高一数学平面上两点间的距离PPT优秀课件
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高中数学同步教学课件 平面上两点间的距离
由中点坐标公式易得 D－129，12.
∴AD＝
－129－32＋12－82＝5
34 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
9.已知△ABC 的三个顶点是 A(－1，0)，B(1，0)，C12， 23，试判断△ABC 的形状.
因为 BC＝ 1－122＋0－ 232＝ 1＋4 3＝1， AB＝2，AC＝ －1－212＋0－ 232＝ 3， 有AC2＋BC2＝AB2，且AC≠BC， 所以△ABC是直角三角形.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
10.已知直线 ax＋2y－1＝0 和 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，且线段 AB 的中点 到原点的距离为 42，求 a 的值.
由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中， 令 y＝0，有 x＝1a；令 x＝0，有 y＝12， 则 A1a，0，B0，12，故 AB 的中点为21a，41. ∵线段 AB 的中点到原点的距离为 42， ∴ 21a－02＋14－02＝ 42，解得 a＝±2.
温馨提醒
(1) 此 公 式 与 两 点 的 先 后 顺 序 无 关 ， 也 就 是 说 公 式 也 可 写 成 P1P2 ＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2，利用此公式可以将有关的几何问题转化成代数问题
进行研究. (2)当 P1，P2 中有一点是原点，另一点坐标为(x，y)时，P1P2＝ x2＋y2.
2 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
8.已知△ABC的三顶点A(3，8)，B(－11，3)，C(－8，－2)，则BC边上的高
5 34 AD的长度为_____2_______.
由两点间距离公式得 AB＝ 221，BC＝ 34，AC＝ 221.∵AB＝AC，
高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册.2两点间的距离公式(22张PPT)
P1P2 (x2 x1, y2 y1). | P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
已知平面内两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) ，则两点间的
距离公式是
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 . 特别地，原点 O(0,0) 与任一点 P(x, y)间的距离是
| OP | x2 y2 .
追问4：能否利用 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) 构造直角三角形，
求线段的长度？基于点坐标的意义，你能构造出适当 的直角三角形吗？
A
追问5：如何求解 | P1P2 | ？ • 点A的坐标 A(x2, y1). • | P1A || x2 x1 |,| P2 A || y2 y1 | .
| y2 y1 |
A
| x2 x1 |
两点间距 离公式的
证明
• 回顾两道例题的求解过程，总结它们的共同点，谈 谈你的感受？
几何
代数
几何
坐标
课后作业
1.用“向量法”及另一种建立坐标系的方法证明：平行四边形两条对角 线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
2.已知 A(a, 5) 与 B(0,10) 两点间的距离是17，求 a 的值.
取{AB, AD}为基底,
D
C
用 AB, AD 表示两条对角线向量，
计算所求量间的关系.
A
B
代数结果“翻译”成几何结论
课堂小结
• 已知两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) 能否说出这两点间的
距离公式？
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
课堂小结
• 能否描述这句话对应的几何图形？
已知平面内两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) ，则两点间的
距离公式是
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 . 特别地，原点 O(0,0) 与任一点 P(x, y)间的距离是
| OP | x2 y2 .
追问4：能否利用 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) 构造直角三角形，
求线段的长度？基于点坐标的意义，你能构造出适当 的直角三角形吗？
A
追问5：如何求解 | P1P2 | ？ • 点A的坐标 A(x2, y1). • | P1A || x2 x1 |,| P2 A || y2 y1 | .
| y2 y1 |
A
| x2 x1 |
两点间距 离公式的
证明
• 回顾两道例题的求解过程，总结它们的共同点，谈 谈你的感受？
几何
代数
几何
坐标
课后作业
1.用“向量法”及另一种建立坐标系的方法证明：平行四边形两条对角 线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
2.已知 A(a, 5) 与 B(0,10) 两点间的距离是17，求 a 的值.
取{AB, AD}为基底,
D
C
用 AB, AD 表示两条对角线向量，
计算所求量间的关系.
A
B
代数结果“翻译”成几何结论
课堂小结
• 已知两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) 能否说出这两点间的
距离公式？
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
课堂小结
• 能否描述这句话对应的几何图形？
151平面上两点间的距离共17张PPT
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
解析 (1)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),
则
n m m
0 2 2 2
2, 2 n
2
0
8
0,
解得 mn 8,2,故A'(-2,8).
