关于分担两个集合的亚纯函数的唯一性

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与导数IM分担两个值的亚纯函数的唯一性

（ｉ（ｉ）ＥＥ６）Ｎｒ）Ｎｒ）ｌ号（＋（（，，＋＜－）ｒ（ｓＴ）１０（；（Ｆ，）Ｔ，『３（古）Ｎｒ）（＋ｒ）（。（・ｉＴ＝（ｇ）Ｎｒ＋（ｉ（ｉ口Ｆ（，，３十５（＜卜￡ｒ）６『）４），））Ｔ
ｇ）则ｆｇ或ｆｇ三１，＝＇．１９９４年，ｕＧｎｉ到了下述结果．Ｑｉａｄ得
定理Ｊ设厂和ｇ为非常数亚纯函数，Ｏ，）Ｅ（（ｆ＝Ｅ（（ｇ）Ｅ（ｆ）３Ｏ，，以，＝Ｅ（，，ｂ为非零复数，存３ｂｇ）ａ，若在有穷复数ｃｄ满足Ｎ（一，，，
Ｊｎ２０ｕ．０８
文章编号：１７７２２０）３０２ —６６１１４（０８０ —３３０
与导数Ｉ分担两个值的亚纯函数的唯一性Ｍ
张汉，谢东
（成都信息工程学院计算科学系，四川成都６０２）１２５
），
）类似定义・丁（）ｍｘ丁（，）丁（，）及ｓｒ。丁（）（一 ∞，Ｅ，记ｒａ／ｒ厂，ｒｇ｝（）｛ｒ｝ｒｒ
‘
ｍｅＥ＜Ｏ）ｓ（．３
关于亚纯函数及导数分担值的唯一性问题，９１，１９年仪洪勋、杨重骏得到了下述结果．定理Ｊ设厂和ｇ为非常数亚纯函数，ａｏｆ十ａｏｇ），ｏ，（ｏｇ）且Ｅ（，＝Ｅ（，若（，）（，＞ｌ（ｏｆ）ｏ，，１ｆ）１

涉及分担函数的亚纯函数族的正规定则

０ａｄｆｒａｈ，，ｅｆｇ∈Ｆ， ”ａｄｓａｅ（）ｎｗｅｅｚ０ｉａｈｉｍｒｈｃｕｃｏ，ｈｓｕｉｌｉｎｏｅｎｇｈｒＯｚｉＤ，ｈｒ（）０ｏｉｆｎｔｎｗｏｅｍｈｐｃｓｏｐｉｉ・
ｔｓｏｅｏｎＤｒｔｍｏｔ，ｗｅｅｋｒｏｉｖｎｅｅ．ｉｆｚｒｓｉｅａｅａｓｌｈｒ，Ｚｅｐｓｔｅｉｔｇｒａｉｓ
≠０且其极点个数记为ｔ若满足条件（）ｚ的极点重数都至少为ｄｔ＜ｋ＋ｄ或条件，，１）且，
（）其极点重数都至少为ｄ＋１那么 ¨ 一ｐｚ２：，（）至少有两个不同的零点，且 ¨ 一Ｐ０（）．
证明由于）是一个非多项式有理函数，石且）≠ ０所以可设，
如果对每个，Ｅ，） ” ≠０且－（）零点重数至少为， ≠ｏ（），，＜ ¨一彳的
上正规．
，Ｆ则必在Ｄ
２１０２年丁杰，戚建明，朱泰英［］以下结果：３有
定理Ｃ设（）事０区域Ｄ内的全纯函数，是正整数，ｋＦ是区域Ｄ内的一族亚纯函数，
所以ｄｇｇ）＝ｋｔ一１ｅ（１（）．
（）Ｉ假设式可设
一Ｐ（）只有一个零点Ｚ．０注意到ｄｇｇ）＝ｋｔ）＜ｋ＋Ｎ，以由（．）ｅ（（一１ｔ所２２
ｆＰｋ（）㈤＿
这里Ｃ是一个非零常数．
警
３
（）２・４
由（）Ｉ）所以引理１得证．Ｉ（Ｉ，

