教师版__任意角和弧度制知识点和练习
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习26 任意角和弧度制、三角函数的概念
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习 专题26 任意角和弧度制、三角函数的概念考点知识1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．知识梳理 1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示．(2)公式3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝y r ，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．常用结论1．象限角2．轴线角思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)－π3是第三象限角．(×)(2)若角α的终边过点P (－3,4)，则cos α＝－35.(√)(3)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．(×)(4)若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为3π2.(√)教材改编题 1.－660°等于()A ．－133πradB ．－256πradC ．－113πradD ．－236πrad答案C解析－660°＝－660×π180rad ＝－113πrad.2．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度． 答案－4π解析某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针顺时针旋转了－720°，即－4π.3．已知角α的终边经过点P (2，－3)，则sin α＝________，tan α＝________. 答案－31313 －32解析因为x ＝2，y ＝－3，所以点P 到原点的距离r ＝22＋(－3)2＝13.则sin α＝y r ＝－313＝－31313，tan α＝y x ＝－32.题型一角及其表示例1(1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则() A ．－α是第一象限角 B.α2是第三象限角 C.3π2＋α是第二象限角 D ．2α是第三或第四象限角或在y 轴负半轴上 答案D解析因为α是第二象限角，可得π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， 对于A ，可得－π－2k π<－α<－π2－2k π，k ∈Z ，此时－α位于第三象限，所以A 错误；对于B ，可得π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2位于第一象限；当k 为奇数时，α2位于第三象限，所以B 错误；对于C ，可得2π＋2k π<3π2＋α<5π2＋2k π，k ∈Z ， 即2(k ＋1)π<3π2＋α<π2＋2(k ＋1)π，k ∈Z ，所以3π2＋α位于第一象限，所以C 错误；对于D ，可得π＋4k π<2α<2π＋4k π，k ∈Z ，所以2α是第三或第四象限角或在y 轴负半轴上，所以D 正确． 延伸探究若α是第一象限角，则α2是第几象限角？ 解因为α是第一象限角，所以k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ， 所以k ·180°<α2<k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2是第一象限角，当k 为奇数时，α2是第三象限角．(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 答案－675°和－315°解析所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 当k ＝－1时，β＝45°－360°＝－315°， 当k ＝－2时，β＝45°－2×360°＝－675°.思维升华 确定k α，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先写出k α或αk的范围，然后根据k 的可能取值确定k α或αk的终边所在位置．跟踪训练1(1)“α是第四象限角”是“α2是第二或第四象限角”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案A解析当α是第四象限角时，3π2＋2k π<α<2π＋2k π，k ∈Z ，则3π4＋k π<α2<π＋k π，k ∈Z ，即α2是第二或第四象限角．当α2＝3π4为第二象限角时，α＝3π2不是第四象限角，故“α是第四象限角”是“α2是第二或第四象限角”的充分不必要条件．(2)(2021·北京)若点P (cos θ，sin θ)与点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ＝________. 答案5π12⎝ ⎛⎭⎪⎫满足θ＝5π12＋k π，k ∈Z 即可 解析∵P (cos θ，sin θ)与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6关于y 轴对称，即θ，θ＋π6关于y 轴对称，θ＋π6＋θ＝π＋2k π，k ∈Z ，则θ＝k π＋5π12，k ∈Z ，当k ＝0时，可取θ的一个值为5π12.题型二弧度制及其应用例2已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，半径为r . (1)若α＝35°，r ＝8cm ，求扇形的弧长；(2)若C ＝16cm ，求S 的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 解(1)α＝35°＝35×π180rad ＝736πrad ， 扇形的弧长l ＝αr ＝736π×8＝149π(cm)． (2)方法一由题意知2r ＋l ＝16，∴l ＝16－2r (0<r <8)， 则S ＝12lr ＝12(16－2r )r ＝－r 2＋8r ＝－(r －4)2＋16，当r ＝4(cm)时，S max ＝16(cm 2)，l ＝16－2×4＝8(cm)，α＝lr＝2，∴S 的最大值是16cm 2，此时扇形的半径是4cm ，圆心角α＝2rad. 方法二S ＝12lr ＝14l ·2r ≤14·⎝⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝16， 当且仅当l ＝2r ，即r ＝4(cm)时，S 的最大值是16cm 2. 此时扇形的圆心角α＝2rad.思维升华 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题． 跟踪训练2某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知OA ＝10，OB ＝x (0<x <10)，线段BA ，CD 与BC ，AD 的长度之和为30，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值． 解(1)根据题意，可算得BC ＝θx ，AD ＝10θ.因为AB ＋CD ＋BC ＋AD ＝30，所以2(10－x )＋θx ＋10θ＝30， 所以θ＝2x ＋10x ＋10(0<x <10)． (2)根据题意，可知y ＝S 扇形AOD －S 扇形BOC ＝12θ·(102－x 2)＝12×2(x ＋5)(102－x 2)x ＋10＝(x ＋5)(10－x )＝－x 2＋5x ＋50＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋2254，当x ＝52时，y max ＝2254.综上所述，当x ＝52时，铭牌的截面面积最大，且最大面积为2254.题型三三角函数的概念例3(1)(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－3)，且θ与α的终边关于x 轴对称，则下列选项正确的是() A ．sin θ＝－217B ．α为钝角C．cosα＝－27 7D．点(tanθ，sinα)在第一象限答案ACD解析角θ的终边经过点(－2，－3)，sinθ＝－217，A正确；θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，3)，α为第二象限角，不一定为钝角，cosα＝－277，B错误，C正确；因为tanθ＝32>0，sinα＝217>0，所以点(tanθ，sinα)在第一象限，D正确．(2)已知角θ的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cosθ＝35，则实数a的值是()A．－2B.2 11C．－2或211 D．1答案B解析由题设可知，2a＋1(2a＋1)2＋(a－2)2＝35且2a＋1>0，即a>－12，∴4a2＋4a＋15a2＋5＝925，则11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝211，又a>－12，∴a＝211 .(3)若sinαtanα<0，且cosαtanα>0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案B解析由sin αtan α<0，知α是第二象限或第三象限角， 由cos αtan α>0，知α是第一象限或第二象限角， 所以角α是第二象限角．思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．跟踪训练3(1)若角α的终边上有一点P (a ,2a )(a ≠0)，则2sin α－cos α的值是() A ．－355 B.55C ．－55D.355或－355答案D解析若α的终边上有一点P (a ,2a )(a ≠0)，则cos α＝a a 2＋(2a )2＝a5|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 55，a >0，－55，a <0，sin α＝2aa 2＋(2a )2＝2a5|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧255，a >0，－255，a <0，所以2sin α－cos α＝⎩⎪⎨⎪⎧355，a >0，－355，a <0.(2)sin2cos3tan4的值() A ．小于0B ．大于0 C ．等于0D ．不存在 答案A解析∵π2<2<3<π<4<3π2，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2cos3tan4<0.(3)若A (1，a )是角θ终边上的一点，且sin θ＝336，则实数a 的值为________． 答案11解析根据三角函数的终边上点的定义可得，r ＝1＋a 2， 所以sin θ＝a a 2＋1＝336>0，即a >0且a 2＝11，所以a ＝11. 课时精练1．与－2023°终边相同的最小正角是() A ．137°B．133°C．57°D．43° 答案A解析因为－2023°＝－360°×6＋137°， 所以与－2023°终边相同的最小正角是137°.2．(2023·合肥模拟)在平面直角坐标系中，若角θ的终边经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫－sin π6，cos π3，则cos θ等于() A.12B ．－12C.22D ．－22 答案D解析由角θ的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π6，cos π3，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，所以cos θ＝－1214＋14＝－22.3．如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π)．若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为()A.π2B.π4C.π8D.π16答案C解析由图可知，α＝18×2π＝π4，所以该扇形的面积S ＝12×π4×12＝π8.4．(2023·惠州模拟)如果点P (2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ所在的象限为()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案B解析∵点P (2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限， ∴⎩⎨⎧2sin θ>0，sin θ·cos θ<0，即⎩⎨⎧sin θ>0，cos θ<0，∴角θ所在的象限是第二象限．5．(2023·南昌模拟)我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月球表面400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转π3弧度，飞过的路程约为(取π≈3.14)() A ．1069千米B ．1119千米 C ．2138千米D ．2238千米 答案D解析嫦娥五号绕月飞行半径为400＋1738＝2138(千米)，所以嫦娥五号绕月每旋转π3弧度，飞过的路程约为l ＝αr ＝π3×2 138≈3.143×2 138≈2238(千米)．