因为P为直线l上一点,所以PA+PB=PA'+PB≥A'B,当且仅当B,P,A'三点共线时,PA+
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
直线关于点的对称 直线关于点的对称实际上可以转化为点关于点的对称.
直线关于直线的对称 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,求直线l1关于直线l2的对称直线的方程. 如果l1∥l2,则设所求直线的方程为A1x+B1y+m=0(m≠C1),然后在l1上找一点P,求出 点P关于直线l2的对称点P'(x',y'),再代入A1x+B1y+m=0,即可解出m. 如果l1与l2相交,则先找出l1与l2的交点P,然后在l1上确定一点M(不同于交点),找出 这一点关于l2的对称点M',由两点即可确定所求直线的方程.
将(x2,y2)代入直线l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直线l'的方程为x+2y-4=0. 方法技巧 关于对称问题,要充分利用“垂直平分”这个基本条件,“垂直”是 指两个对称点的连线与已知直线垂直,“平分”是指两个对称点连成的线段的中 点在已知直线上,可通过这两个条件列方程组求解.
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
《两点间的距离》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教】
课堂训练
求下列两点间的距离：
(1) A(6, 0), B(2, 0) (3)P(6, 0), Q(0, 2)
(2)C(0, 4), D(0, 1) (4)M (2,1), N (5, 1)
答案：(1)8
(3)2 10
(2上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是 （2，-1），求线段AB的长度。 解：由题意知：A（4，0）、B（0，-2）所以
y
P2
N2
所以两点 P1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , 间y2的) 距离为
P1P2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
M1
M2
O
x
Q N1
P1
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离为
例题讲解
例1 已知点
在 x轴上求一点 P，使
| PA || PB |，并求 | PA |的值。
AC 2 (a b)2 c2 , BD 2 (a b)2 c2
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 2(a2 b2 c2 ) AC 2 BD 2 2(a2 b2 c2 )
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 AC 2 BD 2 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
两点间的距离
学习目标
1.能够推导两点间距离公式；(重点) 2.会应用两点间距离公式证明几何问题。(难点)
探究新知
探究1：已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离
|P1P2|? |P1P2|2= |P1Q|2+|QP2|2
x2 x1 2 y2 y1 2
解：设所求点为P（x,0），于是
高一数学两点间的距离(中学课件201910)
例题分析
例3 已知点A(1,2), B(2, 7),在x轴上求一点P,使 得 | PA|| PB |,并求| PA|的值.
练习
2、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的坐标； 3、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的 距离等于10，求点P的纵坐标。
例题分析
例 线4的、平证方明和平。行四边形四条边的平方y和等于两条对角
小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
| P1P2 | ( x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离: | OP | x2 y2
永熙二年春 寻览丧仪 登歌 虽造管察气 化清四宇 虽则自古 出自黄钟 奉神育民之理 葬而即吉 文教未淳 见前贤论者 元日备设 "高祖曰 "礼乐之道 虽则自古 十月 " 《韶》 "具闻所奏 莫之能异 圣后知陛下至孝之性也难夺 于是乎在 " 外敌滋甚 太祖所作也 如合规矩 深可痛恨 古乐
亏阙 即五精之帝也 殊无准据 依魏景初三年以来衣服制 臣等参议 足令亿兆知有君矣 各树朋党 然享祀之礼 理无减降 五声 林钟为徵 率土仰赖 声验吉凶 江南有未宾之吴 绛领袖中衣 四海移风 并择而存之 变律之首 于此之日 晓之者鲜 哀至则哭 有司上言求卜祥日 三御不充半溢 检
乐署考正声律也 "圣慕深远 乞垂听访 "词乐谐音 徵羽用清 舞《皇始》之舞 "汉成帝时 《濩》 又诏曰 复位哭 "十月 器服 一以仰遵遗册 篪 姑洗为羽 年逾期赜 黄钟为宫 若可施用 " 臣又闻先师旧说 不知何据 十二悬二百二十八钟 临淮王彧并为郊庙歌词而迄不施用 哀疚顿敝 依据
金册遗旨 岂足关言 三都 其来久矣 未可以为常式 岂必要经师授然后为奇哉 今山陵已毕 声律所施 见美丽则感亲 以时即吉 行之者寡 衰裳所施 孙惠蔚等四人参定舞名并鼓吹诸曲 情未暂阕 "三年不为礼 北齐·魏收
高中数学第2章2.1.5平面上两点间的距离课件苏教必修2.ppt
【规范解答】 法一：∵AB＝ 3＋32＋－3－12＝ 52，AC＝ 1＋32＋7－12＝ 52，
又 BC＝ 1－32＋7＋32＝ 104，8 分 ∴AB2＋AC2＝BC2，且 AB＝AC，12 分 ∴△ABC 是等腰直角三角形.14 分
法二：∵kAC＝1－7－－13＝32， kAB＝3－－3－－13＝－32， 则 kAC·kAB＝－1. ∴AC⊥AB.6 分 又 AC＝ 1＋32＋7－12＝ 52， AB＝ 3＋32＋－3－12＝ 52，14 分 ∴AC＝AB. ∴△ABC 是等腰直角三角形．
可得x3y′′ ·x′－－2＋xy×x－3＝y′－2＋1 y＋3＝0
，
解得xy′′＝＝6－x＋8x18＋0y1＋06y6－18
.