亚纯函数及其导数分担小函数集的唯一性

Ｍａ．２０１ｒ２
文章编号：００５６（０２０ — １１６１０－８２２１）２０４ — ０
亚纯函数及其导数分担小函数集的唯一性
赵小珍
（宁德师范学院数学系，福建宁德３２０）５１０
摘要：研究了亚纯函数及其ｋ阶导数权分担小函数集的唯一性，得到了：ｋｎ设，为正整数，．ｇ为开平面上厂，
中计ｍｉ（ｋ）ｎｍ，＋１次，同样也有（，）ＥＳｇ．ｇ，（，）Ｎｏｒａ表示ｆ—ａｇ—ａａ∈Ｓ的公共零点的（，）与（）
面上非常数亚纯函数，称另一亚纯函数口ｚ为厂和（）
ｇ的小函数，如果ｒｒａ＝Ｓｒｆ且ｒｒａ＝ｓｒｇ．（，）（，）（，）（，）设厂为非常数亚纯函数，ｋ为正整数，用Ｎ１ｒ、，（
１（口）表示厂／ｆ一）一ａ的单级零点的计数函数，Ｎｋ（，／口）示ｆ— ）ｒ１ｆ一）表（ａ的重数 ≤ ｋ的零点的计数函数，每个零点只计１次．此外，（，）示ｓｒ厂表Ｓｒｆ（，）＝ｏＴｒ＿）。，（（，）ｒｏ，）厂（Ｅ，这里Ｅ表示线性
层口ｚ，）Ｅ（（） ‘ ＝Ｅ（（） ‘ ，如果（（）且ｔｚ，）ｔｚ，）ｇｂ，ｂｇ
２口ｆ＋（十）（，）＋，＋（，）４Ｏ ∞ ｆ＞ｋ５
则称／与ｇＣＩ分担集合Ｓ；Ｍ（Ｍ）
（）如果ｉｉ
测度为有限的集合．令

亚纯函数的k阶导函数分担集合的唯一性

亚纯函数的k阶导函数分担集合的唯一性绝对值函数的k阶导函数分担集合的唯一性问题，是数学中一个重要的概念。

它可以用来描述函数的极限行为，也可以用来分析函数的频率和强度。

本文将首先介绍绝对值函数的定义，然后给出k阶导函数分担集合的唯一性定理，最后，给出一个定理的证明。

绝对值函数是一个单调递增函数，它的定义如下：设$f(x)$为实数域上的函数，$a\in R^n$，则$f(x)$的绝对值函数，记作$|f(x)|$，定义为$|f(x)|=max(f(x),-f(x))$。

现在，我们考虑绝对值函数的k阶导函数分担集合的唯一性。

假设$f(x)$为绝对值函数，那么它的k阶导函数分担集合的唯一性定理如下：设$f(x)$为绝对值函数，$D^k_f(x)$为$f(x)$的k阶导函数分担集合，则有$D^k_f(x)=D^k_{f(x)}$，其中$D^k_{f(x)}$为$f(x)$的k阶导函数分担集合。

这个定理表明，绝对值函数的k阶导函数分担集合是唯一的，因此，它可以用来描述函数的极限行为。

下面，我们将证明这个定理。

首先，我们定义$f(x)$的k 阶导函数分担集合$D^k_f(x)$，它是由所有$f(x)$的k阶导函数组成的集合：$D^k_f(x)=\{f^{(k)}(x)\mid f^{(k)}(x)是f(x)的k阶导函数\}$。

接下来，我们定义$f(x)$的k阶导函数分担集合$D^k_{f(x)}$，它由所有$f(x)$的k阶导函数组成的集合：$D^k_{f(x)}=\{f^{(k)}(x)\mid f^{(k)}(x)是f(x)的k阶导函数\}$。

现在，我们将证明$D^k_f(x)=D^k_{f(x)}$。

首先，我们证明$D^k_f(x)\subseteq D^k_{f(x)}$。

由定义可知，$D^k_f(x)\subseteq D^k_{f(x)}$，即$f^{(k)}(x)\in D^k_f(x)$当且仅当$f^{(k)}(x)\in D^k_{f(x)}$。

