第一讲 等差等比数列
2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题四 第一讲等差数列、等比数列
(2)求Sn.并求Sn的最小值．
[解析](1)设等差数列{an}的公差为d.由题意得3a1＋3d＝－15.
由a1＝－7得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时.Sn取得最小值.最小值为－16.
例1 (1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn.a1＋a3＝30.S4＝120.设bn＝1＋log3an.那么数列{bn}的前15项和为( B )
6．(20xx·全国卷Ⅰ.14)记Sn为数列 的前n项和．若Sn＝2an＋1.则S6＝－63..
[解析]依题意. 作差得an＋1＝2an.
所以数列{an}是公比为2的等比数列.
又因为a1＝S1＝2a1＋1.
所以a1＝－1.所以an＝－2n－1.
所以S6＝ ＝－63.
7．(20xx·全国卷Ⅱ.16)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知a1＝－7.S3＝－15.
A．1B．2
C．4D．8
[解析]设{an}的公差为d.则由
得
解得d＝4.
故选C．
4．(20xx·全国卷Ⅲ.9)等差数列{an}的首项为1.公差不为0.若a2.a3.a6成等比数列.则{an}的前6项和为( A )
A．－24B．－3
C．3D．8
[解析]由已知条件可得a1＝1.d≠0.
由a ＝a2a6可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d).
(3)注意整体思想.如在与等比数列前n项和有关的计算中.两式相除就是常用的计算方法.整体运算可以有效简化运算．
G
1．(20xx·邵阳模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2a3＝2a1.且a4与2a7的等差中项为 .则S5＝( B )
等差、等比数列及前n项和
第01讲 等差数列及其前n 项和考纲考情本讲为高考命题热点，分值10-12分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻推理能力与运算求解能力。
考点梳理考点一 等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
数学语言表达式 : ()为常数d N n d a a n n ,1*+∈=-()为常数d N n d a a n n ,1*+∈=-。
(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且2ba A +=考点二 等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则其通项公式为()d n a a n 11-+=。
(2)前n 项和公式: ()()n d a n d a a n d n n na S n n ⎪⎭⎫⎝⎛-+=+=-+=222211211。
考点三 等差数列的性质(1)通项公式的推广:()()*∈-+=N m n d m n a a m n ,。
(2)若{}n a 为等差数列，且()*∈+=+N q p m n q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+。
(3)若{}n a 是等差数列，公差为d,则()*++∈N m k a a a m k m k k ,......,,2是公差为md 的等差数列。
(4)若n S 为等差数列{}n a 小的前n 项和，则数列,......,,232m m m m m S S S S S --也是等差数列。
(5)若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也为等差数列。
考点四 常用结论1.已知数列{}n a 的通项公式是()为常数其中q p q pn a n ,+=，则数列{}n a 一定是等差数列，且公差为p 。
专题4 第1讲等差数列、等比数列 课件(42张)
个量中已知其中的三个量，求另外两个量
2．考查等差(比)数列的通项公式，前n项和公式，
考查方程的思想以及运算能力 1.以递推数列为载体，考查等差(比)数列的定义
或等差(比)中项
2．以递堆数列为命题背景考查等差(比)数列的
证明方法
• 备考策略 • 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： • (1)加强对等差(比)数列概念的理解，掌握等差(比)数列的 判定与证明方法． • (2)掌握等差(比)数列的通项公式、前n项和公式，并会应 用． • (3)掌握等差(比)数列的简单性质并会应用． • 预测2018年命题热点为： • (1)在解答题中，涉及等差、等比数列有关量的计算、求 解． • (2)已知数列满足的关系式，判定或证明该数列为等差(比)
－
• an＝___________________．
• 2．重要结论 am＋(n－m)d • (1)通项公式的推广：等差数列中， an＝ n－m a · q m _________________ ； 递增数列 • 等比数列中，an＝__________． 递减数列 • (2)增减性：①等差数列中，若公差大于零，则数列为 递增数列 __________；若公差小于零，则数列为__________． 递减数列 • ②等比数列中，若a1>0且q>1或S a， 且 0< q <1 ，则数列为 1<0 S － S ， S － S2n，… n 2n n 3n ___________；若a1>0且0<q<1或a1<0且q>1，则数列为 ___________． • (3)等差数列{an}中，Sn为前n项 和．__________________________仍成等差数列；等比数
解得 d＝－2． 6×5×－2 所以 S6＝6×1＋ ＝－24． 2 故选 A．
第一讲等差等比数列