6.(2023·丽江模拟)屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m ，内环弧长为1.2m ，径长(外环半径与内环半径之差)为1.2m ，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为()A ．2.58m 2B ．2.68m 2C ．2.78m 2D ．2.88m 2 答案D解析设扇形的圆心角为α，内环半径为r m ，外环半径为R m ，则R －r ＝1.2(m)， 由题意可知，α·r ＝1.2，α·R ＝3.6， 所以α(R ＋r )＝4.8，所以扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为S ＝12α(R 2－r 2)＝12α(R ＋r )(R －r )＝12×4.8×1.2＝2.88(m 2)． 7．(2023·安阳模拟)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为________． 答案5π3解析因为sin5π6>0，cos 5π6<0， 所以角α的终边在第四象限， 根据三角函数的定义，可知sin α＝cos5π6＝－32， 故角α的最小正值为α＝2π－π3＝5π3. 8.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边△ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示)．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________．答案2π－2 3解析由条件可知，弧长AB ＝BC ＝AC ＝2π3，等边三角形的边长AB ＝BC ＝AC ＝2π3π3＝2，则以点A ，B ，C 为圆心，圆弧AB ，BC ，AC 所对的扇形面积为12×2π3×2＝2π3，中间等边△ABC 的面积S ＝12×2×3＝3.所以莱洛三角形的面积是3×2π3－23＝2π－2 3. 9．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.10．如图，在平面直角坐标系Oxy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A (1,0)，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－12，求sin α的值和与角α终边相同的角β的集合；(2)若α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形)解(1)由题意知，若点B 的横坐标为－12，可得B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴sin α＝32，于是α＝2π3＋2k π，k ∈Z ， 与角α终边相同的角β的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝2π3＋2k π，k ∈Z . (2)△AOB 的高为1×cosα2，AB ＝2sin α2， 故S △AOB ＝12×2sin α2×cos α2＝12sin α，故弓形AB 的面积S ＝12·α·12－12sin α＝12(α－sin α)，α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.11．在平面直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为() A ．β＝α＋90° B ．β＝α±90°C ．β＝α＋90°＋k ·360°(k ∈Z )D ．β＝α±90°＋k ·360°(k ∈Z ) 答案D解析∵α与β的终边互相垂直，∴β＝α±90°＋k ·360°(k ∈Z )． 12．(多选)已知点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，则x 可能位于的区间是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，9π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4 答案AD解析由点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，可得sin x －cos x <0，即sin x <cos x ，所以－3π4＋2k π<x <π4＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，x 所在的一个区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4，当k ＝1时，x 所在的一个区间是⎝⎛⎭⎪⎫5π4，9π4. 13．已知△ABC 为锐角三角形，若角θ的终边过点P (sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为()A ．1B ．－1C ．3D ．－3答案B解析因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B >π2，A ＋C >π2，即A >π2－B ，C >π2－A ， 所以sin A >cos B ，sin C >cos A ， 所以θ是第四象限角，所以sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1.14．在北京冬奥会短道速滑混合接力的比赛中，中国队以2分37秒348的成绩获得金牌．如图，短道速滑的比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5m ，直道长为28.85m ，点O 为半圆的圆心，点N 为弯道与直道的连接点，运动员沿滑道逆时针滑行，在某次短道速滑比赛最后一圈的冲刺中，运动员小夏在弯道上的P 点处成功超过所有对手，并领先到达终点Q (终点Q 为直道的中点)．若从P 点滑行到Q 点的距离为31.425m ，则∠PON 等于()A.π2B.53C ．2D.2π3答案C解析扇形PON 的弧长为31.425－12×28.85＝17，故∠PON ＝178.5＝2.15.(2023·常州模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形中较小的锐角为α，则sin αcos α的值为()A.15B.25C.55D.255 答案B解析设直角三角形的短直角边为x ，一个直角三角形的面积为100－204＝20，小正方形的面积为20，则边长为2 5.大正方形的面积为100，则边长为10. 直角三角形的面积为12·x (x ＋25)＝20⇒x ＝2 5.则直角三角形的长直角边为4 5.故sin α＝55，cos α＝255，即sin αcos α＝25. 16．如图，点P 是半径为2的圆O 上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABCD (顶点A 与P 重合)沿圆周逆时针滚动．若从点A 离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A 再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A 第一次回到点P 的位置时，正方形滚动了________轮，此时点A 走过的路径的长度为________．答案3(2＋2)π解析正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为B→C→D→A，顶点两次回到点P时，正方形顶点将圆周正好分成六等份，又4和6的最小公倍数为3×4＝2×6＝12，所以到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮．这一轮中，点A路径A→A′→A″→A是圆心角为π6，半径分别为2,22，2的三段弧，故路径长l＝π6·(2＋22＋2)＝(2＋2)π3，所以点A与P重合时总路径长为(2＋2)π.。
高一数学(必修一)《第五章-任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、多选题1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ） A ．1 B ．4C ．2D ．3二、单选题2．终边与直线y x =重合的角可表示为（ ） A ．45180,k k Z ︒︒+⋅∈ B ．45360,k k Z ︒︒+⋅∈ C ．135180,k k Z ︒︒+⋅∈ D ．225360,k k Z ︒︒+⋅∈3．下列角中与116π-终边相同的角是（ ） A ．30-︒B ．40-︒C ．20︒D ．390︒4．下列说法正确的是（ ）A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan 0α≥，则()2k k k Z ππαπ≤≤+∈C ．若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α D ．当()224k k k Z ππαπ<<+∈时，则sin cos αα<5．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240︒，则该圆锥的侧面积为（ ）A B ．881πCD ．23π6．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4πm肩宽约为8πm ，“弓”所在圆的半径约为5m 41.414≈和1.732）（ ）A ．1.012mB ．1.768mC ．2.043mD ．2.945m三、填空题7．6730'︒化为弧度，结果是______.8．已知扇形的周长为20cm ，面积为92cm ，则扇形的半径为________.9．折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l ，扇形所在的圆的半径为r ，当l 与r 的比值约为2.4时，则折扇看上去的形状比较美观.若一把折扇所在扇形的半径为30cm ，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是_______2cm ．10．设地球半径为R ，地球上北纬30°圈上有A ，B 两点，点A 在西经10°，点B 在东经110°，则点A 和B 两点东西方向的距离是___________.四、解答题11．将下列各角化成360,,0360k k βαα=+⋅︒∈︒≤<︒Z 的形式，并指出它们是第几象限的角：（1）1320︒；（2）315-︒；（3）1500︒；（4）1610-︒．12．根据角度制和弧度制的转化，已知条件：1690α=︒(1)把α表示成2k πβ+的形式[)()Z,02k βπ∈∈，；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且()4,2θππ∈--．13．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积． 14．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l. (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，则这个扇形的面积最大？ 15．已知扇形的周长为c ，当扇形的圆心角为多少弧度时，则扇形的面积最大．16．某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点A 处乘Ⅰ到达二楼的点B 处后，沿着二楼地面上的弧BM 逆时针步行至点C 处，且C 为弧BM 的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D 处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为半径为8m ，相邻楼层的间距为4m ，两部电梯与楼面所成角的正弦值均为13.(1)求此顾客在二楼地面上步行的路程； (2)求异面直线AB 和CD 所成角的余弦值.17．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知2OA =米，OB x =米()02x <<，线段BA 、线段CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为6米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为y ，试问x 取何值时，则y 的值最大?并求出最大值．参考答案与解析1．AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，圆心角为α，则212l r +=，182S lr ==解得2r =和8l =或4r =和4l ，则4lrα==或1．故C ，D 错误. 故选：AB ． 2．A【分析】根据终边相同的角的概念，简单计算即可.【详解】终边与直线y x =重合的角可表示为45180,k k Z +⋅∈． 故选：A. 3．D【分析】由角度制与弧度制的互化公式得到113306π-=-︒，结合终边相同角的表示，即可求解. 【详解】由角度制与弧度制的互化公式，可得113306π-=-︒ 与角330-︒终边相同的角的集合为{|330360,}A k k Z αα==-︒+⋅︒∈ 令2k =，可得390α=︒所以与角330α=-︒终边相同的角是390α=︒. 故选：D. 4．D【分析】利用弧度制、三角函数值的正负、三角函数的定义和三角函数线的应用逐一判断选项即可. 