第二章 2.1.5 平面上两点间的距离

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法二：∵kAB＝35－－11＝12，kAC＝30－－11＝－2， ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC. 又 AB ＝ 1－52＋1－32 ＝ 20 ＝ 2 5 ， AC ＝
1－0＋1－32＝ 5， ∴AB≠AC，∴△ABC 为直角三角形.
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已知A(1，－4)、B(3,2)，又P点在线段AB上， 且2AP＝PB，求P点坐标．
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1．平面内两点间的距离公式
平面上两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是 P1P2＝ x2－x12＋y2－y12..
2．线段的中点坐标公式
设平面上的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 的中
点是 M(x0，y0)，则
x0＝x1＋2 x2， y0＝y1＋2 y2.
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[一点通] 解析法证明几何问题的步骤
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6．已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明对角 线AC＝BD.
证明：如图以等腰梯形 ABCD 的下底 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 的中点 N 为坐标原点建立平面直角坐标系，设梯
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形下底 AB＝2a，上底 CD＝2b，高为 h，则 A(－a,0)， B(a,0)，C(b，h)，D(－b，h)，由两点间的距离公式 AC ＝ －a－b2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， BD＝ [a－－b]2＋0－h2＝ a＋b2＋h2 ∴AC＝BD.
解析：由中点坐标公式得 AC 的中点 D(1,1)， 再由两点间距离公式得 BD＝ 1－32＋1－22＝ 5. 答案： 5
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5．(2012·镇江模拟)点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称 点Q的坐标是________．
解析：设点 P 关于直线 x＋y－2＝0 的对称点坐标是 Q(a，b)，
2．中点坐标公式的应用反映了“知二求一”的思想，即 已知线段 AB 的端点及中点 P 的三个坐标中的两个便可求第 三个．
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已知点 A(－1,2)，B(2， 7)，在 x 轴上求一 点 P，使 PA＝PB，并求 PA 的值．
[思路点拨] 设出P点坐标，利用两点间距离公 式建立方程求解．
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[精解详析] 由题意，设点 P 坐标为(x,0)， 则 PA＝ x＋12＋0－22＝ x2＋2x＋5. PB＝ x－22＋0－ 72＝ x2－4x＋11， 由 PA＝PB，得 x2＋2x＋5＝x2－4x＋11， 解得 x＝1. 所以点 P 的坐标为(1,0)．且 PA＝ 12＋2×1＋5＝2 2. [一点通] 解答此类问题的关键是借助两点间的 距离公式建立参数的方程，利用方程的思想求得参数 值，在解答过程中体现了几何问题代数化的思想．
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②
联立①②组成方程组解得 x0＝53，y0＝－2，故点 P 的坐标
为(53，－2)．
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[一点通] 中点坐标公式是一个重要的公式，本题求解 过程中两次用到了它，对能力要求较高，因此在平时的学 习中应有意识地进行这种训练，以便在考试中能得心应手， 游刃有余．
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3．直线l过点P(－2,3)，且与x轴、y轴分别相交于A，B 两点，若点P恰好为A，B的中点，则直线l的方程 为________．
第
二
2.1.5
章
2.1
平
平直 面线 解与
面 上 两 点
析方
间
几程 何 初 步
的 距 离
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
入门答辩 新知自解
考点一 考点二 考点三
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如图所示，在数轴上已知A、B. 问题1：如何求A、B间的距离？ 提示：AB＝|xA－xB|. 问题2：能否在平面直角坐标系中求出任意两点间的 距离？ 提示：能．
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解析：由题意可设 A(x,0)，B(0，y)，由中点坐标公式可
得x0＋＋22 0y＝＝3－，2，
解得xy＝＝6－. 4，
∴A(－4,0)，B(0,6)， 由直线的截距式方程得 l 方程为－x4＋6y＝1， 即 3x－2y＋12＝0.
答案：3x－2y＋12＝0.
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4．若△ABC三个顶点坐标A(－2,2)，B(3,2)，C(4,0)，则 AC边的中线BD长为________．
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1．到点 A(4,0)、B(0,4)距离相等且到原点的距离为 10的点 P
的坐标是________． 解析：设 P(x，y)，则 PA＝PB，且 OP＝ 10，
∴
x－42＋y－02＝ x2＋y2＝ 10，
x－02＋y－42，
解得yx＝＝
5， 5，
或xy＝＝－－
5， 5.
即所求点 P 的坐标是( 5， 5)或(－ 5，－ 5)． 答案：( 5， 5)或(－ 5，－ 5)
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1．两点间的距离公式是一个重要的公式，要熟练 掌握，牢记公式的结构形式．
2．中点坐标公式主要是求平面上两点的中点的坐 标，求点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关 于直线的对称直线问题等，其实质就是中点问题和垂 直问题的结合．
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3．解析法是建立平面几何和代数运算关系的桥梁， 是它们之间相互转化的纽带．平面几何中求线段的长度、 判断点的位置、证明线段成比例等问题，都可以通过解析 法转化为代数问题求解．
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[思路点拨] 解答本题可以直角三角形ABC的直角顶点 C为原点建系，设出相应点的坐标，利用两点间的距离公式 写出线段的长，进而得出结论．
[精解详析] (1)如图，以等腰直 角三角形的直角顶点 C 为坐标原点 O，以 OA 为单位长，直线 OA、OB 分别为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(1,0)，B(0,1)，M(12，12)．
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2．已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三 角形．
证明：法一：∵A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)， ∴AB＝ 1－52＋1－32＝ 20， AC＝ 1－02＋1－32＝ 5， BC＝ 5－02＋3－32＝ 25. ∵AB2＋AC2＝BC2，且 A，B，C 不共线， ∴△ABC 为以 A 为直角顶点的直角三角形．
[思路点拨] 将三等分点转化为中点，为此可构造 PB的中点P1，进而利用中点坐标解决问题．
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[精解详析] 设 P1(x1，y1)平分线段 PB，P(x0，y0)为线段
AP1 的中点，于是xy00＝＝－1＋242＋x1，y1.
①
又由 P1 为线段 PB 的中点，得xy11＝＝23＋＋22yx00.，
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1．对平面上两点间距离公式的理解 (1)平面上两点间距离公式是数轴上两点间距离公 式的推广，坐标轴上两点间的距离公式是平面上两点间 距离公式的特殊情形． 当直线P1P2平行于x轴时，P1P2＝|xA－xB|； 当直线P1P2平行于y轴时，P1P2＝|yA－yB|.
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(2)此公式与两点的先后顺序无关，仅与点的位置有关， 公式可以写成 P1P2＝ x1－x22＋y1－y22.
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设 P(x0，y0)，则有 x0＋y0＝1. ∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴E(x0,0)，F(0，y0)， ME＝ x0－122＋14，MF＝ ∵x0－12＝12－y0， ∴ME＝MF.
14＋12－y02.
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(2)∵ME2＋MF2 ＝(x0－12)2＋14＋14＋(12－y0)2＝x20＋y20， EF2＝x20＋y20， ∴ME2＋MF2＝EF2，△MEF 是直角三角形， 因此∠EMF＝90°，ME⊥MF.
则aba－ － ＋2 343＋ ＝b1＋ .2 4－2＝0，
解得 a＝－2，b＝5.
所以点 Q 坐标是(－2,5)． 答案：(－2,5)
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设点M是等腰直角三角形ABC的斜边BA的中点， P是直线BA上任意一点，PE垂直于AC，E为垂足，PF垂直 于BC，F为垂足，求证：
(1)ME＝MF； (2)ME⊥MF.