第一讲 等差数列、等比数列一、等差数列1．定义：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)．2．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d .3．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2. 4．a 、b 的等差中项A ＝a ＋b2证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列；(4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n (a 1＋a n )2.二、等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)若m 、n 、p 、q 、k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k .(2)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，也是等差数列．等差数列的性质推广：(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1) ②S 2n －1＝(2n －1)a n .③n 为偶数时，S 偶－S 奇＝n2d ；n 为奇数时，S 奇－S 偶＝a 中．等差数列的单调性单调递增d ＞0 当01<a 时，n S 有最小值 单调递减 d<0 当01>a 时，n S 有最大值常数数列d=0三、等比数列证明{a n }是等比数列的两种常用方法(1)定义法：若a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． 四、等比数列的性质1．对任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . 2．通项公式的推广：a n ＝a m q n －m (m ，n ∈N *)3．公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n仍成等比数列，其公比为q n ；当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．4．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍是等比数列． 等比数列的单调性单调递增 a 1＞0，q ＞1或者a 1＜0,0＜q ＜1 单调递减 a 1＞0,0＜q ＜1或者a 1＜0，q ＞1常数数列 a 1≠0，q ＝1摆动数列 q ＜0基础自测1．(2013·课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是 a n ＝________.2．(2013·广东高考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.3．[2014·江苏卷] 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．考点一 等差、等比数列的基本运算例1、[2014·重庆卷] 在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．1 2、（2013新课标全国Ⅱ）等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3 ＝ a 2 ＋10a 1 ，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－19跟踪练习1．（2013安徽）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )A ．－6B ．－4C ．－2D ．22．[2014·福建卷] 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .考点二等差、等比数列的性质例 1.(2012·辽宁高考)在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()A．58B．88C．143D．1762．[2014·广东卷] 等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．变式练习1、设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n＝324(n＞6)，求数列{a n}的项数及a9＋a10.2、[2014·全国卷] 设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31 B．32 C．63 D．64考点三等差、等比数列的判断与证明要证明一个数列是等差(比)数列必须用定义法或等差(比)中项法．例1、[2014·全国卷] 数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，a n＋2＝2a n＋1－a n＋2.(1)设b n＝a n＋1－a n，证明{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式．2、数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1，求证：数列{c n }是等比数列，并求{a n }的通项公式．跟踪练习1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.①求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；②求数列{a n }的通项公式．。
第一讲 等差、等比数列
第一讲 等差、等比数列一、考情分析（1）等差、等比数列的基本运算。
此知识点是高考命题的重点内容，一般不单独命题，常与数列的概念、性质、前n 项和等相结合，多以选择题、填空题的方式进行考查。
（2）等差、等比数列的判定与证明及求法。
等差、等比数列的证明是高考命题的重点和热点，多为解答题的第一问。
一般用定义域法直接证明或通过计算21,a a 求出n a 。
（3）等差、等比数列的性质。
等差、等比数列的性质是高考的必考内容，以小题为主，十分灵活，多为选择题、填空题要主动发现题目的相关性质，使运算简捷。