【详解】对于A ，长度等于半径的弦所对的圆心角为3π弧度，A 错误； 对于B ，若tan 0α≥，则()2k k k ππαπ≤<+∈Z ，B 错误；对于C ，若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α=±，C 错误；对于D ，当()224k k k ππαπ<<+∈Z 时，则sin cos αα<，D 正确.故选D.5．D【分析】根据扇形的圆心角、弧长和半径的关系以及扇形的面积求解. 【详解】解：将圆心角240︒化为弧度为：43π，设圆锥底面圆的半径为r 由圆心角、弧长和半径的公式得：4213r ππ=⨯，即23r =由扇形面积公式得：22133S ππ=⨯⨯=所以圆锥的侧面积为23π. 故选：D. 6．B【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧ACB 的长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==则两手之间的距离()522sin 1.768m 44AB AD π==⨯⨯≈．故选：B ．7．38π【解析】根据角度制与弧度制的关系180π︒=，转化即可. 【详解】180π︒= 1180π︒∴=36730'67.567.51808ππ︒∴︒==⨯=故答案为：38π 【点睛】本题主要考查了弧度制与角度制的转化，属于容易题. 8．9cm【分析】由题意设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由扇形的周长、面积可得1(202)92r r -=，解出r 后，验证即可得解.【详解】设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为θ ∵220l r +=，∴202l r =-∴192lr =，即1(202)92r r -=，解得1r =或9r = 当1r =时，则18l =，则181821l r θπ===>，不合题意，舍去； 当9r =时，则2l =，则229l r θπ==<，符合题意. 故答案为：9cm.【点睛】本题考查了扇形弧长及面积公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 9．1080【分析】首先求出弧长，再根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：依题意30r =cm ， 2.4lr=所以 2.472l r ==cm ，所以117230108022S lr ==⨯⨯=2cm ；故答案为：108010 【分析】求出,O A O B ''的长度，确定AO B ∠'的大小，再由弧长公式求得A,B 两地的东西方向的距离. 【详解】如图示，设O '为北纬30°圈的圆心，地球球心为O则60AOO '∠= ,故AO '=,即北纬30°R由题意可知2π1203AO B '∠==故点A 和B 两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的AB 的长故AB 的长为2π3R =11．（1）132********︒=︒⨯+︒，第三象限； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，第一象限； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，第一象限； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，第三象限．【分析】先将各个角化为指定形式，根据通过终边相同的角的概念判断出角所在象限.【详解】（1）132********︒=︒⨯+︒，因为240︒的角终边在第三象限，所以1320︒是第三象限角； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，因为45︒的角终边在第一象限，所以315-︒是第一象限角； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，因为60︒的角终边在第一象限，所以1500︒是第一象限角； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，因为190︒的终边在第三象限，所以1610-︒是第三象限角. 12．(1)254218α=⨯π+π； (2)4718θπ=-.【分析】(1)先把角度数化成弧度数，再表示成符合要求的形式. (2)由(1)可得252,(Z)18k k θππ=+∈，再按给定范围求出k 值作答. (1)依题意，169251690169081801818παπππ=︒=⨯==+ 所以254218α=⨯π+π. (2)由(1)知252,(Z)18k k θππ=+∈，而(4,2)θππ∈--，则25422,()18k k Z ππππ-<+<-∈，解得2k =- 所以254741818θ=-π+π=-π. 13．80π【分析】先求出弧长，再利用扇形的面积公式直接求解. 【详解】设扇形弧长为l ，因为圆心角272721805ππ︒⨯=＝rad 所以扇形弧长2·2085l r παπ⨯=＝＝ 于是，扇形的面积S ＝12l ·r ＝12×8π×20＝80π. 14．（1）103π；（2）12；（3）=10,=2l α 【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可．（2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解 （3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可． 【详解】(1)α＝60°＝rad ，∴l ＝α·R ＝×10＝(cm).(2)由题意得解得 (舍去)，故扇形圆心角为. (3)由已知得，l ＋2R ＝20.所以S ＝lR ＝ (20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，则S 取得最大值25 此时l ＝10，α＝2.【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本题的关键．15．当扇形的圆心角为2rad 时，则扇形的面积最大.【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，利用周长公式，求得2l c r =-，代入扇形的面积公式，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l 则2l r c +=，即2(0)2c l c r r =-<<由扇形的面积公式12S lr =，代入可得222111(2)()22416c S c r r r cr r c =-=-+=--+当4c r =时，则即22cl c r =-=时，则面积S 取得最小值此时2l rad r α==，面积的最小值为2c 16.【点睛】本题主要考查了扇形的周长，弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16．(1)2πm【分析】（1）过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上，结合题意计算出1BO M ∠的大小，再利用扇形的弧长公式即可得出结果.（2）建立空间直角坐标系，求出异面直线AB 和CD 的方向向量，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案. （1）如图，过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上 连接B A '，则B A '即为BA 在圆柱下底面上的射影 故BAB '∠即为电梯Ⅰ与楼面所成的角，所以1sin 3BAB '∠=.因为4BB AM '==，所以AB '=在AOB '中8OA OB ='=，所以AOB '是等腰直角三角形 连接1O ，B ，1O M ，则1π2BO M AOB '∠=∠= 因为BC CM =，所以BC 的长为π82π4⨯= 故此顾客在二楼地面上步行的路程为2π m . （2）连接2OO ，由（1）可知所在直线两两互相垂直.以O 为原点OB '，OA 和2OO 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则()8,0,4B ()0,8,0A 与()C 和()D -，所以()8,8,4AB =- ()4CD =-. 设异面直线AB 和CD 所成角为θ，则·42cos cos ,=9AB CD AB CD AB CDθ==故异面直线AB 和CD 17．(1)22(02)2x x x θ+=<<+； (2)当12x =时，则y 的值最大，最大值为94．【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x 的函数解析式；(2)根据面积公式求出y 关于x 的函数表达式，根据二次函数性质可得y 的最大值． (1)根据题意，弧BC 的长度为x θ米，弧AD 的长度2AD θ=米2(2)26x x θθ∴-++=∴22(02)2x x x θ+=<<+． (2)依据题意，可知2211222OAD OBC y S S x θθ=-=⨯-扇扇 化简得：22y x x =-++ 02x <<∴当12x =，则2max 1192224y ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭．∴当12x =时，则y 的值最大，且最大值为94．。
高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题5-1任意角和弧度制及任意角的三角函数-教师版
专题5.1任意角和弧度制及任意角的三角函数练基础1．（2021·宁夏高三三模（文））已知角α终边经过点()1,2,P -则cos α=（）A ．12B ．12-C．5D．5-【答案】D 【解析】直接利用三角函数的定义即可.【详解】由三角函数定义，cos 5α==-.故选：D.2.（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知角α的终边经过点()3,1P -，则cos α=（）A ．1010B ．1010-C ．31010-D ．【答案】C 【解析】由三角函数的定义即可求得cos α的值．【详解】角α的终边经过点(3,1)P-，cos α∴==．故选：C ．3．（2020·全国高一课时练习）若α＝－2，则α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.【详解】因为1rad≈57.30°，所以－2rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．故选：C.4．（2021·江苏高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90︒的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60︒；⑥若5α=，则α是第四象限角．其中正确的题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.【详解】对于①：钝角是大于90 小于180 的角，显然钝角是第二象限角.故①正确；对于②：锐角是大于0 小于90 的角，小于90 的角也可能是负角.故②错误；对于③：359- 显然是第一象限角.故③错误；对于④：135 是第二象限角，361 是第一象限角，但是135361< .故④错误；对于⑤：时针转过的角是负角.故⑤错误；对于⑥：因为157.3rad ≈ ，所以5557.3=286.5rad ≈⨯ ，是第四象限角.故⑥正确.综上，①⑥正确.故选：B.5．（2021·辽宁高三其他模拟）装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为23π，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连（弧的两端各一个灯泡，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线大致需要的长度约为（）A ．55厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米【答案】B 【解析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小，所以可以用弧长近似代替弦长，所以导线的长度为23020633ππ⨯=≈(厘米）．故选：B6．（2021·上海格致中学高三三模）半径为2，中心角为3π的扇形的面积等于（）A ．43πB ．πC ．23πD ．3π【答案】C 【解析】根据扇形的面积公式即可求解.【详解】解：因为扇形的半径2r =，中心角3πα=，所以扇形的面积2211222233S r ππα==⨯⨯=，故选：C.7．（2021·辽宁高三其他模拟）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2【答案】B 【解析】根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：扇环的面积为22211332400100222883r S r r παααπ⎛⎫=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选：B8．（2021·重庆八中高三其他模拟）如图所示，扇环ABCD 的两条弧长分别是4和10，两条直边AD 与BC 的长都是3，则此扇环的面积为（）A ．84B ．63C ．