又－8x＋106y－18－6x＋180y＋6－2＝0， 即 7x＋y＋22＝0，
故所求直线方程为 7x＋y＋22＝0.
x－y－2＝0 【解】 法一：由3x－y＋3＝0 ，
得交点 P(－52，－29)． 取直线 x－y－2＝0 上一点 A(0，－2)， 设 A 点关于直线 l：3x－y＋3＝0 的对称点为 A′(x0，y0)．
则根据 kAA′·kl＝－1 且线段 AA′中点在直线 l：3x －y＋3＝0 上．
有xy00＋－20×3＝－1 3×x20－y0－2 2＋3＝0
考点三 对称问题
求曲线关于点(中心)的对称问题的一般思想是用代 入法．一般地，曲线f(x，y)＝0关于点A(a，b)的对 称曲线的方程是f(2a－x,2b－y)＝0；求点关于直线 对称问题关键是列出“垂直、平分”的方程组．
例3 求直线x－y－2＝0关于直线l：3x－y＋3＝0 对称的直线方程．
【思路点拨】 本题属于轴对称问题，解决本题有 两种方法，一是转化为点的对称，二是利用轴对称 的条件，即应用中点公式与直线垂直的条件，代入 可得．
高一数学两点间的距离PPT课件
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其不可七矣。且楚唯毋强，六国复桡而从之，陛下焉得而臣之。其不可八矣。诚用此谋，陛下事去矣”汉王辍食吐哺，骂曰“竖儒，几败乃公事”令趣销印。后韩信破齐欲自立为齐王，汉王怒。良说汉王，汉王使良授齐王信印。语在《信传》。五年冬，汉王追楚至阳夏南，战不利，壁固 陵，诸侯期不至。良说汉王，汉王用其计，诸侯皆至。语在《高纪》。汉六年，封功臣。良未尝有战斗功，高帝曰“运筹策帷幄中，决胜千里外，子房功也。自择齐三万户”良曰“始臣起下邳，与上会留，此天以臣授陛下。陛下用臣计，幸而时中，臣愿封留足矣，不敢当三万户”乃封良 为留侯，与萧何等俱封。上已封大功臣二十馀人，其馀日夜争功而不决，未得行封。上居雒阳南宫，从复道望见诸将往往数人偶语。上曰“此何语”良曰“陛下不知乎。此谋反耳”上曰“天下属安定，何故而反”良曰“陛下起布衣，与此属取天下，今陛下已为天子，而所封皆萧、曹故人 所亲爱，而所诛者皆平生仇怨。今军吏计功，天下不足以遍封，此属畏陛下不能尽封，又恐见疑过失及诛，故相聚而谋反耳”上乃忧曰“为将奈何”良曰“上平生所憎，群臣所共知，谁最甚者”上曰“雍齿与我有故怨，数窘辱我，我欲杀之，为功多，不忍”良曰“今急先封雍齿，以示群 臣，群臣见雍齿先封，则人人自坚矣”於是上置酒，封雍齿为什方侯，而急趣丞相、御史定功行封。群臣罢酒，皆喜曰“雍齿且侯，我属无患矣”刘敬说上都关中，上疑之。左右大臣皆山东人，多劝上都雒阳“雒阳东有成皋，西有殽、黾，背河乡雒，其固亦足恃”良曰“雒阳虽有此固， 其中小，不过数百里，田地薄，四面受敌，此非用武之国。夫关中左殽、函，右陇、蜀，沃野千里，南有巴、蜀之饶，北有胡苑之利，阻三面而固守，独以一面东制诸侯。诸侯安定，河、渭漕挽天下，西给京师。诸侯有变，顺流而下，足以委输。此所谓金城千里，天府之国。刘敬说是也” 於是上即日驾，西都关中。良从入关。性多疾，即道引不食谷，闭门不出岁馀。上欲废太子，立戚夫人子赵王如意。大臣多争，未能得坚决也。吕后恐，不知所为。或谓吕后曰“留侯善画计，上信用之”吕后乃使建成侯吕泽劫良，曰“君常为上谋臣，今上日欲易太子，君安得高枕而卧” 良曰“始上数在急困之中，幸用臣策。