二、基本概念与性质 1、等差数列（1）定义：d N n d a a n n ,(1*+∈=-为常数）（2）D C D cn d m n a d n a a m n ,()()1(1+=-+=-+=为常数，C,D 不同时为零） （3）B A Bn An d nn na a a n S n n ,(2)1(2)(211+=⋅-+=+=为常数，不同时为零） （4）等差中项)2,(211≥∈+=*+-n N n a a a n n n （5）若q p n m +=+则q p n m a a a a +=+若r q p n m ++=++ 则),,,,,,(*∈++=++N r q p n m a a a a a a r q p n m（6）等差数列的线性组合也是等差数列，即{}{}n n b a ,是等差数列，则{}n n b a 21λλ+也是等差数列（7）等差数列产生的几个特殊等差数列，若{}n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S ，则（Ⅰ）t n p t p t p p a a a a )1(2,,,-+++ 也是等差数列，公差为td （Ⅱ） ,,,232k k k k k S S S S S --为等差数列，公差为d k 2 （Ⅲ）ns s s s n ,3,2,1321也是等差数列，公差为2d（8）等差数列几个重要结论 （Ⅰ）0,===+n m m n a n a m a ，则 （Ⅱ）)(,,n m S n S m S n m m n +-===+则 （Ⅲ）0,==+n m n m S S S 则（Ⅳ）{}n a 和{}n b 为等差数列，且前n 项和为n n T S ,则1212--=m m m m T S b a 2、等比数列 （1）定义q N n q a a nn ,(1*+∈=为非零常数） （2）通项公式：n m n m n n Aq q a aq a ===--1（A 为常数）（3）前n 项和公式：11(1)(1)(1)((1)1n n nna q S a q B q B q q=⎧⎪=-⎨=-≠⎪-⎩为常数）其中 （4）等比中项)2,(112≥∈⋅=*+-n N n a a a n n n（5）若),,,(*∈⋅=⋅+=+N n m q p a a a a q p n m q p n m 则（6）等比数列中，n n n n n S S S S S q 232,,1---≠时，也成等比数列注意：① 11112,,+-+-⋅=n n n n n n a a a a a a 是成等比数列的必要不充分条件② 在等比数列前n 项和时，首项要判断公比q 是否为1时，要分1=q 与1≠q 两种情形讨论（7）设{}n a {}n b 是等比数列，则{}rmt n b a ⋅λ也是等比数列),(*∈N r t （8）等比数列{}n a 的单调性当⎩⎨⎧>>101q a 或⎩⎨⎧<<<1001q a 时{}n a 是增数列当⎩⎨⎧<<>1001q a 或⎩⎨⎧><11q a 时{}n a 是减数列3、等差数列与等比数列的转化（1）{}n a 为正项等比数列，则{})1,0(log ≠>c c a n c 为等差数列 （2）若{}n a 是等差数列，则{})1,0(≠>c c c an 为等比数列 （3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列{}n a ⇔是非零常数列三、高考题型再现1、（2013广东）在等差数列{}n a 中，已知1083=+a a ，则=+753a a 。
第1讲 等差数列与等比数列(可自主编辑PPT)
9 2
2
- 881,
∵n∈N*,∴n=4或5时,Sn取最小值,最小值为-10.
总结提升
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等差、等比数列的性质问题的求解策略
抓关系
抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特
点入手,选择恰当的性质进行求解
用性质
数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、 周期性等,可利用函数的性质解题
和为Tn,若
Sn Tn
= 2 018n-1,则
3n 4
a3 b3
=
(
D
)
A.528 B.529
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C.530 D.531
答案 D 根据 an = S2n-1 , bn T2n-1
得 a3 = S5 = 2 018 5-1=531.故选D. b3 T5 3 5 4
考点二 栏目索引
∴n+Sn=2an,即n,an,Sn成等差数列.
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考点三 栏目索引
2.设Sn为数列{an}的前n项和,对任意的n∈N*,都有Sn=2-an,数列{bn}满足b1=2a1,
bn=1
bn-1 bn
-1
(n≥2,n∈N*).
(1)证明:数列{an}是等比数列,并求{an}的通项公式;
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∵a4=a1·q3,∴a1·q3=q2,
又a1= 13 ,∴q=3.
由等比数列求和公式可知S5=
1 3
(1-35 1-3
)
= 121
3
.
考点二 栏目索引
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=
,Sn的最小值为
.
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等差数列与等比数列PPT精品课件_1
★ 田野中害虫因为青蛙的大量繁殖而减少 …………
得出结论： 气候、食物、敌害等生活环境因素的变 化，对动物的寿命会有较大的影响。
动物还能在这里生活吗？ 这样的污染鱼还能活吗?
４、右图表示昆虫的变态发
育过程，据图回答：
Ａ
（１）图中Ｂ和Ｄ分别表示
__受_精__卵_期和__蛹____期。 Ｂ
成蛙
受精卵
幼蛙
胚胎
蛙的生活周期
蝌蚪
死亡
中年期 青春期
受精卵
儿童期
婴儿期
幼儿期
成蛙 幼蛙
受精卵 蝌蚪
成虫
蛹
受精卵 幼虫
死亡
成虫
受精卵
若虫
蝌蚪和成蛙的比较：
生活环境 运动器官 运动方式 呼吸器官
蝌蚪 水中
鳍
游泳
鳃
成蛙 陆上和水中
四肢
跳跃 肺和皮肤
像青蛙从幼体到成体的发育过程中， 在生活和形态结构上要发生很大的改变，
4.近年来，我国沿海局部海区藻类大量繁殖，出现
了“赤潮”，造成了大量鱼虾死亡的主要原因是C（
A.细菌感染
B.藻类与鱼虾争夺食物
C.水中溶解氧减少 D.藻类产生大量的有毒物质
5.下列各项中，描述了生物的一个完整生命周期的
是（ A ）
A.大豆从种子萌发到开花结果
B.人从婴儿期到成年期
C.受精的鸡蛋发育成能下蛋的母鸡
甲缸是由于自来水中的漂白粉释放的氯气使鱼死亡 乙缸是由于自来水中没有溶解氧使鱼死亡
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课前热身
1.观察数列：30，37，32，35，34，33，36，( 点，在括号内适当的一个数是__3_1__.
