历年高考数学真题-2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(天津卷)理科试卷及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页第Ⅱ卷3至10页考试结束后. 将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ） S=4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P.334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概 率 其中R 表示球的半径k n k k n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．=+-2)3(31i i（ ）A ．i 4341+ B ．i 4341--C ．i 2321+ D ．i 2321-- 2． 已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724D ．－7243．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞） 4．O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ).,0[||||(+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 5．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（ ）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xx B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xxC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y xx D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y xx 6．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a7．设c bx ax x f a ++=>2)(,0，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切处的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为（ ）A ．]1,0[aB ．]21,0[aC ．|]2|,0[abD ．|]21|,0[ab - 8．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则 =-||n m（ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y xB ．13422=-y xC ．12522=-y xD ．15222=-y x10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB上的点P 2，P 3和P 4（入射角等于反射角）设P 4的坐标为（x 4，0），若214<<x ，则θtan 的取值范围是 （ ）A ．（31，1） B ．）32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C（ ）A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ） A ．3πB ．4πC ．π33D ．6π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 . 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分 （如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一 种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方 法有 （以数字作答）16．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=. （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；（2）在给出的直角坐标系中，画出函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象.18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G.（Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.ABA 119．（本小题满分12分） 设0>a ，求函数),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.20．（本小题满分12分）A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1，A 2，A 3，B 队队员是B ，B ，B ，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队、B 队最后所得总 分分别为ξ、η（1）求ξ、η的概率分布； （2）求E ξ，E η. 21．（本小题满分14分）已知常数a >0，向量c =（0，a ），i =（1，0），经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由. 22．（本小题满分14分） 设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=-- （1）证明对任意012)1(]2)1(3[51,1a a n n n n n nn ⋅-+⋅-+=≥-；（2）假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围.2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试题（理工农医类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分1.B2.D3.D4.B5.B6.C7.B8.C9.D 10.C 11.B 12.A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分13．221- 14．6，30，10 15．120 16．①④⑤ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能,考查画图的技能.满分12分. 解：（1）x x x x f cos sin 2sin 2)(2+=x x 2sin 2cos 1+-=)4sin 2cos 4cos2(sin 21ππx x -+= )42sin(21π-+=x所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.（2）由（1）知 185218318218183πππππ+---yx故函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象是 18．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分.解法一：（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，A 1.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）连结A 1D ，有E AA D AEDA V V 11--=,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又AB A ED 1平面⊥∴, 设A 1到平面AED 的距离为h ，则ED S h S AB A AED ⋅=⋅∆∆1362=. 故A 1到平面AED 的距离为362.19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分12分.