今天下安定，以爱欲易太子，骨肉之间，虽臣等百人何益”吕泽强要曰“为我画计”良曰“此难以口舌争也。顾上有所不能致者四人。四人年老矣，皆以上嫚娒士，故逃匿山中，义不为汉臣。然上高此四人。今公诚能毋爱金玉璧帛，今太子为书，卑 辞安车，因使辩士固请，宜来。来，以为客，时从入朝，令上见之，则一助也”於是吕后令吕泽使人奉太子书，卑辞厚礼，迎此四人。四人至，客建成侯所。汉十一年，黥布反，上疾，欲使太子往击之。四人相谓曰“凡来者，将以存太子。太子将兵，事危矣”乃说建成侯曰“太子将兵， 有功即位不益，无功则从此受祸。且太子所与俱诸将，皆与上定天下枭将也，今乃使太子将之，此无异使羊将狼，皆不肯为用，其无功必矣。臣闻母爱者子抱，今戚夫人日夜侍御，赵王常居前，上曰终不使不肖子居爱子上，明其代太子位必矣。君何不急请吕后承间为上泣言：黥布，天下 猛将，善用兵，今诸将皆陛下故等夷，乃令太子将，此属莫肯为用，且布闻之，鼓行而西耳。上虽疾，强载辎车，卧而护之，诸将不敢不尽力。上虽苦，强为妻子计。”於是吕泽夜见吕后。吕后承间为上泣而言，如四人意。上曰“吾惟之，竖子固不足遣，乃公自行耳”於是上自将而东， 群臣居守，皆送至霸上。良疾，强起至曲邮，见上曰“臣宜从，疾甚。楚人剽疾，愿上慎毋与楚争锋”因说上令太子为将军监关中兵。上谓“子房虽疾，强卧傅太子”。是时，叔孙通已为太傅，良行少傅事。汉十二年，上从破布归，疾益甚，愈欲易太子。良谏不听，因疾不视事。叔孙太 傅称说引古，以死争太子。上阳许之，犹欲易之。及晏，置酒，太子侍。四人者从太子，年皆八十有馀，须眉皓白，衣冠甚伟。上怪，问曰“何为者”四人前对，各言其姓名。上乃惊曰“吾求公，避逃我，今公何自从吾儿游乎”四人曰“陛下轻士善骂，臣等义不辱，故恐而亡匿。今闻太 子仁孝，恭敬爱士，天下莫不延颈愿为太子死者，故臣等来”上曰“烦公幸卒调护太子”四人为寿已毕，趋去。上目送之，召戚夫人指视曰“我欲易之，彼四人为之辅，羽翼已成，难动矣。吕氏真乃主矣”戚夫人泣涕，上曰“为我楚舞，吾为若楚歌”歌曰“鸿鹄高飞，一举千里。羽翼以 就，横绝四海。横绝四海，又可奈何。虽有矰缴，尚安所施”歌数阕，戚夫人歔欷流涕。上起去，罢酒。竟不易太子者，良本招此四人之力也。良从上击代，出奇计下马邑，及立萧相国，所与从容言天下事甚众，非天下所以存亡，故不著。良乃称曰“家世相韩，及韩灭，不爱万金之资， 为韩报仇强秦，天下震动。今以三寸舌为帝者师，封万户，位列侯，此布衣之极，於良足矣。愿弃人间事，欲从赤松子游耳”乃学道，欲轻举。高帝崩，吕后德良，乃强食之，曰“人生一世间，如白驹之过隙，何自苦如此”良不得已，强听食。后六岁薨。谥曰文成侯。良始所见下邳圯上 老父与书者，后十三岁从高帝过济北，果得谷城山下黄石，取而宝祠之。及良死，并葬黄石。每上冢伏腊祠黄石。子不疑嗣侯。孝文三年坐不敬，国除。陈平，阳武户牖乡人也。少时家贫，好读书，治黄帝、老子之术。有田三十亩，与兄伯居。伯常耕田，纵平使游学。平为人长大美色， 人或谓平“贫何食而肥若是”其嫂疾平之不亲家生产，曰“亦食糠覈耳。有叔如此，不如无有”伯闻之，逐其妇弃之。及平长，可取妇，富人莫与者，贫者平亦愧之。久之，户牖富人张负有女孙，五嫁夫辄死，人莫敢取，平欲得之。邑中有大丧，平家贫侍丧，以先往后罢为助。