高考数学二轮复习 专题四 数列 第1讲 等差数列与等比数列课件 文
所以 S5=5a1+ 5 4 ×d=5(a1+2d)=5. 2
3.(2014 新课标全国卷Ⅱ,文 5)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成 等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn 等于( A ) (A)n(n+1) (B)n(n-1)
(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇒{an}是等差数列;Sn=Aqn-A(A 为非零常数,q≠0,1)⇒{an}是等比数列.
4.等差、等比数列的单调性 (1)等差数列的单调性 d>0⇔{an}为递增数列,Sn有最小值. d<0⇔{an}为递减数列,Sn有最大值. d=0⇔{an}为常数列.
则公比q=
.
解析:由题意,q≠1,
由S3+3S2=4a1+4a2+a3 =a1(4+4q+q2) =a1(q+2)2 =0,
a1≠0知q=-2. 答案:-2
6.(2013 新课标全国卷Ⅱ,文 17)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25, 且 a1,a11,a13 成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+…+a3n-2.
(C) n(n 1) 2
(D) n(n 1) 2
解析:因为 a2,a4,a8 成等比数列,
所以 a42 =a2·a8, 所以(a1+6)2=(a1+2)·(a1+14),
解得 a1=2.
所以 Sn=na1+ n(n 1) d=n(n+1). 2
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数列 等差数列练习题
1、数列11，13，15，…，21n +的项数是（ ）
A ．n
B ．3n -
C ．4n -
D ．5n -
2、根据下列各数列的前4项，写出数列的通项公式：
(1)1,3,5,7；
(2)2,4,6,8;
(3)1,1/3,1/5,1/7;
(4)2,-4,6,-8;
(5)0.1,0.01,0.001,0.001;
(6)9,99,999,9999
3、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8 是该数列的( )
A ．第5项
B ．第6项
C ．第7项
D ．非任何一项
4、已知数列{}n a 的通项公式53n a n =+，求：
⑴7a 等于多少；⑵81是否为数列{}n a 中的项，若是，是第几项；
5、数列{}n a 满足143n n a a -=+且10a =，则此数列第5项是（ ）
A ．15
B ．255
C ．16
D ．63
6、一个数列{}n a ，其中13a =，26a =，21n n n a a a ++=-，那么这个数列的第5项是（ ）
A ．6
B ．3-
C ．12-
D ．6-
7、在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．
8、根据下列各个数列{a n }的首项和基本关系式，求其通项公式．
(1)a 1＝1，a n ＝a n －1＋3(n ≥2)； (2)a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1
(n ≥2)． 9、在数列{n a }中, 1=a 1,当()n N *∈时，1n n a a n +-=，则100a 的值为（ ）
A 5050
B 5051 B 4950
C 4951
10、已知数列{n a }的前ｎ项和为n S ，且2(1)n n S a =-，则7=a
11、已知数列{}n a 的前n 项和232n S n n =-，求{}n a 的通项公式:
12．已知等差数列{a n }中，a 3=9，a 9=3，则公差d 的值为
13．在等差数列{a n }中，a 1=13，a 3=12，若a n =2，则n 等于
14．两个数1与5的等差中项是
15．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是
16．等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为
17.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( )
A.d ＞83
B.d ＞3
C.83≤d ＜3
D.83
＜d ≤3
18、已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则16a 的值是 ．
19、△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为2
3，那么b = （ ） A 、231+ B 、31+ C 、2
32+ D 、32+ 20、若在等差数列}{n a 中，13,2321=+=a a a ，则=++654a a a ______________
21、若在等差数列}{n a 中，
3,773==a a ，则通项公式n a =______________ 22、若在等差数列}{n a 中，
15543=++a a a ，45543=a a a ，求}{n a 的通项公式n a 。