亚纯映射分担移动目标的唯一性定理

y(
亚纯映射分担移动目标的唯一性定理
曹廷彬１,阮海洪２
(
南昌大学数学系,江西南昌３３００３１;
陆军步兵学院,江西南昌３３０１０３)
１．
２．
摘要:研究亚纯映射分担移动目标的唯一性问题,在 Quang
ＧAn 所做的关于移动目标的第二基本定理的基础上
考虑重值,获得了带截断重数的第二基本定理,并应用所得的第二基本定理获得了两个带截断重数的亚纯映射分
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l 为一正整数或 ∞ ,且满足以下条件:
(
a)
r
ankR (
ankR (
d
im({(
g)≤ r
f)＝k ＋１,
f,
ai)}
∀I ⊂ {
１,,
i∈I )
R ＝k ＋１,
q},＃I ＝k ＋１,其
中k 为一整数.
~
(
og‖z‖２)
０}上成立.
∧(
m
２)令φ 为C 上非零整函数,对a ∈Cm ,我们可
取无关.
k(
l＋k ＋３)
k
＋２
l＋１－k(
k ＋２)
,有 f ＝g.
k２(
l＋k ＋３)
k ＋１
＋２
l＋１－k(
k ＋２)
２
２０２３年
南昌大学学报(理科版)
[
１]
(
f,
aj ),≤l
[
１]
(
aj ),≤l
g,
ν(f,aj)(
z)≤l}.
２
k２(

亚纯函数的一个唯一性定理

亚纯函数的一个唯一性定理
函数是数学中最基本的元素，每一个函数都有独特的特点。

亚纯函数是一种特殊类型的函数，其中输入的参数的值不会影响函数的返回值，也就是说每一个输入值都得到相同的输出值，这种函数对程序的执行具有重要的作用。

亚纯函数的一个唯一性定理是，当两个不同的亚纯函数存在时，它们之间必然存在一个至少为三个参数的不同。

也就是说，当存在并且不等价的两个亚纯函数时，这两个函数在至
少三个参数上必须有所不同，否则它们实际上只有一个函数。

具体来说，假设存在一组参数序列{a[1], a[2],…,a[n]}，他们不等价的两个亚纯函数F(a[1],
a[2],…,a[n])和G(a[1], a[2],…,a[n])。

此时，若a[i]满足F(a[1], a[2],…,a[n]) = G(a[1],
a[2],…,a[n])，则必然存在至少三个参数的不同，且其形式为：F(a[1], a[2],…,a[n])≠G(a[1],
a[2],…,a[n])，a[i]不同。

本定理对亚纯函数的重要性是不可忽视的，它表明了何时有两个不同的函数，以及当必须
改变多少输入参数，才能形成一个新的函数。

此类定理有助于搞清程序中函数的正确性，
从而能正确地根据函数执行程序。

综上所述，亚纯函数的唯一性定理是一种有用的定理，有助于了解程序中多个不同函数之间的联系，以及设计函数的正确性。

本定理的重要性在于，它可以确定在形成新的函数前，必须改变多少输入参数，从而有助于正确定位和执行程序中的函数。

亚纯函数唯一性问题的注记

亚纯函数唯一性问题的注记
吕魏然;霍守诚;崔俭春
【期刊名称】《中国石油大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】1997(021)003
【摘要】无
【总页数】3页(P102-104)
【作者】吕魏然;霍守诚;崔俭春
【作者单位】无
【正文语种】中文
【相关文献】
1.具有三个公共值亚纯函数惟一性问题的注记 [J], 吕巍然;王珺
2.关于亚纯函数唯一性问题的注记 [J], 吕巍然
3.涉及平移函数的亚纯函数唯一性定理的一个注记 [J], 陈省江;许爱珠
4.涉及重值的亚纯函数的唯一性象集的注记 [J], 李进东;谢莉
5.关于分担一个值的亚纯函数的唯一性的一个注记 [J], 李进东;
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亚纯函数分担集合的惟一性