42D ．21【答案】D 【解析】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，依题意可得4αr =且()310αr +=，解得α、r ，进而可得结果.【详解】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，由题可得4αr =且()310αr +=，解得2α=，2r =，从而扇环面积()221252212S =⨯⨯-=.故选：D ．9．（2021·浙江高二期末）已知角α的终边过点(1,)P y，若sin 3α=，则y =___________．【答案】【解析】利用三角函数的定义可求y .【详解】由三角函数的定义可得sin 3α==，故y =故答案为：.10．（2021·山东日照市·高三月考）已知函数()3sin,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】12-【解析】利用分段函数直接进行求值即可．【详解】∵函数()3,06log ,0xsinx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，∴311log 133f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝，∴611(1)sin 32f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：12-.练提升1．（2021·河南洛阳市·高一期中（文））点P 为圆221x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周逆时针旋转至点P '，当转过的弧长为2π3时，点P '的坐标为（）A．1,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭B．1,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭C．,221⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭D．1,22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】先求出旋转角，就可以计算点的坐标了.【详解】设旋转角为θ，则22123θπππ⨯⨯=，得23πθ=，从而可得13(,)22P '-.故选：B.2．（2021·上海高二课时练习）若A 是三角形的最小内角，则A 的取值范围是（）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】由给定条件结合三角形三内角和定理即可作答.【详解】设B ，C 是三角形的另外两个内角，则必有,A B A C ≤≤，又A B C π++=,则3A A A A A B C π=++≤++=，即3A π≤，当且仅当3C B A π===，即A 是正三角形内角时取“=”，又0A >，于是有03A π<≤，所以A 的取值范围是(0,3π.故选：D3．（2021·北京清华附中高三其他模拟）已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解.【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++-=+--⇔2cos()sin()0αβαβ+-=，则sin()0αβ-=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ-=得,k k k Z αβπαβπ-=⇔=+∈，由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=-+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈¿，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件.故选：A4．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知一个半径为3的扇形的圆心角为()02θθπ<<，面积为98π，若()tan 3θϕ+=，则tan ϕ=（）A ．12-B ．34C ．12D ．43【答案】C 【解析】由扇形的面积公式得4πθ=,进而根据正切的和角公式解方程得1tan 2ϕ=.【详解】解:由扇形的面积公式212S r θ=得9928πθ=,解得4πθ=,所以()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--,解得1tan 2ϕ=故选:C5．（2021·新蔡县第一高级中学高一月考）一个圆心角为60 的扇形，它的弧长是4π，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于（）A ．2B ．4C ．2πD ．4π【答案】B 【解析】设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，求得3r x =，结合弧长公式，列出方程，即可求解.【详解】如图所示，设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，过点O 作OD CD ⊥，在直角CDO 中，可得2sin 30ODCO x ==，所以扇形的半径为23r x x x =+=，又由扇形的弧长公式，可得343x ππ⨯=，解得4x =，即扇形的内切圆的半径等于4.故选：B.6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））已知顶点在原点的锐角α，始边在x 轴的非负半轴，始终绕原点逆时针转过3π后交单位圆于1(,)3P y -，则sin α的值为（）A ．2236B ．2236+C ．2616D ．2616+【答案】B 【解析】根据任意角的三角函数的定义求出1cos()33πα+=-，然后凑角结合两角差的正弦公式求出sin α.【详解】由题意得1cos()33πα+=-(α为锐角)∵α为锐角，∴5336πππα<+<，∴sin(03πα+>22sin()sin sin()3333πππααα⎡⎤⇒+=⇒=+-⎢⎣⎦221132332326⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭故选：B7．（2020·安徽高三其他模拟（文））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点A (1，-3)，则tan(4πα+=（）A ．12B ．12-C ．1D ．-1【答案】B 【解析】根据终边上的点求出tan 3α=-，再结合正切和公式求解即可．【详解】由题知tan 3α=-，则tan tan3114tan(41321tan tan 4παπαπα+-++===-+-.故选：B8．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））已知顶点在原点，始边在x 轴非负半轴的锐角α绕原点逆时针转π3后，终边交单位圆于,3P x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin α的值为（）A．6-B．6C．6+D．6-【答案】C 【解析】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，由2113x +=，则63x =±，分x 的值结合三角函数的定义，求解即可，根据条件进行取舍.【详解】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，则3πβα=+，由α为锐角，根据题意角β终边交单位圆于3,3P x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则2113x +=，则63x =±若3x =，则sin ,cos 33ββ==所以332sin sin sin cos cos sin 03336πππαβββ-⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，与α为锐角不符合.若63x =-，则36sin ,cos 33ββ==-所以sin sin sin cos cos sin 03336πππαβββ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭,满足条件.故选：C9．（2021·安徽宣城市·高三二模（文））刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当π取3.1416时，可得sin 2︒的近似值为（）A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.03491【答案】D 【解析】由圆的垂径定理，求得2sin 2AB =︒，根据扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，列出方程，即可求解.【详解】将一个单位圆分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4︒由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长221sin 22sin 2AB AC ==⨯⨯︒=︒，因为这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，所以9021sin 2180sin 22π⨯⨯⨯︒=︒≈，所以22 3.1416sin 20.03491180180π⨯︒≈=≈．故选：D ．10．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示. QRT是一个以点O 为圆心､QT 长为直径的半圆，QT =. QST 的圆心为P ，2dm PQ PT ==. QRT与 QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为___________2dm .36π+【解析】连接PO ，可得PO QT ⊥，求出23QPT π∠=，利用割补法即可求出月牙的面积.【详解】解：连接PO ，可得PO QT ⊥，因为3sin 2QO QPO PQ ∠==，所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙的面积为2221121(3)(231)3dm 22326S πππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯=.36π.练真题1．（全国高考真题）已知角的终边经过点(−4,3)，则cos =（）A．45B．35C．−35D．−45【答案】D 【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以cos ==−45.故选D.2．（2020·全国高考真题（理））若α为第四象限角，则（）A．cos2α>0B．cos2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，所以34244,k k k Zππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<故选：D.方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误；当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.3.（2015·上海高考真题（文））已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，设OA 与x 轴所成的角为，显然，，故，故纵坐标为4．（2018·全国高考真题（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点1 ， ，2 ， ，且cos2=23，则−=A．15D．1【答案】B【解析】由s s 三点共线，从而得到=2，因为cos2=2cos 21=2⋅2−1=23，解得2=15，即=5所以−=−2=B.5.（2017·北京高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则()cos αβ-=___________.【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=），所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-.6．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___．【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【解析】根据,P Q 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解.【详解】 (cos ,sin )P θθ与cos ,sin 66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈，当0k =时，可取θ的一个值为512π.故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.。
高考数学复习知识点讲解教案第21讲 任意角和弧度制、三角函数的概念
2 + = 6,
= 1,
= 2,
由题得൝1 2
解得ቊ
或ቊ
所以扇形的圆心角的弧度数为1或4.
