2014南平5月高中毕业班适应性考试文科数学试题参考答案及评分标准

2014年南平市高中毕业班适应性考试 文科数学试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1. C ；2. A ；3. C ；4.A ；5. C ；6. B ；7. D ；8. B ；9. D ； 10. A ； 11. C ； 12. B. 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分.13．2； 14．128； 15．43； 16．220. 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）1()2cos 2)2f x x x =+…………2分 2sin(2)6x π=+…………3分∴当2262x k πππ+=+时，max ()2f x =…………5分当()f x 取最大值时，{|,}6x x x k k Z ππ∈=+∈…………6分（Ⅱ）依题意()2sin[2()]2sin(2).1263g x x x πππ=++=+…………9分 222,232k x k πππππ-≤+≤+…………10分51212k x k ππππ∴-≤≤+…………11分故()g x 的单调增区间为5,,.1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦…………12分18．解：（Ⅰ）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=．…………2分 解得0.03a =．…………3分（Ⅱ）成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=．…………5分 由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级 数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人．…………7分（Ⅲ）成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，分别记为A ，B ………8分 成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为C ，D ，E ，F ……9分 若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共15种…………10分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10． 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种………11分所以所求概率为()715P M =．…………12分19．解：（I）由题意知2c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得2a c ==…………3分 由222b a c =-得b =2…………4分故椭圆1C 方程为22184x y +=…………5分 （II ）点A 与点B 关于x 轴对称，设00(,)A x y 、00(,)B x y -…………6分由于点A 在椭圆1C 上，∴22004(1)8x y =-由已知有0000(2,),(2,)FA x y FB x y =-=--…………7分则FA FB ⋅22000444(1)8x x x =-+--2200033484()2233x x x =-=--…………9分由于0022x -<<043x =时，FA FB ⋅取得最小值为83-…………10分当043x =时，20289y =， 又点A 在抛物线2C 上，代入抛物线2C 方程得723p =…………11分∴抛物线2C 方程为273y x =…………12分20. 解：（Ⅰ）几何体正视图面积即直角梯形PDCE 的面积（此处没证明不扣分）……1分∴S =1(12)232⨯+⨯=…………3分 （Ⅱ）取PD 中点F ，连接FC 、F A ，则CF ∥PE ， ∴∠FCA 为异面直线AC 与PE 所成角…………4分 ∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AD ，PD ⊥DC ， ∴AF ＝CFAC＝5分 ∴在△FCA 中cos ∠FCA =2222AC FC AF AC FC +-⋅…………7分即异面直线AC 与PE…………8分 （Ⅲ）面PBD ⊥面PBE …………9分 证明如下：取PB 中点M ，连接EM 、MN ，则MN ∥PD 且MN ＝21PD 又EC ∥PD 且EC ＝21PD ，∴MN ∥EC 且MN ＝EC ， ∴M NCE 为平行四边形，∴EM ∥CN . …………10分∵PD ⊥面ABCD ，∴PD ⊥CN ，又在正方形中ABCD 中CN ⊥BD ，PD ∩BD =D ， ∴CN ⊥面PBD ，∴EM ⊥面PBD . …………11分 ∵EM ⊂面PBE ，∴面PBE ⊥面PBD . …………12分FM NEP DCBA21. 解：（I ）由已知得1129656602a d da +=⎧⎪⎨⨯⨯+=⎪⎩ ，…………2分 解得15,2 3.2n a a n d =⎧∴=+⎨=⎩ …………4分（II ）123,23,n n n a n b b +=+∴=+…………5分1132(3),34n n b b b +∴+=++=又，{}3n b ∴+是以4为首项2为公比的等比数列…………6分 11342,2 3.n n n n b b -+∴+=⋅=-…………7分∴()2412323 4.12n n n T n n +⋅-=-=---…………8分（Ⅲ）设11)...(1)23n n A a n -=+⋅+121111(1)(1)...(1)n a a a -≤+⋅++1211111(1)(1)...(1)23n a a a n -+⋅++⋅+1211111)(1)...(1)23n a a a n -+⋅++⋅+…121111)(1)...(1)23n a a a n -+⋅++⋅+，则当n ≥2且*n ∈N 时， 1121211111(1)(1)...(1)251111(1)(1)...(1)23n nn n A a a a n A a a a n +-+⋅++⋅+=+⋅++⋅+52113211111132111111152112121+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-n a n a a a na a a n n n n …………9分 2423n n +==+224141616n n n +=>=++151641616422++++n n n n ＞1. 所以1n n A A +>，即当n 增大时，n A 也增大．……………10分要使2111)...(1)3523n a n -≤⋅+12111(1)(1)n a a a -+⋅++1211111(1)(1)...(1)23n a a a n -+⋅++⋅+121111)(1) (1)23n a a n -+⋅++⋅+ (121)1111)(1)...(1)23n a a a n -+⋅++⋅+对n ≥2且*n ∈N 恒成立，()min n A ≤即可．min 26()5n A A ===11分 ≤，即6m ≤，所以实数m 的最大值为6．…………12分22. 解：（Ⅰ）由题意知(1)1f e =-， ()1x f x e =-'．……………2分∴函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率1k e =- ……………3分 ∴切线方程为(1)(1)(1)y e e x --=--，即(1)y e x =- ……………4分 （Ⅱ）令()10x f x e '=-=得0x = ……………5分① 当0t ≥时，在[,2]t t +上()0f x '≥，()f x 单调递增，min ()()t f x f t e t ==- ② 当20t -<<时，在[,0]t 上()0f x '≤，()f x 单调递减，在[0,2]t +上()0f x '≥，()f x 单调递增，∴min ()()(0)1f x f x f ===极小③ 当2t ≤-时，在[,2]t t +上()0f x '≤，()f x 单调递减，2min ()(2)2t f x f t e t +=+=--……………8分（每个讨论1分）∴2min 2,2()1, 20, t 0t te t tf x t e t +⎧--≤-⎪=-<<⎨⎪-≥⎩……………9分（Ⅲ）函数[]()1)(2-+=x x x f y 在()∞+，1上不存在同步偏移区间 ……………10分 证明如下：假设函数[]()()x e x x x x f x g 11)()(22-=-+=存在同步偏移区间[]b a ，， 则2()(21)xg x x x e '=+-……………11分∵1x >时， ()0g x '>，∴()g x 为增函数，∴22()(1)()(1)a bg a a e a m g b b e b m⎧=-=+⎪⎨=-=+⎪⎩ 即方程2(1)xx e x -=m +有两个大于1的相异实根…………12分 设2()(1)(1)x x x e x m x ϕ=--->，则2()(21)1xx x x e ϕ'=+-- ∵1x >，()0x ϕ'>，∴()x ϕ在(1,)+∞上单调递增. …………13分∴()x ϕ在区间()1,+∞上至多有一个零点与方程2(1)xx e x -=m +有两个大于1的相异实根矛盾∴假设不成立，即()g x 在()1,+∞上不存在同步偏移区间. …………14分。