第３８卷第２期２０２０年３月龙㊀岩㊀学㊀院㊀学㊀报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＬＯＮＧＹＡＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＶｏｌ．３８Ｎｏ．２Ｍａｒｃｈ２０２０数㊀㊀学亚纯函数分担集合的惟一性沈寿华（龙岩学院㊀福建龙岩㊀３６４０００）摘要：证明了：设Ｓ１＝０，－２ｂ３{}，Ｓ２＝ｚｚ３＋ｂｚ２＋ｄ＝０{}，Ｓ３＝｛¥｝，其中ｂʂ０且２ｂ３＋２７ｄʂ０，对任何两个非常数亚纯函数ｆ与ｇ，若Ｅ（Ｓｉ，ｆ）＝Ｅ（Ｓｉ，ｇ）（ｉ＝１，２，３），则ｆʉｇ，并推广了相关结论㊂关键词：亚纯函数；惟一性；集合分担中图分类号：Ｏ１７４．５２文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－４６２９（２０２０）０２－０００１－０３１㊀引言及主要结论文中的亚纯函数均指复平面上的亚纯函数，所采用的符号均为值分布论中（见文献［１－２］）的标准符号，并令Ｓ（ｒ，ｆ）＝ｏ｛Ｔ（ｒ，ｆ）｝，ｒң¥，ｒ∉Ｅ，其中Ｅ⊂Ｒ＋为线性测度有穷的集合㊂设Ｓ是一个复数集合，ｆ和ｇ是两个非常数亚纯函数，令Ｅ（Ｓ，ｆ）＝ɣａɪＳ｛ｚｆ（ｚ）＝ａ｝，其中ｆ（ｚ）＝ａ的零点按重数计算；Ｅ（Ｓ，ｆ）＝ɣａɪＳ｛ｚｆ（ｚ）＝ａ｝，其中ｆ（ｚ）＝ａ的零点不计重数㊂如果Ｅ（Ｓ，ｆ）＝Ｅ（Ｓ，ｇ），则称Ｓ为ｆ和ｇ的ＣＭ公共值集；如果Ｅ（Ｓ，ｆ）＝Ｅ（Ｓ，ｇ），则称Ｓ为ｆ和ｇ的ＩＭ公共值集㊂特别地，如果Ｅ（｛ａ｝，ｆ）＝Ｅ（｛ａ｝，ｇ），则称ａ为ｆ和ｇ的ＣＭ公共值；如果Ｅ（｛ａ｝，ｆ）＝Ｅ（｛ａ｝，ｇ），则称ａ为ｆ和ｇ的ＩＭ公共值㊂１９７６年，ＧＲＯＳＳ（见文献［３］）提出了下述问题㊂能否找到两个（或一个）有限集合Ｓｉ（ｉ＝１，２），使得对任何两个非常数整函数ｆ与ｇ，只要满足Ｅ（Ｓｉ，ｆ）＝Ｅ（Ｓｉ，ｇ）（ｉ＝１，２），就有ｆʉｇ㊂而后，有很多数学工作者得到很多漂亮的结果，易斌与苏敏（见文献［４］）从ＩＭ公共值集的角度研究这个问题，得到下述结论㊂定理Ａ㊀设Ｓ１＝｛０，１｝，Ｓ２＝｛ｚ２ｚ３－３ｚ２＋２＝０｝，对任何两个非常数整函数ｆ与ｇ，若Ｅ（Ｓｉ，ｆ）＝Ｅ（Ｓｉ，ｇ）（ｉ＝１，２），则ｆʉｇ㊂本文从集合Ｓ１，Ｓ２的角度考虑，能否把Ｓｉ（ｉ＝１，２）更一般化？