= 2,
= 4,
=1
2
7.若cos < 0且tan < 0,则 sin − cos
[解析]
∘
与−835
∘
B.245
∘
与−835
∘
C.−475
终边相同的角可表示为 =
当 = 1时， =
∘
−475
当 = 3时， =
∘
245
终边相同的角有(
；当 = 2时， =
；当 = 4时， =
∘
−835
∘
−115
∘
605
BCD
∘
D.−115
+
∘
360 ，
；
.故选BCD.
∈ ，
1.若角
的终边在直线 = −上，则角 构成的集合为(
A.{ ∣ = 2π −
C.{ ∣ = π −
π
,
4
3π
,
4
∈ }
∈ }
D
B.{ ∣ = 2π +
D.{ ∣ = π −
3π
,
4
π
,
4
[解析] 如图所示，由图知角 构成的集合为
{ ∣ = 2π +
∘
{|
=
+
⋅
360
,
∈
}
=_______________________________.
三角函数任意角和弧度制知识点
三角函数任意角和弧度制知识点第一章三角函数任意角和弧度制知识点任意角知识点一、任意角b终边总结：任意角构成要素为顶点、始边、终边、旋转方向、旋转量大小。
α知识点二、直角坐标系则中角的分类始边o1、象限角与轴线角aβ2、终边相同的角与角α终边相同的角β子集为__________________c终边轴线角的表示：终边落到x轴非负半轴角的子集为_____________；终边落到x轴非正半轴角的子集为_______；终边落到x轴角的子集为____________________。
终边落在y轴非负半轴角的集合为_____________；终边落在y轴非正半轴角的集合为_______；终边落在y轴角的集合为____________________。
终边落在坐标轴角的集合为__________________。
象限角的则表示第一象限的角的子集为_________________第二象限的角的子集为_____________。
第三象限的角的集合为_________________；第四象限的角的集合为____________。
例题1、推论以下各角分别就是第几象限角：670°，480°，-150°，45°，405°，120°，-240°，210°，570°，310°，-50°，-315°例题2、以下角中与330°角终边相同的角是（）a、30°b、-30°c、630°d-630°题型一、象限角的认定例1、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，指出他们是第几象限角，并指出在0°~360°范围内与其终边相同的角。
（1）420°（2）-75°（3）855°（4）1785°（5）-1785°（6）2021°（7）-2021°（8）1450°（9）361°（10）-361°例2、已知α是第二象限角，则180°-α是第_____象限角。
5.1 任意角和弧度制-教师版
1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式角α的弧度数公式 |α|＝lr(弧长用l 表示)角度与弧度的换算1°＝180πrad ；1 rad ＝180π° 弧长公式 弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2知识梳理例题解析例1写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．【答案】{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }；元素β见解析 【解析】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴1111363636k ≤< (k ∈Z )，故取k ＝4,5,6.k ＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°； k ＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°； k ＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.例2写出终边在直线3y x =上的角的集合. 【答案】{|=,}6k k Z πββπ+∈【解析】直线3y x =的倾斜角为6πα=，所以终边在直线y x =上的角为=2,6k k Z πβπ+∈或7=2,6k k Z πβπ+∈， =2(21),66k k k Z ππβπππ++=++∈，综合得终边在直线y x =上的角为=,6k k Z πβπ+∈，所以终边在直线3y x =上的角的集合为{|=,}6k k Z πββπ+∈.例3已知α为第二象限角，则2α是第几象限角？ 【答案】第一或第三象限角 【解析】∵α是第二象限角，∴+2+22k k k Z ππαππ<<∈，，∴++422k k k Z παπππ<<∈，.当k 为偶数时，2α是第一象限角；当k 为奇数时，2α是第三象限角． 所以2α第一或第三象限角. 点睛:确定2()*n n N nα≥∈，终边位置的方法步骤：(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)写出nα的范围；(3)根据k 的可能取值讨论确定nα的终边所在位置例4已知如图．（1）写出终边落在射线OA 、OB 上的角的集合； （2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【答案】（1）终边落在射线OA 上的角的集合为{}210360,k k Z αα=+⋅∈，终边落在射线OB 上的角的集合为{}300360,k k Z αα=+⋅∈；（2）{}210360300360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈. 【解析】（1）终边落在射线OA 上的角的集合是{}210360,k k Z αα=+⋅∈，终边落在射线OB 上的角的集合{}300360,k k Z αα=+⋅∈； （2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{}210360300360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈.例5已知扇形AOB 的圆心角α为23π，半径长R 为6，求： （1）弧AB 的长； （2）扇形所含弓形的面积.【答案】（1）4π；（2）12π－ 【解析】 （1）l ＝α·R ＝23π×6＝4π， 所以弧AB 的长为4π. （2）S 扇形OAB ＝12lR ＝12×4π×6＝12π. 如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于点D ，23π＝120°，所以∠AOD ＝60°，∠DAO ＝30°， 于是有S △OAB ＝12×AB ×OD＝12×2×6cos 30°×3＝.所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－所以弓形的面积是12π－例6已知一扇形的圆心角为(0)αα>，所在圆的半径为R .（1）若60α︒=，10R cm =，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?【答案】（1）103cm π，()2503cm π⎛- ⎝；（2）2rad α=.【解析】（1）设扇形的弧长为l ，弓形面积为S ，则603πα︒==，10R =，101033l cm ππ=⨯=，()221105*********S cm ππ⎛=⨯⨯-=- ⎝.（2）设扇形弧长为l ，则220l R +=，即10202101l R R π⎛⎫=-<<⎪+⎝⎭，∴扇形面积2211(202)10(5)2522S IR R R R R R ==-⋅=-+=--+， ∴当5R cm =时，S 有最大值225cm ，此时10l cm =，2rad lRα==. 因此当2rad α=时，这个扇形面积最大. 点睛:12,2C l R S lR =+=当周长C 为定值时可得面积()211222S C R R R CR =-=-+ 当面积S 为定值时可得周长22SC R R=+.1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( ) A ．120° B ．－120° C ．240° D ．－240°【答案】D【解析】按顺时针方向旋转形成的角是负角，排除A 、C ；又由题意知旋转的角度是240°，排除B.故选D.随堂检测2．给出下列四个结论：①－15°角是第四象限角；②185°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－350°角是第一象限角．其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】①－15°角是第四象限角；②因为180°<185°<270°，所以185°角是第三象限角；③因为475°＝360°＋115°，90°<115°<180°，所以475°角是第二象限角；④因为－350°＝－360°＋10°，所以－350°角是第一象限角．所以四个结论都是正确的．3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝()A．{－36°，54°}B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°}D．{－126°，54°}【答案】C【解析】令k＝－1,0,1,2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.4．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于原点对称【答案】A【解析】因为β＝315°＝360°－45°，所以315°角与－45°角的终边相同，所以α与β的终边关于x轴对称．5．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C ．y 轴的非负半轴上D ．y 轴的非正半轴上【答案】A【解析】∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ，∴α－β＝k ·360°，k ∈Z ，∴其终边在x 轴的非负半轴上． 6．(多选)已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】AC【解析】因为角2α的终边在x 轴的上方，所以k ·360°<2α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，则有k ·180°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z .故当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°<α<n ·360°＋90°，n ∈Z ，α为第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋180°<α<n ·360°＋270°，n ∈Z ，α为第三角限角．故选A 、C.7．若角α与角x ＋4π有相同的终边，角β与角x －4π有相同的终边，那么α与β间的关系为( ) A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )D ．α－β＝2π＋2k π(k ∈Z ) 【答案】D【解析】∵α＝x ＋4π＋2k 1π(k 1∈Z )，β＝x －4π＋2k 2π(k 2∈Z )，∴α－β＝2π＋2(k 1－k 2)π(k 1∈Z ，k 2∈Z )．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z .∴α－β＝2π＋2k π(k ∈Z )． 8.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N 转动(如图所示)，设主动轮M 的直径为150 mm ，从动轮N 的直径为300 mm ，若主动轮M 顺时针旋转2π，则从动轮N 逆时针旋转( )A.8π B ．