解：)0(121)(>+-='x ax xx f . 当0,0>>x a时 0)42(0)(22>+-+⇔>'a x a x x f .0)42(0)(22<+-+⇔<'a x a x x f（i ）当1>a 时，对所有0>x ，有0)42(22>+-+a a x .即0)(>'x f ，此时)(x f 在),0(+∞内单调递增.（ii ）当1=a 时，对1≠x ，有0)42(22>+-+a x a x ，即0)(>'x f ，此时)(x f 在（0，1）内单调递增，又知函数)(x f 在x=1处连续，因此， 函数)(x f 在（0，+∞）内单调递增（iii ）当10<<a 时，令0)(>'x f ，即0)42(22>+-+a x a x .解得a a x a a x -+->---<122,122或.因此，函数)(x f 在区间)122,0(a a ---内单调递增，在区间),122(+∞-+-a a内也单调递增. 令0)42(,0)(22<+-+<'a x a x x f 即，解得a a x a a -+-<<---122122.因此，函数)(x f 在区间)122,12-2a a a a -+---（内单调递减.20．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力（满分12分）.解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.758525232)3(=⨯⨯==ξP 7528525332525231535232)2(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP 52525331535231535332)1(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP ， 253535331)0(=⨯⨯==ξP 又24121111=⋅==∆∆AB A A S S AB A AEB ， 2621=⋅=∆ED AE S AED ， 3622622=⨯=h .解法二：（1）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠A 1BG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O ，设CA=2a ，则A （2a ，0，0），B （0，2a ，0），D （0，0，1） A 1（2a ，0，2） E （a ，a ，1） G （31,32,32a a ）. )1,2,0(),32,3,3(a BD a a GE -==∴，032322=+-=⋅∴a ，解得a =1.),31,34,32(),2,2,2(1-=-=∴BA372131323/14||||cos 111=⋅=⋅=∠∴BG BA BGBA BG A .A 1B 与平面ABD 所成角是37arccos.y （2）由（1）有A （2，0，0），A 1（2，0，2），E （1，1，1），D （0，0，1）0)0,1,1()2,0,0(001,1()1,1,1(1=--⋅=⋅=--⋅-=⋅AA ，）， ⊥∴ED 平面AA 1E ，又ED ⊂平面AED.∴平面AED ⊥平面AA 1E ，又面AED 面AA 1E=AE ，∴点A 在平面AED 的射影K 在AE 上.设AK λ=， 则)2,,(11--=+=λλλA A 由01=⋅AE K A ，即02=-++λλλ， 解得32=λ. )34,32,32(1--=∴A 根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)=758, P(η=1)=P(ξ=2)= 7528 P(η=2)=P(ξ=1)=52, P(η=3)=P(ξ=0)= 253. （2）15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ； 因为ξ+η=3，所以 .15233=-=ξηE E 21．本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分.解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值.∵i =（1，0），c=（0，a ）， ∴c+λi =（λ，a ），i －2λc=（1，－2λa ）.因此，直线OP 和AP 的方程分别为 ax y =λ 和 ax a y λ2-=-.消去参数λ，得点),(y x P 的坐标满足方程222)(x a a y y -=-.整理得 .1)2()2(81222=-+a a y x ……① 因为,0>a 所以得：（i ）当22=a 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ；（ii ）当220<<a 时，方程①表示椭圆，焦点)2,2121(2a a E -和)2,2121(2a a F --为合乎题意的两个定点；（iii ）当22>a 时，方程①也表示椭圆，焦点))21(21,0(2-+a a E 和))21(21,0(2--a a F 为合乎题意的两个定点.22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.（1）证法一：（i ）当n=1时，由已知a 1=1－2a 0，等式成立；（ii ）假设当n=k （k ≥1）等式成立，则,2)1(]2)1(3[5101a a k k k k k---+=- 那么01112)1(]2)1(3[52323a a a k k k k k k k k k +-+---+-=-= .2)1(]2)1(3[5101111a k k k k k ++++-+-+= 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i ）和（ii ），可知等式对任何n ∈N ，成立.证法二：如果设),3(23111-----=n n n n a a a 用1123---=n n n a a 代入，可解出51=a . 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-53n n a 是公比为－2，首项为531-a 的等比数列. ).()2)(5321(5310N n a a n n n ∈---=-∴- 即.2)1(52)1(301a a n n n n n n -+-+=- （2）解法一：由n a 通项公式 .23)1(523)1(32011111a a a n n n n n n n -----⨯-+⨯-+⨯=- )(1N n a a n n ∈>∴-等价于 ).()23()15()1(201N n a n n ∈<----……① （i ）当n=2k －1，k=1，2，…时，①式即为 32022)23()15()1(--<--k k a即为 .51)23(51320+<-k a ……② ②式对k=1，2，…都成立，有 .3151)23(5110=+⨯<-a（ii ）当n=2k ，k=1，2，…时，①式即为.)23()15()1(22012--<--k k a 即为 .51)23(51220+⨯->-k a ……③ ③式对k=1，2，…都成立，有 .051)23(512120=+⨯->-⨯a 综上，①式对任意n ∈N *，成立，有.3100<<a 故a 0的取值范围为).31,0( 解法二：如果1->n n a a （n ∈N *）成立，特别取n=1，2有 .031001>-=-a a a.06012>=-a a a 因此 .3100<<a 下面证明当.3100<<a 时，对任意n ∈N *， .01>--n n a a 由a n 的通项公式 .235)1(23)1(32)(5011111a a a n n n n n n n -----⨯⨯-+⨯-+⨯=- （i ）当n=2k －1，k=1，2…时， 011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯-⨯+⨯=->023********=⨯⨯-⨯+⨯---n n n（ii ）当n=2k ，k=1，2…时，011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯+⨯-⨯=->.0233211≥⨯-⨯--n n 故a 0的取值范围为).31,0(。