <c ，因此
有b <a <c .
8．A 解析 在2a ＝m 的两边取以m 为底的对数，得a log m 2＝1，∴1a ＝log m 2，同理，有1b
＝log m 5，∴log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2，∴m ＝10.
9．a ＝b b －1(b >1) 解析 ∵lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，∴lg(a ＋b )＝lg(ab )，∴a ＋b ＝ab ，∴a ＝b
b －1.又a >0，b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b >0，b
b －1>0，解得b >1，∴a ＝b b －1(b >1)．
10．0 解析 ∵cos x ·tan x ＋1－2sin 2x 2＝cos x ·sin x cos x ＋cos ⎝⎛⎭
⎫2×x 2＝sin x ＋cos x ， 2cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x ＋22
sin x ＝sin x ＋cos x ，1＋sin2x ＝(sin x ＋cos x )2， ∴原式＝lg
(sin x ＋cos x )(sin x ＋cos x )(sin x ＋cos x )
2＝lg1＝0. 11．5 解析 由题意，M ＝⎝⎛⎭⎫9412＋⎝⎛⎭⎫8125－13
＝32＋52
＝4， N ＝lg(2)2－lg ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12512＝lg2＋lg5＝1， 所以M ＋N ＝4＋1＝5.
12．解答 (1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52
＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5
＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.
(2)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3，
分母＝(lg6＋2)－lg 361000×110＝lg6＋2－lg 6100
＝4， 所以原式＝34
. 【难点突破】
13．解答 设3x ＝4y ＝6z ＝k ，
∵x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴k >1，
取对数得x ＝lg k lg3，y ＝lg k lg4，z ＝lg k lg6
.
(1)证明：1x ＋12y ＝lg3lg k ＋lg42lg k ＝2lg3＋lg42lg k ＝2lg3＋2lg22lg k ＝lg6lg k ＝1z
. (2)3x －4y ＝lg k ⎝⎛⎭
⎫3lg3－4lg4＝lg k ·lg64－lg81lg3·lg4＝lg k ·lg 6481lg3·lg4<0，∴3x <4y . 又∵4y －6z ＝lg k ⎝⎛⎭
⎫4lg4－6lg6＝lg k ·lg36－lg64lg2·lg6＝lg k ·lg 916lg2·lg6<0， ∴4y <6z .
∴3x <4y <6z .。