4π C.2π D ．π【答案】B【解析】设从动轮N 逆时针旋转θ rad ，由题意，知主动轮M 与从动轮N 转动的弧长相等，所以θπ⨯=⨯230022150，解得θ＝4π，选B. 9．若α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________. 【答案】270°【解析】∵5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ，∴α＝k ·90°，k ∈Z . 又∵180°<α<360°，∴α＝270°.10.集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z }中角表示的范围(用阴影表示)是图中的________(填序号)．【答案】②【解析】集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z }中，当k 为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限；当k 为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限．所以集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z }中角表示的范围为图②所示．11．一条铁路在转弯处呈圆弧形，圆弧的半径为2km ，一列火车以30km /h 的速度通过，10s 间转过_______弧度．【答案】124【解析】10s间列车转过的弧长为10130(km)360012⨯=，转过的角1112224α==（弧度）．故答案为：1 2412.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为______；若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对_____.【答案】【解析】设圆半径为r，这段弧所对圆心角的弧度数为θ，则圆外切正三角形的边长为r，∴||rθ==；，周长为，即圆弧长为，∴||rθ==13．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．【解析】由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.14.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P 在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A ，求θ，并判断θ所在的象限．【解析】根据题意知，14秒钟后，点P 在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k ·360°＝14θ＋45°，k ∈Z .又180°<2θ＋45°<270°， 即67.5°<θ<112.5°，∴67.5°<71800⋅k <112.5°.又k ∈Z ，∴k ＝3或4，∴所求的θ的值为75400或77200.∵0°<75400<90°，90°<77200<180°，∴θ在第一象限或第二象限．15.已知扇形AOB 的圆心角α为23π，半径长R 为6，求： （1）弧AB 的长； （2）扇形所含弓形的面积.【解析】（1）l ＝α·R ＝23π×6＝4π， 所以弧AB 的长为4π. （2）S 扇形OAB ＝12lR ＝12×4π×6＝12π. 如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于点D ，23π＝120°，所以∠AOD ＝60°，∠DAO ＝30°， 于是有S △OAB ＝12×AB ×OD＝12×2×6cos 30°×3＝.所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－所以弓形的面积是12π－16，宽为1dm 的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为6π，求点A 走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．【解析】如图:在扇形1ABA 中，圆心角为2π，弧长()1dm 22l AB πππ=⨯==，面积()21112dm 22S AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=． 在扇形12A CA 中，圆心角为2π， 弧长()211dm 222l AC πππ=⨯=⨯=，面积()221111dm 2244S AC πππ=⨯⨯=⨯⨯=， 在扇形23A DA 中，圆心角为263ππππ--=，弧长()3233dm 333l A D πππ=⨯=⨯=， 面积()232131323dm 2332S A D πππ=⨯⨯=⨯⨯=． 综上，点A 走过的路程()()1239233dm 236l l l l ππππ+=++=++=， 点A 走过的弧所在扇形的总面积()21237dm 424ππππ=++=++=S S S S一、单选题1．300-化为弧度是（ ）课后练习A ．43π-B ．53π-C ．23π-D ．56π-【答案】B 【解析】300530023603ππ-=-⨯=-2．下列各角中，与2019°终边相同的角为（ ） A ．41° B ．129°C ．219°D ．﹣231°【答案】C 【解析】因为20195360219=⨯+，所以219与2019°终边相同. 故选：C.3．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】B 【解析】∵α是第四象限角，∴k ·360°－90°<α<k ·360°.∴k ·360°＋90°<180°＋α<k ·360°＋180°. ∴180°＋α在第二象限， 故选B.4．一个扇形的圆心角为150°，面积为53π，则该扇形半径为（ ）A ．4B ．1C D ．2【答案】D 【解析】圆心角为51506πα==，设扇形的半径为R ， 2215152326S R R ππα=⋅⇒=⨯，解得2R =. 故选：D5．在0360~︒︒的范围内，与510︒-终边相同的角是（ ）A ．330︒B ．210︒C ．150︒D ．30︒【答案】B 【解析】因为510720210︒-=-+,则在0360~︒︒的范围内，与510︒-终边相同的角是210︒, 故选：B.6．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的面积为（ ）． A ．8cm 2 B ．10cm 2C ．12cm 2D ．14cm 2【答案】A 【解析】设扇形的半径为r cm ，∵扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ， ∴2412r r +=，得2r，∴此扇形的面积214282S =⨯⨯=（cm 2），故选：A ．7．已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A ∩B ＝( ) A ．{α|α为锐角} B ．{α|α小于90°} C ．{α|α为第一象限角} D ．以上都不对【答案】D【解析】∵A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}， ∴A ∩B ＝{小于90°且在第一象限的角}，对于A ：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；对于B ：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°； 对于C ：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°， 故选D ．8．已知半径为1的扇形面积为38π，则扇形的圆心角为（ ） A ．316π B ．38π C ．34π D ．32π 【答案】C【解析】由212S r α=得231182πα=⨯⨯，所以34πα=， 故选：C.9.已知某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积为（ ） A ．232cm B ．216cmC ．28cmD ．24cm【答案】B【解析】由题意，某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ， 根据扇形的面积公式，可得22211241622S r cm α==⨯⨯= 所以此扇形的面积为216cm . 故选：B.10．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（ ） （1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长； （3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB 的长； （4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等； （5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12， （1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误； （2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确； （3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为1326ππ⨯⨯=，圆的周长为122ππ⨯=，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为2166ππ⨯=，正三角形的面积1112S =⨯⨯=，则一个弓形面积6S π=则整个区域的面积为3(62ππ+= 而圆的面积为2124ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，不相等，故错误； 综上，正确的有2个， 故选：B. 二、多选题11.下列四个选项正确的有（ ） A ．75-︒角是第四象限角 B ．225︒角是第三象限角 C ．475︒角是第二象限角 D ．315-︒是第一象限角【答案】ABCD对于A 如图1所示，75-︒角是第四象限角； 对于B 如图2所示，225︒角是第三象限角；对于C 如图3所示，475︒角是第二象限角； 对于D 如图4所示，315-︒角是第一象限角. 故选：ABCD .12．下列与412︒角的终边相同的角是（ ） A ．52︒ B ．778︒C ．308-︒D ．1132︒【答案】ACD 【解析】因为41236052=︒︒+︒，所以与412︒角的终边相同角为36052,k k Z β=⨯︒+︒∈，当1k =-时，308β=-︒，当0k =时，52β=︒，当2k =时，772β=︒，当3k =时，1132β=︒，当4k =时，1492β=︒， 综上，选项A 、C 、D 正确. 故选：ACD.13．下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（ ）A ．90αβ+=B ．180αβ+=C ．()36090k k Z αβ︒︒+=⋅+∈D ．()360k k Z αβ︒+=⋅∈E.()()21180k k Z αβ+=+⋅∈ 【答案】BE【解析】假设α、β为0180内的角，如图所示，因为α、β的终边关于y 轴对称，所以180αβ︒+=，所以B 满足条件； 结合终边相同的角的概念，可得()()36018021180Z k k k αβ+=⋅+=+⋅∈，所以E 满足条件，ACD 都不满足条件． 故选：BE.14．