得到了下述定理㊂定理１㊀设Ｓ１＝０，－２ｂ３{}，Ｓ２＝｛ｚｚ３＋ｂｚ２＋ｄ＝０｝，其中ｂʂ０且２ｂ３＋２７ｄʂ０，对任何两个非常数整函数ｆ与ｇ，若Ｅ（Ｓｉ，ｆ）＝Ｅ（Ｓｉ，ｇ）（ｉ＝１，２），则ｆʉｇ㊂注１：定理１中，当ｂ＝－３２，ｄ＝１时，得定理Ａ，故定理Ａ是定理１的特殊情形㊂对于亚纯函数，得到相似的结论㊂定理２㊀设Ｓ１＝０，－２ｂ３{}，Ｓ２＝｛ｚｚ３＋ｂｚ２＋ｄ＝０｝，Ｓ３＝｛¥｝，其中ｂʂ０且２ｂ３＋２７ｄʂ０，对任何两个非常数亚纯函数ｆ与ｇ，若Ｅ（Ｓｉ，ｆ）＝Ｅ（Ｓｉ，ｇ）（ｉ＝１，２，３），则ｆʉｇ㊂１㊀收稿日期：２０１９－０５－２０㊀㊀㊀㊀㊀Ｄｏｉ：１０．１６８１３／ｊ．ｃｎｋｉ．ｃｎ３５－１２８６／ｇ４．２０２０．０２．００１作者简介：沈寿华，男，福建永定人，龙岩学院数学与信息工程学院讲师，主要研究方向：复分析及其应用㊂注２：定理２中，当ｂ＝－３２，ｄ＝１时，推广了文献［５］的定理８㊂２㊀主要引理为了证明定理，需要用到下述引理㊂引理１［４］㊀若ｚ０是非常数亚纯函数ｆ与ｇ的公共一级极点，则ｚ０是ｆᵡｆᶄ－ｇᵡｇᶄ的至少一重零点㊂引理２［２］㊀设Ｑ是ｎ次有理函数，其中ｎȡ１，ｆ是非常数亚纯函数，则Ｔ（ｒ，Ｑ（ｆ））＝ｎＴ（ｒ，ｆ）＋Ｓ（ｒ，ｆ）㊂引理３［２］㊀设ａ１，ａ２，ａ３，ａ４是四个判别的复数，ｆ与ｇ是两个亚纯函数，若Ｅ（ａｉ，ｆ）＝Ｅ（ａｉ，ｇ），ｉ＝１，２，３，４，则ｆ（ｚ）ʉＡｇ＋ＢＣｇ＋Ｄ，其中Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是常数，且ＡＤ－ＢＣʂ０㊂３㊀定理１的证明设Φ（ｚ）＝（ｆ３＋ｂｆ２＋ｄ）ᶄｆ３＋ｂｆ２＋ｄ－（ｇ３＋ｂｇ２＋ｄ）ᶄｇ３＋ｂｇ２＋ｄ，设ｚ０满足：ｆ（ｚ０）＝０或ｆ（ｚ０）＝－２ｂ３㊂由于Ｅ（Ｓ１，ｆ）＝Ｅ（Ｓ１，ｇ），可得Φ（ｚ０）＝０㊂下面分两种情形研究㊂情形１㊀当Φ（ｚ）ʉ０时，得到（ｆ３＋ｂｆ２＋ｄ）ᶄｆ３＋ｂｆ２＋ｄʉ（ｇ３＋ｂｇ２＋ｄ）ᶄｇ３＋ｂｇ２＋ｄ（１）解微分方程可得ｆ３＋ｂｆ２＋ｄ＝ｃ（ｇ３＋ｂｇ２＋ｄ），（２）其中ｃ是非零常数㊂设Ｅ（ｆ，ｇ）＝ｚ{ｆ（ｚ）ｇ（ｚ）＝０｝ɣｚ｜ｆ（ｚ）＝ｇ（ｚ）＝－２ｂ３{}㊂情形１．１㊀当Ｅ（ｆ，ｇ）ʂϕ时，由Ｅ（Ｓ１，ｆ）＝Ｅ（Ｓ１，ｇ）和（２）得ｃ＝１㊂因为ｆ３＋ｂｆ２ʉｇ３＋ｂｇ２，Ｅ（Ｓ１，ｆ）＝Ｅ（Ｓ１，ｇ），所以Ｅ（０，ｆ）＝Ｅ（０，ｇ），Ｅ（－ｂ，ｆ）＝Ｅ（－ｂ，ｇ），Ｅ－２ｂ３，ｆæèçöø÷＝Ｅ－２ｂ３，ｇæèçöø÷，Ｅ（¥，ｆ）＝Ｅ（¥，ｇ）㊂得到ｆ（ｚ）ʉＡｇ＋ＢＣｇ＋Ｄ，代入ｆ３＋ｂｆ２ʉｇ３＋ｂｇ２，得到ｆʉｇ㊂情形１．２㊀当Ｅ（ｆ，ｇ）＝ϕ时，因为Ｅ（Ｓ１，ｆ）＝Ｅ（Ｓ１，ｇ），所以Ｅ（０，ｆ）＝Ｅ－２ｂ３，ｇæèçöø÷，Ｅ－２ｂ３，ｆæèçöø÷＝Ｅ（０，ｇ）㊂情形１．２．