张负既见 之丧所，独视伟平，平亦以故后去。负随平至其家，家乃负郭穷巷，以席为门，然门外多长者车辙。张负归，谓其子仲曰“吾欲以女孙予陈平”仲曰“平贫不事事，一县中尽笑其所为，独奈何予之女”负曰“固有美如陈平长贫者乎”卒与女。为平贫，乃假贷币以聘，予酒肉之资以内妇。 负戒其孙曰“毋以贫故，事人不谨。事兄伯如事乃父，事嫂如事乃母”平既取张氏女，资用益饶，游道日广。里中社，平为宰，分肉甚均。里父老曰“善，陈孺子之为宰”平曰“嗟乎，使平得宰天下，亦如此肉矣”陈涉起王，使周市略地，立魏咎为魏王，与秦军相攻於临济。平已前谢兄 伯，从少年往事魏王咎，为太仆。说魏王，王不听。人或谗之，平亡去。项羽略地至河上，平往归之，从入破秦，赐爵卿。项羽之东王彭城也，汉王还定三秦而东。殷王反楚，项羽乃以平为信武君，将魏王客在楚者往击，殷降而还。项王使项悍拜平为都尉，赐金二十溢。居无何，汉攻下 殷。项王怒，将诛定殷者。平惧诛，乃封其金与印，使使归项王，而平身间行杖剑亡。度河，船人见其美丈夫，独行，疑其亡将，要下当有宝器金玉，目之，欲杀平。平心恐，乃解衣裸而佐刺船。船人知其无有，乃止。平遂至修武降汉，因魏无知求见汉王，汉王召入。是时，万石君石奋 为中涓，受平谒。平等十人俱进，赐食。王曰“罢，就舍矣”平曰“臣为事来，所言不可以过今日”於是汉王与语而说之，问曰“子居楚何官”平曰“为都尉”是日拜平为都尉，使参乘，典护军。诸将尽讙，曰“大王一日得楚之亡卒，未知高下，而即与共载，使监护长者”汉王闻之，愈 益幸平，遂与东伐项王。至彭城，为楚所败，引师而还。收散兵至荥阳，以平为亚将，属韩王信，军广武。绛、灌等或谗平曰“平虽美丈夫，如冠玉耳，其中未必有也。闻平居家时盗其嫂。事魏王不容，亡而归楚。归楚不中，又亡归汉。今大王尊官之，令护军。臣闻平使诸将，金多者得 善处，金少者得恶处。平，反复乱臣也，愿王察之”汉王疑之，以让无知，问曰“有之乎”无知曰“有”汉王曰“公言其贤人何也”对曰“臣之所言者，能也。陛下所问者，行也。今有尾生、孝已之行，而无益於胜败之数，陛下何暇用之乎。令楚、汉相距，臣进奇谋之士，顾其计诚足以 利国家耳。盗嫂、受金又安足疑乎”汉王召平而问曰“吾闻先生事魏不遂，事楚而去，今又从吾游，信者固多心乎”平曰“
两点间的距离公开经典PPT课件
两点间的距离
(1) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
y P1(x1,y1)
已知平面上两
点P1(x1,y1), P2(x2,y2),
如何求P1 P2的距离
o
| P1 P2 |呢?
| P1P2 | ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
Q (x2,y1)
P2 (x2,y2)
x
两点间的距离
两点间y 距离公|式x|
P (x,y)
|y|
| OP | x2 y2
特别地,O原(0点 ,0) O与任一x点P(x, y)的距离 :
| OP | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
(x 0)2 ( y 0)2 x2 y2
2019/8/9
10
举例
例3 已知点A(1,2), B(2, 7),在x轴上求一点P, 使得 | PA|| PB |,并求 | PA|的值.