设α是第三象限角，则2α所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】BD【解析】α是第三象限角，360180360270k k α∴⋅︒+︒<<⋅︒+︒，k Z ∈， 则180901801352k k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，k Z ∈，令2k n =，n Z ∈ 有360903601352n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，n Z ∈；在二象限；21k n =+，n z ∈， 有3602703603152n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，n Z ∈；在四象限；故选：B D ．三、填空题15．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么α∈________.【答案】{}|180********,n n n αα⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z .【解析】在0360范围内，终边落在阴影内的角α满足：30150α<<或210330α<<∴满足题意的角α为：{}{}30360150360210360330360k k k k αααα+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅ {}{}302180150218021021803302180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅ {}()(){}3021801502180302118015021180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃++⋅<<++⋅{}30180150180n n αα=+⋅<<+⋅，k Z ∈，n Z ∈本题正确结果：{}30180150180,n n n Z αα+⋅<<+⋅∈16．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为 ．【答案】4【解析】设扇形半径为r ，弧长为l ，则142{2lr l r ==，解得4{2l r ==．17．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度【答案】12【解析】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α，因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得21121r r αα⎧⋅=⎪⎨⎪=⎩，即221r r αα⎧⋅=⎨=⎩，解得12,2r α==.故答案为：1218.24︒=_________弧度；49π弧度=________. 【答案】215π 80° 【解析】 根据角度制与弧度制的互化公式1801,1180rad ππ==，可得2180241245ππ︒==⨯，441808099π=⨯=. 故答案为：215π，80. 19．（1）给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角或直角或锐角.其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.【答案】② 120-︒【解析】（1）①锐角的范围为()0,90︒︒是第一象限的角，命题①正确；②第一象限角的范围为()()360,90360k k k Z ⋅︒︒+⋅︒∈，故第一象限角可以为负角，故②错误；③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误；（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过120︒，即转过的度数为120-︒故答案为：120-︒20.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是__________，弧田的面积是__________．【答案】 12π﹣【解析】∵如图，弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，过O 作OC AB ⊥，交AB 于D ，根据圆的几何性质可知，OC 垂直平分AB .∴α＝∠AOB ＝46π＝23π，可得∠AOD ＝3π，OA ＝6，∴AB ＝2AD ＝2OA sin3π＝2×6∴弧田的面积S ＝S 扇形OAB ﹣S △OAB ＝12⨯4π×6﹣132⨯＝12π﹣故答案为：12π﹣21．已知扇形的周长为40，当它的圆心角为____时，扇形的面积最大，最大面积为____.【答案】2 100【解析】设扇形半径为r ，则其弧长为402r -，4020,20r r -><，∴020r <<． ∴221(402)20(10)1002S r r r r r =-=-+=--+， ∴10r =时，max 100S =．此时圆心角为40210210-⨯=． 故答案为：2；100．。
(完整版)任意角和弧度制知识点和练习
知识点一：任意角的表示⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角知识点二：象限角的范围2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o知识点三：终边角的范围3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z o4、已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域．知识点四：弧度制的转换5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo ． 知识点五：扇形8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．例题分析【例1】如果α角是第二象限的角，那么2α角是第几象限的角？说说你的理由。
教师版任意角与弧度制
一、任意角 1、角的推广角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
①、按逆时针方向旋 转所形成的角叫正角 ②、顺时针方向旋转所形成的角叫负角， ③、当一条射线没有作任何旋转时，称为零角 2、象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角 象限角的注意①主要是固定好始边看终边 ②坐标轴上的角不叫象限角第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3、终边相同的角的表示S={β|β=α+k ×3600，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 任意两个角α，β同终边的条件是：πβαk 2=-（或︒⨯360k ）Z k ∈4、角与二倍角、半角的象限关系。
5、 已知α是第二象限的角，判断3α所在的象限.探索：若α分别在第一、二、三、四象限，,,2,323αααα分别在第几象限？ 经典考点一、任意角的概念问题1．设集合{|90E x x =是小于的角｝，{|F x x =是锐角｝，={|G x x 是第一象限的角｝， {|M x x ＝是小于90，但不小于0的角｝，则下列关系成立的是（ ）．A ．B ．C ．(E G ) D ．G M F =2、已知集合=A {第一象限的角}，=B {锐角}，=C {小于90o的角}，下列四个命题： ①C B A == ② C A ⊂ ③A C ⊂ ④B C A =⊂正确的命题个数是 （ ） A ．1个 B.2个. C.3个. D.4个.3、下列命题是真命题的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360|αα={}Z k k ∈+⋅=,90180|αα经典考点二、终边相同的角以及象限角1、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．3.与610°角终边相同的角表示为 A. k ·360°+230°(k ∈Z ) B. k ·360°+250°(k ∈Z ) C. k ·360°+70°(k ∈Z ) D. k ·360°+270°(k ∈Z )4．将885- 化为360(0360,)k k Z αα+⋅≤<∈的形式是（ ）． A ．165(2)360-+-⨯B ． 195(3)360+-⨯C ．195(2)360+-⨯D ．165(3)360+-⨯5.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( ) (A){α|α=k ·360°，k ∈Z}(B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z}(C){α|α=k ·180°，k ∈Z}(D){α|α=k ·90°，k ∈Z}6．若{|360,}A k k Z αα==⋅∈ ；{|180,}B k k Z αα==⋅∈ ；{|90,}C k k Z αα==⋅∈，则下列关系中正确的是（ ）． A ．A B C == B ．A B C =⊆C ．A B C ⊆=D ．A BC 刎7．已知集合{|6030,}M x x k k Z ==⋅+∈，{|3060,}N y y n n Z ==⋅+∈， 若M N α∈ ，且9090α-<< ，则由角α组成的集合为__________． 8、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360|,{}Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360| ,求B A ,B A .9．已知{|(1),}4kk k Z πθααπ∈=+-⋅∈，判断角θ所在象限．10.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z） ( ) (A) α+β=π （B) α-β=2π(C) α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π 经典考点三、分角象限的确实1.若α是第四象限角，则180°－α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角2.若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ）Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 3.角α＝45°＋ｋ·90°的终边在第 象限.4.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 （ ） (A) 90°-α(B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α5．下列说法中正确的是（ ）．A ．终边在y 轴非负半轴上的角是直角B ．第二象限角一定是钝角C ．第四象限角一定是负角D ．若360()k k Z βα=+⋅∈，则α与β终边相同6、.试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.经典考点四、区域角的表示 1．若集合|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤， 则集合B A 为（ ）．A ．[1,0][,1]3π- B ．[,2]3π C ．[2,0][,2]3π- D ．[2,][,2]43ππ- 2、写出(0)y x x =±≥所夹区域内的角的集合。
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9.一扇形半径长与弧长之比是3：，则该扇形所含弓形面积与该扇形的
面积之比为（ ）
（A）（B）（C） (D)
针对练习
1．下列角中终边与330°相同的角是（ ）
Α.30° B.-30° C.630° D.-630°
2．下列命题正确的是（ ）
A.终边相同的角一定相等 B.第一象限的角都是锐角。 C.锐角都是第一象
12．已知是第二象限角，且则的范围是
.