１㊀当Ｅ（０，ｆ）＝Ｅ－２ｂ３，ｇæèçöø÷＝ϕ且Ｅ－２ｂ３，ｆæèçöø÷＝Ｅ（０，ｇ）＝ϕ时，因为Ｅ（｛¥｝，ｆ）＝Ｅ（｛¥｝，ｇ），由Ｎｅｖａｎｌｉｎｎａ第二定理得Ｔ（ｒ，ｆ）ɤＮｒ，１ｆæèçöø÷＋Ｎｒ，１ｆ＋２ｂ３æèççöø÷÷＋Ｎ（ｒ，ｆ）＋Ｓ（ｒ，ｆ）可得Ｔ（ｒ，ｆ）ɤＳ（ｒ，ｆ），这是不可能的㊂情形１．２．２㊀当Ｅ（０，ｆ）＝Ｅ－２ｂ３，ｇæèçöø÷＝ϕ或Ｅ－２ｂ３，ｆæèçöø÷＝Ｅ（０，ｇ）＝ϕ有且只有一个成立时，不妨设Ｅ（０，ｆ）＝Ｅ－２ｂ３，ｇæèçöø÷ʂϕ，而Ｅ－２ｂ３，ｆæèçöø÷＝Ｅ（０，ｇ）＝ϕ㊂由（２）及上式，得到ｃ－２ｂ３æèçöø÷３＋－２ｂ３æèçöø÷２ｂ＋ｄéëêêùûúú＝ｄ，ｃ＝２７ｄ４ｂ３＋２７ｄ㊂２设ｚ３＋ｂｚ２＋ｄ＝ｄｃ２的三个根为ａ１，ａ２，ａ３，设ａ满足ｚ３＋ｂｚ２＋ｄ＝ｄｃ且ａʂ－２ｂ３，得到Ｅ（ａ，ｆ）＝Ｅ（ａ１，ｇ）ɣＥ（ａ２，ｇ）ɣＥ（ａ３，ｇ）㊂由Ｎａｖａｎｌｉｎｎａ第二定理得２Ｔ（ｒ，ｇ）ɤＮｒ，１ｇæèçöø÷＋Ｎｒ，１ｇ－ａ１æèçöø÷＋Ｎｒ，１ｇ－ａ２æèçöø÷＋Ｎｒ，１ｇ－ａ３æèçöø÷＋Ｓ（ｒ，ｆ）ɤＮｒ，１ｆ－ａæèçöø÷＋Ｓ（ｒ，ｇ）ɤＴ（ｒ，ｆ）＋Ｓ（ｒ，ｇ）由引理２与ｆ３＋ｂｆ２ʉｇ３＋ｂｇ２，得到Ｔ（ｒ，ｆ）＝Ｔ（ｒ，ｇ）＋Ｓ（ｒ，ｆ），有Ｔ（ｒ，ｇ）＝Ｓ（ｒ，ｇ），矛盾㊂情形１．２．３㊀当Ｅ（０，ｆ）＝Ｅ－２ｂ３，ｇæèçöø÷ʂϕ且Ｅ－２ｂ３，ｆæèçöø÷＝Ｅ（０，ｇ）ʂϕ时，由（２）得到ｃ＝２７ｄ４ｂ３＋２７ｄ，又由Ｅ－２ｂ３，ｆæèçöø÷＝Ｅ（０，ｇ）ʂϕ，得到ｃ＝４ｂ３＋２７ｄ２７ｄ，ｂ＝０或２ｂ３＋２７ｄ＝０，与定理１条件矛盾㊂情形２㊀当Φ（ｚ）≢０时，由Ｅ（Ｓｉ，ｆ）＝Ｅ（Ｓｉ，ｇ）（ｉ＝１，２）和（１）得到Ｎｒ，１ｆæèçöø÷ɤＮｒ，１Φæèçöø÷ɤＮ（ｒ，Φ）＋Ｓ（ｒ，ｆ）＝Ｓ（ｒ，ｆ）㊂同理Ｎｒ，１ｆ＋２ｂ３æèççöø÷÷ɤＳ（ｒ，ｆ），Ｎｒ，１ｇæèçöø÷ɤＳ（ｒ，ｇ），Ｎｒ，１ｇ＋２ｂ３æèççöø÷÷ɤＳ（ｒ，ｇ）㊂由Ｎｅｖａｎｌｉｎｎａ第二定理得２Ｔ（ｒ，ｆ）ɤＮｒ，１ｆæèçöø÷＋Ｎｒ，１ｆ＋２ｂ３æèççöø÷÷＋Ｎ（ｒ，ｆ）＋Ｓ（ｒ，ｆ）ɤＴ（ｒ，ｆ）＋Ｓ（ｒ，ｆ）可得Ｔ（ｒ，ｆ）ɤＳ（ｒ，ｆ），这是不可能的㊂得到定理１的证明㊂用类似方法可证定理２㊂参考文献：［１］杨乐．值分布论及其新研究［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８２：１－３５．［２］仪洪勋，杨重俊．亚纯函数惟一性［Ｍ］．北京：科学出版社，１９９５：１３－６５．［３］ＧＲＯＳＳＦ．Ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎｏｆｍｅｒｏｍｏｒｐｈｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄｓｏｍｅｏｐｅｎｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．ＣｏｍｐｌｅｘＡｎａｌｙｓｉｓ，ＬｅｃｔｕｒｅＮｏｔｅｓｉｎＭａｔｈ，Ｓｐｉｎｇｅｒ－ＶｅｒｌａｇＢｅｒｌｉｎ，Ｈｅｉｄｅｌｂｅｒｇ，ＮｅｗＹｏｒｋ，１９７７：５１－６９．［４］易斌，苏敏．具有两个或三个ＩＭ公共值集的亚纯函数［Ｊ］．数学学报（中文版），２０１２，５５（６）：１０８５－１０９４．［５］ＦＡＮＧＭＬ．Ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆａｄｍｉｓｓｉｂｌｅｍｅｒｏｍｏｒｐｈｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓｉｎｔｈｅｕｎｉｔｄｉｓｃ［Ｊ］．ＳｃｉｅｎｃｅｉｎＣｈｉｎａ（ＳｅｒｉｅｓＡ）１９９９，４２（４）：３６７－３８１．责任编辑：巫永萍ＵｎｉｑｕｅｎｅｓｓＴｈｅｏｒｅｍｓｆｏｒＭｅｒｏｍｏｒｐｈｉｃＦｕｎｃｔｉｏｎｓｔｈａｔＳｈａｒｅＳｅｔｓＳＨＥＮＳｈｏｕｈｕａ（ＬｏｎｇｙａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌｏｎｇｙａｎ，Ｆｕｊｉａｎ３６４０００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＷｅｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｓＳ１＝｛０，－２ｂ３｝，Ｓ２＝｛ｚｚ３＋ｂｚ２＋ｄ＝０｝，Ｓ３＝｛¥｝ａｎｄｂʂ０，２ｂ３＋２７ｄʂ０，ｗｈｅｒｅｆｏｒａｎｙｔｗｏｎｏｎｃｏｎｓｔａｎｔｍｅｒｏｍｏｒｐｈｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓｆａｎｄｇｉｆＥ（Ｓｉ，ｆ）＝Ｅ（Ｓｉ，ｇ）（ｉ＝１，２，３），ｔｈｅｎｆ＝ｇ；Ｔｈｅｒｅｌｅｖａｎｔｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓａｒｅｉｍｐｒｏｖｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｅｒｏｍｏｒｐｈｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ；ｓｈａｒｅｄｖａｌｕｅｓｅｔｓ３。