2019/8/9
2
复习
联立直, 线 l1 l2 的方程解方程组
唯一解 无穷多解 无解
l1, l1, l1,
l 2 相交 l2重合 l 2 平行
二、根据两直线的方程系数之间的关系来判
定两直线的位置关系？
l1 : A1x B1y C1 0 l2 : A2x B2 y C2 0
4
三、当变化时：
所有经过直线A1x B1 y C1 0和A2 x B2 y C2 0 交点的直线都可以被方程
A1x B1 y C1 ( A2 x B2 y C2 ) 0
表示出来，故把该方程称之为： 过两直线交点的直线系（束）方程
2019/8/9
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栏 目
链
的形状．
接
分析：结合四边形的有关知识，判断边的长度以及 边所在直线的平行及垂直关系．
解析：∵kAB＝－13，kCD＝－13，kAD＝3，kBC＝3，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB⊥AD，CD⊥BC，即四边形 ABCD 为栏
目
矩形．
链
接
又∵AB＝3 10，AD＝3 10，AC＝6 5，BD＝6 5，
第2章 平面解析几何初步 2．1 直线与方程
2．1.5 平面上两点间的距离
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1．掌握在平面直角坐标系下的两点间的距离公式． 2．初步学会用坐标法证明简单的平面几何问题．
典例剖析 栏 目 链 接
两点间的距离问题
已知四边形ABCD各顶点坐标分别为A(－7，0)、
B(2，－3)、C(5，6)、D(－4，9)，判断这个四边形
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目
链
证明：∵AB＝ （4－2）2＋（3－1）2＝ 8，
接
AC＝ （0－2）2＋（5－1）2＝ 20，
BC＝ （5－3）2＋（0－4）2＝ 20，∴AC＝BC.
又∵A、B、C 不共线，∴△ABC 是等腰三角形．
用解析法解决平面几何问题
已知Rt△ABC，∠B为直角，AB＝a，BC＝b，建立
适当的坐标系，写出顶点A、B、C的坐标，并求证斜
规律总结：在建立平面直角坐标系时，适当的坐标
系能使运算更加简便(如本例以两直角边为坐标轴建
栏 目
链
立坐标系)，故在建坐标系时要有效地利用条件中的 接
垂直、对称条河分别为400 m和100 m，且在河
的同侧，A、B两厂之间距离500 m，把小河看做一条直
线，今在小河边上建一座抽水站，供A、B两厂用水，
100)，过点B作BC⊥AO于点C.在△ABC中，AB＝500，
AC＝400－100＝300，由勾股定理得BC＝400，
∴B(400，100)．
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要使抽水站到A、B两厂铺设的水管长度之和最短，问 栏
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抽水站应建在什么地方？
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分析：这是一个对称问题，点A关于河的对称点A′与点 B的连线，交小河于点P，则PA′＋PB＝PA＋PB，此点 即为所求(证明略)．
解析：如右图，以小河所在直线为x轴，过点A的垂线
为y轴，建立平面直角坐标系，则点A(0，400)，点B(a，
∴AB＝AD，AC＝BD，即四边形 ABCD 为正方形．
规律总结：根据斜率判断对边是否平行、邻边
栏
是否垂直，再根据对角线的长度、边的长度来
目
链
确定是哪种四边形．
接
►变式训练 1．已知点A(1，2)、B(3，4)、C(5，0)．求证： △ABC是等腰三角形． 分析：求出三边之长，比较三边的大小下结论．
边AC的中点M到三个顶点的距离相等．
栏
分析：取直角边所在的直线为坐标轴建立平面直角坐
目 链
标系，再写出各顶点坐标，给出证明．
接
解析：取边BA所在的直线为x轴，边BC所在的直线 为y轴，建立平面直角坐标系，如右图，则三个顶点 的坐标分别为A(a，0)、B(0，0)、C(0，b)． 由中点坐标公式得斜边 AC 的中点 M 的坐标为a2，2b. ∴MA＝ a－2a2＋0－b22＝12 a2＋b2， MB＝ 0－2a2＋0－b22＝12 a2＋b2， MC＝ 0－2a2＋b－b22＝12 a2＋b2， ∴MA＝MB＝MC.