三、解答题
13. 在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象
限角？
（1）
（2）
（3）
14．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（用弧度制表示）
（1）
（2）
（3）
于的角是锐角。
其中正确的命题序号是
。
例2：写出终边在直线上的角的集合；
练习：写出终边在直线上的角的集合。 例3： 求两个集合的交集 已知集合，， 练习：1、集合，，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、 2、集合，，则等于（ ） （A） （B） （C） （D） 3、，求 例4：判断下列角的集合的关系： 已知集合集合,则（ ）
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．第一象限的角是锐角
C．第二象限的角比第一象限的角大 D．角α是第四象限角的充要条件 是2kπ－
＜α＜2kπ(k∈Z) 14．设k∈Z，下列终边相同的角是 （ ）
A．（2k+1）·180°与（4k±1）·180° B．k·90°与k·180°+90° C．k·180°+30°与k·360°±30° D．k·180°+60°与k·60° 15．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边 （ ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．以上 都不对 16．设集合M={α|α=
2、－1120°角所在象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是 （ ）
A．45°－4×360° B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°
－5×360°
4、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ）
A、 B、 C、 D、 练习：1、，B=
则集合A、B的关系是（ ） （A） （B） （C） （D） 2、设集合
，则M与N的关系是（ ） A.
B.
C.
D.
例5：若是第二象限角，则是第几象限角？是第几象限角？是第几象限 角？
方法归纳：已知角所在象限，求所在象限方法； 方法1、代数法： 方法2、几何法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依 次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终 边所落在的区域． 练习：1、
例１把下列各角的度数化为弧度数： 1 ⑵ ⑶ ⑷
注意： 例２ 把下列各角的弧度数化为度数：
1 ⑵ ⑶ ⑷
需要注意的几点： 1、注意两种角度制不能混合用，如写成 2、今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“”通常略去不写， 而只写这个角所对应的弧度数．例如，角＝１表示是１的角， 3、由2可知：
A.关于坐标原点对称 B.关于x轴对称 C.关于直线y=x对称 D.关 于y轴对称 12.设α、β满足-180°＜α＜β＜180°，则α-β的范围是( )
A.-360°＜α-β＜0° B.-180°＜α-β＜180° C.-180°＜α-β＜0°
D.-360°＜α-β＜360° 13．下列命题中的真命题 （ ）
A．｛α∣90°<α<180°｝
B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°
＋k·180°，k∈Z｝
C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝ D．｛α∣－
270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝
5、下列命题是真命题的是（ ）
Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B．第一象限的角必是锐角
第一讲、任意角
知识点一、任意角的表示（角的概念的推广）
任意角的定义：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方
向：顺时针方向和逆时针方向。
习惯上规定，按照
旋转而成的角叫做正角；按照 旋转而成
的角叫做负角；
当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。
知识点二、终边相同的角
终边相同的角的定义：设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身
C．不相等的角终边一定不同
D.
=
6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、 C关系是（ ）
A．B=A∩C B．B∪C=C C．A
C
D．A=B=C
7.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是(
)
A.①
B.①②
C.①②③ D.①②③④
例3：与角终边相同的角可表示为（ ）
A、 B、 C、 D、
练习：1、与角终边相同的角（ ）
A、 B、 C、 D、
2、将下列各角化成的形式，并确定其所在象限
（1）
（2）
3、已知；（1），并指出在第几象限 （2）求，使与终边相同，且
知识点三、象限角和轴线角 象限角定义：角顶点与原点重合，角的始边与轴非负半轴重合，终边落 在第几象限，则称为第几象限角． 第一象限角的集合为：
2、若是第二象限角，那么和都不是（ ） A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四
象限角 知识点四、区间角
1、 如图（1）所示，写出终边落在阴影部分(含边界)的角的集 合：
（图2） （图1）
2、如图（2）所示，写出终边落在阴影部分的角的集合：
知识点五、角的终边对称问题 ①若角与角的终边关于轴对称，则； ②若角与角的终边关于轴对称，则； ③若角与角的终边关于原点对称，则； ④若角与角的相互垂直，则。
构成一个集合，这个集合可记为。集合的每一个元素都与的终边相等，
当时，对应元素为。
注意：
1、相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等；终边相同的
角有无数个，它们相差的整数倍。
2、角的集合表示形式是不唯一的。
例1：写出所有与终边相同的角的集合，并在范围内，找出与角终边相
同的角。
例2：①写出与终边相同的角的集合；②把写成的形式。
练习：1、把 和弧度化为角度； 2、把
3、用弧度制表示：（1）与终边相同的角； （2）第四象限的角 的集合. 课堂练习：
1、下列各对角中终边相同的角是( ) A.（ｋ∈Ｚ） B.－和π C.－和 D. 2、若α＝－3，则角α的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3、若α是第四象限角，则π－α一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4、(用弧度制表示)第一象限角的集合为
，
第一或第三象限角的集合为
.
5、7弧度的角在第
象限，与7弧度角终边相同的最小正角为
.
题型2、弧度制下扇形的弧长、面积相关问题 例1：已知扇形的圆心角为，半径等于10cm，求扇形的面积。
例2：扇形周长为6 cm，面积为2 cm2，求其中心角α及弦AB的长；
练习：如图,一条弦AB的长等于它所在的圆的半径R,求弦AB和劣弧AB所 组成的弓形的面积.
为单位来度量角的制度叫做弧度制。
在半径为的圆中，弧长为的弧长所对圆心角为rad，则。这个公式有广 泛的应用。
2、角度与弧度之间的互化 （1）将角度化为弧度 rad rad rad （2）将弧度化为角度
（3）需记住的几个特殊角的弧度数 度 弧度 度 弧度
要注意弧度制与角度制不能混用
注意： 3、弧长公式和扇形面积公式 在角度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为：；。 在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为： 二、知识应用 题型1、角度制与弧度制的互化
8.若α是第一象限的角，则
是( ) A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角 9.下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定 相同 D.终边相同的角一定相等 10.集合A={α｜α=k·90°,k∈N+}中各角的终边都在( ) A.x轴的正半轴上 B.y轴的正半轴上 C.x轴或y轴上 D.x轴的正半轴 或y轴的正半轴上 11.α是一个任意角，则α与-α的终边是( )
第二象限角的集合为：
第三象限角的集合为：
第四象限角的集合为：
终边落在x轴正半轴上角的集合：
终边落在x轴负半轴上角的集合：
终边在轴上的角的集合为：
终边落在y轴正半轴上角的集合：
终边落在y轴负半轴上角的集合：
终边在轴上的角的集合为：
终边落在坐标轴上角的集合：
注意：终边落在同一条直线上的角相差的整数倍，终边落在同一条射
rad化为角度是
．
5.已知扇形的周长为
,其半径为
,则该扇形的圆心角的弧度数为
.
6.一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（ ）
（A）1（B）（C） (D)
7.已知一扇形的圆心角为，半径为20cm，扇形面积为_____
8.半径为4cm的扇形，若它的周长等于弧所在半圆周的长，则扇形面积
为______
弧度角大
C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是
正角
二、填空题 9．若三角形的三个内角的比等于，则各内角的弧度数分别 为 ． 10．将时钟拨快了10分钟，则时针转了 度，分针转 了 弧度． 11．若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为 ______________________．