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．
本文将采用权分担的思想，改进定理Ｂ．主要定理如下：定理设ｆｇ为非常数亚纯函数，，为非零有限复数，，为正整数，（Ｚ，口ｂ，ｚａｍ—ｂ＝无重）—１０
， ’ ＩＡ
根，：（Ｓ＝｛
一６＝０，＋ｍｌ＋ｍｍｎ２＋）一１｝＞６２ｉ（，）
厂ｇ为非常数整函数，，令，为整数，＞２＋，ａｂ为非零常数，ｍ４且，使得＋ａ＋ｂｏ９：无重根，，互素，０Ｓ＝｛＋ ∞：一＋ｂ｝如果Ｅ（ｆ＝Ｅ（ｇ，户ｇ＝０．ｓ，）Ｓ，）则．关于亚纯函数分担集合的唯一性问题，０２２０年仪洪勋［还证明了存在一个具有８３］个元素的集合ｓ，使
Ｔ（，＋Ｔ（， ≤ （，＋（，）（ｒＦ）ｒＧ）ｒＦ）ｒ＋ｒ１
Ｇ＋（吉）ｒ），＋（南）（）ｏ，）Ｎｒ）（．ｒ＋ｒ一（专一０，＋ｒ，，Ｎｒ（１ｓ）
，
（１）
另外，
南）＋），），）（南）（） ≤ 南＋＋ｒ＋ｒ，，１Ｎ）［１ｒ（）ｋ，）１，），）川ｒ）（）＋，＋）击＋（＋ｒ．Ｎｒ（Ｎ（ｒ，，南击
文章编号
１０ —４０（０７４００ —４０４６１２０）０ —０９０
关于分担两个集合的亚纯函数的唯一性
李启凡熊维玲２丁云娟３，，
（，１３广西大学数学与信息科学学院，广西南宁５００；．３０４２广西工学院信息与计算科学系，广西柳州５５０）４０６
Ｈ（一）Ｇ２）兰２一Ｏ篙．篙一
收稿日期：ｏ７４一Ｏ２０一Ｏ５基金项目：广西自然科学基金项目（桂科自Ｏ２ｏ１７８４）作者简介：李启凡（９２，，，１８一）男汉族广西大学硕士研究生。
维普资讯
定理Ａ
．
得对任何两个非常数亚纯函数，ｇ，，只要满足Ｅ（，）ｓｆ＝Ｅ（ｇ与Ｅ（ｆ＝Ｅ（Ｏｇ，，．０５Ｓ，） ∞，）Ｃ，）则三ｇ２０年，周后卿Ｈ在更为简单的集合下，］证明了：
定理Ｂ令Ｓ＝｛：（一１一１｝）＝０， ≥５，，｝厂ｇ为非常数亚纯函数，如果Ｅ（ｆ＝Ｅ（，）ｓ，）Ｓｇ，Ｅ（，） ∞ ｆ＝Ｅ（，）则户ｇ． ∞ ｇ，
维普资讯
第２８１卷第４０７年１期０２月
．
广西工学院学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＧＵＡＮＧＸＩＵＮＩｖＥＲＳＴＹＴＩＯＦＥＣＨＮｏＬＯＧＹ
Ｖｌ．８Ｎｏ．０１１４Ｄｅ．０７ｃ２０
院学报
．
，
第ｌ卷８
｛（，）（，｝ＴｒＦ＋ＴｒＧ） ≤ （，）Ｎ２ｒｉ）（Ｇ）ｒＦ＋（，＋ｒ＋Ｎｄｒ）＋（，１，＋１ｒ
）＋（，＋１ｒ
）（）＋ｓｒ．
这里Ｔ（）｛ｒ厂，ｒｇ｝Ｓｒ＝ＯＴ（），Ｒ－ｏ，告Ｅ）Ｅ为一个有限的线性测度集。ｒ：Ｔ（，）Ｔ（，），（）（ｒ）（－ｏｒ．，证明由第二基本定理，有
口Ｃ０
，，ｋ分担Ｓ．ｇ权
分担集合的问题源于１７年ＦＧｏｓ９６．ｒ提出的一个整函数分担集合的唯一性问题：ｓ是否能找到两个（甚
至一个）有限集合Ｓ（＝１２，ｆｉ，）使得对任何两个非常数整函数，ｇ只要满足Ｅ（ｆｆ＝Ｅ（ｆｇ，，，ｓ，）Ｓ，）必有ｆｇ９４，－＝？１９年仪洪勋完全解决了Ｇｏｓ］ｒ问题并给出如下定理：ｓ
摘
要：本文讨论了分担有限集合的亚纯函数的唯一性，所得定理分别改进了仪洪勋和周后卿研究的相关结果。
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词：亚纯函数；担；权分分担集
文献标识码：Ａ
中图分类号：７．２Ｏｌ４５
０引言
本文采用文［］１中的记号：ｒ，，ｒ，，ｒ，，（，）Ｎ（，）Ｎ（＋）ｒ，，（，）优（，）Ｎ（，）Ｎ（，）Ｔｒ，，２ｒ，，１，）Ｎｏｒ，，（Ｅ（，）Ｓ（，等。Ｓ，，ｒ，）设ｋ为一个非负整数或Ｃ， ∈Ｃ，ｋａｆ为ｆ—ａ的所有零点组成的集合，ＯａＥ（，）当零点的重数 ≤忌计，次；若＞忌则计ｋ次；ｓ为一复数集，，＋１设令（ｆ＝ｓ，）（，，，）如果（，）Ｓ，）ｓｆ＝Ｅ（ｇ则称
．如果Ｅ（，）ｋＳｇ女ｓｆ：Ｅ（，），
Ｅ（，） ∞ ｆ＝Ｅ（Ｏ，．尸（Ｆ —ｂｇ（ｇＣｇ）则ａ）三ｎａｍ—ｂ特别地，）．如果＝１１＞２则ｆｇ．，ｔ，－Ｔ７＝
１引理
引理１令Ｆ，Ｇ为两个非常数亚纯函数具有Ｆ、Ｇ权忌分担１Ｅ（Ｆ）， ∞，＝Ｅ（ｏＧ）令ｏ，．